34. Fortbildungstagung fr Geometrie
ber Kurven die entstehen, wenn ein Ellipsoid mit festem
Mittelpunkt auf einer Ebene rollt
Klaus Hollnder (Giessen)
Technische Hochschule Mittelhessen (THM)
Ablauf:
1. Das Ellipsoid 2. Die Ladungsverteilung auf einem Ellipsoid 3.
Die Kurven auf dem Ellipsoid und auf der Ebene 4. Die Bestimmung
der Kurven auf der Ebene mit Hilfe von
Polarkoordinaten 5. Die Spirale 6. Ergnzungen
E-Mail: [email protected]
Das Ellipsoid mit a > b > c
Gleichung des Ellipsoids 122
2
2
2
2
=++cz
by
ax
Allgemeine Gleichung der Ebene: Ax + By + Cz +D = 0
Abstand h der Ebene vom Ursprung O: 222 CBA
Dh++
=
Gleichung der Tangentialebene im Punkt P(x0|y0|z0) des
Ellipsoids:
0120
20
20 =++ z
czy
byx
ax
Abstand h der Tangentialebene vom Mittelpunkt O des
Ellipsoids:
4
20
4
20
4
20
01
cz
by
ax
h++
= oder 20
4
20
4
20
4
20 1
hcz
by
ax
=++
Die Flchenladungsdichte auf einem Ellipsoid
Die Flchenladungsdichte ist: FQ
FlchegeLadungsmen
==
1. auf der Kugel ist die Ladungsmenge Q gleichmig verteilt:
24 a
Q
=
arn =
=
41 mit
rQ
= und 2rQ
n=
2. auf dem Rotationsellipsoid (b = c) ist die Ladungsmenge
ungleichmig verteilt:
hV
Qhab
Q
E=
=
34 2
n
=
41 mit
+++
=2
1ln2 rcz
rczc
Q [1]
3. auf dem Ellipsoid (a > b> c) gilt:
hV
Qhabc
QE
=
=34
(VE = abc34 )
Der Laplace- Operator 22
2
2
2
2
dzd
dyd
dxd ++= muss zur Herleitung dieser Formel auf
elliptische Koordinaten umgeschrieben werden [5,6].
Physiker: Bestimme auf dem Ellipsoid Kurven lngs denen die
Flchenladungsdichte konstant ist.
Oder:
Geometer: Bestimme auf dem Ellipsoid Kurven lngs denen die
Tangentialebenen einen festen Abstand h zum Mittelpunkt O
haben.
Kurve s auf dem Ellipsoid (Polbahn oder Polhodie)
(1) 122
2
2
2
2
=++cz
by
ax (Ellipsoid)
(2) 242
4
2
4
2 1hc
zby
ax
=++ (Abstand h)
Zahlenbeispiel: a = 8 , b = 6 , c = 5 und h = 6.6
1568 2
2
2
2
2
2
=++zyx (Ellipsoid I)
18.35.57.9 22
2
2
2
2
=++zyx (Ellipsoid II)
Die Schnittkurve zwischen diesen beiden Ellipsoiden ist die
gesuchte Rollkurve s.
