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07.12.2008S.1
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
SchwingungenSchwingungenGrundlagen
Stick-Slip undRatterschwingungen
LagekoppelungAufbauschneidenbildung
MaschinendynamikSchwingungen an spanenden WZM
07.12.2008S.2
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Weltin
Stick-Slip
07.12.2008S.3
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Weltin
Mechanischer Schwinger
07.12.2008S.4
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Mechanischer Schwinger mit einem Freiheitsgrad
07.12.2008S.5
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
2
2
d d( ) ( ) ( ) ( )
d d
f fa t b t c f t e t
t t+ + =
BeschleunigungstermBeschleunigungsterm
geschwindigkeitsproportionalergeschwindigkeitsproportionalerReibungstermReibungsterm
positionsproportionalerpositionsproportionalerKrafttermKraftterm
FremderregungFremderregung
Lineare, zeitinvariante Bewegungsgleichung
07.12.2008S.6
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
M
05
1015
20
0
10
20
30
40
50
0
0.5
1
1.5
0,010,99
h(t)
t / T0
Sprungantwort des gedämpften harmonischen Schwingers
2 20 0
1( )
2 1G s
T s T sϑ=
+ +
ϑ
07.12.2008S.7
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Voumard
m
Periodische Signale II
Periodische Schwingungen entstehen typischerweise im Zusammenhang mit gleich-förmigen Drehbewegungen(Werkzeugmaschinen, Getriebe,
Motoren usw.).
0
2t
Tπ
0
cos 2t
Tπ
0
sin 2t
Tπ
0
2
0 0
cos 2 sin 2t
jT t t
e jT T
ππ π
= +
Euleridentität
07.12.2008S.8
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
00 0
1
( ) cos sin2
K
K k kk
aS t a k t b k tω ω
=
= + +∑
0 0
0
00
2( )cos d
t T
k
t
a f t k t tT
ω+
= ∫0 0
0
00
2( )sin d
t T
k
t
b f t k t tT
ω+
= ∫
FourierFourier--SummeSumme
Diskretes Fourier-Spektrum I
00
2
T
πω =
T0/2-T0/2 0
t
f t( )
0( ) ( )f t f t T= +
0 0( ) ( ) ( ) ( )f t f t T f t f t nT= + ⇒ = ±
07.12.2008S.9
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Diskretes Fourier-Spektrum II
( )00
1
( ) cos2
K
K k kk
aS t A k tω ϕ
=
= + +∑
2 2k k kA a b= +
( )arctan für 0
arctan ,
arctan sonst
kk
k
k k k
k
k
ba
aa b
b
a
ϕπ
≥
= ∠ = +
BetragBetrag
PhasePhase
FourierFourier--SummeSumme
07.12.2008S.10
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
1 für 02
0 für 0( )
1 für 02
0 für2
x
xf x
x
x
π
π
π
− − < <
== < < =
( )sin4, 1,3,5, k
k xa k
kπ= ∈ …
1.200351
1.200351
S x( )
2 π.2 π. x6 4 2 0 2 4 6
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
K=1
Fourier-Summen der Rechteckfunktion I
07.12.2008S.11
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
1.18829
1.18829
S x( )
2 π.2 π. x6 4 2 0 2 4 6
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
K=2
1.184159
1.184159
S x( )
2 π.2 π. x6 4 2 0 2 4 6
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
K=3
Fourier-Summen der Rechteckfunktion II
07.12.2008S.12
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
1.17862
1.17862
S x( )
2 π.2 π. x6 4 2 0 2 4 6
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
K=10
1.14142
1.14142
S x( )
2 π.2 π. x6 4 2 0 2 4 6
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
K=50
Fourier-Summen der Rechteckfunktion III
07.12.2008S.13
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Die Variable x kann die Zeit, den Ort oder eine beliebigeunabhängige Variable repräsentieren.
Die Funktion f(x) kann eine beliebige Funktion sein, die physikalische Werte repräsentiert(Position, Pose, Kräfte, Momente, Spannung, Strom usw.).
Diese Ansätze können auf Vektor- und Matrixfunktionen mitmehrdimensionalen unabhängigen Variablen erweitert werden(Mechanik, Optik, Quantenphysik usw.).
Verallgemeinerung
07.12.2008S.14
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
0.40.2
00.2
0.4
0.4
0.2
0
0.2
0.4
1
0. 5
0
0.5
0.40.2
00.2
0.4
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.5
0
0.5
1
x
yz
0.40.2
00.2
0.4
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0
0.5
1
0.40.2
00.2
0.4
0.4
0. 2
0
0.2
0.4
1
0.5
0
0.5
Ortsfrequenzen
H H e f fj
H
Hx y( ) ( ) , ( , )
arctanIm ( )
Re ( )f f fff= =
RSTUVW
2k pk p t
PhasePhase
BetragBetrag
07.12.2008S.15
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
FourierFourier--TransformationTransformation
07.12.2008S.16
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
T0/2-T0/2 0
t
f t( )
Mit einer gegen unendlich strebende Periode T0 ließen sich die Periodizitätsanforderung eliminieren, so dass aperiodischeSignale erfasst werden können.
Idee des Fourier-Integrals I
0T →∞
07.12.2008S.17
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Der in der Klammer stehende Ausdruck wird Bild-, Spektral-funktion oder Fourier-Transformierte genannt.
Die Spektralfunktion kann nur eine Funktion von jω sein, da über t integriert wird und die Integrale uneigentliche Integrale sind.
( ) ( ) ( ) ( ) dj tF j f t j f t e tωω ω∞
−
−∞
≡ ℑ = ∫
1 1( ) ( ) ( ) ( ) d
2j tf t F j t F e ωω ω ω
π
∞−
−∞
≡ ℑ = ∫
Fourier-Integral
07.12.2008S.18
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
0
1( ) lim ( ) ( )
2f t f t f t
εε ε
→= + + −
( ) ( ) dj tF j f t e tωω∞
−
−∞
= ∫
Hintransformation1
( ) ( )2
j tf t F e dωω ωπ
∞
−∞
= ∫
Rücktransformation
( )F jωSpektrum
Fourier-Transformation
OriginalOriginal--bereichbereich
SpektralSpektral--bereichbereich(kontinuierliches Spektrum)
0
t
f t( )
0 ω
| F j( ) |ω
0 ω
φ( )ω
wo1
Folie 18
wo1 Vorlesungsendewo; 26.05.2008
07.12.2008S.19
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
10
10 2
f si
1j.
