7 Numerische Verfahren - Homepage des SFB 224 · 7 Numerische Verfahren 7.1 Einleitung Neben den experimentellen und analytischen Methoden stehen dem Ingenieur in zunehmendem Maße

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7 Numerische Verfahren

7.1 Einleitung

Neben den experimentellen und analytischen Methoden stehen dem Ingenieur inzunehmendem Maße Simulationsrechnungen als Werkzeug bei der Motorenentwick-lung zur Verfügung. Dies ist durch die rasante Leistungssteigerung der Digitalrechnerin den letzten beiden Dekaden und durch die hierdurch stimulierte Entwicklunggenauer und schneller Algorithmen zur Lösung der mathematischen Grundgleichun-gen bedingt. Es existieren eine Reihe von Lösungsverfahren für inkompressible undkompressible Strömungen , die in der einschlägigen Literatur wie etwa in /1/, /2/, /3/,/4/, /5/, /6/, /7/ beschrieben werden. Damit ist für die numerischen Forschungsarbeiteneine sichere Basis vorhanden. Für selbst zu entwickelnde Programmpakete kann aufdie in Lehrbüchern oder in Fachzeitschriften veröffentlichten Artikel über Lösungsver-fahren zurückgegriffen werden, oder es können geeignete Programmpakete auf demSoftwaremarkt erworben werden. Vor diesem Hintergrund konzentrieren sich dienumerischen Arbeiten auf die Ausarbeitung neuer mathematischer Modelle für spezi-elle physikalische Vorgänge, wie zum Beispiel für die Strahlbildung und den -zerfallbei Einspritzvorgängen. In besonderen Fällen jedoch müssen ganz neue Lösungsme-thoden entwickelt werden. Alle diese Wege sind im Rahmen der in diesem Buchdokumentierten Forschungsarbeiten beschritten worden.

Neben selbstgeschriebener Software, Ergebnisse solcher Untersuchungen sind inden Kapiteln 2 und 3 dokumentiert, wurden von den Aachener Forschergruppen fol-gende Programmpakete im Rahmen des SFB verwendet: SPICE, SPEED, KIVA II,Star-CD, FLUENT. Die Programmpakete wurden durch neue Teilmodelle zur Lösungspezifischer Aufgaben erheblich erweitert und für die Lösung besonderer Fragestel-lungen, wie die Berechnung des turbulenten Wärmeübergangs im Motor, Kapitel2.2.3.1, und Strahlausbreitung, Zerstäubung und Verdampfung, Kapitel 4.2, oder Ver-brennung im Dieselmotor, Kapitel 4.4.1.4, herangezogen. Die in diesen Computerco-des implementierten Lösungsalgorithmen hier näher zu beschreiben, würde denUmfang des Buches sprengen. Für ein eingehendes Studium sei deshalb auf die inden genannten Kapiteln aufgeführte Literatur verwiesen. Stattdessen sollen hier ineinem ersten Teil nur die Grundschritte zur numerischen Lösung partieller Differential-gleichungen der Strömungsmechanik - die Formulierung des diskreten Problems -kurz angerissen werden.

In einem zweiten Abschnitt, der das eigentliche Anliegen dieses Kapitels ist, sollendann zwei neuentwickelte Verfahren detaillierter vorgestellt werden, deren Ausarbei-tung nötig war, um die spezifischen Eigenschaften der Interaktion von Strömung und

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Chemie bei der Ausbreitung laminarer und turbulenter Vormischflammen numerischmit ausreichender Genauigkeit berechnen zu können. Diese Verfahren sind außer andieser Stelle durch eine Reihe von Veröffentlichungen /8/, /9/, /10/, /11/, /12/, /13/, /14/dokumentiert.

7.2 Erhaltungsgleichungen

Die mathematische Beschreibung der Transportvorgänge in inerten und reaktivenStrömungen führt auf Erhaltungsgleichungen für Vektorfelder. Die Änderung von phy-sikalischen Größen in einem Gebiet τ, zusammengefaßt im Vektor wird hervorge-rufen durch konvektive und diffusive tensorielle Flüsse über dieOberfläche des Gebietes und zum Beispiel durch Quellen und Senken im Inneren des Gebietes. Die allgemeine mathehmatische Formulierung lautet mit dem nachaußen gerichteten Vektor des Oberflächenelementes

(7-1)

7.2.1 Konservative und nichtkonservative Form

Bei Anwendung des Erhaltungssatzes auf Strömungen reagierender Gase führt Glei-chung (7-1) mit dem Vektor der konservativen Variablen und den konvektiven unddiffusiven Flüssen auf

, , . (7-2)

Darin bezeichnen ρ die Dichte, den Geschwindigkeitsvektor,

die spezifische innere Totalenergie, p den

Druck sowie Yi die Massenbrüche und die Bildungsenthalpien der Spezies i.

Der Vektor des Speziesdiffusionsstroms wird nach dem Fickschen Gesetz

(7-3)

UH Hconv Hdiff+=

Q

dA

δδt---- U τd⋅

τ∫( ) H dA Q τd⋅

τ∫+⋅

A∫°–=

U

U

ρ

ρ v⋅ρ E⋅ρ Yi⋅

= H Hconv Hdiff+

ρ v⋅

ρ v v p I⋅+⋅ ⋅

v ρ E p+⋅( )⋅

ρ v Yi⋅ ⋅

0

τ

τ v q+⋅

j i

+= = Q

0

0qr

m· i

=

v

ρ E⋅ ρ e ρ2--- v2 ρ Yi hi

0 hn0–⋅

i 1=

n 1–

∑⋅+⋅+⋅=

hi0

j i ρ Di Yi∇⋅ ⋅–=

7.2 Erhaltungsgleichungen 683

bestimmt. In dieser Formulierung sind Thermodiffusionseffekte vernachlässigt und eineffektiver Diffusionskoeffizient Di angenommen.

Der Wärmestrom q errechnet sich aus dem Fourierschen Gesetz, Wärmeleitungsko-effizient k, und dem Enthalpietransport durch Diffusion zu

. (7-4)

Für den chemischen Quellterm gilt

(7-5)

worin Wi die Molgewichte, die stöchiometrischen Nettokoeffizienten(netto) von Spezies i in der Reaktion k mit der Reaktionsrate wk bezeichnen.

Für Newtonsche Fluide werden die Schubspannungen als Funktion der Geschwindig-keitsgradienten

(7-6)

formuliert, wobei µ den Viskositätskoeffizienten darstellt. Nach einer Hypothese vonStokes ist der zweite Koeffizient λ mit dem Viskositätskoeffizienten durch λ = -2/3µverknüpft.

Unter der Annahme eines lokalen thermodynamischen Gleichgewichtes kann mit derZustandsgleichung des idealen Gases

(7-7)

das Gleichungssystem geschlossen werden, wobei γ = cp/cv den Isentropenexponentbezeichnet.

Solange die durch Gleichung (7-1) beschriebenen Felder keine Diskontinuitäten aus-bilden, lassen sich mit dem Satz von Gauß für die obigen Integralgleichungen mathe-

q k T hi ji⋅i 1=

n

∑+∇⋅–=

m· i W i νik wk⋅k 1=

r

∑⋅=

νik νik'' νik'–=

τ λ v I µ v v∇( )T

+∇( )⋅–⋅∇⋅–=

p γ 1–( ) ρ E⋅ ρ2--- v2 Yi hi

0 hn0–⋅

i 1=

n 1–

∑–⋅–⋅=


matisch äquivalente partielle Differentialgleichungen aufschreiben. Diese lauten fürkartesische Koordinaten (x,y,z)

(7-8)

Beispielhaft steht der Term für

. (7-9)

In dieser Form korrespondieren die partiellen Differentialgleichungen (Gleichung(7-8)) mit der allgemeinen Schreibweise eines Erhaltungsgesetzes (Gleichung (7-1));daher wird diese Form die konservative oder Divergenzform genannt.

Alternativ können die konvektiven Anteile der Vektoren E, F und G des Erhaltungsge-setzes (Gleichung (7-8)) in nichtkonservativer Form geschrieben werden, indem dieOrtsdifferentiationen ausgeführt werden und die Kontinuitätsgleichung eingesetztwird. Für die x-Komponente des Impulssatzes folgt dann zum Beispiel:

. (7-10)

Beide Formulierungen sind nicht äquivalent, da die nichtkonservative Formulierungsogenannte schwache Lösungen der Erhaltungsgleichungen, also solche die Diskon-tinuitäten wie Stöße und Vormischflammen enthalten, nicht einschließt.

7.2.2 Transformation auf krummlinige, zeitabhängige Koordinaten

Mehrdimensionale Probleme gehen oft einher mit geometrisch komplexeren Strö-mungsgebieten. Bei Motorinnenströmungen ist das Integrationsgebiet zusätzlichdurch die Bewegung von Kolben und Ventilen zeitabhängig. Soll weiterhin die numeri-sche Lösung der Erhaltungsgleichungen auf kartesischen Gittern erfolgen, so müssengesonderte Formalismen für die Darstellung der Randbedingungen entworfen wer-den. Eine Alternative zu dieser Vorgehensweise stellt die Formulierung der Erhal-

U t E x Fy G z+ + + Q=

E

E E conv Ediff+

ρ u⋅

ρ u2⋅ p+ρ u v⋅ ⋅ρ u w⋅ ⋅

u ρ E⋅ p+( )⋅u Yi⋅

0τxx

τxy

τxz

u τxx ν τxy w τxz qx+⋅+⋅+⋅

jx

+= =

ρ ∂u∂t------ ρ u ∂u

∂x------ ρ v ∂u

∂y------ ρ w ∂u

∂z------⋅ ⋅+⋅ ⋅+⋅ ⋅+⋅ ∂p

∂x------–

∂τxx

∂x----------

∂τxy

∂y----------

∂τxz

∂z----------+ + +=

7.2 Erhaltungsgleichungen 685

tungsgleichungen auf nichtstrukturierten Netzen, die sich einer beliebigen Geometrieanzupassen vermögen oder auf konturangepaßten Koordinaten dar.

Im Rahmen der hier durchgefürten Arbeiten ist stets der zweite Weg beschritten wor-den. Dies erfordert eine Transformation der Erhaltungsgleichungen auf ein zeitabhän-giges, krummliniges, nichtorthogonales Koordinatensystem, um den Aufwand bei derFormulierung der Randbedingungen in Grenzen zu halten. Der physikalische Raumwird über die Transformation:

(7-11)

auf einen rechteckigen, äquidistanten und zeitabhängigen Raum abgebildet. Mit die-ser Vorschrift erhält man die transformierten Navier-Stokes-Gleichungen

(7-12)

Diese nichtkonservative Form kann mit den Invarianten der Koordinatentransforma-tion wieder in eine konservative Form überführt werden

, (7-13)

mit und zum Beispiel . Darin ist J die Funk-tionaldeterminante der Transformation

. (7-14)

Diese Divergenzformulierung in krummlinigen Koordinaten ist geeigneter Ausgangs-punkt für die finite Differenzenformulierung der Erhaltungsgleichungen.

τ t ξ, ξ x y z t, , ,( ) η, η x y z t, , ,( ) ζ, ζ x y z t, , ,( )= = = =

U τ ξt U⋅ ξ ηt U⋅ η ζt U⋅ ζ+ + +

+ξx E ξ ηx E η ζx E ζ⋅+⋅+⋅

+ξy F ξ ηy F η ζy F ζ⋅+⋅+⋅

+ξz G ξ ηz G η ζz G ζ⋅+⋅+⋅ Q=

U ττ E ξ Fη G ζ+ + + Q=

U J U⋅= E J ξx E ξy F ξz G⋅+⋅+⋅( )⋅=

J det

1 xτ yτ zτ

0 xξ yξ zξ

0 xη yη zη

0 xζ yζ zζ

=


Vielfach ist jedoch zu beobachten, daß diese Form formal auf Strömungsprobleme mitzeitabhängigen Geometrien angesetzt wird, ohne zu berücksichtigen, daß zur Erhal-tung der konservativen Form die zeitabhängige Invariante der Koordinatentransforma-tion zu jedem Zeitpunkt erfüllt sein muß. Auf diese Problematik hat erstmals Thomasin /15/ hingewiesen. Er bezeichnete diese Invariante, die eine Transportgleichung fürdas Zellvolumen J darstellt, als Geometric Conservation Law

(7-15)

In Arbeiten von Tamura und Fujii /16/ wird die Notwendigkeit aufgezeigt, das Zellvolu-men als Erhaltungsgröße zu betrachten. In der numerischen Arbeit des Kapitels 2.1wird Gleichung (7-15) als zusätzliche Erhaltungsgleichung analog zu den physikali-schen Erhaltungsgleichungen gelöst.

7.2.3 Anfangs- und Randbedingungen

Das Gleichungssystem (Gleichung (7-8) bzw. Gleichung (7-13) einschließlich Glei-chung (7-15)) stellt ein Anfangswertporblem in der Zeit und ein Randwertproblem imOrtsraum dar. Daher werden zur Lösung sowohl Anfangs- als auch Randbedingungenbenötigt, die problemabhängig zu formulieren sind und deshalb hier nicht angegebenwerden sollen.

7.3 Diskrete Formulierung

Die numerische Lösung von partiellen Differential- oder Integralgleichungen erfordertfolgende Schritte:

- die Definition des Gitters

- die Approximation der Differentiale bzw. Integrale durch algebraische Ausdrücke

- ein Verfahren zur numerischen Lösung der algebraischen Gleichungssysteme

Die folgenden Abschnitte sollen zu diesen Themen einen kurzen Überblick bieten.

