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Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik

GRUNDLAGEN MATHEMATIK

3. Reelle Funktionen

Prof. Dr. Gunar Matthies

Wintersemester 2015/16

Funktionsbegriff

Definition

Seien A und B nichtleere Mengen. Eine Vorschrift f , die jedemx ∈ A genau ein y ∈ B zuordnet, heißt Funktion oder Abbildung.Wir schreiben

f : A→ Bund

y = f (x) bzw. x 7→ f (x)für die Zuordnungsvorschrift.

Bemerkung

Eine Funktion ist erst durch die Angabe der Zuordnungsvorschriftsowie der Mengen A und B bestimmt. Eigenschaften von Funk-tionen können von der konkreten Wahl von A und B abhängen.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 2/71

Beispiele I

A = {x1, x2, x3}, B = {y1, y2, y3, y4}

f : A→ B gegeben durch

f (A) = {y1, y3} 6= B

Beispiele II

Keine Abbildungen sind

Dem roten Element werdenzwei Bilder zugeordnet.

Dem roten Element wird keinBild zugeordnet.

Definitions- und Wertebereich

Definition

Sei f : A→ B, x 7→ y = f (x) eine Funktion. Dann heißen1. y Bildpunkt von x unter der Abbildung f oder Funktionswert

an der Stelle x ,2. x Urbildpunkt von y unter der Abbildung f ,3. A Definitionsbereich oder Urbildbereich von f ,4. B Wertebereich,5. f (A) := {y ∈ B : Es gibt ein x ∈ A mit y = f (x)} ⊂ B das

Bild von A unter f oder der Wertebereich von f

6. graph(f ) :={(x , f (x)) : x ∈ A

}Graph von f .

Graphen und reelle Funktionen

Sind A ⊂ R und f (A) ⊂ R, so kann der Graph als eine Kurve inder Ebene R2 dargestellt werden.

Im Spezialfall A ⊂ R und B ⊂ R sprechen wir von einer reellenFunktion einer (reellen) Variablen (Veränderlichen) oder kurz voneiner Funktion.

−2 −1 1 2

4f (x) = x2

Monotonie

Definition

Sei D ⊂ R. Eine Funktion f : D → R heißt1. monoton wachsend (fallend), wenn für alle x1, x2 ∈ D mit

x1 < x2 stets

f (x1) ≤ f (x2)(f (x1) ≥ f (x2)

)gilt;

2. streng monoton wachsend (fallend), wenn für alle x1, x2 ∈ Dmit x1 < x2 stets

f (x1) < f (x2)(f (x1) > f (x2)

)gilt.

Parität, Periode, Nullstelle

Definition

Sei D ⊂ R. Eine Funktion f : D → R heißt1. gerade (ungerade), falls mit x ∈ D auch −x ∈ D ist und

f (−x) = f (x)(f (−x) = −f (x)

)gilt;

2. periodisch mit der Periode T > 0, falls D = R ist und

f (x + T ) = f (x) für alle x ∈ R

gilt.Ein Wert x ∈ D heißt Nullstelle von f , falls f (x) = 0 erfüllt ist.

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

Definition

Sei f : A→ B eine Funktion.1. f heißt injektiv (eineindeutig), falls für x1, x2 ∈ A mit x1 6= x2

stets auch f (x1) 6= f (x2) gilt.2. f heißt surjektiv (Abbildung von A auf B), wenn f (A) = B

gilt, d. h., zu jedem y ∈ B gibt es mindestens ein x ∈ A mity = f (x).

3. f nennen wir bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist.

Folgerung

Wenn f : A → B eine bijektive Abbildung ist, dann gibt es zujedem x ∈ A genau ein y ∈ B mit y = f (x).

Beispiel

f : R→ (−1, 1)

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−0.5

f (x) =x

1+ |x |

Umkehrabbildung

Definition

Sei f : A → B eine bijektive Abbildung. Die Funktion, die jedemy ∈ B das eindeutig bestimmte Urbild x ∈ A unter der Abbildungf zuordnet, heißt Umkehrfunktion von f und wird mit f −1 : B → Abezeichnet.

