2 Funktionen einer Variablen

2.1 Einfuhrende Beispiele

Kostenfunktion und Stuckkostenfunktion: Das Unternehmen Miel pro-

duziert hochwertige Waschmaschinen. Es hat monatliche Fixkosten von 170.000

¤. Die sind unabhangig von der produzierten Menge. Pro produziertem Stuck

fallen variable Kosten (vor allem Material und Lohne) von 500 ¤ an. Die monat-

lichen Gesamtkosten des Unternehmens (in ¤) betragen dann

K(x) = 170.000 + 500x,

wobei x die Anzahl der im Monat produzierten Waschmaschinen ist. Bei 100

Waschmaschinen fallen also Gesamtkosten an in Hohe von

K(100) = 230.000,

bei 1000 Stuck

K(1000) = 670.000.

K heißt die Kostenfunktion. Wenn man nicht an den Gesamtkosten K in-

teressiert ist, sondern an den Kosten pro produziertem Stuck, so erhalt man die

70

Stuckkostenfunktion S(x). Sie ergibt sich aus der Kostenfunktion K(x) ein-

fach durch

S(x) =K(x)

x.

In obigem Beispiel ist

S(x) =170.000 + 500x

x= 500 +

170.000

x.

Bei 100 produzierten Waschmaschinen ist das also

S(100) = 2300,

bei 1000 Maschinen

S(1000) = 670.

Weitere okonomische Funktionen sind

Nachfrage-Funktion (Preis-Absatz-Funktion): Sei p der Preis eines Gu-

tes,N die nachgefragte (abgesetzte) Menge. Die Nachfragefunktion ist dannN(p).

Ublicherweise wird N(p) kleiner, wenn der Preis p steigt. So konnte z.B. (p aus-

gedruckt in ¤)

N(p) = 100.000− 500p (2.1)

71

sein. Das heißt, bei einem Preis von 10 ¤ betragt die Nachfrage 95.000 Stuck, bei

einem Preis von 13 ¤ nur 93.500 Stuck.

Oft wird auch umgekehrt die Funktion p(N) betrachtet.

Angebotsfunktion: Sei p der Preis eines Gutes, A die vom Produzenten zu

dem Preis auf den Markt gebrachte Menge. Die Angebotsfunktion ist dann A(p).

Angebotsfunktionen sind typischerweise monoton steigend.

Erlosfunktion: Fur N abgesetzte Guter zum Stuckpreis p(N) ist der Erlos in

Abhangigkeit von der Menge N

E(N) = N · p(N).

Hierbei ist berucksichtigt, dass der Preis p von der Nachfrage N abhangt, typi-

scherweise mit hoher Nachfrage steigt.

In Abhangigkeit vom Preis p ist die Erlosfunktion

E(p) = N(p) · p.

Wenn wir die Nachfragefunktion (2.1) benutzen, erhalten wir

E(p) = 100.000p− 500p2.

72

Eine typische Frage ist: Fur welchen Preis p wird der Erlos E(p) maximal. Solche

und ahnliche Fragen werden wir mit etwas mathematischer Theorie beantworten

konnen.

2.2 Grundlegende Begriffe und Bezeichnungen

Eine Abbildung

f : R → R mit D(f ) ⊆ R

heißt reellwertige Funktion einer reel-

len Variablen (Veranderlichen) wobeiD(f )

der bereits fruher definierteDefinitionsbereich

von f ist. Die Menge

W (f ) := {f (x) : x ∈ D(f )}

heißt der Wertebereich von f .

Erinnerung: D(f ) = {x ∈ R : Es gibt y ∈ R mit y = f (x)}, d.h. D(f ) be-

steht aus all den x, die man “in f einsetzen” kann.

73

Wir nennen x 7→ f (x) die Zuordnungsvor-

schrift und

Gf = {(x, y) ∈ D(f )× R : y = f (x)}

den Graph von f .

