School of Engineering Kapitel 3: Fouriertransformation SiSy, Rumc, 3-1 Deterministisches Signale...

School ofEngineeringKapitel 3: Fouriertransformation

SiSy, Rumc, 3-1

Deterministisches Signale

• periodische Signale

wichtige Hilfs- und Testsignale, Leistungssignale

Fourierreihe FR => Linienspektrum

• nicht-periodische Signale

transiente Signale, Burst-Signale, Pulse, …, Energiesignale

Fouriertransformation FT

=> kontinuierliches Amplitudendichtespektrum

=> vor allem die Eigenschaften der FT sind sehr wichtig !

School ofEngineering

Periodische Signale können als Fourierreihe dargestellt werdenLinienspektrum mit Linienabstand f0 = 1/T0

Nicht-Periodische Signale haben KEINE FourierreihendarstellungLösungsansatz: s(t) periodisch fortsetzen und Periode T0 -> ∞

Beobachtung:

ck-Spektrallinien rücken näher zusammen (Linienabstand f0 = 1/T0)

ck-Spektrallinien werden immer kleiner und streben gegen Null

Spektrale Dichte hingegen existiert:

tT0-T0

s(t)

τ

Herleitung Fouriertransformation FTSiSy, Rumc, 3-2

)1/Tc(lim

0

k

T0

School ofEngineeringBeispiel: Herleitung FT des Rechteckpuls

SiSy, Rumc, 3-3

Periodische Fortsetzung Rechteckpuls

0

0

00

00

0

0

0

0

0

0

Tτπk

)Tτksin(π

Tτ

τfkπ2j

τfkjπe

τfkjπe

Tτ

τ/2τ/2τ/2

τ/2 fkπ2j

tfkπ2jeT1dttfkπ2je

T1

kc

t

T0

s(t)

1

-τ/2-T0τ/2

Integrationsbereich von -T0/2 bis T0/2

sinc-förmige ck-Spektrallinien

check DC-Wert c0 = τ/T0

School ofEngineering

Zeitbereich

spektrale Dichte existiert

t

T0

s(t)1

τ fix-T0

DC-Wert geht gegen Null(andere ck-Werte auch)

Beispiel: Herleitung FT des RechteckpulsSiSy, Rumc, 3-4

Frequenzbereich

0

0

0

Tτπk

)Tτksin(π

Tτ

kc

0

0

0

Tτπk

)Tτksin(π

τ1/T

kc

0Tτc

00

0 T

School ofEngineering

Nullstellen bei Vielfachen von 1/τ = 4 Hz

Abstand f0 = 1 Hz

Beispiel: Herleitung FT des RechteckpulsSiSy, Rumc, 3-5

School ofEngineering

Nullstellen bei Vielfachen von 1/τ = 4 Hz

Abstand f0 = 0.5 Hz

Beispiel: Herleitung FT des RechteckpulsSiSy, Rumc, 3-6

School ofEngineering

dfeS(f)s(t)

dtes(t)S(f)

tf2πj

tf2πj

Fourier- (Rück-) Transformation

Grenzübergang T0->∞

Amplitudendichtespektrum S(f) [V/Hz]

wobei

f = k·f0 = k/Tund

für später:Die Fourier-Transformation FT kann auchaus der Laplace-Transformation hergeleitetwerden, indem man s = jω setzt.

Definition der Fouriertransformation (FT)SiSy, Rumc, 3-7

0

)1/Tc(limS(f)

0

k

T0

/2T

/2Tdttfkπ2jes(t)

T1

kc0

0

0

0

School ofEngineeringVergleich FT mit FR

SiSy, Rumc, 3-8

Ein periodisches Signal s(t) besteht aus einer Summe von Harmonischen => Linienspektrum

● kompl. Fourierreihe (FR):

● ck-Koeffizient enthält Amplitude und Phase der k-ten Harmonischen

dfeS(f)s(t) tf2πj

k

tkfj2πk

0ecs(t)

