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Institut für PhysikInstitut für PhysikPhysikalisches GrundpraktikumPhysikalisches Grundpraktikum
Einführung in die Messung, Auswertung undEinführung in die Messung, Auswertung undDarstellung experimenteller ErgebnisseDarstellung experimenteller Ergebnisse
in der Physikin der Physik
(Fortsetzung)(Fortsetzung)
Schätzung von Messunsicherheiten für eine einmalige Schätzung von Messunsicherheiten für eine einmalige Messung („Größtfehlerabschätzung“)Messung („Größtfehlerabschätzung“)
Ablesen einer (Analog-) Skale:Vergleich der Lage eines Messpunkts oder eines Zeigers mit den Teilstrichen der Skale; nächst gelegener Teilstrich als Schätz- bzw. Bestwert; geschätzte Unsicherheit mit ± halbe Intervallbreite der feinsten Skalenteilunggrob geteilte Skale → Interpolation der Lage des Zeigers zwischen zwei Teilstrichen; Abschätzung der Zehntelbruchteile; Unsicherheit ± ein ZehntelbruchteilAblesen einer Digitalanzeige:Schätz- bzw. Größtfehler mindestens ±1 LSD (vgl. vorige Vorlesung), häufig Schwankungen des LSD direkt zu beobachten
Abschätzung von Unsicherheiten oft nicht möglich bzw. nicht sachAbschätzung von Unsicherheiten oft nicht möglich bzw. nicht sachgerecht:gerecht:•anstatt einer Einzel- mehrere wiederholte Messungen, die mit den Methoden der mathematischen Statistik untersucht werden können bzw. müssen
•bei Messreihe ein und die selbe Messung unter möglichst identischen Randbedin-gungen „genügend oft“ (i.d.R. mindestens 6 Messungen) zu wiederholen
Zufällige MessabweichungenZufällige MessabweichungenMesswiederholungen (selbst unter identischen Bedingungen):liefern i. A. nicht immer denselben Messwert, sondern haben Abweichungen!
Begriff „ zufällige Messabweichungen“:wenn unterschiedlich in ihrer Größe und Richtung → zufällige MessabweichungenEigenschaft "zufällig" = Ursachen nicht im Einzelnen zu verfolgen, stochastisches (d.h. dem Zufall unterworfenes) Verhalten der Messergebnisse → Messwerte haben Wahrscheinlichkeitscharakter
Ursachena) statistische Messgrößestochastischer Charakter von gemessenen Ereignissen (z.B. radioaktiver Zerfall, „Rauschen“ in elektrischen Signalen)b) Unzulänglichkeit des Experiments oder ExperimentatorsSchätzungen und Interpolationen auf Messskalen (Achtung: Parallaxenfehler) Messen einer Zeitdifferenz mit der Stoppuhr mit Reaktionszeit Längenmessung mit Maßband unterschiedlicher Verbiegungc) äußere Einflüssezufällige unvorhersehbare äußere Einflüsse (z.B. wechselnde Luftströmungen, kurzzeitige Temperaturschwankungen etc.)
Aufgaben der mathematischen StatistikAufgaben der mathematischen Statistik
Als mathematische Statistik bezeichnet man das Teilgebiet der Statistik, das sich mit Analyse von Daten unter mathematischen Modellen beschäftigt. Gemeinsam mit der Wahrscheinlichkeitstheorie definiert die mathematische Statistik das mathematische Teilgebiet der Stochastik. Das zentrale Gebiet der mathematischen Statistik ist die Schätztheorie, mit der geeignete Schätzverfahren entwickelt werden. Die Eigenschaften der resultierenden Schätzfunktionen ermöglichen hierbei mehr oder weniger präzise Schätzungen. So werden Bereichsschätzungen von Parametern der Grundgesamtheit durch Konfidenzintervalle ermittelt. Konkrete Vermutungen über die Grundgesamtheit können durch geeignete statistische Tests bestätigt oder falsifiziert werden.