Bemerkung

Es gilt f −1(f (x)) = x und f(f −1(y)

)= y . Bei der Angabe der

Zuordnungsvorschrift von f −1 wird statt y oft x benutzt.

Bemerkung

Der Graph von f −1 entsteht aus dem Graphen von f durch Spie-gelung an der Gerade y = x .

Beispiel

a f (a) b f (b)

f −1

f (a) < f (b) f : [a, b]→ [f (a), f (b)], f −1 : [f (a), f (b)]→ [a, b]f (a) > f (b) f : [a, b]→ [f (b), f (a)], f −1 : [f (b), f (a)]→ [a, b]

Strenge Monotonie und Umkehrfunktion

Folgerung

Jede streng monoton wachsende (fallende) Funktion f : A → B ,die surjektiv (f (A) = B) ist, besitzt eine Umkehrfunktion. Hier istdie strenge Monotonie essentiell für die Injektivität, die zusammenmit der vorausgesetzte Surjektivität die Bijektivität von f sichert.

Polynome

Definition

Eine Funktion f : R→ R,

f (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0 =n∑

mit an 6= 0 heißt Polynom n-ten Grades. Die Funktion f : R→ Rmit f (x) = 0 für alle x ∈ R heißt Nullpolynom. Ihm wird keinGrad zugeordnet.

Beispiel

Polynome können auf verschiedene Weise geschrieben werden, z. B.• p(x) = x3 − 3x + 2• q(x) = (x − 1)2(x + 2)3(x2 + 3x − 8)

Mehrfache Nullstellen

Definition

Sei p : R → R ein Polynom n-ten Grades. Dann heißt x0 ∈ Rk-fache Nullstelle (k ∈ N), wenn

p(x) = (x − x0)kq(x)

für alle x ∈ R gilt, wobei q : R → R ein Polynome vom Gradn − k mit q(x0) 6= 0 ist.

Bemerkung

Setzen wir in der obigen Definition k = 0, so weist p wegen

p(x) = (x − x0)0︸︷︷︸

q(x) = q(x) und p(x0) = q(x0) 6= 0

keine Nullstelle in x0 auf.

Horner-Schema zur Polynomberechnung

Gegeben: Polynom p(x) = x3 − 3x + 2Gesucht: p(−1)

Horner-Schema p(x) =((1 · x + 0) · x − 3

)· x + 2

1 0 − 3 2

x = − 1 − 1 1 2

1 − 1 − 2 4

p(−1) = 4

Rationale Funktionen

Definition

Seienp : R→ R, p(x) =

n∑i=0

aixi , q : R→ R, q(x) =

m∑j=0

Polynome der Grade n und m. Dann heißt

f (x) :=p(x)

gebrochen rationale Funktion. Gilt• grad q = 0, so ist f ein Polynom.• grad p ≥ grad q ≥ 1, so nennen wir f unecht gebrochen.• grad q > grad p ≥ 0, so heißt f echt gebrochen.

Beispiele

Beispiel

• f (x) =2x3 − x2 + 5x

x2 + 1Zählerpolynom p(x) = 2x3 − x2 + 5x , grad p = 3,

Nennerpolynom q(x) = x2 + 1, grad q = 2.

unecht gebrochen

• g(x) =x + 13x4 − x

Zählerpolynom p(x) = x + 1, grad p = 1,

Nennerpolynom q(x) = 3x4 − x , grad q = 4.

echt gebrochen

Zerlegungssatz

Jede gebrochen rationale Funktion f lässt sich als Summe

f (x) = h(x) + g(x)

eines Polynoms h und einer echt gebrochen rationalen Funktion gschreiben.

