Algebraische Theorie der zerlegbaren Ringe

Algebraisehe Theorie der zerlegbaren Ringe. (Algebraische Theorie der Ringe. HI.)

Von

Wolfgang Krull in Freiburg i. Br.

Die vorliegende Arbeit soll eine Fortfiihrung und Erg~nzung der Ab- handlungen ,,Algebraische Theorie der Ringe I und I I ''1) darstellen. Dor~ wurde fiir eine gewisse Klasse von Ringen, die im wesentlichen endliche oder unendliche Systeme hyperkomplexer Gr5/3en mi~ kommutativer Multi- plikation sind, der Begriff der algebraischen und transzendenten Erweite- rung nach dem Vorbild der KSrpertheorie eingefiihrt. Mit Hilfe der Uber- tragung der kSrpertheoretischen Methoden gelangt man dann zu einer Typisierung der betrachte~en Ringe, wenigstens der vollkommenen, die dadurch ausgezeichnet sind, dab ihnen ein vollkommener KSrper zugeorclnet werden kann.

Im ]olgenden soll nun untersucht werden, wie die Verh(iltnisse, insbesondere" die Fragen der Typisierung, in einem gewissen ausgezeichneten Falle, ndmlich beg den sogenannten zerlegbaren Ringen, liegen. Der Be- griff des zerlegbaren Ringes wurde yon Herrn Fraenkel in seiner Disser- tation e) axiomatisch festgelegt. Die zerlegbaren Ringe sind dadurch ge- l~ennzeichnet, dal~ sich in ihnen die Null im wesentlichen eindeutig als Produkt yon Potenzen von ,,Primteilern" (der Null) clarstellen l~l~t. Axio- matisch kann man sie, wie in w 1 der vorliegenden Arbeit gezeigt wird, auch charakterisieren als ,,Ringe, in denen es nut Nullteiler und Ein- hdten gibt, und in denen au/3erdem ]edes Ideal ein Hauptideal ist, also aus der Gesamtheit aller durch ein ]estes Element teilbaren Ringelemente

1) Math. Annalen 88, S. 80--122, bzw. Math. Annalen 91, S. 1-46. Diese Ar- beiten werden in Zukunft mit A. I und A. II zitiert.

e) ,,Uber die Teiler der Null und Zerlegung yon Ringen". Journal f. Math. 145, 8. 139-176. Diese Arbeit wird im fo]genden mit ,F." zitiert. Ferner wollen wir under ,N." die Arbeit ,Idealtheorie in Ringbereiehen", Math. Annalen 83, S. 24-67 yon E. Noether verstehen.

184 W. Krull.

besteht". Nach den allgemeinen Ergebnissen von A. II bzw. nach den Resultaten der Fraenkelschen Dissertation l~t~t sich jeder zerlegbare Ring als Summe yon endlich vielen speziellen Ringen darstellen, wobei ein spezieller Ring dadureh ausgezeiehnet ist, dab in ibm sich jeder Nullteiler als Produkt einer eindeutig bestimmten Potenz eines ein fiir allemal fest- gelegten Primteilers mit einer Eiaheit darstellen l~l]t. Wit hatten bereits in A. I I m i t einer ausgezeichneten Klasse yon speziellen zerlegbaren Ringen, n~mlich mit den sogenannten ,,Grundringen" zu tun. Im folgenden besch~ftigen wit uns genau wie in den vorangehenden Arbeiten vorwiegend mit Ripgen des speziellen Typs.

Zup~chst werden die Vereinfachungen dargelegt, die sich hinsichtlich der Theorie tier algebraisehen und transzendenten Erweiterungen bei den zerlegbaren Ringen gegeniiber dem allgemeinen Fall ergeben. Die leicht zug~ngliche Natur der zerlegbaren Ringe zeigt sich u. a. darin, da] wir den Aufbau der Polynomideale einer Variablen besser iibersehen kSnnen als im a]lgemeinen Fall, und dab sich insbesondere fiir jedes Polynom- ideal eine Normalbasis einfaeher Art attfstelien l~il~t. Des ferneren lassen sich, wie in w 3 gezeigt wird, die regul~ren Erweiterungen eingehender charakterisieren als im allgemeinen Fall und zwar durch den wichtigen Satz:

Die reguldren Erweiterungen eines zerlegbaren speziellen Ringes sind die einzigen Erweiterungen, die wieder zu einem speziellen zerlegbaren Ring mit dem gleichen charakteristischen Exponenten ]i~hren.

Die Bedeutung dieses Theorems zeigt sich u. a. bei der Typisierung der vollkommenen Ringe. Man kann z.B. mit Hilfe unseres Satzes unmittelbar einsehen, da] die vollkommenen Grundringe die einz!gen vollkommenen speziellen zerlegbaren Ringe sind, die den gleichen charakteristischen Exponenten wie ihr Primring besitzen.

