Mathematische Begabung und Leistung im...

Mathematische Begabung und Leistung im Mathematikunterricht

Fachdidaktisches Kolloquium

„Probleme des Mathematikunterrichts“

15. Mai 2013

Univ.-Prof. Dr. Matthias Brandl Professur für Didaktik der Mathematik Lehr- u. Forschungseinheit LMI Fakultät für Informatik und Mathematik Universität Passau

Mathematiker

„Mathematicians have no friends, except other mathematicians, not married or seeying anyone, usually

fat, very unstylish, wrinkles in their forehead from thinking so hard, no social life whatsoever, 30 years old,

a very short temper.“

Britische Unterstufenschüler über Mathematiker (Centre for Teaching Mathematics, Plymouth University, zitiert in ‚The Times‘, 3. Januar 2001)

Was ist mathematische Begabung?

• Detlef Rost 2006: „… dass die Existenz einer eigenständigen ‚mathematischen’ Begabung hoch umstritten ist – mathematische Begabung ist, so sind viele empirische Befunde, nichts Anderes als generelle Intelligenz (Problemlösen im numerischen Inhaltsbereich).“

in Vohns (2007, S. 94)

Intelligenzquotient IQ

Begabung = Intelligenz, also was Intelligenz- tests mit dem IQ messen

2(100,15 )IQ N

130IQ2IQ ≥⇔σ≥µ−

⇒ ≈ 2 % der Bevölkerung sind hochbegabt

Hochbegabung:

„Facetten“ mathematischen Denkens Prozessbezogenes Denken

Inhaltsbezogenes Denken

Mathematikbezogene Informationsverarbeitung

Algorithmisches Denken

Formales Denken

Schlussfolgerndes Denken

Problemlösendes Denken

Modellierendes Denken

Begriffsbildendes Denken

Experimentierendes Denken

Mathematische Sensibilität Denken mit mathematischen Mustern

Bewältigung von Komplexität Gedankliche Flexibilität

Mathematische Kreativität Nutzung der Sprache

Mathematisches Gedächtnis

„in Beispielen zugrunde liegende allgemeine Muster und Strukturen

erkennen, konkrete Situationen abstrahieren, verallgemeinern,

Analogien erkennen und nutzen, allgemeine Einsichten auf Konkretes übertragen, mit Mustern operieren“

„mathematikhaltige Phänomene erkunden, Beispiele betrachten,

Situationen variieren, Beobachtungen gedanklich strukturieren und

systematisieren, explorativ gewonnene Vermutungen formulieren“

„Vorstellungen von Zahlen entwickeln und nutzen, mit Zahlen operieren, mit

verschiedenen Zahlaspekten umgehen (Kardinalzahlen, Ordinalzahlen,

Maßzahlen, …)“

Ulm (2010)

Der anthropologische Standpunkt

• „Gesetz der kulturellen Ausdifferenzierung“ (Irvine & Berry 1988)

• „Cultural factors prescribe what shall be learned and at what age; consequently different cultural environments lead to the development of different patterns of ability“ (Ferguson 1954, S. 121)

• „The anthropological approach shows how the nature of a construct may vary across time as well as space.“ (Sternberg 1996, S. 308)

Kulturphilosophischer Standpunkt • Der landläufigen Auffassung, dass mathematische

Begabung eine fest umrissene menschliche Eigenschaft sei, die man mehr oder weniger hat oder nicht, wird widersprochen.