Polynomdivision I

(x3 − 3x + 2

):(x2 + x − 2

)= x − 1

− x3 − x2 + 2x− x2 − x + 2x2 + x − 2

x3 − 3x + 2 = (x2 + x − 2)(x − 1)

Polynomdivision II

(x3 − 3x + 2

):(x + 1

)= x2 − x − 2+

4x + 1− x3 − x2

− x2 − 3xx2 + x

− 2x + 22x + 2

x3 − 3x + 2 = (x2 − x − 2)(x + 1) + 4

1 0 − 3 2

x = − 1 − 1 1 2

1 − 1 − 2 4

Sinus- und Kosinusfunktion am Einheitskreis

α ∈ [0◦, 360◦], t ∈ [0, 2π], t =α

180◦π

sin(α) = sin(t) = y , cos(α) = cos(t) = x

Sinus- und Kosinusfunktion

−0.5

Die Funktionen sin : R→ [−1, 1] und cos : R→ [−1, 1] sind je-weils periodisch mit der Periodenlänge 2π.Die Sinusfunktion ist ungerade, die Kosinusfunktion gerade.G. Matthies Grundlagen Mathematik 23/71

Eigenschaften trigonometrischer Funktionen

Für alle x ∈ R gilt: sin2(x) + cos2(x) = 1.

Für alle x ∈ R und alle k ∈ Z gelten

sin(kπ) = cos(π2+ kπ

cos(kπ) = sin(π2+ kπ

)= (−1)k .

Für alle x , y ∈ R gelten die Additionstheoreme

sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y),cos(x + y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y).

Tangensfunktion

tan : R \{π2+ kπ : k ∈ Z

}→ R, tan(x) =

sin(x)cos(x)

−32π−π −π

π 32π

2π 52π

Kotangensfunktion

cot : R \ {kπ : k ∈ Z} → R, cot(x) =cos(x)sin(x)

−32π−π −π

π 32π

2π 52π

Tangens und Kotangens am Einheitskreis

tan(α) =sin(α)cos(α)

, cot(α) =cos(α)sin(α)

Die Arcussinus-Funktion

π −π2 −1 1 π

−π2

sin : R→ [−1, 1], x 7→ sin(x)

π −π2 −1 1 π

−π2

sin :[−π2,π

]→ [−1, 1], x 7→ sin(x)

π −π2 −1 1 π

−π2

sin :[−π2,π

]→ [−1, 1], x 7→ sin(x)

arcsin : [−1, 1]→[−π2,π

], x 7→ arcsin(x) (auch: sin−1(x))

Die Arcuscosinus-Funktion

−1 1 π2

cos : R→ [−1, 1], x 7→ cos(x)

−1 1 π2

cos : [0, π]→ [−1, 1], x 7→ cos(x)

−1 1 π2

cos : [0, π]→ [−1, 1], x 7→ cos(x)arccos : [−1, 1]→ [0, π], x 7→ arccos(x) (auch: cos−1(x))

Die Arcustangens- und die Arcuscotangens-Funktion

-6 -4 -2 2 4 6

−π2

arctan : R→(−π2,π

), x 7→ arctan(x)

arccot : R→ (0, π) , x 7→ arccot(x)

Exponentialfunktionen

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

f : R→ R, x 7→ ax , mit a > 0

a = 2, a = 3.5, a =1, a =12, a = e

Exponential- und Logarithmusfunktionen

−4 −2 2 4

Rechenregeln für Exponential- und Logarithmusfunktionen

Für alle a, b ∈ R+ und alle x , y ∈ R gelten:• ax+y = ax ay

• (ax)y = axy

• (ab)x = ax bx

Für alle x , y ∈ R+ und alle a ∈ R gelten:• ln(xy) = ln(x) + ln(y)

• ln(x

)= ln(x)− ln(y), speziell: ln

)= − ln(y)

• ln (xa) = a ln(x)Für alle a ∈ R+ und alle x ∈ R gilt

ax =(e ln(a)

)x= ex ln(a)

Für alle x ∈ R+ und a ∈ R+ \ {1} gilt

loga(x) =ln(x)ln(a)

Verkettung von Funktionen

Definition

Seien g : A → B und f : C → D Abbildungen mit g(A) ⊂ C .Dann heißt die Funktion

f ◦ g : A→ D, x 7→ f(g(x)

)Verkettung (Komposition, Hintereinanderausführung) der Funktio-nen f und g .