Von besonderer Wichtigkeit ist bei der Typisierung noch eine wei- tere Untersuchung, die nut bei zerlegbaren Ringen du~chffihrbar ist. Im allgemeinen Fall mul~ten wit ups, um zu befriedigenden Ergeb- nissen zu gelangen, auf ,,regul~re" Erweiterungen beschr~inken, durch die dem gegebenen Ring nach einer in A. II verwandten Ausdrucks- weise gleiehsam nut regul~re Elemente zugefiig~ werden. Bei zerlegbaren Ringen beschd]tigen wit uns auch mit allgemeinen algebraischen Erweite- rungen, dutch die neue Nullteiter einge]i~hrt werden, und zwar mit solchen, die einen zerlegbaren Ring wieder in einen zerlegbaren verwandeln. Es gelingt, derartige Erweiterungen erschSpfend zu charakterisieren, und einen genauen Einbliek in ihren Aufbau zu gewinnen.

Aus dem gewonnenen Resultat ergeben sich wichtige Folgerungen ffir file Typisierung der zerlegbaren Ringe. Zun~chst gewinnen wir mit Hilf~

Algebragsehe Theorie der Ringe. III. 185

der allgemeinen algebraischen Erweiterungen einen befriedigenden Einblick in die Natur der endlichen zerlegbaren Ringe, und zwar zeigt es sich, dal~ man fiir alle hier in Betracht kommenden Typen Beispiele gewinnen kann, wenn man Restklassensysteme nach geeignet gewiihlten Idealen aus algebraischen ZahlkSrpern betrachtet. Allerdings ist damit noch nicht bewiesen, dab jeder endliche zerlegbare Ring dem Restklassensystem eines algebraischen Ideales isomorph ist. Um diese Frage beantworten zu k6nnen, mfit~te man, wie im Texte dargelegt wird, jedenfalls erst fiber eine Re[he von Existenzsgtzen aus der algebraischen Zahlentheorie Bescheicl wissen.

Xhnlich wie bei den endlichen liegen die Verhgltnisse bei beliebigen vollkommenen zerlegbaren Ringen. Auch hier gelangen wir auf Grund der Tatsache, dal~ jeder vollkommene zerlegbare Ring aus seinem Grundring dutch allgemeine algebraische Erweiierung entsteh*, zu einer genauen Cha- rakterisierung der untersuchten t~ereiche. Besonders interessant sind die gerhdltnisse bei den algebraisch abgeschlossenen zerlegbaren Ringen. Hier gelingt es uns ndmlich, notwendige und hinreichende Kennzeichen da]iir zu gewinnen, warm ein solcher Ring dutch Grundring und chara]cteristi- schen Exponenten eindeutig bestimmt ist und warm nicht. Dabei zeigt sich eine neue beachtenswerte Analogie mit der KSrpertheorie: Der Unter- schied zwischen den dutch Grundring und charakteristisehen Exponenten eindeu~ig bestimmten Ringen und den andern ist ganz ghnlich dem Unter- schied zwischen vollkommenen uncl unvollkommenen KSrpern (obwohl alle hier in Betracht kommenden Ringe in unserer in A. I und A. II ein- gefiihrten Ausdrucksweise vollkommen sind) -- die Primteiler der Null spielen eine analoge Rolle wie die ~ranszendenten Elemente in der KSr- loertheorie.

Aul~er diesen neuen Beziehungen zur KSrpertheorie ergib~ sich be[ den zuletzt besprochenen Untersuehungen noch eine Re[he merkwiirdiger Fragen, so dab es scheint, als ob die hier entwickelte algebraische Be- handlungsweise nieht nut hinsichtlich der Typisierung der zerlegbaren Ringe zu einem gewissen Abschlu/] fiihrte, sondern auch den geeigne~en Ausgangspunkt zu einer weiteren Untersuchung dieser Berdche bS{e.

w

Die allgemeinen zerlegbaren Ringe. Ein allgemeiner zerlegbarer Ring ist ein .Ringbereich mit kommu-

tativer Multiplikation und universellem EinheitselementS) r~, cter folgenden Axiomen genfigt:

8) Zu der Definition des allgemeinsten kommuisativen Ringbereiehs vgl. A. I w 1.

186 W. Kr~ll.

I. Ein Element a aus R ist entweder Nulltsiler oder Einheit, d .h . es besteht stets entweder eine Gleichung a. ~--~ 0; ~ ~ 0 oder sine Glei- chung a .a -1 ~ re.

II . Jedes Ideal aus R ist sin Hauptideal (a), besteht also aus der Gesamtheit der durch sin /estes Element a teilbaren Ringslemente.

Auf Grund dieser ~ beiden hxiome.~beweisen wir zun~chst folgenden Satz4) �9 ~- -~"

H i l f s s a t z 1. Bezitzt das Ideal a = (a) einen yore Einheitsideal o verschiedenen echten Teller b ~ (b), so ldflt es sich auch als Produkt echter Teller darstellen.