102 hertz.1 hertz. si
0 deg.
180 deg.
Φ f si
1j.
102 hertz.100 hertz. si
Betrag und Phase der Fourier-Transformierten
= 0,05T0 = 0,1 Hz
2 20 0
1( )
2 1G s
T s T sϑ=
+ +
s jω→
ϑ
07.12.2008S.20
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
j j ImF( )ω
ReF( )jω
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
300
6001200
1500
1800
2100
2400
2700
3000
3300f / Hz
39
40
42
43
44
45
4647
Ortskurve der Fourier-Transformierten
07.12.2008S.21
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
1.1
0.1
r t 1.0,( )
22 t2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.1
0.25
R ω 1.0,( )
6 2. π.6 2. π. ω30 20 10 0 10 20 30
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 für( , ) 2
0 sonst
Tt
r T t <=
sin2
( , ) 2
T
R T
ω
ωω
=
Rechteck- und Spaltfunktion
07.12.2008S.22
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
( ) ( ) ( )Y j G j E jω ω ω=
Linearität, Homogenität und Zeitinvarianz ist eine hinreichende und notwendige Bedingung für die
Existenz des Faltungssatzes(Analog multidimensional).
Die Fourier-Transformation überführt die Faltung in ein Produkt der Fourier-Transformierten
(Analog multidimensional).
( ) ( ) ( ) dy t g t eτ τ τ+∞
−∞
= −∫
Faltungssatz und Fourier-Transformation
Beweis, siehe Script
07.12.2008S.23
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Rohde und Schwarz
( )( ) für ( ) 0
( )
Y jG j E j
E j
ωω ωω
= >
HTW-Aalen
Messung der Systemfunktion
ElektrodynamischerErreger (Shaker)
07.12.2008S.24
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Testsignale zur Messung der Systemfunktion
T := Testsignale
07.12.2008S.25
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Typische Sprungfunktionen
Natke
07.12.2008S.26
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Typische Impulsfunktionen
Natke
07.12.2008S.27
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
SchaublinSchaublin
RatterRatter--SchwingungenSchwingungen
07.12.2008S.28
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
2- 3464 - 6TUHHPROF.DR.-ING. K.RALL
Stabilität von Bearbeitungsprozessen
Heller
Hervorgerufen durch die Stirnschneiden
Hervorgerufen durch die Umfangsschneiden
Abbild der Fräserschwingungen auf der Werkstückoberfläche
Rattern Rattern
Ratternratterfrei ratterfrei
07.12.2008S.29
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Regenerativer Rattereffekt Prozessschema I
m
c
d
F
Ft1
t3
t2
t4
F
F∆x
07.12.2008S.30
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Regenerativer Rattereffekt Prozessschema II
i-ter Messereingriff
(i+1)-ter Messer-eingriff
n := Umdrehungen/minz := Anzahl der Messer
07.12.2008S.31
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
G jg( )ω+
∆x x = dxdFFSt
Maschinenmodell
+ µTtkcbb-
Schnittprozess
Regenerativer Rattereffekt Blockschaltbild
ÜÜberber--deckungsdeckungs--
faktorfaktor
TotTot--zeitzeit
KienzleKienzleMaterialMaterial--
parameterparameter
SpanSpan--breitebreite
Rohde u.Schwarz
Empirisches Maschinenmodell
KraftKraft--messungmessung
PositionsPositions--messungmessung
07.12.2008S.32
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
F k b h x c f px xmx= ⋅ ⋅ ∈−
111
.( ) , , ,l q
TaylorTaylor--Reihe 1. OrdnungReihe 1. Ordnung
stationär stationär
(1 )1.1 1.1 stationär(1 ) ( )
mxxm
x x x xF k b h k b m h h h−−= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −
stationärerAnteil
dynamischerAnteil
cb d, mitF k b h h x∆ ∆ ∆= ⋅ ⋅ =
Kienzle Formeln
kcb := spezifische dynamische Schnittsteifigkeit
07.12.2008S.33
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Idee der Oszillator-Bedingung 1
kausales, lineares und zeitinvariantes System
0 1 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )F s F s F s Y s X s= − =
+
-
Sinus
F s2( )
F s1( )Y s( )
Y s0( )
X s( )rf
07.12.2008S.34
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Die Frequenz des Funktionsgenerators wird so eingestellt, dass die Gleichung erfüllt ist.0 r( ) ( ) , für 2Y s X s s j fπ= →
0 r( 2 ) 1 0F j f jπ⇒ = +
Welchen Wert hat ?0 r( 2 )F j fπ
Der Schalter wird gedanklich in der Zeit t = 0 umgelegt.Was passiert jetzt bzw. welches Signal stellt sich amAusgang ein?
Idee der Oszillator-Bedingung 2
07.12.2008S.35
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
+
-
Sinus
F s2( )
F s1( )Y s( )
Y s0( )
X s( )
Idee der Oszillator-Bedingung 3
+
-
Sinus
F s2( )
F s1( )Y s( )
Y s0( )
X s( )
07.12.2008S.36
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Das kausale Signal an F1 verändert sich nicht, da das rück-gekoppelte Signal in Betrag und Phase identisch ist.
Infolgedessen wird das Ausgangssignal ebenfalls unverändert sein müssen. Es liegt somit ein Oszillator vor.
Was passiert in der Realität?
Idee der Oszillator-Bedingung 4
07.12.2008S.37
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Physikalisch führen bereits geringfügige Änderungen des Systems letztlich zu einer aufbauenden oder abklingenden Schwingung. Es liegt ein labiler Zustand vor.
Die sich aufbauenden Schwingungen werden in ihrer Größe zumeist durch Nichtlinearitäten begrenzt, wenn nicht vorher eine Überlastung bzw. Zerstörung des Systems dem Vorgang ein Ende setzt.
Idee der Oszillator-Bedingung 5
07.12.2008S.38
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
14.787126
20.279603
ST w0 D, u w0.,( )
10 π.0 u0 5 10 15 20 25 30
25
20
15
10
5
0
5
10
15
1.0
1.0
SD w0 D, u w0.,( )
10 π.0 u0 5 10 15 20 25 30
1
0.5
0
0.5
1
0 r
0 r
Re ( 2 ) 1
Im ( 2 ) 0
F j f
F j f
ππ
>
∧ =
0 r
0 r
Re ( 2 ) 1
Im ( 2 ) 0
F j f
F j f
ππ
<
∧ =
Idee der Oszillator-Bedingung 6
ZerstZerstöörungsgefahrrungsgefahroder Begrenzungdurch Sättigungs-
effekte
07.12.2008S.39
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Ist die Oszillatorbedingung nicht erfüllt, so treten in der Praxis selten Ratterschwingungen auf. Letztlich kann dieses Kriterium nur eine Aussage darüber treffen, dass eine Ratterschwingung vorliegt.