Bemerkung

Oft treten Verkettungen von Funktionen in natürlicher Weise auf,ohne dass uns die Verkettung auf dem ersten Blick bewusst wird.

Die Verkettung von mehr als zwei Funktionen ergibt sich in Ver-allgemeinerung der Verkettung von zwei Funktionen.

Eigenschaften von Verkettungen

Bemerkung

Die Verkettungsoperation ◦ ist nicht kommutativ. Dies heißt, dassim Allgemeinen f ◦ g 6= g ◦ f gilt, selbst wenn alle auftretendenAusdrücke wohl definiert sind.

Beispiel

Seien f : R → R, x 7→ x2 und g : R → R, x 7→ x + 1 zweiFunktionen. Dann sind f ◦ g : R→ R, g ◦ f : R→ R mit

(f ◦ g)(x) = f(g(x)

)= f (x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

und(g ◦ f )(x) = g

(f (x)

)= g(x2) = x2 + 1

zwei verschiedene Funktionen.

Häufungspunkt

Definition

Sei D ⊂ R. Ein Punkt x0 ∈ R heißt Häufungspunkt von D, wennfür jedes ε > 0 in der ε-Umgebung Uε(x0) = (x0 − ε, x0 + ε) vonx0 stets unendlich viele Elemente von D liegen.

Beispiel

D := [1, 2) ∪ {3}

0 1 2 3

3 ist kein Häufungspunkt von D, gehört aber zu D.2 ist Häufungspunkt von D, gehört aber nicht zu D.1.5 ist Häufungspunkt von D und gehört zu D.0 ist kein Häufungspunkt von D und gehört auch nicht zu D.

Grenzwert einer Funktion

Definition

Seien D ⊂ R, f : D → R und x∗ ein Häufungspunkt von D. DerWert f ∗ ∈ R heißt Grenzwert der Funktion f an der Stelle x∗,wenn für alle Folgen (xk)k∈N ⊂ D mit

limk→∞

xk = x∗ und xk 6= x∗ für alle k ∈ N

die Beziehunglim

k→∞f (xk) = f ∗

gilt. Dafür wird dann kurz

limx→x∗

f (x) = f ∗

geschrieben.

Stetigkeit I

Definition

Seien D ⊂ R und f : D → R. Die Funktion f heißt in x0 ∈ Dstetig, wenn

limx→x0

f (x) = f (x0)

gilt, d. h., wenn der Grenzwert der Funktion f in x0 mit demFunktionswert f (x0) übereinstimmt.

Bemerkung

Stetigkeit bedeutet, dass Funktionsauswertung und Grenzprozessvertauscht werden dürfen:

limn→∞

f (xn) = f(limn→∞

falls limn→∞

xn = x0 gilt.

Stetigkeit II

Definition

Seien D ⊂ R und f : D → R. Die Funktion f heißt auf A ⊂ Dstetig, falls f in jedem Punkt x0 ∈ A stetig ist. Ist f auf D stetig,so nennen wir f stetige Funktion.

Bemerkung

Zum Nachweis der Stetigkeit in x0 ∈ D müssen alle möglichenFolgen (xn)n∈N mit xn → x0 für n→∞ betrachtet werden.

Um die Unstetigkeit von f in x0 zu zeigen, genügt es eine konkreteFolge (xn)n∈N mit

limn→∞

xn = x0 und limn→∞

f (xn) 6= f (x0)

zu finden.

