Meinhard Kuna

Numerische Beanspruchungsanalyse von Rissen

Meinhard Kuna

NumerischeBeanspruchungsanalysevon RissenFinite Elemente in der Bruchmechanik

Mit 276 Abbildungen und zahlreichen Beispielen

STUDIUM

國VIEWEG+TEUBNER

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Professor Dr. rer. nat. habi l. Meinhard Kuna studierte Physik an der TU Magdeburg und promovierte1978 an der Universitat Halle, wo er sich 1991 mit dem Thema "Numerische Methoden derBruchmechanik“ habilitierte. Er war als Gruppenleiter an der Akademie der Wissenschaften (IFEHalle), als Abteilungsleiter am FhG Institut fUr Werkstoffmechanik Freiburg/Halle und an der MPAStuttgart tatig. Seit 1997 ist er Universitatsprofessor fUr Festk6rpermechanik an der TU Berg­akademie Freiberg. Seine Arbeitsgebiete sind die Bruchmechanik, Schadigungsmechanik, Material­theorie und die Entwicklung numerischer Berechnungsverfahren (FEM, BEM). Die Anwendungs­bereiche erstrecken sich von der Sicherheitsbewertung technischer Konstruktionen Gber adaptiveMaterialien bis zur Zuverlassigkeit mikroelektronischer Strukturen. Professor Kuna leitete in den ver­gangenen vier Jahren als Obmann den DVM Arbeitskreis Bruchmechanik und ist Mitherausgeberinternationaler Fachzeitschriften.

1. Auflage 2008

Aile Rechte vorbehalten© Vieweg+Teubner I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008

Lektorat: Harald WolIstadt I Ellen Klabunde

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ISBN 978-3-8351-0097-8

Vorwort

Bei der Entwicklung und Auslegung technischer Konstruktion, Bauteile und Anla­gen spielen die Bewertung und Vermeidung von Bruch- und Schadigungsprozessen einewesentliche Rolle , urn die technische Sicherhe此， Lebensdauer und Zuverlassigkeit zu ge­wahrleisten. Ingenieurtechnische Fehler auf diesem Gebiet roδnnen im Versagensfall kata­s七rophale Folgen fiir das Leben von Menschen, die Umwelt aber auch die Volkswirtschafthaben. Da in vielen Konstruktionen und Werkstoffen hers七ellungs- oder betriebsbedingteDefekte nicht immer ausgeschlossen werden k6nnen, kommt der bruchmechanischen B令wertung von rissartigen Defekten eine grofl,e Bedeutung zu. 1m Rahmen der technischenUberwachung und der Aufkliirung von Schadensfiillen ist neben der Werkstoffcharakte­risierung vor allem die Analyse des mechanischen Beanspruchungszustandes祖 Rissen，

Kerben und iihnlichen Defekten unter betrieblichen Einsatzbedingungen von Interesse.Die Bruchmechαnik hat sich in den letzten 50 Jahren als eigenstiindiges in個rdiszi­

plinar凹 Wissenschaftsgebiet herausgebildet, d揖 zwischen Ted叫scher Mechanik (Fes­tigkeiωlehre) ， Werkstoffwissenschaften und Festk6rperphysik叩開iedelt ist. Die Bruch­mechanik definiert Beanspruchungskenngr6f1,en und Kriterien, urn das Rissverhalten inWerkstoffen und Bauteilen un七er statischen, dynamischen oder zyklischen Bel聞tungen

quantita七iv beurteilen zu k，δnnen.

Fiir die bruchmechanische Beanspruchungsanalyse werden heutzutage in verstiirktemMaJI,e numerische Verfahren der Festk6rpermechanik eingesetzt. Die Finite-Elemente­Methode (FEM) hat sich in vielen Bereichen des Ingenieurwesens 拙 universelles undleistungsfiihiges Werkzeug des modernen Konstrukteurs und Berechnungsingenieurs eta戶

bliert. Es stehen zahlreiche Softwarepakete zur Verfiigung, die mittlerweile neben Stan­dardaufgaben der Strukturmechanik auch bruchmechanische Optionen anbieten. Aller­dings erfordert die Behandlung von Rissproblemen spezielle theoretische Vorkenntnisseund numerische AIgorithmen, die bisher nich七 im no七wendigen Umt:缸19 in die ingenieur­technische Ausbildung und Praxis eingeflossen sind, sondern meistens 的ruchmechani­

schen Spezialisten« vorbehalten blieben.Das Anliegen der vorliegenden Monografie besteht dari且， diese Liicke zu schliefl,en. In

der Einfiihrung werden die wesentlichen theoretischen Grundlagen der Bruchmechanikvorgest

VI

als Zielgruppe Ingenieure in den Konstruktions- und Berechnungsabteilungen vieler Indus­triezweige und in den technischen Aufsichtsbehδrden， die mit Fragen der Auslegung, B€•wertung und Uberwachung von Festigkeit und Lebensdauer technischer Konstruktionenkonfrontiert sind. Gleichzeitig solI das Lehrbuch Materialwissenschaftlern und Werkstoff­technikern eine Briicke zur theoretischen Bruchmechanik bauen, urn numerische Tech­niken 品r die Materialmodellierung zu nu個en oder die Werkstoff- und Bauteilpriifungdurch rechnerische Analysen zu begleiten.

Fiir das Verstii.ndnis des Buches werden yom Leser Grundkenntnisse in der Festig­keitslehre, Kontinuumsmechanik, Materialtheorie und Finit• Elemente-Methode voraus­gesetzt. 1m Anhang sind die wesentlichen Grundlagen der Festigkeitslehre nochmals zu­sammengestellt.

An der Entstehung des Buches waren viele Personen beteiligt. Ein grof&es Dankeschδn

gebiihrt Frau M. Beer fur die Anfertigung der vielen exzellenten Zeichnungen. Die zahlrei­chen numerischen Beispiele stammen u. a. aus gemeinsamen Arbeiten mit friiheren undjetzigen Mitarbeitern meines Lehrstuhl日， wofur ich mich besonders bei Dr. M. Abendroth,Dr. M. Enderlein, Dr. E. Kullig, Th. Leibe1t, Ch. Ludwig, Dr. U. Miihlich, F. Rabold, Dr.B. N. Rao, Dr. A. Ricoeur, Dr. A. Rusakov und L. Sommer bedanken mochte. Bildmate­rial fur ergii.nzende Beispiele haben mir dankenswerterweise Dr. M. Fulland (UniversitatPaderborn) und Dr. I. Scheider (GKSS Geesthacht) 的erlassen. Ebenso konnte ich beiden praktischen Anwendungsfiillen auf Forschungsergebnisse zuriickgreifen, die in lang­jahriger fruchtbarer Kooperation mit den Kollegen Prof. G. Pusch und Dr. P. Hiibner(IWTTU Berg啦啦II由Freiberg) entstanden sind. Herr Prof. Pusch hat freundlicherwei­se auch die fraktografischen Aufnahmen zur Verfiigung gestellt. Mein auf&erordentlicherDank gilt Herrn Prof. W. Brocks (GKSS Geesthacht) fiir die Durchsicht des 叮Ma祖nu叫1

tes und konstruk肛ti廿ve Hi旭nweise zur wissenschaf缸tlichen Da缸IS剖tellung der Thema前，tik. Durchsorgfii1tiges Korrekturlesen des Manuskriptes haben mich Th. Linse, Ch. Ludwig, Dr. M.Enderlein und L. Zybell unterstiitzt.

Sehr herzlich mδchte ich mich bei meiner Frau, Christine Kuna, fiir das gro f&e Ver­stii.ndnis und ihre unendliche Geduld bedanken.

Nicht zuletzt gilt meine Anerkennung dem Vieweg+Teubner Verlag fur die gute Zu­sammenarbeit.

Freiberg, im Mai 2008 Me仰的rdK'包間

Inhaltsverzeichnis

Glossar 1

1 Einleitung 71.1 Bruchvorgange in Na七ur und Technik 71.2 Die Bruchmechanik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111.3 Berechnungsmethoden fiir Ri目前. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 15

2 Einteilung der Bruchvorgange 172.1 Makroskopische Erscheinungsformen des Bruchs. . . . . . . . . . . . . . .. 172.2 Mikroskopische Erscheinungsformen des Bruchs . . . . . . . . . . . . . . .. 212.3 Klassifikation der Bruchvorgange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22

3 Grundlagen der Bruchmechanik 253.1 Modellannahmen................................. 253.2 Linear--elastische Bruchmecha且ik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27

3.2.1 Zweidimensionale Rissprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 273.2.2 Eigenfunktionen des Rissproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 343.2.3 Dreidimensionale Rissprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 393.2.4 Spannungsin七ensitatsfaktoren - K -Konzept . . . . . . . . . . . . . .. 423.2.5 Energiebilanz bei Rissausbreitung 463.2.6 Das J-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 543.2.7 Risse in anisotropen elastischen Korpern. . . . . . . . . . . . . . . . .. 583.2.8 Grenzflachenrisse............................... 613.2.9 Risse in Platten und Schalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 653.2.10 Bruchmechanische Gewich七日funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 683.2.11 Thermische und elektrische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79

3.3 Elastisch-plastische Bruchmechanik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 833.3.1 Einfiihrung.................................. 833.3.2 Kleine plastische Zonen 位n Riss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 843.3.3 D品 DUGDALE-Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 883.3.4 Rissoffnungsverschiebung CTOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 903.3.5 Failure Assessment Diagramm FAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 923.3.6 Rissspitzenfelder............................... 943.3.7 D品 J-Integral-Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3.8 Duktile Rissausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3·4 Ermiidungsrisswachstum............................. 1173.4.1 Belastung mit konstanter Amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.4.2 Beanspruchungssituationen an der Rissspitze . . . . . . . . . . . . . . . 1213.4.3 Belastung mit variabler Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

