2.1 Definitionen 2.2 Zusammengesetzte Querschnitte 2.3 ...wandinger.userweb.mwn.de/TM2/v3_2.pdf · Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-4 18.09.18 2.1 Definitionen Trägheitsradien:

Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-1

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2. Flächenträgheitsmomente

2.1 Definitionen

2.2 Zusammengesetzte Querschnitte

2.3 Hauptachsen


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2.1 Definitionen

● Flächenträgheitsmomente:

– Die zur Berechnung der Spannungen eingeführten Integrale

heißen Flächenträgheitsmomente oder Flächenmomente zweiter Ordnung.

– Flächenträgheitsmomente sind geometrische Kennwerte des Querschnitts.

– Die Flächenträgheitsmomente Iy und Iz werden als axiale Flächenträgheitsmomente bezeichnet.

I y=∫A

z2 dA , I z=∫A

y2 dA , I yz=−∫A

y z dA


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2.1 Definitionen

– Das Flächenträgheitsmoment Iyz wird als Deviationsmoment be-zeichnet.

– Die axialen Flächenträgheits-momente sind immer positiv.

– Das Deviationsmoment kann positiv, negativ oder null sein.

– Das Deviationsmoment ist null, wenn eine der Achsen eine Symmetrieachse ist.

y -y

zy

z

dA dA z

S

y z dA+(−y) z dA=0


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2.1 Definitionen

● Trägheitsradien:

– Die Größen

haben die Einheit einer Länge.

– Sie werden als Trägheitsradien bezeichnet.

– Mit den Trägheitsradien gilt:

i y=√I y

A , i z=√I z

A

I y=i y2 A , I z=i z

2 A


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2.1 Definitionen

● Beispiel: Rechteckquerschnitt

– Mit dA = b dz folgt:

– Vertauschen von b und h ergibt:

– Aus der Symmetrie folgt:

y

z

b

h

dz

dA

I y=∫A

z2 dA= ∫−h /2

h /2

z2 b dz

=b [ z3

3 ]−h/2

h /2

=b( h3

24+

h3

24 )= 112

b h3

I z=1

12b3 h

I yz=0


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2.1 Definitionen

– Mit A = b h gilt für die Trägheitsradien:

● Beispiel: Kreisquerschnitt

– Wegen der Rotationssymmetrie sind die Flächenträgheitsmomente für alle Achsen gleich:

i y=√ b h3

12 b h =h

2 √3, iz=√ b3 h

12 b h =b

2 √3

I y=I z=12 ( I y+ I z )=

12∫A

( z2+y2 ) dA

R

r

dr

dAz

y


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2.1 Definitionen

– Mit und folgt:

– Damit gilt:

– Mit folgt für die Trägheitsradien:

z2+y2

=r2 dA=2 π r dr

∫A

(z2+y2 ) dA=∫

0

R

r2(2 π r )dr=2 π∫

0

R

r3 dr=12

π R4

I y=I z=14

π R4

A=π R2

i y=i z=√ π R4

4 π R2 =R2

→ I y=I z=14

R2 A


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2.1 Definitionen

● Beispiel: Kreisring

– Die Beziehungen für den Kreisring lassen sich durch Bilden der Differenzen aus den Beziehungen für den Kreis herlei-ten:

– Mit dem mittleren Radius

und der Wandstärke folgt:

Ra

Ri

z

y

Rm

t

I y=I z=14

π ( Ra4−R i

4)

Rm=12 ( Ra+Ri )

t=Ra−R i

Ra4−R i

4=( Ra

2+R i

2 ) ( Ra2−R i

2 )

=(Ra2+R i

2) ( Ra+R i ) ( Ra−R i )=( Ra

2+R i

2)⋅2 Rm t


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2.1 Definitionen

– Mit und folgt:

– Damit ist gezeigt:

– Für dünnwandige Kreisringe ( ) gilt die Näherung:

Ra=Rm+ t /2 R i=Rm−t /2

Ra2+Ri

2=Rm

2 (1+t

2 Rm )2

+Rm2 (1−

t2 Rm )

2

=2 Rm2 (1+

t 2

4 Rm2 )

Ra4−R i

4=4 Rm

3 t (1+t 2

4 Rm2 ) → I y=I z=π Rm

3 t (1+t 2

4 Rm2 )

t≪Rm

I y=I z≈π Rm3 t


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● Aufgabenstellung:

– Für einfache Flächen sind die Flächenträgheitsmomente ta-belliert.

– Gesucht sind die Flächenträgheitsmomente für einen Quer-schnitt, der aus Teilflächen zusammengesetzt ist, deren Flächenträgheitsmomente bekannt sind.