Zielsetzungen:•empirische Verteilung der Merkmalswerte der Stichprobe → Abschätzung bzw. Bestimmung der theoretischen Verteilung der Grundgesamtheit•Bestimmung der Parameter der theoretischen Verteilung mit optimaler Anpassung für die Stichprobenwerte•Ermittlung der Parameterabhängigkeit für die Verteilung•Untersuchung der Korrelation zwischen verschiedenen Merkmalen gleicher Objekte oder zwischen dem gleichen Merkmal verschiedener Objekte•Entwicklung von Verfahren zur empirischen Bestimmung von „möglichst guten“ Näherungswerten und ihrer Streuung bzw. (statistischen) Unsicherheit
Grundbegriffe der StatistikGrundbegriffe der Statistik
Mathematische Statistik:Untersuchung zufälliger Ereignisse bezüglich eines oder mehrerer quantitativ erfassbarer Merkmale; Zuordnung von Zahlenwerten als sog. Zufallsvariable
Zufallsvariable (als quantitatives Merkmal eines zufälligen Ereignisses)
Zufallsvariablemit diskreten Merkmalswerten(z. B. Zerfallsrate eines Isotops)
Zufallsvariablemit kontinuierlichen Merkmalswerten(z. B. Lebensdauer von Ladungsträgern)
Grundgesamtheit:Gesamtheit aller möglichen Realisierungen des zufallsbedingten Merkmals; kann endlich viele oder unendlich viele Elemente enthalten
GrundgesamtheitStichprobe(endlich)
„Urliste“
HäufigkeitsverteilungHäufigkeitsverteilung
Erhebung einer Stichprobe:Umfang N bezüglich des Merkmals x → Tabelle der beobachteten Merkmalswerte xi("Urliste der Elemente")Häufigkeitsverteilung:Messwerte streuen → Veranschaulichung mit Häufigkeitsverteilung, d.h. Auftragung der Anzahl ni der in einem Intervall ∆x gefundenen Messwerte („absolute Häufigkeit“) über Messwerten xi
relative Häufigkeit:
Normierte Verteilung:
fi(xi)·∆x ist die Wahrscheinlich-keit, ein Messergebnis xi im Intervall ∆x zu finden
(statistische Aussage)
( ) ii i
nf xN
=
1
( ) 1N
i ii
f x=
=∑
hier absolute Häufigkeit aufgetragen
?
Anmerkungen zur KlasseneinteilungAnmerkungen zur Klasseneinteilung
Allgemein:Bereich möglicher Merkmalswerte → Einteilung in M gleichgroße Intervalle der Breite ∆x (Klassen)Mitte der Klasse → möglichst einfache Zahl xm (Klassenmitte) mit m = 1..MErmittlung der absoluten Häufigkeit der Merkmalswerte im Intervall (xm-∆x/2; xm+∆x/2)auf Klassengrenzen entfallende Merkmalswerte je zu 1/2 der rechten und der linken Klasse zugeordnet
Kriterien:nicht zu eng (zu geringe Häufigkeiten → große Schwankungen; d.h. zu feine
Diskretisierung)nicht zu weit (drohender Informationsverlust; zu grobe Diskretisierung)
Empfehlungen für sinnvolle Klassenzahl M und Klassenbreite ∆x:M ≈ 5·lg N und ∆x ≈ (xmax-xmin)/N
Generelle Anmerkung:physikalische Größen oft kontinuierlich verteilt; Mess- und Ablesegenauigkeit aber begrenzt → Diskretisierung der Messergebnisse, z.T. mit gleichem ZahlenwertDurch die Mess- und Ablesegenauigkeit feinste Klasseneinteilung gegeben, eine gröbere aber meistens sinnvoller!
