Gedämpfte Schwingungen

i. A. sind Schwingungen gedämpft, d. h. ihre Amplitude nimmt über die Zeit ab. Dies wird durch Reibungskräfte bewirkt.

€

m ⋅ ˙ x = −m ⋅ω02 ⋅ x + FRBew.Gl.:

Die Reibungskraft FR ist oft eine Funktion der Geschwindigkeit.z. B viskose Reibung (z.B. Stokes):

€

FR = −β ⋅v

Neue Bew.gl.:

€

m ⋅ ˙ x + m ⋅ω02 ⋅x + β ⋅ ˙ x = 0

Ansatz:

€

x t( ) = c ⋅eλ ⋅t

€

m ⋅λ2 + m ⋅ω02 + 2mγ ⋅λ( ) ⋅x t( ) = 0

€

λ2 + 2γλ +ω02

( ) = 0

€

λ1,2 = −γ ± γ 2 −ω02

€

mit γ =β

2m

Gaub 1WS 2014/15

€

γ>ω01) Starke Dämpfung (Wurzel reell)

€

α := γ 2 −ω02

€

x(t) = e−γ ⋅t c1eα ⋅t + c2e

−α ⋅t( ) c1 und c2 aus Randbedg.

€

γ<ω02) Schwache Dämpfung (Wurzel imaginär)

€

ω2 := γ 2 −ω02

€

λ1,2 = −γ ± iω

€

x(t) = e−γ ⋅t c1eiω⋅t + c2e

−iω⋅t( )Lösungen haben die Form

Damit x reell ist, muß

€

c1 = c2* = c

Frequenz wird durch Reibung reduziert!€

x t( ) = 2 ⋅ c ⋅e−γ ⋅t cos ω ⋅t +ϕ( )

€

x(t) = A ⋅e−γ ⋅t ⋅cos ω ⋅t +ϕ( )

€

mit c = c e iϕ

€

λ1,2 = −γ ± γ 2 −ω02

€

tan ϕ( ) =Im(c)

Re(c)=

ic − c*

c + c*

€

x(t) =v0

αe−γ ⋅t sinh(αt) wenn x(0)=0 und v(0)=v0

Im

Re

IxI

€

ω⋅t +ϕ

Gaub 2

€

A ⋅e−γ ⋅t€

T =2π

ω02 −γ 2

t

( )tx€

x t +T( )x t( )

= e−γ ⋅T

€

τ =1

γ

e

A

nach ist die Amplitude auf

abgefallen

;

€

τ =1

γ

e

A€

x(t) = A ⋅e−γ ⋅t ⋅cos ω ⋅t +ϕ( ) Amplitude fällt exponentiell ab.

Gaub 3WS 2014/15

3) Aperiodischer Grenzfall (Wurzel =0)

€

γ=ω0

€

λ1,2 = −γ ± γ 2 −ω02

€

λ1 = λ 2 = −γ Ansatz liefert nur eine Lösung

€

x(t) = c ⋅e−γ ⋅t Es muß noch eine weitere Lösung geben!

Neuer Ansatz:

€

x t( ) = C t( ) ⋅e−γ ⋅t

€

˙ x +ω02 ⋅x + 2 ⋅γ ⋅ ˙ x = 0

€

˙ x t( ) = ˙ C ⋅e−γ ⋅t −γ ⋅C ⋅e−γ ⋅t

€

˙ x t( ) = ˙ C ⋅e−γ ⋅t −γ ⋅ ˙ C ⋅e−γ ⋅t −γ ⋅ ˙ C ⋅e−γ ⋅t +γ 2 ⋅C ⋅e−γ ⋅t

€

˙ C − 2γ ⋅ ˙ C +γ 2 ⋅C +ω02 ⋅C + 2γ ⋅ ˙ C − 2γ 2 ⋅C = 0

€

˙ C + γ 2 +ω02 − 2γ 2

( ) ⋅C = 0

€

C t( ) = c1 + c2 ⋅ t

€

x t( ) = c1 + c2 ⋅t( ) ⋅e−γ ⋅tc1 und c2 aus Randbedg.

Im aperiod. Grenzfall relaxiert das System schnellstmöglich ohne überzuschwingen. => Optimale Dämpfung für Messinstrumente.{

04

über

Gaub 5WS 2014/15

Erzwungene Schwingungen

€

F t( ) = F0 ⋅eiω⋅t

€

x t( ) = x0 ⋅eiω⋅t

€

−m ⋅ω2 ⋅x0 ⋅eiω⋅t + i ⋅ω ⋅2γm ⋅x0 ⋅e

iω⋅t + m ⋅ω02 ⋅x0 ⋅e

iω⋅t = F0 ⋅eiω⋅t

€

−m ⋅ω2 ⋅x0 + i ⋅ω ⋅2γm ⋅x0 + m ⋅ω02 ⋅x0 = F0

€

x0 =F0 m

ω02 −ω2 + i ⋅ω ⋅2γ

Re

Im

ϕ

€

x0 = x0 ⋅eiϕ€

=F0 m

ω02 −ω2

( )2

+(2γω)2ω0

2 −ω2 − i ⋅ω ⋅2γ( )

m

€

F = F0 ⋅cos ω ⋅ t( )

€

m ⋅ ˙ x + 2γm ⋅ ˙ x + m ⋅ω02 ⋅x = F t( )

€

F t( ) : Von außen angelegte Kraft

F0 und x0 komplex!

Gaub WS 2014/15

€

x0

2= x0 ⋅ x0

*€

x0 =F0 m

ω02 −ω2

( )2

+(2γω)2ω0

2 −ω2 − i ⋅ω ⋅2γ( )

€

=F0 m( )

2

ω02 −ω2

( )2

+(2γω)2 ⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

€

tan ϕ( ) =Im x0( )Re x0( )

€

=−2 ⋅γ ⋅ω

ω02 −ω2

( )

€

x0 =F0 m

ω02 −ω2

( )2

+(2γω)2

Amplitude Phasenverschiebung

€

=F0 m( )

2ω0

2 −ω2( )

2+(2γω)2 ⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

ω02 −ω2

( )2

+(2γω)2 ⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

2

Gaub 7WS 2014/15

€

F0

m ⋅ω02

€

ω0

- In der Resonanz liegt die Phase des Erregers um /p 2 vor dem Oszillatorz. B. Anregung mit cos (w0t) -> Resonanz cos(w0t- /p 2)=sin(w0t)

€

ω0

- Für w->0 gleichphasig, für w->∞ gegenphasig

Versuche Pohl‘sches Rad und Glas Film Tacoma Bridge

€

tan ϕ( ) =−2γω

ω02 −ω2

( )

€

0

€

−π

€

−π2

€

ω

€

ω€

x0 =F0 m

ω02 −ω2

( )2

+(2γω)2

€

x0

8

€

x0 =F0 m

ω02 −ω2

( )2

+(2γω)2

Näherung für schwache Dämpfung <<g w

€

=F0 m

ω0 −ω( )2⋅ ω0 +ω( )

2+(2γω)2

In der Nähe der Resonanz

€

ω0 ≈ ω

€

≈ω0

€

x0

2≈

F02

4m2ω02γ 2

€

A := x0

2ω0( ) ≈

F02

4m2ω02γ 2

Maximum:

€

A

2=!

x0

2ω1 2( )

€

ω0 −ω1 2( )2

= γ 2

€

ω0 =ω1 2 ± γ Halbwertsbreite:

€

ΔωH = 2γ

€

ΔωH

„Güte“ des Oszillators:

€

A 2€

A

€

Q =ω0

ΔωH

€

≈0

Gaub 9WS 2014/15

Energie im Harmonischen Oszillator

Ungedämpfter harm. Oszillator:

€

m ⋅ ˙ x (t) + m ⋅ω02 ⋅ x = 0

€

x(t) = A ⋅cos ω0 ⋅ t( )

€

˙ x (t) = −A ⋅ω0 ⋅sin ω0 ⋅ t( )

kinetische Energie:

€

Ekin =m

2˙ x 2 =

1

2⋅m ⋅A2 ⋅ω0

2 ⋅sin2 ω0 ⋅ t( )

Potentielle Energie:

€

E pot =1

2⋅m ⋅ω0

2 ⋅ x 2

€

=1

2⋅m ⋅ω0

2 ⋅A2 ⋅cos2 ω0 ⋅ t( )

€

Eges = Ekin + E pot

€

=1

2⋅m ⋅ω0

2 ⋅A2 ⋅ sin2 ω0 ⋅ t( ) + cos2 ω0 ⋅ t( )( )

