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Abz~ihlbarkeit und gebl~tterte Mannigfaltigkeiten

REINHOLD BAER zum 60. Geburtstag

Von

HELLMUTH KNESER

:Den ersten Anla$ zur Betrachtung gebl~itterter Mannifffaltigkeiten gaben die Systeme gew6hnlicher Differentialgleichungen; die Lbsungen eines solchen Systems geben der Mannigfaltigkeit der regul/~ren Punkte die Struktur einer 1-B1/itterung. In der :Friihzeit der statistischen Mechanik sprach man die Ergodenhypothese dahin aus, dab - - in heutiger Ausdrucksweise -- die dutch die Bahnen emes mechanischen Systems gegebene B1/~tterung einer Teilmanniffaltigkeit M fester Energie nur ein einziges Blat t habe, das also durch alle Punkte von M hindurchgehel).

Diese Behauptung war durch eine Abz/ihlbarkeitsbetrachtung leicht zu widerlegen. Nun hat aber M. K~Es~,~ [2] eine 2-BI~tterung einer 3-Mannigfaltigkeit mit nur einem Blat t an'gegeben; freilich ist die Mannifffaltigkeit ,,nicht abz~htbar" in dem Sinne, dal3 sie keine abz/~hlbare Basis der offenen Mengen hat ; sie enth~lt sogar keine dichte abz/ihlbare Teilmenge. Demgegeniiber wird hier bewiesen, dab jede Bl~tterung einer ,,abz/ihlbaren" Mannigfaltigkeit eine gewisse Abz//hlbarkeitseigenschaft hat, aus der sofort folgt, dal3 die M/ichtigkeit der Menge der BlOtter immer die des Konti-

�9 nuums ist.

1. GrtmdbegTiffe. Die grundtegenden Begriffe seien hier im AnschluB an Arbeiten yon CH. EH~ESMA.','~n und G. REEB [2], [4] zusammengestellt. Bekanntlich versteht man unter einem Atlas einer n-Mannigfaltigkeit M eine Menge von Karten (0~., ~v~) (3. e A), d. h. HomSomorphismen ~v~ oftener Teile 0~. yon M auf offene Teile des Zahlenraumes R n, wenn M von den Teilen O~. bedeckt wird.

Wenn die Abbildungen

~ ~.~ : ~. (O~. c~ 0~) -+ ~0~ (O~. c~ 0~)

einer bestimmten Kategorie F angeh6ren, so best immt der Atlas eine /"-Struktur in M und wird /"-Atlas genannt.

Die Ka t ego r i e / " babe die folgenden Eigenschaften: (a) Jede Abbildung Z e / ' ist ein HomSomorphismus eines offenen Teils yon R n

auf einen offenen Teil yon R n.

1) L, BOLTZMANN [l], S. 284 sa~: ,,Die grol3e Unregelm/iSigkeit der W~rmebewegung und die Mannigfaltigkeit der Kr~fte. welche yon auBen auf die K6rper wirken, macht es wahrscheinlich, daI~ die Atome dersctben vermSge der Bcwegung, die wir W~,rme nennen, alle mSglichen mit der G]eichung der lebendigen Kraft vcreinbaren Positionen und Geschwindigkeiten durchlaufen."

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(b) Aus 7, e F folgt Z -1 e F. (c) Aus (Z: U - - > V ) e / " und (~: V - - ~ W ) e F folgt (~7,: U - - > W ) e F .

(d) Die Einschr~nkung yon Z e F auf einen oftenen Teil des Vorbereiches yon Z geh6rt zu F.

(e) Is t der Vorbereich U yon (Z: U--~ V) yon den offenen Teilen Uv bedeekt und geh6ren die Einschrs yon Z auf Uv s~mtlich z u / ' , so aueh Z.

Unter diesen Voraussetzungen ist j eder / ' -At las in einem und nur einem volkst~in- d igen/ ' -At las enthalten, d. h. einem solehen, der sieh nieht mehr als F-Atlas erwei- tern 1//Bt. Ein vollst~ndiger/ ' -Atlas heil~t e ine / ' -S t ruk tur yon M.