VIII Inhaltsverzeichnis

344 Bruchkriterien bei Mixed-Mode-Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . 127345 Ermiidungsrissausbreitung bei Mixed-Mode-Beanspruchung . . . . . . . 1313.4.6 Vorhersage des Risspfades und seiner Stabilita.t . . . . . . . . . . . . . . 133

3.5 Dynamische Bruchvorgiinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.5.1 Ein品hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.5.2 Elastodynamischc Grundglcichllngcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.5.3 Station益甜甜泌e bei dynamischer Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . 1373·5·4 Dynamischc llissausbreitung ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.5.5 Ellergiebilanz uncl J-Illtegrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443·5·6 Bruchkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4 Methode der Finiten Elemente 1494.1 R趴llllliche und zeitliche Diskretisierung der Randwertaufgabe . . . . . . . . 1494.2 Energieprinzipien der Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.2.1 Variation der Verschiebungsgro1Sen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.2.2 Variation der Kraftgrol&en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.2.3 Gemischte und hybride Variationsprill?;ipien . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.2.4 Prinzip von HAMILTON 161

4.3 Grundgleichungen der FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.3.1 Aufbau der Steifigkeitsbeziehungen fUr ein Element. . . . . . . . . . . . 1624.3.2 Assemblierung und Losung des Gesamtsystems . . . . . . . . . . . . . . 164

4.4 Numerische Realisierung der FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166441 Wahl der Verschiebungsansa.tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166442 Isoparametrische Elementfamilie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167443 Numerische Integration der Elementmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . 170444 Numerische Interpolation der Ergebnisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.5 FEM fUr nichtlineare Randwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.5.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.5. 2 扎，{aterielle Nichtlinearita.ten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.5.3 Geometrische Nichtlinearitiiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.6 Explizite FEM fUr dynamische Probleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.7 Arbeitsschritte bei cler FEM-Analyse 186

4.7.1 PRE-Prozessor................................ 1864.7.2 FEM-Prozes..<;or................................ 1864.7.3 POST-Prozessor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5 FEM-Techniken zur Rissanalyse in linear-elastischen Strukturen 1875.1 Auswertung cler nurnerischen Losung an cler Rissspitze . . . . . . . . . . . . 1875.2 Spezielle finite Elernellte an cler Ris.."lSpitze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.2.1 Entwieklung von Rissspit7.enelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.2.2 Modifizicrtc isoparamctrischc Vcrschicbungsclcmcntc . . . . . . . . . . . 1925.2.3 Berechnung der Intensitatsfaktoren aus Viertelpunktelementen . . . . . 201

5.3 Hybride Rissspitzenelemente 2055.3.1 Entwicklung hybrider Rissspitzenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.3.2 2D Rissspitzenelemente nach dem gemischten hybriden Modell . . . . . 207

Inhaltsverzeichnis IX

5.3.3 3D Rissspitzenelemente nach dem hybriden Spannungsmodell . . . . . . 2115.4 Die Methode der globalen Energiefreisetzungsrate. . . . . . . . . . . . . . . 217

5.4.1 Umsetzung im Rahmen der FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2175.4.2 Die Methode der virtuellen Rissausbrei七ung . . . . . . . . . . . . . . . . 218

5.5 Die Methode des Rissschlie:l/,integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2205.5.1 Grundgleichungen der lokalen Energiemethode . . . . . . . . . . . . . . 2205.5.2 Numerische Realisierung mit FEM 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2225.5.3 Numerische Realisierung mit FEM 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2275.5.4 Beriicksichtigung von Rissufer-, Volumen- und thermischen Belastungen 232

5.6 FEM-Berechnung des J-Linienintegrals 2345.7 FEM-Berechnung bruchmechanischer Gewichtsfunktionen . . . . . . . . . . 236

5.7.1 Einfache Ermittlung mi七 Einheitskraften. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2365.7.2 Bestimmung parametrisierter Einflussfunktionen . . . . . . . . . . . . . 2385.7.3 Berechnung aus der Verschiebungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . 2405.7.4 Anwendung der J-VCE-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2435.7.5 Berechnung mit der BUECKNER-Singularitat 244

5·8 Beispiele...................................... 2455.8.1 Scheibe mit Innenriss unter Zug 2455.8.2 Halbelliptischer Oberflachenriss un七er Zug . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6 Numerische Berechnung verallgemeinerter Energiebilanzintegrale 2536.1 Verallgemeinerte Energiebilanzintegrale 2536.2 Erweiterung auf allgemeinere Belastungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6.2.1 Voraussetzungen der Wegunabhangigkeit 2576.2.2 Rissufer-, Volumen- und thermische Lasten . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6.3 Dreidimensionale Versionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2606.3.1 Das 3D-Scheibenintegral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2606.3.2 Virtuelle Rissausbreitung 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

6.4 Numerische Berechnung als aquivalentes Gebietsintegral . . . . . . . . . . . 2646.4.1 Umwandlung in ein aquivalentes Gebie個integral 2D . . . . . . . . . . . 2646.4.2 Umwandlung in ein aquivalentes Gebietsintegral 3D . . . . . . . . . . . 2676.4.3 Numerische Realisierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

6.5 Beriicksichtigung dynamischer Vorgange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2706.6 Erweiterung auf inhomogene Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2726.7 Behandlung von Mixed-Mode-Rissproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

6.7.1 Aufspaltung in Rissoffnungsar七en I und II . . . . . . . . . . . . . . . . . 2736.7.2 Interaction-Integral-Technik......................... 276

6.8 Berechnung der T-Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2796.9 Beispiele...................................... 282

6.9.1 Innenriss unter Rissuferbelastung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2826.9.2 Kantenriss unter Thermoschock. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2836.9.3 Dynamisch belasteter Innenriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2866.9.4 Riss im Gradientenwerkstoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

6.10 Zusammenfassende Bewertung 289

x Inhaltsverzeichnis

7 FE]\.ιTechniken zur Rissanalyse in elastisch-plastischen Strukturen 2917.1 Elastisch-plastische Rissspitzenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2917.2 Auswertung der Risso宜nungsverschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2937.3 Berechnung des J-Integrals und seine Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . 295

7.3.1 Elastisch-plastische Erweiterungen von J .. . . . . . . . . . . . . . . . 2957-3.2 Anwendung auf ruhende Risse .. _ . _ _ . . . . . . . _ . . _ . . . . . . 3007.3.3 Anwendung auf bewegte Risse 301

7·4 Beispiele...................................... 30 37.4.1 Kompakt-Zug-Probe............................. 3037.4.2 Plattenzugversuche mit Oberfliichenriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

8 Numerische Simulation des Risswachstums 3118.1 Technik der Knotentrennung 3118.2 Techniken der Elementmodifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

8.2.1 Elementteilung................................ 3138.2.2 Elementausfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3148.2.3 Anpassung der Elementstei宜gkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

8.3 Mitbewegte Rissspitzenelemente 3168.4 Ada抖ive Vernetzungss七rategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

8.4.1 Fehlergesteuerte adaptive Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3198.4.2 Simulation der Rissausbrei七ung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

8.5 Kohiisivzonenmodelle............................... 3218.5.1 Werkstoffmechanische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3218.5.2 Numerische Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

8.6 Schiidigungsmechanische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3298.7 Beispiele fUr Ermiidungsrisswachstum ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

8.7.1 Querkraftbiegeprobe............................. 3318.7.2 ICE-Radreifenbruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

8.8 Beispiele fUr duktiles Risswachstum 3358.8.1 Kohiisivzonenmodell fUr die CT-Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3358.8.2 Schiidigungsmechanik fUr die SENB-Probe 338

9 Anwendungsbeispiele 3439.1 Lebensdauerbewertung eines Eisenbahnrades bei Ermiidungsrisswachstum . 343

9.1.1 Bruchmechanische und konventionelle Kennwerte von ADI 3439.1.2 Finite-Elemente-Berechnungen des Rades . . . . . . . . . . . . . . . . . 3449·1.3 Festlegung der Risspostulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479·1.4 Bruchmechanische Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

9.2 Sp吋dbruchbewertung eines Behiil七ers unter Stof&belas七ung. . . . . . . . . . 3549.2.1 FEM-Modell des Fallversuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3559.2.2 Bruchmechanische Ergebnisse der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . 3569.2.3 Anwendung der Submodelltechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

9.3 Ziihbruchbewer七ung von Schweif&verbindungen in Gasrohrleitungen . . . . . 3599.3. 1 Einleitung................................... 3599.3.2 Bruchmechanisches Bewertungskonzept FAD . . . . . . . . . . . . . . . 359

Inhaltsverzeichnis XI

9.3.3 Bauteilversuch an einer Rohrlei七ung mit Schwei:fl,nahtrissen . . . . . . . 3639.3.4 FEM-Ana1yse des Bau七eilversuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

Anhang 371

A Grundlagen der Festigkeitslehre 373A.1 Mathematische Dar的ellung und Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373A.2 Verformungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

A.2.1 Kinematik der Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374A.2.2 Deformationsgradient und Verzerrungstensoren . . . . . . . . . . . . . . 375A.2·3 Deformationsgeschwindigkeiten....................... 378A.2.4 Linearisierung fur kleine Deformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

A.3 Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382A.3.1 Spannungsvektor und Spannungstensor 382A.3.2 Spannungen in der Ausgangskon且gura七ion. . . . . . . . . . . . . . . . . 385A·3·3 Hauptachsentransformation......................... 387A·3·4 Gleichgewichtsbedingungen......................... 389

A·4 Materialgesetze.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391A.4.1 Elastische Materialgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391A.4.2 Elastisch-plastische M前erialgesetze 397

A.5 Randwertaufgaben der Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410A.5.1 Definition der Randwertaufgabe 410A.5.2 Ebene Randwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412A.5.3 Methode der komplexen Spannungsfunktionen 415A.5.4 Der nichtebene Schubspannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417A.5.5 Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

