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EnergiebetrachtungEnergiebetrachtung
Halbleiterphysik Prof. Goßner
Die Bahnradien der Elektronen sind ein Maß für deren Energie
Aus den Elektronenbahnen kann damit eine grafische Darstellung der Elektronenenergie abgeleitet werden
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Energie-Term-Schema
Halbleiterphysik Prof. Goßner
in gerade Linien in einem Energiediagramm
Energie Man überträgt die kreisförmigen Elektronenbahnen eines einzelnen Atomes
Radius
Jeder Elektronenbahn entspricht eine einzelne Linie im Energiediagramm (ein einzelner Energieterm)
Man erhält das sog. Energie-Term-Schema
Energie
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Energiebänder-Schema
Halbleiterphysik Prof. Goßner
Die Elektronen vieler Atome (z.B. in einem Kristall) beeinflussen sich gegenseitig
Die einzelnen Energieterme lassen sich nicht mehr unterscheiden
Energie
Die zahllosen einzelnen Energieterme gehen in Energiebänder über
Energien zwischen den Energiebändern sind nicht möglich (verbotene Bänder)
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Energiebänder-Schema
Halbleiterphysik Prof. Goßner
Energie Das Energieband der äußersten
Elektronenschale wird Valenzband genannt
Valenzband Oberhalb des Valenzbandes befindet sich ein Energiebereich, den Elektronen einnehmen, die sich von ihren Atomen getrennt haben (freie Elektronen)
Da freie Elektronen zur Stromleitung beitragen können, spricht man vom Leitungsband
Leitungsband
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Energiebänder-Modell
Halbleiterphysik Prof. Goßner
Reaktionen mit anderen Atomen und elektrische Vorgänge werden nur durch Elektronen im Valenzband und im Leitungsband bestimmt
Üblicherweise werden daher nur diese Energiebänder und das dazwischen liegende verbotene Band dargestellt
Energie
Leitungsband
Valenzband
Verbotenes Band
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Energiebänder-Modell
Halbleiterphysik Prof. Goßner
W
Leitungsband
Valenzband
Verbotenes Band
Die Oberkante des Valenzbandes liegt bei der Energie WV
Die Unterkante des Leitungsbandes liegt bei der Energie WC
WC – WV = W ist die Ausdehnung des verbotenen Bandes (Bandabstand)
Elektronen, die die Energie Wvac
überschreiten, können den Kristall verlassen
WVWVWVWV
WCWCWCWC
W
WvacWvac
WWW
WvacWvac
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Energiebänder-Modell von Metallen
Halbleiterphysik Prof. Goßner
Bei Metallen überlappen sich Valenzband und Leitungsband
W
Leitungsband
Valenzband
Überlappung
Die Unterkante WC des Leitungsbandes liegt tiefer als die Oberkante WV des Valenzbandes WC
WV
Valenzelektronen können damit ins Leitungsband wechseln, ohne Energie aufnehmen zu müssen
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W
W
Leitungsband
Valenzband
Verbotenes Band
WV
WC
Energiebänder-Modell von Halbleitern
Bei Halbleitern existiert ein verbotenes Band zwischen Valenzband und Leitungsband
W
Leitungsband
Valenzband
Verbotenes Band
WV
WC
W Bei Germanium beträgt der
Bandabstand W 0,7 eV
Bei Silizium beträgt der Bandabstand W 1,1 eV
Halbleiterphysik Prof. Goßner
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Energiebänder-Modell von reinen Halbleitern
Bei T = 0 K halten sich alle Valenzelektronen im Valenzband auf
Bei T = 0 K ist der Halbleiter ein Isolator. Das Leitungsband ist leer
W
Leitungsband
Verbotenes Band
WV
WC
W
Valenzband
Halbleiterphysik Prof. Goßner
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Energiebänder-Modell von reinen Halbleitern
W
Leitungsband
Verbotenes Band
WV
WC
W
Valenzband
Bei T > 0 K nehmen die Elektronen Energie auf.
