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Vektorrechnung

1. Vektoren im R2,R3

Großen in Physik und Technik:

- skalare Großen: Lange [m], Zeit [sec],

Masse [kg], Energie [Nm],

elektr. Spannung [V ], . . .

gekennzeichnet durch: Maßzahl (∈ R) [Maßeinheit]

- vektorielle Großen: Geschwindigkeit

Kraft

elektr. Feldstarke

gekennzeichnet durch: Maßzahl

[Maßeinheit] ∧ Richtungs-

angabe

D.: Ein Vektor (im R3) ist ein mathematisches

Objekt, das durch Angabe einer nichtnegativen

Maßzahl und einer Richtung im Raum (im R3)

bestimmt ist.

Geometrisches Bild: gerichtete Strecke

Nullvektor ~o : |~o| = 0, Richtung beliebig.

Einheitsvektor ~e : |~e| = 1

1

D.: Gleichheit zweier Vektoren

~a = ~b := ~a und ~b stimmen in Betrag und

Richtung uberein.

“Vektoren, die durch Parallel-

verschiebung ineinander uberfuhrt

werden konnen, werden als gleich

angesehen”.

~v

~v~v

Kartesisches Koordinatensystem: Verschiebe

Vektor ~x so, daß Anfangspunkt im Koordina-

tenursprung liegt. Dann ist ~x allein durch seinen

Endpunkt P festgelegt, d. h. durch die Koordi-

naten von P . Man kann deshalb die Menge aller

Vektoren identifizieren mit

R3 := {(x1, x2, x3) | x1, x2, x3 ∈ R}Umgekehrt konnen wir P (x1, x2, x3) als den Vek-

tor ~x ansehen, der vom Ursprung zu P (x1, x2, x3)

fuhrt. Ã ~x heißt Ortsvektor.

D.: Parallele Vektoren := Symbol: ~a‖~bkonnen durch Parallelverschiebung auf dieselbe

Gerade gebracht werden.

Gleichgerichtete Vektoren := ~a ↑↑ ~b

haben gleichen Richtungssinn.

Entgegengesetzte (antiparallele) Vektoren ~a ↑↓ ~b

haben entgegengesetzten Richtungssinn.

2

Komplanare Vektoren := ihre zugehorigen

gerichteten Strecken mit gleichem Anfangspunkt

liegen in einer gemeinsamen Ebene.

D.: Multiplikation eines Vektors mit einem Ska-

lar:

~b = λ~a := |~b| = |λ||~a| ∧~a||~b bzw. ~a ↑↑ ~b falls λ > 0

~a ↓↑ ~b falls λ < 0.

Sei ~a 6= ~o. ~a0 := 1|~a|~a Einheitsvektor zu ~a.

~a0 ↑↑ ~a ∧ |~a0| = 1.

D.: Addition von Vektoren

Fur ~a = (a1, a2, a3) und ~b = (b1, b2, b3) ∈ R3 gilt

~a +~b := (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)

Anschaulich: “Geometrische” Addition von Kraften

mit Hilfe des Krafteparallelogramms.

~a

~v~u

~a = λ~u + µ~v

~a

~b~a+~b

3

Rechenregeln:

Folgende Gesetze gelten allgemein fur das Rech-

nen mit Vektoren in n Dimensionen (im soge-

nannten n-dim. Vektorraum Rn, n = 1,2,3, . . .) ÃVektorraumaxiome

~a +~b = ~b + ~a (Kommutativgesetz)

~a + (~b + ~c) = (~a +~b) + ~cr · (s · ~a) = (r · s)~a, r, s ∈ R

}(Assoz.-Ges.)

~o + ~a = ~a + ~o = ~a (neutrales Element)~a + (−~a) = (−~a) + ~a = ~o (inverses Element)

r(~a +~b) = r~a + r~b(r + s)~a = r~a + s~a

}(Distributivgesetze)

0 · ~a = ~a · 0 = ~o1 · ~a = ~a · 1 = ~a

Die Lange |~a| eines Vektors ~a kann man mit Hilfe

des Satzes von Pythagoras aus den Koordinaten

von ~a bestimmen:

|~a| :=√

a21 + a2

2 + a23

Damit gilt: |~a| = 0 ⇔ ~a = ~o

und |λ~a| = |λ||~a|, ∀λ ∈ R.

und ∆-Ungl. |~a +~b| ≤ |~a|+ |~b| (*)