Unter diesen Begwiff fallen die iiblichen Strukturen wie Differenzierbarkeit (einfaeh, mehrfaeh oder unbesehr/inkt), Analytizit/~t (reell oder komplex), Inhaltstreue, Kon- formit/it, ja auch die ktirzlich yon E. C. ZEEMi~ [5] eingefiihrte polyedrale oder Polystruktur, wenn man n~mlich als Kategorie /" die der im Kleinen stiickweise affinen !) Abbildungen wEhlt.

2. Bl~itterungen. Die Struktur einer k-Bls einer n-Manni~altigkeit M erhal- ten wit schlieBlieh, wenn 0 < k < n ist u n d / " ---- Fn, ~ die Kategorie derjenigen Ab- bildungen aus R n in R n, bei denen im Kleinen 3) die Koordinaten Yk+I . . . . , Yn des Bildpunktes (yl . . . . . Yn) nur yon den entspreehenden Koordinaten xg+l . . . . . xn des Urbildes (xl . . . . . xn) abh~ingen.

Die Bl~tterung gibt AnlaB zu einer zweiten, gegeniiber der Topolo~e T von M verfeinerten Topologie T' . Als waagerechte Ebenen wollen wir diejenigen linearen Teilmannigfaltigkeiten yon II n bezeichnen, die durch Festhalten der Koordinaten x~+l . . . . . xn entstehen. Ein Teil U yon M heiBe T'-offen, wenn bei jeder Kar te (0, cp) die Menge ~(U ~ O) Vereinig~ng yon offenen Teilen waagerechter Ebenen ist. Man sieht leieht, dab T ' bei gegebener Fn, k-Struktur unabh/ingig yon der Wahl des Atlas ist und dab (M, T') eine k-Mannigfaltigkeit ist. Ihre Zusammenhangskomponenten, die wir BlOtter nennen, sind daher zusammenh~ngende k-Mannigfaltigkeiten, wenn man ihnen die yon T ' induzierte Topologie gibt; mit der Topologie T ist das nicht der Fall, wenn das betreffende Blat t sieh selbst approximiert.

Natiirlich entspringt nicht jede verfeinerte Topolo~e einer n-l~lannigfaltigkeit aus einer B1/itterung; man kann aber beweisen, dab eine / 'n, k-Struktur dutch die ihr zugeordnete Topologie T ' eindeutig best immt ist. Jedenfalls wollen wit eine gebl/~t- terte Mannigfaltigkeit M unter Angabe der beiden Topologien dutch (M, T, T') be- zeichnen. Is t 0 ein oftener Teil yon M, so ist in 0 eine Bl~tterung induziert, die wit kurz mit (0, T, T') bezeiehnen. Jedes ihrer BlOtter geh6rt einem Blatt B yon (M, T, T') an und ist eine T'-Zusammenhangskomponente yon B ~ O .

3. Der Abz~ihlbarkeitssatz. Eine genaue Fassung der in der Einteitung angedeuteten Abz//hlbarkeitsaussage ist der folgende Abzs

2) Stfickweise affin nennen wir eine stetige Abbildung eines Teils A eines Zahlenraums auf emen Teil B eines Zahlem'aumes, wenn ihr Graph in der Vereinigung dcr Graphen endlich vieler affiner Abbildungen enthalten ist; im Kleinen stiickweise affin heiBt sie, wenn jeder Punkt yon A eine Umgebung hat, in der die Abbildung stfickweise affin ist.

3) Diese Erweiterung yon Fis t notwendig; wollte man ,,im Kleinen" weglassen, so w~re die Voraussetzung (e) nicht erffillt.

510 H. Kxss~ s~cH. mAxn.

Ist (M, T, T') eine k-gebldtterte n-Mannig/altigkeit und 0 ein T-o~ener Tell yon M, und hat "~i eine abziihlbare O~en-Basis, so enthiilt ein Blatt yon (M, T, T') h5chstens abz2ihlbar viele Bldtter yon (0, T, T').

