Kernphysik

Elemententstehung

2. Kernphysik

Cora Fechner

Universitat Potsdam

SS 2014

Kernphysik

Kernphysik

Kernphysik

Kernphysikalische Grundlagen

Kernladungszahl: Z = Anzahl der Protonen

Massenzahl: A = Anzahl der Protonen + Anzahl der Neutronen

Bindungsenergie: B = (Z (mp +me) + (A− Z )mn −M(A,Z )) c2

Massendefekt: ∆M(A,Z ) = Z mp + (A− Z )mn −M(A,Z )

Warmetonung: Q = (MA +MB −MC −MD) c2

(Q-Wert) fur Reaktion A + B → C + D

Kernphysik

Bindungsenergie

Kernphysik

TropfchenmodellBeschreibung des Kerns als Tropfen mit konstanter Massendichte:Coulomb-Abstoßung + anziehende Kernkrafte

M(Z ,A) = (A− Z )mn + Z (mp +me)

− a1 A Volumen

+ a2 A2/3 Oberflache

+ a3

(A

2− Z

)2

A−1 Symmetrie

+ a4 Z2 A−1/3 Coulomb

+ a5 δ A−3/4 Paritat

Kernphysik

Stabilitatstal

Z =A

c + d A2/3mit c =

2

1 + qa3

≃ 1.98 und d = c ·a4a3

≃ 0.015

q = (mn −mp −me) c2 = 0.7825MeV

Z = A

c+d A2/3

Z = A− Z

Z2

A= 37

Kernphysik

Magische Zahlen

Kerne mit einer bestimmten Anzahl von Protonen und/oderNeutronen sind besonders stabil.

Magische Zahlen:

2 8 20 28 50 82 126

besonders stabile Kerne:

Kern Z N

4He 2 216O 8 8

40Ca 20 2048Ca 20 28

208Pb 82 126

Kernphysik

Das Schalenmodell

Kernmodell analog zurElektronenhulle

◮ Nukleonen in einemkugelsymmetrischen,mittleren Potential

◮ Spin-Bahn-Kopplungbewirkt Aufspaltungvon entartetenEnergieniveaus

Kernphysik

Wirkungsquerschnitt

Wirkungsquerschnitt σ: (Reaktion: 1 + 2 → 3 + 4)Wahrscheinlichkeit, mit der eine bestimmte Reaktion stattfindetFlache mit derselben Wahrscheinlichkeit, getroffen zu werden

klassisch: σ1,2 = π (r1 + r2)2

= π (1.2 · 10−13(A1/31 + A

1/32 ) cm)2

∼ 10−24 cm2 ≡ 1 barn

semi-klassisch: σ1,2 = (1 + δ12)π λ2 = (1 + δ12)π

(~

mv

)2

∼ (1 + δ12)65.7

A/amu · E/keV barn

Kernphysik

Compoundkerne

Compoundkernreaktion: 1 + 2 → C → 3 + 4 + Q

Compoundkern C : hochangeregter Zwischenkern ohne Gedachtnis(d.h. der Ausgangskanal ist nur von der Energie abhangig, nicht vom Eingangskanal)

Wirkungsquerschnitt: Wahrscheinlichkeit fur Reaktion 1 + 2 → C

mal Wahrscheinlichkeit fur Reaktion C → 3 + 4

σ =σtot ω |〈3, 4|H II|C 〉 〈C |H I|1, 2〉|2

mit ω =(2I 3 + 1)(2I 4 + 1)

(2I 1 + 1)(2I 2 + 1)(statistisches Gewicht)

Teilchen mussen die Coulombbarriere uberwinden!

Kernphysik

Gamov-Faktor

b =Z1Z2e

2

E(klassischer Umkehrpunkt)

B =

√2m πZ1Z2e

2

~

Wahrscheinlichkeit, die Coulombbarrierezu uberwinden: P ∝ e−G

G =2

~

∫ b

a

√

2m (V (x)− E ) dx

=2√2mE

~

∫ b

a

√

b

x− 1 dx

≈ 2π Z1Z2e2

~v

= 2π η (ℓ = 0)

= B E−1/2

S-Faktor:

σ(E ) =1

Eexp (−2π η) · S(E )

E

b ba b

Kernphysik

Statistische MechanikFermi-Dirac-Verteilung: E 2 = m2c4 + p2c2

ni =gi

h34πp2dp

exp(E−µkT

)

+ 1=

4πgi(hc)3

E (E 2 −m2c4)1/2dE

exp(E−µkT

)

