Adaptive Regler - TUHH – Startseite · 10 Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack 15.04.02 Newton-Verfahren III Haben wir mit dem dargestellten Verfahren bereits die Lösung für die iterative

1

Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack 15.04.02

AdaptiveAdaptive Regler Regler

Februar 2002Februar 2002

2


Gliederung

Einführung, Problemstellung und AnwendungsbeispielEinführung, Problemstellung und Anwendungsbeispiel

2


Gliederung


Adaptive Regler Adaptive Regler (Lernen, Adaption und Iteration)(Lernen, Adaption und Iteration)

2


Gliederung



Grundstrukturen adaptiver ReglerGrundstrukturen adaptiver Regler

2


Gliederung




BeispielBeispiel

2


Gliederung




BeispielBeispiel

Zusammenfassung und AusblickZusammenfassung und Ausblick

3


LastwechselLastwechsel

Problemstellung und Einführung

3




ArbeitspunktwechselArbeitspunktwechsel

3




ArbeitspunktwechselArbeitspunktwechsel

Alterung und VerschleißAlterung und Verschleißsowie Änderung vonsowie Änderung vonUmweltbedingungenUmweltbedingungen

4


Adaptiver Lageregler für Werkzeugmaschinen I

•• Lageregler der Lageregler der xx,,yy,,zz-Achsen-Achsen

4




•• ÜberschwingenÜberschwingen ist ist auszuschliesauszuschlies-- sensen ( (MaterialabtragMaterialabtrag) !) !

4





•• Robuster Regler Robuster Regler => träges Systemverhalten => träges Systemverhalten

4






•• kurze kurze PositionierzeitenPositionierzeiten => hohe Wirtschaftlichkeit=> hohe Wirtschaftlichkeit

4







Time (s ec.)A

mpl

itude

S tep Res pons e

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

vor der Adaptionvor der Adaption

4







Time (s ec.)A

mpl

itude

S tep Res pons e

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

nach der Adaptionnach der Adaption

4







MatlabMatlab Demo Demoaperiodischeraperiodischer

GrenzfallGrenzfall

5


Adaptiver Lageregler für Werkzeugmaschinen II

•• Adaption an individuelle Maschinen- Adaption an individuelle Maschinen- eigenschaften eigenschaften führt zu geringenführt zu geringen Zykluszeiten und hoher Wirtschaft- Zykluszeiten und hoher Wirtschaft- lichkeit lichkeit der Maschineder Maschine

•• Vorteile für Fertigung und Service Vorteile für Fertigung und Service


•• Adaptiver Lageregler auf Basis von Adaptiver Lageregler auf Basis von Real- Real-TimeTime--LinuxLinux

6


R S

M

p ∈ �P

pS ∈ �P'

Parametrischer Regler

z t( ) = 0

Beobacht- undSteuerbarkeit seiangenommen

6


R S

M

p ∈ �P

pS ∈ �P'


z t( ) = 0


w := Führungsgröße

y := AusgangsgrößeR := ReglerS := StreckeM := Sensor

yw

6


R S

M

p ∈ �P

pS ∈ �P'


z t( ) = 0


p := Reglerparametervektor

P := Anzahl der Parameter

pS := Streckenparametervektor

z = 0 := (störungsfrei)

6


R S

M

p ∈ �P

pS ∈ �P'


z t( ) = 0


w t( ) y t g w tt

( ) ( ) ( )= −� τ τ τd0

pS ∈ �P'

z t( ) = 0ngenommen

6


R S

M

p ∈ �P

pS ∈ �P'


z t( ) = 0


w t( ) y t g w tt

( ) ( ) ( )= −� τ τ τd0

pS ∈ �P'

z t( ) = 0ngenommen

W s( ) Y s G s W s( ) ( ) ( )=

6


R S

M

p ∈ �P

pS ∈ �P'


z t( ) = 0


w t( ) y t g w tt

( ) ( ) ( )= −� τ τ τd0

pS ∈ �P'

z t( ) = 0ngenommen

W s( ) Y s G s W s( ) ( ) ( )=

w k( ) y k g i w k ii

k

( ) ( ) ( )= −=∑

0

6


R S

M

p ∈ �P

pS ∈ �P'


z t( ) = 0


w t( ) y t g w tt

( ) ( ) ( )= −� τ τ τd0

pS ∈ �P'

z t( ) = 0ngenommen

W s( ) Y s G s W s( ) ( ) ( )=


k

( ) ( ) ( )= −=∑

0

W z( ) Y z G z W z( ) ( ) ( )=

6


R S

M

p ∈ �P

pS ∈ �P'


z t( ) = 0


w t( ) y t g w tt

( ) ( ) ( )= −� τ τ τd0

pS ∈ �P'

z t( ) = 0ngenommen

W s( ) Y s G s W s( ) ( ) ( )=


k

( ) ( ) ( )= −=∑

0

W z( ) Y z G z W z( ) ( ) ( )=

y f p x y

x

p

= = − ∈

= − ∈

= ∈

( , ) , ( ), ( ), , ( )

( ), ( ), , ( )

( ), ( ), , ( )

mitt

t

t

y y y K

x x x K

p p x P

K

K

P

0 1 1

0 1 1

1 2

�

�

�

� ��

�

�

�

g i g i( ) ( , )= p

K P≥

Reglermodell

6


R S

M

p ∈ �P

pS ∈ �P'


z t( ) = 0


w t( ) y t g w tt

( ) ( ) ( )= −� τ τ τd0

pS ∈ �P'

z t( ) = 0ngenommen

W s( ) Y s G s W s( ) ( ) ( )=


k

( ) ( ) ( )= −=∑

0

W z( ) Y z G z W z( ) ( ) ( )=

K := Anzahl der diskreten Meßwerte

7


Adaption

Welches Ziel hat die Adaption?Welches Ziel hat die Adaption?