• eindimensionale Auffassung, geprägt durch eine „oft institutionell erwünschte quantifizierende lineare Beurteilung von Leistungen (Schulnoten!) in besser und schlechter.“ (Zimmermann 1992, S. 19)

• Stattdessen würden „unterschiedliche Vorstellungen über Mathematik nicht nur unterschiedliche mathematische Begabungen als Grundlage, sondern auch entsprechende Konzeptionen über mathematische Begabung zur Folge haben.“ (Zimmermann 1992, S. 19)

• Freudenthal: „Die Definition der Mathematik wechselt. Jede Generation und jeder scharfsinnige Mathematiker innerhalb einer Generation formuliert eine Definition, die seinen Fähigkeiten und Einsichten entspricht.“ (zitiert z.B. in Käpnick 1998, S. 53)

Sichtweisen zur Begriffsklärung allgemein

speziell

Soziologie

Psychologie

Mathematik

+ Erziehungswissenschaften

Fachdidaktik

Der Standpunkt der Soziologen

• … kann helfen, u. a. folgende Fragen zu beantworten: – „Warum und wie ändert sich die

Sichtweise auf mathematische Begabung in der Geschichte?“

– „Warum ist die Sichtweise mathematischer Begabung kontextabhängig?“

– „Was ist ein geeigneter Begriffsapparat, um mathematische Begabung in allgemeinster Weise als offenes Konstrukt zu beschreiben?“

Foucault (1973): Ergebnis epochaler Diskurse zwischen verschiedenen Machtinstanzen

Luhmann (1984): Manifestation als offenes Konstrukt innerhalb verschiedener „Umwelten“

Luhmann (1984): Systemtheorie

Mathematische Begabung

Strukturelle Kopplung

Konkretes Fallbeispiel

• Oberstufen-Internat • Slogan: „Leistung, die begeistert“ • Rigides Auswahlverfahren

– IQ > 130 – In allen Fächern etwa Note < 2,0 – ausgeprägte soziale Kompetenzen und Fähigkeiten

• Stichprobe: – Fachgruppe Mathematik: 8 Lehrkräfte – Jahrgänge 11 und 12: je 4 Klassen zu je 16

Schüler/innen

Empirische Erhebung • 5-seitiger Schüler-Fragebogen (11&12) u. a. zu

– Mathematischem Interesse – Bild von Mathematik – Selbsteinschätzung

• Qualitative Interviews u. a. zu beliefs in Form von – Lehrer-Einzelinterviews

• problemzentriert bzw. episodisch mit narrativem Einstieg – Schüler-Gruppendiskussionen

• nondirektive Gesprächsführung mit thematischer Steuerung • homogene und künstliche Gruppen von je 4 - 6

leistungsschwachen bzw. leistungsstarken SchülerInnen der Klassen 11 und 12

• gezielte Auswahl aufgrund der Mathematiklehrer-Meinung • zufälliges Element durch Freiwilligkeit der Teilnahme sowie des

nicht direkt vorhandenen Einflusses des Diskussionsleiters

Lehrer A Bild von Mathematik Mathematische Begabung

• Muße • philosophische Überlegungen (¥) • kommunikativer Prozess • logisch klar definiertes und auch

kommunikatives intellektuelles reizvolles Spiel

• intellektuell reizvolle Gedankenwelt

• Genauigkeit, exakte Begriffe • ausgeflippte Dinge • auch Anwendungen • Ziel im UR: intellektueller Spaß,

Freude

• Betonung des Sinnaspekts von Problemen („Sturheit“)

• Intuition: Ahnen des übergreifenden Gedankengangs

• Interesse an alternativen Definitionen und den Konsequenzen

• Ästhetisches Empfinden und Freude daran

• Sofortiges Verstehen; Übungsphasen überflüssig

• Rechensicherheit

Lehrer A Bild von Mathematik Mathematische Begabung

• Muße • philosophische Überlegungen (¥) • kommunikativer Prozess • logisch klar definiertes und auch

kommunikatives intellektuelles reizvolles Spiel

• intellektuell reizvolle Gedankenwelt

• Genauigkeit, exakte Begriffe • ausgeflippte Dinge • auch Anwendungen • Ziel im UR: intellektueller Spaß,

Freude

• Betonung des Sinnaspekts von Problemen („Sturheit“)