SummenhäufigkeitsverteilungSummenhäufigkeitsverteilung
Berechnung aus der relativen Häufigkeitsverteilung: ( ) ( )i j
j i ix x
F x f x≤
= ∑
Summation der relativen Häufigkeiten bis zum Wert xj → statistische Interpretation als die Wahrscheinlichkeit, einen Wert xi im Intervall (0;xj) zu finden
1
F(x1)
F(x2)
Normierungseigenschaft
statistische Interpretation von F(x1)-F(x2) als Wahrscheinlichkeit, einen Wert xi im Intervall (x1,x2) vorzufinden
Übergang zu kontinuierlichen VerteilungenÜbergang zu kontinuierlichen VerteilungenGrenzwertbetrachtung:unendlich große Stichprobe N → ∞unendlich große Klassenzahl M → ∞infinitesimal feine Intervalleinteilung ∆x → 0 (Übergang zum Differential dx)
Übergang von diskreten Verteilungen/Funktionen zu kontinuierlichen!
→ f(x) als Wahrscheinlichkeitsdichte → F(x) als integrale Wahrscheinlichkeitsdichte
Wahrscheinlichkeitsverteilungen: ParameterWahrscheinlichkeitsverteilungen: Parameter
Definition des Mittelwertes:erstes Moment einer Verteilung, beschreibt ihre Lage
Definition der Varianz:zweites Moment einer Verteilung, beschreibt ihre Breite
Definition der Standardabweichung:direktes Maß für die Breite der Verteilungsfunktion, d.h. die Streuung der Werte
Beispiele für VerteilungsfunktionenBeispiele für Verteilungsfunktionen
Maxwell-BoltzmannscheGeschwindigkeitsverteilung
Verteilungen in der (statistischen) PhysikVerteilungen in der (statistischen) Physik
Orbitale von Elektronen
Gauß- oder Normalverteilung
Gleichverteilung Poissonverteilung
Geometrische Verteilung
Binomial- bzw. Bernoulliverteilung Hypergeometrische Verteilung
Plancksches
Strahlungsgesetz Fermiverteilung
Zentraler Grenzwertsatz der StatistikZentraler Grenzwertsatz der Statistik
Die Verteilungen der Summen von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen streben mit wachsendem Stichprobenumfang gegen die Gaußsche Normalverteilung. (Faustregel: bei mehr als 30 stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen schon sehr gute Näherung)
Diese Regel ermöglicht zum einen die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten unbekannt verteilter Zufallsvariablen, zum anderen kann die Bestimmung kompliziert zu berechnender Wahrscheinlichkeitswerte mit der Normalverteilung approximiert werden.
GaußGauß-- oder Normalverteilungoder Normalverteilung
f(x)
xx-s x+sx
2
2
1 ( )( ) exp22x xf x
ssπ⎛ ⎞−
= ⋅ −⎜ ⎟⋅⋅ ⎝ ⎠
Eigenschaften:•Maximum beim Mittelwert (Erwartungswert), Symmetrie bezüglich Mittelwert •Konvergenz gegen Null im Unendlichen•Wendepunkte für Mittelwert ± Standardabweichung•Breite durch Standardabweichung bestimmt•Normierung auf 1 (vgl. statistische Interpretation!) 99,7%±3s
95,4%±2s
68,3%±s
WahrscheinlichkeitIntervall um Mittelwert
Normierungseigenschaft Normierungseigenschaft der Normalverteilungder Normalverteilung
Die Parameter „Mittelwert“ und „Standardabweichung“ ermöglichen es, dassunterschiedliche Modellverteilungen durch die Gaußverteilung beschrieben werden können.
