Tutorat Statistik II im SS 09 Zufallseffekte & Messwiederholung ch-langrock@t-online.de

Tutorat Statistik II im SS 09Zufallseffekte & Messwiederholung

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Memo: zweifaktorielle ANOVA

Was fällt euch noch ein?

Memo

o Verfahren zur Prüfung von Gruppen-unterschieden in Bezug auf mehrere UVs

o Erweiterung der einfak. ANOVA um den Interaktionseffekt bzw. die -quadratsumme

o Zwei Typen von Effekten/Quadratsummen: Haupt- und Interaktionseffekte

o Auswertung von Wechselwirkungen (Interaktionen) zwischen den UVs

o Interaktionstypen: ordinal, disordinal, hybrido Interpretation: Über Trends in beiden Diagrammen

Thema: Zufallseffekte & Messwiederholung

Gliederung

I. Feste vs. ZufallseffekteII. Messwiederholung einfaktoriellIII. Messwiederholung mehrfaktoriell

I. Feste vs. Zufallseffekte

Übersicht ANOVA

Feste Effekt vs. Zufallseffekte

Definition:

Man spricht von festen Effekten, wenn alle möglichen bzw. alle interessierenden Stufen eines Faktors im Versuchsplan realisiert werden.

Beispiele: Geschlecht, Therapieform, Hautfarbe

Definition:

Man spricht von Zufallseffekten, wenn einen Faktor sehr viele Abstufungen hat und für eine Untersuchung “zufällig” einige davon ausgesucht werden.

Beispiele: Persönlichkeitseigenschaften, Alter, Universität

Feste Effekt vs. Zufallseffekte

Zentraler Unterschied: Generalisierbarkeit (externe Validität)

Bei festen Effekten ist keine Verallgemeinerung der inferenzstatistischen Prüfung auf nicht realisierte Stufen der UV möglich:

Wenn ich Verhaltenstherapie und Gesprächstherapie als Faktor in meinem Versuchsplan habe, kann ich bei der Interpretation der Ergebnisse keine Aussagen über Psychotherapie im Allgemeinen tätigen.

Um Psychotherapie im Allgemeinen in Bezug auf meine AV bewerten zu könne, gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Ich realisiere alle Stufen des Faktors Psychotherapie -> ANOVA mit festen Effekten

2. Ich wähle aus allen Therapieformen eine ausreichend große Zahl zufällig aus -> ANOVA mit zufälligen Effekten

Nur eine Varianzanalyse mit zufälligen Effekten erlaubt intervallskalierte Variablen – mit theoretisch unendlich vielen Abstufungen – einzubeziehen. Dennoch kann eine „Zufallsfaktor“ grundsätzlich auch Nominal- bzw. Ordinalskalenniveau haben.

Feste Effekt vs. Zufallseffekte

Unterschiede

Feste Effekte Zufallseffekte

oAlle möglichen / interessierenden Stufen eines Faktors werden realisiert.

oEinige Stufen werden aus vielen möglichen Stufen ausgesucht.

oKeine Generalisierbarkeit auf nicht realisierte Stufen.

oGeneralisierbarkeit ist gegeben.

oDie Summe der Effekte ist Null.

oDie Summe der Effekte muss nicht Null sein.

oH0: Alle Effekte sind Null bzw. Die Varianz der Effekte ist Null. αj = 0 (für alle j) od. σ²(α) = 0

oH0: Die Varianz der Effekte ist Null. σ²(α) = 0

Der F-Test bei der 2-faktoriellenANOVA mit Zufallseffekten

within

FaktorAxBAxB

FaktorAxB

FaktorBB

FaktorAxB

FaktorAA

MS

MSF

MS

MSF

MS

MSF

qpNdf

qpdf

qpdf

qdf

qpdf

pdf

Nenner

Zähler

Nenner

Zähler

Nenner

Zähler

)1()1(

)1()1(

1

)1()1(

1

Liegt ein Faktor mit festem Effekt und ein Faktor mit Zufallseffekt vor, spricht man von einer ANOVA mit gemischten Effekten.

Wichtig: Es muss bei der Berechnung der F-Tests beachtet werden, welcher Faktor als Zufallsfaktor eingegeben wird.

Die folgende Berechnung geht davon aus, dassFaktor B der Zufallsfaktor ist.

