Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Lehrplan Mathematik Jgst. 8

http://isb.contentserv.net/g8/

http://www.isb.bayern.de

Kürzungen

Bruchungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen

Vierecke, „Beweistechniken“

Vektorbegriff

Tangentenkonstruktionen; Sehnenviereck; Tangentenviereck; Umfangswinkel

Flächenmessung bei Dreiecken und Vierecken

Einführung in die Raumgeometrie, Schrägbild

…

Inhalte

8.1 Funktionale Zusammenhänge (ca. 41 Std.) Proportionalität (ca. 9 Std.) Funktion und Term (ca. 9 Std.) Lineare Funktion (ca. 13 Std.) Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.)

8.2 Stochastik: Laplace-Experimente (ca. 12 Std.)

8.3 Funktionale Zusammenhänge: elementare gebrochen-rationale Funktionen (ca. 16 Std.)

8.4 Strahlensatz und Ähnlichkeit (ca. 15 Std.)

M 8.1.1 Proportionalität (ca. 9 Std.)

charakteristische Eigenschaften direkt und indirekt proportionaler Größen in Fachsprache beschreiben

Anwendung der neuen Kenntnisse bei Schlussrechnung sowie bei naturwissenschaftlichen Fragestellungen

experimentell Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Durchmesser ermitteln

direkte Proportionalität, dabei Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Radius

indirekte Proportionalität

M 8.1.2 Funktion und Term (ca. 9 Std.)

unterschiedlichste funktionale Abhängigkeiten (z. B. Fieberkurven, Klimadiagramme, Handy-Tarife)

Unterschiedlichste Darstellungsformen, z. B. Tabellen, Diagramme, Terme

Beispiele verschiedenartiger Funktionen

spezielles Bsp. für nichtlinearen Zusammenhang: Kreisinhalt (anschauliche Herleitung)

Zusammenhang zwischen Term und Graph (Funktionsplotter)

Vertiefen von Rechenfertigkeiten (Werte von Bruchtermen, Wertetabellen)

M 8.1.3 Lineare Funktion (ca. 13 Std.)

Anknüpfungen an direkte Proportionalität und Alltag

Vertrautwerden mit diesem grundlegenden Funktionstyp

Bestimmung von Nullstellen führt auf das Lösen von Gleichungen

Definition der linearen Funktion, Interpretation der Parameter

Arbeiten mit linearen Funktionen und ihren Graphen Lösen linearer Ungleichungen (rechnerische Lösung und

graphische Veranschaulichung)

M 8.1.4 Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.)

Schüler erkennen: Kenntnisse über lineare Funktionen bei der Lösung hilfreich

Bearbeitung inner- und außermathematischer Fragestellungen

graphische und rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten

Anwendung in Sachzusammenhängen- mind. 1 rechnerisches Lösungsverfahren

- kein Schwerpunkt auf „technischer Rechenfertigkeit“

M 8.1.4 Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.)

Schüler erkennen: Kenntnisse über lineare Funktionen bei der Lösung hilfreich

Bearbeitung inner- und außermathematischer Fragestellungen

graphische und rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten

Anwendung in Sachzusammenhängen1. Gleichungen mit zwei Variablen

2. Ungleichungen mit zwei Variablen*

3. Gleichungssysteme mit 2 Variablen

4. Einsetzungsverfahren

5. Gleichsetzungsverfahren

6. Additionsverfahren

7. Sachaufgaben

8. Gleichungssysteme mit 3 Variablen*

M 8.2 Stochastik: Laplace-Experimente (ca. 12 Std.)

Anknüpfen an Unterstufe: Zufallsexperimente, absolute und relative Häufigkeit

intuitiver, statistischer „Wahrscheinlichkeitsbegriff“ Fachsprache Baumdiagramme und geschicktes Abzählen Einsicht, dass eine umfassendere Formulierung des

Wahrscheinlichkeitsbegriffs nötig ist

Ergebnis, Ergebnisraum, Ereignis Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, Zählprinzip Abgrenzung des Begriffs Laplace-Experiment durch Beispiele

M 8.3 Funktionale Zusammenhänge: elementare gebrochen-rationale Funktionen (ca. 16 Std.)

Anknüpfen an indirekte Proportionalität

Schnittpunktbestimmungen führen auf Bruchgleichungen (flexibel lösen)

Rechnen mit Bruchtermen

Rechnen mit Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Beispiele gebrochen-rationaler Funktionen einfache Bruchgleichungen und Bruchterme, Auflösen von

Formeln Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

M 8.4 Strahlensatz und Ähnlichkeit (ca. 15 Std.)

Verbindung von Geometrie und Algebra

Lösen von Bruchgleichungen

Ähnlichkeitsbegriff im Zusammenhang mit dem maßstäblichen Vergrößern und Verkleinern von Figuren; funktionale Zusammenhänge

Strahlensätze Ähnlichkeit von Dreiecken

M 8.1.1 Proportionalität - Palma

Aufgabe: Für eine Klassenfahrt wird ein Reisebus zu einem Festpreis gebucht. Wenn alle 30 Schüler mitfahren, muss jeder 20 EUR bezahlen. Wie viel muss jeder bezahlen, wenn nur 25 Schüler mitfahren?(mathematik lehren, Heft 118)

M 8.1.1 Proportionalität - NICHT

200 Arbeiter arbeiten an 225 Tagen jeweils 8 h, nach 90 Tagen wird 1/5 der Arbeiter abgezo-gen, der Rest arbeitet dafür eine Stunde mehr. a)Wann wird der Tunnel fertig?b)Wie viele Arbeiter hätte man nach 90 Tagen abziehen können, damit der Tunnel nach 290 Tagen fertig wird, wenn die verbleibenden Arbeiter täglich 6 h arbeiten?

Der Kreisumfang in Jahrgangsstufe 8

const. d

U

aus http://modellversuch-mathematik.he.schule.de/

Funktionale Zusammenhänge in Jahrgangsstufe 8

SchuhgrößeLehrer

Funktionale Zusammenhänge in Jahrgangsstufe 8

.1x

2 x:g und 10,5x x:f

Funktionen die sind Gegeben

a) Gib den Funktionsterm von f und Gleichung von g an.

b) Liegt A(-9 / -5,5) auf Gf?

c) Zeichne Gf und Gg in ein KOS.

d) Für welche x-Werte sind die Funktionswerte von f kleiner als Null? Was bedeutet dies für den Graphen Gf?

Vertiefen der Rechenfertigkeit in M 8.1.2

Zieltext „M 8.1.2 Funktion und Term

„... vertiefen sie ihre Rechenfertigkeit auch anhand einfacher Bruchterme …“

An nicht zu komplexe Beispiele folgender Art ist bei der Berechnung von Termwerten gedacht:

xxx

1xx1

2xx4

2

22

;;

Der Kreisinhalt in Jahrgangsstufe 8

2rrArA )(:

Der Kreisinhalt in Jahrgangsstufe 8

Zusammenfassung: Kreis in Jgst. 8 (ca. 4 Std.)

experimentell Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Durchmesser ermitteln:

Flächeninhalt als Beispiel für eine nicht-lineare Funktion

keine exakte Herleitung von π

keine Formeln für Bogenmaß und Kreisteile, nur intuitiv erkennbare Bruchteile: z. B. ¼, 1/6, 1/8

Wiederaufgreifen in Jgst. 9 und 10 explizit im LP verankert

const. d

U

2rrArA )(:

Lineare Funktion in Jahrgangsstufe 8

t

02x2

1

02x2

1

2x2

1y

Ergebnisse BMT 2002

25,9 %, 28,9 %

Stochastik in Jahrgangsstufe 8

Stochastik in Jahrgangsstufe 8

Stochastik in Jahrgangsstufe 8

Das Glücksrad wird einmal gedreht. Klaus, Peter und Irmi geben folgende Ergebnisräume an:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},{rot, grün, blau},{gerade Ziffer, ungerade Ziffer}.

Beurteile, ob man mit diesen Ergebnisräumen Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Formel von Laplace berechnen kann.

1

8

6 5

3

7

2

4

1

a1

3)a(T

a) Berechne T(4), T(-5) und T( 1/2).

b) Welchen Wert der Variablen a darfst du nicht in diesen Term einsetzen?

c) Wo liegen die Zahlen auf dem Zahlenstrahl, die beim Einsetzen möglichst große Termwerte ergeben?

Beispielaufgabe: Bruchterm in Jgst. 7

Vereinfache die beiden Terme, falls dies möglich ist.

a) b)

Begründe, dass die Termwerte von b) nicht größer als 1 werden können, egal welche Zahl man für x einsetzt.

x6x3

x92 2x5

5

Beispielaufgabe: Bruchterme in Jgst. 8

Ergebnisse BMT 2001

56,0 %, 13,6 %, 24,6 %

Beispiele gebrochen-rationaler Funktionen

einfache Funktionen als gebr.-rat. erkennen und zeichnen können (Wertetabelle)

Termbeispiele:

maximal eine Polstelle, keine schiefen Asymptoten

keine Systematik mit Zähler- und Nennergrad

Funktionsplotter zur Visualisierung verwenden, Kurvenverlauf/Eigenschaften des Graphen in einfachen Fällen aus Term begründen

kein Thematisieren des Grenzwertbegriffs, nur aus dem Term und Graph Annäherungen erkennen

22

2

2 x

12,

1x

x2,

x

5,1

2x

4,

2x

4,

3x

x,

x2

1

Gebrochen-rationale Funktionen und Bruchgleichungen

Funktion aus verschiedenen Graphen erkennen

Näherungslösung der Gleichung graphisch bestimmen

x2

1x

x2

11x

Bruchgleichungen

1. Bruchgleichungen, z. B. Schnittpunkt der Graphen von Funktionen mit Term

und

2. Auflösen von Formeln, z. B. Flächenformel Trapez, Linsengleichung

12x

3)x(f

1x

1x)x(g

Bruchgleichungen in Jahrgangsstufe 8 - NICHT

Ergebnisse BMT 2003 - 31,3 %

31,3 %

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten in Jahrgangsstufe 8

2

355

43n3263241

xyx

yx,xx,x9)x3(,a:a,)2(,5,0

Finde alle zueinander äquivalenten Terme:

x10 , x-6 , (x-2)4 , x5 + x5 , (-x)6 , x-8 , x15:x5 , x-22x16 , -x6

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

Christian Scheungrab

Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung, Abt. Gym.

Schellingstr. 155

80797 München

089 – 2170 – 2138

Christian.Scheungrab@isb.bayern.de