Literaturverzeichnis

Stichwortverzeichnis

421

441

Glossar

Symbole E~ pi晶tische Matrix-Vergleichsdehnunga Verfe的igungskoeffizient

Eg計ZsPD，e，εwEeErz Vegazzmog聽ensor。cf p1astischer Constraint-Faktor VerzerrungsdeviatorCtd Dilatationswellenverhii.ltnis el晶tische Verzerrungen血ij anisotrope elastische Konstanten , Erj plastische Verzerrungenαt linearer thermischer Ausdehnungskoeffi-

e;t , e~j thermische Verzerrungenzient E Verzerrungsmatrix

αt ， Ctt Tensor der thermischen Ausdehnungsk,• ee elas七ische Verzerrungsmatrix，包3

effizienten eP plastische VerzerrungsmatrixCt. Scherwellenverhii.ltnis eO Anfangsdehnungenf3T Biaxialparameter C komplexe Variablef3ij thermische Spannungskoeffizienten

η Verhaltniszahl SchubjZug (Kohasivmo-β， βB in七erne hybride Ansatzkoe伍zienten dell)r Integrationsweg

η Fehlerindikator FEM globalr+ , r- obere日， unter間 R旭sufer

η(Xl) Gradientenfunktion几 Integrationsweg Rissspitze

η(aj叩) G凹metriefunktion Jp-Integral7 Gleitung

ηe FeWerindikator Element eγ Materialkonstante η， ηm.. EULER-ALMANSI Verzerrungsteru 自r

7 sp扭過sche Oberfliichenenergie o Polarkoordinate, Winkel'YI Hauptgleitungen Oc llissausbreitungswinkel

" 。d Winkel bei Dilatationswellen7日

'YIn O. Winkel bei Scherwellen'Yd Radienverhaltnis Dilatation o W ii.rmeiibergangszahl'YO dynarnische Oberfliichenenergie

，也 elastische Konsta此e

1'. Radienverhii.ltnis Schub x Knotendistorsionspar剖neter

'Yt Rissδffnungswinkel x llissspitzenposition公σ Spannung田chwin/l;breite x dynamischer Uberh6hungsfaktorl:> K zy凶ischer Spannungsintensitatsfaktor A pI!姐tischer LAGRANGEScher Multipli恤，

l:>Keff effektive zyklische Sp祖nungsintensit益t torl:>Kth SchwellenwenErmiidung

λ Exponent der komplexen Spannungs-6 Variationssymbol funktion6 Separation (Kohii.sivzonenmodell)

λ LAMEsche El圓tizitatskonstanteOc Dekohii.sionslange

μ SchubmodulOn Separation (normal)

μ Schubaufnahmefaktor0. Separation (transversal) v QuerkontraktionszaWOt Separation (tangential)

~， ~i natiirliche ElementkoordinatenOt Rissδffnungsverschiebung CTOD

直g ， ~l Koordinaten IntegrationspunkteOT Separation Scherung total IIC: Prinzip der Komplementii.renergie6 = [11.] Separationsvektor (Kohasivmodell)

IIcH hybrides SpannungsprinzipE Dielektrizitatskonstante IIGH hybrides gemischt臼 PrinzipE Bimaterialkonstante IIMHo vereinfachtes hybrid臼 gemischtes Prin-Eijk Permutationstensor LEVI-CEVITA ZiPε。 Refere血dehnung (自可 jE) IIp Prinzip der potenziellen En叮gie

εI HauptdebnungenIIpH hybrides Verschiebungsprinzip

εn " IIn HELLlNGER-REISSNER-PrinzipEm IIerl Potenzial且llierer LastenEH Kugeltensor der Verzerrungen

在IIienxttinneres mecha凶sch曲 Pote血ial

E~ p1astische Vergleichsdehnungkomplementii.r田 allier田 Pote血ial

BruchprozesszoneKoeffizienten EigenfunktionenZuordnungsmatrix (Inzidenzmatrix)Oberfliiche (Momentankonfiguration)RissliingeHalbachse von elliptischen RissenRissgeschwindigkeitRissbeschleunigungAnfangsrissliingekritische Rissliingeeffektive RissliingeKoeffizienten EigenfunktionenRissliinge aus SchwellenwertBeschleunigungsvektor-Z

Bi的Eha

AAAαaα

﹒α益的心屯的科院

Probendickekomplexer SpannungskoeffizientB UECKNER-SingularitiitVerzerrungs-Verschiebungs-Matrixnichtlineare Ver間rrungs­

Verschiebungsmatrixhybride Elemen七matrix

Ligamen七lange

Koeffizienten EigenfunktionenBiaxialparameterlinker CAUCHY-GREEN Deformations­TensorVolumenkraftvektor

BBB

晶晶B-B

BbbibTb, bmn

b, b包

CC geschlossener IntegrationspfadC komplexer SpannungskoeffizientC PARIS-KoeffizientC , CMN rechter CAUCHY-GREEN Deformations-

七ensor

C Matrix Materialtensorc e Elastizitiitsmatrixcep elastisch-pla的ische Materialma七rix

COl.βElastizit且，tsmatrix

!C, C ijkl Elastizitiitstensor 4 , Stufec Halbachse von elliptischen Rissencd Dilatationswellengeschwindigkeitci Koeffizienten EigenfunktionenCIt RAYLEIGH-Wellengeschwindigkeit臼 Scherwellengeschwindigkeit

Cv spezifische W前mekapazitiit

komplementiires inneres PotenzialKerbradiusDichte (Momentankonfiguration)Dichte (Ausgangskonfiguration)Norrr叫spannung (Kohiisivzonenmodell)Kohiisionsfes七igkeit ZugReferenzspannung (自 O"F)

Flie//'spannungAnfangsflie//'spannungKugeitensor der SpannungenHauptnormalspannungen

kritische SpannungenMatrixflie//'spannungOberspannungUnterspannungNennspannung ZugV. MISES VergleichsspannungCAUCHYScher SpannungstensorSpannungsdeviatorCAUCαHY乎-Spa包nl直nnungsma前t牡，trix

Schub自pann

Koh且迦sion阻1昀sf，跆·es剖甜t“i站gkei趾t SchubSchubs叩pa缸nnungtang巴n訕1此七ia叫lSchubspa叩z且mung transversalSchubflie//'spannungAnfangsschubflie//'spannungHaup七schubspannungen

SchubspannungskomponentenNennspannung SchubFlie//'bedingung, Dis唱ipationsfunktionelek七rische喝 Po七enzial

Winkelkoordinate bei elliptischen RissenSkal訂閱 Wellenpotenzial

komplexe Spannungsfunk七ion

komplexe SpannungsfunktionRiss6ffnungsfunktionPhasenwinkelelastisches Potenzialvektorielles Wellenpotenzialkomplexe SpannungsfunktionIntegrationsgebiet J -IntegralIn七egra·七ionsgebie七 J-In七egral

SchiidigungsvariableOberfliichenladungsdichte

Glossar2

Dη

色臨

-m

叫阿戶))仇巾，

〈恥ρp內σA呵呵呵吶HσmAmmm

吋叫hhhhnhDeσTP

呵呵，句句吭

η白叩叮叮φψ-vv仰的χψ恥仇叫叭。-Oω-ω

DissipationsenergiePlattensteifigkeitRAYLEIGH-F'unktionelektrische Flussdich七e

DifferenziationsmatrixAusdehnung der plastischen ZoneFliichenelementOberfliichenelement

。

D

DDD叫民D句“的

komplexer SpannungskoeffizientRissfliicheOberfliiche (Ausgangskonfiguration)Faktoren Energiefreisetzungsrate

Spannungskoeffiezi目前

AAAAAIAllAmAσ

dV Volumenelementds Linienelementd , d; j Deformationsgeschwindigkeitstensor

EE Elastizit ii.tsmodulE(k) elliptisch由Integral 2. A此

E , EMN GREEN-LANGRANGE VerzerrungstensorE， EτelektrischeFeldstii.rkeE GREEN-LAGRANGE Verzerrungsmatrixe. B甜isvektoren

e EULERSChe Za.hl e但 2 ，718

FF EinzelkraftF(a:) AIRYSche SpannungsfunktionFL pi甜tische Grenzlast (Tragi晶t);;;(n)F;"" Eigenfunktionen IF , FmM DeformationsgradientF Systemlas七vektor

:F FlussintegralI Porenvolumenanteil1* modifizierter Porenvolumenanteil10 Anfangs-PorenvolumenanteilIc kritischer Porenvoumenanteil!J Porenvolumen 祖.teil bei VersagenIN Porenkeimdichte Nu凶個.tion

It Winkelfunktionen Ris帥itzenfeld(L=I， 日， III)

f Elementlas七vektor

GGGG

SchubmodulEnergiefreisetzungsrateEnergiefreisetzungsrate fUrRissmodus I, II, III

"GIl

GillGcGdyn

G~ ， G~Idjn)G

役，ω)~.

kritische Energiefreisetzungsratedynamische Energiefreisetzungsratebruchmechanische Gewichtsfunktionen

Eigenfunktionen Modus IIhybride ElementmatrixGeometriefunktion fiir K-FaktorenWinkelfunktionen Rissspitzenfeld(L = I,II,III)Tempera七urgradientg , 9i

HH Rohe RisselementH (r) REAVISIDE-SprungfunktionHe> Verfestigungsfunktion時， HII bruchmech組ische Gewichtsfunl耐nen

Hij IRWIN-Matrix An函。tropie

fI~n) Eigenfunktionen Modus IIIH hybride Elementmatrix

3

H Matrix Verf，田tigungsfunktion

H Matrix Verschiebungsgradienth Dicke (Plat臼n， Scheiben)1i. Mehrachsigkeitszahlh e> Verf，臼tigungsvariable

h ,hi Wii.rmeflu閻明ktor

h Matrix Verfestigungsvariable

IIf. I1. I t- Invariante d田 Tensors A1 , ....2 , ....3I , liij KRONEcKER-Symbol, EinheitstensorI p , Ipi Impulsvektori = V=I imaginii.re Ei曲eit