7.3.1 Gitter

Für alle numerischen Lösungsverfahren, die im physikalischen Raum operieren, mußdas Integrationsgebiet, über dem die Lösung definiert ist, diskretisiert werden. Für dieabhängigen Variablen bedeutet dies, daß diese nur auf den durch die Diskretisierungdefinierten Stützstellen bekannt sind, deren Verteilung im physikalischen Raum dasGitter bzw. das Kontrollvolumen für die Flußbilanzierung definiert. Dabei werden Ver-fahren danach unterschieden, wo die abhängigen Variablen relativ zur Bilanzzelle

Jt J ξ⋅ t( )ξ J η⋅ t( )η J ζ⋅ t( )ζ+ + + 0=

7.3 Diskrete Formulierung 687

gespeichert sind: „zellzentriert“ oder „eckenzentriert“. Inkompressible Lösungsverfah-ren /3/ verwenden oft eine Mischform, um die Entkopplung von Druck- und Geschwin-digkeitsfeld zu vermeiden („staggered grids“). Wegen der Robustheit des Verfahrensbauen viele kommerzielle Programmpakete auch zur Berechnung kompressibler Strö-mungen, wie KIVA II, FLUENT, auf solche Gitter auf. Die verschiedenen Formulierun-gen haben Einfluß auf den Abbruchfehler des numerischen Verfahrens (siehe auchKapitel 7.2.2). Bei Verwendung nichtorthoganaler, krummliniger Koordinaten undeiner formalen Genauigkeit der diskreten Formulierung von zweiter Ordnung auf otho-gonalen, äquidistanten Gittern ist lediglich eine Genauigkeit von erster Ordnungerreichbar, da die Koeffizienten des nächst höheren Terms der Taylorentwicklungnicht mehr exakt verschwinden /17/. Eine vergleichsweise genaue Approximationstellt zum Beispiel das Cell-Vertex-Schema nach Hall /18/ dar.

7.3.2 Finite-Volumen-Verfahren

Finite Differenzen zur Approximation der Differentiale bauen unmittelbar auf der Defi-nition der Ableitung auf. Die Ableitung einer Funktion u am Punkt x ist durch

(7-16)

definiert. Falls ∆x endlich bleibt, ist der Bruch auf der rechten Seite eine mit abneh-mendem ∆x besser werdende Approximation zum exakten Wert der Ableitung ux. DieDifferenz zwischen exakter Ableitung und ihrer Approximation wird Abbruchfehlergenannt, dessen Ordnung die Güte der Approximation bestimmt. Sie läßt sich durchEinsetzen der Taylorentwicklungen für u(x+∆x) in die Differenzenformel und Vergleichmit der linken Seite von Gleichung (7-16) ermitteln (Konsistenznachweis). Insbeson-dere müssen die verwendeten Gitter ein hohes Maß an Regularität aufweisen, umden Abbruchfehler klein zu halten. Eine solche Formulierung ist deshalb auf unstruk-turierten Netzen nicht anwendbar. Moderne Algorithmen gehen eher von einer finitenVolumenapproximation der Erhaltungsgleichungen (Gleichung (7-1)), die unmittelbardiskret formuliert wird, indem das Integral als diskretes Kontrollvolumen aufgefaßt unddie Bilanz für jede Gitterzelle des Integrationsgebietes formuliert wird. Eine solcheVorgehensweise läßt beliebigen Spielraum für die Anordnung der Kontrollzellen imIntegrationsgebiet. Das Ergebnis einer finiten Volumenapproximation der Erhaltungs-gleichungen stimmt mit der Differenzenapproximation überein, wenn die Differenzen-approximation auf die differentielle Formulierung des Erhaltungssatzes inkonservativen Variablen angewandt wird.

ux∂u∂x------ u x ∆x+( )⋅

∆x-----------------------------

∆x 0→lim= =


Die Finite-Volumen-Methode ist Grundlage der diskreten Formulierung aller hier ver-wendeten Näherungslösungen der Differentialgleichungen. Eine ausführliche Darstel-lung zu diesem Gebiet findet sich in /6/.

7.3.3 Zeitliche Integration und Operator-Splitting

Mit den in den beiden vorgehenden Abschnitten skizzierten Vorgehensweisen sinddie beiden Terme auf der rechten Seite von Gleichung (7-1) diskret formuliert. DieBerechnung der zeitlichen Evolution der Erhaltungsgrößen führt auf eigene Techni-ken. Ausgangspunkt ist zunächst eine Splitting-Technik, die näher erläutert werdensoll.

Die Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik bilanzieren verschiedene physi-kalische Vorgänge wie Konvektion, Diffusion, Quellen mit völlig unterschiedlichemmathematischen Charakter. So stellen die reibungsfreien instationären und kompres-siblen Eulergleichungen ein System nichtlinearer, gekoppelter Differentialgleichungenvom hyperbolischen Typ dar, wogegen z.B. die Diffusionsterme der Navier StokesGleichungen elliptischen Charakter haben. Eine fortgeschrittene numerische Metho-dik berücksichtigt den unterschiedlichen Charakter dieser Operatoren durch jeweilsoptimal angepaßte Algorithmen.

Die unterschiedlichen Integrationsmethoden zwingen daher die zeitliche Entwicklungdes Strömungsfeldes als überlagerten Effekt der Einzelprozesse (Operatoren) darzu-stellen. Diese Zerlegung wird als Operator-Splitting bezeichnet.

Dies sei anhand der reaktiven Eulergleichungen in zwei Dimensionen

(7-17)

erläutert. Es wird eine Aufspaltung in die richtungsabhängigen räumlichen OperatorenLx und Ly und den Operator des Quellterms Lq vorgenommen

, (7-18)

die den unterschiedlichen Eigenschaften des Quellterms und der hyperbolischenOperatoren Rechnung trägt und zusätzlich berücksichtigt, daß bisher keine zufrieden-

U t E x Fy+ + Q=

Lx: U t E x+ 0=

Ly: U t Fy+ 0=

Lq: U t Q=


stellende Lösungsmethode für mehrdimensionale hyperbolische Differentialgleichun-gen entwickelt werden konnte.

Die Lösung der Eulergleichungen in x-Richtung zum Beispiel wird dann zum Zeitpunktt+∆t mit der diskreten Approximation des Operators Lx aus

(7-19)

berechnet. Mehrere Operatoren erfordern deren Hintereinanderschalten

. (7-20)

und ein Zwischenspeichern der Teilergebnisse sowie nachträgliches Summie-ren. Der zusätzliche Speicherbedarf kann vermieden werden, wenn die Operatorenals Sequenz angewandt werden

, (7-21)

wobei jedoch offensichtlich das Endergebnis von der Reihenfolge der Anwendung derOperatoren abhängig ist. Die numerische Approximation ist in diesem Fall nur vonerster Ordnung, unabhängig ob die Einzeloperatoren mit höherer Genauigkeit arbei-ten.

Eine Splitting-Methode, die ohne zusätzlichen Speicherplatzbedarf die Genauigkeitzweiter Ordnung eines numerischen Integrationsverfahrens erhält, falls die Einzelope-ratoren mindestens mit zweiter Ordnung Genauigkeit formuliert werden, ist das Split-ting nach Strang /19/. Es ermöglicht die Lösung des komplexen Gesamtproblemsdurch geeignete, geschachtelte Abarbeitung der Teilprobleme in der Sequenz

(7-22)

Sowohl die kommerziellen Codes, die im Rahmen von Teilprojekten verwendet wer-den, als auch die Eigenentwicklungen an den verschiedenen Instituten bedienen sicheiner der obigen Formen des Operator-Splittings.

Lx ∆t( )

U t ∆t+( ) Lx ∆t( ) U t( )⋅=

U t ∆t+( ) Ly ∆t( ) U t( ) Lx ∆t( ) U t( )⋅ Lq ∆t( ) U t( )⋅+ +⋅=

L ∆t( )

U t ∆t+( ) Ly ∆t( ) Lx ∆t( ) Lq ∆t( ) U t( )⋅ ⋅⋅( ) U t( )⋅=

U t ∆t+( ) Lx∆t2-----

Ly∆t2-----

Lq ∆t( ) Ly∆t2-----

Lx∆t2-----

⋅ ⋅ ⋅⋅ U t( )⋅=


7.3.4 Stoßauflösende Verfahren

Diskretisierung

Bei der Konstruktion von numerischen Verfahren für die Eulergleichungen mußbeachtet werden, daß wegen der Nichtlinearität der Konvektionsterme diskontinuierli-che Lösungen möglich sind. Soll mit Hilfe eines numerischen Verfahrens die Bewe-gung der Diskontinuitäten richtig wiedergegeben werden, ohne diese Bewegunggesondert im Algorithmus zu betrachten (Shock-Capturing-Verfahren), so müssenzumindest die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Diskontinuität korrekt wiedergege-ben, und unphysikalische Oszillationen in der Nähe der Diskontinuität vermieden wer-den.

Das Näherungsverfahren

(7-23)

für Gleichung (7-18) bzw. Gleichung (7-19) heißt explizites Verfahren in Erhaltungs-form und kommt einer diskreten Integralform der Eulergleichungen, wie sie in Abbil-dung 7.1 dargestellt ist, gleich.

Abbildung 7.1 Diskretisierung der 1-D Eulergleichungen in Raum und Zeit

Hier sind

(7-24)

numerische Approximationen der Mittelwerte der Erhaltungsgrößen und derFlüsse in x-Richtung auf den Rändern des raumzeitlichen Gebietes

U in 1+

U in ∆t

∆x------- F i 1 2⁄+

n 1 2⁄+F i 1 2⁄–

n 1 2⁄+–⋅–=

U in 1

∆x------- U tn x,( )dx und F i 1 2⁄+

n 1 2⁄+

xi 1 2⁄–

xi 1 2⁄+

∫1

∆x------- E t xi 1 2⁄+,( )

tn

tn 1+

∫⋅= = dt

UE


[t n, t n+1] x [xi-1/2, xi+1/2] mit dem Zeitschritt ∆t und der Zellgröße der Raumdis-kretisierung ∆x = xi+1/2 - xi-1/2. Zu jedem Zeitpunkt tn+1 wird der im Zellzentrum xi defi-nierte neue Zellmittelwert aus der Kenntnis des alten Wertes und den beitn+1/2 zeitlich gemittelten Flüssen berechnet, die in führender Ordnung nur dieNäherungswerte von zwei Nachbarwerten berücksichtigen.Eine grundlegende Voraussetzung für Konvergenz des Näherungsverfahrens ist dieKonsistenz des numerischen Flusses, die besagt, daß der numerische Fluß in den physikalischen Fluß übergeht.

Aus der durch Gleichung (7-23) gegebenen konservativen Diskretisierung der Erhal-tungsgleichungen und der zusätzlichen Einhaltung der Konsistenzbedingung folgtnach /20/, daß die Rankine-Hugoniot-Bedingungen für die Näherungslösung erfülltsind und die Diskontinuität sich mit der exakten Ausbreitungsgeschwindigkeit bewegt.

Um ferner nur die physikalisch relevanten Lösungen zu approximieren, muß nebender Erhaltungsform noch eine diskrete Entropiebedingung erfüllt sein.

Die Vermeidung von Oszillationen in der Nähe großer Gradienten der Zustandsvaria-blen erfordert hingegen eine geeignete Auswertung der Flußmittelwerte. Klassischezentrale Differenzenverfahren für wie z.B. das Zwei-Schritt-Lax-Wendroff-Verfahren /20/ weisen Oszillationen an Diskontinuitäten auf, die durchproblemabhängig anzupassende künstliche Dämpfungsterme beseitigt werden müs-sen /1/.

Bei modernen Shock-Capturing-Verfahren (Godunov-Typ-Verfahren) resultieren die

Dämpfungseigenschaften aus den Welleneigenschaften der hyperbolischenGleichungssysteme (siehe /21/, /22/, /23/). Die grundlegende Idee der Godunov-Typ-Verfahren geht auf Godunov /24/ zurück. Er benutzte das Riemann-Problem, desseninhärent nichtlineare Lösungsstruktur aus Verdichtungsstößen, Expansionsfächernund Kontaktunstetigkeiten aufgebaut ist, als einen Baustein für sein numerisches Ver-fahren. Danach wird der numerische Flußmittelwert aus der Lösung des Rie-mann-Problems der Gasdynamik in Abbildung 7-3 (links) mit konstantenNachbarzuständen an der Zellgrenze xi+1/2

(7-25)

bestimmt zu

. (7-26)

Uin 1+

Uin

Fi 1 2⁄+n 1 2⁄+

Fi 1 2⁄+n

F Uin

Ui 1+n

,( )=

F U U,( )f U( )

Fi 1 2⁄+n

F Uin

Ui 1+n

,( )=

Fi 1 2⁄+n 1 2⁄+

Ut Ex+ 0 , U x 0,( )

Uin

x xi 1 2⁄+<( )

Ui 1+n

x x i 1 2⁄+>( ){= =

Fi 1 2⁄+n 1 2⁄+

E u xi 1 2⁄+ ∆t( ) 2⁄,( )⋅( )=


Abbildung 7-2 Zentrale und upwind Diskretisierung

Der numerische Fluß erfährt sämtliche sprunghafte Änderungen aufgrund der Wellen-ausbreitung und bezieht Informationen aus der charakteristischen Richtung (upwind-biased Verfahren).