Elimination von x2 ergibt die Projektion auf die yz- Ebene
[7]:
222
24
222
4
22
hhaz
ccay
bba
=
+
17.27.4 22
2
2
=+zy (Ellipse)
11.35 22
2
2
=zx (Hyperbel) 1
1.77.6 22
2
2
=+yx (Ellipse)
3D-Drucker
Parameterdarstellung der Kurve s auf dem Ellipsoid (Polbahn)
(1) [ ] 2/1222/1
2
2
2
2
sin301.0cos603.0181 ttcz
byax =
=
(2) y = 4.661cos t 0
3D-Polbahn (Gangpolkegel)
Konstruktion der Spurbahn auf der Ebene mit Hilfe von (1) bis
(6):
Kurve l auf der Ebene (Spurbahn oder Serpolhodie)
R2 = x2 + y2 + z2
Zur Bestimmung der Kurven l muss die Raumkurve s lngentreu auf
die Ebene abgebildet werden. Dazu wird das Bogendifferential
(Bogenelement) der Raumkurve bentigt:
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 oder 222 dzdydxds ++= Es stehen folgende
Gleichungen zur Verfgung [7]:
(1) 122
2
2
2
2
=++cz
by
ax (Ellipsoid)
(2) 242
4
2
4
2 1hc
zby
ax
=++ (Abstand h)
(3) x2 + y2 +z2 = R2 (Radius R = OP ) ------------------------
x2 = A (R2 - D) )( 2 DRAx =
y2 = B (R2 E) )( 2 ERBy = maxmin RRR
z2 = C (R2 F) )( 2 FRCz = Es ist A = A(a,b,c) u.s.w. und D =
D(b,c,h) , E = E(a,c,h) , F = F(a,b,h)
dx2 = DR
AdRR2
22 , ER
BdRRdy
= 2222 und
FRCdRRdz
= 2222
ds2 = dx2 + dy2 + dz2
ds2 = R2dR2
+
+
FRC
ERB
DRA
222
Wegen R2 = r2 +h2 gilt RdR = rdr und damit
Fhr
CEhr
BDhr
Ardrds
++
++
+= 222222
Zahlenbeispiel: a = 8 , b = 6 , c = 5 , h = 6.6
54744.3
45688.170905.8
20905.422116.3
7509.3222
+
+
=rrr
rdrds
1.88346 < r < 2.95110
Polarkoordinaten in der Ebene [7]: x = r cos y = r sin Das
Bogendifferential dl: dl2 = dr2 + r2 d2 Es muss ds2 = dl2 gelten:
ds2 = dr2 + r2 d2 oder
d2 = [ ]2221 drdsr
)(12222222 rfrFhrC
EhrB
DhrA
drd
=+
++
++
=
Zahlenbeispiel 1a: a = 8 , b = 6 , c = 5 und h = 6.6
)(154744.3
45688.170905.8
20905.422116.3
7509.32222 rfrrrrdr
d=
+
+=
rmin = 1.88346 < r < rmax = 2.95110
Startwerte: r0 = 2.0 und 0 = 0 (rad) =ri
ri drrf
0
)(
Das Ergebnis ist eine rosettenfrmige Kurve. Die Kurve ist nur
dann geschlossen, wenn 2= mn gilt (m, n = 1,2,3). Zahlenbeispiel
1b: a = 8 , b = 6 , c = 5 und h = 6.05
Zahlenbeispiel 2: a = 12 , b = 6 , c = 5 und h = 6.6
22221
43.1748.0
80.4209.1
22.361.1
rrrrdrd
+
+
=
rmin = 4.18 < r < rmax = 6.54 Startwerte: r0 = 5.0 und 0 =
0
Das Ergebnis ist eine wellenfrmige Kurve (Herpoloide bzw.
Serpoloide [4]). Zahlenbeispiel 3: a = 12 , b = 6 , c = 3 und h =
6.6
22221
43.17022.0
69.7944.0
0.642.1
rrrrdrd
+
+
=
rmin = 4.18 < r < rmax = 8.92 Startwerte: r0 = 6.0 und 0 =
0
Das Ergebnis ist eine Kurve mit Spitzen.
Der Sonderfall h = b: Spirale
(1) 122
2
2
2
2
=++cz
by
ax (Ellipsoid)
(2) ) 142
4
2
4
2
=++cz
by
ax (Abstand h=b)
Zahlenbeispiel: a = 8 , b = 6 , c = 5 und h = b = 6
153.36 2
2
2
2
=+zy (Ellipse in der yz- Ebene))
z = + 0.623 x und z = - 0.623 x (zwei Geraden in der xz-
Ebene)
1666.5 2
2
2
2
=+yx Ellipse in der xy- Ebene)
)(12222222 rfrFhrC
EhrB
DhrA
drd
=+
++
++
=
2222145688.1
5555.820779.47509.3
rrrrdrd
+
=
rmin = 0 < r < rmax = 2.9249
25555.8
6rrdr
d
=
Formelsammlung[2]:
+=
rr 25555.8925.2ln
925.26 Spirale)
Die Auflsung nach r ergibt: )487.0cosh(
925.2
=r (Polargleichung der Spirale)
mit 2/)()487,0cosh( 487.0487.0 += ee
Die Lnge der Spirale ist gleich einem Viertel des
Ellipsenumfangs: U/4 = 9.96 L. E.
Diese Spirale wurde mit Hilfe der Tabelle konstruiert nach
Abschnitt Polbahn konstruiert.