Aus (*) ergibt sich ||~a| − |~b|| ≤ |~a±~b|4

Euklidischer Abstand d(~b,~c) zweier Punkte

B(b1, b2, b3) und C(c1, c2, c3) im R3 mit den Orts-

vektoren ~b = (b1, b2, b3) und ~c = (c1, c2, c3):

d(~b,~c) := |b− c| =

3∑

i=1

(bi − ci)2

1/2

Der Euklidischen Abstand d(~b,~c) hat folgende

allgemeingultige Eigenschaften (~a,~b,~c sind Vek-

toren im Rn):

(M1) d(~b,~c) ≥ 0 und d(~b,~c) = 0 ⇔ ~b = ~c

(M2) d(~b,~c) = d(~c,~b) (Symmetrie)

(M3) d(~b,~c) ≤ d(~b,~a) + d(~a,~c) (∆-Ungl.)

Diese 3 Gesetzmaßigkeiten bilden spater die Axio-

me fur den metrischen Raum.

5

Beispiel:

An dem Drehkran aus Abbildung 3

hangt eine Last, die eine Kraft K

bewirkt. Wie groß sind die Zug-

kraft K1 in der Schließe s1 und

die Druckkraft K2 in der Strebe

s2 des Krans?

v2

Ks2

s1

Abbildung 3

α

v1 β

Sind v1 =

(v11

v12

)und v2 =

(v21

v22

)fest gewahlte

Vektoren in Richtung von s1 und s2, so gibt es

µ1, µ2 ∈ R mit Ki = µivi, i = 1,2.

Befindet sich der gemeinsame Angriffspunkt der

Krafte K1, K2 und K in Ruhe, so muß Kraft-

gleichgewicht herrschen:

K = K1 + K2 = µ1v1 + µ2v2.

Komponentenweise geschrieben ist dies ein li-

neares Gleichungssystem

K1 = µ1v11 + µ2v2

1K2 = µ1v1

2 + µ2v22,

(1)

aus dem man µ1, µ2 (und damit K1 und K2)

bestimmen kann.

6

Wenn die eingezeichneten Winkel α und β be-

kannt sind, erhalt man hier direkt mit dem Si-

nussatz fur die Betrage |Kj| der Kraftvektoren

Kj(j = 1,2)

|K1| = |K| sinα

sinβ(2)

|K2| = |K| sin(π − α− β)

sinβ= |K| sin(α + β)

sinβ(3)

¤

Bemerkung: Bei der Zerlegung von Kraften wird

im Ingenieurbereich die Verwendung der trigono-

metrischen Funktionen haufig uberstrapaziert.

Wie Sie sehen, konnen die Krafte aus dem li-

nearen Gleichungssystem (1) berechnet werden,

ohne daß dabei auf die trigonometrischen Funk-

tionen Bezug genommen werden muß. Die bei

zunachst unbekannten Winkeln α und β oft an-

getroffene Losungsvariante aus der Geometrie,

zunachst diese Winkel zu bestimmen und sodann

die Formeln (2) und (3) zu verwenden, lost auch

nur dieses Gleichungssystem.

7

D.: Skalarprodukt: Geg.: Vektoren ~a,~b.

Die reelle Zahl 〈~a,~b〉 ≡ ~a · ~b, die nach folgender

Vorschrift erklart wird

〈~a,~b〉 := |~a| · |~b| · cos(^(~a,~b)), ^(~a,~b) ∈ [0, π]

heißt Skalarprodukt oder auch inneres Produkt.

�� ��������

~b

α

~b

~ba ~a

α

~a

|~ba| = |~b| cosα > 0 |~b| cosα < 0

~ba = |~b| · cosα · ~a|~a| =

〈~a,~b〉|~a| · ~a

|~a|

Satz: Eigenschaften des Skalarproduktes

(i) 〈~a,~b〉 = 0 ⇔ ~a⊥~b

(ii) 〈~a,~b〉 = 〈~b,~a〉 ∀~a,~b ∈ R3

(iii) 〈~a +~b,~c〉 = 〈~a,~c〉+ 〈~b,~c〉 ∀~a,~b,~c ∈ R3

(iv) 〈λ~a,~b〉 = 〈~a, λ~b〉 = λ〈~a,~b〉 ∀~a,~b ∈ R3, ∀λ ∈ R

(v) 〈~a,~a〉 = |~a|2 > 0 ∀~a ∈ R3\{0}

8

Aus diesem Satz laßt sich die “winkelfreie” Be-rechnungsvorschrift fur 〈~a,~b〉 herleiten:Seien ~i = (1,0,0) = ~e1, ~j = (0,1,0) = ~e2, ~k =(0,0,1) = ~e3 und ~a = a1~i+a2~j+a3

~k, ~b = b1~i+. . .Dann gilt

〈~a,~b〉 = 〈3∑

i=1ai~ei,

3∑j=1

bj~ej〉 =3∑

i=1

3∑j=1

aibj〈~ei, ~ej〉

=3∑

i=1aibi, da 〈~ei, ~ej〉 = δij =

{1, i = j0, i 6= j.

