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1© Dr. Peter-M. Schmidt
Fourier-Analyse und technologische Anwendungen
Dr. Peter-Michael Schmidt
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Anwendungen von Fourierreihen
Fourieranalyse: Welche Faktoren beeinflussen eine untersuchte Größe? Beispielsweise in der Signalverarbeitung soll das Rauschen der Daten herausgefiltert werden.
Bild- und Tontechnik: Welche Grund- und Obertöne bestimmen die Klangcharakteristik? Komprimierung und Bearbeitung von digitalen Bild- und Tondateien (MP3, JPEG Standards).
Maschinendiagnose: Welche Schwingungen signalisieren einen bevorstehenden Ausfall einer Komponente?
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Anwendungen von Fourierreihen
Durchführung einer Fourieranalyse: Abtasten einer Schwingung mit einer Samplingrate.
f(t) = 3 sin(t) + sin(5 t) + cos(6 t) + 0,5 sin(20 t) + 0,1 sin(50 t)
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Anwendungen von Fourierreihen
f(t) = 3 sin(t) + sin(5 t) + cos(6 t)
Durchführung einer Fourieranalyse: Herausfiltern hochfrequenter Anteile, die durch Störungen hervorgerufen wurden.
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Fourierreihe in reeller Schreibweise
Fourierreihe in komplexer Schreibweise
Wir setzen
und verwenden
Definition der Fourierreihe
Fourierkoeffizienten
Fourierkoeffizienten
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Komplexwertige Funktionensystem
Reellwertige Funktionensystem
Orthogonalsysteme
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Wir multiplizieren
mit
und integrieren von –T/2 bis +T/2
Berechnung der Fourierkoeffizienten
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Berechnung der Fourierkoeffizienten
Wir multiplizieren
mit
und integrieren von –T/2 bis +T/2
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Berechnung der Fourierkoeffizienten
Fourierreihe der Funktion f(t)= sgn(t) auf , periodisch fortgesetzt
2 Summanden 20 Summanden
Trotz Gibbsscher Überschwinger konvergiert die Fourierreihe.
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Approximation
Konvergiert die N te Partialsumme gegen die Funktion f(t)?
Könnten wir eventuell andere Koeffizienten wählen, so daß dermittlere quadratische Fehler kleiner wird?
Aus der Orthogonalität des Funktionensystems folgt
und darausdie Besselsche Ungleichung
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Approximation
Für erhält man nach aufwendigen Beweisen dieParsevalsche Gleichung:
Fourierreihen Taylorreihen
sind anwendbar auf
stückweise stetige(*) differenzierbare
Funktionen, berechnen eine
globale lokale
Näherung und verwenden
Funktionswerte Ableitungen
der untersuchten Funktion.
(*) Die Funktion f muß absolut integrierbar sein, was in der Praxis meist erfüllt ist.
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Definition der Fouriertransformation
Betrachten jetzt eine auf alle reellen Zahlen t definierte Funktion,
die nicht periodisch sein muß. Auch ist kontinuierlich.
Die Variablen t und beschreiben die Zeit- und Frequenzdomäne.
wird Spektrum genannt.
Hintransformation
Rücktransformation
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Definition der Fouriertransformation
Um zu zeigen, daß die Rücktransformation wieder die Ausgangsfunktion ergibt,
benötigt man die -Funktion,
die nur durch 2 Eigenschaften charakterisiert werden soll
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Fouriertransformation
Beispiel:
Wir verwenden
Periodische Funktionen
haben diskretes Spektrum.
MATHEMATICA (http://www.wolfram.com/) liefert (Faktor in der Definition)
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Diskrete Fouriertransformation
Daten werden zu diskreten Zeitpunkten (äquidistant) gemessen.
für
Wir untersuchen periodische Zahlenfolgen der Messdaten
und die Fourier-transformierten Zahlenfolgen
Weitere numerische Operationen auf Messdaten erfolgen beispielsweise bei der
Regressionsanalyse, Künstliche Neuronale Netze und Kurvenfitting.
Die Zielstellung dieser Verfahren besteht in der Trennung von interessierender
Information und unerwünschten Stör- und Rauschdaten.
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Diskrete Fouriertransformation
Datenerfassung: Sampling Theorem
Die (blaue) Eingabekurve wird weniger als zweimal pro Periode erfasst.
Die Fourierkoeffizienten werden eine zu große Frequenz (rote Kurve) anzeigen.
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Definition derDiskreten Fouriertransformation
Der Term ist für diskrete Zeiten mit
Für eine Funktion f(t) mit Periode T haben wir
Wir gehen zu diskreten Zeiten über
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Definition derDiskreten Fouriertransformation
Hintransformation
Rücktransformation Kern
Um zu zeigen, daß die Rücktransformation wieder die Ausgangsfolge ergibt,
benötigt man Kronecker-Symbol
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Eigenschaften derDiskreten Fouriertransformation
Ist die Diskrete Fouriertransformation von
so kann eine Verschiebung in der Zeit um n
durch eine Multiplikation realisiert werden:
hat die Transformierte
Ist
die diskrete Faltung der Folgen und , so gilt für die Transformierte von
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Der Tiefpaßfilter als eine Anwendung derDiskreten Fouriertransformation
Ist die Eingabefolge für eine Datenaufbereitung, deren Ausgabe die
Folge ist. Bezeichnen wir mit den Verschiebungsoperator,
so führen wir den Transfer durch:
Einfach kann man nachrechnen, wobei
mit ist. Zur Veranschaulichung soll kontinuierlich sein.
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Der Tiefpaßfilter als eine Anwendung derDiskreten Fouriertransformation
Beispiel:
Hier haben wir
Es folgt
und
