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Optionsbewertung Optionsbewertung
Elena KostElena Kostiiaevaaeva
ÜberblickÜberblickDifferential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung DifferentialquotientDifferentialquotient Differential (Totales vs Partielles Differential)Differential (Totales vs Partielles Differential) BeispieleBeispiele
IntegralIntegral Riemann IntegralRiemann Integral
Stieltjes IntegralStieltjes Integral Partielle IntegrationPartielle Integration
Bewertung von DerivatenBewertung von Derivaten Futures, OptionsFutures, Options
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
DifferentialquotientDifferentialquotient – entspricht Ableitung, – entspricht Ableitung, also entspricht der Steigung einer Funktion also entspricht der Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stellean einer bestimmten Stelle
Die Steigung entsprichtDie Steigung entspricht: :
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
AbleitungAbleitung
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
Differentialrechnung wird häufig dazu Differentialrechnung wird häufig dazu verwendet Flächen „unter“ verwendet Flächen „unter“ Funktionsgraphen zu berechnenFunktionsgraphen zu berechnen
Das Differential ist dem Differentialquotient Das Differential ist dem Differentialquotient sehr ähnlich; hier frag man sich nach um sehr ähnlich; hier frag man sich nach um welchen Betrag sich Y verändert, wenn welchen Betrag sich Y verändert, wenn eine Wertänderung des X erfolgteine Wertänderung des X erfolgt
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung Anhand dieser Skizze Anhand dieser Skizze
danndann
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
Beispiele: Beispiele:
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
ApproximationApproximationwenn wenn sehr klein ist, dann giltsehr klein ist, dann gilt
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
KettenregelKettenregel Die Ableitung der zusammengesetzten Die Ableitung der zusammengesetzten
FunktionFunktion
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
IntegralIntegral Riemann IntegralRiemann Integral
Stieltjes IntegralStieltjes Integral
Partielle IntegrationPartielle Integration
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
Integralrechnung wird benützt um die Integralrechnung wird benützt um die Fläche zwischen einem Graphen und X-Fläche zwischen einem Graphen und X-Achse zu berechnenAchse zu berechnen
Im Vergleich zu der Im Vergleich zu der Intergral Intergral wird wird für die Summe der unzählbaren kleinen für die Summe der unzählbaren kleinen Objekten verwendetObjekten verwendet
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung Gegeben ist eine deterministische Gegeben ist eine deterministische FunktionFunktion
Annahme, wir wollen diese Funktion Annahme, wir wollen diese Funktion integrieren im Intervall integrieren im Intervall
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
Damit wir den Riemann Integral anwenden Damit wir den Riemann Integral anwenden können, teilen wir den Intervall können, teilen wir den Intervall [ 0;T ] [ 0;T ] auf auf n Subintervallen n Subintervallen
soso erhalten wir die Approximationssumme erhalten wir die Approximationssumme
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung Gegeben istGegeben ist
Riemann Integral wird definiert als Riemann Integral wird definiert als
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
Stieltjes Integral Stieltjes Integral
wowo
dann gilt dann gilt
wobei wobei
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
Riemann-Stieltjes IntegralRiemann-Stieltjes Integral
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
Die Die partielle Integrationpartielle Integration entspricht der entspricht der Produktregel des Differenzierens. Hat man Produktregel des Differenzierens. Hat man ein Integral der Form ein Integral der Form
wobei wobei leicht auf- und leicht auf- und leicht leicht abzuleiten ist.abzuleiten ist.
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
Damit ergibt sichDamit ergibt sich
es entsteht also ein neues Integral, das nun es entsteht also ein neues Integral, das nun noch (hoffentlich leichter) zu integrieren ist. noch (hoffentlich leichter) zu integrieren ist.
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
Partielle Ableitungen am Bsp “Partielle Ableitungen am Bsp “Call optionCall option””
Ableitung, wenn t =Ableitung, wenn t = constconst
Ableitung, wenn Ableitung, wenn = = constconst
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
Will man eine Funktion vollständig ableiten, so Will man eine Funktion vollständig ableiten, so muß man muß man das totale Differentialdas totale Differential bilden. Es bilden. Es entsteht aus der Summe der partiellen entsteht aus der Summe der partiellen Ableitungen wie folgtAbleitungen wie folgt: :
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
TaylorreihenTaylorreihen Erwartung: Erwartung:
Eine Gerade der FormEine Gerade der Form
Differential und IntegralrechnungDifferential und Integralrechnung
Taylorreihe wird definiert als Taylorreihe wird definiert als
Bewertung von DerivatenBewertung von Derivaten
Bewertungsmethoden:Bewertungsmethoden: Method of equivalent martingale measuresMethod of equivalent martingale measures Partial different equationPartial different equation
FunktionenFunktionen ForwardsForwards OptionsOptions
Delta HedgingDelta Hedging
Bewertung von DerivatenBewertung von Derivaten
Problem: Problem: Die Finanzmarktdaten sind nicht deterministisch!Die Finanzmarktdaten sind nicht deterministisch!
sind ununterbrochen sind ununterbrochen
stochastischstochastisch
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