Will man sicherstellen, dass keine Schwingungen auftreten,so muss man das Nyquist-Kriterium heranziehen.
Idee der Oszillator-Bedingung 7
07.12.2008S.40
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Stabilitätskarte
absolut stabilerDrehzahlbereich
in-stabil
stabil
Stabili-tätsrand
Leistungsgrenze
frk = 1k =2
übliche Drehoperationen k > 5übliche Fräsoperationen k < 5
k =3
k =4k =5
k =6
Drehzahl • Schneidenzahl ; n z / min-1
bcr
/ mm
Gre
nzs p
anun
gs-
tiefe
07.12.2008S.41
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
r
g r
g r
60 / min 10 (1)
Re ( )1arctan
Im ( )
s fn
z G jk
G j
ωπ ω
⋅=− ⋅ ≥ ∠ ±
arctan( / ) für 0arctan
arctan( / ) für 0
a b ba
a b bb π≥ ∠ = + <
0,1, ,k ∈ ∞…
cr g r
cb g r
1für Re ( ) 0 (2)
2 Re ( )b G j
k G jω
ω=− <
Stabilitätsanalyse
07.12.2008S.42
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
1.1. WWäähle hle k = 0,1,2,3,5,...
2.2. Bestimme, unter der Bedingung eines negativen Bestimme, unter der Bedingung eines negativen Realteils der Realteils der ÜÜbertragungsfunktion, fbertragungsfunktion, füür verschiedene r verschiedene Frequenzen Frequenzen fr den Realden Real-- und Imaginund Imaginäärteil der rteil der ÜÜbertragungsfunktion bertragungsfunktion Gg(.) aus der Ortskurve.aus der Ortskurve.
3.3. Berechne die normierte Drehzahl Berechne die normierte Drehzahl üüber die Gleichung ber die Gleichung (1). Dabei sind nur positive L. Dabei sind nur positive Löösungen von sungen von n sinnvoll, sinnvoll, weil eine negative Lweil eine negative Löösung eine Drehrichtungssung eine Drehrichtungs--äänderungnderung beschreibt, die bei einem Zerspanungsbeschreibt, die bei einem Zerspanungs--prozessprozess nicht sinnvoll ist.nicht sinnvoll ist.
Vorgehensweise I
07.12.2008S.43
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
4.4. Berechne die kritische Grenzspanbreite Berechne die kritische Grenzspanbreite bcr(fr) üüber ber (2)..
5.5. Zeichne den Graphen der ZuordnungZeichne den Graphen der Zuordnung
der in der in k und und fr parametrisierten Kurve, die dann die parametrisierten Kurve, die dann die StabilitStabilitäätskarte darstellt.tskarte darstellt.
r cr( , )z n f k b→
Vorgehensweise II
07.12.2008S.44
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
stabil
cb g r
10 (3)
2 Min Re ( 2 )b b
k G j fπ< < = −
Grundsätzlich stabiler Bereich
absolut stabilerDrehzahlbereich
in-stabil
stabil
Stabili-tätsrand
Leistungsgrenze
frk = 1k =2
übliche Drehoperationen k > 5übliche Fräsoperationen k < 5
k =3
k =4k =5
k =6
Drehzahl • Schneidenzahl ; n z / min-1
bcr
/ mm
Gre
nzsp
anun
gs-
tiefe
07.12.2008S.45
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Grundsätzlich stabiler Bereich
Im ( )G jg ω
Re ( )G jg ω
(µm/N)
(µm/N)
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
j300
6001200
1500
1800
2100
2400
2700
3000
3300f / Hz
39
40
42
43
44
45
4647
07.12.2008S.46
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
g
stabil 2
Min Re ( 2 44 ) 0,03µm/N
19,26 mm
2 1800 N/mm ( 0,03µm/N)
G j Hz
b b
π = −
⇒ < = − =⋅ ⋅ −
Grundsätzlich stabiler Bereich
07.12.2008S.47
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Die drehzahlDie drehzahl-- und schneidenzahlabhund schneidenzahlabhäängige Totzeit ngige Totzeit Tt
ist fist füür den Regenerativeffekt charakteristisch. Die r den Regenerativeffekt charakteristisch. Die Totzeit ist die Zeit, die zwischen dem Aufschneiden Totzeit ist die Zeit, die zwischen dem Aufschneiden
einer Oberfleiner Oberfläächenwelle und dem erneuten chenwelle und dem erneuten Einschneiden in diese Welle vergeht.Einschneiden in diese Welle vergeht.
m
∆xd
c
d
07.12.2008S.48
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Schnitt (i)
Schnitt (i+1)
Überdeckungµ
Überdeckungsfaktor
Der Der ÜÜberdeckungsfaktor gibt den Grad der berdeckungsfaktor gibt den Grad der ÜÜberdeckung zweier aufeinander folgender berdeckung zweier aufeinander folgender
Schnitte an.Schnitte an.
07.12.2008S.49
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Im ( )G jg ω
Re ( )G jg ω
(µm/N)
(µm/N)
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
j300
6001200
1500
1800
2100
2400
2700
3000
3300f / Hz
39
40
42
43
44
45
4647
Gerichteter Frequenzgang I
Ist dies die Ortskurve einerWerkzeugmaschine?
Wenn nicht,warum nicht?
07.12.2008S.50
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Re ( )G j0 ω
Im ( )G j0 ω
ϕ300
6001200
1500
1800
2100
2400
27003000
3300f / Hz
( m/N)µ
( m/N)µ 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
Gerichteter Frequenzgang II
endlicheSystem-steifigkeit
Eigen-resonanzen
ImGg(jω)
ReGg(jω)
07.12.2008S.51
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Wesentlich für den regenerativen Rattereffekt sind die stochastischen Schwankungen der Schnittkräfte, die relativ breitbandig den Prozess anregen und somit Modulationen
auf der Werkstückoberfläche hinterlassen. Diese Modulationen sind aufgrund der Eigenresonanzen der
Werkzeugmaschine besonders für diese Resonanzfrequenzen ausgeprägt, so dass beim
wiederholten Einschneiden in die Oberflächenwelle eine dynamische Anregung mit gerade diesen
Resonanzfrequenzen erfolgt, weshalb auch im unterkritischen Betrieb wellige Strukturen auf den
Werkstückoberflächen entstehen können.