⇒ cosα = 〈~a,~b〉|~a||~b| =

3∑i=1

aibi

|~a||~b|Wegen | cosα| ≤ 1 folgt hieraus dieCauchy-Schwarzsche Ungleichung:

|〈~a,~b〉| ≤ |~a| · |~b|∣∣∣∣∣

3∑i=1

aibi

∣∣∣∣∣ ≤(

3∑i=1

a2i

)1/2 (3∑

i=1b2i

)1/2

(wird noch fur bel. Summen “n∑

i=1· · ·” gezeigt!)

Mit dieser Ungleichung erhalt man einen einfa-chen Beweis der ∆-Ungl.:

|~a +~b|2 = 〈~a +~b,~a +~b〉 = 〈~a,~a〉+ 2〈~a,~b〉+ 〈~b,~b〉≤ |~a|2 + 2|~a||~b|+ |~b|2 = (|~a|+ |~b|)2

⇒ |~a +~b| ≤ |~a|+ |~b| .9

Geometrische Anwendungen:

~b~d ~c

~a ~a ~c

~b~a

α

Satz des Thales: Jeder Winkel uber dem Durch-

messer eines Kreises ist ein rechter.

Wegen |~a| = |~d| gilt

〈~b,~c〉 = 〈~a + ~d,−~a + ~d〉 = −〈~a,~a〉+ 〈~a, ~d〉−−〈~d,~a〉+ 〈~d, ~d〉 = −|~a|2 + |~d|2 = 0

Kosinussatz: |~a|2 = 〈~a,~a〉 = 〈~b− ~c,~b− ~c〉 =

= |~b|2 + |~c|2 − 2|~b||~c| cosα.

Bem.: Die Gleichung

〈~a, ~x〉 = p hat unendlich viele

Losungen!~a

~x

~x

P

10

Vektorprodukt (außeres Produkt, Kreuzprodukt)

Vektorprodukt ist nur im R3 erklart.

~c := ~a ×~b wird nach folgender Vorschrift gebil-

det:

1) |~c| = |~a| · |~b| · sin(^ (~a,~b)︸ ︷︷ ︸=α

)

(α Winkel zwischen ~a und ~b, 0 ≤ α ≤ π.)

2) ~c⊥ ~a ∧ ~c⊥~b

3) ~a,~b,~c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechts-

system, falls ~c 6= ~o

Geometrische Deutung:

Flache Parallelogramm:

Grundseite |~a| · Hohe h

⇒ |~a| · |~b| · sinα = |~a×~b| h = |~b| · sinα

~a×~b

~b

~a

hα

11

Rechenregeln: Fur ~a,~b,~c ∈ R3 und λ ∈ R gilt

(i) ~a×~b = −~b× ~a insbesondere ~a× ~a = ~o

(ii) λ(~a×~b) = (λ~a)×~b = ~a× (λ~b)

(iii) ~a× (~b + ~c) = (~a×~b) + (~a× ~c)

(iv) |~a×~b|2 = |~a|2|~b|2 − 〈~a,~b〉2

(v) Assoziativgesetz gilt nicht

~a× (~b× ~c) 6= (~a×~b)× ~c

(vi) Winkel α zwischen ~a und ~b

sinα = sin(^(~a,~b)) = |~a×~b||~a|·|~b|

B.: Sinussatz

Dreiecksflache

|F | = 12|~b× ~c| = 1

2|~b| · |~c| sinα

b aβ

cα

andererseits: |F | = 12|~a× ~c| = 1

2|~a| · |~c| · sinβ

⇒ |~a| sinβ = |~b| sinα

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Mehrfachprodukte von Vektoren

D.: Unter dem Spatprodukt der Vektoren ~a,~b,~c ∈R3 versteht man die reelle Zahl 〈~a×~b,~c〉.Der Betrag 〈~a × ~b,~c〉 des Spatproduktes ist das

Volumen V des von ~a,~b und ~c aufgespannten

Parallelepipedes oder Spates.