Ein nicht-periodisches Signal s(t) besteht aus einer "Summe" (Integral) von "allen" Frequenzkomponenten => Dichtespektrum

● (inverse) Fouriertransformation (FT):

● S(f)-Koeffizient enthält Amplitude und Phase der Frequenzkomponente f

School ofEngineeringFouriertransformation Rechteckpuls

SiSy, Rumc, 3-9

fj2πee

τ/2τ/2

f2πjedte1dt es(t)S(f)

τfjπτfπjtf2πjτ/2

τ/2

tf2πjtf2πj

Rechteckpuls s(t) der Dauer τ

τfπ)τfπsin(

τfj2πeeS(f)

τf-jπτfπj

(Dichte-) Spektrum bzw. Fouriertransformierte S(f)

sinc-förmig!

School ofEngineeringFouriertransformation Rechteckpuls

SiSy, Rumc, 3-10

Der Rechteck-Puls hat ein sinc-förmiges Spektrum!

Pulsdauer τ

Bandbreite B = 1/τ

- 4 dB

- 14 dB

τfπτ)fsin(πτS(f)

Pulsdauer τ mal Bandbreite B ≈ 1

Nullstellen bei Vielfachen von 1/τ

School ofEngineering

x(t) = a·s1(t) + b·s2(t) ○-● X(f) = a·S1(f) + b·S2(f)

Eigenschaften der FT: LinearitätSiSy, Rumc, 3-11

Beispiel

○-●s1(t) = 1

s2(t) = cos(2π·f0t)

x(t) = 1 + cos(2π·f0t)

X(f)

ff0-f0

11/2

Linearkombinationder Zeitsignale

Linearkombinationder Spektren

School ofEngineeringEigenschaften der FT: Zeitverschiebung

SiSy, Rumc, 3-12

x(t) = s(t-t0) ○-● X(f) = S(f) · e-j2πf·to

gleiche Betragsspektren

Darstellung in Polarform

Beweis

S(f)edt'e)s(t'edt'e)s(t'dte)t-s(tX(f) 000 tf2πj

-

t'f2πjtf2πj

-

)t(t'f2πj

-

tf2πj0

Substitutiont’ = t - t0

Phasendrehung !Zeitverschiebung

)tf2π-(S(f))(j(X(f))j 0eS(f)eX(f)

0tf2π-(S(f))(X(f)) =>

S(f)X(f) =>

Phasendrehung

School ofEngineeringBeispiel Zeitverschiebung

SiSy, Rumc, 3-13

t/τeτ1u(t)s(t)

τf2πj11

0τ)f2πj(1edte

τ1dtes(t)S(f)

τ)/τfj2π(1t

0

τ)/τfj2π(1ttfj2π

τ = 1/(2π) ms = 0.159 ms

t0 = 0.5 ms

τ

4π

j

0 e2

1j1

1)S(f

S(f) @ f0 = 1/(2π·τ) = 1 kHz:

τf2πj1eeS(f)X(f)

00

tf2πjtf2πj

π)

4π

j(

0 e2

1)X(f

X(f) @ f0 = 1 kHz:

Einseitige Exponentialfunktion

Fourier-Spektrum

Fourier-Spektrum zeitverschobenes Signal

School ofEngineering

x(t) = s(a·t) ○-● X(f) = (1/IaI)·S(f/a)

Fall a>1: Verkürzung Signal s(t) <=> breiteres Spektrum S(f)Fall a<1: Dehnung Signal s(t) <=> schmaleres Spektrum S(f)

Je „kürzer“ ein Puls-Signal ist, desto „grösser“ ist die Bandbreite des Spektrums. Umgekehrt haben „lang“ dauernde Einzelpulse schmale Spektren.

Bandbreite und Dauer eines Pulssignals können also nicht unabhängig von einander gewählt werden. Das Zeit-Bandbreite-Produkt ist eine Konstante.

S(f/a)a1dt'e)s(t'

a1dtes(at)

-

t'(f/a)2πj

-

tf2πj

Beweis: Substitution t‘ = a·t

Zeit-Bandbreite-Produkt

Eigenschaften der FT: ZeitskalierungSiSy, Rumc, 3-14

Pulsdauer mal Bandbreite τ·B ≈ 1

School ofEngineering

kostengünstiges OszilloskopTektronix TDS3012B100 MHz / 1.25 GSps

3 dB-Bandbreite = 100 MHzPulse mit ca. 10 ns Dauer

noch "sichtbar"

Le Croy WaveRunner 640 Zi4 GHz / 40 GSps

3 dB-Bandbreite ≈ 4 GHzPulse mit ca. 0.25 ns

noch "sichtbar"

Anwendung "Zeit – Bandbreite – Produkt"SiSy, Rumc, 3-15

School ofEngineeringBeispiel Zeitskalierung

SiSy, Rumc, 3-16

Rechteckpulse mit Dauer τ0 und τ0/2 sowie zugehörige Spektren

Zeit-Bandbreite-Produkt bleibt konstant!!!

School ofEngineering

s(t) ○-● S(f)

S(t) ○-● s(-f)

BeispielRechteckförmig im Zeitbereich ○-● sinc-förmig im Frequenzbereich sinc-förmig im Zeitbereich ○-● rechteckförmig im Frequenzbereich

g

g

1 für f f / 2H(f)

0 für f f / 2

ffg/2-fg/2

Eigenschaften der FT: Dualität und BeispielSiSy, Rumc, 3-17

○-●g

gg ftπ

)ftsin(πfh(t)

School ofEngineering

Multiplikation mit ej2πf0·t ○-● Frequenzverschiebung um +f0 (nach rechts)

duale Aussage zur Zeitverschiebung

Prinzip wird in der Nachrichten- und Messtechnik oft verwendet(siehe Beispiel auf der nächsten Folie)

x(t) = s(t) · ej2πf0·t ○-● X(f) = S(f-f0)

Eigenschaften: FrequenzverschiebungSiSy, Rumc, 3-18

School ofEngineering

s(t)

cos(2π·fc·t)

Hilfs-Trägersignal (engl. carrier)

y(t)Nachrichtensignals(t) = 1+0.5·cos(2π·fTon·t)

Amplituden-Moduliertes(AM-) Signal

Nachricht s(t) "steckt" in der Amplitude des Trägersignals

Eigenschaften: FrequenzverschiebungSiSy, Rumc, 3-19

School ofEngineeringBeispiel Frequenzverschiebung

SiSy, Rumc, 3-20

Multiplikation (Basisband)-Signal s(t) mit cos-(Träger)-Signal

Y(f) = 0.5 · S(f-f0) + 0.5 · S(f+f0)

Amplitudenmodulation

= 0.5 · s(t) · ej2πf ·t + 0.5 · s(t) · e-j2πf ·t 0 0

Frequenzverschiebung(Mischung)

= s(t)·cos(2πf0t)

hochfrequentes Signal kann über Antenne abgestrahlt werden

School ofEngineering

dn/dtn s(t) ○-● (j2πf)n·S(f)

( ) 1( ) (0) ( )2 2

t S fs d S fj f

Beispiel aus der Wechselstromlehre

Eigenschaften: Differentiation / IntegrationSiSy, Rumc, 3-21

Differentialgleichung DGL ○-● algebraische Gleichungsimple Substitution von dn/dtn durch (jω)n

sehr oft genügt die Lösung der DGL im Frequenzbereich

i(t) L

u(t)

DGL u(t) = L·di(t)/dt

Algebraische Gleichung

U(f) = jωL·I(f)

komplexer Widerstand / Impedanz

ZL = U(f) / I(f) = jωL = j·2πf·L

○-●

School ofEngineeringEigenschaften der FT: Faltung

SiSy, Rumc, 3-22

Faltung

○-● X(f) · Y(f)