• Intuition: Ahnen des übergreifenden Gedankengangs

• Interesse an alternativen Definitionen und den Konsequenzen

• Ästhetisches Empfinden und Freude daran

• Sofortiges Verstehen; Übungsphasen überflüssig

• Rechensicherheit

Bild von Mathematik Mathematische Begabung • Analysis ist unwichtig • Anwendungsbereiche und Algorithmen • Rechnen und Formeln lösen • Werkzeug zum Aufgabenlösen • Modellierungsaspekt sekundär • Wortprobleme im UR zu dominant • Ziel im UR: abiturrelevante Inhalte

• Intuition: Zurechtfinden in schwierigen Situationen beim Aufgabenlösen

• Hohes Abstraktionsniveau • Mängel in der sprachlichen

Artikulierung; unfähig zur didaktischen Reduktion

Lehrer B

Umwelten

Umwelten

Globale Sicht der Psychologie

…

Intellektuelle Neugier

Anstrengungs-bereitschaft

Freude am Problemlösen

Beharrlichkeit

Frustrationstoleranz

…

„Mathe-matisches Denken“

Allgemeine Persönlich-keitsmerk-

male

Der Standpunkt der Psychologen

• … kann helfen, u. a. folgende Fragen zu beantworten: – „In welcher Beziehung steht mathematische

Begabung zum IQ?“ – „Gibt es psychische Dispositionen, die

mathematische Begabung begünstigen können?“ – „Welcher Zusammenhang besteht zwischen

Begabungspotenzial, Interesse und Leistung?“

Bartkovich & George (1980): IQ ist ein aus verschiedenen Begabungsfaktoren zusammengesetztes Maß

Gallagher & Gallagher (2002): das Asperger-Syndrom in Verbindung mit Hochbegabung

Nolte (2011): Ein Intelligenztest allein stellt nicht differenziert genug fest, ob eine sehr hohe Leistung in

mathematischen Problemlöseprozessen zu erwarten ist.

Allgemeine Persönlichkeitsmerkmale (sekundär)

Umweltmerkmale (sekundär)

Math. Fähigkeiten

Math. Leistung

Leistungs-bewertung

Mathe-matik

Math. Begabung

Umwelt (primär)

(Brandl 2011; angelehnt an Ulm 2010 und Heller & Perleth 2007)

Math. Begabung und Leistung

Lehrer-Äußerungen: Hochleistende Schüler/innen

• Wollen eine exakte, genaue Behandlung mathematischer Themen im Unterricht

• Wollen aktiv sein • Sind motiviert (überwiegend intrinsisch) • Können im Team arbeiten • Setzen sich einem introjezierten Leistungsdruck aus • Haben extreme Anforderungen an sich • Haben keine Scheu davor, selbständig zu arbeiten • Wollen sich nicht isolieren • Wollen im Unterricht nichts verpassen • Sind in allen Fächern gut

• Sind eher weniger unangepasst • Sind interessiert • Sind sehr höflich, respektvoll, sensibel und deswegen

auch etwas reserviert • Sind sowohl auf der emotionalen wie auf der kognitiven

Ebene äußerst stur • Eignen sich eher weniger als Angestellte • Sind Lehrer-orientiert • Sind sehr pflichtbewusst • Sind resistent gegenüber psychischem Stress • Sind auf Sicherheit aus • Wollen gute Klausuren schreiben

Lehrer-Äußerungen: Hochleistende Schüler/innen

Hochbegabte Schüler/innen (evtl. zusätzliche Eigenschaften)

• Besitzen mathematische Intuition: erahnen den übergreifenden Gedankengang

• Interessieren sich für alternative Definitionen und die damit zusammenhängenden Konsequenzen

• Intensiveres ästhetisches Empfinden und Freude darüber als bei anderen

• Sind mit hoch abstrakten Objekten zufrieden • Sind kreativ • Zeigen Neugierde • Können querdenken • “Sehen” innermathematische Zusammenhänge • Finden unerwartete Lösungen für Probleme • Sind das Gegenteil von brav