+ 1

Gesamtanzahldichte: (nicht-entartetes, nicht-relativistisches Gas)

n =

(mkT

2π~

) 32

u·exp(µ−mc2

kT

)

mit u =∑

i

gi exp

(

− Ei − E1

kT

)

(innere Zustandssumme)

Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung:

n(v) dv

n=( m

2πkT

)3/24πv2 exp

(

−12mv2

kT

)

dv

Saha-Gleichung: chemisches Gleichgewicht AB ⇌ A+ B

nAnB

nAB=

uAuB

uAB

(mAmB

mAB

kT

2π~2

)3/2

· exp((mAB −mA −mB) c

2

kT

)

Kernphysik

Reaktionsraten

Reaktionsrate : Γij = ninj(1 + δij)−1〈σv〉ij

mittlere Lebensdauer : τi =1

∑

j nj〈σv〉ij

Ratenkoeffizient: 〈σv〉 (Mittelung uber die Geschwindigkeit)

〈σv〉 =√

8

πm(kT )−3/2

∫∞

0E σ(E ) exp

(

− E

kT

)

dE

=

√

8

πm(kT )−3/2 〈S(E )〉

∫∞

0exp

(

− E

kT− 2πη

)

︸ ︷︷ ︸

f (E)

dE

Kernphysik

Gamov-Peak

Maximum des Integranden B = 1~

√2m πZ1Z2e

2

f (E ) = exp

(

− E

kT− 2πη

)

= exp

(

−(

E

kT+

B√E

))

bei E0 =(12BkT

)2/3mit:

f (E0) = e−τ

τ = 3

(B

2kT

)2/3

Gamov-Peak

Kernphysik

ResonanzenErhohnung des Wirkungsquerschnitts bei der Energie einesangeregten Zustands des Compoundkerns

Resonanzenergie: ER = EP + Q Schwellenenergie Q

Wahrscheinlichkeitsverteilung (naturliche Linienbreite Γ, Lebensdauer τ):

P(E ) dE =Γ2π

(E − ER)2 +(Γ2

)2dE

Γ =~

τ=

∑

moglicheZerfallskanale i

Γi

Breit-Wigner-Formel (Wirkungsquerschnitt fur eine Resonanz):

σ(E ) = π λ2(EP) (1 + δ12)ωΓaΓb

(E − EP)2 +(Γ2

)2

ω = 2I+1(2I 1+1)(2I 2+1)

Kernphysik

Inverse Reaktionen

Reaktion 1 + 2 ⇌ 3 + 4

Zeitinvarianz → Matrixelemente sind fur beide Richtungen gleich

σ12σ34

=m3m4

m1m2

E34

E12

(2I 3 + 1)(2I 4 + 1)(1 + δ12)

(2I 1 + 1)(2I 2 + 1)(1 + δ34)

Mittelung uber Maxwell-Verteilung:

〈σv〉34〈σv〉12

=(2I 1 + 1)(2I 2 + 1)(1 + δ34)

(2I 3 + 1)(2I 4 + 1)(1 + δ12)

(m12

m34

)3/2

exp

(

− Q

kT

)

Kernphysik

Kernspaltungeinfachster Zerfallsmodus:α-Zerfall

Bindungsenergie:B ≈ a1A− a2A

2/3 − a4Z2A−1/3

(Symmetrie und Paritat vernachlassigt)

Aufspaltung in zwei gleiche Kerne:

∆Q ≃ a4Z2A−1/3 (1− 2−2/3)

︸ ︷︷ ︸

verringerte Coulombabstoßung

− a2A2/3 (21/3 − 1)

︸ ︷︷ ︸

vergroßerte Oberflache

Coulombbarriere:

Ecoul ≃(Z2 e)2

2r0(A2

)1/3≃ 0.28 a4Z

2A−1/3

Bedingung fur spontanen Zerfall: ∆Q & Ecoul

⇒ Z 2

A& 3

a2

a4∼ 67 (Spaltungsparameter)

Kernphysik

Schwache Wechselwirkungenisobarer (A = const) Zerfall in das β-Stabilitatstal durch

β−-Emission : n → p + e− + νe

β+-Emission : p → n + e+ + νe

Elektroneneinfang : p + e− → n + νe

Goldene Regel:λ(Ef )︸ ︷︷ ︸

Zerfallskonstante=1/τ

=2π

~| Vfi︸︷︷︸

Matrixelement

|2 ρ(Ef )︸ ︷︷ ︸

Phasenraumfaktor

Energiespektrum des Elektrons:

N(Te) dTe = N(p) dp ∝ p2dp (Q−Te)2

Inverser β-Zerfall:

p + e− → n + νe

νe + p → n + e+

νe +37Cl → 37Ar + e−