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GruppenwettbewerbGruppenwettbewerb
Aufgabe G1 (8 Punkte)
Aufgabe G1 (8 Punkte)
Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:
Jeweils durch die Mitten gegenüberliegender Flächen:
• 3 Achsen
Drehwinkel:
• 90°
• 180°
• 270°
Drehwinkel:
• 120°
• 240°
Jeweils durch gegenüberliegende Ecken (längs der 4 Raumdiagonalen)
• 4 Achsen
Drehwinkel:
• 180°
Jeweils durch die Mitte gegenüberliegender Kanten.
• 6 Achsen
Aufgabe G2 (8 Punkte)
Frage:
Wie muss der Punkt P gewählt werden, damit der Abstand zwischen den Punkten A und B minimal wird?
Gegeben war folgende Konstellation:
Aufgabe G2 (8 Punkte)
Frage:
Wie muss der Punkt P gewählt werden, damit der Abstand zwischen den Punkten A und B minimal wird?
Lösung:
(1) Gleichung der Tangenten aufstellen
(2) Achsenschnittpunkte bestimmen
(3) Länge der Strecke AB in Abhängigkeit von Punkt P als Funktion darstellen
(4) Minimum der Funktion suchen
(1) Gleichung der Tangenten aufstellen: y=mx+b
Funktionsgleichung der Parabel: f(x) = 9 - x²
Punkt P (a / 9-a²)
a) Die Tangente hat im Punkt P(a / 9-a²) die Steigung f‘(a):f‘(a) = -2a Tangentengleichung: y = -2ax + b
b) Setzt man nun den Punkt P in diese ein, erhält man:-a²+9 = -2aa+bb = a²+9
Insgesamt erhält man für so für die Gleichung der Tangenten:
y = -2ax + (a²+9)
a) Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0
b) Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0
)9²/0( aB
(2) Achsenschnittpunkte
)0/2
9²(
2
9²
9²2
9²2
09²2
a
aA
a
ax
aax
aax
aax
(3) Bestimmen der Streckenlänge AB
)²4
11()²9²(²
)²4
)²9²(()²9²(²
²)²2
9²()²9²(
aad
a
aad
da
aa
Satz des Pythagoras:
Folgende Funktion stellt also den Abstand zwischen A und B in Abhängigkeit von der Lage von P dar:
)4
11()²9²()(
aaag
(4) Minimum der Funktion suchenBestimmen der Ableitung g‘(a) mit Hilfe der Produktregel:
)1²)(9²8(2
9²)('
)9²8(2
9²)('
'')('
2
1'2)9²(2'
)²4
11()9²(
)²4
11()9²()(
3
43
3
aaa
aag
aaa
aag
uvvuag
avaau
avau
aaag
a) Notwendiges Kriterium: g‘(a)=0
b) Vorzeichenwechselkriterium
Damit ist ein Minimum gefunden Also ist P(1/8)
1
09²801²
0)('
a
aodera
ag
)1²)(9²8(2
9²)(':
3
aa
a
aagAbleitung
9375,99)2('
25,305)5,0('
g
g
Aufgabe G3 (8 Punkte)
Glücksspiel (2 faire Würfel) mit Einsatz 2,-€ Pasch: 5,-€ Differenz von 5: 10,-€ Differenz von 1: 2,-€ (= Einsatz)
Aufgabe G3 (8 Punkte)
Ereignis(Symbol)
Pasch O
∆1□
∆5 ∆
sonst
günstig 11, 22, 33
44, 55, 66
12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 56, 61, 16
16, 61 Rest
Wahrsch.(p)
Gewinn in € 5-2 2-2 10-2 0-236
6
36
236
18
36
10
Ereignis Pasch ∆1 ∆5 sonst
günstig 11, 22, 33
44, 55, 66
12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 56, 61, 16
16, 61 Rest
Wahrsch.(p)
Gewinn in € 3 0 8 -236
6
36
2
36
18
36
10
a) Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn?
Berechnung des durchschnittlichen Gewinns E(X):
€06,018
1)2(
36
188
36
20
36
103
36
6)( XE
Das heißt man macht bei diesem Spiel durchschnittlich 6 Cent Verlust!
b) Bei welchem Einsatz wäre das Spiel fair, also E(X)=0?
92,113
25
0)0(36
18)10(
36
2)(
36
10)5(
36
6
x
xxxxx
Der durchschnittliche Gewinn wird durch folgende Gleichung berechnet:
Der Einsatz müsste als ungefähr 1,92€ betragen, damit das Spiel fair ist.
Ereignis Pasch ∆1 ∆5 sonst
günstig 11, 22, 33
44, 55, 66
12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 56, 61, 16
16, 61 Rest
Wahrsch.(p)
Gewinn in € 5-x x-x 10-x 0-x36
6
36
2
36
18
36
10
Aufgabe G4 (8 Punkte)
Definiert wurde folgende Multiplikation:
Aufgabe G4 (8 Punkte)
),(:),(),( bcadbdacdcba
)0,0(
)343)4(,343)4(()3,3()4,4(
)1,2(
)0)2(11,1)2(01()1,0()2,1(
II
I
Wie muss (x,y) gewählt werden, damit für alle (a,b) mit a²≠b² gilt, dass:
ayb
aaxII
abyaxI
b
abaybxII
abyaxI
giltbayxbai
²
?),(),(),()(
III
0
0)²
(
y
yb
ab
1
0
x
abaxIin
Wie muss (x,y) gewählt werden, damit für alle (a,b) mit a²≠b² gilt, dass:
0²)²(0
²
0²
²
0
1
?)0,1(),(),()(
ybaII
bybabxI
IIIyaabxII
bybabxI
aaybxII
bbyaxI
giltyxbaii
²²
²²
ba
axIin
ba
byII
EinzelwettbewerbEinzelwettbewerb
Aufgabe E1 (8 Punkte)
Wie groß sind
Länge und Breite
des Rechtecks?
