2.1 Klassifizierung von Materialgesetzen 2.2 Plastizität 2 ...€¦ · Fließbedingung nach Mohr-Coulomb Christian Otto Mohr (08.10.1835 – 02.10.1918) Charles-Augustin de Coulomb

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Baustatik III – SS 2017

2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen

2.1 Klassifizierung von Materialgesetzen

2.2 Plastizität

2.3 Festigkeitshypothesen

2.4 Viskoelastizität

1




2.1 Klassifizierung von Materialgesetzen

2


Bausteine der Baustatik Gleichgewichtsgleichungen:

Immer zu erfüllen!

Kinematik:

Kann linear (kleine Verformungen) oder nichtlinear (große

Verformungen) sein .

Materialgesetz:

Kann linear oder nichtlinear sein.

Klassifizierung

3


Klassifizierung

Materialgesetze:

Sie werden auch als Stoffgesetze, Werkstoffgesetze

oder konstitutive Gleichungen bezeichnet.

Sie stellen die mathematischen Beziehungen zwischen

den Spannungen und den Dehnungen bzw.

Verzerrungen in einem Material dar.

4


Klassifizierung

5


Belastung

Entlastung

Belastung

Entlastung Entlastung

Belastung

Linear elastisch

Nichtlinear elastisch Elastisch-plastisch

Klassifizierung

6


Beispiel: Stahl

7


Entfestigung(Softening)

Beispiel: Beton

Da Beton nur geringe Zugfestigkeit besitzt, können Mikrorisse im Betonentstehen. Die Mikrorissbildung im Beton führt zur Entfestigung (Softening) desBetons!

8


Viskoelastizität

Viskoelastizität: Zeitabhängiges Materialverhalten!

= konst. = konst.

Kriechen:Verformungszunahme bei konstanter Spannung!

Relaxation (Schwinden): Spannungsabnahmebei konstanter Dehnung bzw. Verformung!

9


Beispiel

Fl

u

Gegeben:

, , , , , E A l c n FGesucht:

- -KurveF u

Materialgesetz: LudwikNichtlinear elastisch

nc

10


Beispiel

Lösung:

• Gleichgewicht: FN F A FA

• Kinematik:ul

• Materialgesetz:

(1)

(2)

FN

u

nc (3)

(2) In (3) eingesetzt, und dann (3) in (1) eingesetzt:n

n u Fc cl A

nuF cAl

11


Beispiel

u

F

Last-Verschiebungskurve

12




2.2 Plastizität

13


Fließfunktion und Fließbedingung

( ) 0F

Fließfunktion und Fließbedingung: 1D

1 2 3( , , ) 0F I J J

1 2 3( , , ) 0F oder

Fließfunktion bzw. Fließbedingung: 2D und 3D

14


Fließfunktion und Fließbedingung

1

2

3

: 1. Invariante des Spannungstensors : 2. Invariante des Spannungsdeviators: 3. Invariante des Spannungsdeviators

IJJ

ss

1 1 2 3 x y z

2 2 22 1 2 2 3 3 1

3 1 2 3

= + = +

1 ( ) ( ) ( )6det( )

I

J

J s s s

s

1 2 3, , : Hauptspannungen

1

3 MI

I Is

Spannungsdeviator:

1 2 3, , : Hauptdeviatorspannungens s s

15


Fließbedingung nach Tresca

1 2 2 3 3 11 1 1 1max | |, | |, | |2 2 2 2 F

Maximale Schubspannungstheorie

Henri Édouard Tresca (12.10.1814 – 21.06.1885)

2D3D

(http://en.wikipedia.org)

: FließspannungF

F

F

F

F

16


Fließbedingung nach von Mises

2 2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) ( ) 2 F

Richard von Mises (19.04.1883 – 14.07.1953)

J2 Plastizitätstheorie, J2 Fließtheorie

3D 2D

F

F

F

F


17


Vergleich: Tresca und von Mises

3D 2D

F

F

F

F


18


Fließbedingung nach Mohr-Coulomb

1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 11 max | | ( ),| | ( ),| | ( )

2 Fcm K K K

1; 1

Fc

Ft

mm Km

3D 2D

: Fließspannung für Druck (c = compression): Fließspannung für Zug (t = tension)

Fc

Ft

Fc

Fc

Ft

Ft

Die Fließbedingung von Mohr-Coulomb reduziert sich zu der Fließbedingung von Tresca, falls = !Ft Fc


19


Fließbedingung nach Mohr-Coulomb

Christian Otto Mohr(08.10.1835 – 02.10.1918)

Charles-Augustin de Coulomb(14.06.1736 – 23.08.1806)

tan( ) c

: Kohäsion: innerer Reibungswinkelc

(Druckspannung)

(Schubspannung)

Die Fließbedingung von Mohr-Coulomb reduziert sichzu der Fließbedingung von Tresca, falls =0!


