Algebraische Gleichungen

GleichungSetzt man zwischen zwei Terme T1 und T2 ein Gleichheitszeichen, so entsteht

eine Gleichung!

LösungsmengeAlle Einsetzungen für die Variable aus der Grundmenge G, die eine Glei-

chung zu einer wahren Aussage machen, bilden die Lösungsmenge L.

Idee dieser PräsentationEs werden ein paar unterschiedliche Musterbeispiele vorgestellt und gerade

korrekt vorgelöst!

1. Lineare Gleichungen

Beispiel 1:

Grundaufgabe: Ohne Klammern

14x – 6 + 5x + 15 = 3x + 22 + 13x – 7

Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 1:

14x – 6 + 5x + 15 = 3x + 22 + 13x – 7 I TU

19x + 9 = 16x + 15 I - 16x

3x + 9 = 15 I – 9

3x = 6 I : 3

x = 2

L = {2}

1. Lineare Gleichungen

Beispiel 2:

Grundaufgabe: Mit Klammern (ohne Produkt)

15x – (12 + 11x) + (23 – 3x) = 12

Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 2:

15x – (12 + 11x) + (23 – 3x) = 12 I TU

15x – 12 – 11x + 23 – 3x = 12 I TU

x + 11 = 12 I – 11

x = 1

L = {1}

1. Lineare Gleichungen

Beispiel 3:

Grundaufgabe: Mit Klammern (mit Produkt)

6(7-x) + 9 = 2(x+19) – 7(x-2) – (2x-11)

Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 3:

6(7-x) + 9 = 2(x+19) – 7(x-2) – (2x-11) I TU

42 – 6x + 9 = 2x + 38 – 7x + 14 – 2x + 11 I TU

51 – 6x = -7x + 63 I + 7x

x + 51= 63 I - 51

x = 12

L = {12}

1. Lineare Gleichungen

Beispiel 4:

Grundaufgabe: Mit Klammern (Produkt von Summen)

2(x + 1)(x + 3) + 8 = (2x + 1)(x + 5)

Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 4:

2(x + 1)(x + 3) + 8 = (2x + 1)(x + 5) I TU2(x2 + 3x + x + 3) + 8 = 2x2 + 10x + x + 5 I TU2x2 + 6x + 2x + 6 + 8 = 2x2 + 11x + 5 I TU2x2 + 8x + 14 = 2x2 + 11x + 5 I - 2x2

8x + 14 = 11x + 5 I – 8x14 = 3x + 5 I – 59 = 3x I : 33 = x

L = {3}

1. Lineare Gleichungen

Beispiel 5:

Grundaufgabe: Mit Klammern (Binomischen Formeln)

(x – 11)2 – (x – 20)2 = (2x + 1)2 – (2x)2

Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 5:

(x – 11)2 – (x – 20)2 = (2x + 1)2 – (2x)2 I TUx2 – 22x + 121 – (x2 – 40x + 400) = 4x2 + 4x + 1 – 4x2 I TUx2 – 22x + 121 – x2 + 40x – 400 = 4x + 1 I TU18x – 279 = 4x + 1 I – 4x14x – 279 = 1 I + 27914x = 280 I : 14x = 20

L = {20}

1. Lineare Gleichungen

Beispiel 6:

Grundaufgabe: Mit Brüchen (Zahl im Nenner: Typ 1)

Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

5

1

264xxx

Musterlösung Beispiel 6:

x/4 – x/6 = x/2 – 1/5 I GN15x/60 – 10x/60 = 30x/60 – 12/60 I * GN (=60)15x – 10x = 30x – 12 I TU5x = 30x - 12 I – 5x0 = 25x - 12 I + 1212 = 25x I : 2512/25 = x

L = {12/25}

1. Lineare Gleichungen

Beispiel 7:

Grundaufgabe: Mit Brüchen (Zahl im Nenner: Typ 2)

Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

20

169

16

125

8

47

5

83

xxxx

Musterlösung Beispiel 7:

(3x+8)/5 – (7x-4)/8 = (5x+12)/16 – (9x-16)/20 I GN?16(3x+8)/80 – 10(7x-4)/80 = 5(5x+12)/80 – 4(9x-16)/80 I * GN (=80)

16(3x+8) – 10(7x-4) = 5(5x+12) – 4(9x-16) I TU48x + 128 – 70x + 40 = 25x + 60 – 36x + 64 I TU- 22x + 168 = - 11x + 124 I + 22x168 = 11x + 124 I - 12444 = 11x I : 114 = x

L = {4}

2. Lineare Ungleichungen

Beispiel 8:

Grundaufgabe: Ungleichung 1 (G = Z)

3 (2x – 1) – 2 (x + 3) < 5x - 3

Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 8: (G = Z)

3 (2x – 1) – 2 (x + 3) < 5x - 3 I TU

6x – 3 – 2x – 6 < 5x – 3 I TU

4x – 9 < 5x – 3 I - 4x

- 9 < x – 3 I + 3

- 6 < x

L = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,…}

2. Lineare Ungleichungen

Beispiel 9:

Grundaufgabe: Ungleichung 1 (G = Z)

(x – 1)(x + 1) > (x – 1)2 + 2

Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 9 (G = Z):

(x – 1)(x + 1) > (x – 1)2 + 2 I TUx2 – 1 > x2 – 2x + 1 + 2 I TUx2 – 1 > x2 – 2x + 3 I – x2

- 1 > - 2x + 3 I + 2x2x - 1 > 3 I + 1 2x > 4 I : 2x > 2

L = {3, 4, 5, 6, …}

2. Lineare Ungleichungen

Beispiel 10:

Grundaufgabe: Ungleichung 3 (G = Z)

(5x – 1)(2x + 3) – (2x + 1)2 ≥ 6x (x + 1)

Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 10 (G = Z):

(5x – 1)(2x + 3) – (2x + 1)2 ≥ 6x (x + 1) I TU10x2 + 15x – 2x – 3 – (4x2 + 4x + 1) ≥ 6x2 + 6x I TU10x2 + 13x – 3 – 4x2 – 4x – 1 ≥ 6x2 + 6x I TU6x2 + 9x - 4 ≥ 6x2 + 6x I – 6x2

9x - 4 ≥ 6x I – 6x3x – 4 ≥ 0 I + 43x ≥ 4 I : 3x ≥ 4/3

L = {2, 3, 4, 5,…}

3. Gemischte Übungen

1. 3x - 15 = 2x - 15

2. (x+3)2 = (x-3) (x-6)

3. 2x + 3 = 16 - (2x - 3)

4. x - 4(12 - x) -3(20 - 3x) - 18 = 0

5. (x - 1)(2x + 1) = (x + 3)(2x + 3) - 14

6. 2(3 - (2(3x - 1) - 5)) = 8

7. (x - 11)2 -(x -20)2 = (2x + 1)2 - (2x)2

8. 5x/11+x/2+9x/22 = 4x/5 + 62

Gesucht: Lösungsmenge L!?

Lösungsmengen:

1. L = {0}

2. L = {3/5}

3. L = {4}

4. L = {9}

5. L = {0.4}

6. L = {1}

7. L = {20}

8. L = {110}

3. Gemischte Übungen