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Hydro- und Aerodynamik
Die Volumenstromdichte
Die Kontinuitätsgleichung
Die Bernoulli-Gleichung
So fliegen die Vögel!
…und die Flugzeuge
Inhalt
• Strömung idealer Flüssigkeiten– Die Volumenstromstärke – Die Kontinuitätsgleichung – Die Gleichung von Daniel Bernoulli
• Strömung realer Flüssigkeiten– Laminare Strömung, Newtonsche Gleichung– Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz – Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes
• Die Grenzschicht und die Reynoldssche Zahl, Turbulenz
Ideale Flüssigkeit
• Inkompressibel
• Keine Reibung– innerhalb des Mediums– zwischen Medium und Wänden
• Auch ein Gas kann -in diesem Sinne- eine ideale Flüssigkeit sein
Ideale Strömung
• Strömung eines Mediums konstanter Dichte (Inkompressibel)
• Strömung ohne Reibungskräfte – innerhalb des Mediums– zwischen dem Medium und den Wänden
Die Volumenstromstärke
10
5
0Zeit dt
• Volumen der Flüssigkeit, das in einer Zeiteinheit ein Rohr mit Querschnittsfläche A durchströmt
dV
v
A ds
Einheit
1 m3/s Volumenstromstärke
A 1 m Querschnittsfläche des Rohres
v 1 m/s Strömungsgeschwindigkeit
Die Volumenstromstärke
vAdt
dsA
dt
dVI
10
5
0Zeit dt
dV
v
A ds
Die Kontinuitätsgleichung für ideale Strömungen
dV dV
• Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt
• Die Kontinuitätsgleichung besagt: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt
10
5
0Zeit dt
Die Kontinuitätsgleichung
Das in einem Zeitintervall transportierte Volumen ist in beiden Röhren gleich
11 dsAdV 22 dsAdV
2p
dV
dV
1v 2v
1A1ds
2ds2A
Einheit
1 m3 In gleichen Zeiten werden gleiche Volumina bewegt
1 m3/sDivision durch die Zeit ergibt die Kontinuitätsgleichung
1 m3/s
Kontinuitätsgleichung: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt
Die Kontinuitätsgleichung
2211 dsAdsA
2211 vAvA
dt
dsA
dt
dsA 2
21
1
Der Bernoulli Effekt
• Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt
• Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab
Der Bernoulli-Effekt
Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck
Versuch zur Bernoulli-Gleichung
Drucke in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit:
• Niederer Druck in den Rohren mit kleinem Querschnitt, also hoher Strömungsgeschwindigkeit
• Hoher Druck im Rohr mit großem Querschnitt und kleiner Strömungsgeschwindigkeit
Arbeit zur Bewegung eines Volumens dV des Mediums: Kraft mal Weg
1ds
2ds
1F 2F
111 dsFW 222 dsFW
Die Wege ds1 und ds2 werden in der Zeit dt zurückgelegt
1p2p
Volumen links Volumen rechts
1 J Kraft mal Weg
1 JArbeit gegen den Druck1111 dsApW 2222 dsApW
111 dsFW 222 dsFW
Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen
A1
A2
1ds
2ds
Die Kraft wird durch Druck mal Fläche ersetzt
1p2p
Einheit
1 m3/sKontinuitätsgleichung,v1, v2 unterschiedliche Fließgeschwindigkeiten
1 m3 Konstante Volumina
Kontinuitätsgleichung beim Übergang
A1
A2
1ds
2ds
Das Volumen, das um sich selbst versetzt wird, ist zu beiden Seiten gleich
2211 vAvA
2211 dsAdsA
10
5
0Zeit dt
dtdsAdtdsA // 2211
1p2p
Volumen links Volumen rechts
1 J Arbeit gegen den Druck in beiden Rohren1JdVpW 11 dVpW 22
Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen
A1
A2
1ds
2ds
Zur Beachtung: Das Volumen im kleinerer Rohr bewegt sich schneller
1111 dsApW 2222 dsApW
Die „Überraschung“ der Bernoulli Gleichung
• Die in einer Zeiteinheit versetzten Volumina sind in beiden Röhren gleich
• Aber: Die dazu benötigte Arbeit ist unterschiedlich, wenn sich der Druck in beiden Röhren unterscheidet
• Q: Weshalb ist in den Rohren unterschiedliche Arbeit zum Versetzen zu erwarten?
• A: Weil die Flüssigkeit beim Übergang in das Rohr mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird
1p2p
Volumen links Volumen rechts
1 J Arbeit gegen den Druck und zur Beschleunigung1J
1 J Energieerhaltung
dVpW 11 dVpW 22
…und um ein Volumen dV zu beschleunigen
dV
dV
Bei Übergang vom großen zum kleinen Rohr wird das Medium beschleunigt
211 2/1 mvWKin 2
22 2/1 mvWKin 222
211 2/12/1 mvdVpmvdVp
1v 2v
1 JDie Masse wird durch m=ρ·dV ersetzt
1 Pa
Bernoulli Gleichung: Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab
p1, p2 1 Pa Drucke in beiden Bereichen
v1, v2 1m/sGeschwindigkeiten in beiden Bereichen
ρ 1 kg/m3 Dichte des strömenden Mediums
Die Bernoulli-Gleichung
2121
22 )(
2
1ppvv
2121
22 )(
2
1dVpdVpvvdV
Versuche zum Bernoulli-Effekt
• Das hydrodynamische Paradoxon
Eine Anwendung: Druckmessung in bewegten Objekten
Barometrischer Luftdruck in ruhender Luft
Anwendung: Druckmessung in Flugzeugen
Druckmessung in Flugzeugen
Dynamischer Druck, Pitot-Druck
Statischer Druck
0p
vp
v
N
N
N
p
p
g
ph ln
dtdh /2
0 2
1vpp v
Messung des dynamischen und statischen Drucks in einem Gerät: Das Prandtlsche Staurohr
Statischer Druck
Dynamischer Druck im Staupunkt des Körpers, Pitot-Druck
Versuch
• Druckunterschied an einem in einer Strömung rotierenden Körper
• In welcher Richtung wirkt die Kraft?
Versuch: Magnus Effekt
Unterschiedliche Strömungs-geschwindigkeiten an der Oberfläche!
• Die schnell austretenden, versprühenden Wasserteilchen reißen die Luft mit: Die Geschwindigkeit der umgebenden Luft steigt, der Druck fällt
Versuch: Wasserstrahlpumpe
Auftrieb am Flügel
• Durch die Form des Flügels ergibt sich ein größerer Weg und deshalb eine höhere Geschwindigkeit an seiner Oberseite
• Höherer Druck an der Unterseite Auftrieb
Zusammenfassung• Ideale Flüssigkeiten, ideale Strömung
– Bewegung ohne Reibung– Inkompressibel, d.h. überall konstante Dichte
• Die Volumenstromstärke– Produkt aus Querschnitt und Fließ-Geschwindigkeit
• Die Kontinuitätsgleichung: Erhaltung der Massen bei der Strömung inkompressibler Flüssigkeiten– Die Volumenstromstärken bei Ein- und Austritt sind
gleich• „Was reinfließt, fließt auch wieder raus“
• Die Gleichung von Daniel Bernoulli für ideale Strömungen:– In Bereichen großer Strömungsgeschwindigkeit ist
der Druck kleiner als in Bereichen kleiner Strömungsgeschwindigkeit
So fliegen die Vögel!
…und die Flugzeuge
finis