Ratterschwingungen I
07.12.2008S.52
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
An der Stabilitätsgrenze liegt ein schwach gedämpftes System vor, so dass die breitbandigen stochastischen
Schnittkraftschwankungen das System zu schwach gedämpften Schwingungen anregen.
Sind die Rattermarken zu groß, so führt eine Entfernung hin in den Stabilitätsbereich zu einer stärkeren Dämpfung des
Systems und damit zu schwächeren Rattermarken.
Dies kann je nach Betriebspunkt entweder durch eine Drehzahlvariation oder Verringerung der Spanbreite bewirkt
werden.
Ratterschwingungen II
07.12.2008S.53
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
HerleitungHerleitung
07.12.2008S.54
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
r0
0 r
0 r
( ) 1 0
1 a) exponentiell abklingende Schwingung
Re ( ) 1 ) stabile Schwingung
1 ) exponentiell aufbauende Schwingung
Im ( ) 0 (4)
G j j
G j b
c
G j
ωω
ω
ω
= +
<⇒ = =>
=
SchwingungsSchwingungs-- oder Oszillatorbedingungoder Oszillatorbedingung(kein Stabilit(kein Stabilitäätskriterium)tskriterium)
Oszillator
07.12.2008S.55
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
t
r0 cb g( ) ( ) 1sT
s jG s b k G s e
ωµ −
== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
r tr t r tcos( ) sin( )j Te T j Tω ω ω− = −
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 rcb r t r t
g r
0 r cb g r g r r t r t
0 r cb g r r t g r r t
0 r cb
( )cos( ) 1 sin( )
( )
( ) Re ( ) Im ( ) cos( ) 1 sin( )
Re ( ) Re ( ) cos( ) 1 Im ( ) sin( )
Im ( ) Re
G jb k T j T
G j
G j b k G j j G j T j T
a jb c jd ac bd j ad bc
G j b k G j T G j T
G j b k
ω ω ωω
ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
ω
= ⋅ ⋅ − −
⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ − −
+ ⋅ + = − + +
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅
= ⋅ ⋅ − ( )( )g r t g r r t( ) sin( ) Im ( ) cos( ) 1rG j T G j Tω ω ω ω⋅ + ⋅ −
FFüür r µ = 1
⇒
Schwingungsanalyse 1
07.12.2008S.56
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Existiert eine harmonische Schwingung der Frequenz fr nach Fall a) bis c), so verschwindet der Imaginärteil der Übertragungsfunktion der offenen Regelschleife, so dass man die notwendige Bedingung
( )
g r r t g r r t
g r r t
r tg r
Im ( ) cos( ) 1 Re ( ) sin( )
Im ( ) sin( )
cos( ) 1Re ( )
G j T G j T
G j T
TG j
ω ω ω ω
ω ωωω
⋅ − = ⋅
⇒ =−
erhält.
Schwingungsanalyse 2
07.12.2008S.57
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
tan /cos
sinα α
α2
1b g = −
g rr t
g r
g rr t
g r
Re ( )tan arctan ( ) arctan ( )
2 Im ( )
Re ( )arctan , 0,1,2,
2 Im ( )
G jTx x
G j
G jTk k
G j
ωωω
ωω πω
⋅ = − ∠ − = − ∠
⋅ ± ⋅ = − ∠ ∈
…
⇒
Schwingungsanalyse 3
07.12.2008S.58
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Die Totzeit beschreibt die Zeitspanne zwischen dem Aufschneiden einer Oberflächenwelle und dem erneuten einschneiden in diese Welle:
t
1 1 1, mit
60 / minnn
T f nz f s
= ⋅ = ⋅
r
g r
g r
60 / min0
Re ( )1arctan
Im ( )
fsn
z G jk
G j
ωπ ω
= − ⋅ ≥ ⋅ ∠ ±
⇒
Schwingungsanalyse 4
07.12.2008S.59
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Die Gleichung gibt für die Frequenz fr eine Reihe von diskreten Maschinendrehzahlen an, bei denen die Maschine mit der Frequenz fr rattert, sofern das Realteilkriterium nicht
erfüllt ist. Hierbei kommen nur positive Lösungen der Drehzahl in betracht, weil eine Drehrichtungsänderung bei
einem spanbildenden Prozess physikalisch keinen Sinn hat.
Schwingungsanalyse 5
07.12.2008S.60
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Das Realteilkriterium der Schwingbedingung lehrt, dass in der Praxis „Stabilität“ vorliegt, wenn
0 rRe ( ) 1G jω <
ist.
Aus dem Imaginärteilkriterium erhält man:
r tg r g r
r t
sin( )Im ( ) Re ( )
cos( ) 1
TG j G j
T
ωω ωω
= ⋅−
Schwingungsanalyse 6
07.12.2008S.61
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
( ) ( ) ( )
0 r cb g r r t g r r t
2r t
cb g r r t g rt
2r t
cb g r r tr t
Re ( ) Re ( ) cos( ) 1 Im ( ) sin( )
sin ( )Re ( ) cos( ) 1 Re ( )
cos( ) 1
sin ( )Re ( ) cos( ) 1
cos( ) 1
r
G j k b G j T G j T
Tk b G j T G j
T
Tk b G j T
T
ω ω ω ω ω
ωω ω ωω
ωω ωω
= ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −
= ⋅ ⋅ ⋅ − + −
Aus
2 2 2 2
2 2
sin cos (cos 1) sin cos sin coscos 1 1 1
cos 1 cos 1 cos 1
trigonometrischer Phytagoras: cos sin 1
1 cos1 2
cos 1
x x x x x x xx
x x x
x x
x
x
− + + −+ − = − = −− − −
+ =−
⇒ = − = −−
…
mit
Schwingungsanalyse 7
07.12.2008S.62
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Schwingungsanalyse 8
0 r cb g rRe ( ) 2 Re ( ) 1G j k b G jω ω= − ⋅ ⋅ ⋅ <⇒
Der freie Parameter ist hierbei die Spanbreite b
, ,
1 1
für 0
für 0
a b k
a ba b
k a k b k
k a k b k
∈> ⇒ <
⇒ ⋅ > ⋅ >⇒ ⋅ < ⋅ <
∀"
⇒
cb g r
cb g r
cb g r
cb g r
1für Re ( ) 0
2 Re ( )
1für Re ( ) 0
2 Re ( )
b k G jk G j
b k G jk G j
ωω
ωω
> − ⋅ >⋅ ⋅
< − ⋅ <⋅ ⋅
07.12.2008S.63
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Die Spanungsbreite b muss aus physikalischen Gründen einen positiven Wert ergeben und die gerichtete dynamische
Schnittsteifigkeit kcb des Prozesses ist stets positiv.