Da die Ideale a und b yore Einheitsideal verschieden sind, so miissen infolge yon Axiom I die Elemente a und b Nullteiler sein, und wegen der Teilbarkeit yon a durch 5 mu6 eine Gleichung a-~ b.c bestehen, aus der dann die Idealgleichung ( a ) - ~ ( b ) . ( c ) folgt. Sollte nun (c)e in echter Teiler yon a sein, so ist unsere Behauptung bewiesen, im andern Falls mul~ jedenfalls sine Gleichung c = d . a bestehen. Ist dann b ~= 0 ein nach Vor. existierendes Element, das der Gleiehung b.b-----0 geniigt, so kann und folglich auch b d - d . a - = : b-4-c nieht durch a teilbar sein, well sonst entgegen der Wahl von b die Gleichung b - - s - a = e , b. c -~e .a .b , d = b . b. d=O best~nde. Die Ideals (b-4-c) und a sind mithin versehieden, und aus der Gleichung a = (b + c) . (b) folgt die Behauptung des Hilfssatzes.

Da ein Primideal seiner Definition gemii$ nicht als das Produkt yon echten Teilern darstellbar is~, so folg~ aus dem gewonnenen Ergebnis unmittelbar, da$ in R kein Primideal einen yon o verschiedenen echten Teller besitzen kann. Daraus ergibt sich weiter, dab die zerlegbaren Rings dem allgsmeinen in A. I I w 1 u. w 2 charakterisierten Ringtypus angehdren, und wir kSnnen aus A. I I die folgenden Siitze iibernehmen, die sich flit zerlegbare Rings mit Benutzung yon Hilfssatz 1 aueh direkt beweisen lassen:

Jeder allgemeine zerlsgbare Ring ldfit sich als eindeutige Summe yon endlich viel speziellen Ringen, in denen die Gesamtheit der Nullteiler sin Primideal bildet, darstellen'~).

Ist a sin beliebiges Ideal aus R , so gilt sine eindeutige Produkt- zerlegung a ~ q~-qe - . . . -~o , wobei die Oi gegenseitig teiler]remde Primdr- ideale bedeuten S).

Zu jedem Ideal a gibt es einen endlichen Exponenten ~ , so daft

a ea ~ a ea + ~ wird, insbesondere existiert zu einem beliebigen speziellen zer-

4) Hilfssatz 1 ist im wesentlichen mit Satz 2, F. w 2 identisch. 5) A. II w 2, vgl. femer die Entwieklungen bei F. w 4, wo der Zerlegungssatz

ohne idealtheoretische ttilfsmittel bewiesen ist. 6) A. II. w

Algebraische Theorie der Ringo. III. 187

legbaren Ring eine nat~rliche Zahl ~, so daft ]i~r a + 0 immer ae = (0) ist, oder, was dasselbe bedeutet, ein Produkt yon 0 Nullteilern stets verschwindet T ).

Aus der Tatsache, da]~ jedes Ideal aus R e i n ttauptideal ist, ergibt sich ferner die wichtige Folgerung: Es gibt in R keine ins Unendliche lau]ende Kette yon Idealen al, %, . . . , as, . . . , bei der allgemein das Ideal a~ ein echter Teller yon a,_~ ists).

Denn der grSl~te gemeinschaftliche Teiler der Ideale a i ist selbst ein Ideal b -~ (d) und unter unsern Vor. mug das Element d fiir em end- tiches v im Ideale a~ auftreten. Dann abet wird a~ ~ (d), und die Kette bricht mit a~ ab.

Aus dem zutetzt gewonnenen Ergebnis und aus Hflfssatz 1 folgt leicht:

S a t z 1. ~'i~r ]edez Ideal a aus R gilt eine Gleichung

wobei die Pi teller]female Primideale bedeuten.

Da in einem zerlegbaren Ring zwei verschiedene Primideale stets teilerfremd sind, so brauchen wit nur zu zeigen, dal~ sich jedes Ideal a als Produkt von Primidealen darstellen l~l~t, dann ergibt sich dutch Zu- sammenfassung gleicher Faktoren die Behauptung.

Sollte nun a nicht als Produkt endlich vieler Primideale darstellbar sein, so miil~te nach Hilfssatz 1 sicher eine Gleichung a = a 1 .a e bestehen, wobei a~ und ~ echte Teiler von a w r e n (denn jedes Ideal ohne yon o verschiedenen echten Teiler ist ja evidenterweise selbst Primideal). al und ae kSnnen nun nicht beide als Produkt endlich vieler Primideale darstellbar sein, denn sonst g~lte ja wegen a-----a~.~ das gleiche von a. Ist nun a~ nicht als Produkt endlich vieler Primideale darstellbar, so haben wir eine Gleiehung a~ = a ~ . a ~ , wobei, wie aus den vorhin bei a angewandten Schliissen folgt, bei geeigneter Bezeiehnung all einen nieht als Produkt von endlich viel Primidealen darstellbaren echten Teiler von a~ bedeutet. Indem man jetzt auf al~ dieselbe Schhl3weise anwendet, wie friiher auf a und a~ usw., erkennt man, dal~ jedes Ideal a aus R als Produkt endlich vieler Primideale darstellbar sein mul~, weil es ander~alls in R eine ins Unendliche laufende eehte Teilerkette a, a~, a~, . . . g~be.