Die typische numerische Darstellung einer Diskontinuität ist dann ein monotones Pro-fil, wie es in Abbildung 7-2 (rechts) anhand der numerischen Lösung einer Stoßwelledargestellt ist. Es entstehen keine neuen, unphysikalischen Extremwerte, jedoch führtdie Monotonisierung des Zustandsverlaufs aufgrund der eingebrachten numerischenDiffusion zu einer Verschmierung des ursprünglich scharfen Profils über zwei bis vierGitterpunkte.

Einer linearen Stabilitätsanalyse folgend, unterliegen die so konstruierten explizitenVerfahren einer Zeitschrittbeschränkung, der CFL-Bedingung

. (7-27)

Sie besagt, daß die Welle mit der betragsgrößten Ausbreitungsgeschwindigkeit λmax

in einem Zeitschritt ∆t nicht so weit propagieren darf, daß die Flußberechnungen ausbenachbarten Riemann-Problemen jeweils voneinander abhängig sind; daher kannmaximal c = 1 erlaubt werden.

∆t ∆xλ max---------------≤


Numerische Flüsse

Die Nachteile des Verfahrens von Godunov sind die Genauigkeit von nur erster Ord-nung und die Schwierigkeit, das nichtlineare Riemann-Problem exakt zu lösen. Dieexakte Lösung des Riemann-Problems erfordert eine iterative Prozedur, welche zueinem relativ aufwendigen und komplizierten numerischen Verfahren führt.

Godunov-Typ-Verfahren, wie z.B. von Roe /25/, von Harten, Lax und van Leer /21/oder von Harten, Lax und van Leer mit der Modifikation nach Einfeldt /22/, verwendenanstelle der exakten Lösung des Riemann-Problems nur eine approximative nicht-ite-rative Lösung (Riemann-Löser). Effiziente Riemann-Löser sind z.B. in /22/ und /25/beschrieben.

Das in dieser Arbeit benutzte Verfahren beruht auf dem approximativen Riemann-Löser von Roe /25/. Es gehört zu der Gruppe der Flux-difference-splitting-Verfahrenund zerlegt die Flußdifferenz zwischen den Anfangszuständen des Riemann-Pro-blems in einzelne Wellen (Abbildung 7-3).

Abbildung 7-3 Flußberechnung beim Verfahren von Godunov und von Roe

Approximativer Riemann-Löser nach Roe

Bei diesem Verfahren wird das linearisierte Problem

(7-28)

exakt nach der Charakteristikenmethode gelöst. Die Gleichungen der Charakteristi-kentheorie gelten mit der Matrix A, die konsistent ist mit der Jakobischen Matrix, aus-gewertet in einem speziell gemittelten Zustand , der von den Nachbarzuständen

abhängt

. (7-29)

Ut A+ Ui 1 2⁄+R

( ) Ux⋅ 0=

Ui 1+R

Ui Ui 1 2⁄+,

Ui 1 2⁄+R

Ui 1 2⁄+R

Ui Ui 1+,( )=


Der gemittelte Zustand ist derart gewählt, daß die Rankine-Hugoniot-Bedin-gungen zwischen den Nachbarzuständen

(7-30)

erfüllt sind und somit eine eindeutige Lösung über Diskontinuitäten gewährleistet ist.Das nichtlineare Riemann-Problem wird für einzelne stationäre Diskontinuitäten(Stoßwelle oder Kontaktunstetigkeit) somit exakt gelöst. Durch die Erfüllung der Kon-sistenz der Matrix A folgen die reellen Eigenvektoren und die Wellengeschwindigkei-ten. Aufgrund der obigen Eigenschaften gelten die allgemeinen Beziehungen:

, (7-31)

, (7-32)

wobei die Amplitude, die Wellengeschwindigkeit und der Rechtseigenvek-tor der p-ten Welle, ausgewertet im mittleren Zustand , sind. Die Flußdifferenz

wird in die Flußdifferenzen über den einzelnen Wellen (Abbildung 7-3rechts) aufgespaltet. Für den Flußvektor auf der Zellgrenze ergeben sich nach demVorzeichen der Wellengeschwindigkeit die äquivalenten Beziehungen

, (7-33)

. (7-34)

Roe benutzt den Mittelwert und formuliert den numerischen Fluß erster Ordnung zu

. (7-35)

Zur Einhaltung der diskreten Entopiebedingung muß die Ausbreitungsgeschwindigkeitλ an sonischen Punkten in den Expansionsfächern derart modifiziert wer-den, daß |λ| > 0 ist. Die detaillierte Beschreibung dieses sogenannten Entropie-Fixesfindet man z.B. in /26/.

Ui 1 2⁄+R

A U i 1 2⁄+R

( ) Ui 1+ Ui–( )⋅ Fi 1+ Fi–=

Ui 1+ Ui– αpR Rp

R⋅( )i 1 2⁄+

p∑=

Fi 1+ Fi– λpR α⋅ p

RRp

R⋅( )i 1 2⁄+

p∑=

αpR λp

R RpR

Ui 1 2⁄+R

Fi 1+ Fi– ∆Fp

Fi 1 2⁄+ Ui Ui 1+,( ) Fi λpR α⋅ p

RRp

R⋅( )i 1 2⁄+

λpR

0<

∑+=

Fi 1 2⁄+ Ui Ui 1+,( ) Fi 1+ λpR α⋅ p

RRp

R⋅( )i 1 2⁄+

λpR

0>

∑–=

Fi 1 2⁄+Roe

Fi 1 2⁄+ Ui Ui 1+,( ) 12--- Fi F+ i 1+ λp

R α⋅ pR

RpR

⋅( )i 1 2⁄+p∑–⋅==

u c± 0=


Der Vektor der Wellenamplituden ergibt sich aus

. (7-36)

Die Rechtseigenvektoren und die Eigenwerte müssen in einem gemittelten Zustand, dem Roe-Mittel, das speziellen mathematischen Bedingungen genügen muß

/25/, ausgewertet werden.

Fluß-und Steigungslimitierung

Das bisher beschriebene Verfahren nach Roe hat eine Genauigkeit von erster Ord-nung. Dagegen besitzt das Lax-Wendroff-Verfahren einen Fluß zweiter Genauigkeits-ordnung

. (7-37)

Berechnungen mit diesem Verfahren weisen jedoch in der Nähe von Stößen unphysi-kalische Oszillationen auf. Um die Vorzüge des Lax-Wendroff-Verfahrens und dieoszillationsfreie Erfassung von Diskontinuitäten durch die Flußformulierung ersterOrdnung zu nutzen, wählt man eine Kombination aus beiden, die in glatten Gebietenin den Lax-Wendroff-Fluß und an Diskontinuitäten in den Roe-Fluß übergeht. In einer Fluß-Limiter-Methode schreibt man den Fluß als Fluß erster Ord-nung mit einem limitierten Korrekturterm

, (7-38)

wobei

(7-39)

eine Limitierungsfunktion ist. In glatten Gebieten sollte sie nahe 1 sein und an Diskon-tinuitäten nahe dem Wert 0. In der Anwendung werden oft auch größere Werteberei-che von Φ zugelassen. Eine Klasse von Fluß-Limiter-Methoden für skalareErhaltungssätze wurde von Sweby /27/ untersucht. Algebraische Kriterien für die Limi-tierungsfunktion werden derart angegeben, daß die zweite Genauigkeitsordnung unddie TVD-Eigenschaft erfüllt sind. Das Konzept der Total-Variation-Diminishing Verfah-ren (TVD) wurde von Harten /28/ eingeführt und besagt für skalare Erhaltungssätze,daß bei einem Zeitschritt die Totalvariation nicht zunimmt.

αi 1 2⁄+

αi 1 2⁄+ Ri 1 2⁄+1–

Ui 1+ Ui–⋅=

Ui 1 2⁄+R

Fi 1 2⁄+ Ui Ui 1+,( ) 12--- Fi F+ i 1+

∆t∆x------- λp

R2

α⋅p

RRp

R⋅

i 1 2⁄+p

∑⋅–⋅=

Fi 1 2⁄+LW

Fi 1 2⁄+Roe

Fi 1 2⁄+ Fi 1 2⁄+Roe

ΦFi 1 2⁄+

LWFi 1 2⁄+

Roe–

⋅+=

Φ Φ Ui 1– Ui U, , i 1+ Ui 2+,( )=

tn tn 1+→ ui 1+ ui–i∑


Die Übertragung auf Systeme geschieht durch die Betrachtung der charakteristischenAmplituden der einzelnen Wellen. Umgeschrieben lautet der Fluß

(7-40)

und mit der limitierten Steigung der charakteristischen Wellenamplitude

(7-41)

Die Limitierung läßt sich im Vergleich zum Roe-Fluß in einer Korrektur der Wellenam-plitude mit schreiben

. (7-42)

Der Wert der limitierten Steigung σp ist im Zellzentrum definiert und ihr Wert an derZellgrenze hängt von der Ausbreitungsgeschindigkeit der betrachteten Welle ab:

(7-43)

Der Vektor der Steigungen im Zellzentrum ist eine Funktion ihrer benachbarten Stei-gungen an den Zellgrenzen. Die Limitierung kann in den einzelnen Charakteristiken-feldern individuell gestaltet werden.

Für weitere Einzelheiten kann die bereits zitierte einschlägige Literatur herangezogenwerden.

Fi 1 2⁄+ Fi 1 2⁄+Roe 1

2--- λp ∆x λp ∆t⋅– Φp

αp

∆x-------⋅

⋅ ⋅ Rp⋅i 1 2⁄+p

∑⋅+=

σp Φp αp ∆x⁄⋅=

Fi 1 2⁄+ Fi 1 2⁄+Roe 1

2--- λp ∆x λp ∆t⋅– σp Rp⋅ ⋅ ⋅

i 1 2⁄+p∑⋅+=

αp αp'– αp' ∆x λp ∆t⋅– σp⋅=

Fi 1 2⁄+12--- Fi Fi 1++

12--- λp αp αp'–⋅ Rp⋅

i 1 2⁄+p∑⋅–⋅=

σp( )i 1 2⁄+

σp( )i für λp( )i 1 2⁄+ 0

σp( )i 1+ für λp( )i 1 2⁄+ 0<

>{=

7.4 Zwei neue Algorithmen zur Simulation der Ausbreitung von Vormischflammen 697

7.4 Zwei neue Algorithmen zur Simulation der Ausbreitung von Vormischflammen

Den im folgenden beschriebenen numerischen Algorithmen wird eine Modellierungder Flammenausbreitung zugrundegelegt, die bewußt auf eine detaillierte Auflösungder Flammenzone verzichtet.

Eine nähere Betrachtung der reaktiven Eulergleichungen zeigt, daß Anfangs- undRandbedingungen zusammen mit den Rankine-Hugoniot Sprungbedingungen an derFlammendiskontinuität für die korrekte Berechnung der Flammenausbreitung nichtausreichen /29/, da die Laxsche Entropiebedingung verletzt ist. Es fehlt die Festle-gung der Brenngeschwindigkeit als Funktion des Gaszustandes im Verbrannten. Inden nachfolgend beschriebenen numerischen Verfahren wird die Flammenausbrei-tungsgeschwindigkeit deshalb als zusätzlicher Eingabeparameter vorgeschrieben.Die Festlegung der Flammenausbreitungsgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom loka-len Strömungszustand und Reaktionsumsatz stellt eine wesentliche Aufgabe derModellbildung dar und ist in Kapitel 3.3 bereits eingehend dargestellt worden.

Die größten numerischen Schwierigkeiten bei der Lösung der Eulergleichungen resul-tieren aus der Nichtlinearität der konvektiven Terme. Moderne numerische Algorith-men, wie das im vorigen Abschnitt beschriebene, bauen zur Lösung derEulergleichungen auf sogenannten Capturing-Verfahren auf. Durch ihre Konstruktion,sie gehen stets von der konservativen Form der Eulergleichungen aus und garantie-ren dadurch die Erhaltungseigenschaften der Differentialgleichungen auch in der dis-kreten Formulierung, werden die Lage und die Ausbreitungsgeschwindigkeit vonKontaktdiskontinuitäten und Stößen richtig wiedergegeben, ohne daß an den Frontenzusätzliche algorithmische Schritte notwendig werden. Die Diskontinuitäten werdenlediglich über einige Gitterpunkte verschmiert wiedergegeben, wobei die Verschmie-rung vom speziellen numerischen Verfahren abhängt. Für die Berechnung von Flam-mendiskontinuitäten kann aber diese Verschmierung der Front nicht hingenommenwerden, da eine korrekte Auswertung des Brenngesetzes, das die Kenntnis vonunverbrannten oder verbranntem Gaszustand unmittelbar an der Flammenfront vor-aussetzt, nicht vorgenommen werden kann. Die naive Anwendung von Capturing-Verfahren würde die Flammenausbreitung an die spezifischen Eigenschaften desnumerischen Verfahrens bei der Darstellung der Flammenfront unzulässig koppeln.