Viele Zuordnungsvorschriften haben einen “naturlichen maximalen Definitionsbe-

reich”. Oft wird dann nur die Zuordnungsvorschrift angegeben, und es ist dann die

zugehorige Funktion auf dem maximalen Definitionsbereich gemeint. Wenn aus

dem Zusammenhang klar ist, was die Funktion f ist, schreiben wir auch einfach

D statt D(f ).

Beispiel 2.1 • x 7→ x2 hat den maximalen Definitionsbereich R.

• x 7→ 1

xhat den maximalen Definitionsbereich R \ {0}.

• Die schon vorher betrachtete Kostenfunktion

K(x) = 170.000 + 500x

hat als DefinitionsbereichR. In dem betrachteten Beispiel sind allerdings nur

nicht-negative ganze Zahlen x interessant (x: Anzahl der Waschmaschinen)

74

und nur bis zu einer gewissen Hohe, die durch die Maximalauslastung des

Unternehmens gegeben ist. Dieses Beispiel zeigt, dass nicht alle Werte fur x,

die mathematisch sinnvoll sind, auch im okonomischen Sinn sinnvoll sind.

In vielen Fallen ist f eine Funktion aus S nach T , wobei S, T ⊆ R Teilmengen

von R sind. In dem Fall schreibt man

f : S → T, x 7→ f (x).

Die Elemente f (x) mussen in T liegen. Der Definitionsbereich von f ist in diesem

Fall

D(f ) = {x ∈ S : Es gibt y ∈ T mit y = f (x).}Ein Hilfsmittel zur Veranschaulichung einer Funktion f und ihres Graphen ist eine

Wertetabelle, in der ausgewahlte Werte von x zusammen mit ihrem Funkti-

onswert f (x) eingetragen werden.

Beispiel 2.2 Wir setzen unser Beispiel K(x) = 170.000 + 500x fort:

x 1 10 20 50 100 1000K(x) 170.500 175.000 180.000 195.000 220.000 670.000

75

Beispiel 2.3 f (x) = 3x2 + 2x + 1:

x -2 -1 0 1 2 5 10

f (x) 9 2 1 6 17 86 321.

Eine genauere Methode ist das Zeichnen der Graphen in ein Koordinatensystem.

Der Graph zur oben angegebenen Funktion 3x2 + 2x + 1 ist

2

4

6

8

10

12

–2 –1 0 1

x

Wir wollen uns in den folgenden Beispielen uberlegen, ob die jeweiligen Funk-

tionen f : R → R injektiv, surjektiv oder bijektiv sind. Achtung: Es gibt

Funktionen, die weder injektiv noch surjektiv noch bijektiv sind!

76

Injektivitat bedeutet, dass der Graph jeder Gerade mit der Gleichung y = a

(a ∈ R) den Graphen Gf von f hochstens einmal schneidet. Beachte, dass

Gleichungen y = a Geraden parallel zur x-Achse beschreiben. Surjektiv heißt,

dass jede solche Gerade den Graphen mindestens einmal trifft, und bijektiv

schließlich bedeutet, dass jede solche Gerade den Graphen genau einmal trifft,

und dass gleichzeitig D(f ) = R gilt.

Sie mussen Surjektivitat etwas anders interpretieren, wenn f : R → AmitA ⊆ R

gilt. Surjektivitat bedeutet dann, dass jede Gerade mit der Gleichung y = a mit

a ∈ A den Graphen Gf mindestens einmal trifft.

Beispiel 2.4 f (x) = 2x2 + 4x− 30:

–30

–20

–10

0

10

20

30

40

–6 –4 –2 2 4

x

77

Diese Funktion ist weder injektiv noch surjektiv.

Beispiel 2.5 f (x) =1

x2 − 5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

y

–6 –4 –2 2 4 6

x

Auch diese Funktion ist nicht surjektiv, denn f (x) ist niemals 0. Sie ist auch nicht

injektiv, weil stets f (−x) = f (x) gilt.