Der Standpunkt der Mathematiker

• … kann helfen, u. a. folgende Fragen zu beantworten: – „Was ist Mathematik bzw. ein Mathematiker?“ – „Wie beschreiben Mathematiker selbst ihre

Fähigkeiten?“ – „Welche Rolle spielt und was ist mathematische

Intuition bzw. Sensibilität?“ – „Wie wichtig ist Interesse an Mathematik?“

„Das Mathe-Gen“

„Das Mathe-Gen“ • „Mathematiker sind Leute, für die Mathematik so

etwas ist wie für andere eine Seifenoper!“ (Devlin 2001, S. 304)

• Zum Großteil harte Arbeit, bei der „die Begriffe und Konzepte allmählich ähnlich vertraut werden wie Gegenstände in unserer Umgebung“ (ebd., S. 313)

• Interesse grundlegend: „Was immer dieses Interesse verursacht, es ist genau dieses Interesse an Mathematik, was den Hauptunterschied zwischen denen ausmacht, die Mathematik ‚können’, und denen, die es ‚nicht können’“ (ebd., S. 321)

• Aber: „Was genau die spezielle Faszination für Mathematik auslöst, dafür habe ich keine präzise Antwort.“ (ebd., S. 320)

Empirischer Beleg • Notwendigkeit einer Neigung und eines

Interesses für Mathematik, um in diesem Fach erfolgreich zu sein:

„It is expressed in a selectively positive attitude

toward mathematics, the presence of deep and valid interests in the appropriate area, a striving and a need to study it, and an ardent enthusiasm

for it. This kind of inclination, as a need for mathematical activity, is the strongest

motivating force in the development of abilities.” (Kruteskii 1976, S. 345)

5.10.2011

Neue „überraschende“ Erkenntnisse …

• „Erfolg in Mathe: Motivation ist wichtiger als Intelligenz“ (Spiegel Online, 20.01.2013)

• Murayama et al.: „Predicting Long-Term Growth in Students‘ Mathematics Achievement: The Unique Contributions of Motivation and Cognitive Strategies“ (Child Development, 2012)

Interesse im System Perspektivendiagramm (Bikner-Ahsbahs 2005)

„Dies ist eine Ja/Nein-Frage: Finden Sie Schulen, an denen nach dem IQ ausgewählt wird,

gut oder schlecht?“

Antwort

• Nicht nach IQ, vgl. z. B. Nolte, M. (2012). “High IQ and high mathematical talent!” Results from nine years talent search in the PRIMA-project Hamburg. ICME-12 Pre-proceedings, S. 1503 – 1512.

• Keine Ja/Nein-Frage bzw. abhängig vom Standpunkt des Betrachters: – Fachdidaktiker: evtl. Bezug auf empirische

Ergebnisse

Internat für Hochleistende

1: hässlich, schrecklich -------- ästhetisch, schön 2: schwierig -------- leicht 3: langweilig -------- interessant, spannend 4: unverständlich -------- logisch

Brandl (2011d)

Förderkurse für Interessierte

1: hässlich, schrecklich -------- ästhetisch, schön 2: schwierig -------- leicht 3: langweilig -------- interessant, spannend 4: unverständlich -------- logisch

Brandl (2011d)

Regel-Gymnasium

1: hässlich, schrecklich -------- ästhetisch, schön 2: schwierig -------- leicht 3: langweilig -------- interessant, spannend 4: unverständlich -------- logisch

Antwort

• Nicht nach IQ, vgl. z. B. Nolte, M. (2012). “High IQ and high mathematical talent!” Results from nine years talent search in the PRIMA-project Hamburg. ICME-12 Pre-proceedings, S. 1503 – 1512.