7


Adaption


Wir wollen letztlich die Parameter so wählen, daß der VerlaufWir wollen letztlich die Parameter so wählen, daß der Verlaufder Ausgangsgrößeder Ausgangsgröße y = f(p,w) dem Verlauf der Steuerfunktiondem Verlauf der Steuerfunktion

w möglichst nahe kommt.möglichst nahe kommt.

7


Adaption




Wir benötigen ein Fehlermaß!Wir benötigen ein Fehlermaß!

7


Adaption





e ee e w f p w2 = = −t mit, ( , )Euklidischer FehlerEuklidischer Fehler

7


Adaption





e ee e w f p w2 = = −t mit, ( , )Euklidischer FehlerEuklidischer Fehler

Min tp ee p� �→ *MinimierungsproblemMinimierungsproblem

8


Newton-Verfahren I

p

Q (p )

p ip i+ 1

Iterative Nullstellensuche Iterative Nullstellensuche 1D - Newton-Verfahren1D - Newton-Verfahren

8


Newton-Verfahren I

p

Q (p )

p ip i+ 1


r p f p J p p p R p p Jrpp p( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ,= + ⋅ − + = ∂

∂��0 0 0 0 mit

Linearisierung der VektorfunktionLinearisierung der Vektorfunktion

f ff

p

f

pP

skalar ⇒ = ∇ = ∂∂

∂∂

��

�Jp

1

� (Gradientenverfahren)

8


Newton-Verfahren I

p

Q (p )

p ip i+ 1



∂��0 0 0 0 mit


f ff

p

f

pP

skalar ⇒ = ∇ = ∂∂

∂∂

��

�Jp

1


p p0 = iEntwicklungspunktEntwicklungspunkt p p= +i 1

BerechnungspunktBerechnungspunkt

8


Newton-Verfahren I

p

Q (p )

p ip i+ 1



∂��0 0 0 0 mit


f ff

p

f

pP

skalar ⇒ = ∇ = ∂∂

∂∂

��

�Jp

1


p p0 = iEntwicklungspunktEntwicklungspunkt p p= +i 1

BerechnungspunktBerechnungspunkt

Linearisierte MinimierungsaufgabeLinearisierte Minimierungsaufgabe

Min Minp p pr p r p J p p p( ) ( ) ( )i i i i i+ += + ⋅ −1 2 1 2

� � ��

9


Newton-Verfahren II

r p J p s r p J p s 0 s p pp p( ) ( ) ( ) ( ) ,i i i i i i i i i+ ⋅ → ≡ + ⋅ = = −+2 10 mit

Annahme, daß mit zunehmender Iterationsordnung Annahme, daß mit zunehmender Iterationsordnung ii gilt: gilt:

9


Newton-Verfahren II



⇒ ⋅ = −J p s r pp ( ) ( )i i i

9


Newton-Verfahren II



⇒ ⋅ = −J p s r pp ( ) ( )i i i

⇒ = − −s J p r ppi i i1( ) ( )

9


Newton-Verfahren II



⇒ ⋅ = −J p s r pp ( ) ( )i i i

⇒ = − −s J p r ppi i i1( ) ( )

Damit berechnet sich der Damit berechnet sich der (i + 1)- te Parameter der- te Parameter derMinimierungsaufgabe zu:Minimierungsaufgabe zu:

p p si i i+ = +1

10


Newton-Verfahren III

Haben wir mit dem dargestellten VerfahrenHaben wir mit dem dargestellten Verfahrenbereits die Lösung für die iterative Berechnung vonbereits die Lösung für die iterative Berechnung von p* gefunden?gefunden?

10




Was wurde nicht bedacht?Was wurde nicht bedacht?

10





Die Anzahl Meßwerte Die Anzahl Meßwerte K (Zeilen) der (Zeilen) der JacobiJacobi-Matrix ist im-Matrix ist imallgemeinen größer als die der Parameter allgemeinen größer als die der Parameter P (Spalten).(Spalten).

10






Was können wir tun?Was können wir tun?

10






Was können wir tun?Was können wir tun?