Zum B e w e i s dient der folgende Hflfssatz:

Seien (H, q;) und (K, Z) zwei Karten eines In , ~-Atlas der gebldtterten Mannig/altig- keit (M, T, T') ; sei B ein Blatt yon (M, T, T') und F C B ein Blatt yon (H, T, T'). Dann hat F m i t hSchstens abz2ihlbar vielen Bl~ittern yon (K, T, T') Punkte gemeinsam.

Seien n~imlieh G~.(), =~ A) BlOtter yon (K, T, T'). Sie sind punktfremde oftene Teile yon (B, T'). Ebenso ist F ein oftener Tell yon (B, T'). Die Durchschnitte Fr~ G~. sind punktfremde offene Teile yon (F, T'). Nun ist abet F durch q~ hombomorph einem offenen Teil des Raumes W:; also kSnnen yon den punktfremden offenen Teilen F n G~. hSchstens abz~hlbar viele nicht leer sein.

Nach diesem Ergebnis kann man die nicht leeren Durchschnitte des Blattes F m i t Blgttern yon (K, T, T') dutch natiirliehe Zahlen numerieren und etwa mit D (F, K, r) (r ~ 1, 2 . . . . ) bezeichnen.

Zum Beweis des Abz~hlbarkeitssatzes sei nun {(0~., F~)I )- e A} ein Atlas der k-Blair- terung (M, T, T') , z. B. der vollst~ndige. Sei {Hn[n = 1, 2 . . . . } eine Often-Basis yon (M, T). Die Menge der Zahlen p, fiir die Hp in einer Menge 0;. enthalten ist, heil3e P ; zu jedem p e P sei ein ),p so bestimmt, dal3 Hv C O~.p gilt. Da jeder Punkt x yon M in einem 0~. liegt und 0;. als oftene Menge Vereinigung yon Mengen Hrn ist, gibt es ein p e P mit x e Hp C 0a. Die Mengen Hv mit p e P bedeeken also M ; ist Zp die Einschr/~nkung yon 9;.~ auf Hp, so bilden die Karten (Hp, Zp) einen _Fn, k-Atlas yon (M, T, T').

Sei A ein Blat t yon (0, T, T') ; es ist ein oftener Tell eines Blattes B von (M, T, T'). Irgend ein Blat t C yon (0, T, T') , das ebenfalls in B liegt, werden wir durch eine endliche Folge {(Pv, r~)lv ----- 1 . . . . . h} natiirlicher Zahlen kennzeichnen, derart dab zwei verschiedenen Bl~ttern verschiedene Fotgen zugeordnet werden, wenn aueh ver- schiedene Folgen demselben Blatt C zukommen kSnnen. Wir verbinden einen Punkt a yon A mit einem Punkt c yon C durch einen T'-stetigen Bogen x (t) (0 ~ t ~ 1) ; das ist mSglich, da beide der T'-zusammenh~ngenden T'-~lannigfaltigkeit B ange- hSren. Jeder Punkt x(s) liegt in einer der Mengen H~(p =~ P) und damit in einem Blat t yon (H~, T, T'). Diesem gehSrt auch ein Teilbogen {x (t) [ t e U} an, worin U eine U'mgebung yon s in [0,1] ist. Daraus gewinnt man in bekannter Weise eine Teitung

0 - ~ t 0 < t l < - - ' < t h = l

der Einheitsstrecke derart, daI3 jeder Teilbogen {x(t) Jt~-~ < t < t~} in einem Blatt yon (H m, T, T') hegt; dabei kSnnen Hp, und Hvh als Teile yon 0 gew~hlt werden.

