Kapitel 18 Dynamische Modelle: Schätzen der Parameter

Kapitel 18

Dynamische Modelle: Schätzen der Parameter

Hackl, Einführung in die Ökonometrie

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AR(1)-Modell: Schätzer für

Für das AR(1)-Modell Yt = Yt-1+ut gelte: || < 1, ut ist Weißes

Rauschen

OLS-Schätzer:

Aus Yt = iiut-i sieht man, dass der Erwartungswert von tYt-iut nicht den Wert Null hat:

Der OLS-Schätzer für ist nicht erwartungstreu!

Es lässt sich zeigen: der OLS-Schätzer für ist konsistent Ist asymptotisch normalverteilt

t t

t tt

t t

t tt

Y

uY

Y

YY21

1

21

1ˆ

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Schätzverfahren für dynamische ModelleThemen sind das Schätzen der Parameter folgender Modelle: DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen ADL-Modell Modell mit Koyck‘scher Lagstruktur

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DL(s)-Modell

Probleme beim Schätzen der Koeffizienten des Modells

Yt = + 0Xt + … + sXt-s + ut

sind: „Verlust von Beobachtungen“: es stehen nur n - s Beobachtungen

zur Verfügung Multikollinearität Ordnung s (meist) nicht bekannt

Zusätzliches Problem kann sein: korrelierte Störgrößen, z.B. AR(1)-Prozess

ut = ut-1+ t mit Weißem Rauschen (Varianz 2)

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DL(s)-Modell mit korrelierten StörgrößenModell:

Yt = + 0Xt + … + sXt-s + ut

mit ut = ut-1+ t (: Weißes Rauschen)

Alternative Darstellungen (mit Störgrößen ) ADL-Form

Yt = + Yt-1 + 0Xt + … + s+1Xt-s-1 + t

mit = (1 – ), 0 = 0, 1 = 1 – 0, …, s+1 = – s

ADL(1,s+1)-Modell Modell in Quasi-Differenzen:

Y*t = + 0X*t + … + sX*t-s + t

mit Y*t = Yt – Yt-1, X*t = Xt – Xt-1

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Beispiel: DL(1)-Modell mit korrelierten StörgrößenModell

Yt = + 0Xt + 1Xt-1 + ut

mit Störgrößen ut = ut-1+ t (: Weißes Rauschen) ADL(1,2)-Form:

Yt = + Yt-1 + 0Xt + 1Xt-1 + 2Xt-2 + t

mit = (1 – ), 0 = 0, 1 = 1 – 0, 2 = – 1

ADL(1,s+1)-Modell Modell in Quasi-Differenzen:

Y*t = + 0X*t + 1X*t-1 + t

mit Y*t = Yt – Yt-1, X*t = Xt – Xt-1

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Beispiel: Konsumfunktion

Datensatz DatS04: Konsum und Einkommen für Österreich (1976:1 bis 1995:2)

In logarithmierten Differenzen:

Ĉ = 0.009 + 0.621Y

mit t(Y) = 5.94, adj.R2 = 0.326; r = 0.344

ADL(1,1)-Form:

Ĉ = 0.004 + 0.345C-1 + 0.622Y – 0.131Y-1

mit t(C-1) = 2.96, t(Y) = 4.81, t(Y-1) = -0.87, adj.R2 = 0.386; r = 0.024

Quasi-Differenzen-Form (C* = C – 0.344C-1, Y* = …):

Ĉ* = 0.006 + 0.651Y*

mit t(Y*) = 5.42, adj.R2 = 0.288; r = 0.051

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DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen: SchätzerEigenschaften der OLS-Schätzer: DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen:

erwartungstreu und konsistent nicht effizient; verzerrte Schätzer der Standardfehler

(unterschätzt, wenn > 0) ADL-Form:

Störgrößen erfüllen Voraussetzungen der OLS-Schätzung, verzerrte, aber konsistente Schätzer

nicht-lineare Normalgleichungen ADL-Form, Quasi-Differenzen-Form:

Störgrößen erfüllen Voraussetzungen der OLS-Schätzung nicht-lineare Normalgleichungen

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Schätzen der ADL-Form

Yt = + Yt-1 + 0Xt + … + s+1Xt-s-1 + t

Konsequenzen des Summenden Yt-1: OLS-Schätzer sind verzerrt (siehe oben)