Verwendung der Pseudoinversen MatrixVerwendung der Pseudoinversen Matrix

A x b= x A b= +

A +

11


Newton-Verfahren IV

Min mit∆ ∆2� � , = −Ax b

⇒ =

⋅ ⋅ >

=

⋅ ⋅ <

��

��

��

��

+

−

−

−

A

A A A

A

A A A

( )

( )

t t

t t

für

für

für

1

1

1

K P

K P

K P

Ansatz:Ansatz:

11


Newton-Verfahren IV

Min mit∆ ∆2� � , = −Ax b

⇒ =

⋅ ⋅ >

=

⋅ ⋅ <

��

��

��

��

+

−

−

−

A

A A A

A

A A A

( )

( )

t t

t t

für

für

für

1

1

1

K P

K P

K P

Ansatz:Ansatz:

s J p J p J p r pp p pi i i i i= −

−( ) ( ) ( ) ( )t t� � 1

Newton-Iteration:Newton-Iteration:

p p si i i+ = +1

11


Newton-Verfahren IV

Min mit∆ ∆2� � , = −Ax b

⇒ =

⋅ ⋅ >

=

⋅ ⋅ <

��

��

��

��

+

−

−

−

A

A A A

A

A A A

( )

( )

t t

t t

für

für

für

1

1

1

K P

K P

K P

Ansatz:Ansatz:

s J p J p J p r pp p pi i i i i= −

−( ) ( ) ( ) ( )t t� � 1

Newton-Iteration:Newton-Iteration:

p p si i i+ = +1

Rang DimJ p pp( )i� � � �=

Quadratmittelprobleme sind eindeutig lösbar, Quadratmittelprobleme sind eindeutig lösbar, wenn in jedem Iterationsschritt gilt:wenn in jedem Iterationsschritt gilt:

12


Wie gehen wir vor?Wie gehen wir vor?

Iterative Adaption I

12




Ausgehend von einem StartwertAusgehend von einem Startwert p0

12





p f pi i i+ ∈1 0 1= ( ) ,A { , , }�berechnen wir iterativ berechnen wir iterativ

eine Folge von Parametervektoren.eine Folge von Parametervektoren.

12







Was passiert, wenn wir ein Minimum erreichen?Was passiert, wenn wir ein Minimum erreichen?

12







Was passiert, wenn wir ein Minimum erreichen?Was passiert, wenn wir ein Minimum erreichen?

Die partiellen Ableitungen und damit die Jacobi-Matrix verschwindetDie partiellen Ableitungen und damit die Jacobi-Matrix verschwindetbzw. es entsteht die Fixpunkteigensschaft der Adaption:bzw. es entsteht die Fixpunkteigensschaft der Adaption:

p f p* *= ( )A

13


Welche Fragestellungen ergeben sich für eine technischWelche Fragestellungen ergeben sich für eine technischsinnvolle Auslegung des Parameter-Adaptionsgesetzes?sinnvolle Auslegung des Parameter-Adaptionsgesetzes?

Iterative Adaption II

13




•• Unter welchen Bedingungen existiert ein solcher Fixpunkt? Unter welchen Bedingungen existiert ein solcher Fixpunkt?

13





•• Gibt es einen oder mehrere Fixpunkte Gibt es einen oder mehrere Fixpunkte (lokales und globales Minimum)(lokales und globales Minimum)??

13






•• Läßt sich ein Fehlerabstandsgesetz zwischen Fixpunkt und Läßt sich ein Fehlerabstandsgesetz zwischen Fixpunkt und Iteration angeben? Letzteres kann zur Berechnung der Anzahl Iteration angeben? Letzteres kann zur Berechnung der Anzahl der Iterationsschritte herangezogen werden der Iterationsschritte herangezogen werden (Abbruchkriterium)(Abbruchkriterium)??

13







•• Unter welchen Bedingungen konvergiert das Iterationsverfahren? Unter welchen Bedingungen konvergiert das Iterationsverfahren?

13








•• Verschwindet der Fehler im Fixpunkt? Verschwindet der Fehler im Fixpunkt?

13








•• Verschwindet der Fehler im Fixpunkt? Verschwindet der Fehler im Fixpunkt?

•• Liegt ein stabiles Regler- und Adaptionsverhalten vor? Liegt ein stabiles Regler- und Adaptionsverhalten vor?

14


R Sw k( ) y k( )

pS

p

Parameter-Parameter-adaptionsregeladaptionsregel

Extremwertregelsystem I

14


R Sw k( ) y k( )

pS

p

Parameter-Parameter-adaptionsregeladaptionsregel

Extremwertregelsystem I

•• Klassische Regler Klassische Regler•• neuronale Regler neuronale Regler•• Fuzzy-Regler Fuzzy-Regler•• beliebige algorithmische beliebige algorithmische Verfahren Verfahren

15


t

w (t)

t

y ( t)

� + T� � + T�

Extremwertregelsystem II

15


t

w (t)

t

y ( t)

� + T� � + T�


15


t

w (t)

t

y ( t)

� + T� � + T�


15


t

w (t)

t

y ( t)

� + T� � + T�


15


t

w (t)

t

y ( t)

� + T� � + T�


15


t

w (t)

t

y ( t)

� + T� � + T�


•• Geleitendes Zeitfenster muß Geleitendes Zeitfenster muß K ≥ P Abtastungen der Signale enthalten Abtastungen der Signale enthalten

15


t

w (t)

t

y ( t)

� + T� � + T�



•• Abtastrate Abtastrate T0 an Shannon orientieren an Shannon orientieren (kein signifikanter Informationsverlust)