ε-δ-Charakterisierung

Definition

Seien D ⊂ R und f : D → R. Die Funktion f ist in xo ∈ D stetig,wenn es zu jedem ε > 0 ein δ = δε > 0 derart gibt, dass für allex ∈ D mit |x − x0| < δ stets auch∣∣f (x)− f (x0)

∣∣ < ε

erfüllt ist.

x0 − δ x0 x0 + δ

f (x0)− ε

f (x0)

f (x0) + ε

x0 − δ x0 x0 + δ

f (x0)− ε

f (x0)

f (x0) + ε

Rechenregeln für stetige Funktionen

Seien D1,D2 ⊂ R und x0 ∈ D1 ∩ D2.Sind die Funktionen f : D1 → R und g : D2 → R in x0 stetig, sosind auch die Summe f +g , die Differenz f −g und das Produkt f gin x0 stetig. Gilt zusätzlich g(x0) 6= 0, dann ist auch der Quotientf /g in x0 stetig.

Sei I ⊂ R ein Intervall. Die Funktion f : I → R sei in x0 ∈ I stetigund es gelte f (x0) > 0 (f (x0) < 0). Dann gibt es ein ε > 0 derart,dass

f (x) > 0(f (x) < 0

)für alle x ∈ I ∩ (x0 − ε, x0 + ε)

Verknüpfung stetiger Funktionen

Seien f : A → B stetig in x0 ∈ A und g : D → C mit f (A) ⊂ Dstetig in y0 = f (x0) ∈ D. Dann ist g ◦ f : A→ C in x0 stetig.

Folgerungen

Sei f : [a, b] → [f (a), f (b)] stetig und streng monoton wach-send bzw. f : [a, b] → [f (b), f (a)] stetig und streng monotonfallend. Dann ist die Umkehrfunktion f −1 : [f (a), f (b)] → [a, b]bzw f −1 : [f (b), f (a)] → [a, b] ebenfalls stetig und streng mono-ton wachsend bzw. streng monoton fallend.

Illustration

a f (a) b f (b)

f −1

Nullstellensatz und Zwischenwertsatz

Satz (Nullstellensatz)

Sei f : [a, b] → R stetig und erfülle f (a)f (b) < 0, d. h., dieFunktion f hat an den Intervallenden a und b Funktionswerte mitunterschiedlichen Vorzeichen. Dann besitzt die Funktion f im In-verall (a, b) mindestens eine Nullstelle.

Satz (Zwischenwertsatz)

Sei f : [a, b]→ R stetig. Dann existiert zu jedem

y0 ∈[min

(f (a), f (b)

)]mindestens ein x0 ∈ [a, b] mit f (x0) = y0.

Bisektionsverfahren zur Nullstellenbestimmung

Gegeben sei eine stetige Funktion f : [a, b]→ Rmit f (a)f (b) < 0.Bisektionsverfahren:1. Setze L := a, R := b;2. Berechne M := (R + L)/2 und f (M);3. Ist f (M) = 0, dann ist eine Nullstelle gefunden; STOP.4. Ist f (L)f (M) < 0, dann liegt eine Nullstelle zwischen L und

M. Setze R := M und gehe zu 2.5. Ist f (M)f (R) < 0, dann liegt eine Nullstelle zwischen M und

R . Setze L := M und gehe zu 2.

Es liegt stets eine Nullstelle zwischen L und R . In jedem Schritthalbiert sich der Abstand zwischen L und R .

Illustration zur Bisektion

Regula falsi zur Nullstellenbestimmung

Gegeben sei eine stetige Funktion f : [a, b]→ Rmit f (a)f (b) < 0.Regula falsi:1. Setze L := a, R := b;2. Bestimme M als Stelle, an der die Sekante durch

(L, f (L)

(R, f (R)

)die x-Achse schneidet:

M := L− L− R

f (L)− f (R)f (L).

Berechne f (M);3. Ist f (M) = 0, dann ist eine Nullstelle gefunden; STOP.4. Ist f (L)f (M) < 0, dann liegt eine Nullstelle zwischen L und

M. Setze R := M und gehe zu 2.5. Ist f (M)f (R) < 0, dann liegt eine Nullstelle zwischen M und

R . Setze L := M und gehe zu 2.

