V

Unbegrenzt

Es hat aber die Betrachtung über das Unbegrenzte eine Schwierigkeit; denn es ergibt sich viel Unmögliches, mag man aufstellen, daß es nicht existiere oder daß es existiere.

Aristoteles (384 - 322)

Das Unendliche (apeiron) ist unerschöpflich. Wo der Krieger auch steht, kann er seinen Speer weiter ausstrecken.

Anaximander (611 - 547) von Milet

ohne Ende: unbegrenzt, aber jeder Punkt erreichbar

ohne Ende und unerreichbar

Platon (427 - 348): Lichtstrahlen sind Geraden.

Grosseteste (1168 - 1253): Der Euklidische Raum ist überall und in jeder Richtung derselbe. Dies gilt auch für die Lichtausbreitung.

Pythagoreer: Die Grenze ist das Wesen des Gegenstandes, folglich die Fläche mehr als der Körper, die Linie mehr als die Fläche, der Punkt mehr als die Linie.

Die Fläche kann ohne Körper, der Körper aber nicht ohne Oberfläche sein.

Die fünf regelmäßigen Körper (kosmische Körper)

Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder

12 Pentagone 20 Dreiecke

Parkettierung einer unendlichen Fläche mit regelmäßigen Polygonenist nur möglich mit Dreiecken, Quadraten, Sechsecken.

Bienen bauen am ökonomischsten

Überlagerung zweier Hexagonalstrukturen Rauten (Rauten sind aber keine regelmäßigen Polygone.)

Halbregelmäßige Parkettierungen

August Ferdinand Möbius (1790 - 1868)

Deutscher Mathematiker und Astronom

1816 Professor in Leipzig

1844 Direktor der dortigen Sternwarte

Arbeiten über Geometrie (Dualitätsprinzip)

1843 Lehrbuch: Elemente der Mechanik des Himmels

Anfang der Topologie: welche Eigenschaften einer Fläche bleiben bei einer Verformung unverändert?

1865 Möbius-Band: eine einseitig orientierte Fläche

Max Bill

zwei Möbius-Bänder

zerschnittenes Möbius-Band = kein Möbius-Band

Inversion des Kreises

r = 1

b = 1/a

Topologie: Ein topologischer Raum ist eine Ansammlung von mathematischen Objekten mit einer Konvergenzdefinition. Ein Beispiel für einen topologischen Raum ist: mit .

1/0 =

1/ = 0

M.C. Escher

unendliche Länge: jeder (rationale) Punkt wird überstrichen.

Giuseppe Peano (1858 - 1932)ab 1890 Professor in TurinMitbegründer der symbolischen Logik (1903: Latino Sine Flexione (Kunstsprache)Peano-Axiome der natürlichen Zahlen1890: Peano-Kurve

Dimension

dim = -logN/logR

für R 0

N = 1/Rdim = R-

dimlogN = -dimlogR

dim = -log3/log(1/3)

= log3/log3 = 1dim = -log9/log(1/3) = 2·log3/log3 = 2

N = 1/R N = 1/R2

Helge v. Koch (1870 - 1924) schwedischer Mathematiker1904: Schneeflocken-Kurve: erstes Fraktal.

Faktor 4/3. Die Länge zwischen zwei beliebig dicht liegenden Punkten wird .

Helge v. Koch (1870 - 1924) schwedischer Mathematiker1904: Schneeflocken-Kurve: erstes Fraktal.

Faktor 4/3. Die Länge zwischen zwei beliebig dicht liegenden Punkten wird .

dim = -logN/logR für R 0

Gebrochene Dimension

dim = -log4/log(1/3)

N = 1/Rdim = R-dim

logN = -dimlogR

= log4/log3 = 1,262

Girard Desargues (1593 - 1662)französischer Ingenieur und Mathematiker1639: Projektive Geometrie

Alle Parallelen streben zu einem Punkt der Unendlichkeitslinie.

Trinity College

Pietro Perugino: Fresco at the Sistine Chapel, 1482

Meteorschauer

I saw, as one might see the transit of Venus, a quantity passing through infinity and changing its sign from plus to minus. I saw exactly how it happened and why the tergiversation [Finte, Wankelmut] was inevitable ...

but it was after dinner and I let it go!

Sir Winston Churchill (1874 - 1965)

Hyperbel: y = 1/x

Das Paradoxon des Rotationshyperboloids

Mantelfläche: dA = 2rds > 2rdx

=

dxrdV 2

x1

yr

21 x

dxV

1x

Bogenlänge: ds2 = dx2 + dy2 = dx2 (1 + dy2/dx2)

dx'y1dxds 2

dxx1

2A1 1xln2

Volumen:

=

21 x

dxV

1x

dxx1

2A1 1xln2

Das Paradoxon des Rotationshyperboloids:unendliche Mantelfläche, endliches Volumen

Anstrichfarbe außen unendlich Anstrichfarbe innen endlich

falls nicht dünn genug da zwangsweise dünn genug

Evangelista Torricelli(1608-1647)

Thomas Hobbes (1588-1679), englischer Philosoph und Staatstheoretiker, Mathematiklehrer des Prinzen von Wales:

To understand this for sense, it is not required that a man should be a geometrician or logician, but that he should be mad.

Die Unendlichkeitsmaschine

12 Pentagone 20 Dreiecke

Euklid: Es gibt nur fünf regelmäßige Körper

Außenwinkel im regelmäßigen Dreieck (180° - 360°/3) = 230° = 60°

Außenwinkel im regelmäßigen Viereck (180° - 360°/4) = 90°

Außenwinkel im regelmäßigen Fünfeck (180° - 360°/5) = 108°

Außenwinkel im regelmäßigen Sechseck (180° - 360°/6) = 120

Zwei Flächen bilden höchstens eine Kante, aber keine Ecke. Für eine Ecke sind mindestens drei Flächen erforderlich.Die Winkelsumme muß < 360° sein.

3 60°, 3 90°, 4 60°, 3 * 108°, 5 60°.