19년 06월 평가원 해설 및 분석 가형 수정중

1수학 영역(가형) 분석 및 해설

출제 문항 분석 27 23.2 순열과 조합 확률의 대칭성 활용하기*

28 35.5 삼각함수 도형에서의 삼각함수 극한

29 7.8 평면벡터무게중심을 활용한 내적의

최대, 최소**

30 5.1 적분법주기성, 대칭성을 활용한 정

적분*

* 신유형 문제** 수능 출제 가능 문제

출제 경향 및 학습 대책

이번 6월 평가원 가형 시험은 작년 6월보다는 다소 쉽게

출제되었다. 흔히 킬러 문항이라고 불리는 21번과 30번

의 난이도가 그리 높지 않았고, 비 킬러 문항에서도 계

산량이 많지 않아서 실수만 없었다면 원하는 점수를 대

부분 얻게 되었으리라 본다. 이번 시험에서 주목할 문항

은 18, 19, 25, 27, 29번인데 공교롭게도 모두 기하와 벡

터 또는 확률과 통계이다.

18번 문제는 벡터의 크기가 최대일 때를 직관적으로 알

아차려야 해렬되는 문항으로 다소 생소해 보인다. 29번

문제는 세 벡터의 합벡터가 어디에 위치하는지를 무게중

심으로 해석해야 하는 문항으로 작년 수능 29번과 유사

성이 느껴진다. 평가원이 이 기조를 이어갈 것으로 판단

이 되므로 벡터의 연산에서 직관과 항 줄이기에 초점을

수학 영역(가형)6월 4일

문항 정답률 출제 단원 출제 의도

1 99.4 순열과 조합 조합의 계산

2 98.1 지수함수와 로그함수 로그함수의 미분

3 94.1 지수함수와 로그함수 지수함수의 극한 계산

4 97.4 확률 확률의 계산

5 96.1 적분법 지수함수의 정적분

6 94.5 평면 곡선 음함수 미분법

7 88.2 분할과 이항정리 자연수의 분할

8 94.5 평면 곡선 포물선의 방정식

9 94.9 미분법 함성함수의 미분법

10 92.3 적분법 부분적분법

11 94.2 미분법 변곡점

12 88.4 미분법 삼각함수의 도함수

13 91.8 평면 곡선 쌍곡선의 성질

14 92.1 확률 확률의 계산

15 82.1 평면벡터 속력 구하기

16 83.7 미분법 몫의 미분법

17 52.5 확률 독립사건의 정의**

18 47.0 평면벡터벡터의 크기가 최대일 조건 구

하기*

19 59.4 순열과 조합 중복조합의 수 구하기**

20 55.3 적분법 정적분으로 표현된 함수

21 42.5 미분법접선의 방정식과 여러 가지 미

분법**

22 96.6 평면벡터 평면 벡터의 성분

23 96.7 삼각함수 삼각함수의 계산

24 53.2 지수함수와 로그함수 로그부등식

25 34.7 순열과 조합 함수의 개수 구하기

26 59.2 평면벡터 직선의 방정식

정 답 01 ③ 02 ① 03 ⑤ 04 ① 05 ④ 06 ⑤ 07 ③ 08 ② 09 ④ 10 ②

11 ④ 12 ④ 13 ③ 14 ② 15 ⑤ 16 ④ 17 ④ 18 ③ 19 ① 20 ⑤

21 ② 22 23 24 25 26 27 28 29 30


두고 공부해야 할 것으로 보인다.

19번 문제는 중복조합의 수를 증명하는 아이디어로 해결

할 수 있으며 25번 문제는 주어진 조건을 꼼꼼히 살펴보

지 않고 평소 유형처럼 풀다가 함정에 빠진 학생이 많았

을 것으로 추정된다.

27번 문제는 인 경우와 인 경우가 같음을

이용하는 문제로 이 발상이 떠오르지 않았다면 상당히

고전했을 문항이다.

모든 모의고사가 마찬가지 이듯, 이번 시험을 잘 본 학

생들은 자만하지 말고 기분 좋은 상태로 공부에 매진할

것이며, 잘 못 본 학생들은 낙담하지 말고 이번에 드러

난 약점을 보완하여 수능에서는 원하는 점수를 받도록

더욱 공부에 매진해야 할 것이다.

특히 중하위권 학생들은 철저한 오답정리로 부족한 개념,

발상법, 계산 등을 충실히 연습해야 하고, 상위권 학생들

은 킬러 문항에 대한 두려움을 떨쳐내고 덩어리가 큰 문

제를 잘게 쪼개는 연습을 해야 할 것이다.