15


t

w (t)

t

y ( t)

� + T� � + T�




•• Starke Überabtastung führt zu schlecht konditionierter Jacobi-Matrix Starke Überabtastung führt zu schlecht konditionierter Jacobi-Matrix

15


t

w (t)

t

y ( t)

� + T� � + T�




•• Starke Überabtastung führt zu schlecht konditionierter Jacobi-Matrix Starke Überabtastung führt zu schlecht konditionierter Jacobi-Matrix

•• Adaptionsdynamik träger als die Systemdynamik Adaptionsdynamik träger als die Systemdynamik

16


Extremwertregelsystem III

•• Adaptive Schrittweitenanpassung Adaptive Schrittweitenanpassung (gedämpftes Newton-Verfahren)(gedämpftes Newton-Verfahren)

p p J p J p J p r pp p pi i i i i i i i+ −

= − ∈1 10 1λ λ( ) ( ) ( ) ( ) , ] , ]t t� �

Modifikation des Newton-Verfahrens

16





= − ∈1 10 1λ λ( ) ( ) ( ) ( ) , ] , ]t t� �


•• Trust-Region-Gauß-Verfahren Trust-Region-Gauß-Verfahren (Levenberg-Marquart-Verfahren)(Levenberg-Marquart-Verfahren)

p p J p J p E J p r pp p pi i i i i i i+ −

= − +1 1( ) ( ) ( ) ( )t tα� �

16





= − ∈1 10 1λ λ( ) ( ) ( ) ( ) , ] , ]t t� �




= − +1 1( ) ( ) ( ) ( )t tα� �

•• Evolutionäre Optimierungsverfahren Evolutionäre Optimierungsverfahren (g(genetischeenetische AlgorithmenAlgorithmen)) Verzicht auf Differenzierbarkeit von Reglermodell und System sowie Möglichkeiten komplexe Neben- und Randbedingungen aufzunehmen

16





= − ∈1 10 1λ λ( ) ( ) ( ) ( ) , ] , ]t t� �




= − +1 1( ) ( ) ( ) ( )t tα� �

•• Evolutionäre Optimierungsverfahren Evolutionäre Optimierungsverfahren (g(genetischeenetische AlgorithmenAlgorithmen)) Verzicht auf Differenzierbarkeit von Reglermodell und System sowie Möglichkeiten komplexe Neben- und Randbedingungen aufzunehmen

•• Extremalansätze der Variationsrechnung Extremalansätze der Variationsrechnung mit Neben- und Randbedingungen

17


Adaptives Verhalten und Lernvorgänge sindAdaptives Verhalten und Lernvorgänge sindeng mit Wiederholungen bzw. Iterationeneng mit Wiederholungen bzw. Iterationen

verknüpft.verknüpft.

Lernen, Adaption und Iteration

17


Adaptives Verhalten und Lernvorgänge sindAdaptives Verhalten und Lernvorgänge sindeng mit Wiederholungen bzw. Iterationeneng mit Wiederholungen bzw. Iterationen

verknüpft.verknüpft.

Lernen, Adaption und Iteration

Sprechen, Gehen und WissenserweiterungSprechen, Gehen und Wissenserweiterung

18


Merkmale eines adaptiven Regelsystems

w t( ) y t( )pS ∈ �

P'z t( )

p ∈ �P

Unbehauen

R S

18



w t( ) y t( )pS ∈ �

P'z t( )

p ∈ �P

Unbehauen

R S

KriterienKriterien

vorgegebenevorgegebeneEigenschaftenEigenschaftenp ∈ �P

18



w t( ) y t( )pS ∈ �

P'z t( )

p ∈ �P

Unbehauen

R S

KriterienKriterien


ModifikationModifikation

EntscheidungEntscheidungAdaptionAdaption

p ∈ �P

18



w t( ) y t( )pS ∈ �

P'z t( )

p ∈ �P

Unbehauen

R S

KriterienKriterien


ModifikationModifikation

EntscheidungEntscheidungAdaptionAdaption

p ∈ �P

IdentifikationIdentifikation(Messung)(Messung)

19


Entwicklung von Adaptionsverfahren I

IdentifikationB eobachter

R eg le r-en tw urfs-

rege ln

A lgo rith-m ierung

19





rege ln

A lgo rith-m ierung

•• Einstellregeln nach Ziegler und Einstellregeln nach Ziegler und Nichols Nichols (analog)(analog) oder nach oder nach Takahashi Takahashi (diskret)(diskret)

19





rege ln

A lgo rith-m ierung


Lineare Regler mit PolvorgabeLineare Regler mit Polvorgabe

•• Charakteristische Gleichung Charakteristische GleichungHurwitz DeterminatenkriteriumHurwitz Determinatenkriterium

19





rege ln

A lgo rith-m ierung




•• Güteanforderungen an die Systemantwort Güteanforderungen an die Systemantwort

19





rege ln

A lgo rith-m ierung




•• Güteanforderungen an die Systemantwort Güteanforderungen an die Systemantwort

•• Notwendige Bedingung für Minimum: Notwendige Bedingung für Minimum: Verschwinden der partiellen Ableitungen Verschwinden der partiellen Ableitungen