JJ J-IntegralJ Determinante des Deformationsgradien-

ten det IFIJ于 dynamisches J-Integral (ruhender Riss)JQyn dynamisches J-Integral (bewegter Riss)J 3D ScheibenintegralJIc kritischer WerkstoffkennwertJR( .t..a) Risswiderstandskurve (EPBM)Je elastischer J-AnteilJ p pi聞tischer J-Anteil芒，在'k J-IntegralvektorJ , Jk el組出ch-pl圓tisch個 J-Integral

.re , -1.e therm叫ast岫田 J岫egral

J JACoBIsche Funktionalmatrix

Kκkb

kinetische EnergieKompr臼sionsmodul

Intensitii.tsfaktor der dielektrischen Ver­schiebungSpannungsintensit且，tsfaktorenKI

KnKmKf dynami帥er Spannungsintensitii.tsf:出or

KIc , KIIc statische Bruchzii.higkeitKID dynamische Bruchzii.higkeit (bewegter

Riss)KId dynamische Bruchzii.l均kei七 (ruhender

Riss)KIa Rissarrestzii.higkeitK rnax Maximum der Spannungsin七個訕訕

Krnin Minimum der Spannungsintensit此

K op Riss品ffnungsintensitii.tsfaktor

K v Vergleichs-Spannungsintensitii.tsfaktorK r, K2 Spannungsintensitii.tsfaktoren Grenzflii.-

chenrissK komplexer Sp祖nungsintensitii.tsfaktor

K Systemsteifigkeitsmatrixk Probensteifigkeitk W ii.rmeleitkoeffizientkr，的 Spannungsintensit孟，tsfaktoren bei Plat­

ten

q(Xl) Rissuferlasten缸 ， q2 , q3 Parameter GURSON-Modellqi Querkriifte (Plattentheorie)qk Wichtungsfunktion 3D

Glossar

Element-Steifigkeitsmatrix

4

k

RR Spannungsverhiiltnis Kmin/K maxR(eP ) 旭otrope VerfestigungsvariableR(.6.α) Risswiderstandskurve (LEBM)R, RnM RotationstensorR hybride RandspannungsmatrixR ResiduenvektorT Polarkoordinate, RadiusTB Gr6f1,e der BruchprozesszoneTF Radius plastische ZoneTJ Giiltigkeitsradius J-FeldTK Giiltigkeitsradius K-FeldTp Gr6f1,e der plastischen ZoneTd Radius bei DilatationswellenT s Radius bei Scherwellenr , Tij Drehtransformationsmatrix

LL Lange Risselement乙(仙U ， 也， t吟) LA岫GR恥AN悶GE-Fu凶I

z丘;2??)E血ig酹e阻n咄If曲f血fu叩mk站kti“ione阻e凹nM口d田 IIIIIIL hybride VerschiebungsmatrixI , IηGeschwindigkeitsgradient

dL Lin剖i旭e凹nele凹me凹n叫1

tion)Linienelementliinge (Momentankonfigu­ration)virtuelle Verriickung der Rissfront

Eigenfunktionen Modus ISystemmassenmatrixPARIs-ExponentBiegemomente (Plattentheorie)Elementmassenmatrix

M的此可Mm叫m

dl

.6.l k

oberflacheInterelementrandEnergiedichtefaktor。bere， untere RissfliicheOberfl且che RissschlauchStirnflachenτ'eilrand mit gegebenen tTeilrand mit gegebenen ii.S趾ChI叫I

elas前tisch阻er Nach喀gi扭ebi站gkei趾tstensor

NachgiebigkeitsmatrixBogenlangeSchnit七kraf七 (Momentankonfiguration)

「

k

rtk3的-，吋

sa

恥呵

(4zstu'

ss~ssssaaas&SSR

「

Zahl der LastzyklenZahl aller Knoten des FEM-SystemsFormfunk七ionen

Lastzyklen bis zum Bruch

Eigenfunktionen Modus II

Normalenrichtung im SpannungsraumMatrix der FormfunktionenZahl der DimensionenZahl der finiten ElementeZahl der GAuss-PunkteZahl der VerfestigungsvariablenZahl der Kno七en je ElementZahl der EinzelkrafteZahl der Starrk6rperfreiheitsgradeNormalenvektor

、‘'，句

u

boAM

叫小呵

NNK凡hFJM叫N呵呵呵呵呵吼叫恥

TT TemperaturfeldTij Spannungskomponenten 2. OrdnungT i: verallgemeinertes EnergieintegralT , TMN 2. PIOLA-KIRCHHOFF SpannungstensorT 2.PIOLA-KIRCHHOFF Spannungsmatrixt , t包 Schnittspannungsvektor

t , ti Randspannungsvektort Randspannungsma七rix

t Randspannungsvektor (Kohiisivzonenmo­dell)Rissuferspannungen

PP globaler LastparameterP RissuferkrafteP , Pk generalisierte KonfigurationskraftP , PMn 1. PIOLA-KIRCHHOFF SpannungstensorP hybride Spannungsmatrixp(Xl) Rissuferlastenp(a:) Fliichenlast (Plattentheorie)P ,Pi materieller Volumenkraftvektor

FormanderungsenergiedichteRiss6ffnungsfaktorkomplementiire Formanderungsenergie­dichtespezifische Formanderungsarbeit

tC , tiUUUAU

U

thermische EnergieConstraint-Faktor (EPBM)RissuferkrafteEnergie-Impuls-TensorVerschiebung des KraftangriffspunktesWichtungsfunk七ion 2D

QQQQQ, Qijqq

ue elastische FormiinderungsenergiedichteUP plastische Formiinderungsarbeitt:Jte thermoel祖七ische Form祖derungsenergi年

dichteU , UMN rechter Strecktensoru , tij Verschiebungsvektor函， ilj Elementrandverschiebungu, 'ilj Randverschiebungsvektoru Verschiebungsmatrix

VV Kerboffnungsverschiebung CODV Volumen (Ausg叩konfiguration)

V , Vmn linker StrecktensorV Systemknotenverschiebungenv Volumen (Momentankonfiguration)吼叫 Geschwindigkeitsvektorv Kno七enverschiebungsvektor

whw給(hw川崎

W

叩(:I:)

Wg

w， 包)ij

XX , XMX , Xjj~， Xm

xx

iiul1.ere m巴巴:hanische Arbeitinnere mechanische Arbeitkomplementii.re iiull.ere Arbeitkomplementii.re innere ArbeitArbeit zur 甜甜δffnung

Arbeit Bruc:hpr倒閉間ne

ProbenbreiteDurchbiegung (Plattentheorie)Gewichte IntegrationsregelDrehg田chwindigkeitstensor

Koordinaten (materiell)kinematische VerfestigungsvariableKoordinaten (raurnlich)ElementkoordinatenmatrixKnotenkoordinatenmatrix

zz komplexe Variable

5

z allgemeine FEM Ergebnisgrol1.e

AbkiirzungenASTM American Society TI田ting of MaterialsARWA AnfangsrandwertaufgabeCTE Crack Tip Element (Rissspitzenelement)CTOA Crack Tip Opening AngleCTOD Crack Tip Opening Displ飢ement

D且在 Displ紅海ment Interpretation Method(Verschiebun伊A田wertemethode)

ED! Equivalent Domain Integral (蚵叫叫.en﹒

t田 Gebietsintegral)

EPBM elastisch-plastische BruchmechanikESZ ebener SpannungszustandEVZ ebener VerzerrungszustandESIS European Structural Integrity SocietyFAD Failure Assessment DiagramFEM Finite Elemente MethodeLEBM linear-elastische BruchmechanikLSY Large Scale YieldingMCCI Modified Crack Closure Integral (modifi-

ziertω 阻sBSC凶ei.integral)

NES nichtebener Schubsp扭曲時認ust祖d

PC PI聞tic Collaμe

QPE Quarter-Point Elements (Viertelpunkt-elemente)

RSE regulare StandardelementeRWA RandwertaufgabeSINTAP Structural Integrity A扭曲sment Proce-

dureSSY Small Scale YieldingSZH Stretched Zone HeightVCE Virtual 臼ack Extension (Virtuelle Hi峰

ausbreitung)lD eindimensional2D zweidimensional3D dreidimensional

1 Einleitung

1.1 Bruchvorgange in Natur und Technik

Das Wort »Bruch« bezeichnet die Trennung des Materialzusammenhalts in einem festenK6rper. Es hande1t sich urn einen Vorgang, der den K6rper entweder teilweise zertrennt,was zur Entstehung von Anrissen fiihrt , oder auch seine vollstandige Zerstδrung bewirkenkann. Der eigentliche Bruchvorgang geschieht lokal durch elementare Versagensprozesseauf der mikroskopischen Ebene der Werkstoffe und wird durch ihre physikalischen undmikros七ruk七urellen Eigenschaften 色的gele阱， wie das Beispiel von Bild 1.1 zeigt. Die glo­bale Erscheinungsform des Bruchs auf makroskopischer Ebene besteht in der Bildung undAusbreitung eines oder mehrerer Risse im K6rper, wodurch schlieff,lich das to個Ie mecha­nische Versagen herbeigefiihrt wird. Auf dieser Ebene k6nnen Bruchvorgiinge erfolgreichmit den Methoden der Festk6rpermechanik und Festigkeitslehre beschrieben werden.

Bruchprozesse sind jedem aus Natur und Technik hinliinglich bekannt. Sehr beein­druckend sind Risse und Briiche natiirlicher Materialien wie Gestein und E誨， vor allemwenn sie uns in groff,en geologischen Formationen als Felseinstiirze, Gle個cherspa1ten undErdbeben begegnen, siehe Bild 1.2.