Prinzipiell besser geeignet zur Berechnung der Ausbreitung der Flammenfront sinddemgegenüber sogenannte Tracking-Verfahren, die durch spezielle Rechenschritteeine scharfe Wiedergabe von Diskontinuitäten erlauben. Eine ganze Reihe von Ver-fahren sind gebräuchlich und in der wissenschaftlichen Literatur dargestellt. Wesentli-cher Nachteil dieser Verfahren ist die programmtechnische Komplexität des


Frontverfolgungsalgorithmusses, insbesondere, wenn zwei- oder sogar dreidimensio-nale Problemstellungen gelöst werden sollen. So arbeiten Tracking-Verfahren mei-stens auf numerischen Gittern, die sich der verfolgenden Diskontinuität ganz oderzumindest teilweise anpassen. Dabei wird das angepaßte Gitter bei starker Verfor-mung der Diskontinuität ebenfalls stark verformt. Das verwendete numerische Verfah-ren büßt dadurch an Genauigkeit ein. Um diesen Nachteil in Grenzen zu halten undSingularitäten im Gitter zu vermeiden, werden die Gitter häufig nach jedem Zeitschrittumverteilt, wodurch neben dem algorithmischen Aufwand auch Interpolationsfehler inKauf genommen werden müssen.

Diese Schwierigkeiten und Nachteile von Tracking-Verfahren können vermieden wer-den, wenn nur die nichtverzichtbaren Elemente eines solchen Verfahrens in einenüblichen Algorithmus auf Basis eines Capturing-Verfahrens auf festen Gittern über-nommen werden. Unter diese Methoden, die die Fronten innerhalb einer festen Gitter-zelle approximieren, fallen die Volume-of-Fluid-Methode, die Benutzung von Marker-Partikeln entlang der Front und die Benutzung von Level-Sets zur Darstellung derFront. Eine Übersicht dazu findet sich bei Hyman /30/.

Im Rahmen des SFB 224 sind zwei Lösungsansätze erarbeitet worden, die dieBerechnung der Flammenausbreitung in mehreren Dimensionen zum Ziel haben. Dererstere gehört zu der Klasse der Volume-of-Fluids-Methoden, der zweite zu den aufLevel-Sets aufbauenden Verfahren.

In beiden Lösungsansätze müssen folgende grundlegende algorithmische Aufgabenbewältigt werden:

- Rekonstruktion der Front

- Konvektiver Transport der Front

- Berechnung der lokalen Frontkrümmung,

wobei sich die Lösungsansätze im Detail unterscheiden. Eine zusammenfassendeDarstellung wird in den folgenden Abschnitten gegeben.

Als Voraussetzung zur Lösung der zuerst genannten Teilaufgabe werden in beidenLösungsansätzen zur geeigneten Darstellung der Front eine Gewichtsfunktion einge-führt, indem für jede Zelle i,j des Rechengitters ein Volumenanteil fij definiert wird, derangibt, welcher Anteil des Zellvolumens hinter der Front liegt. Die Volumenverteilungist die Gesamtheit der Volumenanteile in den einzelnen Zellen und liefert die Informa-tionen für eine vollständige Beschreibung der Flammenkontur mit einer Genauigkeit,die größer als die Gitterauflösung ist. Die Verfahren unterscheiden sich in der Art wiediese Volumenverteilung zu jedem Zeitschritt des Rechenverfahrens erzeugt wird undwie diese Information zur Rekonstruktion der Front umgesetzt wird.


7.4.1 Numerisches Verfahren zur Berechnung der Flammenausbreitung mit der Volume-Of-Fluid-Methode

Zur Simulation des gesamten, mehrdimensionalen Verbrennungsvorgangs im Ver-brennungsraum wird bei diesem Front Tracking Verfahren an Arbeiten angeknüpft,wie sie in /31/, /32/ dargestellt wurden. In diesen Arbeiten wird eine unendlich dünnelaminare Flammenfläche verfolgt und ihre Faltung durch die Turbulenz mit dem Ran-dom-Vortex-Verfahren /33/, /34/, /35/ also einer Überlagerung der Grundströmung mitzufallsverteilten Wirbeln, realisiert. In der vorliegenden Arbeit wird dagegen das Fort-schreiten der turbulenten Flamme als Zone mit gleichmäßig verteiltem Reaktionsum-satz betrachtet, ohne ihre Struktur im Detail aufzulösen. Bei diesem Vorgehen wirdberücksichtigt, daß die turbulente Flammengeschwindigkeit eine Funktion der Turbu-lenzintensität und der Zeit ist. Für die zeitliche Entwicklung der turbulenten Flammen-geschwindigkeit wurde die Abhängigkeit zugrundegelegt, wie sie in Gleichung 3.3-39wiedergegeben ist. Von einer Beschreibung der Struktur der Reaktionszone wurdewegen des zu erwartenden hohen Rechenaufwandes zunächst abgesehen und daseinfachere Entrainment-Modell benutzt /36/, /37/.

Rekonstruktion der Front durch Volume Of Fluid

Von Hirt und Nichols /38/ wurde ein Algorithmus zur Rekonstruktion einer Front unterdem Namen Volume Of Fluid (VOF) vorgestellt. Dieses Verfahren wurde für Problem-stellungen aus der Fluidmechanik entwickelt und basiert auf der Annahme von zweiFluiden, die durch eine Front voneinander getrennt sind. Die Anteile der beiden Fluidein einer Zelle werden, wie beschrieben, durch den Volumenanteil fij repräsentiert.

Durch jede Zelle mit einem Volumenanteil zwischen 0 und 1 wird eine Gerade kon-struiert, die die Zelle im Verhältnis der Volumenanteile der Fluide b und u teilt. DieSteigung dieser Geraden ergibt sich aus einer Betrachtung der acht Nachbarzellen.Anhand dieser Nachbarzellen wird auch entschieden, auf welcher Seite der GeradenFluid u bzw. Fluid b liegt.

Konvektion der Volumenverteilung

Der Algorithmus basiert auf dem von Poo und Ashgriz /39/ vorgeschlagenen Konvek-tionsalgorithmus und der von Hirt und Nichols /38/ vorgestellten Donor-Acceptor-Methode. Die Verfahren werden zur Verwendung mit einer VOF-Rekonstruktion modi-fiziert. Das Strömungsfeld wird als bekannt vorausgesetzt - repräsentiert durch dieGeschwindigkeitskomponenten -, wie in Abbildung 7-4 links für eine Zelle dargestellt.

Bei dem Algorithmus werden jeweils zwei benachbarte Zellen betrachtet und der Flußüber die gemeinsame Grenze bestimmt. Die stromauf gelegene Zelle ist die Donor-Zelle und die stromab gelegene Zelle ist die Acceptor-Zelle. Im Gegensatz zu der


Flußberechnung in /40/ wird der Fluß hier nur durch die Donor-Zelle bestimmt. Für dieBerechnung des Flusses aus der Donor-Zelle wurde die beschriebene VOF-Rekon-struktion zugrunde gelegt. Über eine rein geometrische Betrachtung der Fläche desVerbrannten in der Donor-Zelle und der relevanten Strömungskomponente läßt sichermitteln, welcher Flächenanteil des Verbrannten aus dieser Zelle pro Zeitschritt her-ausgetragen wird. Abbildung 7-4 rechts soll das Vorgehen verdeutlichen. Darinbeschreibt die geschwärzte Fläche den Fluß des Volumenanteils, der während desZeitschritts ∆t zwischen beiden Zellen ausgetauscht wird.

Abbildung 7-4 Positionen der Geschwindigkeitsvektoren (links), Prinzip des Konvektionsalgorithmus (rechts)

Für die Konvektionsberechnung der gesamten Volumenverteilung wird eine Aufspal-tung in die beiden Achsenrichtungen vorgenommen und die Konvektion in diese bei-den Richtungen nacheinander durchgeführt. Für eine Richtung werden dannnacheinander alle möglichen Paare v von benachbarten Zellen betrachtet und diejeweiligen Flüsse ausgewertet. Die berechneten Flüsse werden jeweils vom Volumen-anteil der Donor-Zelle subtrahiert und zum Volumenanteil der Acceptor-Zelle hinzuad-diert. Nachdem diese Prozedur für eine Richtung komplett durchgeführt worden ist,wird die Front neu rekonstruiert und der Vorgang für die andere Richtung wiederholt.

Der Algorithmus weist erhebliche Verbesserungen gegenüber herkömmlichen Algo-rithmen auf, wie Abbildung 7-5 zeigt. Als Testfall wurde eine kreisrunde Front einerStrömung unterworfen, die eine Festkörperrotation beschreibt. Während die Konvek-tion mit Hilfe des beschriebenen Algorithmus kaum zu Deformationen führt (rechts),wird der Kreis bei Verwendung einer Vergleichsmethode, basierend auf einer SLIC-Rekonstruktion /40/, erheblich entstellt (links).


herkömmlicher Algorithmus verbesserter Algorithmus

Abbildung 7-5 Testrechnungen für Konvektionsalgorithmen

Zusätzlich zu dem soeben diskutierten rein passiven Transport durch das Strömungs-feld, breitet sich eine Verbrennungsfront aktiv relativ zum Hintergrundgas aus. Dabeiverschiebt sich die Front im Zeitintervall dt mit einer vorgegebenen aktuellen Flam-mengeschwindigkeit sb um den Betrag sb dt normal zu sich selbst.

Die Normalenrichtung wird durch die VOF-Rekonstruktion für jede Frontzelle direktgeliefert. Die durch die Frontverschiebung aufgespannte Fläche - in Abbildung 7-6schraffiert dargestellt - wird auf die überstrichenen Zellen entsprechend des darinbefindlichen Anteils aufgeteilt und führt auf eine neue Volumenverteilung. Gleichzeitigkommt dieser Fläche bei der Bestimmung der Quellenverteilung in der Strömungsbe-rechnung Bedeutung zu.

Abbildung 7-6 Prinzip des Ausbreitungsalgorithmus

Auch für die Ausbreitungsalgorithmen wurden Testrechnungen durchgeführt. In Abbil-dung 7-7 wird eine kreisrunde Flamme betrachtet, die sich nach außen ausbreitet unddabei keiner zusätzlichen Konvektion unterworfen ist. Die rechte Seite zeigt Ergeb-nisse nach dem neuen Algorithmus, die Resultate auf der linken Seite basieren aufdem SLIC-Algorithmus nach /33/, /41/.


herkömmlicher Algorithmus verbesserter Algorithmus

Abbildung 7-7 Testrechnung für Ausbreitungsalgorithmen

Die Testrechnungen zeigen, daß der herkömmliche Algorithmus die senkrechten bzw.waagerechten Richtungen bevorzugt, während die oben beschriebene Methode keinesolche Tendenz aufweist. Darüberhinaus sind die Ergebnisse des herkömmlichenAlgorithmus von der Zeitschrittweite abhängig.

Entrainment-Modell

Da nicht mehr eine unendlich dünne laminare Flammenfläche, sondern eine Verbren-nungszone mit endlicher Dicke betrachtet wird, muß jetzt auch die Zeit berücksichtigtwerden, die für die Umsetzung des eintretenden Gases benötigt wird. Dazu wird einEntrainment-Modell herangezogen /36/, /37/, /42/. Bei diesem Modell tritt das Frisch-gas in die Flammenzone in Form von Volumenelementen einer charakteristischenGröße l ein. Diese Volumenelemente verbrennen an ihrer Oberfläche, wobei einelaminare Flamme mit der laminaren Flammengeschwindigkeit sl nach innen fort-schreitet. Während dieses Verbrennungsvorganges wird das Volumenelement mit derStrömung in der Brennkammer mitgeschleppt. Zum Zeitpunkt seines vollständigenAusbrands markiert jedes Element durch seine momentane Position einen Punkt derFlammenzonen-Rückfront.

Für die numerische Simulation ist es notwendig, das in einem bestimmten Zeitschrittverbrennende Volumen zu kennen. Wie aus Abbildung 7-8 ersichtlich ist, nimmt derRadius des unverbrannten Kerns eines Volumenelementes mit der Zeit ab:

(7-44)r t( ) l sl t⋅–=


Hier bezeichnet die seit dem Eintritt in die Flammenzone verstrichene Zeit. Um dasaktuelle Volumen des Elementes zu bestimmen, muß eine Annahme über seinegeometrische Form getroffen werden.

Abbildung 7-8 Schematische Darstellung eines Volumenelementes aus dem Entrainment-Modell

Ashurst /43/ zeigt, daß unter gewissen Voraussetzungen zylindrische Strukturen inisotroper, homogener Turbulenz besonders stabil sind, weshalb für die Simulationenvon einer Volumenabnahme des Unverbrannten entsprechend einer Zylindergeome-trie ausgegangen wird. Damit kann für jedes Volumenelement das aktuell verbren-nende Volumen bestimmt werden. Das insgesamt in einem Zeitschritt verbrennendeVolumen ergibt sich dann als Summe über alle aktiven Volumenelemente. Die Ände-rung des unverbrannten Volumens eines Volumenelementes i in einem Zeitschritt istein direktes Maß für den lokalen Reaktionsumsatz an der Position des Volumenele-mentes. Die Gesamtheit der Volumenelemente legt damit die räumliche Verteilungdes Umsatzes fest.

Modellierung des Strömungsfeldes

Für die Anwendung der Konvektionsalgorithmen ist die Kenntnis des Strömungsfel-des erforderlich. Bei seiner Bestimmung wird vorausgesetzt, daß die thermodynami-schen Größen bereits bekannt sind. Das Strömungsfeld wird wesentlich bestimmtdurch die Expansion des Abgases.