∂∂

=pi

0

w t y t tj

W s G s W s sj

j

( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )− = −∞

− ∞

+ ∞

� �p p2

0

21

2d d

π δ

δ

w k y k W z G z W zk

K

z ek

K

jk

K( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )− = −

=

−

==

−

∑ ∑ −p p2

0

12

0

1

2π

20


Entwicklung von Adaptionsverfahren II



rege ln

A lgo rith-m ierung

•• Ansätze über Ansätze über zeitdiskretezeitdiskrete Sytemmodelle Sytemmodelle mitmit problemangepaßten problemangepaßten Gütekriterien Gütekriterien

W z( )

p ∈ �P pS ∈ �P'

Y z( )

ε( )z C z

A z

( )

( )

K z

F z B z

( )

( ) ( )

B z

A zz d( )

( )−

Min E y k d r u k( ) ( )+ +� � � �� 2 2

U z( )

Bewertungsfaktor

21




rege ln

A lgo rith-m ierung

Entwicklung von Adaptionsverfahren III

Ziele für diskreten Ziele für diskretenAlgorithmusAlgorithmus

21




rege ln

A lgo rith-m ierung

Entwicklung von Adaptionsverfahren III

Ziele für diskreten Ziele für diskretenAlgorithmusAlgorithmus

•• Rekursives Rekursives AdaptionsgesetzAdaptionsgesetz

•• Rekursive Identifikation Rekursive Identifikation

•• möglichst keine Trennung von möglichst keine Trennung von Identifikations Identifikations-, -, AdaptionsAdaptions und und RegleralgorithmusRegleralgorithmus

22


Grundstrukturen adaptiver Regelsysteme

•• Verfahren der gesteuerten Adaption (Parameter Verfahren der gesteuerten Adaption (Parameter SchedulingScheduling11))

Minimierungsansätze Minimierungsansätze und und RegleradaptionRegleradaption mit Iterationsverfahren mit Iterationsverfahren((GradientenverfahrenGradientenverfahren)) können bei den o.g. Strukturen angewendet können bei den o.g. Strukturen angewendetwerden.werden.

1 Aufstellung, Verzeichnis, Plan

22






•• Adaptives Regelsystem mit parallelem Vergleichsmodell Adaptives Regelsystem mit parallelem Vergleichsmodell

22






•• Adaptives Regelsystem mit parallelem Vergleichsmodell Adaptives Regelsystem mit parallelem Vergleichsmodell

•• Adaptives Regelsystem ohne Vergleichsmodell Adaptives Regelsystem ohne Vergleichsmodell

23


Gesteuerte Adaption

festeZuordnung

look up tab leIdentifika tion

R S

p ∈ �P pS ∈ �P' z t( )

w t( ) y t( )

23


Gesteuerte Adaption

festeZuordnung


R S

p ∈ �P pS ∈ �P' z t( )

w t( ) y t( )

Robotik:Robotik: Störterme (Kräfte und Momente) anderer Achsen stellungsabhängig Reglerparameter der Achsregler stellungsabhängig Bewegungsgleichung: M q q h q q k g q( ) �� ( , � ) ( )+ = −drive

23


Gesteuerte Adaption

festeZuordnung


R S

p ∈ �P pS ∈ �P' z t( )

w t( ) y t( )

Flugobjekte :Flugobjekte : Unterschall- und ÜberschallflugStrömungsprobleme:Strömungsprobleme: laminares und turbulentes Strömungsverhalten

23


Gesteuerte Adaption

festeZuordnung


R S

p ∈ �P pS ∈ �P' z t( )

w t( ) y t( )

Eigenschaften :Eigenschaften : geringer Aufwand bekanntes Verhalten der Regelstrecke

24


M ode ll

R und S

K riterium ,A dap tions- und

E ntscheidungsprozeß

M odifi-kation

Adaptives Regelsystem mit parallelem Vergleichsmodell

pS ∈ �P'

w t( ) y t( )

p ∈ �P

y tM ( )

e t y t y t( ) ( ) ( )= − M

z t( )

24


M ode ll

R und S

K riterium ,A dap tions- und

E ntscheidungsprozeß

M odifi-kation

Adaptives Regelsystem mit parallelem Vergleichsmodell

pS ∈ �P'

w t( ) y t( )

p ∈ �P

y tM ( )

e t y t y t( ) ( ) ( )= − M

z t( )

Adaption an vorgegebenes ModellverhaltenAdaption an vorgegebenes Modellverhalten

25


R S

Identifika tionM odifika tion

E ntscheidungs-prozeß A daptions-

so llw ert

Adaptives Regelsystem ohne Vergleichsmodell

pS

w t( ) y t( )

p ∈ �P

z t( )

pI ∈ �P

1


AdaptiveAdaptiveReglerRegler

BeispielBeispiel

Februar 2002Februar 2002

2


W s( ) Y s( )