Bild 1.1: Mikroriss im Gefiige vonduktilem Gusseisen

Bild 1.2: Makroriss (Spalte) im Friin­delgletscher / Schweiz

8 1 Einleitung

Bild 1.3: ICE Eisenbahnungliick bei Eschede 1998 als Folge eines gebrochenen Radreifens

Bild 1.4: Briickeneinsturz bei einem Erdbeben in No的hridge 1994 USA

Insbesondere waren und sind aber auch die technischen Produkte und Entwicklun­gen der Menschheit mit Problemen der Bruchsicherheit und Lebensdauer konfrontiertund stellten zu allen Zeiten eine Herausforderung fUr das Ingenieurwesen dar. Sponta­ner Bruch ist die gefi:ihrlichste Versagensart einer mechanisch beanspruchten Konstrukti­on! Heute dokumentieren kiihne Bauwerke aus Beton und Stal址， zuverlassige Flugzeugeund Hochgeschwindigkeitsziige, crash-sichere Autos und festigkeitsop七imierte High-Tech­Werkstoffe den enormen technischen Fortschritt in diesen Bereichen. Umgekehrt zeugteine beachtliche Z位11 technischer Schadensfalle VOn den schmerzhaften Erfahrungen aufdem Wege dahin. Beispiele sind die Rissbildung in Bauwerken und Maschinenteilen, dervollstandige Einsturz von Briicken, das Bersten von Apparaten oder das Zerbrechen vonFalrrzeugkonstr此tionen (siehe die Bilder 1.3 und 1叫.

1.1 Bruchvorgange in Natur und Technik 9

Die Grunde sind meistens nicht entdeckte Material- oder Bauteilfehler, unzureichen­de Auslegung der Konstruktion gegenuber den wirklichen Lasten oder der Einsatz vonWerkstoffen mit mangelhaften Festigkeitseigenschaften. 1m modernen Indus崗位eitalter

besitzt die Gewahrleistung der technische Sicherhe此， Lebensdauer und Zuverlassigkeitvon technischen Konstruktionen, Bauteilen und Anlagen eine grofl,e Bedeutung. Inge­nieurtechnische Fehler auf diesem Gebiet ~δnnen im Versagensfall katastrophale FolgenfUr das Leben von Menschen, fur die Umwe1t aber auch fur die Wirtschaftlichkeit undVerfUgbarkeit der Produkte haben. Deshalb spielen wissenschaftliche Konzepte zur Be­wertung und Vermeidung von Bruch- und Schadigungsprozessen eine erhebliche Rolle.

Physik Materialwissenschaft Festk6rpermechanik

10E-10

nano mikro

Dcfekte <Werksto何gefiigc

可 OE~6

n唾eso mαkro

Defekte>Werkstolfge 而且e

1 Meter

10E-O

Bindungen Versetzungen, Mikrorisse, Mikroporen Makrorisseh 巴 4

Molekular- Mikromechanikdynamik

Schiidigungsmechanik Bruchmechanik

Bild 1.5: Bruchvorgange auf unterschiedlichen Skalen und Betrachtungsebenen

Bruchvorgange und Versagensprozesse laufen auf allen G的fl，enskalen abo Wahrendder Ingenieur hauptsachlich die genannte makroskopische Betrachtungsweise bevorzugt,interessiert sich der Materialwissenschaftler starker fUr die im WerkstoffgefUge ablaufen­den mesoskopischen Prozesse oder die darunter liegenden mikroskopischen Phanomenein einzelnen Gefugekomponenten. Den Festk6rperphysiker bewegen vorrangig die nano­skopischen Strukturen der atomaren Bindungen. Fur das Verstandnis der Festigkeitsei­genschaften der Materialien und ihres Bruchverha1tens traεen alle in Bild 1.5 skizziertenBetrachtungsebenen bei, die sich vereinfacht durch das Verha1tnis der Defektgrδfl，e zuden Gefugeabmessungen klassifizieren lassen. Heutzutage werden Modelle auf jeder B令trachtungsebene und skalenubergreifend mit Methoden der Molekulardynamik, Mikrome­chanik, Schadigungsmechanik und Bruchmechanik umgesetzt. Die numerische Simulationvon Rissen und Defekten ist auf allen Modellierungsebenen ein unentbehrliches Werkzeug.

10 1 Einleitung

Verschiedene ingenieur七echnische Fachgebiete befassen sich mit der Bewertung derBruchfestigkeit und Lebensdauer von Konstruktionen. Zum besseren Verstandnis undzur Klarung der Begriffe solI hier eingangs eine Einordnung gegeben werden.

Die kl帥的sche Festigke伽lehre (engl. theo巾。If strength) geht von deformierbaren K6r­pern gegebener Geometrie (G) au日， die frei von jeglichen Defekten sind und ein idealesKontinuum darstellen. Mit den Berechungsmethoden der Strukturmechanik werden dieSpannungen und Verzerrungen im Bauteil als Folge der Einwirkung au:fl,erer Belas七ungen

(L) und unter Annahme des spez剖ifi缸schen

u田sw.) des Materials (M) e缸r口凹II叫I

h坤ypo叫thesen und berechne前t Ken血nn喀gr吋δi晶已鉛伯e缸en-meis前t i旭n Form eine叮rYe缸rgleichss叩pa缸阻z且mung σ冉v ,die den B弘ea組ns叩pruchun盯mgszustand in jedem Materialpunkt charakterisieren. Durch Versu­che an einfachen Probek6rpern mit elementaren Beanspruchungszustanden (z.B. Zugver­such) werden kritische Grenzwerteσc der Werkstofffestigkeit ermitte祉， bei deren Uber­schreiten ein Versagen (z.B. Bruch) eintritt. Um die Sich的eit von Bauteilen zu gew.伽­

leisten, mussen die dort auftretenden maximalen Beanspruchungen stets unter diesenkritischen Festigkeitskennwerten bleiben, was in bekannter Form als Festigkeitskriteriumdargestellt wird:

州， L， M) 三白ul(M) =三

Die zulassige Beanspruchungσ'zul bestimmt sich aus dem WerkstoffkennwertσcdurchAbminderung mit einem Sicherheitsbeiwert S > 1. Dabei wird vorausg凹的前， dass diea叩n La油bo叮rpro吋be阻ne叮r口凹II副E

s吭tofπfeigenschaf缸ten repr站as間err叫1述ti跆eren und somi誌t auf die Bauteilgeomet牡ri跆eli垃ibe缸rt仕ragen we叮rden1

d缸晶r垃irfl起'en (Pr吋#叫nzi妙:p der Ubertr，αgbαrkeit).

Die genannte Beziehung beschreibt eine lokale Festigkeitshypothese 缸n Materialpunkt.1m Unterschied dazu kennt man auch globαle Versagenskriterien wie z.B. die pla.stischeGrenzlast FL , die den Verlust der τ'ragfahigkeit des gesamten Bauteils quantifizieren.Ein lokales Versagen muss nicht sofort zum globalen Versagen fiihr凹， sondern in Ab­hangigkei七 von Belastung und Geometrie kann die Konstruktion der Ausbreitung vonSchadigungen noch begrenzt widerstehen. Dieses Verhalten wird mit den Begri宜en Si­cherheitsreserven und Schadenstolemnz gekennzeichnet.

Je nach ihrem zeitlichen Verlauf unterscheidet man statische, dynamische oder zykli­sche Belastungen. Fur den praktisch haufigen Fall regelmaJf,iger zyklischer oder regelloserstochastischer Belastungen hat sich die Betriebsfestigkeitslehre als Teildisziplin herausg令

bildet.Die traditionellen Fes七igkeitshypothesen und die darin verwendeten Werksto宜kenn­

werte fur 臨的igkeit und Zahigkeit (飢reckgrenze， Zugfestigke此， Dauerschwi時festigke此，

Bruchdehnu嗯， Kerbschlagarbeit) versagenjedoch haufig , wenn es um di泊eVo前rher昀sa呵.geun

Ve缸r口meidung von Bruchvor唔g昌街an且l喀ge凹ng酹eh恤t ， wie die in der Praxis immer wieder auftretendenSchadensfalle zeigen. Ursache dafur ist, dass Bruchvorgange vornehmlich von Stellen ho­her Beanspruchungskonzentration an rissartigen Defekten ausgehen, wofur die klassischeFestigkeitslehre keine verwertbaren quantitativen Zusammenhange zwischen Beanspru­chungssituation, Bauteilgeometrie und Werkstoffeigenschaften liefert.

1.2 Die Bruchmechanik 11

Eine recht moderne Disziplin ist die Schad加mgsmechαnik (eng!. continuum dαmα，ge

mechαnics). Hier arbeitet man mit den gleichen Methoden wie in der kla咽schen Festig­keitslehre, jedoch wird im Unterschied dazu bei der Formulierung des Materialgesetzesangenomm凹， dass der Werkstoff mikroskopisch kleine, kontinuierlich verteilte Defektebesitzt, z. B. Mikrorisse oder Mikroporen. Diese Defekte werden aber nicht diskret ein­zeIn abgebilde七， sondern flie :l&en nur implizit als gemittelte Defektdichte pro Volumen inhomogenisierter Form in das Materialgesetz ein. Die Defektdichte stellt ein Ma:I& fur dieSch益digung D des Werkstoffs dar und wird als interne Variable im Ma七erialgesetzbehan­delt. Sie kann sich im Laufe der Belastung vergrδ:l&ern， bis ein kritischer Grenzwert Dcder Schadigung erreicht wird, was auf makroskopischer Ebene der Bildung eines Anris­ses entspricht. Ein schadigungsmechanisches Materialgesetz beschreibt demnach sowohldie Verformungs- als auch die Versagenseigenschaften des Werks七offs in lokaler Form anjedem Materialpunkt der Struktur und enthii1t somit implizit ein lokales Festigkeitskri­terium der Form:

D(G， L ， M) 三 Dc(M)

Die Schadigungsmechanik eignet sich deshalb besonders 品r die Modellierung mikrome­chanischer Versagensprozesse in einem Werksto宜， bevor sich ein Makroriss bildet oderfUr die Modellierung der Bruchprozesszone an der Spitze eines Makrorisses.

