2. Wohlfahrtstheorie

Prof. Dr. Christian Holzner

LMU München

WS 2011/2012

2. Wohlfahrtstheorie

2.1 Grundlagen

2.2 Die optimale Güterverteilung

2.3 Der optimale Faktoreinsatz

2.4 Die optimale Produktionsstruktur

2.5 Die kritischen Annahmen

Literatur

Jean Hindricks und Gareth D. Myles. Intermediate PublicEconomics, MIT Press, Cambridge, MA, 2006, Kapitel 2.

Wellisch, Finanzwissenschaft I - Rechtfertigung derStaatstätigkeit, Vahlen, München, 1999, Kapitel 2. [*]

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Optimale Allokation

In diesem Kapitel sollen einige der wesentlichen Bedingungenfür eine effiziente Allokation hergeleitet werden.Die Fragestellung:

Wie sollten Güter auf Haushalte verteilt werden? (Kapitel 2.2)Wie sollten die Produktionsfaktoren in der Produktion verteiltwerden? (Kapitel 2.3)Welche Güter sollten produziert werden? (Kapitel 2.4)

Die VorgehensweiseZunächst Herleitung der optimalen Allokation (benevolenterPlaner)...... dann Nachweis, dass ein perfekter Markt dezentral genaudiese optimale Lösung realisiert.

Einige weitere Aspekte der optimalen Allokation(intertemporale Allokation, Allokation von Risiken etc.) werdenhier nicht behandelt.

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2.1. Grundlagen

Es gebe N Individuen mit Nutzenfunktionen ui(xi) definiertüber den Konsum von M Gütern: xi = (xi

1, xi

2, ..., xi

M ).

Definition: Eine Allokation x = (x1, x2, ...xN ) istparetoeffizient, wenn es keine andere Allokation gibt, bei deralle Individuen mindestens gleich gut und mindestens einIndividuum strikt besser gestellt wird, d.h. wenn es keineAllokation x′ gibt mit

ui(x′i) ≥ ui(xi) für alle i und

ui(x′i) > ui(xi) für mindestens ein i.

Pareto-Effizienz: Minimalkriterium für wohlfahrtsoptimaleAllokationen, in der die Nutzen verschiedener Individuen nichtgewichtet werden.

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Wohlfahrtsfunktion: Individuelle Nutzen werden gewichtet:

W = W (u1(x1), u2(x2), ...uN (xN )) (1)

mit∂W

∂ui> 0 für alle i (2)

z.B. Summe der Nutzen (utilitaristische Wohlfahrtsfunktion):

W =N∑

i=1

ui(xi) (3)

Wohlfahrtsfunktion setzt interpersonellen Nutzenvergleichvoraus.

Aber: Jede Allokation, die eine Wohlfahrtsfunktion maximiert,ist paretoeffizient.

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2.2. Die optimale Güterverteilung

Effiziente Allokation: Verteile die exogen gegebenen Gütermengenx1 und x2 so auf die beiden Haushalte A und B, dass es nichtmöglich ist, durch Umverteilung der Güter entweder A oder Bbesser zu stellen, ohne den jeweils anderen schlechter zu stellen.

Individuen haben quasikonkave Nutzenfunktionen

ui = u(xi1, xi

2), i = A, B

und Anfangsausstattungen ωi1, ωi

2.

Seien xA = (xA1, xA

2) und xB = (xB

1, xB

2) die

Konsumgüterbündel von A und B und x = (xA, xB).

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Paretoeffiziente Allokationen (benevolenter Planer)

Allokation ist möglich innerhalb der Edgeworth Box.

Tausch erfolgt ausgehend vom Ausstattungspunkt Ω.

Paretoeffizienz ist erreicht, wenn es nicht möglich ist, A besserzu stellen ohne B schlechter zu stellen und umgekehrt.→ Tauschlinse: geometrischer Ort aller Güterkombinationen,für die sich verglichen mit Ω alle mindestens gleich gut stellen(Pareto-Verbesserung).→ Kontraktkurve: geometrischer Ort aller paretoeffizientenGüterkombinationen

Zeichnen Sie die Indifferenzkurven für A und B ausgehend von Ω inAbbildung 1 ein und markieren Sie die Tauschlinse und dieKontraktkurve.

