Aegyptische Planetenrechnung

Aegyptische Planetenrechnung von

B. L. VAN DER WAERDEN*

I . Das Problem

0. Neugebauerl hat zwei agyptische Texte publiziert und bearbeitet, in denen Eintrittsdaten der Planeten in die Zeichen des Tierkreises vermerkt sind. Es handelt sich um die Texte P und S, beide in demotischer Schrift :

P: Papyrus P. 8279, Staatliche Museen Berlin. Teilweise publiziert von Spiegelbergz, vollstandig zuerst von Neugebauerl. S: “Stobart Tablets”, Free Public Museum Liverpool. Publiziert von

Brugsch3 und Neugebauerl.

Beide Texte wurden in verbesserter Form neu veroffentlicht von Neu- gebauer und Parker4.

Der Text P enthalt die Eintrittsdaten der funf klassischen Planeten fiir die Jahre 14 bis 41 des Augustus. Der Beginn dieser Jahre fallt in die Jahre - 16 bis + 1 1 in moderner, astronomischer Jahresziihlung.

Die Stobart-Tafeln S bestehen aus den Teilen A, C1 + C2 und E f i i r die Jahre

A: Vespasianus Jahre 4 bis 10 (AD 71 bis 77) C1 + Cz: Traianus 9 bis Hadrianus 3 (AD 105-1 18) E: Hadrianus 11 bis 17 (AD 126-132).

Ergamend tritt noch ein griechisch geschriebener Papyrus him : T: Tebtunis papyrus 274. Publiziert von Greenfell, Hunt und Good-

speed: The Tebtunis Papyri XI (London 1907). Dieser Papyrus enthalt Eintrittsdaten fiir die Jahre 106-1 11. Die Daten stimmen fast genau mit denen in S uberein.

In allen diesen Tafeln werden die Eintrittsdaten eines jeden Planeten auch dann gegeben, wenn der Planet zur Zeit des Eintrittes unsichtbar ist. Daraus hat schon Neugebauer geschlossen, dass die Daten wenigstens zum Teil nicht beobachtet, sondern berechnet sind.

* Carl Spittelerstrasse 186, CH-8053 Zurich, Schweiz.

5 CENTAURUS. VOL. XVI

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In seiner ersten Publikation hat Neugebauer vermutet “that our texts are the result of combined observations and calculations” (p. 242). In meiner ersten Arbeit uber die agyptischen Tafelns habe ich einige Argu- mente angefiihrt, die gegen diese Vermutung sprechen. Inzwischen hat Neugebauer sie fallen lassen. Neugebauer und Parker schreiben auf Seite 236 :

Increased experience during the last decades with a vastly enlarged mass of ancient astronomical tables has nowhere provided support for such a hypothesis which, we think, can now be safely discarded.

Wir nehmen also an, dass alle oder fast d e Eintrittsdaten berechnet sind. Es fragt sich: mit welcher Methode? In meiner Amsterdamer Arbeit5 habe ich gezeigt, dass die agyptischen

Tafeln nach einem Rechenschema berechnet sind, das viele Beriihrungs- punkte mit System A der babylonischen Planetenrechnung aufweist. System A beruht auf der Annalme von streckenweise konstanten Ge- schwindigkeiten, die sich in gewissen “Sprungpunkten” plotzlich hdern.

Zur Zeit der Abfassung der Amsterdamer Arbeit wusste ich noch nicht, dass ithdiche Geschwindigkeitsschemata auch aus griechischen und indischen Texten bekannt sind. Die indischen Texte gestatteten es, die Be- rechnungsmethode fiir Venus und Mars vie1 genauer zu erfassen; das habe ich in einer spateren Arbeit getan, die hier als “Ziiricher Arbeit” zitiert werden soll6.

Zwei Griinde gibt es, noch einmal auf die Sache zuruckzukommen. Erstens haben Neugebauer und Parker entdeckt, dass die Lesung einiger Datenzahlen in friiheren Publikationen falsch war4 (p. 233). Es ist also notig, einige Rechnungen neu zu machen.

Der zweite Grund ist, dass Neugebauer und Parker die Begriindung meiner Thesen nicht fur iiberzeugend befunden haben. Damit der Leser die Argumente selbst beurteilen kann, werde ich im nachsten Abschnitt die Kritik von Neugebauer und Parker im Wortlaut wiedergeben. In weiteren Abschnitten werde ich d a m meine Thesen deutlicher und genauer formdieren und rechtfertigen.

2. Die Kritik von Neugebauer und Parker Neugebauer und Parker schreiben auf Seite 236 :

A determined effort has been made by van der Waerden to demonstrate that Baby- lonian procedures were used in the computation of P and S. How far this attempt is

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to be considered successful is difficult to say. From the outset it is clear that whatever has been shown concerns only a small segment of the problem. Saturn and Jupiter had to be practically ignored because the available data did not seem numerous enough to test any computational hypothesis. Mercury was left out, probably because the available material is much too complex and a comparison with the very intricate Babylonian methods too involved. Hence there remain Venus and Mars only. But oddly enough the theory of Venus is the most incompletely known part in Babylonian astronomy, so that van der Waerden has to fall back on Indian sources which are “Babylonian” in ultimate origin. Hence only for Mars does one have very definite Babylonian procedures at one’s disposal. But both for Venus and Mars van der Waerden imposes a further very severe restriction on his investigations. He excludes the retrograde motion of the two planets and the sections shortly preceding and following. His comparison is therefore restricted to the “linear” parts of the motion of Mars and Venus, i.e., to those parts of the direct motion in which the velocity of the planet varies only little and very slowly (cf. Figs. 38 and 39). Hence it is the least characteristic elements which are taken as the basis for a comparison with Babylonian methods.

Also the meaning of the term “Babylonian” is not clearly defined. Van der Waerden finds that P and S used different supposedly Babylonian velocity schemes for Venus and that “with some probability” P was computed with “a Babylonian velocity scheme that somehow was adapted to the Egyptian calendar”, statements which leave a wide margin of interpretation, in particular since we are so badly informed about the actual Babylonian methods in the computation of an ephemeris of Venus.. . .

What we really know about Babylonian planetary theory is that it is directed toward the determination of longitudes and times for the planetary phases. Positions for arbitrary moments had to be found by interpolation between these previously determined fixed points. Van der Waerden assumes the same procedure also for the Egyptian texts. First the phases should have been found with “Babylonian” methods and from these points, by means of simple velocity patterns, one could in principle determine the entries into the signs. Van der Waerden did not realize that P actually contains data for phases of Jupiter and Saturn (cf. above p. 230) although we do not know for what purpose.

For the phases of Mars, however, we have the possibility of a comparison with van der Waerden’s theory. On page 286 of his book ANFANGE DER ASTRO- NOMIE he gives a list of phases of Mars for some of the years covered in S from which. it is assumed, the text derived the dates of the entries into zodiacal signs. It so happens that, among the twenty dates and longitudes for the phases as reconstructed by van der Waerden, one finds four cases in which the presumed starting point of computation has a longitude exactly at the beginning of a sign. Obviously, if the text had followed the postulated procedure, one should find exactly these data in the text. In fact, however, this is not the case:

In the second case the difference amounts to more than four months because, ac- cording to S, the planet does not enter Sagittarius (and then return into Scorpio) near the stationary point. One might say that the deviations in the other cases are


~~

Trajan 9 10 16 18

Year I Theory’ I Text7 I Pls.76-77 I Phase

8 7 (2) 8 3 (2) C1 obv. I, 24 last visib. 8 1 1 (9) 12 28 (9) 111, 13 first station 3 8 (8) 3 7 (8) C2 obv. 11, 3 first visib. 5 9 (10) 4 29 (10) IV. 29 first visib.

only a few days; but for arithmetical methods, exact identity, at least for the initial dates, should be expected.