Alternative: Instrumentvariablen-Schätzung konsistent von der Wahl der Instrumente abhängig

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Beispiel: DL(0)-Modell

Modell:

Yt = + Xt + ut

mit ut = ut-1+ t (Weißes Rauschen)

ADL(1,1)-Modell:

Yt = + Yt-1 + Xt + 1Xt-1 + t

mit = (1 – ), 1 = -

IV-Schätzung

1. Hilfsvariable:

Ŷt = c0 + c1Xt-1 + c2Xt-2 + …

Ordnung der Lagstruktur: z.B. AIC

2. Ersetzen von Yt-1 im ADL(1,1)-Modell durch Ŷt-1 und OLS-Anpassung

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Schätzen der Quasi-Differenzen-FormModell:

Y*t = + 0X*t + 1X*t-1 + t

mit Y*t = Yt – Yt-1, X*t = Xt – Xt-1

Berechnung der Quasi-Differenzen: Voraussetzung ist ein Schätzer für

Zweistufiges Verfahren (vergl. Cochrane-Orcutt-Schätzer, FGLS-Schätzung)

1. OLS-Schätzer für , Berechnung der Quasi-Differenzen

2. OLS-Schätzer der Koeffizienten der Quasi-Differenzen-Form

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Beispiel: DL(1)-Modell

Modell:

Yt = + Xt + Xt-1 + ut

mit ut = ut-1+ t (Weißes Rauschen)

Cochrane-Orcutt-Schätzer:

1. OLS-Schätzer a, b0, b1 (unter Annahme, dass = 0); Berechnung der Residuen et = Yt – (a + b0Xt + b1Xt-1) und

Berechnung der Quasi-Differenzen Y*t = Yt – rYt-1, Xt* = …

2. OLS-Schätzung der Koeffizienten aus

Y*t = + X*t + X*t-1 + t

n

t t

n

t tt

e

eer

2

21

2 1

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Schätzen von

Residuen zum Berechnen der Schätzfunktion

OLS-Residuen IV-Residuenr ist konsistenter Schätzer

Iteratives Berechnen: 1. Schätzung der Koeffizienten unter der Annahme = 0,

Berechnen von r(1) und der Quasi-Differenzen2. Schätzung der Koeffizienten der Quasi-Differenzen-Form,

Berechnen von r(2) und verbesserter Quasi-Differenzen 3. Wiederholung, bis Abbruchkriterium erfüllt ist

n

t t

n

t tt

e

eer

2

21

2 1

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ADL-Modell: korrelierte StörgrößenADL(1,1)-Modell

Yt = + Yt-1 + 0Xt + 1Xt-1 + ut

mit ut = ut-1 + t

Verallgemeinerung der ADL-Form eines DL-Modells mit korrelierten Störgrößen; schwächere Eigenschaften (z.B.: Schätzer r für ist nicht konsistent)

Schätzverfahren:

1. IV-Schätzung

2. FGLS-Schätzung

3. Direktes Schätzung (nicht-lineare Optimierung)

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Konsumfunktion, Forts.

ADL(1,1)-Form:

Ĉ = 0.004 + 0.345C-1 + 0.622Y – 0.131Y-1

mit t(C-1) = 2.96, t(Y) = 4.81, t(Y-1) = -0.87, adj.R2 = 0.386; r = 0.024

Bei korrelierten Störgrößen: Schätzer sind verzerrt und nicht konsistent!

Hilfsvariable: CIV = 0.008 + 0.545Y + 0.127Y-1

IV-Schätzung

Ĉ = – 0.011 + 2.149CIV-1 + 0.504Y – 1.197Y-1

mit t(C IV0-1) = 2.11, t(Y) = 3.79, t(Y-1) = -1.88, adj.R2 = 0.342

Hackl, Einführung in die Ökonometrie

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IV-Schätzung

ADL(1,1)-Modell

Yt = + Yt-1 + 0Xt + 1Xt-1 + ut

mit ut = ut-1 + t ( Weißes Rauschen)

Instrumente: X-j, j > 1

Verfahrens-Schritte:

1. Bestimmen der Hilfsvariablen

Ŷt = c0 + c1Xt-1 + c2Xt-2 + …

mit geeigneter Ordnung der Lagstruktur

2. Ersetzen von Yt-1 durch Ŷt-1; OLS-Anpassung

IV-Schätzer sind nicht erwartungstreu, aber konsistent; auch asymptotisch nicht effizient

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Konsumfunktion, Forts.

DL(1)-Modell:

Ĉ = 0.007 + 0.545Y + 0.127Y-1

mit t(Y) = 4.07, t(Y-1) = 0.97, adj.R2 = 0.316; r = 0.276

FGLS-Schätzung:

Quasi-Differenzen-Form (C* = C – 0.276C-1, Y* = …):

Ĉ* = 0.006 + 0.634Y* + 0.020Y*-1

mit t(Y*) = 5.08, t(Y*-1) = 0.16, adj.R2 = 0.282

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Nicht-lineare OLS-Schätzung

ADL(1,0)-Modell

Yt = Yt-1 + Xt + ut

mit ut = ut-1 + t

Einsetzen liefert

Yt = ()Yt-1 – Yt-2 + Xt – Xt-1 + t

Gauß-Newton Algorithmus: Minimiert die Summe der quadrierten Residuen

1. Wahl von Startwerten für , , 2. Iteration von (a) Berechnen der Residuen, (b) Berechnen der

Korrekturen aus Regressionen der Anstiege, (c) Korrektur der Parameter

3. Wiederholen von 2., bis Korrekturen sehr klein

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Koyck‘sche Lagstruktur: Schätzen der ParameterDL (distributed lag)- oder MA (moving average)-Form des Modells

Yt = + iiXt-i + ut

Schätz-Problem: Historische Werte X0, X-1, X-2,… sind unbekannt! Näherungsweise äquivalentes Modell ist

Yt = (1-)(Xt + Xt-1 + … + t-1X1 + *t + ut

mit * = (1-)(X0 + X-1 + … ) als weiterem Parameter (siehe unten)

AR (autoregressive)-Form

Yt = + Yt-1 + Xt + vt

mit vt = ut – ut-1: ADL(1,0)-Modell mit korrelierten Störgrößen Schätz-Problem: nicht-lineare Normalgleichungen (Gauss-Newton)

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Koyck‘sche Lagstruktur: Schätzen der DL-Form Yt = + iiXt-i + ut

Näherungsweise äquivalentes Modell ist

Yt = (1-)(Xt + Xt-1 + … + t-1X1 + *t + ut

= + 0Wt + *t + ut

mit

0 = (1-)

* = (1-)(X0 + X-1 + … )

Wt = Xt + Xt-1 + … + t-1X1

Nicht-lineares Schätzproblem!

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Nicht-lineare OLS-Schätzung

Iteratives Verfahren:

1. Wahl von drei Werten von ; für jedes : Berechnen von Wt = Xt + Xt-1 + … + t-1X1 und t

OLS-Anpassung liefert Schätzer für , 0, * Berechnen der Summe der quadrierten Residuen

2. Ausscheiden des mit größter Summe der quadrierten Residuen; neues : Mittelwert der anderen beiden , Wiederholen des Schrittes 1.

3. Abbruch, wenn mit kleinster Summe der quadrierten Residuen gefunden

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Tests auf Autokorrelation

Sind allgemeiner Hinweis auf Missspezifikation

Durbin-Watson-Test hat reduzierte Macht bei autoregressivem Modell

Tests auf Autokorrelation bei autoregressiven Modellen: Durbin‘s h LM-Test von Breusch-Godfrey andere

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Durbin‘s h

ADL(1,0)-Modell

Yt = Yt-1 + 0Xt + ut

mit ut = ut-1 + t (: Weißes Rauschen)

Nullhypothese H0: = 0

d: Durbin-Watson-Statistik

Unter H0: h ~ N(0,1) (asymptotisch, näherungsweise bei großem n)

}ˆ{1)5.01( nVarndh

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Breusch-Godfrey-Test

ADL(1,0)-Modell

Yt = Yt-1 + 0Xt + ut

mit ut = ut-1 + t (: Weißes Rauschen)

Nullhypothese H0: = 0

1. Regression der OLS-Residuen et auf Yt-1, Xt und et-1; Re2

2. Teststatistik LM(A) = n Re2

Unter H0: LM(A) ~ (1) (asymptotisch, näherungsweise bei großem n)