20


Fließbedingung nach Drucker-Prager

2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 Fcm m

Fc

Ft

m

3D 2D

Ft

Ft

Fc

Fc

Die Fließbedingung von Drucker-Prager reduziert sich zu der Fließbedingung nach von Mises, falls = !Ft Fc


21


Fließbedingung nach Drucker-Prager

Daniel Charles Drucker(03.06.1918 – 01.09.2001)

William Prager(23.05.1903 – 16.03.1980)

22


Andere Darstellung der Fließbedingungen

1 2 3( , , ) 0F I J J

Es ist einfacher, die folgende Darstellung für die Fließfunktion bzw. Fließbedingung zu verwenden:

1

2

3

: 1. Invariante des Spannungstensors: 2. Invariante des Spannungsdeviators: 3. Invariante des Spannungsdeviators

IJJ

1 1 2 3 x y z

2 2 22 1 2 2 3 3 1

3 1 2 3

= + = +

1 ( ) ( ) ( )6det( )

I

J

J s s s

s

1

3 MI

I Is

Spannungsdeviator:

: Spannungstensor: Einheitstensor, EinheitsmatrixI

23


Andere Darstellungen der Fließbedingungen

F

F

24


Vergleich von Fließbedingungen

Bemerkungen: Die Fließbedingungen von Tresca und von Mises sind geeignet für duktile Werkstoffe (Stahl,

Metalle, …).

Die Fließbedingungen von Mohr-Coulomb und Drucker-Prager sind geeignet für Boden, Beton,

Fels, Keramik und körnige Werkstoffe.

25


Beispiel

y

Materialgesetz:Elastisch-ideal plastisch

Gegeben:

1 2 1 22 2 , 3 3y y yE E E Gesucht:

- -KurveF u

F

1 1, ,yE A

2 2, ,yE A

l u

26


Beispiel

Lösung:

• Gleichgewicht: 1 2 1 2 1 2 FN N F A A FA

• Kinematik: 1 2 , uu u ul

• Materialgesetz:

1.) Beide Stäbe im elastischen Bereich: Hookesches Gesetz

1 1 1 2 2 2, u uE E E El l

(1)

(2)

(3)

(3) In (1) eingesetzt: 1 21 2

( )

u u FlE A E A F ul l E E A

F1N

2Nu

27


Beispiel

Spannungen in den beiden Stäben:

1 1 1 1 2 2 2 21 2 1 2

2 , ( ) 3 ( ) 3

u F F u F FE E E E E El E E A A l E E A A

2.) Stab 2 im plastischen Bereich, Stab 1 im elastischen Bereich:

2 3y yF A

1 2

am Anfang des plastischen Fließens( )

ylFluE E A E

1Bei weiterer Laststeigerung: 2y y

u F lE A A F ul A E

3.) Stab 1 auch im plastischen Bereich:

1 1=3 4y y yF A

1 1Spannung im Stab 1: yu FEl A

Danach weitere Laststeigerung nicht mehr möglich!

3 2 2

yy

F lu lA E E

28


33 y y

Fl F E uuEA A l

2 12y

y y

F l F E uuA E A l

3 3 2 2

y

y

E uu lE l

1.) Bereich 1:

2.) Bereich 2:

3.) Bereich 3:

y

E ul

1

2

3

4y

FA

1 2 3 4

1.)

2.)

3.)