Beträgt die Energieaufnahme bei einem Elektron W, so wird es ins Leitungsband angehoben
W
Im Valenzband bleibt ein nicht besetzter Energieterm zurück, ein Loch
Freie Elektronen und Löcher entstehen beim reinen Halbleiter immer paarweise:
PaarbildungHalbleiterphysik Prof. Goßner
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Energiebänder-Modell von Nichtleitern
W
Leitungsband (immer unbesetzt)
Valenzband (immer voll besetzt)
Verbotenes Band
WV
WC
W
Es ist nicht möglich Valenzelektronen eine Energie von mehr als ca. 2,5 eV zuzuführen
Materialien mit einem Bandabstand von W 2,5 eV sind daher Nichtleiter (Isolatoren)
Beispiel: Diamant W 7 eV
Halbleiterphysik Prof. Goßner
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von der Wahrscheinlichkeit P(W), daß die einzelnen Energieterme mit Ladungsträgern besetzt sind
Energieverteilung der Ladungsträger
Über die Energieverteilung der Ladungsträger können nur Wahrscheinlichkeits-Aussagen getroffen werden
von der dort herrschenden Dichte D(W) der besetzbaren Energieterme (= Zustandsdichte) und
Die Ladungsträgerdichte n(W) auf einem bestimmten Energieniveau hängt ab
Es gilt: n(W) = D(W) · P(W)
Halbleiterphysik Prof. Goßner
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Dichte besetzbarer Energieterme = Zustandsdichte
In der Nähe der Bandkanten gilt für die Zustandsdichte näherungsweise:
Cn WW~)W(D
WW~)W(D Vp
Bei Null beginnend wächst die Zustandsdichte zum Bandinneren hin
W
WV
WC
Dn(W)
Dp(W)
Halbleiterphysik Prof. Goßner
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Besetzungswahrscheinlichkeit
Die Besetzungswahrscheinlichkeit der Energieterme folgt der Fermi-Dirac-Verteilung
k = 1,38 ·10-23 Ws/K (Boltzmann-Konstante)
T = absolute Temperatur
WF = Fermi-Niveau (Fermi-Energie)
TkWW
exp1
1)W(P
F
Halbleiterphysik Prof. Goßner
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Besetzungswahrscheinlichkeit bei T = 0 K
0e1
1
TkWW
exp1
1)W(P
F
Besetzungswahrscheinlichkeit bei T = 0 K
Für W > WF
P(W>WF) = 0
Halbleiterphysik Prof. Goßner
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Besetzungswahrscheinlichkeit bei T = 0 K
1e1
1
TkWW
exp1
1)W(P
F
Besetzungswahrscheinlichkeit bei T = 0 K
Für W < WF
P(W<WF) = 1
Halbleiterphysik Prof. Goßner
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0 10,5
WF
W
P(W)
Besetzungswahrscheinlichkeit bei T = 0 K
Bei T = 0 K ergibt die Fermi-Dirac-Verteilung eine Sprungfunktion
Bei T = 0 K sind alle Energieniveaus oberhalb von WF unbesetzt [P(W) = 0]
Bei T = 0 K sind alle Energieniveaus unterhalb von WF besetzt [P(W) = 1]
Halbleiterphysik Prof. Goßner
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0 10,5
WF
W
P(W)
300 K
500 K
Besetzungswahrscheinlichkeit bei T > 0 K
Bei T > 0 K ergibt die Fermi-Dirac-Verteilung einen stetigen Übergang von P(W) = 0 zu P(W) = 1
Bei W = WF beträgt die Besetzungswahrscheinlichkeit:
2
1
e1
1
TkWW
exp1
1)W(P
0FF
P(WF) = 0,5
WF
0,5
WF
0,5
WF
0,5
WF
0,5Halbleiterphysik Prof. Goßner
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Lage des Fermi-Niveaus bei reiner Eigenleitung
Beim reinen (nicht dotierten) Halbleiter liegt das Fermi-Niveau in der Mitte des verbotenen Bandes
W
Leitungsband
WV
WC
Valenzband
WFWFWFWF
Halbleiterphysik Prof. Goßner
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Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung
Alle besetzbaren Energieterme unterhalb des Fermi-Niveaus (also im Valenzband) sind vollständig mit Elektronen besetzt. Es gibt keine Löcher
Alle besetzbaren Energieterme oberhalb des Fermi-Niveaus (also im Leitungsband) sind unbesetzt. Es gibt keine freien Elektronen.