I s t 1 < v < h und ist Fv-1 das Blat t yon (Hv~_ ~, T, T'), in dem x(t~-1) und daher der ganze Bogen {x(t)[tv_~ < t < t~} he~ , so l ie~ x(t~) im Durchschnitt von F~_I mit einem bestimmten Blatt yon (Hv~, T, T') ; nach dem Hilfssatz also in D(Fv-~, H m, rv). Damit ist r~ definiert und zugleich bestimmt, in welehem Blatt F , yon (Hv~, T, T') der Punkt x(t~) l ie~, so dal~ im Fa l l ev < h die Bestimmung der Folge (rv) fortgesetzt werden kann. Umgekehrt best immt die Folge der Paare (pv, rv)

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bei gegebenem Blat t A yon (H, T, T') eindeutig, was fiir BlOtter ~'r yon (H~, T, T') sich aus dem Bogen ac und seiner Teilung ergeben hat. Insbesondere ist C das Bla t t von (0, T, T'), yon dem das Bla t t Fh ein Teit ist. Da es nur abz~hlbar viele endliche Folgen yon Paaren natiJrlicher Zahlen gibt, gibt es hSchstens abz~hlbar viele Bl~ttter C yon (0, T, T') in einem gegebenen Bla t t B yon (M, T, T').

Die Gesamtzahl ~ der Bl~itter/3 yon (M, T, T ' ) e r ~ b t sich leicht. Da (H1, F, T') der Bl~itterung eines offenen Tells des Raumes R n durch waagerechte Ebenen iso- morph ist, ha t (H1, T, T ' ) kontinuum-viele Bl~itter. Von diesen gehSrt jedes einem, aber nur abz'~hlbar viele demselben B l a t t yon M an. Also ist in verst~ndlicher Be- zeichnung (a = abz~ihlbar, c = Kont inuum) a~ ~ c, woraus ~ ~ c folgt. Andererseits enth~lt jedes der punkt f remden BlOtter von M mindestens ein Bla t t einer ~[enge H r ; daraus f o l ~

Also hat jede Bls einer abz~ihlbaren Mannigfaltigkeit kontinuum-viele BlOtter. Ein -Nebenergebrfis ist dieser Satz: Hat eine k-gebl~itterte n-Mannig[altigkeib

(M, T~ T') eine abz~ihlbare Often-Basis, so hat auch jed~s Blatt eine solche.

In einem beliebigen Bla t t B bildet n~mlich die Menge der in B enthal tenen Teil- bl~itter der Teile (H~, T, T') (p e P) eine Often-Basis, und diese ist abz~hlbar, da jeder der Teile nach dem Abz~hlbarkeitssatz hSchstens abz~hlbar viele Teflbl~ttter enth~ilt.

Zusatz bei der Korrektur: ~Nachtr~glich bemerke ich, dab C. CHEVALLEY in seinem Bueh ,,Theo~" of Lie Groups" (Princeton 1946) auf S. 94--98 die Frage der Abz~hlbarkeit in unserem Sinne bei analytischen Mannigfaltigkeiten mit analytischen Bl~.tterungen behandelt hat.

Literaturverzeichnis

[1] L. BOLTZ~I.A_SN, Einige allgemeine S~tze fiber W~rmegleichgewicht. S.-B. Akad. Wiss. Wien, math.-naturw. KI., Abt. I Ia 63, 679--711 (1871) == Wissenschaftliche Abhandlungen, Band I, S. 259--287. Leipzig 1909.

[2] CH. EHRES~A.~h" et G. REEB, Sur les champs d'~l~ments de contact de dimension p compl~te- ment int~grables dans une vari~t~ continuement diff~rentiable Vn. C. R. Acad. Sci. Paris 218, 955--957 (1944).

[3] M.K.~'ESER, Beispiel einer dimensionserhShenden ana lytischen Abbildung z~"ischen fiber- abzahlbaren Mannigfaltigkeiten. :~rch. Math. 11, 280--281 (1960).

[4] G. REEB, Vari~t~s feuillet~es, feuflles voishaes. C. R. Acad. Sci. Paris ,024, 1613--1614 (1947). [5] E. C. ZI':EMA-~, Non-Triangulablc Polyhedral Manifolds. Arch. Math. 14, 65--69 (1963).

Anschrift des Autors: Hellmuth Kneser Mathematisches Institut der Universit~t Tiibingen

Eingegangen am 10.10. 1962