Visualisierung der Faltung

dττ)y(t)x(τy(t)*x(t)

τ / s1

1

x(τ)

τ / s1

1

y(τ)

0.5

τ / s1

1

0.5

t / s1

0.5

0.5 1.5

y(0.25-τ) = y(-(τ-0.25))

x(t)*y(t)

τ / s1

1

y(τ-0.25)

0.5

"Faltung"

Faltung x(t)*y(t) @ t = 0.25

0.25dτ1dττ)y(0.25)x(τ0.25

0

0.25

0

Multiplikation

School ofEngineering

Faltung Rechteckpuls der Dauer τ0 mit sich selbst

1/√τ0

r(t-τ)

τ0/2 -τ0/2 t τ0- τ0

r(τ)

t

τ

d(t)1

- 28 dB

Dreieckpuls

sinc2-förmigesSpektrum

○-●

Beispiel FaltungSiSy, Rumc, 3-23

siehe Demo

School ofEngineering

LTI-System

x(t) = δ(t)

t

y(t) = h(t)

t

Definition der Stoss- bzw. Impulsantwort h(t)

Ausblick zur FaltungSiSy, Rumc, 3-24

x(t) LTI-System

Die Stossantwort h(t) beschreibt ein LTI-System vollständig

Ausgangssignal = Faltung von Eingangssignal mit StossantwortAusgangsspektrum = Eingangsspektrum x Frequenzgang des Systems

○-●

X(f)

Linear, Time-Invariant

H(f) = F{h(t)} Frequenzgang des LTI-Systems

Y(f) = X(f)·H(f) Analyse im Frequenz-bereich genügt oft !

h(t)*x(t)dττ)h(t)x(τy(t)

School ofEngineering

Spektrum S(f) eines reellwertigen Zeitsignals s(t)

s(t) reell ○-● S(-f) = S*(f)

s(t) reell, ungerade ○-● S(f) imaginär

s(t) reell, gerade ○-● S(f) reell

Eigenschaften der FT: SymmetrieSiSy, Rumc, 3-25

Beispiel Spektrum eines reellen Signals

ffg

IS(f)I

-fg

ffg-fg

S(f)

ffg

IS(f)I

-fg

ffg-fg

S(f)

Betragsspektrum (gerade Funktion)IS(-f)I = IS(f)I

Phasenspektrum (ungerade Funktion)angle{S(-f)} = -angle{S(f)}

Matlab: abs(.) Matlab: angle(.)

Beispiel: sin(.)

Beispiel: cos(.)

School ofEngineering

Energieberechnung mit Satz von Parseval

dfS(f)dt(t)sE 22 (an 1Ω)

überprüfe die Dimension (IS(f)I hat Dimension V/Hz)!

Signalenergie, Spektrum Dirac-PulsSiSy, Rumc, 3-26

Spektrum eines Dirac-Impulses

s(t) = δ(t) ○-● S(f) = 1

s(t) = 1 ○-● S(f) = δ(f)

Ein unendlich schmaler Puls hat ein flaches bzw. weisses Spektrum, in dem alle Frequenzkomponenten vorkommen. Umgekehrt hat ein DC-Signal eine sehr schmale Linie bei f = 0 im Amplitudendichte-Spektrum.

t f

S(f)s(t)

t f

S(f)s(t)DC

School ofEngineeringFT eines periodischen Signals

SiSy, Rumc, 3-27

j2πkf t0s(t) = c ekk=-

○-●

k

0k )kfδ(fcS(f)

BeispielAmplitudendichtespektrum des cos-Signals s(t) = cos(2πf0·t)

f

(1/2) (1/2)

f0-f0

S(f)

"Linien"-Spektrum(Dirac-Impulse statt Linien)

periodisches Signal(Darstellung als Fourierreihe)

Beweis: Verwende 1. Linearitätseigenschaft der FT2. Identität ck ○-● ck·δ(f)3. Frequenzverschiebungseigenschaft der FT