Infolgedessen gilt es nur die Ungleichung für einen negativen Realteil der Ortskurve Gg(.) zu untersuchen, da die
Ungleichung für positive Werte des Realteils der Ortskurve als untere Schranke einen negativen Zahlenwert angibt und damit jede physikalisch mögliche positive Spanbreite die
Stabilitätsbedingung erfüllt.
Schwingungsanalyse 9
07.12.2008S.64
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Für einen stabilen Zerspanungsprozess muss also gelten, dass die Spanbreite der Ungleichung
g r
cb g r
10 für Re ( ) 0
2 Re ( )b G j
k G jω
ω≤ < − <
⋅ ⋅
genügt.
Schwingungsanalyse 10
07.12.2008S.65
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Ist die Stabilität im gesamten Drehzahlbereich gefordert, so muss die stets positive Spanbreite die Bedingung
cr g r
cb g r
Min 1/ 1/ Max1Min für Re ( ) 0
2 Re ( ) Min Max
x xb G j
k G j x xω
ω
= < − < ⋅ ⋅ − = −
bzw.
cr g r
cb g r
10 für Re ( ) 0
2 Min Re ( )b G j
k G jω
ω≤ < − <
⋅ ⋅
erfüllen.
Schwingungsanalyse 11
07.12.2008S.66
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
SchaublinSchaublin
StickStick--SlipSlip
07.12.2008S.67
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Modell Stick-Slip
SchaublinSchaublin
07.12.2008S.68
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
HaftreibungFestkörperreibung
Mischreibung Flüssigkeitsreibung
Gleitführungen von Dreh-und Fräsmaschinen
hydrodynamische Radial- undAxiallager, Gleitführung von Hobelmaschinen und Pressen-stößeln
Rei
bung
skoe
ffizi
ent
Gleitgeschwindigkeit v
Übertragungsgeschwindigkeit vüca. 10mmin
µ
Stribeck - Kurve
07.12.2008S.69
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
I wirklicher Verlauf
II linearisierter Verlauf
III Sprungverlauf
IV konstanter Verlauf
Reibungmodelle
vrel
µ v( )rel
-µ0
µ0
µv
-µv
Modelle der Stribeck - Kurve
07.12.2008S.70
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Gleitgeschwindigkeit
Rei
bung
skoe
ffizi
ent
2 charakteristische Abschnitteder Stribeck-Kurve
12
Abschnittweise linearisierte Stribeck - Kurve
fallende Ffallende F--VV--CharakteristikCharakteristik
steigendesteigendeFF--VV--CharakteristikCharakteristik
07.12.2008S.71
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
( ) 0m q m g q c qµ− + =## #
0 0 relfür 0vµ µ µ− ≤ ≤ =
0rel rel
rel
sign( ) für 01
vv v v
v
µ µµ µα
−= + ≠ +
I. nichtlinearer Verlauf
II. linearisierter Verlauf( )0 rel relsign( ) für 0v v vµ µ α µ= − ≠
III. Sprungverlauf
rel relsign( ) für 0v v vµ µ= ≠
IV. konstanter Verlauf
0 rel relsign( ) für 0v vµ µ= ≠
BewegungsgleichungBewegungsgleichung
Bewegungsgleichung und Dämpfungsmodelle
I wirklicher Verlauf
II linearisierter Verlauf
III Sprungverlauf
IV konstanter Verlauf
Reibungmodelle
vrel
µ v( )rel
-µ0
µ0
µv
-µv
07.12.2008S.72
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Berechnung der DGL. fBerechnung der DGL. füür Verlauf IV r Verlauf IV (µ = const.)
0 vµ µ= 0 für 0relm q c q m g vµ+ = > →gleiten##
0 für 0relc q m g vµ< = haften
0 für 0relm q c q m g vµ+ = − < ←gleiten##
2 c
mΩ = 0
1 2: ( ) cos sin für 0a rel
m gq q t A t A t v
c
µΩ Ω= + + >
01 2: ( ) cos sin für 0c rel
m gq q t A t A t v
c
µΩ Ω= + − <
Bewegungsverhalten bei konstanter Reibung 1
07.12.2008S.73
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Zum Zeitpunkt Zum Zeitpunkt t = 0 soll die Relativgeschwindigkeit null soll die Relativgeschwindigkeit null (vrel = 0) und die Federkraft gerade so ground die Federkraft gerade so großß sein, wie die sein, wie die Reibkraft Reibkraft (Masse beginnt zu gleiten)..
Aus diesen Anfangsbedingungen ergeben sich die Aus diesen Anfangsbedingungen ergeben sich die Parameter Parameter A1 und und A2..