Beispiel

Last-Verschiebungskurve

29




2.3 Festigkeitshypothesen

30


Vergleichsspannung

Die Vergleichsspannung ist eine fiktive einachsige Spannung, die dieselbe Material-beanspruchung darstellt wie ein realer, mehrachsiger Spannungszustand.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Vergleichsspannung

31


Vergleichsspannung

2 24

2x y x y xy

V

Vergleichsspannung nach der Hauptnormalspannungshypothese(William Rankine, 1820-1872)

Stab, Balken (1D):

Ebener Spannungszustand (2D):

2 242V

32


Vergleichsspannung

1 1 1 3

3 3

, bei 0 & , bei 0V

Vergleichsspannung nach der Hauptnormalspannungshypothese(William Rankine, 1820-1872)

Räumlicher Spannungszustand (3D):

33


Vergleichsspannung

2 24V

2 24V x y xy

1 2 2 3 3 1max | |,| |,| |V

Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese: (Tresca, 1814-1885)

Stab, Balken (1D):



Allgemein: max2V

34


Vergleichsspannung

2 23V

2 2 23V x y x y xy

Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese(Huber, 1872-1950; von Mises, 1883-1953; Hencky, 1885-1951)

Allgemein: 23V J

Stab, Balken (1D):


2 2 2 2 21 2 2 1 3V x y x y xy

Ebener Verzerrungszustand (2D):

35


Vergleichsspannung

2 2 21 2 2 3 3 1

12V

2 2 2 2 2 23V x y z x y x z y z xy xz yz

Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese(Huber, 1872-1950; von Mises, 1883-1953; Hencky, 1885-1951)


2 22 2 2 21 62V x y x z y z xy xz yz

36


Vergleichsspannung

Anwendungsbereiche der unterschiedlichen Festigkeitshypothesen

37




2.4 Viskoelastizität2.4.1 Rheologische Grundelemente

2.4.2 Kelvin-Voigt-Modell

2.4.3 Maxwell-Modell

2.4.4 Burgers-Modell

2.4.5 Weitere Modelle

Literatur:Gross, Dietmar, Hauger, Werner, Wriggers, Peter: Technische Mechanik 4. Springer-Verlag, 2014.

38




2.4.1 Rheologische Grundelemente

39


Grundelemente

Rheologie:Rheologie ist die Wissenschaft bzw. Lehre zur Beschreibung vom Verformungs-und Fließverhalten von Körpern.

Rheologische Modelle:Rheologische Modelle beschreiben den Zusammenhang zwischen der Spannung und der Verformung (Deformation).

Rheologische Grundelemente:• Ideale Elastizität: Ideal-elastische Festkörper

Feder, Hooke-Element• Ideale Viskosität: Flüssigkeit

Dämpfer, Newton-Element• Ideale Plastizität: Idel-plastische Festkörper

Reibelement, St.-Venant-Element

40


Hooke-Element

Ideale Elastizität:• Zeitunabhängiges Materialverhalten. • Rheologisches Modell: Hooke-Element = Feder• Werkstoffgesetz (Stoffgleichung):

• Eindeutige Spannungs-Dehnungs-Beziehungen.• Deformationen vollständig reversibel d.h. der Körper kehrt nach Entfernung der

Belastung wieder in seinen ursprünglichen Ausgangszustand zurück.• Materialverhalten unabhängig vom Lastpfad (Belastung und Entlastung).• Das Hooke-Element beschreibt die Eigenschaften eines ideal-elastischen Festkörpers.

41


Newton-Element

Ideale Viskosität: • Zeitabhängiges Materialverhalten. • Rheologisches Modell: Newton-Element = Dämpfer• Werkstoffgesetz (Stoffgleichung):

• Das Material reagiert auf eine einwirkende Spannung mit einer unbegrenzten, zeitlich verzögerten Deformation.

• Materialverhalten ist abhängig von der Deformationsgeschichte. • Deformationen vollständig irreversibel bzw. dauerhaft bestehend.• Die Dehngeschwindigkeit (zeitliche Ableitung der Dehnung) ist proportional zur

aufgebrachten Spannung. • Das Newton-Element beschreibt die Eigenschaften einer idealen Flüssigkeit.

42


St.-Venant-Element

Ideale Plastizität: • Zeitabhängiges Materialverhalten. • Rheologisches Modell: St.-Venant-Element = Reibelement• Werkstoffgesetz (Stoffgleichung):

• Deformationen irreversibel (bleibende Dehnungen).• Materialverhalten unabhängig vom Lastpfad (Belastung und Entlastung).• Das St.-Venant-Element beschreibt die Eigenschaften einer ideal-plastischen

Festkörpers.

