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2 Vektoren in der Mechanik

Viele Größen der Mechanik, in der Statik insbesondere Kraft und Moment, haben die Eigen-schaft von Vektoren im dreidimensionalen Raum. Die Mechanik nutzt daher die Methodenund Rechenregeln der Vektoralgebra und Vektoranalysis.

Im Unterschied zur Mathematik sind hinsichtlich ihrer Wirkung jedoch drei verschiedeneKlassen von Vektoren zu unterscheiden:

� freier Vektor: gegeben durch Betrag und Richtung (Orientierung undRichtungssinn)� beliebige Parallelverschiebung möglich

� linienflüchtiger Vektor: gegeben durch Betrag, Richtung und Wirkungslinie� Verschiebung nur entlang Wirkungslinie möglich

� gebundener Vektor: gegeben durch Betrag, Richtung und Angriffspunkt� keine Verschiebung möglich

2 Vektoren in der Mechanik12

2.1 Notation

Geometrische Darstellung von Vektoren

1) als Pfeil mit Vektorsymbol

2) als Pfeil mit vorzeichenbehaftetem Betrag

Koordinatendarstellung eines Vektors

Zerlegung von a�

in Komponenten

a� � a

�x � a

�y � a

�z

� ax�e�

x � ay�e�

y � az�e�

z

a ����

��

a x

a y

a z

����

, |a

�| � a

Ta

� a2x � a2

y � a2z

Bemerkungen: − Vektoren sind unabhängig vom Koordinatensystem

− Koordinaten eines Vektors setzen eine eindeutige Festlegung desKoordinatensystems voraus und hängen von dieser ab

a�

a

a�

yx

z

2 Vektoren in der Mechanik 13

2.2 Elementaroperationen der Vektoralgebra

Operation Geometrische Darstellung Koordinatendarstellung

Gleichheit

a�� b

�

b�

a� a � b

ax � bx�,�� ay � by�,�� az � bz

Additionc�� a

�� b�

a�

b�

a�� b

�� b

�� a

�

a�� b

�� c

�� (a�� b�)� c

�

� a�� (b

�� c

�)

c2 � a2 � b2 � 2ab� cos �

�

c � a� b

cx � ax � bx�,

cz � az � bz

cy � ay � by�,

Skalarprodukt a�

b�

s � a�·b

�� ab� cos�

�

a�·b

�� b

�·a�

a�·b

�� 0� �� a

� b�

(a�� b�)·c�� a

�·c�� b

�·c�

s � aTb

� ax�bx � ay�by � az�bz

aTa � a2 � a2

x � a2y � a2

z

cos� � aTb

a�b

Vektorprodukt(Kreuzprodukt)

a�

b�

c�� a

�� b�

�

a�� b

�� � b

�� a

�

a�� b

�� 0

�� �� a

� � b�

(a�� b�)� c

�� a�� c

�� b�� c

�

�c � ab� sin�

(a�� b�)� c

�� b��(a�·c

�)� a

��(b�·c�)

c ����

��

a x

�a y

�a z

����

����

��

b x

�b y

�b z

����

� det���

�

��

e�

x

a x

b x

e�

y

ay

by

e�

z

az

bz

����

�

����

�

a y�bz � az�by

� a x�bz � az�bx

a x�by � ay�bx

���

2 Vektoren in der Mechanik14

2.3 Kraft und Moment

Kraft

� Kraftbegriff entstammt der täglichen Erfahrung der Mus-kelanspannung beim Verschieben oder Verformen einesKörpers. Die Kraft ist gekennzeichnet durch Betrag undRichtung, und damit eine Vektorgröße.

� Kraft ist definiert als Wirkung eines Körpers auf einen an-deren in direktem Kontakt oder über eine gewisse Entfer-nung hinweg (z.B. Gravitation)

���Kraft tritt jeweils als Paar kollinearer, entgegengesetztgleichgroßer Vektoren auf (actio = reactio)

� Kräfte bewirken Beschleunigung oder Verformung vonKörpern

� Im SI−Einheitensystem hat die Kraft die Einheit

1�[N] � 1��kg� � 1��ms2� � 1��kg�m

s2�

� Eigenschaften der Kraft:

� Der Kraftvektor hat i. Allg. einen Angriffspunkt (gebundener Vektor)

� In der Starrkörpermechanik darf die Kraft entlang ih-rer Wirkungslinie verschoben werden (linienflüchtiger Vektor)

� Für die Untersuchung globaler Effekte können auchverformbare Körper im verformten Zustand eingefro-ren und als Starrkörper betrachtet werden (Erstarrungsprinzip)

2 Vektoren in der Mechanik 15

Moment

� Momente haben die Tendenz, Körper zu ver-drehen. Sie sind gekennzeichnet durch Betragund Richtung und damit Vektorgrößen.

� Momente können durch Kräftepaare darge-stellt werden, d.h. Paare entgegengesetztgleich großer, nicht kollinearer, parallelerKräfte.

� Das Moment ist ein freier Vektor senkrecht zuF�

und r�

AB

M�� r

�AB � F

� ,

M � F�d � |F�|�|r

�AB|� sin�

� Im SI−Einheitensystem leitet sich die Einheit

des Moments aus M � F�d ab:

1�[Nm] � 1�[N]� 1�[m]

� Die Richtung des Momentenvektors ergibt sichaus der Rechte−Hand−Regel

� Darstellung in ebenen Problemen:

M�

F�

yx

z

� F�

B

A

r�

AB

d

M�

�

Verdreh-wirkung

F

F

dM � F�d

2 Vektoren in der Mechanik16

Invarianzoperationen in der Starrkörpermechanik

(1) beliebige Verschiebung von Momentenvektoren

(2) vektorielle Addition und Zerlegung von Momentenvektoren

(3) Verschiebung von Kraftvektoren entlang ihrer Wirkungslinie

(4) vektorielle Addition von Kraftvektoren mit gemeinsamem Angriffspunkt

(5) Zerlegung von Kraftvektoren in Komponenten mit gemeinsamem Angriffspunkt

(6) Einführung von Nullvektoren

Beispiele: � Addition zweier Momente

M�

1

M�

2

� Addition zweier Kräfte mit sich schneidenden Wirkungslinien

F�

1F�

2

� Addition zweier paralleler Kräfte

F�

2

F�

1