Beispiel 2.6 S(x) = 500 +170.000

x, D(S) = R+

78

0

1000

2000

3000

4000

y

200 400 600 800 1000

x

Diese Funktion ist injektiv und nimmt alle positiven Werte > 500 an. Wenn wir

S also auffassen als eine Abbildung R+ → {x ∈ R : x > 500}, so ist S surjektiv

(sogar bijektiv!).

Beispiel 2.7 f (x) = 7

79

6

6.5

7

7.5

8

–3 –2 –1 0 1 2 3

x

Diese Funktion heißt konstant

Allgemein heißt eine Funktion mit der Vorschrift f (x) = c, wobei c eine Zahl

unabhangig von x ist, konstant. Konstante Funktionen sind nicht injektiv und

nicht surjektiv.

Beispiel 2.8 f (x) = 10x− 3:

80

–20

–10

0

10

–2 –1 1 2x

Die Abbildung f ist injektiv und surjektiv.

Eine Funktion der Form

f (x) = a · x + b

heißt linear. Dabei sind a und b feste reelle Zahlen. Die Kostenfunktion K(x) =

170.000 + 500x ist beispielsweise eine lineare Funktion.

Beispiel 2.9 Ein Kopierladen erhebt die Kosten pro Fotokopie in Abhangigkeit

von der Gesamtzahl der getatigten Kopien. Hierbei gelten folgende Preise:

Anzahl der Kopien 0 bis 49 50 - 99 ab 100

Preis pro Kopie 0,05¤ 0,04¤ 0.03¤

81

Die Funktion k, die den Preis pro Kopie beschreibt, ist also gegeben durch

k(x) =

0, 05 falls 0 ≤ x ≤ 49,

0, 04 falls 50 ≤ x ≤ 99,

0, 03 falls 100 ≤ x.

Ihr Graph sieht wie folgt aus:

ο

•

•

ο

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

x

Eine solche Funktion nennt man Treppenfunktion. Treppenfunktionen sind

weder injektiv noch surjektiv. Achtung: Eigentlich ist unsere Funktion k(x)

82

naturlich nur fur ganzzahlige x definiert. Wir haben bei der hier angegebenen

Skizze aber x beliebig reellwertig angenommen, was fur die Visualisierung durch-

aus angemessen ist.

Bei Funktionen mit Sprungen wie in diesem Beispiel sollte man bei der Visuali-

sierung deutlich machen, welche Punkte an den Sprungstellen zum Funktionsgra-

phen gehoren. Wir malen einen fetten Punkt, wenn der Punkt dazugehort, sonst

einen nicht ausgefullten kleinen Kreis.

Die Funktion K, die die Gesamtkosten des Kunden in Abhangigkeit von der

Stuckzahl angibt, ist

K(x) =

0, 05x falls 0 ≤ x ≤ 49,

0, 04x falls 50 ≤ x ≤ 99,

0, 03x falls 100 ≤ x.

Ihr Graph sieht wie folgt aus:

83

ο

•

•

ο

0

1

2

3

4

5

6

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

x

Injektive Abbildungen haben eine schone Eigenschaft. Beachten Sie dabei, dass

der Wertebereich aus allen y ∈ R besteht, fur die es ein x gibt mit y = f (x).

Es handelt sich also um die Menge der reellen Zahlen, die wirklich als Bild von f

auftreten.

84

Ist die Funktion f : R → R injektiv, hat den

Definitionsbereich D und den Wertebereich W ,

so ist f : D → W bijektiv. Dann heißt

f−1 : W → D , y 7→ x wobei x ∈ D mit f (x) = y

die Umkehrfunktion zu f . Der Graph

Gf−1 = {(y, x) ∈ W ×D | y = f (x)}= {(y, x) ∈ W ×D | (x, y) ∈ Gf}

entsteht aus Gf durch Spiegelung an der Winkel-

halbierenden mit der Gleichung x = y.

Beispiel 2.10 Wir betrachten wieder die Stuckkostenfunktion

S(x) = 500 +170.000

x.

Fur welche Stuckzahl ergibt sich 1500 ¤? Wir losen hierzu

500 +170.000

x= 1500

85

nach x auf und erhalten

170.000

x= 1000,

x = 170.