τ

KI

Strecken-Strecken-identifikationidentifikation

Adaptiver Regler Lehrbeispiel

1

1+τ sK

sI

I - GliedI - Glied TT1 1 - Glied- Glied

Adaption undAdaption undModifikationModifikation

XMS YMS

M := Meßwerte

3


Shannon- Shannon- Abtasttheorem Abtasttheorem erfüllen!erfüllen!(Faktor 10, wegen realer Tiefpaßfilter beachten)

f f0 10≥ B

Streckenidentifikation über FFT

3



f f0 10≥ B


Zusammenhang zwischen diskreterZusammenhang zwischen diskreterFourier-Transformation (DFT)Fourier-Transformation (DFT)und Laplace-Transformationund Laplace-Transformation

G k G ss j k f

( ) ( )==L 2 0π

3



f f0 10≥ B



G k G ss j k f

( ) ( )==L 2 0π

MinS MS S S MS SIp p pY k G k X k

k

K

( ) ( , ) ( )−��

��

→=

−

∑ 2

0

1Streckenparameter-Streckenparameter-IdentifikationIdentifikation(wäre auch analytisch möglich; Verfahren nach Isermann, mit Least-Square-Ansatz)

pS = τ

3



f f0 10≥ B



G k G ss j k f

( ) ( )==L 2 0π

MinS MS S S MS SIp p pY k G k X k

k

K

( ) ( , ) ( )−��

��

→=

−

∑ 2

0

1Streckenparameter-Streckenparameter-IdentifikationIdentifikation(wäre auch analytisch möglich; Verfahren nach Isermann, mit Least-Square-Ansatz)

pS = τ

τπ

= ∈ −TX k Y k

kk K0 2

1 1Im ( ) / ( )

, { ,2, , }� �

�analytischanalytisch(rauschempfindlich; für Startwert-berechnung geeignet)

4


FührungsüberFührungsüber--tragungsfunktiontragungsfunktion G s

G G

G G

K

sK

s

K

s s K( ) = =

⋅+

+ ⋅+

=+ +

R S

R S

I

I

I

I1+s

s

11

11

1

2

τ

ττ

=+ +

K

s sK

I

Iττ τ

112

Reglerparameter-Adaptionsregel

4



G G

G G

K

sK

s

K

s s K( ) = =

⋅+

+ ⋅+

=+ +

R S

R S

I

I

I

I1+s

s

11

11

1

2

τ

ττ

=+ +

K

s sK

I

Iττ τ

112


PolePoles

K1 2 2

1

2

1

4, = − ± −τ τ τ

I

4



G G

G G

K

sK

s

K

s s K( ) = =

⋅+

+ ⋅+

=+ +

R S

R S

I

I

I

I1+s

s

11

11

1

2

τ

ττ

=+ +

K

s sK

I

Iττ τ

112


PolePoles

K1 2 2

1

2

1

4, = − ± −τ τ τ

I

DiskriminanteDiskriminanteaperiodischer aperiodischer GrenzfallGrenzfall

DK> ⇒ > ⇒0

1

4 2τ τI KI < 1

4τ

EinstellregelEinstellregelder Regler-der Regler-parameterparameter

5


R S

Identifika tionM odifika tion

E ntscheidungs-prozeß A daptions-

so llw ert

Adaptives Regelsystem ohne Vergleichsmodell

pS

w t( ) y t( )

p ∈ �P

z t( )

pSI ∈ �P '

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Zusammenfassung und Ausblick I

•• Das Prinzip der sich Das Prinzip der sich selbsteinstellenden selbsteinstellenden oder lernenden Regelungoder lernenden Regelung ist älter als die Menschheit, da lebendige ist älter als die Menschheit, da lebendige OrganisationsOrganisations-- strukturenstrukturen hiervon hiervon evolutionär evolutionär Gebrauch machen. Dies geschiehtGebrauch machen. Dies geschieht ohne explizite Systemkenntnisse. ohne explizite Systemkenntnisse.

27




•• In abgeschwächter Form können In abgeschwächter Form können adaptiveadaptive Regler sich selbst an Regler sich selbst an Veränderungen anpassen oder unvollständige Systemkenntnisse Veränderungen anpassen oder unvollständige Systemkenntnisse ausgleichen. Hierbei handelt es sich überwiegend um Parameter- ausgleichen. Hierbei handelt es sich überwiegend um Parameter- adaptionenadaptionen..

27




•• In abgeschwächter Form können In abgeschwächter Form können adaptiveadaptive Regler sich selbst an Regler sich selbst an Veränderungen anpassen oder unvollständige Systemkenntnisse Veränderungen anpassen oder unvollständige Systemkenntnisse ausgleichen. Hierbei handelt es sich überwiegend um Parameter- ausgleichen. Hierbei handelt es sich überwiegend um Parameter- adaptionenadaptionen..

•• Adaption, Lernen und Wiederholung sind über Adaption, Lernen und Wiederholung sind über MinimierungsMinimierungs-- probleme probleme eng verwandt. eng verwandt.

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Zusammenfassung und Ausblick II

•• Die Die RegelstreckenRegelstrecken der technischen Regelsysteme sind zumeist der technischen Regelsysteme sind zumeist aus wirtschaftlichen und technischen Gründen nur unvollständig aus wirtschaftlichen und technischen Gründen nur unvollständig bestimmt und unterliegen bestimmt und unterliegen betriebsbedingten betriebsbedingten VeränderungenVeränderungen sowie sich verändernden Umwelteinflüssen. sowie sich verändernden Umwelteinflüssen.