1) Berechnung der Länge des Rechtecks:
Die Länge des Rechtecks entspricht 4 mal dem Radius
2) Berechnung der Breite des Rechtecks:
Wir fügen 2 Dreiecke ein:
2) Berechnung der Breite des Rechtecks:
Wir fügen 2 Dreiecke ein:
Diese sind nach SsW kongruent.
Also gilt:
DGDF
2) Berechnung der Breite des Rechtecks:
Analog folgt:
rHB
istDabei
GBHB
3
2) Berechnung der Breite des Rechtecks:
Mit Hilfe des Satz des Pythagoras gilt:
rxalso
rxrrx
2
)²3()²4()²(
Für die Breite des Rechtecks ergibt sich damit 3r
„Im Jahre 2010 sind beide Töchter so alt, wie die Quersumme ihrer Geburtsjahre!“
Wie alt sind die beiden Töchter?
Aufgabe E2 (8 Punkte)
1) Geburtsjahr der jüngeren Tochter
Das Geburtsjahr der jüngeren Schwester sei angenommen 200a:
4
82
210
200020102
)2000(2010002
a
a
aa
aa
aa
Somit ist die jüngere Schwester 2004 geboren!
2) Geburtsjahr der älteren Tochter
Für das Geburtsjahr der älteren Schwester kommen nur die 80er oder 90er Jahre in Frage:
Also muss das Geburtsjahr der älteren Tochter 19ab sein!
)1991192010(
2819199
)1983282010(
2718198
)1983272010(
2617197
möglichwäre
JahreAltermögliches
möglichwäre
JahreAltermögliches
aber
JahreAltermögliches
2) Geburtsjahr der älteren Tochter
Das Geburtsjahr der älteren Schwester sei angenommen 19ab:
Wir verwenden nun:
2
11100
111002
100211
10100
109001000201010
)109001000(201091
ab
ab
ba
baba
baba
baba
8,8 aalsoseingerademussaunda
TochterälterediefürrGeburtsjahdassichergibtAlso
bliefertEinsetzen
1986
6:
Lösung Aufgabe:
Geburtsjahr Alter 2010
Quersumme
Ältere Tochter
1986 24 24
Jüngere Tochter
2004 6 6
Für jede reelle Zahl z sei [z] die größte ganze Zahl kleiner oder gleich z.
Aufgabe E3 (8 Punkte)
zzz][
Zeichnen Sie im KOS alle Punkte (x/y), für die [x]² + [y]² = 4 gilt!
Zeichnen Sie im KOS alle Punkte (x/y), für die [x]² + [y]² = 4 gilt
[1;0[[1;2[ yundx
[1;2[[1;0[ yundx
(i) [2]² + [0]² = 4
(ii) [-2]² + [0]² = 4
(iii) [0]² + [2]² = 4
(iv) [0]² + [-2]² = 4
[3;2[[1;0[ yundx
[1;0[[3;2[ yundx
SchnelligkeitswettbewerbSchnelligkeitswettbewerb
Wie lang ist der Weg des Lichtstrahls?
Aufgabe H1 (3 Punkte)
Lösung:
• Reflexionsgesetz: Einfallswinkel =Reflexionswinkel
Weg des Lichts = Strecke P‘Q‘
61
)²32()²24(
²²''
xyQP
Rechung:
Aufgabe H2 (3 Punkte)
Lösung:
Mit istBAC:
Lösung:
Mit istBAC:
Lösung:
Mit istBAC:
Lösung:
Mit istBAC:
Lösung:
Mit istBAC:
Lösung:
Mit istBAC:
Lösung:
Mit istBAC:
10
1803140
:ABCDreieck Betrachte
Aufgabe H3 (3 Punkte)
Lösung:
Damit f(g(x)) = x gilt, muss g(x)=y die Umkehrfunktion von f(x)
sein.
23
4
4)23(
423
243
43
2
x
xy
xxy
xyxy
yxxy
y
yx
:f(x) von ermFunktionst imy undn von x Vertausche
x
xxg
32
4)(
Berechnen Sie die schraffierte Fläche in Abhängigkeit von a und b!
Aufgabe H4 (3 Punkte)
Lösung:
Aufgabe H5 (3 Punkte)
Lösung:
013²
0)]1([)1(1
0
:
aa
aaaaab
abba
abbaIin
1
²²:
ab
babaII
²² babaII
babaI
Lösung:
Für b ergibt sich durch Einsetzen:
1b (1 5)
2
)53(2
1
4
5
2
3
013²
a
aa
Die Seitenflächen eines Quadrats sind 18cm2, 40cm2 und 80cm2.
Wie groß ist sein Volumen?
Aufgabe H6 (3 Punkte)
b
ac
b
ac
Lösung:
I II
III
2IA 18cm a b
2IIA 40cm a c
2IIIA 80cm b c
b
ac
Lösung:
I II
III
bcacab 804018
²²²57600 cba
abc57600³240cmVQ
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