Das ist die gesuchte Stuckzahl, denn es ist nun S(170) = 1500. Losen wir allgemein

die Gleichung

500 +170.000

x= y

nach x auf, so erhalten wir

x =170.000

y − 500

und dies ist gerade die Umkehrfunktion, also

S−1(y) =170.000

y − 500.

Mit ihr lasst sich zu beliebigen Stuckkosten die zugehorige Stuckzahl ermitteln.

Beispiel 2.11 Die Funktion f : R+0 → R+

0 mit f (x) = x2 ist bijektiv. Ihre

Umkehrabbildung ist f−1(y) =√y.

86

0

1

2

3

4

y

1 2 3 4x

Beachte: Die Funktion f (x) = x2 kann auch fur alle x ∈ R betrachtet werden,

ist dann aber nicht injektiv, folglich gibt es dann auch keine Umkehrfunktion.

Verknupfung von Funktionen

Aus gegebenen Funktionen konnen durch Verknupfung mittels der Grundrechen-

arten neue Funktionen gebildet werden.

87

Seien f, g : R → R Funktionen und λ ∈ R. Dann

lassen sich auch die folgenden Funktionen definie-

ren:

λf : R → R, mit (λf )(x) = λf (x),

f ± g : R → R, mit (f ± g)(x) = f (x)± g(x),

f · g : R → R, mit (f · g)(x) = f (x) · g(x),f

g: R → R, mit

f

g(x) =

f (x)

g(x).

Die Definitionsbereiche sind

D(λf ) = D(f ),

D(f ± g) = D(f ) ∩D(g),

D(f · g) = D(f ) ∩D(g),

D

(f

g

)= {x ∈ R : x ∈ D(f ) ∩D(g) und g(x) 6= 0}.

Wir erinnern daran, dass man auch f ◦ g (Verkettung von f und g) bilden kann.

Der Definitionsbereich von f ◦ g sind diejenigen Elemente x ∈ R, fur die g(x) im

88

Definitionsbereich von f liegt.

Beispiel 2.12 Seien f (x) = 15x− 3, g(x) = 2x2 − 3x + 1. Dann sind

(5f )(x) = 75x− 15,

(f + g)(x) = 2x2 + 12x− 2,

(f · g)(x) = (15x− 3)(2x2 − 3x + 1)

= 30x3 − 51x2 + 24x− 3,

(f

g

)(x) =

15x− 3

2x2 − 3x + 1.

Aus dem Definitionsbereich vonf

gmussen 1 und 1/2 ausgeschlossen werden, weil

g(1) = 0 und g(1/2) = 0.

Intervalle

Seien a, b ∈ R mit a < b. Dann unterscheiden wir die folgenden Typen von

89

Intervallen

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall,

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} offenes Intervall,

[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} halboffene Intervalle.

Intervalle der Form

[a,∞) = {x ∈ R : x ≥ a}(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}(a,∞) = {x ∈ R : x > a}

(−∞, b) = {x ∈ R : x < b}

werden uneigentliche Intervalle genannt, die ersten beiden sind abgeschlos-

sene, die letzten beiden offene Intervalle.

Monotonie

Neben Injektivitat und Surjektivitat spielen weitere Eigenschaften von Funktionen

eine wichtige Rolle. Besonders wichtig ist die Monotonie:

90

Seien f : R → R eine Funktion und I ⊆ R ein

Intervall im Definitionsbereich von f .

Gilt fur alle x1, x2 ∈ I mit x1 < x2

f (x1) ≤ f (x2) (bzw. f (x1) < f (x2)) (2.2)

dann heißt f (streng) monoton wachsend in

I .