One must now ask how is it possible that nevertheless van der Waerden’s hypothesis leads to many good agreements with the data in P or in s. Here we have to remember that the investigation is restricted to the linear parts of the motion of Venus and Mars. For Venus, e.g. van der Waerden obtains from a Babylonian text for 84 B.C. the following time intervals for the traversal of consecutive signs during the year in question.

(4) ( 5 ) (6) (7) (8) (9) (10) (1117 24 25 25 25 25 26 28 + 35

Then we are told that in P for the years Augustus 16 and 17 (14 and 13 B.C.) “the number 25 also very frequently appears” as the time of travel through a sign, a fact which is considered as an argument for the use of a Babylonian computing method in P. But if one checks the motion of Venus for -83 in Tuckerman’s tables, one finds for the above-mentioned signs

24 25 25 25 25 25 27

Hence one should conclude that Tuckerman’s tables also are based on Babylonian methods, a conclusion which is contradictory to Tuckerman’s preface.

All that really lies behind these arguments is, of course, the trivial fact that the motion of Venus is so regular (cf. Fig. 39) that long stretches of 25d intervals must appear in every reasonably correct description of the motion, be it computed with Babylonian, Ptolemaic, or modern methods.

The best case for Babylonian influence seems to be made for Mars in S where velocity values appear which are frequently constant for consecutive pairs of zodiacal signs, an arrangement which is characteristic for the Babylonian “System A” of Mars. Van der Waerden now constructs “Normalzeiten” for each such pair, being the intervals which appear in S “most frequently”. For example, one finds that in 1 1 of 20 cases Mars remains 40 or 41 days in Pisces and Aries. But if one, for the same years, determines these intervals from the Tables of Tuckerman one finds 40 or 41 days in 14 of 25 cases, i.e., exactly as frequently as in S. Only in Capricorn and Aquarius is the frequency of 38 days very outspoken (13 times in 19 cases) whereas the modern tables show 38 or 39 days only 14 times in 26 cases. But for the remaining pairs the frequency of the “Normalzeiten” is not impressive (between 7 in 15 cases and 3 in 16 cases) and a similar pattern can also be derived from the modern tables. What remains is the fact that the velocity in the linear section of the motion of Mars

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changes so slowly that the deviation from linearity makes itself felt only about every second sign (cf. Fig. 38). To summarize our discussion, we cannot feel convinced by van der Waerden’s

arguments in favor of Babylonian methods in P and S. Neither is it clearly defined what “Babylonian” means, in terms of the extant Babylonian techniques, nor is the restriction to the linear parts in the motion of Venus and Mars a substitute for the investigation of the retrograde parts of the orbits where the effects of whatever computing method was applied must be most clearly visible. Finally, the few direct checks with contemporary Babylonian dates do not support the theory. Hence we think that the question of the computation of the planetary tables, demotic as well as Greek, must remain unanswered until we have better textual evidence.

Ein Abschnitt aus der Kritik von Neugebauer und Parker wurde weggelassen und durch . . . ersetzt, weil er sich nur auf meine Interpretation des Textes P bezieht. In dieser Arbeit mochte ich vor allem uber den Text S sprechen.

In meiner Amsterdamer Arbeit hatte ich angenommen, dass die Ein- trittsdaten zuerst im babylonischen Kalender berechnet und dann fiir den Text P in den agyptischen, f i i r S in den alexandrinischen Kalender um- gerechnet wurden. Diese fhnahme wurde gemacht, weil ich damals gewisse kleine Unregelmassigkeiten in den Daten und Zeitintervallen nicht erklaren konnte. Die Kritik dieser Annahme im Buch von Neugebauer und Parker ist berechtigt. In meiner Zuricher Arbeit habe ich die An- nahme einer Kalenderumrechnung ganz fallen lassen. Ich nehme jetzt an, dass die Eintrittsdaten des Textes S direkt im alexandrinischen Ka- lender berechnet wurden.

Neugebauer und Parker haben auch darin recht, dass der Begriff “babylonische Methoden” in meinen Arbeiten nicht klar definiert war. In dieser Arbeit werde ich den Ausdruck “babylonische Methoden” nicht mehr verwenden. Mein Hauptproblem ist : Wie wurden die agyptischen Tafeln berechnet ? Dieses Hauptproblem kann, entgegen der Meinung von Neugebauer und Parker, jetzt schon weitgehend gelost werden, zumindest fiir die Planeten Venus, Mars und Jupiter.

Die Kritik von Neugebauer und Parker hat mich veranlasst, meine Thesen neu zu formulieren und sie besser und einfacher zu begrunden.

3. Formulierung der Thesen

namlich Zweierlei Theorien der taglichen Bewegung der Planeten sind bekannt,


Typus A : Theorien, in denen die Geschwindigkeit streckenweise konstant ist und sich in gewissen Sprungpunkten plotzlich andert.

Typus C: Die Geschwindigkeit andert sich allmahlich, nicht sprunghaft. Die Lhge des Planeten ist eine glatte, wellenformig verlaufende Funktion der Zeit.

Zum Typus A gehoren verschiedene babylonische Geschwindigkeits- schemata, die im grossen Standardwerk ACT von 0. Neugebauers, bei P. Huberg und in meinem Buchlo dargestellt sind. Auch bei Vettius Valensl 1 und Varilha Mihiralz fhdet man Geschwindigkeitsschemata vom Typus A.

Zum Typus C gehoren alle Varianten der Epizykel- und Exzenter- theorien, aber auch gewisse babylonische Theorien, in denen Lhgen durch arithmetische Reihen zweiter Ordnung (System B) und dritter Ord- nung (sieheg) dargestellt werden.

These I . Der igyptische Text S beruht auf einer Theorie vom Typus A. Wird These 1 bejaht, so folgt, dass es fur jeden Planeten ein Geschwin-

digkeitsschema gegeben haben muss, das es gestattet, die Sprungpunkte und Geschwindigkeiten zu berechnen. Wie waren diese Geschwindigkeits- schemata beschafFen? Dariiber geben die folgenden Thesen Auskunft :

These 2 (Venus). Das Geschwindigkeitsschema des Textes S fur Venus stimmt im Bereich der schnellen Bewegung genau mit dem Schema des Var6ha Mihira iiberein.

Variiha Mihiia schrieb sein Sammelwerk Paiichasiddhftntikft im 6. Jahr- hundert nach Chr. Wie Neugebauer und Parker richtig bemerken, folgt aus These 1 noch nicht, dass das Geschwindigkeitsschema des Textes S aus Babylon stammt. Auf ein unzweifelhaft babylonisches Geschwindig- keitsschema werden wir erst gefiihrt, wenn wir die Marsbewegung betrachten.

These 3 (Mars). Dem Text S liegt eine Einteilung der Ekliptik in 6 Bereiche zu j e zwei Tierkreiszeichen

(2) + (31, (4) + (5) etc. bis (12) + (1)

zugrunde, die von Mars mit deutlich verschiedenen Geschwindigkeiten durchlaufen werden.