Einem allgemein üblichen Ansatz bei Front-Tracking-Anwendungen folgend /32/, /44/,/45/, /46/, /47/, /48/ wird die Strömung hier durch eine Potentialgleichung beschrieben.Das bedeutet, daß Reibungs- und Wärmeleitungseffekte vernachläßigt werden unddie Strömung als drehungsfrei angesehen wird. Insbesondere die zuletzt genannteEinschränkung kann bei Verwendung der Eulergleichungen aufgehoben werden - an

tVe t( )


ihrer Implementierung in das Front-Tracking-Verfahren wird zur Zeit gearbeitet, umWirbelströmungen in der Brennkammer zu simulieren. Die hier vorgestellten Rech-nungen sollen jedoch auf Potentialströmungen beschränkt bleiben. Das folgende Ver-fahren lehnt sich eng an das von Barr /31/, /32/, /41/ vorgeschlagene an. DieStrömung wird durch die Poissongleichung in der Form

(7-45)

beschrieben. In dieser Gleichung bezeichnen Φ das Geschwindigkeitspotential und sij

einen örtlich veränderlichen Quellterm, dessen Bestimmung im folgenden erläutertwird. Durch geeignete Wahl dieses Quellterms läßt sich die zunächst für inkompressi-ble Strömungen formulierte Gleichung auch auf kompressible anwenden. Ist dasPotential als Lösung der Poissongleichung bekannt, so läßt sich das Geschwindig-keitsfeld durch Differenzieren gewinnen. Die Quellstärke in einer Zelle setzt sich ausdrei Anteilen zusammen:

- das Material, das im aktuellen Zeitschritt verbrennt, expandiert und wirkt alsQuelle

- das Material, das im aktuellen Zeitschritt unverbrannt bleibt, wird komprimiertund muß als Senke modelliert werden

- das Material, das vor dem aktuellen Zeitschritt schon verbrannt war, wird kompri-miert und liefert ebenfalls einen Anteil als Senke.

Diese drei Punkte finden sich als Terme der folgenden Formulierung für die Quell-stärke unter Verwendung der Volumenanteile wieder:

(7-46)

Hier bezeichnet n den Zeitschritt. Äußerst wichtig ist die Plazierung der Quellen, dieaktuell in der Front neu entstanden sind. Um physikalisch sinnvolle Ergebnisse zubekommen, wurden diese Quellen eine Zelldiagonale hinter die Front verschoben, umdann auf die vier nächsten Zellenmitten aufgeteilt zu werden. Die Aufteilung erfolgtüber eine Flächengewichtung, wie sie in Abbildung 7-9 verdeutlicht wird. Aus derjeweiligen Teilfläche ergibt sich die Quellstärke, welche in der Zelle gleichen Indexespositioniert wird. Diese Maßnahme sorgt dafür, daß die Expansion immer im Ver-brannten unmittelbar hinter der Front stattfindet, und diese dann in die physikalischeinzig sinnvolle Richtung befördert wird. Darüber hinaus ergibt sich noch ein gewisserGlättungseinfluß auf die sonst recht instabile Front.

∂2Φ∂x2---------- ∂2Φ

∂y2----------+ 1

ρ---– dρ

dt------⋅ sij mit:

x∂∂Φ u und

y∂∂Φ v= = = =

sijfijn fi j

n 1––∆t

---------------------ρu

n 1– ρbn–

ρnn

------------------------fijn 1–

∆t----------

ρbn ρb

n 1––

ρbn

------------------------1 fij

n–∆t

-------------ρu

n ρun 1––

ρun

------------------------⋅

–⋅–⋅=


Abbildung 7-9 Schematische Darstellung der Positionierung und der Vertei-lung der Quellterme

7.4.2 Erweitertes Godunov-Typ-Verfahren zur Berechnung schneller Vormischflammen und des Deflagrations-Detonations-Übergangs

Das hier vorzustellende Verfahren gehört zu den Level-Set-Verfahren zur Verfolgungvon Diskontinuitäten in Strömungen. Die Verwendung des Level-Set-Ansatzes wirddurch das Flamelet-Modell für Vormischflammen nahegelegt. Die in diesem Modelldefinierte Transportgleichung für den Skalar G ist der Gleichung für einen geeignetenLevel-Set äquivalent, da definitionsgemäß eine Isolinie G = G0 der Hyperfläche

die momentane Lage der Flammenfront repräsentiert.

Zahlreiche Verfahren zum Verfolgen von Verdichtungsstößen (siehe z.B. Chern undColella /49/) und die Anwendung auf Stoßverfolgung bei der Simulation von Detona-tionen von Bourlioux /50/, /51/) und Kontaktunstetigkeiten (siehe z.B. den SLIC-Algo-rithmus /40/) wurden bereits entwickelt. Flammen sind oft als „kalte", nicht-reaktiveFronten im Rahmen von Level-Set-Ansätzen behandelt worden /52/, /53/. Mangelhaftist daran die fehlende Interaktion zwischen Wärmefreisetzung und dem Strömungs-feld, der bei der physikalischen Beschreibung eine zentrale Bedeutung zukommt.

Arbeiten, bei denen die Expansion des Gases aufgrund der Flamme berücksichtigtwird, sind in /54/, /55/ (level sets) und in /8/ (volume of fluid) veröffentlicht. In beidenArbeiten wird ein Zwei-Zonen-Modell verwendet, bei dem die Flamme verbranntesvon unverbranntem Gas trennt. In den zwei Zonen sind Druck, Dichte und Temperaturjeweils örtlich konstant und das Geschwindigkeitsfeld wird durch eine quelltermbehaf-tete Potentialgleichung beschrieben. Der Quellterm berücksichtigt die Expansion desGases und die Druckerhöhung in geschlossenen Behältern aufgrund der Wärmefrei-setzung.

G x t,( )


Der Nachteil dieser Formulierungen liegt in der Annahme der örtlich konstantenZustandsgrößen, die, besonders bei schnellen Flammen, nicht mehr gewährleistet ist.

Wenn die reaktiven Eulergleichungen zur Berechnung der Ausbreitung der diskonti-nuierchen Flammenfront herangezogen werden, fehlt, wie im einleitenden Abschnittbereits dargelegt, zur Berechnung der Ausbreitung von Deflagrationen im Strömungs-feld eine Information, um das Gleichungssystem an der Flammenfront zu schließen.

Für die auf Diffusion basierende Flamme muß die fehlende Information durch die Vor-gabe der Brenngeschwindigkeit su, die eine charakteristische Größe der Flammen-struktur ist, eingeführt werden.

Als eine Konsequenz für die numerische Behandlung ergibt sich die Notwendigkeit,einen unverbrannten Zustand für die Auswertung der Brenngeschwindigkeit

zu definieren. Ein typisches Flammenprofil besitzt große Sprünge derZustandsgrößen. Typische Verhältnisse liegen bei

, (7-47)

wodurch wegen der unvermeidbaren numerischen Diffusion unphysikalische Zwi-schenzustände produziert werden, die sich als Basis für die Auswertung des Brenn-gesetzes verbieten. Eine scharfe Trennung zwischen verbranntem undunverbranntem Zustand muß also gefordert werden. Die gasdynamische Wechselwir-kung zwischen Flamme und Strömungsfeld wird ohne über die Annahme einer unend-lich dünnen Flamme hinausgehende zusätzliche Vereinfachungen erfaßt. Daher istdiese Formulierung insbesondere auch für schnelle Flammen geeignet und erlaubt,den Übergang von Deflagration zu Detonation - ein wesentlicher Mechanismus beider klopfenden Verbrennung - numerisch zu simulieren. Der Zugang zur Lösung die-ser Aufgabenstellung basiert auf einem Flammen-Tracking, das in Anlehnung an dasStoß-Tracking /56/, /57/, basierend auf der Ausbreitung von Wellen nach LeVeque /58/, /59/, /60/, entwikkelt wurde, und ein Flammen-Rekonstruktionsverfahren, welchesauf der Repräsentation der Deflagration durch die G-Gleichung beruht. Beiden Ver-fahren ist gemeinsam, daß sie als Wellenverteilungsalgorithmen geschrieben werdenkönnen.

Tracking durch Wellenverteilung

Ausgehend von der Wellendarstellung formulierte LeVeque ein Tracking-Verfahrenfür die Behandlung von Stoßwellen. Die grundsätzliche Idee ist es, eine starke Dis-kontinuität zu verfolgen und Anteile anderer schwacher Wellen linear zu überlagern.

Uu

su su Uu( )=

V ρu ρb⁄ sb su⁄ Tb Tu⁄ 7≈ ≈= =


Dort, wo die Flamme eine Zelle (i) im Punkt schneidet (die Zelle, die die Flammeenthält, wird im folgenden die Mischzelle genannt), wird diese in zwei Teilzellen (i)b imIntervall und (i)u in mit den Zustandsvektoren und unterteilt. Durch Verfolgung der einzelnen Wellen über Zellgrenzen hinweg, gelingtes, die aus der CFL-Bedingung resultierenden sehr kleinen Zeitschrittweiten ∆t=c∆min/|λ|max zu vermeiden.

Die Wellen ergeben sich aus den gespeicherten verbrannten und unverbranntenZuständen der Teilzellen, mit denen das Flammen-Riemann-Problem gelöst wird(Abbildung 7-10). Eine Beschreibung des hierzu notwendigen iterativen Verfahrenswird z.B. in /61/ gegeben. Die gegebenen Zustände stellen die Anfangsdatendar. Gesucht wird der Druck pu vor der Flamme, nachdem eine Stoßwelle oder einExpansionsfächer über den Zustand gelaufen ist. Mit dem Druck pu ist über dieStoßbedingung oder die isentropen Gleichungen für den Expansionsfächer der unver-brannte Zustand vor der Flamme gegeben. Mit dem Zustand , dem Brennge-setz und den Rankine-Hugoniot-Bedingungen für die Flamme folgt derverbrannte Zustand hinter der Flamme. Da der Druck im verbrannten Zustand pb

über der Kontaktunstetigkeit konstant bleibt (pb = pS) folgt mit pS über die Stoßbedin-gungen oder die isentropen Gleichungen für den linkslaufenden Expansionsfächerder Zustand . Die Bedingung für die Konvergenz lautet dann, daß die Geschwin-digkeiten über der Kontaktunstetigkeit gleich bleiben (ub = uS), womit das System ite-rativ gelöst werden kann.

Aus der Lösung des Flammen-Riemann-Problems folgt mit der Ausbreitungsge-schwindigkeit der Flamme Df die neue Flammenposition zu . Es

sei angenommen, daß die Flamme in die Nachbarzelle (i+1) wandert. Die neueMischzelle zum Zeitpunkt tn wird ebenfalls in zwei Teilzellen (i+1)b im Intervall

und (i+1)u in mit den Zustandsvektoren unterteilt. Die geometrischen Verhältnisse sind in Abbil-

dung 7-10 dargestellt. Zusätzlich zum Flammen-Riemann-Problem an der Flammen-position werden an den Zellgrenzen xi-3/2, xi-1/2, xi+1/2, xi+3/2 Roe-Riemann-Probleme gelöst. Die einzelnen Wellen überstreichen während des Zeitschritts einVolumen λp∆t. Der Wellensprung wird auf alle teilweise oder ganz überstri-chenen Zellen verteilt. Der Sprung der Flamme, wie sie in Abbildung 7-11 dargestelltist, wird jeweils auf die Zelle (i)u und (i+1)b aufgeschlagen. Nach der Aufsummierungder Wellensprünge wird der geteilten Zelle (i) durch konservative Mittelung ein neuerMittelwert

(7-48)

xfn

xi 1 2⁄– xfn, xf

n xi 1 2⁄+, Ui u, Ui b,

UL R,

UR

Uu Uu

su su Uu( )=Ub

US

xfn 1+ xf

n Df ∆t⋅+=

xi 1 2⁄+ xfn 1+, xf

n 1+ xi 3 2⁄+,Ui 1 u,+ Ui 1 b,+ Ui 1+= =

xfn

αp Rp⋅

∆x Uin 1+

⋅ xfn xi 1 2⁄–– Ui b,

n 1+xi 1 2⁄+ x– f

n Ui u,n 1+

⋅+⋅=


zugeordnet und die Teilzellen (i)u,b eliminiert, während die Teilzellen (i+1)u,b gespei-chert werden. Durch diese Vorgehensweise wird das Problem der CFL-Bedingung fürkleine Zellen umgangen.

Dieses Verfahren ist sehr robust und wird im folgenden als Referenzverfahren für dieSimulation von Flammen und DDT in einer Dimension benutzt. Die Nachteile diesesVerfahrens sind, daß es beim Übergang auf zwei Dimensionen sehr aufwendig wirdund die propagierten Teilstücke der alten Front keine geschlossene neue Front erge-ben. Diese muß durch Interpolation erzeugt werden. Hier wird ein neues Verfahrenvorgestellt, daß dieses Problem umgeht und wesentlich einfacher zu realisieren ist.

Abbildung 7-10 Flammen-Riemann-Problem

Abbildung 7-11 Flammen-Tracking in 1-D


Flammen-Rekonstruktionsverfahren

Wellen- und Flußformulierung

Das Flammen-Rekonstruktionsverfahren versucht, das im vorigen Abschnitt beschrie-bene numerische Verfahren soweit wie möglich zu vereinfachen und dabei die Vor-teile des Tracking beizubehalten. Die Grundidee ist es, nur noch die Flamme alsDiskontinuität zu betrachten und die Speicherung der Zustände in den verbranntenund unverbrannten Teilzellen zu umgehen.