Es liegt stets eine Nullstelle zwischen L und R .G. Matthies Grundlagen Mathematik 49/71

Illustration zur Regula falsi

M1 M2 x

Beschränktheit

Definition

Seien D ⊂ R und f : D → R. Die Funktion f heißt• nach oben (unten) beschränkt, falls es eine Zahl c ∈ R mit

f (x) ≤ c(f (x) ≥ c

)für alle x ∈ D gibt;

• beschränkt, falls f nach oben und unten beschränkt ist.Jede Zahl c ∈ R mit der Eigenschaft f (x) ≤ c (f (x) ≥ c) für allex ∈ D wird als obere (untere) Schranke von f auf D bezeichnet.

Infimum und Supremum

Definition

Die kleinste obere (größte untere) Schranke nennen wir Supremum(Infimum). Wir schreiben

supx∈D

f (x) bzw. infx∈D

f (x).

Existiert ein x0 ∈ D mit

f (x0) = supx∈D

f (x) bzw. f (x0) = infx∈D

so heißt f (x0) Maximum (Minimum) von f auf D. In diesem Fallwird x0 als Maximalstelle (Minimalstelle) von f auf D bezeichnet.

Satz von Weierstraß

Satz (Satz von Weierstraß)

Jede stetige Funktion f : [a, b] → R ist auf dem beschränktenund abgeschlossenen Intervall [a, b] beschränkt. Darüber hinausgibt es mindestens eine Minimalstelle x0 ∈ [a, b] und mindestenseine Maximalstelle x1 ∈ [a, b].

Bemerkung

Die Voraussetzungen, dass das Intervall abgeschlossen und be-schränkt sein muss, sind für die Aussage des Satzes wesentlich.Als Beispiele seien die Funktionen f : R → R, x 7→ x undg : (0, 1]→ R, x 7→ 1/x genannt.

Stetige Erweiterung

Seien D ⊂ R, f : D → R, x0 ein Häufungspunkt von D undc = lim

x→x0f (x). Dann können drei Fälle auftreten:

1. x0 6∈ D. Dann ist die Funktion

f̃ (x) :=

{c , x = x0,

f (x), x 6= x0,

stetig in x0. Wir nennen f̃ in x0 stetige Erweiterung von fund x0 hebbare Definitionslücke.

2. x0 ∈ D und f (x0) = c . Dann ist f in x0 stetig.3. x0 ∈ D und f (x0) 6= c . Dann ist f in x0 unstetig.

Beispiel für eine stetige Erweiterung

f : R \ {0} → R, x 7→ sin(x)x

−4 −2 2 4

Beispiel für eine stetige Erweiterung

f : R \ {0} → R, x 7→ sin(x)x

−4 −2 2 4

f̃ : R→ R, x 7→

sin(x)x

, x 6= 0,

1, x = 0,

Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen

Seien f : Df → R und g : Dg → R zwei Funktionen mit Df ,Dg ⊂R. Weiterhin sei x0 ein Häufungspunkt von Df ∩ Dg . Es gelte

limx→x0

f (x) = F , limx→x0

g(x) = G .

Dann gelten die Zusammenhänge• lim

x→x0

(f (x) + g(x)

)= F + G ;

• limx→x0

(f (x)− g(x)

)= F − G ;

• limx→x0

(f (x)g(x)

)= FG ;

• und im Fall G 6= 0 auch limx→x0

Berechnung von Grenzwerten I

Beispiel

Gegeben sind

f : R→ R, x 7→ x2 − 5x + 6, g : R→ R, x 7→ x2 + 3x − 10.

Gesucht ist der Grenzwert

limx→1

g(x)= lim

x2 − 5x + 6x2 + 3x − 10

Es gilt g(1) = −6 6= 0 und

limx→1

f (x)= limx→1

x2−5x+6=2, limx→1

g(x)= limx→1

x2+3x−10=−6.

Damit folgt

limx→1

x2 − 5x + 6x2 + 3x − 10

=limx→1

x2 − 5x + 6

limx→1

x2 + 3x − 10=

= −13.