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AGut 1

Gu

t2

B

w1

A

w1

B

w2

Bw

2

A

Abbildung 1: Edgeworth Box

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Maximiere den Nutzen des Individuums A bei gegebenemNutzen des Individuums B [u(xB

1, xB

2) ≥ u]

und halte die Ressourcenbeschränkung [xA1

+ xB1

= ωA1

+ ωB1

und xA2

+ xB2

= ωA2

+ ωB2

] ein.

Formal:

maxxA1

,xA2

,xB1

,xB2

u(xA1, xA

2) u.d.B. u(xB

1, xB

2) ≥ u (4)

xA1

+ xB1

= ωA1

+ ωB1

(5)

xA2

+ xB2

= ωA2

+ ωB2

(6)

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Lagrange Funktion:

L = u(xA1, xA

2) + λ(u(xB

1, xB

2) − u) + µ1(x

A1

+ xB1− ωA

1− ωB

1)

+ µ2(xA2

+ xB2− ωA

2− ωB

2)

Bedingungen 1. Ordnung (FOCs) - auch für λ, µ1, µ2:

xA1

:∂uA

∂xA1

+ µ1 = 0 (7)

xA2

:∂uA

∂xA2

+ µ2 = 0 (8)

xB1

: λ∂uB

∂xB1

+ µ1 = 0 (9)

xB2

: λ∂uB

∂xB2

+ µ2 = 0 (10)

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(7)-(10) folgtµ1

µ2

=∂uA/∂xA

1

∂uA/∂xA2

︸ ︷︷ ︸

UA1

UA2

=∂uB/∂xB

1

∂uB/∂xB2

︸ ︷︷ ︸

UB1

UB2

(11)

oder

GRSA = GRSB (12)

Interpretation: Tauscheffizienz ist erreicht, wenn die Grenzraten derSubstitution im Konsum für alle Individuen übereinstimmen→ Kontraktkurve.

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A

B

Gut 1

Gut

2

Kontraktkurve

Abbildung 2: Paretoeffizienter Tausch

Welche Allokation folgt aus dem Maximierungsproblem oben für Ω?

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Dezentrale Lösung des Marktes

Sichert der Markt eine effiziente Güterallokation, wenn dieIndividuen dezentral entscheiden?Ja, falls die Individuen Preisnehmer sind und für alle diegleichen Güterpreise gelten.

Markt als Institution: Aus Sicht der Individuen sind Preisegegeben (Auktionator wählt Preise p1, p2).

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Individuen bestimmen, wieviel sie (ver-)kaufen wollen, um ihrenNutzen unter Berücksichtigung der Budgetbeschr. zu maximieren,z.B. für A:

maxxA1

,xA2

u(xA1, xA

2) (13)

u.d.B. p1xA1

+ p2xA2

= p1ωA1

+ p2ωA2

︸ ︷︷ ︸

exog. Einkommen / Anfangsausst.

(14)

oder maxxA1

u(xA1,p1

p2

ωA1

+ ωA2−

p1

p2

xA1) (15)

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Bedingung 1. Ordnung:

∂uA

∂xA1

−p1

p2

∂uA

∂xA2

= 0 (16)

∂uA/∂xA1

∂uA/∂xA2

︸ ︷︷ ︸

UA1

UA2

=p1

p2

(17)

Aus dem Maximierungsproblem ergeben sich dieNachfragemengen xA

1(p1, p2) und xA

2(p1, p2) und analog für B.

Wenn die Nachfragen nicht dem Angebot entsprechen, ändertder Auktionator die Preise solange bis dies der Fall ist.

Im Konkurrenz-Gleichgewicht mit Preisen p∗1, p∗

2muss gelten

xAj (p∗

1, p∗

2) + xB

j (p∗1, p∗

2) = ωA

j + ωBj , j = 1, 2 (18)

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In (17) sieht man, dass die Grenzrate der Substitution demPreisverhältnis entspricht.

Da sich alle Individuen an dasselbe Preisverhältnis anpassen,gleichen sich auch die Grenzraten der Substitution an.

Da der Markt dieselbe Allokation wie der Zentrale Planerumsetzt folgt, dass das Gleichgewicht paretoeffizient ist:

GRSA =p∗1

p∗2

= GRSB (19)

Durch den marktlichen Tausch wird ein Punkt auf derKontraktkurve realisiert (vergleiche (11) und (17)).

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Theorem (Erster Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie)

Jedes Wettbewerbsgleichgewicht ist paretoeffizient.

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A

B

Gut 1

Gut

2

Steigung -p 1/p2

Abbildung 3: Preise: Kein Gleichgewicht

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A

B

Gut 1

Gut

2

M

Steigung -p*1/p*2

Abbildung 4: Paretoeffizienz und Konkurrenz

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Beachte: Punkt M ist nur ein mögliches paretoeffizientesGleichgewicht (das Wettbewerbsgleichgewicht, das ausgehendvon Ω erreicht wird).

Lassen sich auch andere paretoeffiziente Allokationen alsWettbewerbsgleichgewicht implementieren?

Theorem (Zweiter Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie)

Wenn alle Konsumenten konvexe Präferenzen haben, kann jede

paretoeffiziente Allokation durch Wahl der Anfangsausstattungen

als Wettbewerbsgleichgewicht implementiert werden.

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A

B

Gut 1

Gut

2

E

Abbildung 5: 2. Hauptsatz

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Bedeutung der Hauptsätze

Unter vollständigem Wettbewerb wird ein effizientes Ergebniserreicht.

Staat muss nur eingreifen, wenn Annahmen nicht zutreffenund Marktversagen vorliegt.

Verteilung der Markteinkommen kann extrem ungleich sein.

Jede beliebige pareto-effiziente Allokation lässt sich durchPauschalsteuern und Transfers erreichen (2. Hauptsatz):Trennung von Allokation und Verteilung.

Problem: Information über Fähigkeiten der Individuen→ optimale Besteuerung.

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2.3. Der optimale Faktoreinsatz

Effiziente Allokation: Verteile den exogen gegebenenFaktorbestand an Arbeit N und Kapital K so auf die Produktionder beiden Güter x1 und x2, dass es nicht möglich ist, durchUmverteilung der Faktoren von einem Gut mehr zu produzieren,ohne gleichzeitig von dem anderen Gut weniger zu produzieren.

Paretoeffiziente Allokationen (benevolenter Planer)

Maximiere den Output eines Gutes F 1 bei gegebener Produktiondes anderen Gutes [F 2(N2; K2) ≥ x2]und halte die Ressourcenbeschränkung [N ≥ N1 + N2

und K ≥ K1 + K2] ein.

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Lagrange Funktion:

L = F 1(N1; K1) + λ(F 2(N2; K2) − x2) + µ1(N − N1− N2)

+ µ2(K − K1− K2)

Bedingungen 1. Ordnung (FOCs):

N1 :∂F 1

∂N1− µ1 = 0 (20)

K1 :∂F 1

∂K1− µ2 = 0 (21)

N2 : λ∂F 2

∂N2− µ1 = 0 (22)

K2 : λ∂F 2

∂K2− µ2 = 0 (23)

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Aus (20) - (23) folgt:

F 1

N

F 1

K

=F 2

N

F 2

K

(24)

mit F ij = ∂F i

∂ji , wo i = 1, 2 (Gut 1, Gut 2) und j = N, K.

Aus (24) folgt: Eine effiziente Produktion ist erreicht, wenndas Verhältnis der Grenzprodukte von Arbeit und Kapital inder Produktion beider Güter gleich ist.

Anders gesagt: Die Grenzraten der technischen Substitutionmüssen in beiden Produktionen gleich sein:

GRtS1 = GRtS2 (25)

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01

Arbeit N

Kap

ital

K

02

x2

x1

P

Q

R

S

Abbildung 6: Paretoeffiziente Allokation

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Die effizienten Outputkombinationen kann man auch durch dieProduktionsmöglichkeitenkurve (oder Transformationskurve)darstellen

T (x1, x2) = 0 (26)

Die Steigung ist die Grenzrate der Transformation (GRT):Wieviel x2 kann mehr produziert werden, wenn eine Einheit x1

weniger produziert wird (Grenzkosten)

−dx2

dx1

=F 2

N

F 1

N

Transformationskurve ist konkav; Firmen sind Preisnehmer.

Überlegen Sie, was Grenzrate der technischen Substitution undGrenzrate der Transformation inhaltlich bedeuten.

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01

Arbeit N

Kap

ital

K

02

x2

x1

P

Q

R

S

x2

x1

Steigung = GRT

Abbildung 7: Transformationskurve

Zeichnen Sie die Punkte P , Q, R, S in die rechte Graphik.

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Dezentrale Lösung des Marktes

Sichert der Markt eine effiziente Faktorallokation, wenn dieProduzenten dezentral entscheiden?

Die Unternehmen sind Preisnehmer auf den Güter- undFaktormärkten, d.h. sie nehmen den Lohn w, den Zins r unddie Güterpreise p1, p2 als gegeben.

Ein Unternehmen maximiert seinen Gewinn

max piF i(N i; Ki) − wN i− rKi (27)

durch Wahl der geeigneten Faktoreinsatzmengen.

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Die Bedingungen 1. Ordnung lauten

piF iN = w (28)

piF iK = r (29)

Da sich alle Unternehmen an dieselben Faktorpreise anpassen,gilt auch:

F 1

N

F 1

K

=w

r=

F 2

N

F 2

K

(30)

Ergebnis: Die dezentrale Marktlösung sorgt für eine effizienteGüterallokation (vergleiche (24) und (30)), d.h.

GRtS1 = wr = GRtS2 (31)

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2.4. Die optimale Produktionsstruktur

Effiziente Allokation: Suche unter den Allokationen, die dieBedingungen für Tausch- und Produktionseffizienz erfüllen,diejenige Allokation, bei der kein Individuum mehr besser gestelltwerden kann, ohne ein anderes schlechter zu stellen.

Paretoeffiziente Allokationen (benevolenter Planer)

Beginnen wir mit einer beliebigen Allokation, bei der sowohlTausch- als auch Produktionseffizienz erfüllt sind:

Punkt F liegt auf der Transformationskurve(Produktionseffizienz).Die dort produzierten Güter sind effizient auf die Individuenverteilt, da die Grenzraten der Substitution im Punkt G gleichsind (Punkt auf der Kontraktkurve).

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A

x2

x1

G

H

F

UA

UB

Abbildung 8: Scitovsky-Indifferenzkurve

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Um zu sehen, dass diese Allokation nicht pareto-optimal ist,überlegen wir nun, welche anderen Güterkombinationen denbeiden Individuen denselben Nutzen wie in G liefern würden.

Dazu verschieben wir die Indifferenzkurve UB entlang derKurve UA.

Die dafür benötigten gesamten Gütermengen beschreibt derEckpunkt der Edgeworth-Box.

Dies ist die sogenannte Scitovsky-Indifferenzkurve:Sie beschreibt alle Gütermengen, mit denen man (beigeeigneter Aufteilung) die Individuen auf einem gegebenen(tauscheffizienten) Nutzenniveau halten kann.

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Warum war die ursprüngliche Allokation nicht optimal?Indem wir die Produktion hin zu mehr von Gut x1 verschieben- auf der Transformationskurve zwischen F und H - könnenwir mindestens einen Haushalt besser stellen.

Das Optimum ist offensichtlich erreicht, wenn dieScitovsky-Indifferenzkurve die Transformationskurve tangiert.

Da die Steigung der Scitovsky-Indifferenzkurve der Steigungder individuellen Indifferenzkurven entspricht, muss gelten

F 2

N

F 1

N

=UA

1

UA2

=UB

1

FB2

(32)

d.h. die Grenzrate der Transformation muss gleich derGrenzrate der Substitution sein:

GRT = GRSA = GRSB (33)

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A

x2

x1

G

H

F

UA

UB

U’B

F’

U

U’I

U’A

Abbildung 9: Optimale Produktionsstruktur

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Kritik an den Scitovsky-Indifferenzkurven:

Optimum hängt von Verteilung ab.

Möglicherweise kann auch Punkt F ein Optimum darstellen,wenn eine andere Anfangsausstattung Ω betrachtet wird.

Die gesamtgesellschaftlichen Indifferenzkurven können sichdann schneiden.

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Dezentrale Lösung des Marktes

Sichert der Markt eine effiziente Produktionsstruktur, wenn dieKonsumenten und Produzenten dezentral entscheiden?

Da für die Unternehmen in beiden Sektoren dieselbenFaktorpreise gelten, folgt aus der Gewinnmaximierung dieAngleichung der Wertgrenzprodukte:

p1F 1

N = w = p2F 2

N (34)

undp1F 1

K = r = p2F 2

K (35)

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Durch Umstellen erhalten wir

F 2

N

F 1

N

=p1

p2und

F 2

K

F 1

K

=p1

p2(36)

d.h. die Grenzrate der Transformation entspricht demPreisverhältnis der beiden Güter.

Für das Haushaltsoptimum, wissen wir bereits (vgl. (17) und(19)), dass

UA1

UA2

=p1

p2

=UB

1

UB2

(37)

d.h. dass die Grenzrate der Substitution dem Preisverhältnisentspricht.

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Fügen wir die letzten beiden Bedingungen zusammen, folgt

F 2

N

F 1

N

=F 2

K

F 1

K

=p1

p2

=UA

1

UA2

=UB

1

UB2

(38)

Da sich sowohl die Produzenten als auch die Konsumenten amselben Preisverhältnis orientieren, gleichen sich auch Grenzrateder Transformation und Grenzrate der Substitution an.

Ergebnis: Die dezentrale Marktlösung sorgt für einepareto-effiziente Produktionsstruktur (vergleich (32) und (38)):

GRT = GRSA = GRSB (39)

⇒ Die beiden Hauptsätze gelten auch mit der Produktion.

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A

x2

x1

U’A

U’B

F’

U’I

Steigung = -p / p1 2

Abbildung 10: Dezentrale Marktlösung

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2.5. Diskussion der Annahmen

Wir haben nun gezeigt, dass die dezentrale Marktlösung, beider jeder einzelne nur die Informationen über die für ihnwichtigen Preise braucht, eine Pareto-optimale Allokationerreicht, die auch ein allwissender, benevolenter Sozialplanernicht besser machen könnte.

Würde dieses Ergebnis stets gelten, bräuchte man keinenStaat.

Was sind also die wichtigen Annahmen, bei deren Abwesenheitder Markt vielleicht nicht mehr so perfekt funktioniert undmöglicherweise korrigierende Staatseingriffe benötigt?

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1 Vollkommener Wettbewerb:Sind die Akteure nicht Preisnehmer, sondern verfügen überMarktmacht, kann es zu Verzerrungen kommen.→ siehe Kapitel 3 (Marktmacht)

2 Keine steigenden Skalenerträge:Bei steigenden Skalenerträgen kann ein Wettbewerbsmarktnicht Bestand haben.→ siehe Kapitel 3 (natürliches Monopol)

3 Keine externen Effekte:Bei den bisher betrachteten perfekten Märkten sind alle Vor-und Nachteile, die Produktion oder Konsum verursachen,vollständig in den Preisen reflektiert. In vielen Fällenverursacht aber das Handeln eines einzelnen auchunberücksichtigte Schäden oder Vorteile bei anderen.→ siehe Kapitel 5 (externe Effekte)

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4 Keine öffentlichen Güter:Alle bisher betrachteten Güter sind private Güter, d.h. derKonsum durch eine Person schließt den Konsum desselbenGutes durch eine andere Person aus. Bei öffentlichen Gütern,die in gegebener Qualität von vielen genutzt werden können,versagt aber der Bereitstellungsmechanismus.→ siehe Kapitel 4, 6, 7 (öffentliche Güter, Allmendegüter,Mautgüter)

5 Vollkommene Informationen:Bei den bisher betrachteten marktlichen Transaktionen sindInformationen perfekt und vollständig. AsymmetrischeInformation kann dazu führen, dass ein Markt verschwindet,obwohl alle Teilnehmer davon profitieren würden.→ siehe Kapitel 8

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