Das Verfahren soll folgende Eigenschaften besitzen:

- Das Verfahren soll konservativ und zu allen Standard-Capturing-Verfahren kom-patibel sein, die in der konservativen Flußformulierung mit einem zusätzlichenQuellterm geschrieben sind. Die Formulierung soll vereinbar sein mit dem Rich-tungs-Operator-Splitting. Das Verfahren soll dadurch über einfache Schnittstel-len in andere Codes implementiert werden können.

- Die aufwendige Speicherung der komplizierten Teilgeometrien der Mischzellenund die komplizierte Bilanzierung für diese Geometrien, die bei reinen Tracking-Verfahren auftreten, sollen dadurch vermieden werden, daß die Bilanzgleichun-gen nur für Zellmittelwerte auf einem kartesischen Gitter konstanter Schrittweitegelöst werden. Dies wird möglich durch die korrekte Auswertung der Zustands-größen an den Zellflächen aufgrund einer Rekonstruktion von unverbranntenund verbrannten Zuständen über der Flamme.

- Die Rekonstruktion basiert auf der Erhaltung der konservativen Größen und denRankine-Hugoniot-Sprungbedingungen über der Flamme, wodurch die Kopp-

lung zwischen der wärmefreisetzenden Flamme und der Strömung in korrekter,nichttrivialer Weise gewährleistet werden soll.

Aufbauend auf den numerischen Fluß des Roe-Verfahrens (Gleichung (7-35), Glei-chung (7-42)) wird die einfache Wellenform (Gleichung (7-42)) um den Flammenanteil

zu

(7-49)

erweitert. Hierbei muß der Flammensprung derart beschaffen sein,daß die gasdynamischen Effekte der Flamme berücksichtigt werden. Das Verfahrensei zunächst in einer Dimension anhand der Abbildung 7-12 erklärt. Die Zelle (i) seidie Mischzelle zum Zeitpunkt tn. Aus der Flammenposition läßt sich der Anteil von

vf ∆Uf⋅ Df ∆t⋅ ∆x ∆Uf⋅⁄=

U in 1+

U in

vp- αp

12--- vp α 'p⋅ ⋅+⋅ Rp⋅

i 1 2⁄+p∑ vp

+ αp12---– vp α 'p⋅ ⋅⋅ Rp⋅

i 1 2⁄–p∑––=

∆U f Uu Ub–=

xfn


verbranntem und unverbranntem Volumen Vb und Vu ermitteln und der Volumenanteil des verbrannten Gases der Mischzelle

(7-50)

angeben. Ausgangspunkt der Rekonstruktion ist der Mittelwert der Zustandsgrößen inder Mischzelle . Mit den verbrannten und unverbrannten Zuständen , dieals Funktion des verbrannten Volumenanteils spezifiziert werden müssen, werdennun die Roe-Riemann-Probleme an der Zellfläche xi-1/2 mit und an der Zell-fläche xi+1/2 mit gelöst. Dies würde einer numerischen Flußauswertung inerster Ordnung

(7-51)

entsprechen. Aus der Lösung der Roe-Riemann-Probleme folgen nun die einzelnenWellensprünge an den Zellflächen

, (7-52)

wobei die rechtslaufende bzw. linkslaufende Welle aus der Zellfläche xi-1/2 bzw. xi+1/2

ein Teilvolumen bzw. der Zelle (i) überstreicht (der Index p derp-ten Welle wurde zunächst weggelassen).

Abbildung 7-12 Wellenverteilung beim Flammen-Rekonstruktionsverfahren

fin

fin Vb

Vu Vb+-------------------

xfn xi 1 2⁄––

∆x---------------------------= =

Uin

Ui b, Ui u,

Ui 1– Ui b,,Ui u, Ui 1+,

Fi 1 2⁄– Fi 1 2⁄– Ui 1–n

Ui b,n

, Fi 1 2⁄+ Fi 1 2⁄+ Ui u, Ui 1+,==

v +− α R⋅ ⋅ i 1 2⁄±

vi 1 2⁄– + ∆x⋅ vi 1 2⁄+

– ∆x⋅


Bezüglich der Terme höherer Ordnung α' muß beachtet werden, daß keine Informa-tionen von der anderen Flammenseite benutzt werden, damit nicht über die Flammen-diskontinuität hinweg diskretisiert wird. Steigungen in der Mischzelle σi werdenentweder zu Null gesetzt oder aus der jeweiligen Richtung extrapoliert

, . (7-53)

Das Verfahren ist daher an der Diskontinuität erster Ordnung genau.

Zusätzlich zu den gasdynamischen Wellensprüngen muß der Sprung derFlamme auf das Volumen Df ∆t verteilt werden. Hier wird Df aus demunverbrannten Zustand berechnet zu

. (7-54)

Für Df > 0 bleibt die Flamme während des Zeitschritts ∆t entweder in der Zelle (i) oderwandert in die Zelle (i+1) und die neuen verbrannten Volumenanteile berechnen sichzu

, . (7-55)

Die Bilanz für die Zellen j = i und j = i + 1 schreibt sich in Anlehnung an Abbildung 7-12mit

(7-56)

Hier wird der Flammensprung aus Zelle (i) also auf zwei Nachbarzellen ver-teilt und so wie beim Flammen-Tracking die Problematik der CFL-Bedingung fürkleine Teilzellen f ∆x bzw. (1-f) ∆x umgangen. Der große Vorteil dieser Darstellung ist,daß die Bilanzgleichungen nur für Zellmittelwerte berechnet werden. Somit werdendie aufwendige Speicherung und die Bilanzierung der Teilzellen, wie sie beim Flam-men-Tracking auftreten, überflüssig.

σ i b,

0σi 1–{= σi u,

0σi 1+{=

α R⋅Ui b,

nUi u,

n–

Ui u,n

Df ui u, su Ui u,n+=

fin 1+ min 1 fi

n vf+,= fi 1+n 1+ max 0 vf 1 f– i

n( )–,=

∆fj fjn 1+ fj

n–=

Ujn 1+

Ujn

vp- αp

12--- vp α 'p⋅ ⋅+⋅ Rp⋅

j 1 2⁄+p∑–=

vp+ αp

12--- vp α 'p⋅ ⋅–⋅ Rp⋅

j 1 2⁄–

∆fj Uf( )i–p∑–

vf ∆Uf( )i

Ui


Eine andere Darstellungsweise geht von der Flußformulierung aus und beachtet, daßdie Flamme durch ihre Relativbewegung zur Strömung eine chemische Wärmefreiset-zung verursacht, die als Quellterm in der Speziesgleichung wiederzufinden ist. Dabeisei die Wellenformulierung für eine einzelne stationäre Flamme, die den unverbrann-ten Zustand vom verbrannten Zustand trennt und sich mit konstanterGeschwindigkeit Df innerhalb einer Zelle (i) fortbewegt, ausgedrückt. Demnach ver-schwinden sämtliche gasdynamischen Wellen aus der Bilanz und nur noch der Flam-mensprung trägt zur Änderung des Zustandsvektors bei

. (7-57)

Über die Sprungbedingungen für Masse, Impuls und Energie

(7-58)

kann der Wellensprung in eine Flußdifferenz umgeformt werden. Die numerischenFlüsse an den Zellgrenzen entsprechen dann jeweils den Flüssen im Verbranntenbzw. Unverbrannten. Für die Speziesgleichung muß die Relativbewegung berücksich-tigt werden. Der Speziessprung schreibt sich dann mit Df = uu + su = ub + sb zu

. (7-59)

Die Bilanz nimmt dann die Erhaltungsform mit zusätzlichem Quellterm in derSpeziesgleichung

(7-60)

mit

(7-61)

an.

Diese Formulierung in Erhaltungsform mit zusätzlichem Quellterm ist in vielen Anwen-dungen wiederzufinden und zeigt, daß das Verfahren kompatibel ist mit sämtlichenStrömungslösern, die auf Flußbilanzen und zusätzlichen Quelltermen beruhen.

Uu Ub

Uin 1+

Uin Df ∆t⋅

∆x---------------- Uu Ub–⋅–=

Eb Eu– Df Ub Uu–⋅=

Df ∆ ρ Y⋅( )⋅ ∆ ρ u Y⋅ ⋅( ) ∆ ρ s Y⋅ ⋅( )+ ∆f ρ Y⋅( ) ρu su ∆Y⋅ ⋅+= =

q

Uin 1+

Uin ∆t

∆x------- Fi 1 2⁄+ Fi 1 2⁄––

∆t∆x------- q⋅–⋅–=

Fi 1 2⁄+ Fu Fi 1 2⁄– Fb Q ρ s⋅( )u 0 0 0 Yu Yb–, , ,( )T⋅= = =


Für den Fall, daß die Flamme über die Zellgrenze xi+1/2 läuft, muß der numerischeFluß aufgrund des erfahrenen Wellensprungs in einer korrekten, zeitlich gemitteltenForm modifiziert werden

. (7-62)

Analog zu dieser zeitlichen Mittelung muß der Quellterm auf die Zellen (i) und (i+1)verteilt werden. Die verbrannten Volumenanteile ändern sich in beiden Zellen durch

die Flamme um jeweils . Anteilmäßig wird der Quellterm

auf die Zellen (i) und (i+1) verteilt. Die

Quellterme in den Speziesgleichungen lauten dann

. (7-63)

Beim Übergang auf zwei Dimensionen muß noch die räumliche Mittelung über einerZellfläche beachtet werden. Dies wird allerdings nicht mehr erläutert, da hier durch-weg die Wellendarstellung benutzt wurde.

Rekonstruktion der verbrannten und unverbrannten Zustände

Zur Vervollständigung der Lösung müssen noch die Zustände und aus dembekannten Zellmittelwert der Mischzelle bestimmt werden. Aufgrund der Erhaltungder konservativen Größen muß sich der Mittelwert aus einer Volumengewichtung desverbrannten und unverbrannten Zustandes ergeben

, (7-64)

wobei f der bekannte Volumenanteil des verbrannten Gases ist. Der eindimensionaleFall liefert vier Gleichungen für die acht unbekannten Größen (ρ,u,p,Y)u und (ρ,u,p,Y)b

(7-65)

Fi 1 2⁄+ Fi 1 2⁄+n

max 0Df ∆t⋅ 1 fi

n–( ) ∆x⋅( )–Df ∆t⋅

---------------------------------------------------------, Eu Eb–( )⋅–=

∆fi 1 i,+ fi 1 i,+n 1+ fi 1 i,+

n–=

Q ρu su⋅( )i Yu Yb–( ) 0 0 0 1, , ,( )⋅ T ∆t ∆x⁄⋅ ⋅=

Qi∆fi

∆fi ∆fi 1++--------------------------- Q Qi 1+

∆fi 1+

∆fi ∆fi 1++--------------------------- Q⋅=⋅=

Uu Ub

U

U f Ub 1 f–( ) Uu⋅+⋅=

ρρ u⋅ρ e⋅ρ Y⋅

f

ρb

ρb ub⋅

ρb eb⋅

ρb Yb⋅

1 f–( )

ρu

ρu uu⋅

ρu eu⋅

ρu Yu⋅

⋅+⋅=


mit der einfachen Energieformel . Aus den Annahmen einer sta-

tionären Flamme folgt die konstante Ausbreitungsgeschwindigkeit Df der Flamme

. (7-66)

Schließlich liefern die Rankine-Hugoniot-Bedingungen für Masse, Impuls und Energieüber der Flamme den konstanten Massenfluß ρs durch die Flamme

(7-67)

die Rayleigh-Gerade mit P = pb/pu und V = ρu/ρb

(7-68)

und die Volumenbeziehung

(7-69)

mit den Definitionen

(7-70)

. (7-71)

Die Abfrage nach dem Minimum in der Mach-Zahl sichert, daß die Flamme nichtschneller werden kann als die zugehörige CJ-Flamme. Neben den vier weiteren Glei-chungen sind su und sb als neue unbekannte Größen hinzugekommen. Zur Lösungdes Systems werden noch zwei weitere Informationen geliefert. Aus der komplettenVerbrennung folgt der Massenbruch im Verbrannten zu

(7-72)

und das vorgegebene Brenngesetz lautet

, (7-73)

ρ e⋅ pγ 1–----------- ρ

2--- u2⋅+=

Df uu su+ ub sb+= =

∆E Df ∆U⋅=( )

ρu su⋅ ρb sb⋅=

P 1–V 1–------------- γ Ma2⋅–=

Y 1

γ 1+( ) Ma2⋅-------------------------------- 1 γ Ma2 Ma2 Ma+

2–( ) Ma2 Ma-2–( )⋅–⋅+( )⋅=

Ma min su cu Ma-,⁄( ) Ma ± 1 µ+ µ±= =

µ γ2 1–2

--------------Yu Q⋅

cu2

---------------⋅ γ 1+2 γ⋅------------

Yu Q⋅cv Tu⋅----------------⋅ γ 1+

2 γ⋅------------ Yu

TQ

Tu-------⋅ ⋅= = =

Yb 0=

su su U u t,( ) sL ρu pu Tu Yu, , ,( ) sT

sL-----⋅ σ t( ) sL⋅= = =


wobei σ(t) die zeitabhängige, dimensionslose Flammenoberfläche darstellt. Damit istdas System geschlossen und kann iterativ, z.B. mittels einer Fixpunktiteration oderdem Newton-Verfahren, gelöst werden. Zusätzliche Beschränkungen, die eingehaltenwerden, resultieren aus der Positivität des Massenbruches