Gilt fur alle x1, x2 ∈ I mit x1 < x2

f (x1) ≥ f (x2) (bzw. f (x1) > f (x2))

dann heißt f (streng) monoton fallend in

I . Die Funktion f heißt (streng) monoton

wachsend auf dem ganzen Definitionsbereich,

wenn die Bedingung (2.2) fur alle x1, x2 ∈ D(f )

mit x1 < x2 erfullt ist. Entsprechendes gilt fur

(streng) monoton fallend

Die Stuckkostenfunktion S(x) = 500 + 170.000x ist streng monoton fallend. An-

schaulich bedeutet das: Je mehr Stucke produziert werden, so geringer sind die

91

Stuckkosten, um so effizienter ist also die Produktion.

Wir halten folgenden interessanten Zusammenhang zwischen Monotonie und In-

jektivitat fest:

Ist f streng monoton wachsend (oder streng mo-

noton fallend) dann ist f injektiv, hat also eine

Umkehrfunktion.

Beispiel 2.13 Die Funktion f (x) = 2x2+4x−30 ist auf [0,∞) streng monoton

wachsend, auf (−∞,−2] streng monoton fallend. Wo genau sich das Wachstums-

verhalten umkehrt, ist am Graphen nicht genau zu erkennen. Das werden wir

spater mit mathematischen Methoden ermitteln konnen.

Konnen Funktionen nicht beliebig groß oder klein werden, spricht man von be-

schrankten Funktionen:

92

Sei f : R → R eine Funktion und sei D der Defi-

nitionsbereich. Gibt es ein c ∈ R mit

f (x) ≥ c (bzw. f (x) ≤ c) fur alle x ∈ D,

dann heißt f nach unten (bzw. oben) be-

schrankt.

Ist f nach unten und nach oben beschrankt, dann

heißt f beschrankt. Anders formuliert: Der

Wertebereich W (f ) ist beschrankt, also W (f ) ⊆[a, b] fur geeignete a, b ∈ R.

Beispiel 2.14 Die Funktion f (x) = x2 − 4 mit dem Graphen

93

–4

–2

2

4

–3 –2 –1 1 2 3

x

ist nach unten beschrankt, weil f (x) ≥ 4 fur alle x ∈ R. Die Funktion ist aber

nicht nach oben beschrankt.

Beispiel 2.15 Die Funktion f (x) = x3 ist weder nach oben noch nach unten

beschrankt.

94

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

–2 –1 1 2

x

Wir betrachten wieder die Kostenfunktion

K(x) = 170.000 + 500x

auf dem Intervall [0, 2000]. Dort ist K beschrankt, weil

K(x) ≥ K(0) = 170.000

K(x) ≤ K(2000) = 1.170.000

95

fur alle x ∈ [0, 2000]. Das Intervall [0, 2000] konnte aus okonomischer Sicht re-

levant sein, wenn etwa die Maximalauslastung bei 2000 produzierten Waschma-

schinen liegt.

Folgende Eigenschaft beschreibt eine gewisse Symmetrie des Funktionsgraphen:

Sei f : R → R eine Funktion mit D(f ) = R,

die Funktion ist also auf ganz R definiert. Gilt

f (−x) = f (x) fur alle x ∈ R, dann heißt f ge-

rade. Wenn f (−x) = −f (x) fur alle x ∈ R gilt,

dann heißt f ungerade.

Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, der

einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch bezuglich des Ursprungs des

Koordinatensystems.

Beispiel 2.16 Die Funktion f (x) = x4 ist gerade,

96

0

2

4

6

8

10

12

14

16

y

–3 –2 –1 1 2 3

x

die Funktion f (x) = x5 ist ungerade:

97

–15

–10

–5

5

10

15

y

–2 2

x

Nullstellen

Haufig interessiert man sich fur die Werte der unabhangigen Variable einer Funk-

tion, fur die der Funktionswert 0 ist:

98

Sei f : R → R eine Funktion. Ist x0 ∈ D(f )

eine reelle Zahl mit f (x0) = 0, dann heißt x0 eine

Nullstelle von f .

Der folgende Graph skizziert eine Funktion mit drei Nullstellen (3, 1 und −3):

–40

–20

20

40

60

–3 –2 –1 1 2 3 4

x

99