Genau dieselbe Einteilung in 6 Bereiche findet man in den Keilschrift- texten (seit -220) und bei Vartiha Mihira (um +550). Die Einteilung ist dlkiirlich und von der Natur in keiner Weise vorgeschrieben. Also

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mussen wir annehmen, dass die Aegypter und VarAha Mihira diese Sechs- teilung der Ekliptik von den Babyloniern iibernommen haben.

Wir konnen aber noch weiter gehen:

These 4 (Mars). Das Geschwindigkeitsschema fur Mars im Text S beruht

Fiir eine Erklaning dieses Systems A siehe 8 und 10.

Genau genommen gilt These 4 nut fur den Teil der Bewegung vorn Abendletzt (Al) uber Morgenerst (Me) zum Morgenkehrpunkt (Mk). Die dann anschliessende rucklaufige Bewegung ist, wie in meiner Ziiricher Arbeit6 gezeigt wurde, nach einem anders gearteten Geschwindigkeits- schema berechnet, das ebenfalls in den Keilschrifttexten und bei Variiha Mihira vorkommt. Diese Benutzung von zwei Theorien, die nicht m- sammenstimmen, hat zur Folge, dass der Rechner, der vom Morgenkehr- punkt Mk bis zum Abendkehrpunkt Ak nach der zweiten Theorie gerechnet hat, manchmal Schwierigkeiten hat, vom Ak wieder richtig zum nachsten Al zu gelangen. In den Abschnitten (8) + (9) und (12) + (1) des Tierkreises gibt es keine Schwierigkeit: hier kann man beim Ak kurz nachher wieder auf die erste Theorie umschalten und findet den Anschluss beim Abendletzt. In den ubrigen Teilen des Tierkreises jedoch war der Rechner genotigt, die Durchlaufungszeiten der Tierkreiszeichen zu andern. Diese Aenderungen wurden im Text S nicht konsequent und nicht immer in gleicher Weise vorgenommen; so erkliiren sich die Unregel- massigkeiten im Text S im Abschnitt von Ak bis Al.

These 5 (Jupiter). Das Geschwindigkeitsschema f ur Jupiter in den Texten P und S beruht wahrscheinlich auf dem babylonischen System A'.

Als ich die Amsterdamer Arbeit schrieb, meinte ich, dass die Texte P und S nach System A berechnet sind. Jetzt hat sich erwiesen, dass die Annahme nicht haltbar ist: System A passt vie1 besser. Eine DiRerenz von 5 Tagen im Text P, die damals unerkliirt blieb, kann ich jetzt erklaren.

auf System A der Keilschrifttexte.

4. Begrundung der These I

Die These 1 sagt, dass die Geschwindigkeiten im Text S streckenweise konstant sind, mit plotzlichen Spriingen in den Sprungpunkten. Wir fiihren den Nachweis zunachst fiir Venus.

Es gibt im Text S in jeder synodischen Periode 16 aufeinanderfolgende Tierkreiszeichen, die alle in hochstens 25 Tagen durchlaufen werden. Auf diese schnelle Bewegung folgt dann eine langsamere Bewegung : die Durch-


Iaufmgszeiten werden grosser. Als Beispiel geben wir die Durchlaufimgs- zeiten im Jahre Traianus 9: Tierkreiszeichen (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (I) (2) (3) (4) (5) (6) Durchlaufungszeit 24 24 25 23 24 24 24 25 25 24 25 25 38

Die letzten zwei Zeiten in der schnellen Bewegung sind immer 25; dann folgt eine grossere Zahl. Diese Regel ist charakteristisch fur den Text S; fur P und fiir alle modem berechneten Tafeln gilt sie nicht.

Fig. 1 : Hypothese A VenuslPnge als Funktion det Zeit

Fig. 2: Hypothese C Venuslange als Funktion der Zeit

Wir wollen nun versuchen, m entscheiden, ob der Text S nach einer Theorie vom Typus A (mit einem Sprung in der Geschwindigkeit) oder vom Typus C (ohne Sprung) berechnet ist. Im ersten Fall (Hypothese A) ist die Lbge des Planeten eine stuckweise lineare Funktion der Zeit t. Im zweiten Fall (Hypothese C) wird sie durch eine glatte Kurve dargestellt. In beiden F a e n kann man auf der A-Ache eine Strecke von 30" abtragen, etwa von x-30 bis x, und aus der Kurve die Zeit At entnehmen, die der Planet nun Durcblaufen dieser Strecke braucht. Tragt man dann At als Funktion von x ab, so erhiilt man unter der Hypothese A eine Funktion, die d c h s t bis nun Sprungpunkt x = a konstant bleibt und dann linear

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ansteigt, dagegen unter der Hypothese C eine glatte, immer steiler an- steigende Kurve. Die hier gezeichnete Kurve wurde nach den Tafeln von Tuckerman13 berechnet, aber die Epizykelhypothese wiirde eine ganz 2hn- liche Kurve ergeben.

Fig. 3: Hypothese A

bis x Durchlaufungszeit At der Strecke von x-30

Die Durchlaufungszeiten der letzten drei Tierkreiszeichen (4) (5) (6) nach Text S fur Traianus 9, namlich

25 25 38

ergeben drei Punkte, die aufder Kurve liegen sollten. Drei Punkte genugen aber nicht zur Entscheidung, welchem Typus die Kurve angehort. Urn mehr Punkte zu erhalten, ziehen wir andere Jahre heran, die vom Jahr

AD 105 = Traianus 9

urn ein Vielf'aches von 8 Jahren entfernt sind, namlich

AD 11 3 = Traianus 17, AD 129 = Hadrianus 14.


Fig. 4: Hypothese C Durchlaufungszeit At der Strecke von x-30

bis x

Acht Jahre sind ungefiihr gleich 5 synodischen Perioden von Venus. Nach Ablauf dieser 5 synodischen Perioden hat Venus nahezu die gleiche Unge wie am Adang minus 23 Grad, und alle Bewegungen wiederholen sich fast genau so. Das kann man am Text selbst nachpriifen: die Ab- weichungen sind nie grosser als einen Tag.

Man kann also die im Text fiir Traianus 17 und Hadrianus 14 ange- gebenen Langen, namlich die Anfangspunkte der Zeichen (3), (4), (9, (6), auf Traianus 9 reduzieren, indem man zu den Langen 23 Grad bezw. 74 Grad addiert. Die Durchlaufungszeiten At bleiben ungeiindert, aber die x-Werte sind um 23 bezw. 74 zu vermehren. So erhat man 8 weitere U t e , die auf derselben Kurve liegen miissen. Insgesamt hat man 11 Punkte und man kann feststellen, dass sie nicht a d einer Kurve vom Typus C, wohl aber ganz genau auf einer Kurve vom Typus A liegen. Die 11 punkte sind in Fig. 3 eingetragen.

Auf dem waagrechten Teil der Kurve hat man die konstante Durch- laufungszeit At = 25. Die Geschwindigkeit des Planeten am Ende der schnellen Bewegung ist also 30" in 25 Tagen.


Die Steigung des linear ansteigenden Teils der Kurve ist die DXerenz der reziproken Geschwindigkeiten der schnellen und der langsameren Bewegung. Diese Steigung kann man aus der Figur ermitteln und so die zweite Geschwindigkeit, die der langsamen Bewegung berechnen. Ferner kann man aus der Figur die Lage des Sprungpunktes x = a auf weniger als einen Grad genau bestimmen.