(7-74)

und der minimalen isobaren Vmin bzw. maximal möglichen Volumenausdehnung imCJ-Zustand Vmax

. (7-75)

Erweiterung auf zwei Dimensionen

Die Erweiterung auf zwei Dimensionen erfolgt im Operator-Splitting. So wird hierlediglich die Behandlung in x-Richtung erläutert. Während im eindimensionalen Fallder verbrannte Volumenanteil durch die Flammenposition direkt berechenbar ist, wirdin zwei Dimensionen die Flammengeometrie benötigt, um fi,j zu berechnen. Hierzuwird das skalare G-Feld auf den Zellecken der Zelle (i,j) definiert . DieFlamme wird identifiziert als die Höhenlinie G = G0 und wird innerhalb der Zelle alsstückweise lineare Verteilung approximiert. Die Flamme schneidet die Oberflächender Zelle und definiert somit den Flächenanteil η des verbrannten Gases. In Abbil-dung 7-13 sind den vier Zellflächen der Zelle (i,j), die das Intervall [xi-1/2,xi+1/2] x [yj-1/

2,yj+1/2] definiert, vier verbrannte Zellflächenanteile η1 bis η4 zugeordnet, die aus derVerteilung von G bestimmt werden. Aus den Werten η1,...,4 berechnet sich der ver-brannte Volumenanteil fi,j , zum Beispiel fi,j = 1/2 (η1 + η3). Aus der G-Verteilung folgtweiterhin der Normalenvektor (Indizes werden der Einfachheit halber weggelas-sen), der durch bzw. und definiert ist. Die partiellen Ableitungen von G werden als Mittelwerte der Differenzen-quotienten auf sich gegenüberliegenden Zellflächen approximiert

(7-76)

0 Yu 1≤ ≤

Vmin 1 γ 1–( ) Q Yu cu2 V VCJ≤ ≤⁄⋅ ⋅+ 1

γ 1+------------ γ Ma+

2+( )⋅ Vmax= = =

Gi 1 2⁄± j 1 2⁄±,

ni j,

n ∇G G⁄–= nx Gx Gx2 Gy

2+⁄–= ny Gy Gx2 Gy

2+⁄–=

Gx( )i j, Gi 1 2⁄+ j 1 2⁄–, Gi 1 2⁄– j 1 2⁄–,–( ) Gi 1 2⁄+ j 1 2⁄+, Gi 1 2⁄– j 1 2⁄+,–( )+ 2 ∆x⋅( )⁄=

Gy( )i j, Gi 1 2⁄– j 1 2⁄+, Gi 1 2⁄– j 1 2⁄–,–( ) Gi 1 2⁄+ j 1 2⁄+, Gi 1 2⁄+ j 1 2⁄–,–( )+ 2 ∆y⋅( )⁄=


Abbildung 7-13 Verteilung der gasdynamischen Wellen in zwei Dimensionen im x-Operator-Splitting

Rekonstruktion

Zusätzlich zu Gleichung (7-65) muß die Impulserhaltung in y-Richtung

(7-77)

gelöst werden. Die Rekonstruktion der verbrannten und unverbrannten Zuständeerfolgt nun normal zur Flamme. Dazu werden die Geschwindigkeiten u und v in dieGeschwindigkeiten normal und tangential zur Flamme aufgespalten

. (7-78)

Transformiert auf die Normalen- und Tangentialrichtung ändern sich die Erhaltungs-gleichungen zu

(7-79)

mit der einfachen Energieformel

. (7-80)

ρ v⋅ f ρb vb⋅ 1 f–( ) ρu vu⋅ ⋅+⋅=

u v

uv

nx nyny nx–

uv

⋅=

ρρ u⋅ρ v⋅ρ e⋅ρ Y⋅

f

ρb

ρb ubˆ⋅

ρb vbˆ⋅

ρb eb⋅

ρb Yb⋅

1 f–( )

ρu

ρu uu⋅

ρu vu⋅

ρu eu⋅

ρu Yu⋅

⋅+⋅=

ρ e⋅ pγ 1–----------- ρ

2--- u 2⋅+=


Das bedeutet, daß eine weitere Gleichung und zwei neue Unbekannte hinzukommen.Die fehlende Information wird durch die Forderung nach konstanten Tangentialge-schwindigkeiten über der Flamme

(7-81)

geliefert. Die Rankine-Hugoniot-Sprungbedingungen bleiben dagegen unverändertund bestehen weiterhin aus Gleichung (7-67), Gleichung (7-68) und Gleichung (7-69).Mit den restlichen Vorgaben Yb = 0 und dem Brenngesetz wird dieses System gelöstund die Normal- und Tangentialgeschwindigkeit zurück auf die x,y-Richtungen trans-formiert

. (7-82)

Wellenverteilung

Nach der Rekonstruktion der verbrannten und unverbrannten Zustände in sämtlichenMischzellen werden z.B. für die Zellfläche (i+1/2,j), die in einen verbrannten, ηi+1/2,j ∆ygroßen Anteil (η3 ∆y in Abbildung 7-13) und einen unverbrannten, (1-ηi+1/2,j) ∆y gro-ßen Anteil unterteilt ist, die Roe-Riemann-Probleme im Verbrannten und Unverbrann-ten gelöst

. (7-83)

Die Wellenbeiträge der Zellfläche sind dann ein flächengewichteter Mittelwert der ver-brannten und der unverbrannten Wellenbeiträge

(7-84)

vu vb v= =

uv

u b,

nx n– yny nx

uv

u b,

⋅=

αp Rp⋅i 1 2 j,⁄+p

∑u b,

U i 1 j,+ U i j,– u b,=

vp +− αp

12--- vp α 'p⋅ ⋅±⋅ Rp⋅

i 1 2 j,⁄+

=

η i 1 2 j,⁄+n

vp +− αp

12--- vp α 'p⋅ ⋅±⋅ Rp⋅

i 1 2 j,⁄+ b

⋅

1 η– i 1 2 j,⁄+n+ vp

+− αp12--- vp α 'p⋅ ⋅±⋅ Rp⋅

i 1 2 j,⁄+ u

⋅


Hier wird η zum Zeitpunkt tn ausgewertet. Dies ist kompatibel mit der ersten Genauig-keitsordnung an der Flamme durch die Limitierung beim Überschreiten derselben.

Mit den rekonstruierten Geschwindigkeiten kann der Flammenfortschritt mit der Flam-menausbreitungsgeschwindigkeit (in x-Richtung Dx = uu + sunx)durch Lösung der G-Gleichung berechnet werden. Bei der Verteilung des Flammen-sprungs liegt das G-Feld zum neuen Zeitpunkt Gn+1 vor. Im allgemeinen Fall tragenzur Änderung der Zustandsgrößen neben dem Flammenstück in der betrachtetenZelle auch die über die Zellflächen propagierten Flammenstücke der Nachbarzellen

bei. Die Änderung des verbrannten Volumenanteils setzt sichim allgemeinen aus dem zentralen Anteil des Flammenfortschritts innerhalb derZelle und den Anteilen des Flammenfortschritts über der Zellfläche (i-1/2,j) und

über der Zellfläche (i+1/2,j) zusammen

. (7-85)

Die Ermittlung der Teilvolumina ist in Abbildung 7-14 durch unterschiedlicheSchattierungen angedeutet und resultiert aus geometrischen Zusammenhängen. Fürdas Beispiel in Abbildung 7-14 resultieren die Anteile aus den Flächenanteilen (sieheAbbildung 7-14) zum alten und neuen Zeitpunkt zu

. (7-86)

Abbildung 7-14 Wellenverteilung der Flamme in zwei Dimensionen imx-Operator-Splitting

Df vu su n⋅+=

i 1 j,± ∆fi j, fi j,n 1+ fi j,

n–=fi j,C

fi j,L

fi i j,R

∆fi j, fi j,L fi j,

C fi j,R+ +=

fi j,L fi j,

C fi j,R, ,

fi j,L 1

2---

ηi 1 2 j,⁄–n 1+ ηi 1 2 j,⁄–

n–( )2

ηi 1 2 j,⁄–n 1+ ηi 1 2 j,⁄+

n 1+–( )---------------------------------------------------- fi j,

R⋅ 0 fi j,C ∆fi j, f– i j,

L fi j,R–= = =


Die gesamte Zustandsänderung aufgrund des Flammenfortschritts ergibt sich dannaus den Flammensprüngen der Zellen (i-1,j), (i,j) und (i+1,j) zu

. (7-87)

Im folgenden wird die numerische Lösung der G-Gleichung vorgestellt, die zurBestimmung der Lage der Flammenfront im numerischen Gitter herangezogen wird.

Numerische Lösung der skalaren Feldgleichung

Eigenschaften der skalaren Feldgleichung

Die Erfassung des Flammenfortschritts erfolgt durch Berechnung eines Skalars G aufdem numerischen Gitter.

Der explizite Flammenfortschritt aufgrund des Flammentransportes durch die Strö-mung und aufgrund der Flammenausbreitung relativ zur Strömung wird durch dieAdvektionsgleichung

(7-88)

beschrieben, in der die Größe die absolute Flammenausbreitungsgeschwindigkeit darstellt.

Sie gilt zunächst nur für die Flammenfläche G = G0. Williams /62/ interpretiert die G-Gleichung (Gleichung (7-88)) als geeignete Darstellung für den Flammenskalar

im ganzen Strömungsfeld. Dieser Ansatz erfordert jedoch, daß fern derFlamme geeignete sinnvolle Werte der Brenngeschwindigkeit su im unverbranntenund sb im verbrannten Gas definiert werden können. Dies ist im allgemeinen jedochnicht der Fall, da alle anderen Isoflächen in keiner Weise an dasStrömungsfeld koppeln. Daher besteht ein Freiheitgrad in der Wahl einer numerischvorteilhaften Struktur von G fern der Flamme G = G0.

Für das Flammen-Rekonstruktionsverfahren notwendig ist lediglich, daß die Vertei-lung des Skalars G stets glatt ist, um Interpolationfehler durch große Gradienten beider Ermittlung der Flammenposition auszuschließen. Ideen zur Erfüllung dieser For-derung an das skalare Feld findet man bei Sussman et. al (1994) /63/. Bei der Ent-wicklung von „level set"-Verfahren zur numerischen Behandlung von

vf ∆Uf⋅( )i j, fi j,L ∆Uf( )i 1 j,– fi j,

C ∆Uf( )i j, fi j,R ∆Uf( )i 1 j,++ +=

t∂∂G Df ∇G⋅+

t∂∂G vu su n⋅+( ) ∇G⋅+ 0= =

Df

Df vu su n⋅+=

G x t,( )

G const G0≠=


Kontaktunstetigkeiten (wie z.B. Gasblasen in Flüssigkeiten) wird das skalare Feld ent-sprechend der Transportgeschwindigkeit durch die Strömung verformt. Der Forderungnach einer glatten Verteilung von G wird dadurch nachgekommen, daß alsAbstandsfunktion von G0 definiert wird und zu jeder Zeit die zweite zu lösende Glei-chung

(7-89)

die G-Verteilung für definiert. Diese Gleichung besagt, daß der Normalenab-stand dxn zweier Isoflächen G und G + dG gleich ist der Differenz der G-Werte dG,wie bereits oben beschrieben wurde.

Die numerische Kombination der beiden Gleichungen (G-Gleichung und Abstands-funktion) erfordert einen endlichen Übergangsbereich. Obwohl die G-Gleichung nuran der Flammenfläche G = G0 definiert ist, wird sie nahe der Flamme in einem endli-chen Bereich um G = G0 gelöst. Durch diese Vorgabe ist es möglich, für die Lösungder G-Gleichung effiziente Standardverfahren, die in Anlehnung an stoßauflösendeVerfahren entwickelt wurden, anzuwenden. Diese Verfahren auf der Basis von levelsets garantieren den korrekten Transport der Isoflächen, ohne die genaue Positionvon G = G0 zu ermitteln und einzelne Punkte der Front direkt zu verfolgen, was einemTracking-Verfahren gleich käme. In einem zweiten Schritt wird die Gleichung derAbstandsfunktion außerhalb des endlichen Bereichs gelöst.

Lösung der G-Gleichung

Die Besonderheit der G-Gleichung ist, daß sie die Form der Hamilton-Jacobi-Glei-chung besitzt. Darauf bauen Lösungsansätze auf, die in den Veröffentlichungen vonOsher und Sethian /52/, /53/ nachgelesen werden können. In diesen Arbeiten werdenbekannte, stoßauflösende Verfahren zur Lösung herangezogen.

Hier soll jedoch von der bereits bekannten hyperbolischen nicht-konservativen Form

(7-90)

ausgegangen werden. Diese wird im Richtungs-Operator-Splitting mit der entspre-chenden Komponente der Flammenausbreitungsgeschwindigkeit D = uu + snx bzw.D = vu+sny für die x- bzw. y-Richtung gelöst:

. (7-91)

Hier sind nx,ny die Komponenten des Normalenvektors in den jeweiligen Richtungen.Die Diskretisierung erfolgt auf den Ecken der Zellen, an denen die G-Werte definiert

G x t,( )

∇G 1=

G G0≠

Gt Df ∇G⋅+ 0=

Gt DGx+ 0=


sind. Hierzu müssen geeignete Werte der Geschwindigkeiten D, die nur im rekonstru-ierten Zellzentrum definiert sind, den Zellecken zugeordnet werden. Zur Lösung wirdein einfaches Diskretisierungsschema erster Ordnung, welches das Vorzeichen derTransportgeschwindigkeit berücksichtigt („upwind“), benutzt. Zur Vereinfachung sindnur die Indizes für die x-Richtung dargestellt:

.