0,0,

F

F

43


Kriechen

Kriechen:Verformungszunahme bei konstanter Spannung!

0( ) ( )t J t 0

( )( ) tJ t

Kriechfunktion, Retardationsfunktion:

(0) : momentane Nachgebiegkeit(0) : GleichgewichtsnachgebiegkeitJJ

• Die Retardationsfunktion beschreibt den zeitlichen Verlauf (Zunahme) der Dehnung einesviskoelastischen Materials unter konstant gehaltener Spannung.

• Zum Zeitpunkt t = 0 wird plötzlich eine konstant gehaltene Spannung aufgebracht. Die zurDehnung proportionale Materialfunktion beim Kriechversuch heißt Retardationsfunktion J(t).

44


Relaxation

Relaxation (Schwinden): Spannungsabnahmebei konstanter Dehnung bzw. Verformung!

0( ) ( )t G t 0

( )( ) tG t

Relaxationsfunktion:

(0) : momentane Steifigkeit( ) : GleichgewichtssteifigkeitGG

• Zum Zeitpunkt t = 0 wird plötzlich eine konstant gehaltene Dehnung aufgebracht. Die zumSpannungsverlauf proportionale Materialfunktion beim Relaxationsversuch heißt Relaxations-funktion G(t).

• Die Relaxationsfunktion beschreibt die zeitliche Abnahme der Spannung (Spannungsrelaxation)eines viskoelastischen Materials unter konstant gehaltener Dehnung.

45




2.4.2 Kelvin-Voigt-Modell

46

Das Kelvin-Voigt-Modell ist geeignet, um das Kriechverhalten von Materialien zu beschreiben.


Kelvin-Voigt-Modell

1.) Gleichgewicht:

E D

2.) Kinematik:E D

3.) Werkstoffgesetz:

, E E D DE

1E

E

D

Gleiche Dehnung in beiden Elementen!

47


Kelvin-Voigt-Modell

Gleiche Dehnung in beiden Elementen!

Materialgleichung (Stoffgleichung):

1E

1.) ( ) vorgegeben, ( ) gesucht ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2.) ( ) vorgegeben, ( ) gesucht Inhomogene Dgl. nach ( ) lösen! ( ) ( )

t tt t t E G tt t

t t J t

2 Möglichkeiten:

48


Kelvin-Voigt-Modell

0 ( ) ( ) t H t Beispiel 1: vorgegeben

h p

th Ae

1

/th Ae

/ 0th p Ae

E

Gesamtlösung:

Homogene Lösung:

0h h

Partikularlösung:

p C 0p E

0p p E

0CE

Gesamtlösung:

Anfangsbedingung (AB):

(0) 0 0AE

/0 1 teE

/

0

( ) 1( ) 1 ttJ t eE

49


Kelvin-Voigt-Modell

1

( 0) 01( )

1 1( ) (1 ) 0,632

J t

J tE

J t eE E

• Wenn die Retardationszeit erreicht wird, dann beträgt die Dehnung 63.2% ihres Endwertes bzw.der Gleichgewichtsnachgiebigkeit zum Zeitpunkt t=∞.

• Am Anfang zeigt der Kelvin-Voigt Körper ein flüssigkeitsähnliches Verhalten, da in der Steigung vonJ(t) zum Zeitpunkt t=0 nur (kein E) auftritt

• Nach langer Zeit zeigt der Kelvin-Voigt Körper dagegen ein festkörperähnliches Verhalten, daJ(∞)=1/E nur von E abhängt.

• Die Verformungen sind vollständig reversibel.• Das Kelvin-Voigt Modell ist gut geeignet um den zeitlichen Übergang vom flüssigen in den festen

Zustand zu modellieren. Durch die Parallelschaltung der beiden Grundelemente wirkt das Newton-Element zeitlich verzögernd auf die Deformation und das Newton-Element begrenzt die Dehnung.

• Das Kelvin-Voigt Modell beschreibt überwiegend einen Festkörper.