Berechnung von Grenzwerten II

Beispiel

Gesucht ist der Grenzwert

limx→2

x2 + 3x − 10x2 − 5x + 6

Da der Nenner an der Stelle x0 = 2 eine Nullstelle hat, kann dasVerfahren aus dem vorigen Beispiel nicht verwendet werden. Nungilt

x2 + 3x − 10 = (x − 2)(x + 5), x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

Damit folgt

limx→2

x2 + 3x − 10x2 − 5x + 6

= limx→2

(x − 2)(x + 5)(x − 2)(x − 3)

= limx→2

x + 5x − 3

= −7

und an der Stelle x0 = 2 liegt eine hebbare Definitionslücke vor.

Verhalten im Unendlichen

Definition

Sei f : D → R eine Funktion mit einem nach oben (unten) unbe-schränkten Definitionsbereich D.Wenn ein Wert c ∈ R ∪ {−∞,∞} derart existiert, dass für jedeFolge (xn)n∈N ⊂ D mit

limn→∞

xn =∞(

limn→∞

xn = −∞)

stets auchlimn→∞

f (xn) = c

gilt, dann schreiben wir kurz

limx→∞

f (x) = c

x→−∞f (x) = c

Asymptote einer Funktion

Definition

Eine Funktion ϕ heißt rechte Asymptote der Funktion f oderAsymptote von f für x → +∞, wenn lim

x→+∞

∣∣f (x) − ϕ(x)∣∣ = 0

gilt. Eine Funktion ψ heißt linke Asymptote der Funktion f oderAsymptote von f für x → −∞, wenn lim

x→−∞

∣∣f (x) − ψ(x)∣∣ = 0

erfüllt ist. Eine Funktion, die rechte und linke Asymptote ist, wirdkurz als Asymptote bezeichnet.

Folgerung

Für jede echt gebrochene Funktion g gilt g(x) → 0 für x → ∞und g(x)→ 0 für x → −∞. Deshalb ist die Nullfunktion (rechteund linke) Asymptote von g .Jede gebrochen rationale Funktion hat als Asymptote das Poly-nom, welches bei der Polynomdivision als Quotient auftritt.

Beispiel für Asymptoten

Wir betrachten die Funktion f : R→ R, x 7→ x + arctan(x). Da

limx→∞

∣∣∣f (x)− (x +π

)∣∣∣ = 0

gilt, ist die Funktion ϕ(x) = x + π/2 rechte Asymptote von f .

Aus der Tatsache

limx→−∞

∣∣∣f (x)− (x − π

)∣∣∣ = 0

ergibt sich, dass ψ(x) = x − π/2 linke Asymptote von f ist.

Rationale Funktion mit Asymptote

−4 −2 2 4

h(x) = 2x − 1

f (x) =2x3 − x2 + 5x

x2 + 1= 2x − 1+

3x + 1x2 + 1

Einseitige Grenzwerte

Definition

Sei f : D → R mit D ⊂ R eine Funktion. Weiterhin sei x0 einHäufungspunkt von

D+x0 := {x ∈ D : x > x0}.

Dann bedeutet

f (x0+) = limx→x0x>x0

f (x) = limx→x0+0

f (x) = c ∈ R ∪ {−∞,∞},

dass für jede Folge (xn)n∈N ⊂ D+x0 mit lim

n→∞xn = x0 stets auch

limn→∞

f (xn) = c

gilt. Dann ist c der rechtsseitige Grenzwert von f an der Stelle x0.Auf analoge Weise definieren wir den linksseitigen Grenzwert

f (x0−) = limx→x0x<x0

f (x) = limx→x0−0

f (x).

Sprungstelle

Definition

Ein Punkt x0 heißt Sprungstelle von f , falls die beiden einseiti-gen Grenzwerte existieren, diese aber verschieden sind. Der Wertf (x0+)− f (x0−) heißt Sprunghöhe von f an der Stelle x0.