● Lösungsweg:

– Es gilt: I y=∫A

z2 dA=∑∫Ai

z2 dA=∑ I yi

I z=∫A

y2 dA=∑∫Ai

y2 dA=∑ I zi


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– Die Flächenträgheitsmomente des zusammengesetzten Querschnitts sind die Summen der Flächenträg-heitsmomente der Teilflächen.

– Dazu werden die Flächenträgheits-momente der Teilflächen bezüglich dem gemeinsamen Flächenschwer-punkt benötigt.

– Die tabellierten Werte beziehen sich auf die Schwerpunkte der Teilflä-chen.

A1

A2

A3

z

y S

S3

S2

S1


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● Parallelverschiebung des Koordinaten-systems:

– Gegeben:● Flächenträgheitsmomente IY , IZ und IYZ

bezüglich dem Koordinatensystem SYZ● Koordinaten yS und zS des Schwerpunkts

S im Koordinatensystem Byz

– Gesucht:● Flächenträgheitsmomente Iy , Iz und Iyz

bezüglich dem in den Punkt B parallel verschobenen Koordinatensystem Byz

S

B

y

Y

zZ

zS

yS


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– Mit gilt:y=Y +y S , z=Z +z s

I y=∫A

z2 dA=∫A

( Z +z S )2 dA=∫

A( Z 2

+2 Z zS+zS2)dA

=∫A

Z 2 dA+2 z S∫A

Z dA+ zS2∫

A

dA=I Y+z S2 A

I z=∫A

y2 dA=∫A

(Y +y S )2 dA=I Z+yS

2 A

I yz=−∫A

y z dA=−∫A

(Y +yS ) ( Z +zS ) dA=I YZ−yS zS A


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– Ergebnis (Satz von Steiner):

– Dabei sind yS und zS die Koordinaten des Flächenschwer-punkts der Teilfläche im gemeinsamen Koordinatensystem.

I y = I Y + zS2 A

I z = I Z + yS2 A

I yz = I YZ − yS zS A


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● Beispiel: I-Träger

– Der gemeinsame Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt der Symme-trieachsen.

– Oberer Gurt:

b

t

h

t

d

S = S2

z

y

S1

S3

A1=b t

I Y 1=1

12b t 3 , I Z 1=

112

b3 t

yS 1=0 , zS 1=−( h2+

t2 )

yS 12 A1=0 , zS 1

2 A1=(h2+

t2 )

2

b t


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– Steg:

– Unterer Gurt:

I y 1=b t 3

12+

14

(h2+2 h t + t 2 ) bt= h2 b t

12 (3+6th +4

t 2

h2 ) , I z 1=b3 t12

A2=h d , yS 2=z S 2=0

I Y 2=d h3

12=I y 2 , I Z 2=

d 3 h12

=I z 2

A3=A1=b t , yS 3=0 , zS 3=h2+

t2

I Y 3=I Y 1 , I Z 3=I Z 1

I y 3=I y 1=h2 b t12 (3+6

th +4

t 2

h2 ) , I z 3=I z 1=b3 t12


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– Gesamt:

– Vereinfachung für dünnwandige Querschnitte:

I y=I y 1+ I y 2+ I y 3=h2 b t

6 (3+6th +4

t 2

h2 )+ d h3

12

I z=I z 1+ I z 2+ I z 3=b3 t6

+d 3 h12

=b3 t12 (2+

d 3

b3ht )

t≪h , d≪b → I y=h2 b t

2+

d h3

12, I z=

b3 t6


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2.3 Hauptachsen

● Drehung des Koordinatensystems:

– Gegeben: ● Flächenträgheitsmomente Iy , Iz und

Iyz bezüglich dem Koordinatensys-tem Syz.

– Gesucht:● Flächenträgheitsmomente Iη , Iζ und

Iηζ im Koordinatensystem Sηζ, das gegenüber dem Koordinatensystem Syz um den Winkel ϕ gedreht ist.

y

z

η

ζ

S

ϕ


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2.3 Hauptachsen

– Koordinaten von Punkt P:

– Mit β = α – ϕ folgt:

α

β

ϕ

r

y

z

ηζ

P

y=r cos(α) , z=r sin (α)

η=r cos(β) , ζ=r sin (β)

η=r cos(α−ϕ)=r (cos(α)cos(ϕ)+sin (α)sin (ϕ))

=y cos(ϕ)+z sin (ϕ)

ζ=r sin(α−ϕ)=r (sin (α)cos(ϕ)−cos(α)sin (ϕ))

=z cos(ϕ)−y sin (ϕ)


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2.3 Hauptachsen

– Damit berechnen sich die Integranden zu

– Trigonometrische Beziehungen:

η2=(y cos(ϕ)+z sin(ϕ))

2

=y2 cos2(ϕ)+2 y z sin (ϕ)cos(ϕ)+z2 sin2

(ϕ)