(d.h. ( 0) 1/ ).J t

/1 1( ) , (0) , ( ) 0tJ t e J J

50


Kelvin-Voigt-Modell

0 ( ) ( ) t H t Beispiel 2 : vorgegeben

51

Die Lösung der Differentialgleichung ist in diesem Fall komplizierter. Daher wird hier nur die endgültige Lösung angegeben.

0 0( ) ( ) ( )t t E H t

0

( )( ) ( ) ( )tG t t E H t

0, 0( )

, 0t

tt

0, 0( )

1, 0t

H tt

Dirac-Funktion Heaviside-Funktion

Das Kelvin-Voigt-Modell ist also nicht geeignet, um die Spannungsrelaxation zu beschreiben!




2.4.3 Maxwell-Modell

52

Das Maxwell-Modell ist geeignet, um die Spannungsrelaxation in Materialien zu beschreiben.


Maxwell-Modell

1.) Gleichgewicht:

E D

2.) Kinematik:

E D

3.) Werkstoffgesetz:

, E E D DE

Gleiche Spannung in beiden Elementen!

53


Maxwell-Modell

Gleiche Spannung in beiden Elementen!

Materialgleichung (Stoffgleichung):

Integration

1.) ( ) vorgegeben, ( ) gesucht1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2.) ( ) vorgegeben, ( ) gesucht Inhomogene Dgl. nach ( ) lösen! ( ) ( )

t t

t t t t J t

t tt t G t

2 Möglichkeiten:

Relaxationszeit: E

54


Maxwell-Modell


( ) 0, 0t t

0

Lösung der Dgl.:

0( )t t C


0(0)(0)E E

0CE

0

( ) 1( ) t tJ tE

0

01( ) ttE

55


Maxwell-Modell

1( 0)

( )

J tE

J t

Das Maxwell-Modell ist also nicht geeignet, das Kriech- bzw.Relaxationsverhalten richtig zu beschreiben, da J(∞)=∞ unbegrenztist!

1( )J t

56


Maxwell-Modell


( ) 0, 0t t

tAe 1

/tAe

Lösung der Dgl.:

0


0(0) 0(0) (0)E E 0A E

/

0

( )( ) ttG t Ee

0

/0

tE e

57


Maxwell-Modell

1

( 0)( ) 0( ) 0,368

G t EG tG t Ee E

• Wenn die Relaxationszeit erreicht wird, dann beträgt die Spannung 36.8% ihres Anfangswertesbzw. der momentanen Steifigkeit zum Zeitpunkt t=0.

• Der Maxwell Körper hat ein festkörperartiges Anfangsverhalten (da G(0)=E bzw. J(0)=1/E).• Nach langer Zeit ist der Maxwell Körper spannungsfrei und er hat daher ein flüssigkeitsartiges

Endverhalten.• Die Verformungen sind aufgrund der Reihenschaltung vollständig irreversibel.• Durch die Reihenschaltung der beiden Grundelemente nimmt das Hooke-Element den

anfänglichen Dehnungssprung in Form der Anfangsspannung auf. Durch die zeitlich verzögerteZunahme der Dehnung im Newton-Element nimmt die Dehnung in der Feder und somit dieSpannung ab. Das Material entspannt sich (relax) mit der Zeit.

• Das Maxwell Modell beschreibt überwiegend eine viskoelastische Flüssigkeit.

/1( ) , (0) , ( ) 0t EG t E e G G

58


Gegenüberstellung

Kelvin-Voigt Maxwell

1.) Gleichgewicht

2.) Kinematik

3.) Werkstoffgesetz

E D E D

E D

, =E E D DE

E D

59


Gegenüberstellung

Kelvin-Voigt Maxwell

Stoffgleichung

Einheitlich y y g

1E

, ,1

y

gE

, ,yg

1.) vorgegeben, gesuchtyg y y g y y

2.) vorgegeben, gesuchtgy

/+ ; ,

mit Ansatz vom Typ der rechten Seite

th p h

p

y y y y Ae

y

60




2.4.4 Burgers-Modell

61

Das Burgers-Modell ist geeignet, um das Verhalten von Asphalt, Bitumen und Polymeren zu beschreiben.