Oszillationsstelle

Definition

Existiert der linksseitige Grenzwert f (x0−) nicht, so liegt in x0eine linksseitige Oszillationsstelle vor. Analog wird eine rechtssei-tige Oszillationsstelle über die Nichtexistenz von f (x0+0) erklärt.Existieren beide einseitigen Grenzwerte nicht, dann wird x0 als(beidseitige) Oszillationsstelle bezeichnet.

Oszillierende Unstetigkeitsstelle

f : R→ [−1, 1], x 7→

sin(1x

), x 6= 0,

0, x = 0,

-0.1 0.1

Polstellen

Definition

Seien D ⊂ R, x0 ein Häufungspunkt von D und f : D → R. DieStelle x0 heißt Polstelle von f , wenn

limx→x0

∣∣f (x)∣∣ =∞erfüllt ist.

Beispiel

f : R \ {0} → R, x 7→ 1x hat an der Stelle x0 = 0 einen Pol, da

limx→0

∣∣∣∣1x∣∣∣∣ =∞

Polstelle mit Vorzeichenwechsel

Seien f : D → R eine Funktion mit D ⊂ R und x0 ein Häufungs-punkt von D. Gilt

f (x0+) = +∞, f (x0−) = −∞oder

f (x0+) = −∞, f (x0−) = +∞,dann liegt in x0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

Nachweis einer Unstetigkeitsstelle

−2 −1 1 2

x2 + 1

f : R→ R, f (x) =

{x2 + 1, x < 0,x3, x ≥ 0

Hebbare Definitionslücke und Polstelle

−3 −2 −1 1 2 3

f (x) =x3 − x

x3 − x2

Df = R \ {0, 1}, Df̃ = Df ∪ {1} = R \ {0},

f̃ : Df̃ → R, x 7→ 1+1x

Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen

Gegeben: • gebrochen rationale Funktion f (x) =p(x)

q(x)• Stelle x0 ist k-fache Nullstelle des Zählerpolynoms pund `-fache Nullstelle der Nennerpolynoms q

Es gilt:p(x) = (x − x0)

k p̃(x) mit p̃(x0) 6= 0,

q(x) = (x − x0)`q̃(x) mit q̃(x0) 6= 0.

Fall 1) k = ` = 0 =⇒ x0 ∈ Df

limx→x0

f (x) = limx→x0

k p̃(x) mit p̃(x0) 6= 0,

q(x) = (x − x0)`q̃(x) mit q̃(x0) 6= 0.

Fall 2) k = ` > 0 =⇒ x0 6∈ Df

limx→x0

f (x) = limx→x0

p̃(x)

q̃(x)=

p̃(x0)

q̃(x0)

x0 ist hebbare Definitionslücke.

k p̃(x) mit p̃(x0) 6= 0,

q(x) = (x − x0)`q̃(x) mit q̃(x0) 6= 0.

Fall 3) k > ` = 0 =⇒ x0 ∈ Df

limx→x0

f (x) = limx→x0

p̃(x)(x − x0)k

q(x)= 0

x0 ist Nullstelle von f .

k p̃(x) mit p̃(x0) 6= 0,

q(x) = (x − x0)`q̃(x) mit q̃(x0) 6= 0.

Fall 4) k > ` > 0 =⇒ x0 6∈ Df

limx→x0

f (x) = limx→x0

p̃(x)

q̃(x)(x − x0)

k−` = 0

x0 ist hebbare Defintionslücke.Die erweiterte Funktion f̃ hat in x0 eine Nullstelle.

k p̃(x) mit p̃(x0) 6= 0,

q(x) = (x − x0)`q̃(x) mit q̃(x0) 6= 0.

Fall 5) ` > k > 0 =⇒ x0 6∈ Df

limx→x0

|f (x)| = limx→x0

∣∣∣∣ p̃(x)q̃(x)(x − x0)

k−`∣∣∣∣ =∞

Polstelle`− k gerade kein Vorzeichenwechsel`− k ungerade Vorzeichenwechsel

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