(7-92)Der Transport von Gradienten von G erfolgt entsprechend dem Vorzeichen derGeschwindigkeit D mit der Definition

. (7-93)

Die Zuordnung der Geschwindigkeiten von den rekonstruierten Werten im Zellzen-trum Di,j auf die Zellecken Di+1/2,j+1/2 erfolgt entsprechend dem geringsten Abstandeines Flammensegments zur jeweiligen Zellecke. Eine Zellecke (i+1/2,j+1/2) ist inAbbildung 7-15 durch ausgefüllte Kreise gekennzeichnet und kann von maximal vierMischzellen (i,j),(i+1,j),(i,j+1),(i+1,j+1), in denen jeweils eine Flamme mit der Flam-mengeschwindigkeit Di,j, Di+1,j, Di,j+1, Di+1,j+1 rekonstruiert würde, umgeben sein, dieihre Ausbreitungsgeschwindigkeit bestimmen. Eine einfache, sinnvolle Wahl, die vor-genommen wurde, setzt Di+1/2, j+1/2 gleich der Flammengeschwindigkeit in der Zellemit dem kürzesten Abstand der Flamme zur betrachteten Zellecke. Liegt die Zelleckez.B. im Verbrannten bzw. Unverbrannten, so ist der Volumenanteil des Verbrannten fbzw. des Unverbrannten 1-f ein Maß für den Abstand (siehe Abbildung 7-15).

Abbildung 7-15 Expliziter Flammentransport mit Zuordnung der Geschwind-igkeiten an den Zellecken und Berücksichtigung des Über-schreitens der Flamme über Zellecken

Gi 1 2⁄+n 1+ Gi 1 2⁄+

n ∆t∆x------- Di 1 2⁄+

+Gi 1 2⁄+

n Gi 1 2⁄–n– Di 1 2⁄+

-Gi 3 2⁄+

n Gi 1 2⁄+n–⋅+⋅⋅–=

Di 1 2⁄+ + max 0 Di 1 2⁄+,( ) Di 1 2⁄+

- min 0 Di 1 2⁄+,( )= =


, ,

, ,

(7-94)

Die komplette Darstellung der Flammenfront innerhalb einer Zelle (i,j) durch Interpola-tion der G-Werte erfordert mindestens drei Zelleckenwerte. Beim Übergang einesFlammensegmentes über eine Zellecke kann aus einer ursprünglich verbrannten bzw.unverbrannten Zelle eine Mischzelle werden. In Abbildung 7-15 sind dies die Zellen (i-1,j-1) und (i-1,j), die im neuen Zeitschritt Mischzellen sind. Den Zellecken (i-3/2,j-3/2),(i-3/2,j-1/2) und (i-3/2,j+1/2), die in Abbildung 7-15 durch nicht ausgefüllte Kreisegekennzeichnet sind, werden die Geschwindigkeitswerte der Nachbarn, die von derFlamme überstrichen werden, zugeordnet

(7-95)

Damit sind die notwendigen Informationen bereitgestellt. Diese Formulierung ist nurvon erster Genauigkeitsordnung, da die Geschwindigkeiten nur bei der Flamme selbstdefiniert sind, was bei den Arbeiten von Osher und Sethian stets duch die Vorgabeeiner Ausbreitungsgeschwindigkeit umgangen wird. Somit können dort Verfahrenhöherer Ordnung direkt übertragen werden. In diesem Fall jedoch würde eine Erwei-terung auf zweite Ordnung das Einbeziehen von Querableitungen tangential zurFlamme erfordern. Zusätzlich würde eine zweite Flammenrekonstruktion nötig, umauch zeitlich auf die zweite Genauigkeitsordnung zu kommen. Trotz der erstenGenauigkeitsordnung können die grundlegenden Eigenschaften des Rekonstruktions-verfahrens bereits deutlich gemacht werden.

Lösung der Abstandsfunktion

Die Abstandsfunktionsgleichung

(7-96)

bewirkt, daß G-G0 gleich dem normalen Abstand des Punktes mit dem Wert G vonder Isofläche G0 ist, und wird für Punkte außerhalb der Flammenzone gelöst. DieFlammenzone erstreckt sich jeweils eine Zellenweite ins Unverbrannte und Ver-

Gi 1 2⁄ j 1 2⁄+,+ G0> Di 1 2⁄ j 1 2⁄+,+ Dm n,=

fm n, min fi j, fi 1 j,+ fi j 1+, fi 1 j 1+,+, , ,( )=

Gi 1 2⁄ j 1 2⁄+,+ G0< Di 1 2⁄ j 1 2⁄+,+ Dm n,= fm n, max fi j, fi 1 j,+ fi j 1+, fi 1 j 1+,+, , ,( )=

Di 3 2⁄– j 3 2⁄–, Di 1 2⁄– j 3 2⁄–,=

Di 3 2⁄– j 1 2⁄–, Di 1 2⁄– j 1 2⁄–,=

Di 3 2⁄– j 1 2⁄+, Di 1 2⁄– j 1 2⁄+,=

∇G 1=


brannte und beinhaltet noch die Zellecken, die durch den Übergang der Flamme ineine unverbrannte oder verbrannte Zelle zu Zellecken einer neuen Mischzelle werden.Für die restlichen Zellecken werden die G-Werte entsprechend ihres normalenAbstands von G = G0 geglättet.

Sussman et al. /63/ lösen zunächst die G-Gleichung mit der Strömungsgeschwindig-keit, die im ganzen Feld wohldefiniert ist, und lösen im Anschluß die Gleichung für dieAbstandsfunktion ebenfalls für das gesamte Feld. Danach soll die Position der Flä-che G = G0 durch die Reinitialisierung unbeeinträchtigt bleiben. Dies kann theoretischgezeigt werden. Numerisch allerdings kann die Beibehaltung der korrekten Flammen-position nicht garantiert werden (siehe Sussman et al. /64/). Somit werden nur diePunkte außerhalb der Flammenzone, wobei die Punkte innerhalb der Flammenzoneals Randbedingung benutzt werden, berechnet. Die Differentialgleichung

(7-97)

wird aus praktischen Gründen modifiziert zu

(7-98)

und wird iterativ in zwei Dimensionen bis zum stationären Zustand Gt = 0 gelöst.

Hier bedeutet Gex die G-Verteilung nach der Lösung des expliziten Transports, wie erim vorigen Kapitel beschrieben wurde. In dieser Verteilung sind lediglich die Punkteinnerhalb der Flammenzone verändert. Die Position der Flamme Gex = G0 ist aus-schlaggebend für die Funktion S(Gex), die das Vorzeichen von Gex wiedergibt. Zunumerischen Zwecken wird diese Vorzeichenfunktion mit einem kleinen numerischenWert ε durch den Ansatz

(7-99)

modifiziert, wodurch Störungen von stets in Richtung zurückgeglättet werden. Schreibt man die Iterationsgleichung (Gleichung (7-98)) umzu

, (7-100)

xf

1 ∇G– 0=

Gt S Gex( ) 1 ∇G–( )⋅ S Gex( ) 1 Gx2 Gy

2––( )⋅= =

S Gex( )Gex G0–

Gex G0–( )2

ε2–----------------------------------------------=

∇G 1 0≠– ∇G 1– 0=

Gt w ∇G⋅+ S Gex( ) w S Gex( ) ∇G ∇G⁄( )⋅= =


so erkennt man die nichtlineare hyperbolische Gleichung mit den durch den Vektor gegebenen Charakteristiken. Der Vektor ist ein Normalenvektor, der stets weg vonG = G0 zeigt. Informationen breiten sich stets von der Flamme mit der Geschwindig-keit aus.

Weitere Informationen zur Diskretisierung der Gleichung (7-98) finden sich bei /13/.Die neu berechnete G-Verteilung stimmt an der Flamme mit der expliziten übereinGn+1 = Gex und fern der Flamme konvergiert G aufgrund von Gt = 0 zu undsomit zum tatsächlichen Abstand.

7.5 Zusammenfassung

Das Kapitel gibt zunächst einen Überblick über die wesentlichen Elemente von nume-rischen Lösungsverfahren. Die grundlegenden Erhaltungsgleichungen werden vorge-stellt und ihre Diskretisierung kurz diskutiert. Im SFB 224 wurden sowohlkommerzielle Programmpakete eingesetzt, wie auch Rechenprogramme selbst ent-wickelt. Erstere dienten als Ausgangspunkt für die Implementierung verbesserterModelle für die Simulation des Wärmeübergangs im Zylinder oder die Berechnung derStrahlausbreitung, der Zerstäubung und der Verdampfung von Kraftstoff oder derZündung, Verbrennung und Schadstoffbildung in Dieselmotoren. Die in den kommer-ziellen Programmen implementierten Lösungsverfahren stellen als Grundlage solcherArbeiten einen geeigneten Ausgangspunkt dar. Detaillierte Untersuchungen der kal-ten Strömung in den Einlaßkanälen und der Ventilumströmung im Motor sowie derWirbeldynamik bis zum Ende des Kompressionstaktes wurden dagegen mit vollstän-dig eigenentwickelter Software durchgeführt. Besondere numerische Anforderungenan das Lösungsverfahren bereitetauch die Berechnung der Ausbreitung vorgemisch-ter Flammen. Da die sehr dünnen Flammenstrukturen mit vertretbarem Aufwandnumerisch nicht aufgelöst werden können, sind zwei neue numerische Verfahren ent-wickelt worden, bei denen die Flamme als Diskontinuität im Strömungsfeld aufgefaßtwird. Der Beschreibung dieser Verfahren ist der größte Teil dieses Kapitel gewidmet.

ww

w

∇G 1=

7.6 Abbildungsverzeichnis 725

7.6 Abbildungsverzeichnis

Abbildung 7-1: Diskretisierung der 1-D Eulergleichungen in Raum und Zeit

Abbildung 7-2: Zentrale und upwind Diskretisierung

Abbildung 7-3: Flußberechnung beim Verfahren von Godunov und von Roe

Abbildung 7-4: Positionen der Geschwindigkeitsvektoren (links), Prinzip des Konvektionsalgorithmus (rechts)

Abbildung 7-5: Testrechnungen für Konvektionsalgorithmen

Abbildung 7-6: Prinzip des Ausbreitungsalgorithmus

Abbildung 7-7: Testrechnung für Ausbreitungsalgorithmen

Abbildung 7-8: Schematische Darstellung eines Volumenelementes aus dem Entrainment-Modell

Abbildung 7-9: Schematische Darstellung der Positionierung und der Verteilung der Quellterme

Abbildung 7-10: Flammen-Riemann-Problem

Abbildung 7-11: Flammen-Tracking in 1-D

Abbildung 7-12: Wellenverteilung beim Flammen-Rekonstruktionsverfahren

Abbildung 7-13: Verteilung der gasdynamischen Wellen in zwei Dimensionen im x-Operator-Splitting

Abbildung 7-14: Wellenverteilung der Flamme in zwei Dimensionen im x-Operator-

Splitting

Abbildung 7-15: Expliziter Flammentransport mit Zuordnung der Geschwindigkeiten an den Zellecken und Berücksichtigung des Überschreitens der Flamme über Zellecken


7.7 Literatur

/1/ R.D. Richtmyer, K.W. Morton: „Difference Methods for Initial Value Problems“,2nd Edition, Interscience, New York, 1967

/2/ P.J. Roache: „Computational Fluid Dynamics“, Hermosa, Albuquerque, NewMexico, 1972

/3/ S.V. Patankar: „Numerical Heat Transfer and Fluid Flow“, Hemisphere, Wash-ington, D.C., 1980

/4/ R. Peyret, T.D. Taylor: „Computational Methods for Fluid Flow“, Springer, NewYork, 1983

/5/ D.A. Anderson, J.C. Tannehill, R.H. Pletcher: „Computational Fluid Mechanicsand Heat Transfer“, Hemispheere Publishing Corporation, New York, 1984

/6/ C. Hirsch: „Numerical Computation of Internal and External Flows“, Vol. 1 Fun-damentals of Numerical Discretization, Wiley Sons: Chichster, New York, 1988

/7/ C. Hirsch: „Numerical Computation of Internal and External Flows“, Vol. 2 Com-putational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley Sons: Chichster, NewYork, 1988

/8/ U. Bielert, M. Klug, G. Adomeit: „Numerical Simulation of the Turbulent Com-bustion Process in a Rapid Compression Device“, SAE Paper 940211, 1994

/9/ U. Bielert: „Numerische Simulation turbulenter Verbrennungsvorgänge untermotorischen Bedingungen mit einem Front Tracking Verfahren“, Fortschr.-Ber.VDI Reihe 12 Nr. 223

/10/ U. Bielert, M. Klug, G. Adomeit: „Application of Front Tracking Techniques tothe Turbulent Combustion Processes in Single Stroke Engine“, Combustionand Flame, 1996

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7 Numerische Verfahren - Homepage des SFB 224 · 7 Numerische Verfahren 7.1 Einleitung Neben den experimentellen und analytischen Methoden stehen dem Ingenieur in zunehmendem Maße