T = 0K
Halbleiterphysik Prof. Goßner
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Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung
Durch Energiezufuhr werden Elektronen aus dem Valenzband ins Leitungsband angehoben (Paarbildung)
Einzelne Elektronen fallen unter Energieabgabe vom Leitungsband ins Valenzband zurück (Rekombination)
T > 0K
Freie Elektronen im Leitungsband Gleich viele Löcher im Valenzband
Freie Elektronen und Löcher löschen sich gegenseitig aus
Temperaturabhängiges Gleichgewicht zwischen Paarbildung und Rekombination (Intrinsic-Konzentration)
Halbleiterphysik Prof. Goßner
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Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung
Für die Energieverteilung der freien Elektronen im Leitungsband gilt:
)W(D)W(P)W(n n
Für die Energieverteilung der Löcher im Valenzband gilt:
)W(D)}W(P1{)W(p p
(n(W) bzw. p(W) = Ladungsträgerdichte pro Intervall dW)
Halbleiterphysik Prof. Goßner
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Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung= n(W) P(W)Dn(W)Energieverteilung freier Elektronen
Halbleiterphysik Prof. Goßner
Das Integral von n(W) über das gesamte Leitungsband ergibt die Intrinsicdichte ni
Energieverteilung der LöcherDp(W) {1-P(W)} = p(W)
Das Integral von p(W) über das gesamte Valenzband ergibt ebenfalls die Intrinsicdichte ni
W
WV
WC
WF
Dn(W)
Dp(W)
W
0 10,5
P(W)
W
n(W)
p(W)
Fläche = ni
Fläche = ni
Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung
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Energiebändermodell bei Störstellenleitung
Durch Dotieren des Halbleiters treten besetzbare Energieterme im verbotenen Band auf
Halbleiterphysik Prof. Goßner
sog. StörtermeStörterme
Die Störterme beeinflussen die Lage des Fermi-Niveaus
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Energiebändermodell bei n-leitendem Halbleiter
n-leitende Element-Halbleiter sind mit 5-wertigen Fremdatomen dotiert
W
Leitungsband
WV
WC
Valenzband
WF
Halbleiterphysik Prof. Goßner
Dadurch verschiebt sich das Fermi-Niveau in Richtung Leitbandkante
Das jeweils fünfte Valenzelektron besitzt eine Energie im verbotenen Band nahe der Leitbandkante (Störterme)
Störterme
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Ladungsträgerverteilung bei n-LeitungUnterhalb der Leitbandkante treten Störterme aufDas Ferminiveau verschiebt sich in Richtung Leitungsband= n(W) P(W)Dn(W)
Energieverteilung freier ElektronenDas Integral von n(W) über das gesamte Leitungsband ergibt die Majoritätsträgerdichte
Energieverteilung der LöcherDp(W) {1-P(W)} = p(W)
Das Integral von p(W) über das gesamte Valenzband ergibt die Minoritätsträgerdichte
Ladungsträgerverteilung bei n-Leitung
WF
Halbleiterphysik Prof. Goßner
W
WV
WCDn(W)
Dp(W)
0
W
10,5
P(W)
W
n(W)
p(W)
Minoritätsträger
Majoritätsträger
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Ladungsträgerverteilung bei p-LeitungOberhalb der Valenzbandkante treten Störterme aufDas Ferminiveau verschiebt sich in Richtung Valenzband= n(W) P(W)Dn(W)
Energieverteilung freier ElektronenDas Integral von n(W) über das gesamte Leitungsband ergibt die Minoritätsträgerdichte
Energieverteilung der LöcherDp(W) {1-P(W)} = p(W)
Das Integral von p(W) über das gesamte Valenzband ergibt die Majoritätsträgerdichte
Ladungsträgerverteilung bei p-Leitung
WF
Halbleiterphysik Prof. Goßner
W
WV
WCDn(W)
Dp(W)
0
W
10,5
P(W)
W
n(W)
p(W)
Minoritätsträger
Majoritätsträger
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Ladungsträgerverteilung innerhalb der Bänder
Halbleiterphysik Prof. Goßner
W
n(W)
p(W)
Die beweglichen Ladungsträger halten sich vorzugsweise in Bandkantennähe auf
Freie Elektronen im Leitungsband nahe WC
Löcher im Valenzband nahe WV
EigenleitungW
n(W)
p(W)
n-LeitungW
n(W)
p(W)
p-Leitung
WC
WV