1.2 Die Bruchmechanik

AIs Bruchmechαnik (eng!. fracture mechαnics) bezeichnet man das engere Fachgebi前，

welches sich mit den Bruch- und Versagensprozessen in technischen Werkstoffen undKonstruktionen befasst. 1m Unterschied zu den beiden oben genannten Fachgebietengeht man in der Bruchmech祖ik davon au日， dass jedes Bauteil und jeder reale Werk­s七off unvermeidliche Fehlstellen bzw. Defekte aufweisen. Der Grund da自r I帥， da甜.ss inV討ielen 七扭ech山I

homo呵gen剖Ii誌ta泓，ten見1， Delam叫ina前，tionen， Schwa缸chst個ellen u. A.) vorhanden sind oder sich derarti­ge Fehler infolge mechanischer, thermischer oder korrosiver Betriebsbelastungen bilden.Man wei龜， dass die reale Festigkei七 der Werkstoffe um mehrere Grδ:l&enordnungen unter­halb der theoretisch mδglichen Festigkeit bei defektfreien idealen Bindungsverha1tnissenliegt. Ebenso k6nnen durch technologische Prozesse bei der Fertigung Defekte entstehen(Gussfehler, Hiirterisse, Bindefehler in Schwei:l&niihten, u. A.) , die zu einer RissbildungfUhren. Oftmals lassen sich auch aufgrund der konstruktiven Anforderungen an ein Bau­teil geometrische Kerben oder abrupte Werkstoffubergange nicht vermeiden, die zu hohen6rtliche Beanspruchungen fuhren. Hinzu kommt der wichtige Umstand, dass die Nachweis­methoden der zerstδrungsfreienPrufung physikalische Auflδsungsgrenzen haben, so dassherstellungs- oder betriebsbedingte Defek七e nicht in jedem Fall zweifelsfrei ausgeschlos­sen werden k6nnen. Das bedeut帥， man muss zumindest hypo七hetisch das Vorhandenseinvon Fehlern dieser G的:l&enordnung annehmen! Unvermeidbare Fehler dieser Art k6nnensich zu rna>(roskopischen Rissen ausweiten und bilden die entscheidende Ursache fur dasEintreten eines Bruchs.

12 1 Einleitung

Hauteil (G) + Defekt (a)Koos仕uktives Design

Lage nod GroBe des Defektes

HelastungωFestk品rpermecha且ik

BrnebmeebaoisebeKeoogroBeB

Ptiiι

methoclik

Material (M)Werksto£l'priifung

kritiseberBrnebkeoowert Be

Bild 1.6: Schematische Darstellung des bruchmechanischen Bewertungskonzeptes

Aus diesen Grunden setz七 man in der Bruchmechanik die Existenz derartiger Feh­ler voraus und bildet sie sicherheitstechnisch konservativ explizit αls Risse der Grδl&e

αab. Ein solcher diskreter Riss ist von einem defektfreien Material umgeben, welchesmit den bekannten Materialgesetzen der Kontinuumsmechanik beschrieben wird. Mitden Berechnungsmethoden der Strukturmechanik untersucht man dann die Spannungs­und Verformungszus七ande am Riss. Es is七 kl缸， dass sich an der Rissspitze sehr hohe,inhomogene Spannungs- und Verformungszustiinde ausbilden. Derartige Spannungskon­zentrationen k6nnen jedoch nicht mit den klassischen Konzepten der Festigkeitslehrebewertet werden, sondern es mussen geeignete bruchmechanische Kenngrδl&en B gefun­den werd凹， die den Beanspruchungszustand am Riss kennzeichnen. Diese werden dannmit bruchmechanischen Materialkennwerten Be verglichen, die den spezifischen Wider­stand gegenuber Rissausbreitung charakterisieren. Dazu werden spezielle bruchmecha­nische Werks七offprufverfahren eingese七zt ， bei denen einfache Probenformen mi七Riss biszum Versagen belastet werden. Auf dieser Basis k6nnen dann quantitative Aussagen uberdas Verhalten eines Risses gewonnen werden, z. B. unter welchen Bedingungen er sichwei七er ausbrei七et bzw. was ge七an werden muss, urn dies zu verhindern. Eine bruchmecha­nische Festigkeitshypothese hat dann in Analogie zu den oben genannten Kriterien dieForm:

B(G， L ， M， α) 三 Be(M)

Diese konzeptionelle Vorgehensweise der Bruchmechanik is七 in Bild 1.6 darges七ellt.

Eine wesentliche Erweiterung gegenuber klassischen Festigkeitshypothesen ist die Einfiih­rung einer zusatzlichen geometrischen G的恥- niimlich der Rissliingeα一， was bereitsvermuten lasst, dass hier Gr6l&ene£fekte eine Rolle spielen werden. Die Bruchmechanik

1.2 Die Bruchmechanik 13

的ellt festigkeitstheore七isch also einen Zusammenhang her zwischen der Geometrie desBauteils (G) , der Lage und Grδl&e (α) d的 rissartigen Defekt凹， der aul&eren Bela帥s吭昀咖七tun江III

(L月)， der lokalen Rissbeanspruchu月 (B) und dem Werkstoffwidersta吋 gegen Rissausbrei­tung Be. Je nachdem, welche dieser G的l&en als bekannt vorausgesetzt werden diirfen undwelche Grδl&en gefragt sind, bietet die Bruchmechanik entsprechende Mδglichkeiten zurBewertung der Festigke鈍， Lebensdauer und Zuverlassigkeit von Bauteilen. Damit k6nnenin den nachfolgend genannten Phasen einer technischen Konstruktion, eines Bauteils odereiner Anlagenkomponente folgende Fragen beantwortet werden.

a) In der Entwicklungsphase:

• Wie muss die Konstruktion dimensioniert und die maximale Belastung festgelegtwerden, damit unvermeidbare oder nicht detektierbare Defekte im Material oderBauteil nicht weiter wachsen und zum Bruch fiihren?

• WelchenBetri跆ebsbelas前tu血ngen Risse vorhandener Grδl&臼e nicht kri七吋isch werden k，δnnen?

• Wie grol& ist statistisch gesehen das verbleibende Risiko gegeniiber Totalversagen?

b) Wiihrend des Fertigungsprozesses:

• Wie k6nnen technologisch Risse und Materia1schadigungen vermieden werden?

• Wie k6nnen bei der Qua1itatskontrolle bruchmechanisch nicht zuliissige Fehlergrδl&en

durch Methoden der zerstδrungsfreienWerkstoffpriifung entdeckt werden?

c) In der Betriebsphase:

• Wie verringert sich die Tragfahigkeit des Bauteils, wenn ein Riss der Langeαent­deckt wird?

• Wie grol& ist die kritische Risslangeαe， bei der es unter den gegebenen Betriebsbe­lastungen zum Bruch kommt ?

• Wie lange braucht ein Ri鉤， urn von seiner Anfangsgrδl&eαobis zur kritischen Langeαe anzuwachsen?

• Wie muss man die Inspektionsintervalle festlegen, in denen eine Untersuchung aufRissbildung und Rissausbreitung erforderlich ist?

d) N ach einem technischen Schadensfall:

• Wi聞 waren die Ursachen? Risse, die bei der Uberwachung iibersehen wurden?Fehlender bruchmechanischer Sicherheitsnachweis? Unzulassig hohe Betriebslasten?Falscher Werkstoffeinsatz oder negative Werkstoffveranderungen?

• Welche Abhilfemal&nahmen sind zukiinftig notwendig und m6glich?

• Wie viel Prozent einer Produktserie fielen durch Bruch aus - Zuverlassigkeit?

14 1 Einleitung

In vielen Industriebranchen und Technologiefeldern geniigen die klassischen Festig­keitskriterien. Es gibt jedoch Einsatzbereicl間， wo bruchmechanische Sicherheitsnachweisezusatzlich erforderlich sind und genehmigungsrechtlich vorgeschrieben werden:

• Konstruktionen und Anlagen mit extrem hohen sicherheitstechnischen Anforderun­gen zum Schutz von Menschen und Umwelt wie z. B. bei Kraftwerksanlagen, Gebau­den und Briicken, in der Kerntechnik oder der Luft- und Raumfahrt

. Bauteile, die eine hohe Zuverlassigkeit und Lebensdauer erfordern wie z. B. Eisen­bahnrader, Maschinenteile, Autos, Turbinenschaufel且， Gliihwendel oder mikroelek­tronische Systeme

Das wissenschaftliche Verstandnis und die Beherrschung von Bruchvorgangen k，δnnen

aber auch Vorteile bringen, so z. B. auf folgenden Gebieten:

. Bei Prozessen und Technologien, wo der Bruchvorgang gewollt ist und gezielt vor­genommen wird, wie im Bergbau und der Geotechnik (Spren伊峙， Tunnelbau, Roh­stoffabba吋 oder in der Aufbereitungs- und Zerkleinerungstechnik (Brecher, Miihlen,Recycling) , urn die M甜chinen， Werkzm耶 und Ve由hren zu optimieren und denEnergieverbrauch zu minimieren.

. Bei der Entwicklung neuer Werkstoffe mit herausragenden Festigkeits- und Bruch­zahigkeitseigenschaften k6nnen bruchmechanische Simulationen zur Optimierungdes mikrostrukturellen Designs beitragen. Umgekehrt erfordern neuartige Werkstof­fe die Bereitstellung spezifischer bruchmechanischer Festigkeitshypothesen fiir einewerkstoffgerechte Auslegung der Konstruktionen. Beispiele dafiir sind Hochleistungs­keramiken (Verb閥erung der Zahigkeit) , Fase附加ndw叫帥ffe (D伽ninationsris­

se, Anisotropie) , Turbinenschaufeln aus einkristallinen Superlegierungen u. a. m.