• Keine Ja/Nein-Frage bzw. abhängig vom Standpunkt des Betrachters: – Fachdidaktiker: evtl. Bezug auf empirische

Ergebnisse der Fragebögen – Pädagoge/Psychologe: evtl. Bezug auf

empirische Ergebnisse der Interviews

„Narzistischer Schock / Narzistische Kränkung“

• „Almost all teachers confessed that the main problem when it comes to the students’ performance (in mathematics, too) may not be their potential giftedness, but the psychological hindrance of a narcissistic wound that comes from being confronted with just best-of-students in class and the eventual loss of this status for oneself.“

(Brandl 2011: IMCIC-paper, S.5)

Förderung begabter Schüler

Zusatzangebote:

• Pluskurse • Wettbewerbe • Überspringen • Feriencamps • Begabtengymnasien • Frühstudium

regulärer Mathematik-unterricht:

• Binnendifferenzierung • offene Arbeitsformen

Identifikation • Nolte (2012): Ein Intelligenztest allein stellt

nicht differenziert genug fest, ob eine sehr hohe Leistung in mathematischen Problemlöseprozessen zu erwarten ist.

• Lehrkräfte „haben vielfältige Möglichkeiten, durch die Beobachtung ihrer Schüler […] relativ treffsichere Urteile hinsichtlich vorliegender bzw. sich ausbildender Begabungen zu fällen“ (Linke & Steinhöfel 1986, 1987).

Untergruppe „Interesse“

• Interesse als wichtigste Motivationsquelle • Häufig in Literatur:

– Devlin („Das Mathe-Gen“) – Kruteskii / Myasishchev

• Definierende Bedingungen: hohe Werte bei – Anzahl gewählter Themen aus angebotener Liste, – „Ich beschäftige mich auch jenseits meiner

schulischen Pflichten mit Mathematik“ und – „Ich finde Mathematik interessant, spannend“.

„Was immer dieses Interesse verursacht, es ist genau dieses Interesse an Mathematik, was den Hauptunterschied zwischen denen ausmacht, die Mathematik ‚können’, und denen, die es

‚nicht können’“ (Devlin 2001, S. 321)

„mathematical cast of mind […] It is expressed in a selectively positive attitude toward mathematics, the presence of deep and valid interests in the appropriate area, a striving and a need to

study it, and an ardent enthusiasm for it.” (Kruteskii 1976, S. 345)

Untergruppe „Ästhetik“

• Ästhetisches Empfinden als Kennzeichen mathematischer Begabung

• Häufig in Literatur: – Poincaré – Hardy

• Definierende Bedingungen: hohe Werte bei – „Ich kann bestimmten Dingen innerhalb der Mathematik

ästhetische Aspekte abgewinnen“ und – „Ich finde Mathematik ästhetisch, schön“.

„man wird es verstehen, wenn man sich das Gefühl für die mathematische Schönheit vergegenwärtigt, das Gefühl für die

Harmonie der Zahlen und Formen, für die geometrische Eleganz. Das ist ein wahrhaft ästhetisches Gefühl, welches allen wirklichen

Mathematikern bekannt ist“ (1973, S. 48).

“The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's, must be beautiful; the ideas, like the colours or the words, must fit

together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics“ (1940, pp. 24/25)

Untergruppe „Spielen“ • Ausprobieren, Herumspielen in Verbindung mit Neugier an

mathematischen Fragestellungen • Häufig in Literatur:

– Poincaré – Hadamard – Dieudonné – Ruelle (2007) / Kantorovich (1993): „tinkering“

• Definierende Bedingungen: hohe Werte bei – „Ich finde Mathematik interessant, spannend“, – „Mathematik wird durch das (Herum-)Spielen mit schönen Dingen

beschrieben“ und – „Ich spiele gerne innerhalb der Mathematik herum“.