28




•• RessourcenschonendeRessourcenschonende technische Systeme erfordern daher ein technische Systeme erfordern daher ein adaptives adaptives Verhalten. Verhalten.

28




•• RessourcenschonendeRessourcenschonende technische Systeme erfordern daher ein technische Systeme erfordern daher ein adaptives adaptives Verhalten. Verhalten.

•• Die Konkurrenz mit “ Die Konkurrenz mit “NiedriglohnNiedriglohn“-Ländern erzwingt “-Ländern erzwingt anspruchsanspruchs-- volle, wirtschaftlich attraktive Systeme und damit volle, wirtschaftlich attraktive Systeme und damit adaptiveadaptive,, intelligente Lösungen. intelligente Lösungen.

- 1 - Dr. Jörg Wollnack

%% AdaptReglerBeispielMain.m%% Lehrprogramm für adaptive Regler% Autor: Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack% Datum: 12.01.2002% Matlab Version 5.2.0.3084%% Workspace löschenclear all;

% globale Variableglobal T0 % Abtastzeit

%-----------------------------------------------------------------------------------% Funktionen und Ausgaben auswählenParaIdent = 1; % Parameter der Strecke identifizierenPlotSignale = 0; % Idendifikations-Signale ausgeben%-----------------------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------------------------% Streckeneigenschaften% T1-Glied% 1% G(s) = -------------% 1 + tau * s%tau = 2.56E-3; % Zeitkonstante in sekT = 10.0; % Signalzeit in sekK = 256; % Anzahl der Abtastungen % (Muß eine Potenz von 2 sein; für FFT notwendig)

T0 = T / (K-1); % Abtastzeit%-----------------------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------------------------% Reglereigenschaften% I-Glied% KI% R(s) = -----% sKI = 10.0 / 4 / tau;%-----------------------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------------------------% Reglerverhalten vor Adaption darstellenRSReglerBeispiel(tau,KI)%-----------------------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------------------------%% Signale für Parameteridentifikation der Regelsterecke erzeugen%

% Trapezsignal als Eingangssignal erzeugen (Erregung)w = DETrapez(50,K-50,K);

% Fenstersignal in den FFT-Raum transformierenKFFT = K;ys = zeros(KFFT,1);xs = zeros(KFFT,1);

% Streckeneingangssignal (Zeitbereich)for k = 1 : KFFT xs(k) = w(k);end

XIst = fft(xs); % FFT Eingangssignal


YStrecke = TGFFT(T0,tau,XIst); % Steckenausgangssignal berechnenYSoll = YStrecke; % als Sollwert übergeben

yStrecke = ifft(YStrecke); % Systemantwort im Zeitbereich berechnenys = real(yStrecke); % physikalisches Signal ist der Realteil

% Analytische Parameterberechnung% (Könnte als Startwert für Minimumssuche genutzt werden!)kI = KFFT/2;Inf = 'analytische tau-Berechnung'tauIAnalytisch = T0 * imag(XIst(kI)/YSoll(kI)) /2/pi/kI

if PlotSignale == 1% Plot der ErgebnissexPlot = 1:KFFT;figureplot(xPlot,abs(XIst));figureplot(xPlot,abs(YStrecke));

end

%-----------------------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------------------------% Identifikation der Streckenparameter% (Least-Square-Ansatz)if ParaIdent == 1

% Minimierung % Allgemeine Zielfunktion % Q = QyVFuncpVxV(p, Norm, yVFuncpVxV, xIst, ySoll)

% Initialisierung (200%-Fehler annehmen!) p = [tau*(1-2.0)];

% Otimierung einer Zielfunktion mit Parameterübergabe % Vektor-Zielfunktion und Norm können über String-Variablen % festgelegt werden options = [0 10.0E-6 500]; % [ Anzeige_von_Zwischenergebnisse_nach_Steps % Abbruchfehler % maximale Steps ]

tauI = fmins('QyVFuncpVxV', p, options, [], 'EuklidNormC', 'yVTGFFTpVxV', XIst, YSoll); % QyVFuncpVxV() Gütefunktion

Inf = 'mit Minimumssuche identifizierter Streckenparameter tau' tauI %-----------------------------------------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------------------- % I-Regler-Parameter festlegen % (Ansatz über charakteristische Gleichung; in der Nähe des aperiodischen Grenzfalls) % KI < 1 / (4 tau)

% Anpaßfaktor (Damit kann gewünschte Dynamik eingestellt werden!; % 1.0 := aperiodischer Grenzfall) alpha = 1.0; KI = alpha / 4 / tauI; %-----------------------------------------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------------------- % Reglerverhalten nach Adaption darstellen RSReglerBeispiel(tauI,KI) %-----------------------------------------------------------------------------------


end

%-----------------------------------------------------------------------------------if PlotSignale == 1