Volumen V = F · h= |~a×~b| · |~c| · cos γ

= 〈~a×~b,~c〉

����

~a×~b

~aF

h γ ~c

~b

〈~a×~b,~c〉 = 0 ⇔ ~a,~b,~c komplanar, d.h. die Vekto-

ren liegen in einer Ebene.

(Spater bei Determinanten:

〈~a×~b,~c〉 = det

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

Entwicklungssatze:

~a× (~b× ~c) = 〈~a,~c〉~b− 〈~a,~b〉~c(~a×~b)× ~c = 〈~a,~c〉~b− 〈~b,~c〉~a

(Es gilt auch hier kein Assoziativgesetz!)

13

2. Analytische Geometrie der Geraden

und Ebenen

��

��

0g

P

P1

~r

~r1 ~g

Gerade g ist bestimmt durch

Punkt P1 und Richtung (beschrie-

ben durch Vektor ~g 6= ~o) : g(P1;~g),

KS{o; i, j, k} Ortsvektoren bzgl. o.

P ∈ g : ~r = ~r1 + ~P1P , ~P1P ‖~g,~P1P = t~g, t ∈ R

~r = ~r1 + t~g, t ∈ R Parameterdarstellung von g.

(Punkt-Richtungsform der Geraden), t Parame-

ter.

Falls |~g| = 1, dann ist |t| = Abstand ( ~P1P ).

Sei P2 ∈ g, P2 6= P1. Wahl: ~g = ~r2 − ~r1

⇒ ~r = ~r1 + t(~r2 − ~r1), t ∈ R (Zweipunkteformder Geraden) g

Elimination von t:

(~r − ~r1)× ~g = ~o Parameterfreie Darstellungvon g (Plucker)

UA: Bestimme Abstand Punkt - Gerade: d(P0, g),

mit P0 /∈ g.

14

Relative Lage zweier Geraden g1 und g2g1 : r = r1 + t~a

g2 : r = r2 + t~b

1) ~a ‖ ~b ⇔ g1‖g22) g1 ∦ g2 d. h. ~a ∦ ~b

(i) g1 ∩ g2 = ∅, d.h. ∃ Schnittpunkt

(ii) g1∩g2 = ∅, d.h. @ Schnittpunkt: g1 wind-

schief zu g2

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Abstand windschiefer Geraden

����

����

0

g1

F1

g3

P1

!

F2

g2

~r1

~a

~rF2

~r2

~rF1

P2 ~b

~ϑ = d(~a×~b), d ∈ R

g1 : ~r = ~r1 + t~a t ∈ R bel.

g2 : ~r = ~r2 + s~b s ∈ R bel.

}geg.

g3 : Gerade, die g1 und g2 ⊥ schneidet.⇒ ~rF1

= ~r1 + t∗a~rF2

= ~r2 + s∗b~ϑ = ~rF1

− ~rF2⊥ ~a, ⊥ ~b

~rF1− ~rF2

= ~r1 + t∗~a− ~r2− s∗~b = d(~a×~b) | ·(~a×~b)

(~r1−~r2)(~a×~b)+ t∗~a(~a×~b)︸ ︷︷ ︸=0

−s∗~b(~a×~b)︸ ︷︷ ︸=0

= d|~a×~b|2

⇒

d = |~rF1− ~rF2

| = (~r1 − ~r2)(~a×~b)

|~a×~b|2

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Ebenen im R3

Geg.: g(P1, ~g), ~g 6= ~o

D.: Ebene E := Geometr. Ort aller Geraden,

die ⊥ auf ~g stehen und P1 enthalten. ~g Norma-

lenvektor zu E.

������������

����

E

P1

g~n (Normalenvektor)

P

E

0

P1

~r~r1

~r − ~r1

P ∈ E ⇔ ~r − ~r1 ⊥ ~n : 〈~r − ~r1, ~n〉 = 0

(auch 〈~r, ~n〉 = 〈~r1, ~n〉 =: d)

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Parameterfreie Darstellung der Ebene:

〈~r, ~n0〉 = p := d|~n| Hessesche Normalform

����

����~a

0

~r~r1

E

P1

~b

~n

P~r−~r1

Wahl: ~a,~b⊥~n, ~a×~b 6= ~o (nicht par-

allel)

~r − ~r1⊥~n, ~r − ~r1,~a,~b komplanar

(d.h. in einer Ebene liegend)

⇒ ~r − ~r1 = t~a + s~b, (s, t ∈ R beliebig)

⇒ ~r = ~r1 + t~a + s~b s, t ∈ R↑ ↖ ↖ ↗

Ortsvektor

zu einem

be-

liebigen

Punkt der

Ebene S

Ortsvektor

zu einem

festen

Punkt

der

Ebene

Richtungsvek-

toren von

E : ~a ∦ ~b

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Parameterdarstellung der Ebene:

Ebene festgelegt durch 3 Punkte P1, P2, P3, die

nicht auf einer Geraden liegen

P1↗P3↘P2

~g1 := ~r2 − ~r1, ~g2 := ~r3 − ~r1 = ~P1P3, ~n = ~g1 × ~g2

~r = ~r1 + s(~r2 − ~r1) + t(~r3 − ~r1)

(3-Punkte-Form der Ebene)

Relative Lage zweier Ebenen

E1 : 〈~r, ~n1〉 = d1 ~n1 NV zu E1.

E2 : 〈~r, ~n2〉 = d2 ~n2 NV zu E2.

1. Fall: E1 ‖ E2 ⇔ ~n1 ‖ ~n2

Abstand d(E1, E2) = d(E1, P2) mit P2 ∈ E2.

2. Fall: E1 ∦ E2, d. h. ~n1 ∦ ~n2

⇒ E1 ∩ E2 = Gerade (Schnittgerade g)

Richtung von g: ⊥ zu ~n1 und ~n2

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B.: E1 : 2x + 6y − 2z = 2 ~n1 = (2,6,−2)

E2 : 2x + 8y + 4z = 8 ~n2 = (2,8,4)

~n1 ∦ ~n2

g = E1 ∩ E2 Losung des linearen Gleichungssy-

stems

2x + 6y − 2z = 2(E2 − E1) 2y + 6z = 6 ⇒ y = 3− 3z

x = 1− 9++9z + z == −8 + 10z

Lsg.: z = t ∈ R bel. ⇒ y = 3− 3tx = −8 + 10t

Geradengln.: g : ~r =

xyz

=

−8 + 10t3− 3t

t

=

=

−830

+ t

10−31

t ∈ R.

Parameterfreie Darstellung (Plucker):

x + 8y − 3

z

×

10−31

= ~o ⇔

y + 3z = 3−x + 10z = 83x + 10y = 6

20

Bsp.: 1) E : P1 = (1,0,0), ~a = (1,0,1),~b = (0,1,1)

⇒ ~r = (1,0,0) + s(1,0,1) + t(0,1,1), s, t ∈ R

Normalenvektor: ~n =

∣∣∣∣∣∣∣

i j k1 0 10 1 1

∣∣∣∣∣∣∣= (−1,−1,1)

Parameterfreie Gln.: ~r ·(−1,−1,1) = ~r1 ·n = −1 .

Mit ~r = (x, y, z)) lautet die Gleichung:

(x, y, z)(−1,−1,1) = −x− y + z = −1

Hessesche NF: ~r · ~n0 = p mit p = d|~n|

Da |~n| = √3 folgt

~r · 1√3(−1,−1,1) = −1√

3= d

2) E : ~r(1,2,1) = 4 ⇒ x + 2y + z = 4,

Normalenvektor n = (1,2,1)

Parametergln. von E: y = s, z = t bel. ⇒x = −2s− t + 4 = 4− 2s− t

~r =

xyz

=

4− 2s− t

st

=

400

+ s

−210

+ t

−101

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Abstand Punkt P1 - Ebene E: d(P1, E)

P1 : ~r1 = ~OP1E : ~r · n = d

}geg.

g: Gerade durch P1⊥E

g: ~r = ~r1 + t~n

����

���������� ��

������

0

F~r1

~rFE

g

~nP1

t∗~n

F : Fußpunkt des Lotes von P1 auf E = Schnitt-

punkt von g und E.

~rF = ~r1 + t∗~n, ~rF · ~n = d ⇒~rF · ~n = (~r1 + t∗~n)~n = ~r1~n + t∗|~n|2 = d

⇒ t∗ = d−~r1~n|~n|2 .

d(P1, E) := |~rF − ~r1| = |t∗~n| = |t∗||~n| = |d−~r1~n||~n|2 |~n|

⇒ d(P1, E) =|d− ~r1~n||~n|

d(O, E) =|d||~n|

(d(P1, E): Abstand des Punktes P1 von der Ebe-

ne E, d(O, E): Abstand der Ebene vom Ursprung.)

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