Die Spirale hat eine endliche Lnge (U/4 = 9.96 L.E,), rotiert
jedoch unendlich oft um das Zentrum.
)9249.2()9249.2(6
5555.86)(
2 rrrrrdrdrf
=
==
Der Kurswinkel [13]:
Es gilt [12]: = und
rr
=tan mit d
drr =
2222 3656.44
6tanrrb
b
=
=
Fr 0r gilt 05.2tan = , d.h. = 64 .
Polarkoordinaten
Polargleichung der Spirale: )487.0cosh(
925.2
=r
Polarkoordinaten:
cos)487.0cosh(
925.2=x
sin
)487.0cosh(925.2
=y
sincos)487.0tanh(487.0cossin)487.0tanh(487.0
+
==xyy&
&
Fr groe Werte strebt tanh(0.487) gegen 1 und man erhlt:
tan487.0
1tan487.0
+y
Setze: xn += (n = 1, 2, 3 )
Die Funktion tan ist - periodisch, d. h. xxn tan)tan( =+ mit
22
x
Mit 0tan = erhlt man 0534.2487.0
1' =
=y und = 64 .
Fr 2 = ist =tan , und 487.0'=y = 26 .
Zum Polarwinkel
a =8, b = 6, c = 5, h = 6.6
22221
54744.345688.1
70905.820779.4
22116.37509.3
rrrrdrd
+
+
=
Rechte Grenze: rb = 2.95 rmax =2.95110996 = 70905.8
Nherungsweise Berechnung des Integral:
=++
= 1149.02826.07131.0607.0maxrrdr
d
=rrrr
+ maxmax
8445.00045.17131.0
Unter der Wurzel kann 1.0045 vernachlssigt werden, weil
46.6427131.00045.1max
Es ist 9506.22
=+ ba und 348.25)9506.2( =f .
oraddrrf 61.1028.0348.25)95.295110996.2()(95110996.2
95.2
== Linke Grenze: ra = 1.884 rmin = 54744.3 = 1.88346
22221
54744.345688.1
70905.820779.4
22116.37509.3
rrrrdrd
+
+
=
minminmin
6219.03867.06512.12817,03867.0)8155.0(554.0rrrrrrdr
d
+=+
+=
weil 1.6512
Literatur [1] M. Abraham u. R. Becker: Theorie der Elektrizitt
Band I, Teubner Verlag Leipzig und Berlin, 1930 [2] H.-J. Bartsch:
Mathematische Formeln, Fachbuchverlag Leipzig, 21. Auflage, 1986
[3] T. Fliebach: Elektrodynamik, 4. Auflage, Spektrum Akademischer
Verlag Heidelberg, 2005 [4] W. Greiner: Theoretische Physik, Band
2: Mechanik II, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt a. M. , 1986 [5]
O.D. Kellog: Foundations of Potential Theory, Dover Publications,
New York, 1954 [6] L.D. Landau und E.M. Lifschitz: Elektrodynamik
der Kontinua, Band VIII, Vieweg Akademische Verlagsgesellschaft,
Frankfurt a. M. 1961 [7] L. Poinsot: Thorie nouvelle de la rotation
des corps, Journal de mathmathiques pures et appliqus, tome 16
(1851), p. 9-129 [8] L. Poinsot: Neue Theorie der Drehung der
Krper, bersetzung von K. H. Schellbach, Berlin, 1851, Druck und
Verlag von A.W. Hayn [9] R. Rothe: Hhere Mathematik, Bd. I ,
Teubner Verlag, Leipzig, 1948 [10] A. Sommerfeld: Elektrodynamik,
Bd. III , Verlag Harry Deutsch, Frankfurt, 2001 [12] W.I. Smirnow:
Lehrgang der Hheren Mathematik, Teil I, VEB Verlag Berlin, 1963
[13] W. Wunderlich: Darstellende Geometrie, Bd. 2, HTB Bd. 133,
Mannheim, 1967
0_Thema.pdf1_Das
Ellipsoid.pdf2_flchenladung_neu.pdf3_polbahn_neu.pdf4_spurbahn.pdf5_t-spirale.pdf6_z_polarkoordinaten.pdf7_zum
polarwinkel-865.pdf8_zz_literatur.pdf