Die Bruchmechanik hat sich in den letzten 50 Jahren als eigenstandige wissenschaft­liche Disziplin herausgebildet. Gema1& der Natur der Bruchvorgange vereint die Bruch­mechanik Erkenntnisse und Modellansa七ze der Technischen Mechanik, der Materialfor­schung und der Fest~δrperphysik. Sie stellt somit ein interdisziplinares Fachgebiet dar,an dessen Weiterentwicklung Berechnungsingenieu凹， Kontinuumsmechaniker, Werks七o耳techniker, Materialwissenschaftler und Physiker beteiligt sind. Die Beherrschung bruch­mechanischer Kenntnisse geh6rt mittlerweile in vielen Industriebranchen zum Stand derTechnik. Zahlreiche technische Regelwerke, Priifvorschriften und staatliche Aufsichts­beh6rden sorgen da且只 dass dieses Fachwissen im Interesse der technischen Sicherheitin die Praxis umgesetzt wird.

Die Bruchmechanik untergliedert sich in folgende Teilaufgaben:

• Analyse des mechanischen Beanspruchungszus七andes an Rissen auf der Basis konti­nuumsmechanischer Modelle mit Hilfe analytischer oder numerischer Berechnungs­verfahren der Strukturme吧hanik.

• Ableitung von werksto宜'physikalisch begriindeten Kenngrδf&en und bruchmechani­schen Versagenskriterien fiir den Beginn und den Verlauf der Rissausbreitung.

1.3 Berechnungsme七hoden fiir Risse 15

• Entwicklung von Prufmethoden zur experimentellen Bestimmung geeigneter Werk­的offkennwerte， die den Rissausbreitungswiderstand eines Materials kennzeichnen.

• Anwendung der bruchmechanischen Versagenskriterien田ld Konzepte auf rissbehaf­tete Konstruktione且， um quantitative Aussagen zur Bruchsicherheit und Restlebens­dauer zu gewinnen.

1.3 Berechnungsmethoden fiir Risse

Fur alle oben genannten Teilaufgaben der Bruchmechanik spielen die Methoden z世 Be­

rechnung von Rissmodellen eine zentrale Rolle. Historisch betrachtet, waren Entwicklungund Anwendung der Bruchmechanik eng an die For七日chritte der analytischen und nume­rischen Verfahren der Strukturmechanik und Kontinuumsmechanik gekoppelt. Es ist dasAnliegen dieses Lehrbuches, den Leser mit den modernen numerischen Berechnungsver­f品質en vertraut zu machen, die gegenwartig zur bruchmechanischen Analyse von Bautei­len mit Rissen eingesetzt werden. Zuvor solI jedoch ein historischer Ruckblick gegebenwerden.

Etwa um die Wende zum 20. Jahrhunder七 waren die Methoden der Elastizi七齡的heorie

mathematisch soweit herangerei缸， dass erstmals ebene Probleme in homogene且， linear­elastischen Scheiben mit Lδchern oder Kerben berechnet werden konnten (KIRSCH, ING­LIS). Ba叫咄hn曲brechen吋dwa缸r di跆eEn叫twicklun口m時19 von komplexen Span血nnun口m耳19醉sfun虹In址1

LOSOV 1909, die in den 30er Jahren von MUSKELISHVILI, SAVIN, WESTERGAARD, FOPPLund anderen zu einem leistungsstarken Werkzeug fur Scheibenberechnungen ausgebautwurden. Die erste Lasung fur einen Riss in der Ebene stammt von INGLIS 1913. Sie bil­dete die Grundlage fur das erste bruchmechanische Konzept der Energiefreisetzungsratevon GRIFFITH im Jahre 1921. WESTERGAARD setzte 1939 seine Methode der komplexenSpannungsfunktionen fur Rissprobleme in Scheiben ein. 1946 gelang es SNEDDON, mitder Methode der Integraltransformationen die Lδsung fUr kreis的rmige und elliptischeRisse im Raum zu finden. WILLIAMS berechnete 1957 die Eigenfunktionen fur die Sp祖­

nungsverteilung個 Rissspitzen in der Ebene. IRWIN erkannte 1957, dass an allen scharfenRissspitzen die Spannungen eine Singularitat vom gleichen 宜'yp aufweisen. Darauf begrun­dete er dann d甜 Konzept der Spannungsintensitatsfaktoren, das bis heute sehr erfolgreichin der Bruchmechanik angewandt wird. AIs weitere semi-analytische Verfahren fur ebeneRissprobleme sind singulare Integralgleichungen zu erwiihnen (MUSKHELISHVILI, ERDO­GAN u. a.). Die bis da咄h血i

und dr啥叫eid副imens剖s剖ionale i旭so叫trap-ela甜s剖甜七抗is駝che Ra缸I且1吋dwer此taufgaben fur einfa缸che Risskonfigu盯1叮ra前tio­

nen zumeis前t i旭n unendlichen Gebieten.Erst mit der rasan個n Entwicklung der el

16 1 Einleitung

Randelemente (BEM) (eng!. Boundαry Element Method) auf, die vor aHem von CRU­SE und BREBBIA fUr Rissprobleme vorteilhaft umgesetzt wurde. Die erste internationa1eKonferenz iiber die Anwendung numerischer Methoden in der Bruchmechanik fand 1978in SwanseajGB statt. Dank dieser Methoden wurden besonders in der Bruchmechanikduktiler Werkstofl'e wesentliche Fortschritte erzielt. In der heutigen Zeit werden haupt­sachlich die FEM und fiir Spezialaufgaben noch die BEM a1s unverzichtbare Berechnungs­werkzeuge fUr kontinuumsmechanische Spannungsana1ysen, werkstofl'mechanische Model­Ie und numerische Simulationen in der Bruchforschung verwendet. Inzwischen ist es mitdiesen Verfahren mδglich， komplizierte Risskonfigurationen in realen technischen Struk­turen unter komplexen Belastungen bei nichtlinearem Materialverha1ten zu analysieren.Eine fast uniibersehbare Anzahl von wissenschaftlichen Publikationen ist in den letztenJahrzehnten erschienen, die sich mit der Weiterentwicklung und Anwendung dieser nu­merischen Verfahren in der Bruchforschung befassen. Inzwischen entstehen bereits neuenumerische Methoden wie »netzfreie 三 mesh-free« FEM oder BEM, DiskretφElement­Methoden (DEM) , Partikel-Methoden und erweiterte (extended) X-FEM, die sich d甜

Anwendungsgebiet der Bruchmechanik erobern.

2 Einteilung der Bruchvorgange

Bruchvorgange werden nach recht unterschiedlichen Gesichtspunkten eingeteilt. Die Griin­de dafiir liegen in der enormen Vielfal七， mit der Bruchvorgange in Erscheinung treten,

und in den verschiedenartigen Ursachen, die zum Versagen fiihren. In erster Linie hangtder Bruch von den Eigenschaften des betrachteten Werkstoffs ab, weshalb die auf mi­krostruktureller Ebene ablaufenden Zerst6rungsprozesse im Material die charakteristi­sche Erscheinungsform bestimmen. Diese mikroskopischen Strukturen und Versagensme­chanismen variieren innerhalb der Palette technischer Werkstoffe in vieWiltiger Weise.Genau日o bedeutsam fiir das Bruchverhalten ist jedoch auch die Art der aufl,eren Belas­tung des Bauteils. Nach dieser Kategorie kann man z. B. Briiche bei statischer, dynami­scher oder zyklischer Belastung unterscheiden. Weitere wichtige Einflussgr品en auf denBruchvorgang sind die Temperat凹， die Mehrachsigkeit der Beanspruchung, die Verfor­mungsgeschwindigkeit und die chemischen Umgebungsbedingungen.

2.1 Makroskopische Erscheinungsformen des Bruchs

Die makroskopische Einteilung der Bruchvorgange entspringt der Sichtweise des Kon­strukteurs und Berechnungsingenieurs. Der Bruch einer Struktur ist zwangslaufig mi七

der Ausbreitung eines oder mehrerer Risse verbunden, was letztendlich zur vollstandigenZertrennung und zum Verlust der Tragf:前ligkeit fiihren kann. Deshalb wird dem zeitli­chen und raumlichen Verlauf des Risswachstums besondere Bedeutung beigemessen. Inder Bruchmechanik geht man von der Existenz eines makroskopischen Risses aus. Die­ser kann von Anfang an als Materialfehler oder bedingt durch die Bauteilherstellungvorhanden sein. Haufig entsteht ein Amiss erst infolge der Betriebsbelastungen durchWerkstoffermiidung, w晶 Gegenstand der Betriebsfestigkeitslehre is七. Schliefl,lich z油len

hierzu auch hypothetische Risse, die zum Zwecke des Sicherheitsnachweises angenommenwerden. Die makroskopischen, strukturmechanischen Aspekte des Bruchs k，δnnen anhandder Belastungen und des Bruchverlaufs wie folgt kategorisiert werden.

a) Art der Belastung

Die mechanischen Belastungen werden entsprechend ihrem zeitlichen Verlauf in statisch巴，

dynamische und (periodisch-zyklisch oder stochastisch) 凹riinderliche Lasten unterglie­de此， denen man entsprechende Brucharten zuordnen k副m. Bruchvorgange unter kon­stanter Last sind typisch fiir tragende Konstruktionen Z. B. im Bauwesen. Stofl,-, Fall­oder Crashvorgange sind mi七 hochdynamischenbeschleunigten Verformungen und Trag­heitskraften gekoppelt. Grofl,e Aufmerksamkeit gilt im Maschinen- und Fahrzeugbau denveranderlichen Lasten, die im Vergleich zur statischen Belastung bei wesentlich geringe­ren Amplituden zur Rissbildung und Rissausbreitung fiihren. Etwa 60% aller technischenSchadensfalle sind auf Schwingungsbruch bzw. Ermiidungsrisswachstum zuriickzufiihren.