ζ2=( z cos(ϕ)−y sin (ϕ))

2

=z2 cos2(ϕ)−2 y z sin (ϕ)cos(ϕ)+y2 sin2

(ϕ)

ηζ= (y cos(ϕ)+z sin (ϕ)) (z cos(ϕ)−y sin (ϕ))

=( z2−y2 ) sin (ϕ)cos(ϕ)+y z (cos2

(ϕ)−sin2(ϕ))

2 sin (ϕ)cos(ϕ)=sin (2ϕ) , cos2(ϕ)−sin2

(ϕ)=cos(2 ϕ)

sin2(ϕ)=

12

(1−cos(2 ϕ)) , cos2(ϕ)=

12

(1+cos(2 ϕ))


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2.3 Hauptachsen

– Mit den angegebenen trigonometrischen Beziehungen folgt nach Integration über die Fläche:

I η =12

( I y+ I z ) +12

( I y−I z ) cos(2 ϕ) + I yz sin (2ϕ)

I ζ =12

( I y+ I z ) −12

( I y−I z ) cos(2 ϕ) − I yz sin (2ϕ)

I ηζ = −12

( I y−I z ) sin (2 ϕ) + I yz cos(2 ϕ)


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2.3 Hauptachsen

● Hauptachsen:

– Die Transformationsformeln für die Flächenträgheitsmo-mente haben die gleiche Form wie die Transformationsfor-meln für die Spannungen.

– Daher gibt es zwei senkrecht aufeinander stehende Rich-tungen, für die das Deviationsmoment verschwindet.

– Diese Richtungen heißen Hauptachsen.

– Die zugehörigen Flächenträgheitsmomente heißen Haupt-trägheitsmomente.


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2.3 Hauptachsen

– Wie bei den Spannungen folgt:

– Die Hauptträgheitsmomente werden so nummeriert, dass I1 > I2 gilt.

– Wird der Querschnitt durch ein Biegemoment um eine Hauptachse belastet, dann dreht er sich um die Hauptach-se.

I 1 /2=12

( I y+ I z )±√(I y−I z

2 )2

+ I yz2 , tan (2ϕH )=

2 I yz

I y−I z


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2.3 Hauptachsen

– Bestimmung von ϕ1:

● Der Taschenrechner liefert einen Wert für ϕH zwischen -45° und 45°.

● Wie bei den Hauptspannungen gilt für den Winkel ϕ1 :

● ϕ1 und Iyz haben das gleiche Vorzeichen.

Iyz > 0 I

yz < 0

ϕH > 0 ϕ

1 = ϕ

Hϕ

1 = ϕ

H - 90°

ϕH < 0 ϕ

1 = ϕ

H + 90° ϕ

1 = ϕ

H


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2.3 Hauptachsen

● Mohrscher Trägheitskreis:

½(I1 + I

2) ½(I

1 - I

2)

2ϕ1

I1

I2

IyI

z

Iyz

P

Q

Iyz

M Iy , I

z

1 2

ϕ1

ϕ1

-Iyz


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2.3 Hauptachsen

● Beispiel: Z-Profil

– Gegeben ist das abgebildete dünnwandige Z-Profil.

– Zu berechnen sind:● Flächenträgheitsmomente im

eingezeichneten Koordina-tensystem

● Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen

– Der Flächenschwerpunkt liegt im Symmetriezentrum.

a

a

a

a t

z

y

t ≪ a

S


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2.3 Hauptachsen

y

z1

2

3

I y=83

a3 t , I z=23

a3 t

I yz=−a3 t

– Flächenträgheitsmomente:

Profil 1 Profil 2 Profil 3 Summe

A ta 2ta ta 4ta

yS

a/2 0 -a/2

zS

a 0 -a

IY

0 2a3t/3 0 2a3t/3

IZ a3t/12 0 a3t/12 a3t/6

yS

2A a3t/4 0 a3t/4 a3t/2

zS

2A a3t 0 a3t 2a3t

-ySz

SA -a3t/2 0 -a3t/2 -a3t


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2.3 Hauptachsen

– Mohrscher Trägheitskreis:

Iyz

Iy , I

z

Iyz

Iy

Iz

2ϕ1I

2I

1

P

Q

1

2


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2.3 Hauptachsen

z

y

S

1

2

ϕ1

– Hauptachsentransformation:

tan (2 ϕH )=−2

8 /3−2 /3=−1 → 2 ϕH=−45°

I y+ I z

2=

53

a3 t ,I y−I z

2=a3 t

√(I y−I z

2 )2

+ I yz2=√2 a3 t

→ I 1=3,081 a3 t , I 2=0,2525 a3 t

I yz<0 → ϕ1=−22,5°

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