€

=1

€

=1

2⋅m ⋅ω0

2 ⋅A2

Mittelwerte über eine Periode

€

E kin =1

2⋅m ⋅A2 ⋅ω0

2 ⋅1

Tsin2 ω0 ⋅ t( )

0

T

∫

€

1

2€

=1

4⋅m ⋅A2 ⋅ω0

2

€

=E pot

Gaub 10WS 2014/15

Energieübertragung bei erzwungener Schwingung im gedämpften harm. Oszillator:

Im eingeschwungenen Zustand ändert sich die Amplitude der Schwingung mit der Zeit nicht mehr.

€

=β ˙ x 2 = 2γm ˙ x 2dissipierte Leistung:

€

P = FR t( ) ⋅v

Pro Zyklus aufgenommene Arbeit:

€

W = Pdt0

T

∫

€

=2γm ˙ x 2dt0

T

∫

€

P =W

T= m ⋅γ ⋅ω2 ⋅A2Mittlere Leistung: Maximal für

weil A dann maximal

€

ω =ω0

Alle Energie, die dem System von außen zugeführt wird, muß vollständig in Reibungswärme umgewandelt werden.

€

=2mγ ⋅ω2 ⋅A2 cos2 ω ⋅t +ϕ( ) ⋅dt0

T

∫

€

=m ⋅γ ⋅ω2 ⋅A2 ⋅T

Gaub 11WS 2014/15

Mathieu-Gleichung

Parametrischer Oszillator (Kinderschaukel):

Fadenpendel : w0 = (g/L)1/2

Periodisches verkürzen des Fadens:

€

=>ω2 (t) =ω02(1+ h cosΩt)

€

=>˙ x +ω02 (1+ h cosΩt) ⋅x = 0

optimaler Antrieb bei

€

Ω=2ω0 +ε ; ε <<ω0

Ansatz:

€

x = c1(t)cos(Ω

2t)+ c2 (t)sin(

Ω

2t)

€

=>c1(t) = Ae−iβt

€

β =1

2ε 2 −(

hω0

2)2

Exponentielles aufschaukeln für

€

ε 2 < (hω0

2)2

mit:

€

˙ c 1 ≈ ˙ c 2 ≈ 0 und Winkelfunktionsmassage (siehe Demtröder)

12

wo2

h

Detaillierte Stabilitätsanalyse siehe §12

Gaub 13WS 2014/15

m

D1D2

€

Dges = D1 + D2

€

ω =D1 + D2

m

Gekoppelte OszillatorenA) Gekoppelte Federn, eine Masse

m

D1

D2 €

1

Dges

=1

D1

+1

D2

€

ω =D1 ⋅D2

D1 + D2( ) ⋅m

Gaub 14WS 2014/15

B) Gekoppelte Federn, mehrere Massen

D1 D12 D2m1m2

0

x1

0

x2

Kopplung der DGL€

(1) m1˙ x 1 + D1x1 + D12 x1 − x2( ) = 0

€

(2) m2˙ x 2 + D2x2 + D12 x2 − x1( ) = 0

Vereinfachung:

€

D1 = D2 = D; m1 = m2 = m

€

(1) + (2) m ˙ x 1 + ˙ x 2( ) + D x1 + x2( ) = 0

€

(1) − (2) m ˙ x 1 − ˙ x 2( ) + D x1 − x2( ) + 2D12 x1 − x2( ) = 0

Normalkoordinaten

€

x− =1

2x1 − x2( )

€

x + =1

2x1 + x2( )

€

x + +D

mx + = 0

€

x − +D + 2D12

mx− = 0

€

:= ω12

€

:= ω22 €

x + t( ) = A1 ⋅cos ω1t + ϕ1( )

€

x− t( ) = A2 ⋅cos ω2t + ϕ 2( )

Eigenschwingungen, „Normalmoden“

€

x1 = x + + x−

€

x2 = x + − x−„Schwebungen“

Versuche Gekoppelte Pendel und Metronome

15

B) Gekoppelte Federn, mehrere Massen

16

B) Gekoppelte Pendel unter externer Anregung

Gaub

C) Gekoppelte Federn, mehrere Massen

Gaub 18WS 2014/15