„Statt mehr oder weniger phantastische Gründe an den Haaren herbei zu ziehen, braucht man doch nur um sich zu blicken, um zu erkennen, welchen universellen Reiz seit den frühesten Zeiten Spiele auf die Neugierde des Menschen ausgeübt

[…] haben: Rätsel, Denksportaufgaben aller Art, „Puzzles“ …“ (1985, S. 11)

Mathematische Interessen

Brandl & Barthel (2012)

Design der Materialien 1) Bottom – Up

• Orientierung an Interessen der (Hoch-)Begabten • „Schülersicht“ • „Was will der Begabte?“

2) Top – Down

• Orientierung an fachlichen und fachdidaktischen Gesichtspunkten

• „(Hochschul-)Lehrersicht“ • „Was soll der Begabte?“

Design-Based-Research

• Erprobung o in Plus-Kursen an Schulen und o in Schüler-Förder-Kursen an der Uni („Mathe-Zirkel“)

Antworten zu Schüler-Fragebogen

11 12 � Berühmte mathematische Probleme (70%) � Berühmte mathematische Probleme (56%) � Logik und Beweisverfahren (68%) � Chaostheorie (53%) � Chaostheorie (57%) � Mathematik im Alltag (53%) � Mathematik im Alltag (45%) � Codierung und Kryptographie (51%) � Codierung und Kryptographie (41%) � Logik und Beweisverfahren (51%) � Primzahlen und Zahlentheorie � Mathematik in der Natur � Finanz- und Versicherungsmathematik � Matrizenrechnung � Mathematik in der Natur � Statistik komplexe Zahlen � Finanz- und Versicherungsmathematik � Mathematik in der Physik � Primzahlen und Zahlentheorie � Zahlenfolgen und -reihen komplexe Zahlen � Programmierung und Numerik � Differentialgleichungen � Geometrie im Raum � Geometrie im Raum � Mathematik und Musik � Zahlenfolgen und -reihen

Frage: Welche mathematischen Themen würden Sie gerne behandelt sehen?

„Begabte fördern“ (lehrer-online) http://www.lehrer-online.de/jahr-der-mathematik.php

NRICH (http://nrich.maths.org)

Universität Passau (http://schueler-uni.fim.uni-passau.de)

Das „Hamburger Modell“ • Ziele:

– Förderprojekt für mathematisch begabte Schüler ab der siebten Klasse und

– Entwicklung eines entsprechenden Tests für deren Identifikation.

• Betonung der Kreativität (math. Forschen): – „die kreative Komponente und [...] das Fertigwerden mit

hoher Komplexität bei einer möglichst selbständigen Betätigung im Bereich der Mathematik“ (Hbf, 2011a);

– Mathematik als „kreative[r] Theoriebildungsprozess, bei dem u.a. neue Begriffe gestaltet und erprobt, neue Probleme formuliert, neue Repräsentationen erfunden und Beweisstrukturen auf eine Ausweitung ihres Wirkungsfeldes hin untersucht werden“ (Hbf, 2011b).

Vergleich

Untergruppe „Selbständig“ • Kruteskii: „die Fähigkeit zur Verkürzung des Prozesses

mathematischer Schlussfolgerungen und die Fähigkeit, in verkürzten Strukturen zu denken“ (Käpnick, 2010, S. 12)

• Kießwetter: „überspringen – aus Sicht des »durchschnittlichen Klassenkameraden« – bei der mündlichen Beschreibung ihrer Überlegungen viele Zwischenschritte“ (1992, S. 57)

• Definierende Bedingungen: – Maximalwert in „Überspringe Zwischenschritte“-Frage und – nahezu Maximalwert in „Beschäftige mich auch freiwillig mit

Mathe“-Frage.

Vergleich

Noten / (Hoch-)Leistung

Alle

„Selbständig“ vs. …

Auszug aus Interview mit hochleistenden Schüler/innen

• 1: […] Äh ich find's erst dann interessant wenn wirklich äh kompliziertere Aufgaben sind, bei denen man, die nicht so krass auf ein Thema wirklich ähm ab sind, also wo man wirklich über unkonventionelle Methoden einfach mal über Knobeleien und, ja, wenn man meinetwegen verschiedene Themenbereiche kombinieren muss, anwenden muss, um da zum Thema, äh zum Ziel zu kommen. […] Dann finde ich wird’s erst richtig interessant.