Der F-Test bei der 2-faktorielleANOVA mit „gemischten Effekten“

Der F-Test bei der 2-faktorielleANOVA mit „gemischten Effekten“

within

FaktorAxBAxB

within

FaktorBB

FaktorAxB

FaktorAA

MS

MSF

MS

MSF

MS

MSF

qpNdf

qpdf

qpNdf

qdf

qpdf

pdf

Nenner

Zähler

Nenner

Zähler

Nenner

Zähler

)1()1(

1

)1()1(

1

zufällig

fest

Faktor A Faktor B AxB

A fest,

B fest

A zufällig,

B zufällig

A fest,

B zufällig

Prüfvarianzen derzweifaktoriellen ANOVA

within

FaktorA

MS

MSF

FaktorAxB

FaktorB

MS

MSF

within

FaktorAxB

MS

MSF

within

FaktorAxB

MS

MSF

within

FaktorAxB

MS

MSF

FaktorAxB

FaktorA

MS

MSF

within

FaktorB

MS

MSF

within

FaktorB

MS

MSF

FaktorAxB

FaktorA

MS

MSF

Zusammenfassung

o Definierte Anzahl von Stufen „fester Faktor“o Beliebige Anzahl von Stufen „Zufallsfaktor“o Die Art des Modells (feste Effekte, zufällige

Effekte, gemischte Effekte) beeinflusst die Prüfvarianz im Nenner des F-Bruchs:

Feste Effekte: MSwith

Zufällige Effekte: MSAxB

Gemischte Effekte: Für den festen Faktor MSAxB, für den zufälligen MSwith

Herleitung: Leonhart, Kapitel 16

II. Messwiederholung einfaktoriell

ANOVA mit Messwiederholung

Wichtige Anwendungsmöglichkeiten für Messwiederholung:

- Messwiederholung im engeren Sinn: Die selbe AV wird mehrfach erhoben ( Veränderungsmessung)

- Eine AV wird durch unterschiedliche Verfahren (z.B. Selbstbeobachtung und Fremdbeobachtung) erhoben ( Vergleich der Verfahren)

- Personen aus zwei (oder mehreren) Stichproben werden einander zugeordnet (“matching“)

Welches Verfahren für Messwiederholung kennt ihr bereits? Den t-Test für abhängige Stichproben.

Einfaktorielle ANOVA mit Messwdh.

Eine einfaktorielle ANOVA mit Messwiederholung kann als2-faktorielle ANOVA mit gemischten Effekten betrachtet werden:

Faktor A: Messzeitpunkt (fester Effekt) Faktor B: Versuchsperson (Zufallseffekt)

Der Personenfaktor (B) erfasst Unterschiede zwischen den Versuchspersonen, der Messwiederholungsfaktor (A) Unterschiede zwischen den Messzeitpunkten.

Unterschiede zwischen den Versuchspersonen sind irrelevant; es interessiert der Unterschied zwischen den einzelnen Messzeitpunkten.

Vorteile & Nachteile1. Teststärker als nicht-

messwiederholte ANOVA, da Fehlervarianz reduziert wird

2. weniger Personen nötig durch wiederholte Messung bei denselben Personen

1. Sphärizitätsannahme (Zirkularitätsannahme):o Varianzen und

Kovarianzen unter den einzelnen Faktorstufen homogen

o Bei einer Verletzung: Greenhouse-Geisser-Korrektur.

2. Sequenzeffekte: Reihenfolge der Testung hat Einfluss

3. Bei fehlenden Daten zu einem Messzeitpunkt muss die Person komplett ausgeschlossen werden. N sinkt

Quadratsummenzerlegung

SStotal = SSbetween + SSwithin

SStotal = SSbetween + SStreatment + SSerror

o Varianzanteileo SSbetween: zwischen Personen zum selben

Messzeitpunkto interessiert nicht wird nicht für den F-Test verwendet

o SSwithin: innerhalb derselben Personen zu unterschiedlichen MZPs

o auf Treatment zurückzuführen SStreatment

o Fehlervarianz SSerror

Formeln

)1()1( Npdferror

p

jjtreatment yynSS

1

2..).(

1pdftreatment

n

i

p

jijijerror yyyySS

1 1

2..)..(

treatment

treatmenttreatment df

SSMS

error

errorerror df

SSMS

error

treatment

MS

MSF

Rechenbeispiel

Messzeitpunkt

Pat-Nr. vor Th. nach Th. 6 Monate

1 23 10 13

2 27 13 16

3 25 9 12

4 24 8 12

..yjy.

.iy

Mittelwerte

Messzeitpunkt

Pat-Nr. vor Th. nach Th. 6 Monate

1 23 10 13 15,33

2 27 13 16 18,67

3 25 9 12 15,33

4 24 8 12 14,67

24,75 10 13,25 16,00jy.

.iy

Meßwiederholte einfaktorielle ANOVA: Vorgehen

1. Hypothesen

2. Varianzzerlegung:a) Rand- und Gesamtmittelwerte bilden

b) Quadratsummen berechnen

c) Freiheitsgrade berechnen

d) Mittlere Quadratsummen berechnen

3. F-Bruch bilden

4. Vergleich des emp. F-Werts mit krit. F-Wert

Mauchly-Test auf Sphärizitätb

Maß: MASS_1

,269 2,628 2 ,269 ,578 ,710 ,500InnersubjekteffektTHERAPIE

Mauchly-WApproximiertes Chi-Quadrat df Signifikanz

Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt Untergrenze

Epsilona

Prüft die Nullhypothese, daß sich die Fehlerkovarianz-Matrix der orthonormalisierten transformierten abhängigen Variablenproportional zur Einheitsmatrix verhält.