Federkraft = ReibungskraftFederkraft = Reibungskraft 0 1(0) 0q c m g Aµ⇒ = ± ⇒ =
2(0)v
q v AΩ
= ⇒ =#
Bewegungsverhalten bei konstanter Reibung 2
07.12.2008S.74
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Zum Zeitpunkt Zum Zeitpunkt t = 0 gilt somit die Bewegungsgleichung:gilt somit die Bewegungsgleichung:
0( ) sinm gv
q t tc
µΩΩ
= +
Bewegungsverhalten bei konstanter Reibung 3
07.12.2008S.75
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Phasendiagramm eines Reibschwingers mit konstanter Reibung
07.12.2008S.76
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Phasendiagramm eines Reibschwingers mit linearisiertem Reibungsverlauf
07.12.2008S.77
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Vorschubgeschwindigkeit
m
Reibkraft
Federkraft
Führung
[ ]
[ ]
0 rel
0 rel
( ) cos für 0( )
( )cos für 0
v v
v v
mgt v
cq t v tmg
t vc
µ µ Ω µ
µ µ Ω µ
− − >− ⋅ = − + <
Stick-Slip
SchaublinSchaublin
07.12.2008S.78
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
SchaublinSchaublin
Zeit
Schlittenbewegung
soll
Stick-Slip
haften
gleiten
Soll-Ist-Bewegung
Vorschubgeschwindigkeit
m
Reibkraft
Federkraft
Führung
07.12.2008S.79
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Der Schlitten wird mit der Geschwindigkeit v angetrieben. Zunächst wird er in Ruhe bleiben, bis die Federkraft c q die Reibkraft µ0 m g überschreitet. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Schlitten beginnen, sich in positive q(t)-Richtung zu bewegen. Diese Bewegung kann durch folgende DGL beschrieben werden:
( ) 0m q R c v t q+ − − =## mit c := FederzahlR := Reibkraft
Stick-Slip-Bewegung 1
07.12.2008S.80
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Anfangsbedingungen für t = 0 (Federkraft = Reibkraft); :0q =#
( ) 00( )
tc v t q t m gµ
=− =
(0) 0q =#
Bewegungsgleichung bis :2tΩ π=
( )0rel( ) cos sin für 0v v
m g m gvq t v t t t v
c c
µ µ µΩ ΩΩ
−= + − − >
Stick-Slip-Bewegung 2
07.12.2008S.81
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Nachdem sich der Schlitten nach obiger DGL begonnen hat zu bewegen, dreht sich seine Bewegungsrichtung nach π/2um und die Reibkraft wirkt in entgegengesetzter Richtung.
Eine neue DGL mit neuen Anfangsbedingungen (Endwerte aus der vorherigen DGL) beschreibt für einen weiteren Abschnitt die Bewegung.
Ist dem System soviel Energie infolge der Reibung entzogen, dass die Reibkraft größer als die Federkraft wird, so bleibt der Schlitten stehen. Die Federkraft baut sich von neuem auf, bis sie so groß wird, dass der Schlitten wieder "losreißt".
Er führt damit nichtlineare Bewegungen um die Vorschub-gerade v t aus.
Stick-Slip-Bewegung 3
07.12.2008S.82
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
1.1. Reibwertdifferenz µ0 - µv möglichst klein halten.
2.2. Haftreibung und Gleitreibung durch geeignete Mittel (Schmiermittel, Beschichtung der Führungen) verringern.
3.3. Masse m möglichst klein halten
4.4. Steifigkeit c der Elemente des Vorschubantriebesmöglichst groß gestalten.
Einflussgrößen Stick-Slip I
07.12.2008S.83
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
HaftreibungFestkörperreibung
Mischreibung Flüssigkeitsreibung
Gleitführungen von Dreh-und Fräsmaschinen
hydrodynamische Radial- undAxiallager, Gleitführung von Hobelmaschinen und Pressen-stößeln
Rei
bung
skoe
ffizi
ent
Gleitgeschwindigkeit v
Übertragungsgeschwindigkeit vüca. 10mmin
µ
Relativgeschwindigkeit so wählen,dass v > vü ist.
Einflussgrößen Stick-Slip II
07.12.2008S.84
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Allgemeiner Ansatz mit abschnittsweise linearisierter Allgemeiner Ansatz mit abschnittsweise linearisierter ReibungsfunktionReibungsfunktion
( ) 0vz zm q m g q c c qµµ− + + =## # 1[ , [i it t′ ′−
Endwerte des Zustandes i-1 sind zugleich Anfangs-werte des Folgezustandes i. Eine Zustandsänderung ergibt sich immer dann, wenn man den Definitionsbereich der abschnittsweise erklärten Geradengleichungen verläßt. Infolgedessen sind die Zeitpunkte aus den Lösungen für beginnend mit dem 0-ten Zustand (Einschaltzustand des Systems) zu berechnen.
( )iq t ′
1[ , [v z zD v v−≡vz zv cµµ +
1,2,.....it i′ ∈( )q t ′ 1[ , [i it t′ ′
−
Abschnittsweise linearisierte Reibungsfunktion 1
07.12.2008S.85
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
1( ) 0 für [0, [vz z i im q m g q c c q t t tµµ ′ ′−− + + = ∈ −## #
Im Laplace-Raum ergibt sich unter Anwendung des Differentiationssatzes die Gleichung:
2 ( ) (0 ) (0 ) ( ) (0 ) ( ) ivi
mgcm s Q s s q q m g s Q s q cQ s
sµµ− − −− − − − + =#
1
1
(0 ) ( )
(0 ) ( )
i
i
q q t
q q t
′− −
′− −
=
=# #
Abschnittsweise linearisierte Reibungsfunktion 2
Bewegungsgleichung
07.12.2008S.86
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
2
1( ) (0 ) (0 ) (0 )
1
ivi
vi
g cmQ s s q q g q
m gmc ss s
c c
µ µ µ− − −
⇒ = + + −
+ +#
KoeffizientenvergleichKoeffizientenvergleich
0
1
2 viT gϑ µ=0
mT
c=
Abschnittsweise linearisierte Reibungsfunktion 3
ÜÜbertragungsfunktionbertragungsfunktion
2
1( )
1vi
G sm gm
s sc c
µ=+ +
2 20 0
1
2 1T s T sϑ=
+ +
normierte Form
07.12.2008S.87
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
ZeitbereichZeitbereich
1 2
220
1,2 01 2
( ) , 1p t p tg t e e pp p
ω ω ϑ ϑ= − = − ± −−
FFüür diese Gleichung lassen sich fr diese Gleichung lassen sich füünf Fnf Fäälle unterscheiden.lle unterscheiden.
Abschnittsweise linearisierte Reibungsfunktion 4
0
1
2 viT gϑ µ=Die fallende F-V-Charakteristik führt zu einer
negativen Dämpfung bzw. Verstärkung, weshalb diese Systeme verstärkt zu Schwingungen neigen.