Dasselbe Verfahren kann man fur die Jahre Traianus 11, 13, 14 und 16 anwenden. Immer findet man eine Kurve vom Typus A. Die Steigung des steigenden Teils der Kurve hat immer den gleichen Wert, (siehe Fig. 1 meiner Ziiricher Arbeit, S . 104). Daher ist auch die Geschwindigkeit der langsamen Bewegung unmittelbar nach dem Sprungpunkt immer dieselbe.

Dieselben Ueberlegungen kann man auch fur den Anfang der schnellen Bewegung anstellen. Wieder findet man, dass nur Hypothese A in Frage kommt, und wieder kann man die Lage des Sprungpunktes recht genau ermitteln.

Damit ist die These 1 fiir Venus bewiesen. Den Beweis fur Mars werden wir spater erbringen.

In einer Theorie vom Typus C ist es vie1 schwieriger, Eintrittsdaten der Planeten zu berechnen als in einer Theorie vom Typus A. Man versuche einmal auf Grund einer arithmetischen Reihe 3. Ordnung Eintrittsdaten zu berechnen! Der Rechenaufwand ist mindestens urn einen Faktor 10 groBer als beim Typus A. Eine Theorie vom Typus A ist also von vornherein fiir alle Planeten wahrscheinlicher als eine vom Typus C. Wenn wir nun fiir Venus und Mars eine Theorie vom Typus A mit Sicherheit nach- weisen konnen, so sind wir berechtigt, auch fiir die ubrigen Planeten eine solche Theorie als wahrscheinlich anzunehmen.

5. Begrundung der These 2

These 2 besagt, dass die Eintrittsdaten im Text S fiir Venus im Bereich der schnellen Bewegung auf Grund des Geschwindigkeitsschemas des Varilha Mihira berechnet sind.

Dieses Schema wird bei Varfiha so beschrieben :

Bei der Some (d.h. twischen Morgenletzt und Abenderst) legt die Some in 60 Tagen 15" zuriick, dann in 60 Tagen 74", dann in 60 Tagen 73". dann in 60 Tagen 12".

Erganzt man das Schema in symmetrischer Weise fiir dreimal60 Tage vor dem Morgenletzt, so erhalt man das folgende Schema:

76 B. L. vun der Waerden

60d 60d 60d 60d 60d 60d 60d 72" 73" 74" 75" 74" 73" 72"

Die game schneIle Bewegung erstreckt sich demnach iiber eine Strecke von 513", d.h. uber etwas mehr als 17 Tierkreiszeichen. Am Anfang und Ende dieser Strecke ist die Geschwindigkeit

72" in 606, d.h. 30" in 256

75" in 606, d.h. 30" in 246. und in der Mitte

In den beiden Zwischenbereichen zwischen den Enden und der Mitte nimmt die Geschwindigkeit je zwei Zwischenwerte an, namlich

30" in 24,7d und 30" in 24,3d.

Wenn also Text S nach diesem Schema berechnet ist, so erwartet man: erstens, dass immer I6 aufeinanderfolgende Tierkreiszeichen zum Be-

reich der schnellen Bewegung gehoten, zweitens, dass die Durchlaufungszeiten der Tierkreiszeichen in diesem

Bereich, auf game Tage abgerundet, immer 24 oder 25 Tage betragen, drittens, dass am Anfang und am Ende der schnellen Bewegung die

ersten zwei und die letzten zwei Zeichen immer in je 256 durchlaufen werden,

viertens, dass die mittleren zwei unter den 16 Tierkreiszeichen im Bereich der schnellen Bewegung in der Regel in je 24 Tagen durchlaufen werden.

Ausnahmen von diesen Regeln sind nur dann zu erwarten, wenn ein M1 oder Ae, bei dem die Rechnung neu anfangt, gerade in das betreffende Tierkreiszeichen hineinfdlt.

Zieht man nun den Text S heran, so sieht man, dass diese vier Regeln durchweg erfiillt sind, mit Ausnahmen n u beim MI und Ae. Berechnet man dagegen die Eintrittsdaten nach den Tafeln von Tuckerman oder entnimmt man sie dem Text P oder den babylonischen Almanachen Rm 678, SH 103 oder SH 492, so sieht man, dass die vier obigen Regeln keineswegs erfullt sind.

Wir sehen also, dass auch der "lineare Teil" der Venusbewegung ge- nugend charakteristische Zuge aufweist, die es gestatten, verschiedene Geschwindigkeitsschemata deutlich voneinander zu unterscheiden. Die genannten babylonischen Texte und der Text P sind sicher nicht nach dem


Schema von Varaha Mihira berechnet, aber Text S stimmt mit diesem Schema auf das Genaueste iiberein.

Man kann die Probe machen, indem man vom Sprungpunkt am Ende der schnellen Bewegung aus dreimal60 Tage riickwiirts oder vom Anfang der schnellen Bewegung aus dreimal 60 Tage vorwarts geht und die Ein- trittsdaten nach dem Schema des Variiha berechnet. Fiir das Jahr Traia- nus 9, das in meiner Ziiricher Arbeit als Beispiel angefiihrt ist, stimmen 12 von 14 so berechneten Daten mit den Textdaten iiberein; in den beiden iibrigen Fallen betragt die Differenz ld. Fiir Traianus 16-17 ergab sich sogar Uebereinstimmung in 17 von 18 Faen.

An die Strecke von 513”, die nach dem Schema von Varaha Mihira in schneller Bewegung in 420d durchlaufen wird, schliessen sich nach beiden Seiten Strecken von je mindestens 30” an, die nach dem Text S mit einer Geschwindigkeit von

durchlaufen werden. In der Zahl 42 kann ein Fehler von einem halben oder hochstens einem Tag stecken. Rechnet man mit dieser Zahl, so erhalt man auch auf diesen beiden Strecken eine gute Uebereinstimmung mit dem Text.

30” in 42*

Damit ist These 2 gerechtfertigt.


Die These 3 besagt, dass die Marsbewegung im Text S auf Grund einer Einteilung des Tierkreises in 6 Bereiche aus je 2 “zusammengehorigen” Tierkreiszeichen

(2) + (317 (4) + (51, - - - berechnet wurde. Beim Uebergang von einem solchen Bereich in den nachsten andert sich die Geschwindigkeit des Mars sprunghaft.

Um das zu zeigen, betrachten wir die rechtlaufige Bewegung des Mars in einer beliebigen synodischen Periode. Die erste vollstandig erhaltene Periode fallt in die Jahre Vespasianus 5-7. Die Zeiten sind

(7) (8)+(9) (lo)+ (1 1) I (12)+(1) I (2)+(3) 38 I 40 38 I 44 41 48 I 41 41 1 38

Die letzte Zahl 68 ist vie1 grosser als die anderen: sie gehort nicht mehr zum Bereich der “schne1Ien Bewegung” und kann daher ausser Betracht

B. L. van der Waerden 78

gelassen werden. Es bleiben 5 Paare zusammengehoriger Tierkreiszeichen. In 3 Fallen sind die Durchlaufungszeiten innerhalb der Paare gleich:

41 = 41, 38 = 38, 54 = 54.

In der Mitte der synodischen Periode, auf der Strecke vom Abendletzt (Al) bis Morgenerst (Me) gilt diese Regel nicht mehr. Die Durchlaufungs- zeiten verhalten sich hier unregelmassig, und zwar werden sie meistens kleiner, d.h. die Strecke von Al bis Me wird schneller durchlaufen. Diese Durchlaufungszeiten lassen wir machst ausser Betracht; wir werden sie im folgenden mit u (=unregelmissig) bezeichnen.

Die Periode Vespasianus 8-9 bietet dasselbe Bild:

Die vie1 grossere Durchlaufungszahl 61 am Ende der rechtlaufigen Be- wegung mussen wir wieder ausscheiden. Wieder finden wir 3 gleiche Paare

38 = 38, 41 = 41, 48 = 48

und dazwischen zwei “unregelmassige”, namlich kleinere Durchlaufungs- zeiten.

Die nachste vollstandige Periode fallt in die Jahre Traianus 11-12. Die Zeiten sind

(9) (10)+(11) (12)+(1) (2)+(3) (4)+(5) (6)+(7) (8)+(9) 43 1 38 38 1 41 41 1 46 44u (481.1 51ul 48 48 1 44 52

Die Paare 38 = 38, 41 = 41 und 48 = 48 sind genau dieselben wie in der vorigen Periode.

Die nachste Periode ist Traianus 13-14. Auch hier sind die “unregelmassigen” Zahlen in der Mitte kleiner als ihre Nachbarn:

43 43 1 48 48 1 53 49u 1451.1 48 1 42 42 I 38 39 1 Aus diesen Beispielen diirfte klar werden, in welcher Weise die “un-

regelmassigen” Zahlen in der Mitte erkannt und ausgeschieden werden konnen. Nach dieser Ausscheidung h d e t man in der Mehrzahl aller F U e in zwei aufeinanderfolgenden Zeichen (2n) und (2n+ 1) genau gleiche Durchlaufmgszeiten. Genauer hat man

(12)+(1) (2)+(3) (4)+(5) (6)+(7) (8)+(9) (10)+(11)


in 30 von 37 Fallen genaue Gleichheit, in 3 Fallen eine Differenz von l d ,

in 4 F a e n eine grossere Differenz.

Betrachtet man dagegen zwei aufeinanderfolgende Zeichen (2n+ 1) und (2n+2), so sieht man, dass die Durchlaufungszeiten sich fast h e r mit einem grossen Sprung andern. Nur in einem einzigen Fall findet man Gleichheit, namlich im Jahre Hadrianus 3 in den Zeichen (7) und (8).

Neugebauer und Parker scheinen diese grol3en Sprunge nicht bemerkt m haben, denn sie schreiben: “What remains is the fact that the velocity in the linear section of the motion of Mars changes so slowly that the deviation from linearity makes itself felt only about every second sign”.

Mit diesen Ausfiihrungen ist, wie mir scheint, These 3 bewiesen.

7. Begriindung der These 4

Betrachtet man die Durchlaufungszeiten etwas genauer, so sieht man sofort, dass in den einzelnen Zeichenpaaren (24, (2n+ 1) gewisse Zeiten besonders haufig vorkommen. Zum Beispiel findet man in den Zeichen (2) und (3) in 14 von 16 Fallen eine Durchlaufungszeit von 46 Tagen. In (10) und (11) findet man in 16 von 21 Fallen die Zahl38, U.S.W. Dabei wurden wie vorhin die “unregelmassigen” Zahlen in der Mitte der synodischen Bewegung und die etwas Iangeren Durchlaufungszeiten am An- fang und am Ende weggelassen.

Weiter findet man, dass nach dem Morgenerst die Regelmassigkeit der Zahlen grosser ist als vor dem Abendletzt. Nach dem Morgenerst findet man namlich

in (2)+(3) in 7 von 7 Fallen die Zahl 46, in (4)+(5) in 4 von 6 Fallen die Zahl 54, in (6)+(7) in 7 von 8 Fallen die Zahl48, in (8)+(9) in 5 von 8 Fallen die Zahl42, in (10)+(11) in 8 von 12 Fallen die Zahl 38, in (12)+(1) in 8 von 10 Fallen die Zahl41.

Diese Durchlaufungszeiten nenne ich, wie in meiner Ziiricher Arbeit, Normalzeiten.

Vor dem Abendletzt verlaufen die Zahlen weniger regelmassig. Zwar findet man auch hier oft die gleichen Zahlenwerte, aber es gibt viele Ab-


weichungen. Die am haufigsten vorkommenden Durchlaufungszeiten vor dem Al sind:

in (2)+(3) in 7 von 9 Fallen 46, in (4)+(5) in 4 von 11 F a e n 52,

in 3 von 11 Fallen 54, in (6)+(7) in 5 von 7 FUen 46, in (8)+(9) in 7 von 9 FUen 41, in (10)+(11) in 8 von 9 Fiillen 38, in (12)+(1) in 4 von 9 FUen 41.

Eine Erklinmg dieser UnregelmHssigkeiten wurde oben bei der Er- lauterung der These 4 schon gegeben; die niihere Ausfiihrung h d e t man in Abschnitt 19 meiner Ziiricher Arbeit.

Nun zur Begriindung der These 4. Wir stellen zunachst die vorhin gefundenen “Normalzeiten” noch einmal zusammen :

In den Keilschrifttexten des Systems A fiir Mars wird genau dieselbe Einteilung der Ekliptik in 6 Abschnitte zugrunde gelegt. Jeder Abschnitt wird in eine gewisse Zahl von “Schritten” zerlegt. Der Be@ “Schritt” wurde von mir zum Zweck einer einfacheren Beschreibung der Mars- bewegung eingefiihrt. Aaboel4 hat erkannt, dass der Begriff Schritt im System A fiir alle Planeten (nicht nur fiir Mars) grundlegend ist. Die Schritflangen fur Mars (Aaboe nennt sie Ii) sind in den 6 Abschnitten (siehe die Tabelle bei Aaboe, p. 221)

CT: 2’30’ l”40’ 2’13’20‘‘ 3’20‘ 5’ 3’45’.

Vergleicht man die Schrittlangen mit den Normalzeiten, so sieht man, dass zu einer grosseren Schrittlhge CT immer eine kleinere Normalzeit tn gehort. Der Zusammenhang zwischen tn und 0 las t sich durch die Formel

40 t n = 30 + -

0

darstellen. Die nach dieser Formel berechneten tn sind nhdich

46 54 48 42 38 w

Aegyprische Pfanerenrechnung 81

Die Uebereinstimmung mit den am dem Text gefundenen Normal- zeiten tn ist so gut, wie sie bei ganzzahligen tn uberhaupt sein kann. Darnit ist These 4 bewiesen.

Wenn eine Wegstrecke, 2.B. ein Tierkreiszeichen mit gleichmassiger Geschwindigkeit durchlaufen wird, so ist die Durchlaufimgszeit propor- tional zum Weg s. Wir schreiben daher die Formel (1) als

S

o t = s + ; - -

mit s = 30. In dieser Form gdt die Formel nicht nur fiir die ganzen Tier- kreiszeichen (2n) und (2n+1), sondern auch fiir jede Teilstrecke s, die ganz diesen zwei Zeichen angehort. Dabei ist s/o die Anzahl der Schritte, die in der Strecke s enthalten sind, und t die Durchlaufungszeit der Strecke.

Wir bezeichnen nun ganz allgemein die Anzahl der Schritte, die in einer Wegstrecke s enthalten sind, mit y. 1st die Strecke s in einem Zeichenpaar (2n) + (2n+ 1) enthalten, so ist y = s/o; andernfalls muss man s in Teil- strecken zerlegen und die y-Werte dieser Teilstrecken addieren. Aus der Formel (2) folgt nun allgemein fur jede Wegstrecke s, die ganz im Bereich von Me bis zum Ende der schnellen Bewegung enthalten ist,

(3) t = s + $ y .

Diese rein aus dem Text S durch lineare Interpolation gewonnene Formel hat genau dieselbe Form wie die Formeln

(4) t = s + c ,

die im babylonischen System A zur Berechnung der Durchlaufmgszeiten der Strecken von A1 bis Me und von Me bis Mk verwendet werden. Diese Strecken bestehen jeweils aus einer festen Anzahl von Schritten, unab- hangig vom Ort der Ereignisse Al und Me ; d. h. y ist furjede dieser Strecken eine Konstante. Daher steht in (4) rechts statt des variablen Gliedes t y in (3) eine feste Konstante c. Zum Beispiel gilt fiir die Strecke von Al bis Me nach dem Lehrtext 8 1 1 a die Formell5

tl = s + c1 (5 ) mit c1 = 33; 40.

Wir sehen also, dass die babylonischen Formeln von der Form (4), sinngemass abgewandelt durch Einfiihnmg der Schrittzahl y, genau die

6 CemAunus, VOL. x v ~

82 B. L. vun der Waerden

Durchlaufungszeiten des Textes S fUr die Strecke vom Me bis zum Ende der schnellen Bewegung liefern.

Eine weitere Bestiitigung der These 4 ergibt die Betrachtung der Be- wegung zwischen Al und Me, zu der wir jetzt ubergehen.

8. Die schnellste Bewegung des Mars

In der Mitte der synodischen Periode bewegt sich Mars, wie wir gesehen haben, am schnellsten: die Durchlaufungszeiten werden kleiner als die Normalzeiten. Wenn die Tafel S nach System A der babylonischen Pla- netentheorie berechnet wurde, so mussen wir erwarten, dass auch fur diese schnellste Bewegung zwischen Abendletzt und Morgenerst eine 83~1- liche Formel wie (I), also eine Formel vom Typus

C t = 3 0 + -

(T

gilt, wobei C kleiner als 40 sein muss.

man fiir die “Minimaheiten” tm in den 6 Bereichen die Werte Diese Erwartung wird in der Tat erfiillt. Setzt man C = 30, so erhalt

(2)+(3) (4)+(5) (6)+(7) (8)+(9) (10)+(11) (12)+(1) t m : 42 48 433 39 36 38

Diese kommen in der Tat a ls kleinste Durchlaufugszeiten im mittleren Ted der synodischen Bewegung Mufig vor. Man findet zum Beispiel

Vespasianus 4, Zeichen (1): Zeit 38 Vespasianus 6, Zeichen (1): Zeit 38 Vespasianus 8, Zeichen (4): &it 48 Vespasianus 9, Zeichen (3): Zeit 42 Traianus 9, Zeichen (3): Zeit 42 Traianus 11 , Zeichen (4) : Zeit 48 Traianus 16, Zeichen (6)+(7): Zeiten 43 und 44 Traianus 18, Zeichen (8): Zeit 39 Hadrianus 1, Zeichen (9): Zeit 39

Zeichen (10): Zeit 36 Hadrianus 11, Zeichen (5): Zeit 48 Hadrianus 16, Zeichen (9): Zeit 39.

In anderen Fiillen ist die Durchlaufmgszeit ein wenig grosser als die

Aegyptischc Planetenrechnung 8 3

Theorie 3 8 (8) 5 9 (10)

Minimaheit. Das war zu erwarten, denn es gibt Tierkreiszeichen, die nur zum Teil dem Bereich der schneasten Bewegung angehoren. Beispiele :

Vespasianus 4, Zeichen (10): Zeit 37 Zeichen (1 2) : Zeit 39

Vespasianus 8, Zeichen (3): Zeit 43 Traianus 13, Zeichen (5): Zeit 49 Hadrianus 3, Zeichen (2): Zeit 43 Hadrianus 11, Zeichen (8): Zeit 40

Zeichen (9): Zeit 40.

Dagegen kommt es nur sehr selten vor, dass eine Durchlaufungszeit kleiner ist als die Minimalzeit. Wenn es vorkommt, ist es meistens in der Gegend des Abendletzt, wo die Bewegung ganz unregelmassig wird. Nur einmal, im Jahre Traianus 18, sind die Durchlaufimgszeiten der Zeichen (9) und (10) irregula, namlich 31 und 48. Wenn aber das Eintrittsdatum 4 29 (10) in 5 9 (10) korrigiert wird, werden die Zeiten ganz normal 41 und 38, etwas grosser als die Minimalzeiten.

Durch die Berichtigung des Eintrittsdatums 4 29 (10) im Jahre Traianus 18 wird gleichzeitig ein Einwand von Neugebauer und Parker behoben. In TabeHe 7 meiner Ziiricher Arbeit (S. 125) finden sich, wie diese Autoren richtig bemerken, zwei Orter des Morgenerst gerade am Anfang eines Tierkreiszeichens. Die zugehorigen Daten sind nach der babylonischen Theorie und nach dem Text

Text 3 7 (8) 4 29 (10)

Traianus 16 Traianus 18

Das erste Datum stimmt gut zur Theorie: die Abweichung kann durch die Abrundung auf game Tage ohne weiteres erklm werden. Das zweite Datum stimmt nicht, aber wenn das Datum 4 29 wie oben zu 5 9 berichtigt wird, so stimmt es genau.

Nach dieser Berichtigung ekes einzigen Datums stimmt die Formel fiir die Minimalzeiten

30 tm = 30 + -

<I

vorziiglich zum Text. Fiir die Durchlaufungszeit einer beliebigen Strecke

B. L. v a n der Warden 84

s zwischen A1 und Me erhlilt man, wenn s ganz in einem Bereich ( 2 4 + (2n+ 1) lie@,

(7) S

d t = s + -

oder, wenn s/o wieder in y umbenannt wird,

Diese Formel kann, wie die entsprechende Formel (3), auch dam angewandt werden, wenn die Strecke s nicht ganz einem Bereich (2n) + (2n+ 1) angehort.

Die Formeln (3) und (8) liefern uns, zusammengenommen, das voll- stiindige Bewegungsgesetz des Mars auf der Strecke von Al uber Me bis zurn Ende der schnellen Bewegung. Auf der Teilstrecke von Al bis Me gilt (8) :

und adder Strecke von Me bis zurn Ende der schnellen Bewegung gilt (3):

t = s + y

t = s + #y.

Aus diesen beiden Formeln kann die Zeit t, die Mars zum Durchladen einer beliebigen Strecke s braucht, berechnet werden. Die Zahl y ist die Anzahl der Schritte, aus denen die Strecke s besteht. In der Anwendung dieser Formeln geht man von einem beliebigen

Al oder Me aus und berechnet zuerst die Zeit, die Mars braucht, um das Ende des Tierkreiszeichens zu erreichen. Sodann berechnet man die Zeit bis zurn Ende des nachsten Tierkreiszeichens, und so weiter bis zum Ende der schnellen Bewegung.

Als Ausgangspunkte fur diese Rechnung braucht man die Oerter und Zeiten der Phanomene Al und Me. Die Berechnung dieser Oerter und Zeiten wurde in meiner Zuricher Arbeit ausfuhrlich diskutiert. Dabei zeigte sich, dass die Bestimmung des Al mit einer gewissen Unsicherheit behaftet ist. Zwischen A1 und Me kann man 30 oder 33 Schritte amehmen; die Zahl 30 ist wahrscheinlicher, aber nicht sicher. Dagegen kann man Me und Mk gut bestimmen. Da ich mich in dieser Arbeit auf gut ge- sicherte Ergebnisse beschranken will, werde ich nur uber die Phanomene Me und Mk sprechen.

Aegypfische Planefenrechnung 85

9. Oerter und Zeiten des Me

In meiner Ziiricher Arbeit wurden zunachst die Oerter des Morgenkehr- punktes Mk aus babylonischen Texten berechnet. Drei Texte ergaben fiir das Jahr -75 ds Ort des Morgenkehrpunktes

(4) lo", (4) 7"50', (4) 5".

Das Mittel ist (4) 7"37'. A d game Schritte gerundec, ergibt das

(4) 8'40'.

Nun wurde weitergerechnet bis zum Jahr Hadrianus 15. Die so erhaltenen Langen wurden mit dem Text S verglichen und es wurde gezeigt, dass die erhaltenen Langen bis auf + Schritt genau stimmen: wiirde man sie um mehr als 5 Schritt verkleinern oder vergrosseren, so wiirde die Uebereinstimmung aufhoren.

Um von Mk auf das vorangehende Me zu kommen, muss man nach dem babylonischen Lehrtext 81 1 a genau 60 Schritte zuruckgehen, nach der Marstafel 504 aber 63 Schritte. Beide Moglichkeiten wurden aus- probiert und mit dem agyptischen Text S verglichen. Aus dem Text S kann man namlich den Ort des Me als Sprungpunkt zwischen der schnellsten Bewegung von A1 bis Me und der etwas weniger schnellen Bewegung von Me bis Mk genihert bestimmen. Bei der AMahme von 63 Schritten ergab sich die beste Uebereinstimmung. Die so erhaltenen Oerter fiir die Jahre Traianus 9 bis Hadrianus 3 sind in der zweiten KOlOMe der folgenden Tabelle 1 zusammengestellt.

Um die Daten zu bestimmen, muss man zuerst ein Ausgangsdatum annehmen. In meiner Ziiricher Arbeit wurde fiir das Jahr Traianus 9 das Ausgangsdatum 11 26 angenommen, aber aus dem Text S ergab sich das Datum 11 25. Die bestmogliche Uebereinstimmung wird erreicht, wenn man als Ausgangsdatum das Mittel zwischen den beiden Daten, also 11 254 annimmt.

Die Zeit von einem Me zum nachsten ist immer etwas grosser als 2 Alexandrinische Jahre; wir nennen den Ueberschuss uber 2 Jahre At. Der zuruckgeIegte Weg ist etwas grosser als 360"; den Ueberschuss nennen wir As. Dann gilt nach der babylonischen Theorie

(13) At = AS f C,

wobei c gleich 1% Tage oder gleich % Tag ist, je nachdem ob in der Zeit


zwischen den beiden Me kein oder ein Schaltjahr zu Ende geht (siehe die Ziiricher Arbeit, S. 126). Da die As bekannt sind, kann man die At und damit die Daten nach (13) berechnen. Die erhalteneil Daten sind in der Tabelle 1 zusammengestellt.

Die beiden durch ein Ausrufezeichen gekennzeichneten Daten fiir die

Tabelle 1. h e r und Daten von Me, babyfonisch berechnet. Schaltjahre sind durch ein Sternchen bezeichnet

Jahr 0I-t Datum Datum nach S

Traianus 9 (4) 15 11 25f 11 25

- 14 * (6) 20 1 27 1 27 - 11 (5) 15 12 253 12 2.5

- 16 (7) 30 3 74 3 7 ! - 18 * (9) 30 5 8 ) 5 9 !

Hadrianus 1 (12) 224 8 14 8 2 - 3 * (2) 20 9 30 9 30

Jahre Traianus 16 und 18 sind direkt dem Text S entnommen, die ubrigen durch Extrapolation aus den mit te lbar folgenden Eintrittsdaten berechnet. Durch die Extrapolation kann ein Fehler von hochstens einem Tag hereinkommen. Die gute Uebereinstimmung zwischen den baby- lonisch berechneten und den aus S ermittelten Daten ist als weiterer Beweis fiir die These 4 zu werten.

10. Die Daten der Morgenkehrpunkte

Neugebauer und Parker fordern, dass die Ausgangspunkte der Rech- nung, insbesondere die Oerter und Zeiten der Morgenkehrpunkte (Mk) auf den Tag genau mit der babylonischen Theorie ubereinstimmen. Diese Forderung ist leicht zu erfiillen. Die Theorie bestimmt n W c h nur die Datendifferenzen, nicht die Daten selbst. Man kann also zu einem Aus- gangsdatum, etwa zum Ak des Jahres Traianus 9, einen gewissen Betrag addieren und alle D a t e d e n entsprechend erhohen. Durch geeignete Wahl des Betrages dieser Erhohung kann man erreichen, dass die drei Daten, die nach Neugebauer und Parker um 1 oder 2 Tage von den Textdaten abweichen, genau richtig werden. Damit wird der Einwand von Neugebauer und Parker hinfmg.


Zwei Griinde gibt es, warum in der Ziiricher Arbeit diese Korrektur der Daten nicht vorgenommen wurde. Erstens ist die Korrektur nicht eindeutig bestimmt. Man kann n W c h auch den Ort des Ak um etwa einen Zehntelschritt verschieben und die Daten entsprechend iindern, so dass die Eintrittsdaten des Textes nachher wieder genau stimmen. Zwei- tens war fiir die Zwecke meiner Zuricher Arbeit eine genaue B e s t h u n g der Zeiten der Morgenkehrpunkte nicht erf'orderlich, da nur die Oerter fiit die weitere Rechnung benotigt wurden.


Fiir die Berechnung von Jupitertafeln gibt es drei gut bekannte babylonische Systeme, die man heute nach 0. Neugebauer mit A, A' und B bezeichnet 16.

In den Systemen A und A' ist der in einer synodischen Periode zuriick- gelegte Weg in gewissen Bereichen des Tierkreises konstant, n3mlich

in A : 30" im Bereich von (3) 25" bis (8) 30", 36" von (8) 30" bis (3) 25",

in A': 30" von (4) 9" bis (8) 9", 33"45' von (8) 9" bis (10) 2", 36" von (10) 2" bis (2) 17", 33"45' von (2) 17" bis (4) 9".

Fur Varianten dieser beiden Systeme siehe Neugebauerg, p. 310. In System B nimmt der synodische Weg linear zu vom Minimum

28'15'30" bis zum Maximum 38'2' und dann wieder linear ab. In den Systemen vom Typus C, z.B. in der griechischen Epizykeltheorie

und in modernen Tafeln hat der synodische Weg als Funktion der Anfangslange einen wellenformigen Verlauf: er nimmt vom Maximum nach beiden Seiten zuerst langsam, dann h e r schneller ab.

Wie verMlt sich nun in diesen drei Arten von Theorien die Zeit t, die Jupiter braucht, um eine Strecke von 30", z.B. ein Tierkreiszeichen zu durchlaufen ?

1". In den Systemen A und A' gibt es jeweils einen "langsamen Be- reich", in dem Jupiter pro synodische Periode genau 30" zuriicklegt. Dieser Bereich umf'asst im System A die Tierkreiszeichen (4) (5) (6) (7) (8), im System A' nur die Tierkreiszeichen (5) (6) (7). In diesen Bereichen ist


die Zeit t, die Jupiter braucht um 30" zurt€ckzulegen, genau gleich einer synodischen Periode, also konstant.

2". Im System B verhalten sich die Durchlaufungszeiten ganz anders. In der Niihe des Minimums ist der synodische Weg etwas kleiner als 30", also ist die Zeit t, die Jupiter braucht, um 30" zuriickzulegen, etwas grosser als eine synodische Periode. Von hier aus njmmt die Zeit nach beiden Seiten linear ab.

3". In allen Systemen vom Typus C h d e t man analog, dass die Zeit t von einem Maximum aus nach beiden Seiten zuerst langsam, dann schneller abnimmt.

Betrachten wir nun die Durchlaufmgszeiten des Textes P in den Tier- kreiszeichen (4) bis (8), so erhalten wir die Werte, die in der Tabelle 2 angegeben sind.

Tabelle 2. Durchlaufungszeiten der Tierkreiszeichen im Text P.

Augustus, Jahre 17-20 395 397 396 Jahre 26-32 I 393 400 400 400 403 Jahre 38-41 393 399

Die Durcldaufmgszeit 395 oben in Kolonne (6) mussen wir ausscheiden: sie stimmt nach keiner Theorie. Im Zeichen (6), in der Mitte des langsamen Bereiches, sollte man das Maximum der Zeit t erwarten, also etwa 400, wie in den letzten beiden Zeilen. Ebenso ist die Zahl403 in der Kolonne (8) sicher falsch: am Ende des langsamen Bereichs musste die Zeit t im System A gleich bleiben, in allen anderen Systemen abnehmen.

Die Durchlaufungszeiten 393 und 399 der Zeichen (4) und (5) in der letzten Zeile sind fast gleich denen in der vorletzten Zeile; wir konnen diese Zahlen somit als gesichert betrachten.

Die Zahlen fiir die Jahre 26-31 393 400 400 400

zeigen genau das Verhalten, das man im System A', aber nicht in A, B oder C erwarten wiirde, n a c h Konstanz in den Zeichen (5) (6) (7), aber einen erheblich kleineren Wert in (4). Also ist System A' von allen uns bekannten Systemen das einzige, das zum Text passt. Naturlich wtire eine Variante des Systems A', etwa A" oder A'" (siehe 8, p. 310) ebenfalls moglich.


Vespasianus, Jahre 4-6 Traianus, Jahre 9-13 Traianus 19 - Hadrianus2 Hadrianus 12-17

Nach unserer friiheren Ueberlegung musste das Maximum 400, das in der Tafel dreimal vorkommt, genau die synodische Periode des Jupiter im langsamen Bereich sein. Das fiihrt aber zu einer Schwierigkeit, die ich in meiner Amsterdamer Arbeit noch nicht uberwinden konnte. Nach dem babylonischen Sonnenabstandsprinzip (siehe etwa 10, Seite 178) muss die Sonne in einer synodischen Periode den gleichen Weg durchlaufen wie Jupiter und noch einen vollen Umlauf dam, im langsamen Bereich also

30" + 360" = 390".

387 380 395 394 392

393 398 393 398 398 396 147

Rechnet man das Jahr zu 365$ Tagen, so braucht die Sonne dam

365% = 3953 Tage. 390 360 -.

Die Zahl400 ist also um rund 4 Tage zu gross. Diese Schwierigkeit kann man jedoch iiberwinden, indem man an-

nimmt, dass die agyptischen Rechner die Dauer einer synodischen Periode nicht durch eine genaue Anwendung des Sonnenabstandsprinzips bestimmt haben, sondern dass sie einfach mit mittIeren synodischen Perioden gerechnet haben. Nach der babylonischen Theorie besteht die Gleichung

391 synodische Perioden = 427 Jahre

Also ist eine mittlere synodische Periode

-. 427 365% Tage, 39 1

das sind fast 399 Tage. Die Zahl 400 ist davon nicht weit entfernt.

In Tabelle 3 sind die Durchlaufungszeiten des Textes S zusammengestellt.

Tabelle 3. Durchlaufungszeiten der Tierkreiszeichen im Text S.

Text S I (4) (5) (6) (7) (8)


Zur letzten Zahl 147 in KoloMe (8) ist zu bemerken, dass Jupiter im Jahre Hadrianus 17 das Zeichen (8) rechtlaufig in 147 Tagen durchlauft, am Tage 6 29 in das Zeichen (9) eintritt, dort riicklaufig wird m d am Tage 8 14 (d.h. am 14. Tag des Monats 8) wieder in (8) eintritt. So erklart sich die sehr kurze erste Aufenthaltszeit im Zeichen (8).

Wir haben schon nachgewiesen, dass fiir Mars und Venus im Text S eine Theorie vom Typus A mit stiickweise konstanten Geschwindigkeiten angenommen wurde. Es ist also von vornherein wahrscheinlich, dass man auch fiir Jupiter eine Theorie vom Typus A verwendet hat. Es sind (von Varianten abgesehen) nur zwei Theorien von diesem Typus bekannt, n w c h die Systeme A und A'. Nach System A musste Jupiter in den Zeichen (4) und (8) genau dieselbe Durchlaufungszeit haben und sich genau so verhalten wie in den mittleren Zeichen (5) (6) (7). Im Text S sind aber die Durchlaufmgszeiten in (4) erheblich kleiner a ls in (3, und in (8) verhalt sich Jupiter ganz anders als in (9, (6), (7). System A kornmt also nicht in Betracht. Somit bleiben nur System A' und dessen Varianten ubrig. Es bleiben aber noch Meine Unstimmigkeiten, die ich nicht erklaren

kann. In den Zeichen (5) (6) (7) sollten alle Durchlaufungszeiten genau gleich sein, und zwar gleich 399 Tagen, wenn mit mittleren synodischen Perioden gerechnet wird, und gleich 395 oder 396 Tagen, wenn das Sonnenabstandsprinzip zugrunde gelegt wird. Von den sieben Zahlen des Textes ist eine (387) vie1 zu klein; die ubrigen liegen wohl in der richtigen Gegend, aber sie sind nicht genau gleich. Aus diesem G m d e habe ich die These 5 etwas vorsichtiger formuliert als die ubrigen Thesen, namlich so :

Das Geschwindigkeitsschema fur Jupiter in den Texten P und S beruht wahrscheinlich auf dem babylonischen System A'.

Fiir den Text P ist diese These besser gesichert als fur S.

ANMERKUNGEN

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2. W. Spiegelberg: Demotische Papyrus aus . . . Berlin (1902) p. 29 und P1.99. 3. H. Brugsch: Nouvelles Recherches sur la Division de 1'Annk des Egyptieos (Pans

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6. B. L. van der Waerden: Babylonische Methoden in Bgyptischen Planetentafeln. Viertel-

7. In dieser Arbeit bedeutet (1) Widder, (2) Stier, etc. Neugebauer und Parker benutzen

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nomie, S. 192. 16. F. X. Kugler, der in Band I seines grossen Werkes “Sternkunde und Sterndienst in

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