해 설

01 C C ×

×

02 ln 에서 ′

∴ ′

03 lim→

lim→

×

04 P ∪

∴ P P P ∩

P ∩ P P ∩

따라서 P

이므로

P

05

ln

ln

ln

ln ×

06 양변을 에 대하여 미분하면

을 대입하면

∴

[분석 동영상 보기]

이번 시험의 분석 동영상을 바로 확인 할 수 있습

니다.


07 세 개의 상자에 넣는 장난감의 개수를 각각

라 하면 인

순서쌍 는 , , ,

, , , 의 가지

08 에서

× ×

초점의 좌표는 이므로

,

따라서 이므로

09 조건 ㈎에서

lim→

× ′ 이므로

′ 조건 ㈏의 함수를 미분하면

′×′이므로

′ ×′ ′ ∴ ′ ′ ln

× ln 이므로

′ ∴ log

10

ln ln

×

11 ×에서

′ ″ ″ 에서

이므로 변곡점의 좌표는

∴

12 ′ cos sin ′ cos

sin

cos sin cos

sin

sin cos

양변을 cos로 나누면

cossin

∴ tan

13 정사각형 ABF′F의

한 변의 길이를 라 하면

AF′ , AF 쌍곡선의 정의에 의해

,

∴

따라서 대각선의 길이는

AF′

14 전체 경우의 수는 이다.

일 때, 순서쌍 의 개수는





따라서 이고 인 사건의 경우의 수는

××

따라서 구하는 확률은


15 ×

,

이므로

점 P의 속도벡터 는

이므로

≤

∵ ≥

따라서 의 최솟값은

16

cos

′

′ cos sincos

′cos sin cos

′

′ ……㉠

×

……㉡

㉠, ㉡에서

′ 이므로

′ ∴

′

17 의 경우의 수는 ×이므로

P ×

이다.

∩의 경우의 수는 × ×이므로

P ∩ ×

사건 이 서로 독립이기 위해서는

P ∩ P ×P 이어야 하므로

×

이다.

정리하면 이므로 이다.

따라서 순서쌍 의 개수는

, ,…, 의 이다.

∴

∴ ×

∴

∴ ×× ××

18 (ⅰ) 일 때

OPOQ 가 최대이려면 두 벡터 OP와

OQ는 같은 방향이어야 한다.

이때, OPOQ 이므로

(ⅱ) ≤ 일 때

OPOQ 가 최대이려면 점 Q는 점 A와

같아야 한다.

이때, OPOQ 이고 이 벡터의 크기는 이므로

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 실수 의 값의 곱은

이다.

19 조건 ㈎에서

≤

≤

≤

이 세 부등식과 조건 ㈏에서

≤ ≤ ≤ ≤ ≤

따라서 ⋯ 의 개의 자연수 중에서

중복조합으로 개를 선택하면 되므로

H C ××××××


20 조건 ㈏에서

ln

양변을 에 대하여 미분하면

′

……㉠

ㄱ. ㉠에서 이면

이다.

(∵ )

따라서 ′

이고 이므로

′ 따라서 에서 는 감소한다. ∴참

ㄴ. ㉠에서 이면

이다.

(∵ )

따라서 ′

이고, 이므로

′ 따라서 에서 는 증가한다.

는 미분가능한 함수이고 에서 감소

하고 에서 증가하므로 의 최댓값은

이다.

조건 ㈏에 을 대입하면 ln 이므

로 이다. 따라서 의 최댓값은

이다. ∴참

ㄷ. ㉠에서 ′

양변에 를 곱하면

′ 양변을 에 대하여 적분하면

(단, 는 적분상수)

을 대입하면

이고

이므로 이다.

따라서

이므로 이다. ∴참

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

21 ln

에서 ′

ln 이다.

원점에서 의 그래프에 그은 접선의 접점의

좌표를 ln 라고 하면 접선의 방정식은

ln

ln

이 접선은 점 을 지나므로

ln

ln

× ln

이므로

이다.

따라서 이고

′

이다.

문제의 조건에서 ′ ln

ln ⋅양변을 에 대하여 미분하면

′

′에 를 대입하면

′

′ 와

을 대입하면

′ ×

××′

∴ ′

따라서 ×′ ×

22 따라서 모든 성분의 합은

23 csc × tan sin ×cos sin

cos

24 log ≤ log

log 진수조건에서

≤

그래프에서 ≤ 이므로

주어진 부등식을 만족시키는 모든 자연수 의 값은

이다.

따라서 구하는 합은


25 조건 ㈏에서 인 의 개수가 이므로

를 선택하는 방법의 수는

C이 중 한 경우를 이

라고 하면 ≠ ≠ 이고 조건 ㈎에서

함수 의 치역의 원소의 개수가 4이므로

또는 또는 일 때,

또는 또는 일 때,

이므로 가지

따라서 구하는 함수의 개수는 C ×

26 점 P 의 자취의 방정식은

이므로 점 에서의 접선 의

방정식은 이다. 직선 의 기울기는

이고, 직선 의 기울기는 이다.

cos

이고 tan sec이므로

tan

tan ×

에서

이고 양변을 제곱하면

이므로

에서

∴

27 과 이 만들어지는 전체 경우의 수는

을 한 줄로 배열하는 경우의 수와

같으므로

××

이때, 인 경우의 수와 인 경우의 수

는 같으므로 인 경우의 수를 먼저 구하자.

이려면 이어야

하므로 이 경우의 수는 이다.

따라서 인 경우의 수는

이다.

따라서 구하는 확률은

이므로

28 (도형 OHPQ의 넓이) (도형 OPB의 넓이)

(도형 OHPQ의 넓이)

× cos ×

cos sin (도형 OPB 의 넓이)

×

∴ cos × cos sin

OH sin 이므로 lim → OH

lim → sin cos × cos sin

∴ ×

29 OZOPOXOY에서 OZ는 OXOY를 OP만큼 평행이동시킨 도형이다.

점 P를 축의 양의 방향으로

인 위치에 고정시

키고 OXOY를 좌표평면에 그리면 다음과 같

다.

다음으로 OP만큼 평행이동 시키면 다음과 같은

도형을 얻을 수 있다.

평행사면형의 네 꼭짓점을 각각 AB P S라 하자.


점 P는 ( ≤ ≤ ) 위를 움

직이므로 움직이는 자취를 좌표평면에 그리면 다음

과 같다.

축의 양의 방향으로

회전한 평행사변형의 네

꼭짓점을 각각 A′ B′ P′ S′라 하자.

축에 가장 가까운 점은 P이므로 R P이다.

점 P′에서 직선 OP에 내린 수선의 발을 H라 하

고, 점 A에서 직선 OP에 내린 수선의 발을 H′라

하면 OR ·OZ의 최솟값은

OR ·OP′OP ·OP′OP ·OH

OP × OH × OR ·OZ의 최댓값은

OR ·OAOP ·OAOP ·OH′ OP × OH′ ×

×

∴

∴

30

에서

……㉠

에서

……㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

즉, 함수 sin sin의 그래프의

주기는 이다.

′ sin cos cos cos sin

에서 sin ±

인 의 값을

≤ 에서 크기순으로 라 하면

함수 의 증감표는 다음과 같다.

… …

… …

′

↘ ↗ ↘ ↗

…

… …

′

↘ ↗ ↘

이때,

×

×

이고 이므로 함수 의 그래프와

직선 의 교점은 다음 그림과 같다.


이며

,

이다.

(ⅰ)

′

′

(∵ ′의 주기가 )

이고

이면 sin

이므로

이면 sin

이므로

′ 이므로

sin sin

cos sin

이때, cos 라 하면 sin

이면

이면

∴

(ⅱ)

′

′

(∵ ′의 주기가 )

이고

이면 sin

이므로

이면 sin

이므로

′ 이므로

sin sin

cos sin

이때 cos 라 하면 sin

이면

이면

∴

∴

∴

⋯

따라서

이므로

[해설 동영상 보기]

이번 시험의 해설 동영상을 바로 확인 할 수 있습

니다.

11수학 영역(나형) 분석 및 해설

출제 문항 분석 27 49.1 다항함수의 미분법 부등식의 성립 조건

28 50.4 수열 등비수열의 합

29 31.9 순열과 조합 중복조합**

30 6.1 다항함수의 미분법 그래프 개형의 추론**

* 신유형 문제** 수능 출제 가능 문제

출제 경향 및 학습 대책

이번 평가원 고사는 아주 평이하게 출제되었다 지금까지

수능이나 평가원 모의고사와 마찬가지로 27개의 문제는

아주 평이하게 출제되었고 상위권 학생들에게 변별력이

있는 소위 킬러문항까지도 그리 어렵지 않게 출제되었

다. 1등급 학생들은 고난도 3문제 중 적어도 2문제는 맞

출 수 있을 듯 하며 만점을 맞은 학생도 상당수 존재 할

듯하다.

평이한 27개의 문제는 지금까지 출제되었던 문제의 유형

에서 크게 벗어나지 않았다 수능과 평가원 기출을 충분

히 학습을 한 학생은 어렵지 않게 풀 수 있을 법한 문제

들로 구성되어있다. 눈에 띄는 문제는 20번 함수의 극한

문제였는데 지금까지 단훈 계산에 의해 답이 나오는 형

정 답 01 ⑤ 02 ③ 03 ⑤ 04 ② 05 ② 06 ① 07 ② 08 ② 09 ④ 10 ⑤

11 ③ 12 ① 13 ③ 14 ② 15 ④ 16 ① 17 ② 18 ⑤ 19 ④ 20 ③

21 ① 22 23 24 25 26 27 28 29 30

수학 영역(나형)6월 4일

수학 영역(나형)6월 4일

문항 정답률 출제 단원 출제 의도

1 98.3 지수와 로그 지수의 계산

2 97.3 수열의 극한 수열의 극한

3 98.9 집합과 명제 집합의 원소 구하기

4 94.4 함수 함숫값 구하기

5 92.7 집합과 명제 충분조건이 되는 실숫값 구하기

6 94.4 확률 확률의 덧셈정리

7 89.5 함수의 극한과 연속 그래프에서의 함수의 극한

8 89.7 지수와 로그 로그의 계산

9 86.6 수열 수열의 귀납적 정의

10 89.7 확률 확률의 정의

11 87.8 수열의 극한 급수의 수렴과 수열의 극한

12 71.4 함수유리함수와 무리함수가 만날

조건

13 86.3 수열 등차중항

14 76.6 분할과 이항정리 이항정리

15 58.6 함수의 극한과 연속 함수의 연속

16 77.7 확률 확률의 정의

17 53.3 수열의 극한 도형에서의 등비급수

18 62.6 다항함수의 미분법 그래프 개형의 추론

19 61.3 확률 두 사건이 독립일 조건

20 50.2 함수의 극한과 연속 함수의 극한 추론*

21 22.6 함수 함성함수가 상수함수가 될 조건**

22 93.9 순열과 조합 조합의 계산

23 92.5 함수 함수의 평행이동

24 90.2 수열 등비수열의 합

25 84.9 다항함수의 미분법 가속도 구하기

26 58.6 집합과 명제 부분집합의 개수


식이 아닌 의 값에 따라 여러 가지 경우를 고려하여야

하는 문제로 이번 모의고사에서 가장 참신한 문제가 아

닌가 싶다.

고난도 문제는 미분, 중복조합, 함수, 함수의 극한에서

출제되었는데 중복조합을 제외하면 전통적으로 출제되어

오던 단원들이다. 적분이 포함되는 수능 시험의 경우에

도 크게 다르지 않을 것으로 예상된다.

평가원 시험으로 수능시험을 예단할 수는 없지만 기존의

기출문제 위주의 합습을 진행하면서 상위권 학생들은 고

난도가 출제되는 미분과 적분, 함수 등의 단원에 대한

심화 학습을 집중적으로 진행하는 것이 가장 좋은 학습

전략이 될 듯하다.

해 설

01 ×

×

02 lim→∞

lim→∞

03 ∉이므로 ∈ ∴

04 이므로

∴

05

≥

⊂ 이므로 ≤

따라서 의 최댓값은 이다.

06 P P ∪ P ∩

07 lim→

lim→

08 log log log

09 일 때, ∴

일 때, ∴

일 때, ∴

일 때, ∴

10 여사건의 확률을 이용하면

(모두 흰 공일 확률)

[분석 동영상 보기]

이번 시험의 분석 동영상을 바로 확인 할 수 있습

니다.


C

C

11

∞

은 수렴하므로

lim→∞

∴ lim→∞

lim→∞

lim

→∞

lim→∞

12

의 그래프는

점근선이

절편이 이므로 그림과 같다.

의 그래프의 꼭짓점이 이므로

두 곡선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 ≤


13 세 수 가 등차수열이므로 공차를 라 하면

∴

∴

∴ 또는

은 자연수이므로 ,

14

에서

의 일차항 C⋅⋅

의 사차항 C⋅

∴

에서

의 삼차항 × ×

따라서 이므로

15 (i) 일 때 두 함수 가 모두

에서 불연속

lim→

×

lim→

×

따라서 이면 는 에서 불연속

(ii) ≠ 일 때

는 에서 불연속이므로

lim→

≠ lim→

가 에서 연속이려면

마찬가지로 는 에서 불연속이므로

(i) 일 때 : ≠ 이므로 성립하지

않는다.

(ii) 일 때 : × 이고

따라서

16 ×

라 하면

이므로

H × H C × C ×

그런데 는 주사위의 눈이므로 가 될


수 없다. 중 어느 하나가 이고 나머

지 세 수가 인 경우의 수는

이때 전체 경우의 수는 이므로

(확률)

17 점 E에서 AB로 내린 수선의 발을 H라 하면

AH , FH 이므로 AF

∆AFP 과 ∆HFE의 닮음비가 이므로

AP

∴ ∆AFP ∆ED P ×

××

××

×

또한 ∆AFD 와 ∆HFE이 닮음이다.

AD 라 하면 AH , AF

∴ AF AD

∴

따라서 □ABCD 과 □ABCD 의 길이비는

이므로 넓이비는

∴ lim→∞

18 에서 연속이므로

lim→

lim→

에서 미분가능하므로

′의 최솟값이

보다 작으므로 의 그

래프의 개형은 다음과 같다.

라 하면

의 최솟값은 가 극소인 점에서 발생하므로

′

따라서 에서 극소이다.

ㄱ. ′

∴ 참

ㄴ.

∴ 참

ㄷ. (최솟값)

∴

∴ 참

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

19 P 는 번째 자리에 이하의 수가 놓일 확률

이므로

나머지 일곱 자리에 나머지 개를 나열할 확률이므로

P

마찬가지로 P ∩ ×

이 독립이면

P ∩ P ×P 에서

×

×

이므로

즉, 의 순서쌍은 ⋯

개

따라서

×

이


므로

×× ×

×

20 lim→∞

이므로

은 차 함수이고 최고차항

의 계수는 이다.

lim→

이므로 는 최저차항이 차이고

계수는 이다.

(i) 일 때

한편, 는 최저차항이 차이고 계수는 이

므로

∴

(ii) 일 때

는 최저차항이 차이고 계수는 이므로

∴

(iii) ≥ 일 때

⋯

⋯

∴

(i), (ii), (iii)에서 최댓값은 이다.

21

가 상수함수이므로

따라서 로 개의 연속된 음이 아닌

정수가 의 상수구간에 포함되어야 한다.

∴

의 개수 ×

22 C C ××

23 에 를 대입하면

24 수열 의 첫째항을 , 공비를 라 하면

∴ ∵

25 P의 속도를 p, 가속도를 p라 하면

p

p p

26

∅이므로

⊂

는 집합 의 원소 중 개만을 원소로 갖는

집합 의 부분집합이므로

의 개수 C ⋅⋅

27 ≥

≥

≥

이라 하면

′



28 공비를 라 하면

≤

≤

≤

∴ 또는 ……㉠

≤

≤

∴ ≤ ≤ ……㉡

㉠, ㉡에서

≤ , ≤ 이므로

∴ 또는 (∵ 는 정수)

(i) 일 때

자연수 은 존재하지 않는다.

(ii) 일 때

∴

(i), (ii)에서 ×

29 조건 ㈎에서 ≥ ∴ ≥

≥ ∴ ≥

≤ ≤ ≤ ≤

H C ××××

30 삼차함수 는 최고차항의 계수가 양수이므로

충분히 큰 실수 에 대하여 직선 와

의 교점은 반드시 개만 생긴다. 따라서 직선

와 함수

의 그래프의 교점도 반드

시 개만 생겨야 한다.

따라서

이므로

∴

한편, 직선 가 함수

의 그래프의

점근선 보다 위쪽에 있는 경우는 항상 직선

와 함수

의 그래프의 교점은 개

이므로 와의 교점도 개이어야 하고

인 순간 직선 와 함수

의

그래프의 교점은 개이므로 와 의

교점이 개, 즉 가 의 접선이어야

하고 이어야 한다. 한편, 는 을

지나므로 직선 과 의 그래프는

에서 접하므로

이고 는

에서 극댓값을 갖는다.

일 때는 는 의 그래프와만 교

점을 가지므로 이 의 접선이 된다.

이므로 그래프는

다음과 같다.


′

는 에서 극솟값을 갖는다.

∴

한편, *에 의해 에서

이므로

[해설 동영상 보기]

이번 시험의 해설 동영상을 바로 확인 할 수 있습

니다.

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19년 06월 평가원 해설 및 분석 가형 수정중