Kann zum Korrigieren der Freiheitsgrade für die gemittelten Signifikanztests verwendet werden. In der Tabelle mitden Tests der Effekte innerhalb der Subjekte werden korrigierte Tests angezeigt.

a.

Design: Intercept Innersubjekt-Design: THERAPIE

b.

p > .05, der Mauchly-Test ist also nicht signifikant

Demnach ist die Sphärizität (Zirkularität) ist also gegeben.

Tests der Innersubjekteffekte

Maß: MASS_1

480,500 2 240,250 345,960 ,000

480,500 1,155 415,921 345,960 ,000

480,500 1,421 338,180 345,960 ,000

480,500 1,000 480,500 345,960 ,000

4,167 6 ,694

4,167 3,466 1,202

4,167 4,263 ,978

4,167 3,000 1,389

Sphärizität angenommen

Greenhouse-Geisser

Huynh-Feldt

Untergrenze

Sphärizität angenommen

Greenhouse-Geisser

Huynh-Feldt

Untergrenze

QuelleTHERAPIE

Fehler(THERAPIE)

Quadratsumme vom Typ III df

Mittel derQuadrate F Signifikanz

Da die Sphärizitätsannahme nicht verletzt ist, kann die erste Zeile verwendet werden.

p < 0.05, d.h. Der Messzeitpunkt beeinflusst das Testergebnis.

III. Messwiederholung mehrfaktoriell

Messwiederholung 2-faktoriell

o Unvollständige Messwiederholung: Nur ein Faktor der ANOVA ist ein Messwiederholungsfaktor.

Beispiel: Effekte von Verhaltenstherapie, Gesprächstherapie und Psychoanalyse nach einer Woche, einem Monat und einem Jahr.

o Vollständige Messwiederholung: Beide Faktoren sind Messwiederholungsfaktoren.

Beispiel: Die Befindlichkeit von Schmerzpatienten wird im Verlauf einer Woche dreimal am Tag erhoben. Faktor 1 erfasst hier die Veränderung über den Tag hinweg, Faktor 2 den Einfluss des Wochentags.

Unvollständige Messwiederholung

Woche Monat Jahr

VT n 1 n 1 n 1

GT n 2 n 2 n 2

PA n 3 n 3 n 3

Vollständige Messwiederholung

Morgen Mittag Abend

Montag

Ngesamt

Dienstag

Mittwoch

Donnerstag

Freitag

Samstag

Sonntag

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!

Arbeitsblatt 4

1. Erläutern Sie kurz den Begriff „Zufallseffekt“.

2. Welchen Vorteil kann es haben, einen Faktor als Zufallseffekt zu kodieren? Nennen sie ein Beispiel für eine entsprechende Fragestellung.

3. Mit welchen mittleren Quadratsummen (MS) werden die drei F-Brüche in einer 2-faktoriellen ANOVA mit Zufallseffekten auf Faktor B und festen Effekten auf Faktor A gebildet?

Ergebnis

1. Wenn ein Faktor (theoretisch) unendlich viele Abstufungen hat und für eine Untersuchung „zufällig“ einige davon ausgesucht werden, spricht man von Zufallseffekten.

2. Wenn ein Faktor als Zufallsfaktor betrachtet wird, so ist eine Generalisierung der Ergebnisse auf andere (nicht untersuchte) Stufen möglich.

3. ->

within

FaktorAxB

MS

MSF

FaktorAxB

FaktorA

MS

MSF

within

FaktorB

MS

MSF

Arbeitsblatt 4

4. Welche Vor- und Nachteile hat eine ANOVA mit Messwiederholung?

5. Sie berechnen eine ANOVA und stellen dabei fest, dass die Sphärizitätsannahme verletzt ist. Wie können Sie nun weiter vorgehen?

Ergebnisse 4.Vorteile:

Es werden weniger Versuchspersonen benötigt, da dieselben Vpn mehrmals getestet werden.Höhere Teststärke (Power), da die Fehlervarianz verringert wird. Die Varianz „zwischen“ Vpn ist eliminiert, da man die Vpn nur mit sich selbst vergleicht.

Nachteile:Sphärizitätsannahme (Zirkularitätsannahme) Sequenzeffekte (Reihenfolge der Testung kann Einfluss haben)Fehlende Daten zu einem Messzeitpunkt führen dazu, dass eine Person komplett (zu allen Messzeitpunkten) ausgeschlossen werden muss.

5. Wenn eine Korrektur der Freiheitsgrade (nach Greenhouse-Geisser) erfolgt, darf der F-Test dennoch interpretiert werden.