07.12.2008S.88
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
• ungedämpfte Schwingung
0 00 ( ) sin( )g t tϑ ω ω= ⇒ =
• abklingende Schwingung
0 2002
0 1 ( ) sin( 1 )1
tg t e tω ϑωϑ ω ϑϑ
−< < ⇒ = −−
• aufbauende Schwingung
0 2002
1 0 ( ) sin( 1 )1
tg t e tω ϑωϑ ω ϑϑ
− < < ⇒ = −−
• aperiodischer Grenzfall (ab- und aufbauendes Verhalten)
0201 ( ) tg t t e ω ϑϑ ω −= ⇒ =
• e-funktionelles Verhalten (ab- und aufbauendes Verhalten)
1 2
220
1,2 01 2
1 ( ) , 1p t p tg t e e pp p
ωϑ ω ϑ ϑ> ⇒ = − = − ± −−
Abschnittsweise linearisierte Reibungsfunktion 5
07.12.2008S.89
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
0 00 ( ) sin( )g t tϑ ω ω= ⇒ =
Ungedämpfte Schwingung
1.1
1.1
S w0 u w0.,( )
10 π.0 u0 5 10 15 20 25 30
1
0.5
0
0.5
1
t / T0
h(t) /ω00ϑ =
07.12.2008S.90
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Abklingende Schwingung
0 2002
0 1 ( ) sin( 1 )1
tg t e tω ϑωϑ ω ϑϑ
−< < ⇒ = −−
1.0
1.0
SD w0 D, u w0.,( )
10 π.0 u0 5 10 15 20 25 30
1
0.5
0
0.5
1
h(t) /ω0
t / T0
0,05ϑ =
07.12.2008S.91
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
0 2002
1 0 ( ) sin( 1 )1
tg t e tω ϑωϑ ω ϑϑ
− < < ⇒ = −−
Aufbauende Schwingung
3.816355
4.466506
ST w0 D, u w0.,( )
10 π.0 u0 5 10 15 20 25 30
6
4
2
0
2
4
t / T0
0,05ϑ = −h(t) /ω0
07.12.2008S.92
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Aperiodischer Grenzfall
0.367879
0
SAG w0 1.0, u w0.,( )
2 π.0 u0 1 2 3 4 5 6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
t / T0
1ϑ =h(t) /ω02
0201 ( ) tg t t e ω ϑϑ ω −= ⇒ =
07.12.2008S.93
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
e-funktionelles Verhalten
1 2
220
1,2 01 2
1 ( ) , 1p t p tg t e e pp p
ωϑ ω ϑ ϑ> ⇒ = − = − ± −−
0.274933
0
SE w0 1.5, u w0.,( )
2 π.0 u0 1 2 3 4 5 6
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
t / T0
1,5ϑ =h(t) /ω02
07.12.2008S.94
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Lagekoppelung
07.12.2008S.95
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Lagekoppelung I
ElliptischeElliptischeBewegungBewegung
07.12.2008S.96
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Lagekoppelung II
07.12.2008S.97
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
G jg( )ω+
∆x x = dxdFFSt
Maschinenmodell
+ µTtkcbb-
Schnittprozess
Lagekoppelung Blockschaltbild
ÜÜberber--deckungsdeckungs--
faktorfaktor
TotTot--zeitzeit
KienzleKienzleMaterialMaterial--
parameterparameter
SpanSpan--breitebreite
Empirisches Maschinenmodell
µ = 0
07.12.2008S.98
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Eigenfrequenzen in den Bewegungsfreiheitsgraden liegennahe beieinander, so dass Koppelungen möglich sind.
Selbsterregte Schwingungen.
Es existieren maximal 6 Bewegungsfreiheitsgrade.3 der Translation und 3 der Rotation, die durch Kraft- bzw.Momentenkomponenten angeregt werden.
Lagekoppelung III
Es können die Analysen und Stabilitätskriterien des regenerativen Rattereffekts herangezogen werden(µ = 0 Tt = 0).
07.12.2008S.99
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Aufbauschneidenbildung
Durch „Materialaufbackungen“ an der Span- oder Freifläche ändert sich die Schneidgeometrie hin zu kleinen Schneidwinkeln. Dies hat eine sinkende Schneidkraft mir entsprechender negativer Dämpfung zur Folge.
Dies kann zu einem Schwingungsaufbau führen(siehe vorher).
Bei den heute vorliegenden relativ hohen Schnitt-geschwindigkeiten üblicherweise nicht relevant.
07.12.2008S.100
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
MaschinendynamikMaschinendynamik
SchaublinSchaublin
Kuka
07.12.2008S.101
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2
3 3 2 2 3 2 2 3 3
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
m z d d z c c z F
m z d d d d z c c c c z F
m z d d z c c z F
− − + − + − + − + − = − −
## ### ### #
Gekoppelte Massen mit einem Freiheitsgrad I
m1
z1 F1
c1
d1 m2
z2 F2
c2
d2 m3
z3 F3
Maschinen-fundament
Maschinen-gestell
Werkzeug-Werkstück
07.12.2008S.102
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2
3 3 2 2 3 2 2 3 3
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
m z d d z c c z F
m z d d d d z c c c c z F
m z d d z c c z F
− − + − + − + − + − = − −
## ### ### #
1Existenz von −+ + =M y D y K y f M## #
1 1 1− − −⇒ + + =y M D y M K y M f## #
Zustandsmodell I
07.12.2008S.103
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
1 1 1− − −= − − +y M D y M K y M f## #
Neue ZustNeue Zustäände nde y# ⇒ = + zz A z f#
1 1 1− − −
= + − −
y 0 E y 0
y M K M D y M f
### #
Die Dimension der Systemmatrix A ist von der Ordnung 2f x 2f. Hierbei definiert f die Freiheitsgrade des Systems. Die Matrix ist im Allgemeinen weder symmetrisch noch hat sie eine Bandstruktur.
Zustandsmodell II
07.12.2008S.104
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Integration des Zustandsmodells I
d
d t= + z
zA z f
d d dt t⇒ = + zz A z f
0 0 0
( )
d d dt t t
t t
t t= +∫ ∫ ∫z
zz
z A z f
0 0
0( ) d dt t
t t
t t t= + +∫ ∫ zz A z f z
07.12.2008S.105
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Numerische Integration des Zustandsmodells I
TaylorTaylor--Reihenentwicklung:Reihenentwicklung:
( )1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )i i i i i i i i it t t t t t t t t− − − − − −= + + − +zz z A z f R
Anfangsbedingung:Anfangsbedingung: 0 0( )t ≡z z
( )1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i it t t t t t t− − − − −= + + −zz z A z f
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( , )i i i i i i it t t t t t t− − − −= + − +z z z R#
07.12.2008S.106
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Dabei sind die Zeitdifferenzen so zu wählen, dass die Restglieder hinreichend klein ausfallen. Eine Verbesserung dieser numerischen Integration lässt sich mit den Runge-Kutta-Verfahren verwirklichen. Hierbei wird das Zeitintervall in mehrere Intervalle zerlegt, um eine verbessertePrädiktion des Folgezustands zu erwirken. Für weitere Einzelheiten zu den Runge-Kutta-Verfahren und der Schrittweitensteuerung der numerischen Integration sei auf die einschlägige Literatur verwiesen.
1i it t −−1( , )i it t −R
Numerische Integration des Zustandsmodells II
07.12.2008S.107
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Zeitinvariante Systeme/Matrizen
und verschwindende Anfangsbedingungen
+ + =M y D y K y f## #
2 ( ) ( ) ( ) ( )s s s s s s⇒ + + =M Y D Y K Y F
2
( )( )
ss
s s⇒ =
+ +F
YM D K
Laplace-Transformierte des Zustandsmodells
Eigenwerte bzw.Pole charakterisierendas dynamischeVerhalten des Systems
07.12.2008S.108
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SchwingungenSchwingungenanan
spanendenspanendenWZMWZM
07.12.2008S.109
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07.12.2008S.110
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2- 3415 - 6IFW, Tönshoff
dynamischesVerhaltender WZM
Schwingung
selbsterregte Schwingung
fremderregte SchwingungSchwingung
Störungen
Anregungen dynamischesVerhaltender WZM
Zerspanungs-prozeß
Schwingungen an Werkzeugmaschinen
07.12.2008S.111
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07.12.2008S.112
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2 - 0141 - 4
treibend
Eingriffstörung an belasteten Zahnrädern
Rall
07.12.2008S.113
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RI
RAT/2
vA
vK
vI
vW
dW/2 cosα
α
ωA
ωK
ωI
Drehzahl und Geschwindigkeit am Schrägkugellager
Rall
07.12.2008S.114
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W A K Av v Rω= −
WA
cos
2 2
dTR
α= +
( )A A W cosv f T dπ α= +
I AK 2
v vv
+=
( )I I W cosv f T dπ α= +
I AK
W W
cos cos1 1
2 2
f fv T
T d T d
α απ
= − + −
Umfanggeschwindigkeitdes Wälzkörpers
Lage des Berührungspunktam Außenring
Umfanggeschwindigkeitim Berührungspunkt
Käfiggeschwindigkeit
mit
erhält man
Allgemeines Rillenkugellager I (Außen- und Innenring drehen sich)
Rall
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I AK
W W
cos cos1 1
2 2
f ff
T d T d
α α = − + −
2A I
WW
cos
2WW
f fTv d
d T d
απ −= −
2A I
WW
cos
2WW
f fTf d
d T d
απ −= −
W W Wf d fπ=
Damit erhält man die Käfigdrehfrequenz:
Man erhält ferner:
Mit erhält man weiter:
Allgemeines Rillenkugellager II (Außen- und Innenring drehen sich)
Rall
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WA
K
11
2
df f z
d
= −
WI
K
11
2
df f z
d
= +
2
WKW
W K
1dd
f fd d
= − −
: Drehfrequenz Spindel
: Zahl der Wälzkörper
A : Aussenring
I : Innenring
W : Walzkörper
K : Käfig
f
z
======
Außenring
Innenring
Wälzkörper
Rillenkugellager mit feststehendem Außenring (Spezialfall)
Rall
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07.12.2008S.119
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07.12.2008S.121
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2- 0146 - 6
diskret wirkendbreitbandig wirkend
- Squeeze - Film Dämpfer
- Lanchester Dämpfer
- Impakt - Dämpfer
- Tilger
- Hilfsmassedämpfer
- dämpfende Stoffe
- belegtes Blech
- Schichtblech und Reibleiste
- Verbundbleche
- Vielschichtblech
Absorber
Einteilung passiver Absorber
Rall
07.12.2008S.122
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2 - 0147 - 6
KD KKK
m
m m m
d dc c
Impakt-Dämpfer
LanchesterDämpfer
Tilger Hilfsmasse-dämpfer
M M M M
Rall
Einteilung von Dämpfern
07.12.2008S.123
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2 - 0148 - 4
Frässpindel
Stützarm
Gummielement
Hilfsmasse
1
2
3
0100 120 140 160 180 200S
chw
ingu
ngsa
mpl
itude
m
/kp
Frequenz Hz
ohne Hilfsmasse
mit Hilfsmasse
Hilfsmassendämpfer am Stützarm einer Waagerecht-Konsolfräsmashine
Rall
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07.12.2008S.125
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07.12.2008S.126
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07.12.2008S.127
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2 - 0152 - 4
0 30 60 90 120 150 180 210 240 m/min 300
600
900
1200
1500
1800
N
Sch
nittk
räfte
Fs
, Fv
Schnittgeschwindigkeit v
Schnittkraft Fs
Vorschubkraft Fv
Werkstoff : Ck 45 NSchneidstoff : HM P 10Spannungsquerschnitt :a x s = 2 x 0,25 mm2
Schneidkeilgeometrie (im Grad)
Schnittkraftkomponenten als Funktion der Schnittgeschwindigkeit
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2 - 0153 - 0
Rattern durch fallende Schnittkraftcharakteristik
TUHHPROF.DR.-ING. K.RALL
Sch
nitt
kraf
t Fx
Schnittgeschwindigkeit v
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2 - 0154 - 0
Kraftverlauf bei fallender Schnittcharakteristik
TUHHPROF.DR.-ING. K.RALL
Fx W
- xoberer
Umkehrpunkt
0 + xunterer
Umkehrpunkt
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07.12.2008S.131
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2 - 0161 - 4
Schwingungen hören auf
Maschine im Leerlauf fahren
Zerspannungsversuch durchführen
- Frequenz der Schwingungen bestimmen- Messereingriffsfrequenz bzw. Frequenz der Schnittunter- brechung bestimmen
f
fz
Drehzahl ändern
-- frequenz ändert sich nicht oder nur gering- fügig bei Drehzahl- wechsel
( )f f fz
f f = z
selbsterregteSchwingungen
Maschine schwingt weiter
starke Schwingungen in der Maschine
Durch Maschinenteile verursachte Schwing-
ungen (Unwuchten usw.)
Durch äußere Kräfteverursachte Schwing-
ungen (über Fundament)
Fremderregung durchMessereingriff bzw.
unterbrochenen Schnitt
Maschine abschalten
Bestimmung der Schwingungsursache
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07.12.2008S.133
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