Gaußsche FehlerfunktionGaußsche Fehlerfunktion
Eigenschaften:•Statistische Interpretation als Wahrscheinlichkeit für Wert im Intervall •Monotonieverhalten•Wendepunkt für Mittel- bzw. Erwartungswert
Empirischer Zugang für Parameter der Empirischer Zugang für Parameter der NormalverteilungNormalverteilung
Definition des Mittelwertes:
Definition der Standardabweichung:
Definition des Vertrauensbereiches:
Beispiel: Versuch „F1 Fehlerverteilung“Beispiel: Versuch „F1 Fehlerverteilung“
Erzeugung von Zufallszahlen im Intervall (0;5) mit Rundung auf zwei Nachkommastellen
Projektion der hier gezeigten Skale im Hörsaal
Aufgabe für Studierende: Schätzung von insgesamt 100 Werten auf 0,01 genau;mit anschließender statistischer Auswertung der Abweichungen zwischen Schätzwertund (hier „ausnahmsweise“ bekanntem!) wahrem Wert
Reale Ergebnisse aus studentischen DatenReale Ergebnisse aus studentischen Daten
Abweichung virelative Häufigkeit
h(vi)Summenhäufigkeit
H(vi)
-0.5 0.01 0.01-0.4 0.03 0.04-0.3 0.04 0.08-0.2 0.10 0.18-0.1 0.26 0.44
0 0.25 0.690.1 0.17 0.860.2 0.08 0.940.3 0.02 0.960.4 0.04 1.00
0.00
0.10
0.20
0.30
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4Abweichung vi
rel.
Häu
figke
it h(
vi)
Datensatz
Normalverteilung
0
0.5
1
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
Abweichung vi
Sum
men
häuf
igke
it H
(vi) Datensatz
Nornalverteilung
Vorzeichentest: |n+ − n−| = |31 − 44| = 13„erlaubt“: 10 = √100 = √n→ klare Asymmetrie der Verteilung mit Verschiebung in negativer RichtungAnmerkung: 100 Werte sind zu wenig!!!(n → ∞ für Grenzübergang)Dieser Studi „untertreibt“ offenbar lieber!
Darstellung des Messergebnisses einer Darstellung des Messergebnisses einer direkt gemessenen physikalischen Größedirekt gemessenen physikalischen Größe
Messergebnis = (Mittelwert Messergebnis = (Mittelwert –– Korrektur syst. Abweichungen) Korrektur syst. Abweichungen) ±± MessunsicherheitMessunsicherheit
Vgl. vorige VorlesungVerschiedene Beiträge:
systematische und zufällige AbweichungenWie zusammenzufassen?
statistische Behandlung
??
Systematische und zufällige Messabweichungen sind statistisch nichtkorreliert, d.h. unabhängige Größen. Eine gegenseitige Aufhebung beider Arten von Messabweichungen kann zwar nicht vorausgesetzt werden, ist aber möglich.
Bildhafter Vergleich mit Vektoradditionsy
st. M
A
zuf. MA
res. MA
Pythagoreische Summe der Beträge ≤ Summe der Beträge
Ermittelung des Messergebnisses einer Ermittelung des Messergebnisses einer direkt gemessenen physikalischen Größedirekt gemessenen physikalischen Größe
Messung
Aufnahme der n Einzelmesswerte xi (i=1..n)
Mittelwert
∑= ixn
x 1
Grobe FehlerMessabweichungen
Zufällige Messabweichungen
Systematische Messabweichungen
Korrektur eC
Restfehler eS
n≥6 Rechnung
∑ −==
)1(
2
nnvse i
Z
n<6 Abschätzung
xeZ ∆≅
korrigiertes ErgebnisCC exx +=
Messunsicherheit
⎪⎩
⎪⎨⎧
<∀∆+=
≥∀+=+<+=
6622
nxeunseu
eeeeus
szszs
Vollständiges Messergebnisuxx C ±=
Fortpflanzung der Unsicherheiten für eine Fortpflanzung der Unsicherheiten für eine mittelbar gemessene physikalische Größemittelbar gemessene physikalische Größe
G = G = G(x,y,zG(x,y,z…)…)Annahme der Unabhängigkeit der einzelnen Größen (Variablen) = keine Korrelation→ gegenseitige Aufhebung der einzelnen Beiträge zur gesamten Abweichung möglich
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......G G GG x y zx y z
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = ± ∆ + ∆ + ∆ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠....G G GG x y z
x y z⎧ ⎫∂ ∂ ∂
∆ ± ∆ + ∆ + ∆ +⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎩ ⎭
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