% Plot der ErgebnissexPlot = 1:K;figureplot(xPlot,w);figure

plot(xPlot,ys);

end%-----------------------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------------------------function y = TGFFT(T0,tau,x)%-----------------------------------------------------------------------------------% 1% G(k) = ---------------------------------% 1 + i * tau * k * 2 * pi * f0%-----------------------------------------------------------------------------------

[M,N] = size(x);y = zeros(M,1);

for k = 1 : M/2 y(k) = x(k) / ( 1 + i * tau * k * 2 * pi / T0 );end

k = 2;for n = M : -1 : M/2 + 1 y(n) = x(n) / ( 1 + i * tau * k * 2 * pi / T0 ); k = k + 1;end%-----------------------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------------------------function Q = QyVFuncpVxV(p,Norm,yVfVpVxV,xIst,ySoll)%-----------------------------------------------------------------------------------% Gütefunktion% Q = QyVFuncpVxV(p, Norm, YvFv, xIst, ySoll)% y = yVfVpVxV(p,x)%-----------------------------------------------------------------------------------yIst = feval(yVfVpVxV,p,xIst);Dy = yIst - ySoll;Q = feval( Norm, Dy );%-----------------------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------------------------function Q = EuklidNormC(y)%-----------------------------------------------------------------------------------[M N] = size(y);

q = 0;MN = M * N;

for m = 1 : M for n = 1 : N qmn = y(m,n); q = q + qmn * conj(qmn) / MN; end


end

Q = sqrt(q);%-----------------------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------------------------function y = yVTGFFTpVxV(p,x)%-----------------------------------------------------------------------------------

global T0

y = TGFFT(T0,p(1),x);%-----------------------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------------------------function RSReglerBeispiel(tau,KI)%-----------------------------------------------------------------------------------% Teile durch Kommentarzeichen ausgeblendet%-----------------------------------------------------------------------------------% ÜbertragungsfunktionzS = [1]; % ZählerpolynomnS = [tau 1]; % Nennerpolynom

zR = [KI]; % ZählerpolynomnR = [1 0]; % Nennerpolynom%-----------------------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------------------------% Zusammenschaltung von Übertragungsgliedern

% offene Regelschleife[zo, no] = series(zR, nR, zS, nS);

% geschlossene Regelschleife aufbauen[zr, nr] = feedback(zR, nR, zS, nS);%-----------------------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------------------------% Reglerverhalten darstellen

% Ortskurve der offenen Regelschleife ausgeben%figure%nyquist(zo,no)

% Pol- und Nullstellenlage ausgebenfigurepzmap(zr,nr)

% Bodedigramm%figure%bode(zr, nr)

% Ortskurve%figure%nyquist(zr,nr)

% Übergangsfunktionfigurestep(zr, nr)

% Gewichtsfunktion%figure%impulse(zr, nr)%-----------------------------------------------------------------------------------


Literaturverzeichnis Adaptive Regler

Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack

Literaturverzeichnis

Monographien und Periodika

[1] Ablay, P: Optimieren mit Evolutionsstrategien. Spektrum der Wissenschaft, Juli 1987,Seiten 104-115

[2] Böcker, J.; Hartmann, I.; Zwanzig, Ch.: Nichtlineare und adaptive Regelungssysteme.Springer Verlag, 1986

[3] Hofer, Eberhard; Lunderstädt, Reinhart: Numerische Methoden der Optimierung, R.Oldenbourg Verlag, 1975

[4] Isermann, Rolf: Identifikation dynamischer Systeme 1. 2. neubearbeitete und erweiterteAuflage, Berlin u.a., Springer Verlag GmbH & Co. KG, 1992

[5] Isermann, Rolf: Identifikation dynamischer Systeme 2. 2. neubearbeitete und erweiterteAuflage, Berlin u.a.: Springer Verlag GmbH & Co. KG, 1992

[6] Isermann, Rolf: Digitale Regelsysteme. Springer Verlag, 1977

[7] Kahlert, Jörg: Fuzzy Control für Ingenieure. Friedr. Vieweg Verlag, Braunschweig undWiesbaden, 1995

[8] Lunze, Jan: Regelungstechnik I, Systemtheoretische Grundlagen, Analyse und Entwurfeinschleifiger Regelungen. 6. Auflage, Springer Verlag, 1996

[9] Lunze, Jan: Regelungstechnik III, Identifikation, Adaption, Optimierung. 6. Auflage,Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, 2000

[10] Nauck, Detlef; Klawonn Frank; Kruse, Rudolf: Neuronale Netze und Fuzzy-Systeme. 2.überarbeitete und erweiterte Auflage, Friedr. Vieweg Verlag, Braunschweig und Wies-baden, 1996

[11] Schwetlick, Hubert ; Kretzschmar, Horst: Numerische Mathematik für Natur-wissenschaftler. 1. Auflage. Leipzig, Fachbuchverlag GmbH Leipzig, 1991

[12] Unbehauen, Rolf: Systemtheorie 2, Mehrdimensionale, adaptive und nichtlineare Systeme.R. Oldenbourg Verlag, 1998

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Adaptive Regler - TUHH – Startseite · 10 Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack 15.04.02 Newton-Verfahren III Haben wir mit dem dargestellten Verfahren bereits die Lösung für die iterative