GDM-AK „Vernetzungen im Mathematikunterricht“

(http://www.math-edu.de/Vernetzungen.html)

Brandl, M. (2011e). High attaining versus (highly) gifted pupils in mathematics: a theoretical concept and an empirical survey. in M. Pytlak, E. Swoboda, T. Rowland (Eds.): “CERME 7 – Proceedings of the Seventh Congress of the European Society for Research in Mathematics Education”, University of Rzeszów, S. 1044 – 1055.

Brandl, M. (2011d). "Modelling Tasks at the Internet Portal ‘Program for Gifted" in G. Kaiser, W. Blum, R. Borromeo Ferri, G. Stillman (Eds.): Trends in Teaching and Learning of Mathematical Modelling - ICTMA 14, International Perspectives on the Teaching and Learning of Mathematical Modelling, New York: Springer, S. 551 - 558.

Brandl, M. (2011c). A Constructive Approach to the Concept of Mathematical Giftedness based on Systems Theory. In M. Avotiņa, D. Bonka, H. Meissner, L. Ramāna, L. Sheffield & E. Velikova (Eds.): Proceedings of the 6th International conference on Creativity in Mathematics Education and the Education of Gifted Students. University of Latvia, Riga, Latvia / Angel Kanchev University of Ruse, Ruse, Bulgaria, p. 35 – 39.

Brandl, M. (2011b) "Construction and Fostering of Mathematical Giftedness via Cybernetic Loops between Research and Practice" in N. Callaos, H.-W. Chu, W. Lesso, M.J. Savoie, F. Welsch & C.D. Zinn (Eds.): "IMCIC'11. The 2nd International Multi-Conference on Complexity, Informatics and Cybernetics. Proceedings, Volume II.", S. 314 - 319

Brandl, M. (2011a) „Der Lotto-Jackpot in der (Kurven-)Diskussion – eine vernetzende Unterrichtseinheit für den Stochastik- und Analysisunterricht der Oberstufe“ in A. Brinkmann, J. Maaß, H.-S. Siller (Hrsg.): Schriftenreihe des GDM-Arbeitskreises ‚Vernetzungen im Mathematikunterricht’, Band 1. Köln: Aulis Verlag, S. 99 – 108.

Brandl, M. (2009b). „Vom Lotto zum Pascalschen Dreieck – eine etwas andere Kurvendiskussion", große Unterrichtseinheit beim Lehrer-Online-Portal „Begabte fördern“, lo-net GmbH Köln.

Brandl, M. (2009a). „Lernumgebungen zur Begabtenförderung am Gymnasium“, in M. Neubrand (Hrsg.): „Beiträge zum Mathematikunterricht 2009“, WTM-Verlag Münster, S. 469-472.

Brandl, M. (2008b): "Geometrie mit POV-Ray – platonische Körper und dichteste Kugelpackungen", große Unterrichtseinheit beim Lehrer-Online-Portal „Begabte fördern“, Köln: lo-net GmbH

Brandl, M. (2008a): "Von Kegeln zu höheren algebraischen Kurven und wieder zurück", große Unterrichtseinheit beim Lehrer-Online-Portal „Begabte fördern“, Bonn: Schulen ans Netz e. V.

Brandl, M. & Barthel, C. (2012). “A comparative profile of high attaining and gifted students in mathematics”, ICME-12 (The 12th International Congress on Mathematical Education) Pre-proceedings, S. 1429 – 1438.

Brandl et al. (2013). „Mathe vernetzt – Anregungen und Materialien für einen vernetzenden Mathematikunterricht. Band 3.“ (mit A. Brinkmann, M. Bürker). Schriftenreihe des GDM-Arbeitskreises ‚Vernetzungen im Mathematikunterricht’ (herausgegeben von A. Brinkmann). Aulis Verlag.