Burgers-Modell

Maxwell

Kelvin-Voigt

1.) Gleichgewicht: M KV

2.) Kinematik: M KV

3.) Werkstoffgesetz: M M M M M 1KV KV KV KV

KVE

Maxwell Kelvin-Voigt

(1)

(2)

(3)

62


Burgers-Modell

(1) in (3) eingesetzt:

M KV

1KV KV KV

KVE M M M

1M M

M

1 1KV KV

KV KVE

Aus (2):

1 1 1M

M KV KKV

VE

1 1 1M

M KV KVME

M KV

M KV Aus (2):

63


Burgers-Modell

M Aus (3):

1 1 1 1M

M KV KV KVM

KVE

1 1 1 11M

M KV KV KV KM

MVE

1 1 1 1M M

M M KV KV KV M KV M KVE

64


Burgers-Modell

1 1 1 KV KV KV

M M KV KV M KV M KV

E E EE E

, KVMM KV

M KVE E

a b c g 1 1 1, ,

1,

KV

M M KV KV M

KV KV

KV M KV KV

Ea bE EE Ec g

Stoffgleichung:

65


Burgers-Modell

1.) ( ) vorgegeben, ( ) gesucht1 ( ) ( )

2.) ( ) vorgegeben, ( ) gesucht1 ( ) ( )

KV

KV

t t

a b c t J t

t t

a b c t G t

2 Möglichkeiten:


( ) 0, 0t t

th Ae

Lösung der Dgl.:

( ) 0, 0t t 01

KV

c

h p Homogene Lösung:

1 0h hKV

2 1 0KV

1 20, 1/ KV

66


Burgers-Modell

0

0

(0) (0) (0)M KVME

Gesamtlösung: /1 2 0

KVth p KVA A e c t

Anfangsbedingungen:

1 2 /1 2 1 2

KVtt th A e A e A A e

p B t Partikularlösung: 01

p pKV

c

0 KVB c

0p KVc t

01 2

M

A AE

0 0(0) (0) (0)M KVM KV

2 02 0 0

1 1KV KV

M KV KV

A cE

01 2 0

1 1

M M KV

A AE E E

67


Burgers-Modell

/0

1 11 1 KVtM

M M KV

Et eE E

68

/

0

( ) 1 1( ) 1 1 KVtM

M M KV

EtJ t t eE E

( )J t

1

ME

1

KVE

1

M1


Burgers-Modell

Die Lösung der Differentialgleichung ist in diesem Fall komplizierter. Daher wird hier nur die endgültige Lösung angegeben.

1 21 2 1 1 2 2 0

1 r t r tq q r e q q r eA

69


1 21 2 1 1 2 2

0

( ) 1( ) r t r ttG t q q r e q q r eA

1 2 1

212 1,2 1 2

2

, , ,

, , 42

KV M KVM MM

M KV KV M KV

M KV

KV

p p qE E E E E

p Aq r A p pE p




2.4.5 Weitere Modelle

70


Weitere Modelle

Weitere Modelle können durch die Schaltung mehrerer Grundelemente inKombination mit den Kelvin-Voigt- und Maxwell-Modellen konstruiert werden.

3-Elemente-Festkörper (linearer Standardkörper):

Werden die Konstanten entsprechend gewählt, wird der teilweise viskoseFestkörper bei beiden Modellen mit der gleichen Stoffgleichung beschrieben.

71


Weitere Modelle

3-Elemente-Flüssigkeit:

4-Elemente-Festkörper:

72


Weitere Modelle

4-Elemente-Flüssigkeit:

N-Elemente-Festkörper (Kelvin-Voigt-Gruppe):

73


Weitere Modelle

N-Elemente-Flüssigkeit (Maxwell-Gruppe):

74


Gegenüberstellung

Kriechfunktion J(t) Relaxationsfunktion G(t)

Kelvin-Voigt

Maxwell

Burgers

Standard

1tE

/tEe

/1 1 teE

1 ( )E t

75

/1 1 1 KVtM

M M KV

Et eE E

1

1 1

1 1 KV

E tKV KV

KV

E E eE E E

1

1 1

1 1

KV

KV

E E t

KVKV KV

E EE eE E E E

1 21 2 1 1 2 2

1 r t r tq q r e q q r eA

Documents

2.1 Klassifizierung von Materialgesetzen 2.2 Plastizität 2 ...€¦ · Fließbedingung nach Mohr-Coulomb Christian Otto Mohr (08.10.1835 – 02.10.1918) Charles-Augustin de Coulomb