18 2 Einteilung der Bruchvorgiinge

b) Lage der Bruchflache zu den Hauptspannungen

Bereits aus der klassischen Festigkeitslehre ist bekan前， dass Versagen in den meistenFii.llen vom lokalen Spannungszustand kontrolliert wird, der eindeutig durch die Haupt­normalspannungen <TI,<Tu und σIII und ihre Achsen festgelegt ist. Je nach Werkstoffkommen entweder die Hypothesen der maximalen Normalspannung (RANKINE) , der ma­x討ima叫Ie凹n Schu咄lbs叩pa祖直且血nm叩lUn時g (COULOMB) 0吋de叮r er阿weit誌te叮rt扭eg酹em叫i旭scht扭e Kr此i誌te叫rie阻n (仰Mo凹HR吋) zuEi旭nsa前，tz. Das makroskopische Bild des Bruchs ist daher h ii.ufig von den Hauptspannungs­trajek七orien geprii.gt. Man unterscheide七 zwei Brucharten:

. Der normalflii.chige Bruch oder Trennbruch liegt dann vor, wenn die Bruchflii.chensenkrecht zur Richtung der g的:l&ten Hauptnormalspannungσm缸 =σI liegen.

• Von scherflii.chigem Bruch oder Gleitbruch spricht m帥， wenn die Bruchflii.chen mitden Schnittebenen der maximalen Schubspannung Tm阻 =(σI 一 σ叫/2 zusammen­fallen.

Die Situation ist fur den einfachen Zugstab in Bild 2.1 skizzier七， kann aber auf denlokalen Spannungszustand an jedem Punk七 des K6rpers iibertragen werden. Bei einemTorsions帥的 (Welle) wiirden die Bruchflii.chen dann senkrecht oder um 45° g酹enei崢g阱t zuAchs間e verlaufen丸1， je na配，ch dem ob man Gleit- oder Trennbruch unterstellt.

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45

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Bild 2.1: Orientierung der Bruchflachen zu den Hauptspannungsrichtungen

c) Stabilitat der Rissausbreitung

Ein Riss besitzt in der Ausgangssituation eine bestimmte G的:l&e und Ge的alt. Solangesich diese nicht verii.ndern, spricht man von einem ruhenden bzw. stationiiren Riss. DerMoment , wo aufgrund einer kritischen Beanspruchung die Rissausbreitung begin此， wirdRisseinleitung oder Rissinitiierung (eng!. crack 侃侃αtion) genannt. Die Riss嗯gr吋δ:l&e必ew益趾，chs昀s

nun und man be凹zeichne叫t den Ris郎sa叫Is 伽stα叫ti切on吋咐a品御r.Ein wichtiges Merkmal des Bruchs ist die Stabilitii.t der Rissausbreitung. Der Bruchvor­

gang wird dann als 仰stabil (eng!. unstable crack gro切的) bezeichn帥， wenn sich der Riss

2.1 Makroskopische Erscheinungsformen des Bruchs 19

schlagartig ausbreit前， ohne dass die au:fl,ere Belastung erh6ht werden muss. Der kritischeZustand wird erstmalig iiberschritten und bleibt ohne weitere Energiezufuhr bestehen.Ein typisch的 Beispiel ist der Riss in der amerikanischen Freiheitsglocke (Bild 叫 der

vermutlich ausgehend von einem Gussfehler aufgrund von Eigenspannungen urpl批zlich

(angeblich am Geburtstag von G. Washington) e帥tand. 1m Gegensatz dazu spricht manvon stαbiler Rissαusbreitung (eng!. st的le crack gm切的)， wenn fUr ein weiteres Wacl叫umdes Risses eine entsprechende Steigerung der au:fl,eren Belastung notwendig ist, d. h. derkritische Zustand muss durch weitere Energiezufuhr immer wieder herbeigefiihrt wer­den. Ma:fl，gebend 晶r die Stabilitat der Rissausbreitung ist die Frage, wie sich infolge derRissausbreitung die Beanspruchu月ssituation im K6rper und am Riss selbst veriindert.Stabile Rissausbreitung ist haufig mit plastischen, energiezehrenden Verformungen imBauteil verbunden, was der Schadensfall eines Behalters (Bild 2.5) deutlich macht. DieseVerbindung ist aber keinesfalls zwingend, wie uns das Beispiel eines langsam wachsendenRisses in einer Autoscheibe aus sp的dem Glas lehrt!

Kommt die Rissausbrei七ung innerhalb des K6rpers zum Stillst組吐， so sprich恤.t man vonR恥is蚓s

d吋) Ausma.R. der inelastischen Verformungen

Je nach Grδ:fI，e der inelastischen Verformungen bzw. der aufgebrachten Formanderungs­arbeit im Kδrper， die dem Bruch vorausgehen bzw. ihn begleiten, Ull七erscheidet man:

• Verformu時sloser ， verformu略目前mer oder makroskopisch sproder Bruch (eng!. b何tt­

le fracture). Die Ne凹n血nnspa祖直且血1m

diep抖la扭s剖吋t位i旭sche凹n odervi旭s~卸oplas剖吋七討i旭sch昀en Zonen sind s間eh趾r klein und die La甜stι-Ve缸rfor口凹I口mung伊s­Ku盯Iry鴨e verI旭auf!缸t linear bis zum虹m Bruch.

• Ve缸rf;必or凹m虹mUl

lieg阱t dann vor, wenn der Bruchvorgang mi誌.t gro:fl，e鉛如e臼n in昀叫elas剖吋t“ischen Ve缸rfor口凹I口ml叩mngen ver­bunden is剖t. Die Last-Verformungs-Kurve zeigt eine ausgepragte Nichtlinearita七 und

die inelastischen B削che erstreck，凹的m甜t iiber den g臼arnten Querschnitt (pI晶­

tische Grenzlast iiberschritten).

e) Unterkritische Rissausbreitung

1m Unterschied zu den genannten Rissausbreitungsarten findet man Bruchvorgiinge, dieweit unterha1b einer kritischen Beanspruchung mit sehr geringer Wachstumsgeschwindig­keit in stabiler Form ablaufen. DafUr wurde der Terminus unterkritische oder subkritische(eng!. subc叫tical) Rissαusbreitung eingefii加t. Die wichtigste Erscheinungsform dieser Artist d甜 Ermudungsri馴1Jαchstum (eng!. fatigue crack gmωth) ， bei dem配h der Riss unterwechselnder Belastung schri的weise vergr6 :f1,ert. Einen charakteristischen Schadensfall aneiner durch Umlaufbiegung wechselbelasteten Welle zeigt Bild 2.4. Bei unterkritischerkonstanter Belastung k缸III es in Verbindung mit viskoplastischen Verformungen zum sogenannten Kriechbruch (eng!. c阿叩 fracture) kommen. Bei Einwirkung eines korrosivenMediums auf den Rissspalt beobachtet man trotz subkritischer Belastung eine Rissaus­breitu月 durch Spαnnu

20 2 Einteilung der Bruchvorgiinge

Bild 2.2: Makrc陷kopischer Spri:idbruch der Bild 2.3: Schadensfall einer GasrohrleitungLiber七，y-Glocke， Philadelphia 1752 mit dynamischer R扭曲回breitung

Bild 2.4: Schadensfall durch Ermiidungs- Bild 2.5: Makroskopischer Z油bruch einesbruch 組 einer Welle Behiilters a田 Stahl

2.2 Mikroskopische Erscheinungsformen des Bruchs 21

f) Geschwindigkeit der Rissausbrei此tun

1m Un訕1此七ersch垃ied zur dynamischen, stωof!.但ar吋tig酹en Belas剖tung eines sta叫，tiona趾，ren Risses geh趾1此te凹s h趾ie叮rum宜m die Dyna旭amik des Bruchvorganges selbst. In den meisten FiiJIen verUiuft dieRissausbrei七ung so langsa血， dass alle dynamischen Effekte in der Struktur vernachlassigtwerden diirfen. Dann ist eine quαs仰的tische Anαlyse opportun. Erreicht die Rissgeschwin­digkeit jedoch die Grδf!.enordnung der Schallwellengeschwindigkeiten im Festkarper, somiissen die Beschleunigung的erme， Massentragheitskriifte sowie die Wechselwirkung desRisses mit den Schallwellen Beriicksichtigung finden. Hinzu kommt, dass die Versagens­mechanismen im Werkstoff von der Dehnrate abhiingen, was meist zu einer Versprδdungbei schnellen Rissen fiihrt. Auf diese Weise haben dynamische Rissausbreitungsvorgan­ge schon katastrophale Schadensfiille verursacl此， wie das Beispiel einer Gasrohrleitung(Bild 2叫 zeigt.

Bild 2.6:τ'ranskristalliner Sprδdbruch einesStahls bei Raum個mpera七ill

Bild 2.7: Interkristalliner Spaltbruch vonS七ahl St52 bei -lg6°C

2.2 1\在ikroskopischeErscheinungsformen des Bruchs

Zum Verstandnis der werkstoffspezifischen Versagensmechanismen beim Bruch ist eineBesichtigung des »Tatorts« - der Bruchfliiche - auf!.erst hilfreich, wozu man sich wegen ih­rer Tiefensehiirfe, der ehemisehen Elementanalyse und des Materialkontrastes bevorzugtder Rasterelektronenmikroskopie bedient. Ebenso ist es maglieh, aus der mikroskopi­schen Gestalt der Bruehfliiche auf die Ursaehen des Schadens zu sehlief!.en (Fraktografie).Die verschiedenen Versagensmechanismen fiihren zu eharakteristischen Strukturen derBruehfliichen und die typisehen »Gesiehter« der untersehiedliehen Brueharten sind infrak七ografisehen Atlanten katalogisier七， siehe z. B. [851. Hier steht also die Siehtweise derMaterialwissensehaftler und Sehadensforseher im Vordergrund. Die wiehtigsten mikrosko­pisehen Erseheinungsformen des Bruchs sind: