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Reihe 18
S 1Verlauf Material LEK Glossar Lösungen
Funktionen und ihre Graphen
II/A
80 RAAbits Mathematik September 2014
Funktionen und ihre Graphen – Helfer im Alltag
Florian Borges, Traunstein
Ihre Schüler ermitteln Symmetrien an Funktionsgraphen, das Verhalten einer Funktion an
den Grenzen des Definitionsbereichs sowie im Unendlichen, lokale und globale Extrema,
Wendepunkte und Nullstellen. Sie erarbeiten sich die Besonderheiten bei verschiedenen
Funktionsfamilien exemplarisch. Lebensnahe Anwendungen runden den Beitrag ab.
Klasse: 11/12 (G8)
Dauer: 10–11 Stunden
Inhalt: Symmetrie des Graphen, Nullstellen,
Polynomdivision, Grenzverhalten, Stei-
gung, Ableitungsregeln, Extrempunkte,
Wendepunkte, Krümmung, verschiedene
Funktionstypen sowie Anwendungs-
beispiele aus Wirtschaft, Medizin, Sport,
Physik und Technik
Ihr Plus: ideal zur Vorbereitung auf das Abitur
Wiederholungsblatt und LEK auf
CD-ROM 55
x2+1
sin(x)
2 cos(x)
x5+x3–3x
Gy
Ex
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Reihe 18S 3
Verlauf Material LEK Glossar Lösungen
Funktionen und ihre Graphen
II/A
80 RAAbits Mathematik September 2014
Weitere Ziele
Øfinden zielstrebig besondere Punkte des Graphen wie Nullstellen (etwa durch Poly-
nomdivision), y-Abschnitt, Extrema und Wendestellen,
Øvertiefen typische Eigenschaften verwandter Funktionen und
Ølernen, sich in Anwendungsbezügen mit den behandelten Hilfsmitteln zurechtzufin-
den.
Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz
Allg. mathe-
matische
Kompetenz
Leitidee Inhaltsbezogene Kompetenzen
Die Schüler ...
Anforderungs-
bereich
K 2, K 5 L 4 … erkennen experimentell sowie
algebraisch Zusammenhänge von Funk-
tionen und deren Symmetrieeigen-
schaften (M 1, M 2),
II
K 2, K 5 L 4 … bestimmen unter Verwendung von
Faktorisierung und Polynomdivision
besondere Punkte eines Graphen (M 3),
I
K 1, K 5 L 1, L 4 … untersuchen das Grenzverhalten von
Graphen an den Definitionsrändern sowie
im Unendlichen (M 5),
I
K 2, K 5 L 4 … wiederholen Ableitungsregeln und
untersuchen Graphen auf Extrempunkte
sowie Wendepunkte (M 6–M 8),
III
K 3. K 5 L 4 … modellieren den Verlauf einer Straße
anhand von Steigungs- sowie Krümmungs-
tabellen (M 7, M 8),
III
K 2, K 5 L 4 … wenden Sätze und Kriterien aus M 1–
M 8 auf rationale/gebrochenrationale,
trigonometrische sowie Exponential- und
Logarithmusfunktionen an (M 9–M 11),
I, III
K 3, K 6 L 4 … wenden ihre Kenntnisse über expo-
nentielles Wachstum sowie exponen-
tiellen Zerfall in den Bereichen Wirtschaft,
Medizin, Physik und Technik an (M 12).
II, III
Abkürzungen
Kompetenzen
K 1 (Mathematisch argumentieren); K 2 (Probleme mathematisch lösen); K 3 (Mathe-
matisch modellieren); K 4 (Mathematische Darstellungen verwenden); K 5 (Mit symbo-
lischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen); K 6 (Kommu-
nizieren)
Leitideen
L 1 (Zahl und Zahlbereich); L 2 (Messen und Größen); L 3 (Raum und Form); L 4 (Funk-
tionaler Zusammenhang); L 5 (Daten und Zufall)
Anforderungsbereiche
I Reproduzieren; II Zusammenhänge herstellen; III Verallgemeinern und Reflektieren
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Reihe 18S 4
Verlauf Material LEK Glossar Lösungen
Funktionen und ihre Graphen
II/A
80 RAAbits Mathematik September 2014
Auf einen Blick
Einstieg: Erkennen von Besonderheiten eines Funktionsgraphen
Material Thema Stunde
M 1 Symmetrische Graphen sind schön!
Symmetrie zum Koordinatensystem
1.
M 2 Punkt- und Achsensymmetrien bei Funktionsgraphen
Weitere Symmetrien
M 3 Graphenschnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (inkl. Polynom-
division)
2.
M 4 Tippkarte zum Thema Polynomdivision (M 3)
M 5 Verhalten des Graphen an den Definitionsrändern
Verhalten an den Definitionsrändern und im Unendlichen
3.
M 6 Die Ableitungsregeln und die Tangentensteigung 4.
M 7 Auf und nieder! – Steigung und Extrempunkte
Steigung, Monotonieverhalten und Extrema
5.
M 8 Radfahren kinderleicht! – Krümmung und Wendepunkte
Krümmung und Wendepunkte
6.
Lernzirkel zu typischen Eigenschaften verschiedener Funktionsfamilien
Material Thema Stunde
M 9 Polynom- und gebrochenrationale Funktionen
Eigenschaften der Funktionsfamilie
7.
M 10 Trigonometrische Funktionen
Eigenschaften der Funktionsfamilie
8.
M 11 Exponential- und Logarithmusfunktionen
Eigenschaften der Funktionsfamilie
9.
Abschluss im Plenum
Material Thema Stunde
M 12 Anwendungen
Anwendungsaufgaben aus den Bereichen
Wirtschaft, Medizin, Sport, Physik und Technik
10. und
11.
Die Lösungen zu den Materialien finden Sie ab Seite 18.
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Reihe 18 Verlauf Material
S 5LEK Glossar Lösungen
Funktionen und ihre Graphen
II/A
80 RAAbits Mathematik September 2014
M 5 Verhalten des Graphen
an den Defi nitionsrändern
Die Abbildung zeigt ausschnittsweise den
Graphen von1
f(x) 2x 1
= +−
mit Dei nitionsmenge df = r { }\ 1 .
Offensichtlich strebt der Funktionswert links
von der Dei nitionslücke („Pol“) bei 1 gegen −∞ ,
rechts davon gegen ∞ sowie rechts und links
für x → ±∞ gegen den Grenzwert 2. Bevor wir
diese Vermutung begründen, muss der Begriff
„Grenzwert“ klar dei niert sein:
Defi nition
Eine Funktion f hat für x a→ den Grenzwert c genau
dann, wenn f(x) beliebig nahe bei c liegt, falls man x hin-
reichend nahe bei a wählt.
Schreibweise: x alimf(x) c
→=
1f(x) 2
x 1= +
− besteht aus zwei Summanden: Der erste ist
1
x 1− und strebt für betrags-
mäßig über jede Schranke hinauswachsende x-Werte gegen 0, der zweite ist konstant
2, und es ergibt sich: xlim f(x) 2→±∞
= .
In der Nähe der Polstelle bei x = 1 kommt es darauf an, ob man sich dieser von links
nähert (dann ist x „eine Idee“ kleiner als 1, der Nenner von 1
x 1−somit um „eine Idee“
kleiner als 0, der Bruchterm 1
x 1− strebt also gegen −∞ ) oder von rechts (dann ist x
„eine Idee“ größer als 1, der Nenner von 1
x 1− somit um „eine Idee“ größer als 0, der
Bruchterm 1
x 1− strebt also gegen +∞ ). Der konstante Summand 2 spielt hier keine
Rolle.
Also: x 1
limf(x)<
→
= −∞ und x 1
limf(x)>
→
= ∞ .
Weitere Beispiele:
1. Bei Polynomfunktionen hat für x → ±∞ stets die höchste Potenz von x „Recht“:
a) 5 3
xlim ( 3x 1000x 2000)
→∞− + + = −∞ ; 5 3
xlim ( 3x 1000x 2000)→−∞
− + + = +∞
b) 4 3
xlim ( 3x 1000x 2000)
→∞− + + = −∞ ; 4 3
xlim ( 3x 1000x 2000)→−∞
− + + = −∞
y
x
G
E
f
f
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Reihe 18 Verlauf Material
S 12LEK Glossar Lösungen
Funktionen und ihre Graphen
II/A
80 RAAbits Mathematik September 2014
M 11 Exponential- und Logarithmusfunktionen
Lineares und exponentielles Wachstum – die kontinuierliche Verzinsung
Eine Bank biete einen Jahreszins von 100 % an (utopisch, aber gut zu rechnen). Dann
wird einer Einlage von 100 € nach einem Jahr der Zins von 100 € gutgeschrieben. Hebt
man diese Zinsen gleich ab und lässt den Guthabenstand auf 100 €, dann sammeln sich
im „Sparstrumpf“ daheim nach n Jahren genau 100 • n € Zinsen an. Das nennt man line-
ares Wachstum (jährlich um 100 € mehr). Lässt man die Zinsen auf dem Konto liegen,
dann werden sie schon im nächsten Jahr mitverzinst. Man nennt das den Zinseszins.
Wenn sich ein geschäftstüchtiger Mann
nach 1 Monat Zinsen gutschreiben lässt
(dann natürlich 12/100 %, also ein Zwölftel
des Jahreszinses), nach zwei Monaten wie-
der einschließlich Zinseszins für den ersten
Monat usw., dann wird durch die häui -
gere Gutschrift der Kontostand tatsächlich
schneller wachsen, bei täglicher, stündli-
cher, sekündlicher Gutschrift würde sich
der Effekt weiter verstärken, er hat aber
Grenzen: Selbst bei „kontinuierlicher“ Ver-
zinsung wächst das Vermögen nicht unbe-
grenzt. Wird der Zins in n gleich großen
Bruchteilen eines Jahres verbucht, dann
beträgt der Kontostand nach diesem Jahr
n n
n100 1100 € 1 100 € 1 100 € e 271,83 €
100 n n
→∞ ⋅ + = ⋅ + → ⋅ ≈ ⋅ ( e 2,718281...= )
Eine Besonderheit der e-Funktion xf(x) e= : Die Ableitung dieser Funktion ist sie selbst: xf'(x) f(x) e= = . Sie liefert immer positive Werte und hat einen eher langweiligen Gra-
phen, ebenso ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus eln(x) log (x)= zu eben
dieser Basis e, dessen Ableitung die Hyperbelfunktion 1
x (x ≠ 0) ist.
Weit spannender sind die Graphen verknüpfter Funktionen wie2 xf(x) (x 1) e= − ⋅ :
Aufgabe
Untersuchen Sie folgende Funktionen zunächst auf max. Dei nitionsbereich, Symmetrie
zum Koordinatensystem, Verhalten an den Dei nitionsrändern, Schnittpunkte mit den
Achsen sowie Extrem- und Wendepunkte. Skizzieren Sie die Graphen.
1. 2x
1g (x) e−=
2. 2 x
2g (x) x e= ⋅
3. 3g (x) x ln(x)= ⋅
4. x
4 2
eg (x)
x=
y
x
ex
ln(x)
Merke („Die e-Funktion hat Recht!“):
1. Die e-Funktion „überholt“ irgendwo jede
Potenzfunktion, also x
nx
elim
x→∞= ∞ ∀ n ∈ n.
2. Die ln-Funktion wächst langsamer als jede
Potenzfunktion, also nx
ln(x)lim 0
x→∞= ∀ n ∈ n.
y
x
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Reihe 18 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen
S 2
Funktionen und ihre Graphen
II/A
80 RAAbits Mathematik September 2014
35g (x) 3x 2x 1= + − ; sowohl ungerade als auch gerade Hochzahlen
(0) bei x, also keine Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse.g3 ist punktsymmetrisch zum Punkt (0|–1).
3 3 1 05g (x) 3x 2x 1 3x 2x 1x= + − = + −
37g (x) 3x 2cos(x)= + ; die Funktion 33x ist ungerade, die Funktion
2cos(x) ist gerade, also nicht symmetrisch.
29g (x) 3x 2cos(x)= + ; Summe gerader Funktionen, also
Symmetrie zur y-Achse.
E
Gy
x
36g (x) 3x 2sin(x)= + ; Summe ungerader Funktionen ist
ungerade, also punktsymmetrisch zum Ursprung.
Gy
Ex
Gy
Ex
28g (x) 3x 10sin(x)= + ; die Funktion 23x ist gerade, die
Funktion 2sin(x) ist ungerade, also nicht symmetrisch.
Gy
Ex
Gy
Ex
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Reihe 18 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen
S 7
Funktionen und ihre Graphen
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80 RAAbits Mathematik September 2014
M 8 Radfahren kinderleicht! – Krümmung und Wendepunkte
a) 3 2 21 1 1
1g (x) x x 2x g '(x) x 2x 2 g ''(x) 2x 2 0; x 1
3= − − ⇒ = − − ⇒ = − = ⇒ =
x 1< x 1>
Vorzeichen von 1g ''(x) – +
Graph von 1g (x) rechts gekrümmt links gekrümmt
WP bei 2
1| 23
− ; Skizze: siehe Lösungen M 7 a)
b) 5 3 4 2 32 2 2 1 2,3g (x) x x 2x g' (x) 5x 3x 2 g'' (x) 20x 6x 0 x 0; x 0,3= − − ⇒ = − − ⇒ = − = ⇒ = = ±
x 0,3 0,55< − ≈ − 0,3 x 0− < < 0 x 0,3 0,55< < ≈ 0,3 x<
Vorzeichen
von 2g ''(x)– + – +
Graph von
2g (x)rechts
gekrümmtlinks
gekrümmtrechts
gekrümmtlinks
gekrümmt
Wendepunkte bei 1 2,3x 0; x 0,3= = ±
Skizze: siehe Lösungen M 7 b)
M 9 Polynom- und gebrochenrationale Funktionen
1. 4 2g(x) x 5x 4= − + hat nur gerade Hochzahlen bei x, also ist g( x) g(x)− = , und damit ist der Graph achsensymmetrisch zu x = 0; die führende Potenz von x ist 4 und damit gerade, also gilt
xlim g(x)→±∞
= ∞ , der y-Abschnitt ergibt sich wegen g(0) 4= zu 4, die
Nullstellen lassen sich durch Substitution finden: Sei z := x2
21,2
1 1,2 2 3,4
5 25 16 5 3z 5z 4 0; z ;
2 2z 4; x 2; z 1; x 1;
± − ±− + = = =
= = ± = = ±.
3 2g'(x) 4x 10x 2x(2x 5) 0= − = − = für x 0= mit VZW von + nach
– (also Hochpunkt) – sowie für
x 2,5= ± jeweils mit VZW
von – nach +, also Tiefpunkte.
2g''(x) 12x 10 0= − = für 5
x6
= ±
jeweils mit VZW, also Wende-
punkte.
2. siehe nebenstehende Skizze
y
x
zu Aufg. 2
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Reihe 18 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen
S 9
Funktionen und ihre Graphen
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80 RAAbits Mathematik September 2014
M 11 Exponential- und Logarithmusfunktionen
1.2x
1g (x) e−= ; df = r; Symmetrie zur y-Achse,
1xlim g (x) 0→±∞
= ; y-Abschnitt bei 1; 2x
1g '(x) 2xe 0−= − =
bei x = 0 mit VZW von + nach –, also Hoch-
punkt; ( )2 2 2x 2 x x 2
1g ''(x) 2e 4x e 2e 1 2x 0− − −= − + = − − =
für x 0,5= ± mit VZW ⇒ Wendepunkte.
2.
Graph:2 x
2g (x) x e= ⋅ ; df = r; keine Symmetrie (e-Fkt.!),
doppelte Nullstelle bei 0; 2xlimg (x)
→∞= ∞ ; 2
xlim g (x) 0→−∞
= .
( )x 2 x x
2g '(x) 2x e x e x 2 x e 0= ⋅ + ⋅ = + ⋅ = für x = 0
mit VZW von – nach +, also Tiefpunkt, sowie bei
x = –2 mit VZW von + nach –, also Hochpunkt.
( )2 x
2g ''(x) x 4x 2 e 0= + + ⋅ = für 1,2x 2 2= − ±
jeweils mit VZW, also Wendepunkte.
3.
3g (x) x ln(x)= ⋅ ; df ]0; [= ∞ ;
keine Symmetrie (ln!),
3xlimg (x)
→∞= ∞ ; 3
x 0
limg (x) 0>
→
= ;
Nullstelle bei x = 1 wegen ln; 3g '(x) ln(x) 1 0= + =
bei 1
xe
= mit VZW von – nach +, also Tiefpunkt;
3
1g ''(x) 0
x= ≠ ,
also keine Wendestellen.
4. x
4 2
eg (x)
x= ; df = r \ {0}, keine Symmetrie, doppelte Polstelle bei 0, also ohne VZW,
keine Nullstellen, weil Zähler immer positiv;
4xlimg (x)
→∞= ∞ ; 4
xlim g (x) 0→−∞
= ; 4x 0lim g (x)→±
= ∞ ;
( ) x2 x x
4 4 3
x 2 ex e 2xeg '(x) 0
x x
−−= = =
bei x = 2 mit VZW von – nach +, also Tiefpunkt; 2
x
4 4
x 4x 6g ''(x) e 0
x
− += ≠ , also keine Wendepunkte.
Graph:y
x
G
E
y
x
G
E
Graph:y
x
G
E
y
x
Graph:G
E
zur Vollversion
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