Brandl et al. (2012). „Mathe vernetzt – Anregungen und Materialien für einen vernetzenden Mathematikunterricht. Band 2.“ (mit A. Brinkmann, J. Maaß, H.-S. Siller). Schriftenreihe des GDM-Arbeitskreises ‚Vernetzungen im Mathematikunterricht’ (herausgegeben von A. Brinkmann). Aulis Verlag.

Literatur

Devlin, K. (2001): Das Mathe-Gen. Oder wie sich das mathematische Denken entwickelt und warum Sie Zahlen ruhig vergessen können. Stuttgart: J. G. Cotta’sche Buchhandlung Nachfolger.

Ferguson, G. A. (1954): On learning and human ability. Canadian Journal of Psychology, 8, 95-112. Hardy, G. H. (1940). A Mathematicians Apology, Cambridge: Cambridge University Press. Hbf (2011a). Das Hamburger Modell für Begabtenforschung und Begabtenförderung im Bereich der Mathematik: Chronik.

Zugriff am 5.11.2011, auf http://www.hbf-mathematik.de/1HambModell.htm Hbf (2011b). Aufnahmetestungen – problematisch, aber unvermeidbar. Zugriff am 5.11.2011, auf http://www.hbf-

mathematik.de/5TestungKritKompl.htm Heller, K. & Ziegler, A. (2007) (Hrsg.). Begabt sein in Deutschland. Berlin: LIT Verlag. Irvine, S. H. & Berry, J. W. (1988). The abilities of mankind: A revaluation. In S. H. Irvine & J. W. Berry (Eds.), Human abilities

in cultural context (pp. 3-59). Cambridge University Press Kantorovich, A. (1993): Scientific Discovery: Logic and Tinkering. Albany: State University of New York.

Käpnick, F. (1998): Mathematisch begabte Kinder. Modelle, empirische Studien und Förderungsprojekte für das Grundschulalter. Frankfurt am Main.

Kruteskii, V.A. (1976): The Psychology of Mathematical Abilities in Schoolchildren. Chicago, London: University of Chicago Press.

Linke, H. P. & Steinhöfel, W. (1987): Über den Einsatz eines Verfahrens zum Erkennen mathematisch-naturwissenschaftlich-technischer Begabungen. Wiss. Z. Tech. Univ. Karl-Marx-Stadt. v. 29 (5) p. 697-703.

Linke, H. P. & Steinhöfel, W. (1986): Aspekte einer tätigkeitsbezogenen Begabungserkennung und einige Anregung zur Gestaltung der Zusammenarbeit der Erziehungsträger in diesem Prozess. In: Begabungsforschung, Positionen und Berichte, Berlin: APW.

Nolte, M. (2011). “High IQ and high mathematical talent!” Results from nine years talent search in the PRIMA-project Hamburg. ICME-12 Pre-proceedings, pp. 1503 – 1512.

Poincaré, H. (1996): Science And Method. Reprint of the 1914 edition, London: Routledge. Ruelle, D. (2007): The mathematician’s brain. Princeton University Press. Sternberg, R. J. (1996): What is Mathematical Thinking? In: R. J. Sternberg & T. Ben-Zeev (1996) (Eds.): The nature of

mathematical thinking. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Ass. Publishers, S. 303 – 318. Ulm, V. (2010). Mathematisches Denken und mathematische Begabung. In V. Ulm (Ed.). Mathematische Begabungen fördern

(pp. 3-7). Berlin: Cornelsen Scriptor. Vohns, A. (2007) (Hrsg.): Achtung, Mathematik! Ein Probleml(o)esebuch für mathematisch Interessierte und Begabte ab 12.

Norderstedt: Books on Demand. Zimmermann, B. (1992): Profile mathematischer Begabung. In MU Jg. 38 Heft 1, S. 19-41

Literatur

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit