2. Freie gedämpfte Schwingungenwandinger.userweb.mwn.de/LA_Elastodynamik/v2_2.pdfFreie gedämpfte Schwingungen 2.1 Schwingungsgleichung 2.2 Dämpfungsfälle 2.3 Dissipierte Energie

Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit einem FreiheitsgradElastodynamik

2.2-1

2. Freie gedämpfte Schwingungen

● Bei realen Systemen werden die Schwingungsausschläge mit der Zeit kleiner, und die Schwingung kommt zum Still-stand.

● Ursache sind Energieverluste durch Reibungs- und Dämpfungskräfte:

– Lagerreibung

– Luftwiderstand

– innere Reibung des Werkstoffs


2.2-2


● Dämpfungskräfte sind stets der Bewegungsrichtung ent-gegengesetzt.

● Die genaue Beschreibung aller dämpfenden Einflüsse ist aufwändig.

● Das einfachste Dämpfungsmodell ist das Modell einer ge-schwindigkeitsproportionalen Dämpfung:

● Dämpfungskonstante d:

– Einheit Kraft/Geschwindigkeit: 1Ns/m = 1kg/s

F D=d v=d x


2.2-3


2.1 Schwingungsgleichung

2.2 Dämpfungsfälle

2.3 Dissipierte Energie


2.2-4


● Lösung der Bewegungsgleichung:

– Aus

folgt nach Division durch m die Schwingungsgleichung

– Dabei wurde die Abklingkonstante

eingeführt.

– Die Dimension der Abklingkonstante ist .

m xd xc x=0

x2 x2 x=0

=d2m

kgs⋅kg

=1s


2.2-5


– Einsetzen des Lösungsansatzes

führt auf .

– Nichttriviale Lösungen mit existieren nur, wenn die charakteristische Gleichung

erfüllt ist.

– Sie hat die beiden Lösungen

x t =Ae t , x t = Ae t , x t =2 Ae t

222 Ae t=0

A≠0

222=0

1/2=−±2−

2=−±

2 2

2−1


2.2-6


– Mit dem Lehrschen Dämpfungsmaß

folgt:

D=

1/2=−±D2−1

● Dämpfungsfälle:

– Starke Dämpfung:● D > 1: 2 reelle Lösungen

– Kritische Dämpfung:● D = 1: 1 reelle Lösung

– Schwache Dämpfung:● D < 1: 2 komplexe Lö-

sungen


2.2-7


● Starke Dämpfung:

– Es gibt 2 reelle Lösungen

mit .

– Die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung ist

– Das ist eine exponentiell abklingende Funktion.

– Für die Geschwindigkeit folgt:

1/2=−±

=D2−1=2−

2

x t =A1e1 tA2e

2 t=e− t A1e tA2e

− t

x t =− e− t A1e tA2e

− t e− t A1e t−A2e

− t


2.2-8


– Die Konstanten A1 und A

2 können aus den Anfangsbedin-

gungen bestimmt werden:● Verschiebung:● Geschwindigkeit: v0= x 0=− A1A2 A1−A2

=−− A1− A2

x 0=x 0=A1A2

A1 A2 = x0−− A1 − A2 = v0 ∣ ⋅

⋅1 ∣⋅− ⋅1 ∣

− A1= x0v0 A1= x0v0

2

−−− A2=− x0v0 A2=−− x0v0

2


2.2-9

2.2. Dämpfungsfälle

v0 > 0

v0 = 0

-δx0 < v

0 < 0

v0 < -δx

0


2.2-10


● Kritische Dämpfung:

– Es gibt nur eine reelle Lösung

– Die allgemeine Lösung lautet:

– Die Konstanten A1 und A

2 können wieder aus den Anfangs-

bedingungen bestimmt werden:

– Dieser Fall wird auch als aperiodischer Grenzfall bezeich-net.

1=2=−

x t = A1A2 t e− t

x 0=x 0 A1=x0 , x 0=v0 A2=v0 x0


2.2-11


– Der Ausschlag geht schneller gegen null als bei starker Dämpfung.

– Technische Anwendung findet der Grenzfall z.B. bei der Auslegung von Messgeräten.


2.2-12


● Schwache Dämpfung:

– Es gibt 2 komplexe Lösungen

mit .

– Die allgemeine Lösung lautet

mit zwei komplexen Konstanten

1/2=−±id

d=1−D2

x t =A1e1 tA2e

2 t=e− t A1eid tA2e

−id t

A1=a1i b1 , A2=a2i b2


2.2-13


– Mit den Eulerschen Formeln

folgt:

– Die Lösung ist reell für

eix=cos x i sin x , e−ix=cos x −i sin x

x t =e− t [a1i b1 cosd t i sin d t a2i b2 cosd t −i sin d t ]

=e− t [a1a2cos d t −b1−b2sin d t

i b1b2cosd t a1−a2sin d t ]

a1=a2=C c2, b1=−b2=−

C s

2


2.2-14


– Damit lautet die allgemeine Lösung:

– Für die Geschwindigkeit folgt:

– Die Konstanten können aus den Anfangsbedingungen be-stimmt werden:

x t =e− t C c cos d t C s sin d t

x t =− e− t C ccos d t C s sin d t e− td −C c sin d t C s cosd t

=e− t [dC s−C ccosd t −dC cC ssin d t ]

x 0=x 0=C c C c=x0

v0= x 0=dC s−C c C s=v0 x0

d


2.2-15


– Ergebnis:

– Wie im ungedämpften Fall lässt sich die Lösung auch in der Form

schreiben.

– Dabei gilt:

x t =e− t [ x 0cos d t v0 x 0d

sin d t ]

x t =C e− t cos d t

C= x02 v0 x 0d

2

, tan =−v0 x0d x 0

x 0=C cos ,v0 x 0

d=−C sin


2.2-16


Td


2.2-17


– Die Schwingung klingt exponentiell ab.

– Die Frequenz fd der ge-

dämpften Schwingung ist kleiner als die Frequenz f der ungedämpften Schwingung:

f df

=d

=1−D2

– Bei vielen praktischen Anwendungen ist D < 5%.

– Für D = 5% gilt:

– Für D < 5% ist die Abwei-chung von der unge-dämpften Frequenz klei-ner als 0,15%.

f df

=1−0,05²=0,9987


2.2-18


– Logarithmisches Dekrement:● Für das Verhältnis von 2 Ausschlägen im Abstand einer Peri-

ode Td gilt:

● Das logarithmische Dekrement ist definiert durch

● Für sehr schwache Dämpfung (D < 10%) gilt die Näherung

x t x tT d

=C e− t cos d t

C e−tT d cos d tT d =eT d

=ln x t x tT d =T d=

2d

=2D

1−D2

1−D2≈1 ≈2 D


2.2-19


● Beispiel: Dämpferprüfstand

– Daten:● Masse m = 1,5kg● Federkonstante c = 150N/m● Dämpferkonstante d = 1,8Ns/m

– Anfangsbedingungen:

● Auslenkung x0 = 1,5mm

● Geschwindigkeit v0 = 10mm/s

m

c/2 c/2dx


2.2-20


– Gesucht:● Dämpfungsfall● maximale Auslenkung

– Dämpfungsfall:● Lehrsches Dämpfungsmaß:

● Das System ist schwach gedämpft.

D=

=d2m mc =

d2mc

D=1,8 kg / s

21,5kg⋅150 kg / s2=

1,82225

=1,82⋅15

=0,061


2.2-21


– Maximale Auslenkung:● Auslenkung:● Geschwindigkeit:

● Bei maximalem Ausschlag ist die Geschwindigkeit null:

● Abkürzung:

x t =C e− t cos d t

x t =−C e− t cos d td sin d t

x tmax =0 : cos d tmaxd sin d tmax=0

=d tmax

cos=−d sin tan =−d

=−D

1−D2


2.2-22


● Zahlenwerte:

= cm= 1501,5 kgms²m⋅kg

=101s

=D=101s⋅0,06=0,6

1s

d=1−D2=1−0,062=9,982 1s

tan =−v0 x0d x0

=−100,6⋅1,59,982⋅1,5

mm⋅ss⋅mm

=−0,7280 =−0,6293

C= x 02 v0 x0d

2

=1,52mm2 100,6⋅1,59,982mm

2

=1,855mm


2.2-23


tan =−D

1−D2=−

0,06

1−0,062=−0,06011 =−0,06004

=d tmax tmax=−

d

=−0,060040,6293

9,981 s−1=0,05703 s

xmax=C e− tmax cos =1,855mm⋅e−0,6 s−1⋅0,05703 s cos−0,06004

=0,1855mm⋅0,9664⋅0,9982=1,789mm


2.2-24


● Aufgabenstellung:

– Betrachtet wird ein schwach gedämpftes schwingendes System.

– Gesucht ist die Energie, die während einer Periode dissi-piert wird.

● Lösung:

– Potenzielle Energie zum Zeitpunkt t = tn:

E P tn=12c x 2tn=

12cC2e−2 t n cos2 d tn


2.2-25


– Kinetische Energie zum Zeitpunkt t = tn:

– Gesamte Energie zum Zeitpunkt t = tn:

– Zum Zeitpunkt tn+1

= tn + T

d gilt:

v t n= x tn=−C e− t n [ cos d tn d sin d t n ]

En=E tn=EP t nE

K tn

E K t n=12mC 2e−2 t n [ cos d t n d sin d t n ]

2

sin d t n1 =sin d t n , cos d t n1 =cos d tn


2.2-26


– Damit gilt für die Energien:

– Für das Verhältnis der Energien folgt:

E n1En

=e−2T d=e−2

E P tn1=12cC2e−2 t n1cos2 d tn =e−2T d EP t n

E K t n1=e−2T d E K t n

E n1=e−2T d En


2.2-27


– Für die während einer Periode dissipierte Energie gilt:

– Verhältnis der Energien nach den ersten N Perioden:

– Während der ersten N Perioden dissipierte Energie:

En=En−En1=E n−E n1E n

E n=1−e−2 En

E N1

E1=E N1

E N⋅E NEN−1

⋅⋅E2E1

=e−2N

EN=E1−E N1=1−e−2N E1


2.2-28


cm

d

a a a

● Beispiel:

– Eine masselose, starre Stange mit Feder und Dämpfer trägt eine Masse.


2.2-29

2.3. Dissipierte Energie

– Aufgabenstellung:● Wie lautet die Schwingungsgleichung?● Welche Bedingung muss die Dämpfungskonstante d erfüllen,

damit schwache Dämpfung vorliegt?● Wie lautet die Lösung der Schwingungsgleichung für die An-

fangsbedingungen θ(0) = θ0 und dθ/dt(0) = 0?

● Wie groß ist die für D = 0,01 während der ersten Periode dis-sipierte Energie?

– Schwingungsgleichung:● Die Bewegung der Stange wird durch den von der Gleichge-

wichtslage aus gemessenen Winkel θ beschrieben.


2.2-30


● Für kleine Auslenkungen lautet der Drallsatz be-züglich Punkt A:

FC

FD

A

θ

● Mit

folgt:

● Damit lautet die Schwin-gungsgleichung:

2a2m =−a F C−3aF D

FC=c asin ≈c aF D=d⋅3a

2 a2m 3a2d

ca2=0

29d8m

c4m

=0


2.2-31


– Bedingung für schwache Dämpfung:● Aus der Schwingungsgleichung kann abgelesen werden:

● Lehrsches Dämpfungsmaß:

● Bedingung für schwache Dämpfung:

=9d8m

, 2=c4m

D=

=9d8m

⋅2mc =9d4 mc

D1 d49

mc


2.2-32


– Lösung der Schwingungsgleichung:● Allgemeine Lösung:

● Konstanten:

● Ergebnis:

– Dissipierte Energie:● Mit D = 0,01 gilt:

t =e− t [C c cos d t C s sin d t ]

C c=0 , C s=0d

=0

1−D2=0

D

1−D2

t =0e− t cos d t

D

1−D2sin d t

=2⋅D

1−D2=2⋅

0,01

1−0,012=0,06283

E1=E1−E2=1−e−2⋅0,06283 E1=0,1181E1

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