Da in einem zerlegbaren Ring nach den in A. I I gewonnenen allgemeinen Resultaten 9) ein Ideal q dann und nut dann Prim~rideal ist, wenn

~) A. II. w 2. s) Vgl. N. w 1 S. 30, wo der entsprechende Satz unter der aUgemeineren Vor.

bewiesen ist, dab jedes Ideal aus R eine endliche Basis besitzt. ~) VgL a. II.

188 W. Kr~l .

es dureh ein einziges (von o verschiedenes) Primideal teilbar ist, so kSnnert wir aus Satz 1 unmittelbar folgern:

S a tz 2. Die Potenzen der Primideale, und nut die,e, sind in R Priradrideale lo).

Die Produktzerlegung a ~ p ~ l . p ~ . . . . . p ~ ist also mit der Produkt- zerlegung a - - q i " % " . . . "Oo, die wir oben au] Grund der allgemeinen Er- gebnisse yon A. II einge/iihrt haben, identisch, d .h . e, ist bei geeigneter

Numerierung p~i= qi ( i = 1, 2, . . . , o) . Dabei sind die Exponenten Q~.

eindeutig bestimmt, /alls man sie stets so klein wdhlt, daft ~ ~-1 e~ + p~ wird.

Aus Satz 1 und 2 geht hervor, daft die durch Axiom I und II charakterisierten zerlegbaren Ringe mit den yon Herrn Fraenkel behandelten ,,zerlegbaren Ringen mit endlich viel *we*entlich verschiedenen Nullteilern" identisch sind.

Sind a~ und a e zwei Basiselemente desselben Ideals ~ wir wollen a~ und a~ in diesem Fall iiquivalent nennen - - , so unterseheiden sich a 1 und a~ nach den allgemeinen Ergebnissen yon A. II bzw. F. nur um einen Ein- heitsfaktor. Bezeiehnen wir jedes Basiselement eines Primideals als ,,Prim- teiler" (der Null), so kSnnen wir daher sagen: Die zerlegbaren Ringe sind die]enigen Ringbereiche, in denen es nut Nullteiler und Einheiten gibt, und in denen sich ]edes Element bis au/ Einheits/aktoren eindeutig als Produkt yon Primteilern darstellen ldfit. Von dieser Definition der zerlegbaren Ringe kann man ausgehen, falls man die Idealtheorie ver- meiden will.

Die speziellen Ringe, auI die man einen allgemeinen zerlegbaren Ring zurfickfiihren kann, sind, wie aus den Ergebnissen des zweiten Tells bzw. der Fraenkelschen Arbeit folgt, und wie man iib~igens aueh Ieieht mit Hilfe der S/itze 1 und 2 zeigen kann, ebenfalls zerlegbar, und zwar bestehen die siimtlichen yore Einheitsideal verschiedenen Ideale eines speziellen zerlegbaren Rings aus dem Nullteilerprimideal p * = (p) und dessen Po-

tenzen p . 2 = (p~.), . .- , p,e___ (pC)= (0). ~) Es ist somit bei den speziellen zerlegbaren Ringen eine noch viel weitergehende Analogie mit dem Rest-

.-klassensystem nach einer Primzahlpotenz vorhanden, als wie wit sie bei ' dem im ersten Tell behandelten umfassenderen Fall fanden.

~0) Man beaehte, dab gleiehzeitig mit p such jede Potenz yon p zu allen yon p verschiedenen Primidealen teilerfremd ist!

~1) Vgl. den Hilfssatz yon A. II w 2, sowie F. w 4 Satz 7. (Nach der bei F. gegebenen Definition sind ja die bei F. als ,einfaeh", hier als ,speziell" bezeiehneten zerlegbaren Ringe im wesentlichen dureh die eben formulierte Eigensehaft der Ideale eharakterisiert.)

Algebraische Theorie der Ringe. IlL 189

Die wichtigsten Beispiele ffir zerlegbare Ringe sind neben den Rest- klassensystemen nach einer natfir]ichen Zahl die Restklassensysteme naeh einem Ideal eines algebraischen ZahlkSrpers. Wir werden auf das letztere Beispiel in w 4 bei Behandlung der endlichen zerlegbaren Ringe zuriick- kommen.

w

Polynomideale in speziellen zerlegbaren Ringen.

Es sei /~ ein beliebiger spezieller zerlegbarer Ring. Mit p* bezeiehnen wir gemgl3 der bereits in w 1 benutzten Terminologie sein Nullteilerprimideal, unter p wollen wit stets einen Primteiler, also ein Basiselement von p*, verstehen. Da nach einer in w 1 gemachten Bemerkung die Ideale

o, p *, p * o, . . . , p . e = (0) die einzigen in R vor]commenden Ideale sin& so gd/3t sich ]edes Element aus R in der Form a - ~ r . p ~ darstellen, wobei r eine Einheit bedeutet. Dabei ist der Exponent a /iir a :~ 0 eindeutig bestimmt.

Die Theorie der algebraischen und transzendenten Erweiterungen eines speziellen zerlegbaren Ringes lgBt sich nun z. T. wesentlich einfacher ge- stalten, z.T. betrgchtlich welter ausbauen, als es im allgemeinen mSglich gewesen war, und zwar ist einer der Grfinde der, daB, wie in diesem Paragraphen gezeigt werden soil, in unserm SonderfaI1 ein tieferer Einblick in die Natur des zu R gehSrigen Polynomrings Rf mSglich ist.

Es sollen zundchst die Ideale aus R f untersucht werden. Unter Of* wollen wit in iiblicher Weise das aus allen Nullteilern bestehende Prim- ideal verstehen.. Die Ideale p~i (i = 1, 2 , . . . , ~) sind dann (ebenso wie die Ideale O *9 aus R) Hauptideale, denn es ist p ~ = (p~). Es sei jetzt a ein beliebiges regulgres oder nicht regulgres Ideal aus Rf. Wir betrachten die Reihe deroldeale a = a o = a -p*~ a 1 ---- a -p* ; % ---- a : p *~ usw. Nach der Definition des Idealquotienten 1~) ist a i der grSl]te gemeinschaftliche Teiler aller derjenigen Ideale 5, fiir die die Kongruenz 5 . p * ~ - - 0 ( a ) g i l t , und es stellt daher ai+ 1 einen (echten oder uneehten) Teller von a t dar.

,~o Wegen a ' p = a ' ( 0 ) = (r~) kommt in der Reihe ao, a~, . . . , a e sicher ein reguliixes Ideal vor.

Satz 3. Ist 2 die ldeinste natiirliche Zahl, /iir die a:~ reguldr ist, ,so gilt die Gleichung a ~- a;. . p* ~"

Es ist wegen az.p*; '~ 0(a) nut naehzuweisen, dab aueh umgekehrt die Kongruenz a ~ 0 ( a ; . p *~') gilt. Das ist abet unter unsern Voraus- setzungen fiber ,t trivial, denn es mul~ jedes Element aus a die Gestalt

,a) Vgl. A. I w 1.

190 W. Krull,

a ( x ) - - p ~ . a ' ( x ) besitzen, wobei p;- dureh ~p*~ und a ' (x ) (lurch a~ teilbar ist, Satz 3 zeigt, dal~ sich in Rf d~e Theorie der nicht regul~ren Ideal~ auf die der regul/iren zuriictdiil~en 1/~Bt. Wir besch~ftigen tins daher in Zukunf~ im wesentlichen mit den regul~en Idealem

Sa t z 4. Jedes regulgre 1~) Ideal aus Rf besitzt eine endliche Basis, und zwar yon h6chstens ~ Elementen,

Bedeutet ndmlich f~( x) eine regul5re Funktion niedrigsten Grades au8 a~ (i ~ 0, 1 , . . . , ~ ) - 1), so gilt die Gleichung

(fo(Z), p" f l (z) , . . . , pe-l , fe_l(x))-~-a.

In der Tat, ist a(x) ein beliebiges Element aus a, so haben wit

a(x)--- bo(x) , fo(x)-J-p.a~ (x); al (x) -~ O(al), also

a ( x ) - ~ b o ( x ) . f o ( x ) + p . b ~ ( x ) . f ~ ( x ) - - ~ p ~ . a e ( x ) ; a : ( x ) ~ 0 ( ~ ) ; . . . ;

a(x)-~-bo(x) . fo(x)-~- . . . + pe-X.be_~(x).fe_~(x)-~-O.ae(x )

= Z b ~ ( x ) . f ~ ( x ) . p ~. i=O

Eine Basis der eben angegebenen Ar~, bei der das i ~, l - r e Glied das Produkt von i0 ~ mit einer regul/i, ren Funktion niedrigsten Grades aus a s ist, soll als Normalbasis von a bezeichnet werden. Besitzen nun die Funktionen niedrigsgen Grades aus a~ und ai+ 1 den gleichen Grad, so ist jede Funktion niedrigsten Grades aus a i auch eine solche aus a~+~, und daraus folgt unmittelbar, da~ unter diesen Umst/~nden alas i + 2-te Glied in einer Normalbasis yon a einfach weggelassen werden kann. Auf Grund dieser Tatsache kSnnen wit zu jedem Ideal a eine ,,gekiirzte Normalbasis"

a = (fo (x), 7J'~.f~ (x), p "1+'~. s (x), . . . , p"~+'~+"" +"o.f, (x))

konstruieren, bei der fi (x) eine Funktion niedrigsten Grades aus azl+~+ ... +.~ bedeutet, und bei der insbesondere der Grad yon f~(x) stets niedriger ist, als der yon 5 - , (x) ( i = 1, 2, . . . , a). Wit bemerken noch-

Ist g(x) Prim]unktion, und ist a ein zum Primideal

= = (g (2 ) , v ) ") geh6riges Primdrideal, bedeutet /erner ( fo ( x), p . f~ ( x) , p ~. f~ ( x ), . . . ) eine Normalbasis yon ~, so sind die l~unIctionen f~(x) sdmtlich zu p gehSrige Prindir/unlctionen oder Einheiten,

1~) Also wegen Satz 3 und wegen der Gleichung p*~ = (?~") auch jedes niehtregul~re. 14) Vgl. A.I w 6 Satz 11.

Algebraisehe Theorie der Ringe. III. 191

In der Tat, zunachst ist nach A. I w 6 Satz 12 jedenfal~ fo (x) eine zu p gehSrige Primii, rflmktion. Es sei nun (flit i >= 1) f~ (x) = h~ (x). h, (x), wobei h i (x) eine zu p gehSrige Primi~rfunktion oder eine Einheit bedeutet, wahrend h~(x) zu ~ teilerfremd ist. Dann ist neben p~.h~(x).h~(x) auch pi,.fo(X ) durch a teilbar, und daraus ergeben sich wegen der Teilerfremd- heir yon fo (x)und h~(x) die Kongruenzen p~.h~(x)~O(a) , h~(x)=-O(a~).

' D a nun f~ (x) eine Fun~ion niedrigsten Grades aus a i bedeutet, so mu$ h~(x) eine Einheit sein, d.h. f~(x) ist, wie behauptet, primar, und gehSrt zu p, oder es ist selbst Einheit. Wir kSnn_en in Anbetracht yon A. I w 6 Satz 12 das gewonnene Resultat aueh so formulieren:

Ist a prim6r, so sind auch die Ideale ai = a:P *~, soweit sie vom Einheitsideal verschieden sind, sdmtlich primdr und gehdren zum selben Primideal wie a. 15)

Fiir das Folgende wollen wir noch eine kurze Bemerkung machen.

Es sei ~ ein zum Primideal ~)~ (g(x) , p) gehSriges PrimSrideal, (g (x) ~ ~- q (x), p. fl (x) . . . ) sei eine Normalbasis yon a, und es sei # > 1, es mSge also a keine Prim/unktion enthalten. Wit /ragen uns, wann dann a dutch p~" teilbar ist.

Soll a dutch pz teilbar ~ sein, so darf f~ (x) keine Einheit sein, es mul~ also die Kongruenz f~ ( x ) ~ 0 (p) bestehen. Ist diese Bedingung erfiillt, so sind p. f~(x) , p~.f~(x), . . . sKmtlich durch p: teilbar, es dreht sich also nut noch um die Frage, wann g(x )~ '~ q(x) in p" enthalten ist. Soll die Kongruenz g ( x ) ~ q ( x ) _ ~ O ( p ~) bestehen, so mul~ um so mehr g ( z ) " + q ( x ) ~ O ( ( g ( x ) , p")) sein. Aus der letzteren Kongruenz folgt, dal~ q(x) die Gestalt q ( x ) = p .g (x ) .h (x ) -~ - p~ ) besitzen, also dutch p ~ = (g(x) ~, p.g(x) , p~) teilbar sein mu$. Wegen # > 1 ist dann auch g (x)" dutch p~ teilbar, es folgt also fiir # > 1 aus der Kongruenz g (x) ~+ q (x) ~ 0 ((g (x), p~')) riickwgrts die Kongruenz g (x) '~ + q (x) ~ 0 (p~) und daraus weiter a ~ 0(p~').

Das gewonnene Resultat formulieren wit mit Riicksicht auf das Folgende etwas spezieller aIs nStig so:

Es sei a ein zum reguldren Primideal p gehdriges Primdrideal, das weder eine Prim/unktion noch ein Element aus R, also insbesondere keinen Primteiler aus R enth61t, f ( x ) sei ein regul(ires Polynom niedrigsten Grades aus a, g (x ) sei eine beliebige Prim/unktion aus p. Dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung /iir die Teilbarkeit yon a dutch p~ das Bestehen der Kongruenz f ( x ) ~ O((g(x), p~)).

15) Dies Ergebnis kann auch als Spezialfall aus Satz 3 der Note yon W. Krull: FAn neuer Beweis fiir die Haupts~tze der allgemeinen Idealtheorie, Math. Annalen 90, S. 55-65 , abgeleitet werden.

192 W. Krull.

w

Regul~ire Erweiterungen spezieller zerlegbarer Ringe. Wir batten in A. I I w 7 einen speziellen Erweiterungsring ~ des

speziellen Ringes R -- wo St also auch wieder nur Nullteiler und Ein- heiten enth~It und das System aller Nullteiler ein Primideal bildet -- eine ~'egutdre Erweiterung yon R genannt, wenn St eine regul~re Modulbasis hinsiehtlieh R besitzt, d. h. wenn sieh aus It eine (endliche oder unend- lithe) Menge von Elementen %, % , . . . , at, . . . herausgreifen l&l]t, derart, dal~ fiir jedes Element a aus St eine eindeutig bestimmte Darstellung

-~- • a~a~. dutch endlich viele der a~ mit Koeffizienten a aus R gilt, wo-

bei insbesondere bei einem Nullteiler r ausschliel~lich Nullteiler aus R als Koeffizienten auftreten. Im Bereich der zerlegbaren Ringe gilt nun fiir reguls Erweiterungen folgender grundlegender Doppelsatz"

Sa tz 5. Jede reguldre Erweiterung It eines speziellen zerlegbaren Ringes R ist selbst wieder ein spezieller zerlegbarer Ring, und zwar ist ~eder Primteiler aus R auch in ~ Primteiler. Ist umgekehrt ~ ein spezieller zerlegbarer Erweiterungsring des speziellen zerlegbaren Ringes R und ist ein Primteiler aus R auch Primteiler in R, so ist St eine reguldre Erweiterung von R .

Der erste Teil unserer Behauptung folgt aus der Definition der regu-

l~ren Modulbasis einfach so" Es sei a = ~ a ~ ein beliebiges Element i = l

aus ~ , p sei ein beliebiger Primteiler aus R. Dann stellt jedes Element a i das Produ~=t einer Potenz von p mit einer Einheit aus R dar, und wir kSnnen daher 6 so bestimmen, dal~ ~ Gleichungen a~ = p".b~ (i = 1, 2, . . . , ,,) bestehen, wobei die b~ Elemente aus R und nicht ss Nullteiler

sind. Dann aber haben wit" et ~ - p ~ . ~ b i ~ und das Element ~b~et~ ~=1 i = 1

muB gems der Definition der reguls Erweiterung eine Einheit aus t t s i n . Es stellt also jedes Element aus St das Produkt einer Potenz von p mit einer Einheit dar, d. h. It ist ein spezieller zerlegbarer Ring mit dem Primteiler p.

Nehmen wit nun umgekehrt von vornherein an, da] It ein spezieller zerlegbarer Ring und p gleichzeitig in R uncl It Primteiler ist, so kSnnen wit zun~ehst folgendes bemerken- Sind ctie Elemente eta, e t , , . . . , ~ , . . . aus ~ linear unabh~ngig, d .h . besteht zwischen endlich vielen yon ihnen

keine Relation fl_~ ai a~. -~ 0 mit nicht s~mtlich verschwindenden Koeffizienten i = l z

aus R, so ist ein Element von de~ Form ~ aia~ nut dann Nullteiler, i = l

wenn s~mtliche a i Nullteiler sind.

Algebraisehe Theorie der Ringe. III. 193

In der Tat, soil ~" as r ein Nullteiler sein, so haben wir unter unsern i = l

Vor. ~ a~a~ = p~ fi; o > 0. Daraus folgt aber durch Multiplikation i = l

mit pe-~ =b 0" 16) ~ (:p~-~.a~J.a~ = pe. fi ~ 0. Wegen der linearen Un- i = l

abNingigkeit der a i folgt dann welter p e - ~ 0 ( i = 1, 2 , . . . , v), d .h . es miissen alle a~ dutch p~ teilbar, also gem~ig unserer Behauptung Null- teiler sein.

Sind nun die Elemente el, ~ , . . . , oz, , . . , hinsichtlich 17 linear un- abNingig, und ist a ein beliebiges Element aus B , so ist entweder ~ v o n

den ~ linear unabh~ingig, oder es besteh~ eine Kongruenz ~ ~ ~] a ~ ((p)). i = l

Soll n~mlich die Gesamtheit der Elemente eq, a~, . . . , ~ , . . . , ~ nicht linear unabh~ngig sein, so m u ] wegen der linearen UnabNingigkeit yon

Ir

~1, ~ , - . - , ~,, --- eine Gleichung Za~r + a . a = 0 mit yon 0 verschie- i = l

denem a bestehen. Is t nun p~ (a < 0) die hSchste in a~, ao . , . . . , a~, a aufgehende Potenz yon p, und setzen wir a i ~ p" .b i , a = p~ so folgt

aus unserer Gleichung die Kon~uenz ~ bi--a h + b . a ~ 0 (pe -~) . 1~) W~re

nun b ein Nullteiler, so miigge mindestens ein b~ eine Einheit sein, und

es w~re wegen 0 - a > 0 das Element ~ bias, dutch p teilbar und folg- i = l

lieh ein Nullteiler, was nach dem oben Festgestellten mit der linearen Unabh~ingigkeit von t~l, ~.,, . . . , ~ , , . . . im Widerspruch st~nde. Es mul~

mithin b eine Einheit sein, und wir haben ~ ~ ~ (b-l.b~).ez~, ((p)). i = 1

Mit Hilfe der beiden eben gemachten Bemerkungen sind wir nunmehr imstande, eine regul~re ]godulbasis yon / t hinsichtlich R zu konstruieren. Es seien a~, ~.~, . . . , ~ , . . . s~mtliche Elemente von /~ in einer beliebigen Wohlordnung~S). Nur wollen wir der Einfachheit halber ~1 als Einheit vorau~ssetzen. Wit zeigen dann durch transfinite Induktion" ~iir jedes kann man aus den Elementert a~ (i ~ �9 bzw. i < ~, falls � 9 1 nicht existiert) eine Teilmenge 9 ~ = {ao~ = ill, ao~ = fi~, . . . } linear unabhdngiger Elemente herausgreifen, derart, chaff ]edes a~ /i~r i ~ ~ bzw. i < �9 einer

$,

,Kongruenz ~ ~ ~ a~fi,, ((p)) geniigt. Dabei lcann insbesondere ~)~ stets i----1

is) Unter ~o verstehen wir immer den charakteristischen Exponenten von R, so dab ~e-1 :~ O; pe= 0 is~.

17) Man beachte, dag hier die Vor. benutzt wird, dab P einen Primteiler aus R 6edeutet !

~s) Falls v - 1 nicht existiert, entspricht der Ordnungszahl v kein'Element cr Mathematische Annalen. 92. 13

194 W. KrulL

so gewdhlt werden, daft ~ die sdmtlichen Mengen ~ 1 (~i ~ T) enth(ilt. In der Tat, fiix z " 1 ist ~r ~ - { a l } die gewiinschCe Menge, gibt es ferner fiir v - 1 eine Menge .~J~,_l, so kSnnen wir nach dem oben Festgestellten ~rJ~, __~ {~ff~,-1, er bzw. ~J~, = ~ , - 1 setzen, je nachdem ~ von den Elementen der Menge ~ r - ~ linear unabh~ngig ist oder nicht; und ist schlie~lich die Behauptung im Falle, dal~ � 9 1 nicht existiert, fiir alle ~1 ~ �9 richtig, so gilt sie auch fiir ~ = ~, denn man braucht flit ~0~, dann nur die Ver- einigungsmenge aller ~r~ (~i < z) zu w~hlen19).

Verstehen wit nun unter ~ ~ (fl~, f l~ , . . . , f i r , . . . } die Vereinigungs- menge allez ~ r , so sind die Elemente fir ersichtlich alle linear unabh~ingig,

und es kann daher, wie oben festgestellt, fl ~ Z aifl~ nur dann Nullteiler i = l

sein, wenn alle a i Nullteiler sind. Daraus/olgt, daft die Elemente fir eine regutgire Modulbasis yon t~ hinsichtlich R bilden, so/ern wir nut zeigeu kSnnen, daft sich ]edes Element aus 1~ linear dutch die fir darstellen ldflt. Das ergibt sich aber ohne Schwierigkeit aus dem in A. I I so oft benutzten ,,Korrektionsgiiederverfahren". In der Tat, ist r ein beliebiges Element aus ~ , so haben wir angesichts der Konstruktion der Menge ~ eine Glei-

( I ) ,~ ( i ) chung ~ = 2_jai p~ -~ p ' ~ Indem wir jetzt ~1 modulo p durch die fl~ i=1

?],)

ausdriicken, kommen wit welter zu einer Gleichung ~ --~ _~ a~-(")~#~)_ ~ ~- p~- a~

und nach o Schritten finden wit" r Z ~e) = a~ flr~e). Die Elemente fi~ bildea i=1

also wirklich eine reguli~re Modulbasis von /~ hinsiehtlich R, es gilt nicht nur der erste Tell yon Satz 5, sondern auch die Umkehrung.

Die liar Satz 5 wesentliche Bedingung, daft R und 1~ den gleichen Primteiler p besitzen, ist mit der Forderung identisch, da[3 der charal~- teristische Exponent ~' von t~ gleich dem charakteristischen Exponenten ~o yon R ist. In der Tat, ist p ' ein Primteiler aus/~, p ein solcher aus R , so ist p = r.p';', wobei r eine Einheit becleutet, und wegen pe-a~= 0; p e = 0 ergibt sieh daxaus fiir ~) die Ungleichung: (~)--1)-2 ~ ~ ' ~ ~-2. Daraus folgt, dab ~ dann und nur dann gleich ~o' ist, wenn die Gleichung 2 ~ 1 gilt, d .h . wenn p auch in / t Primteiler ist.

Auf Grund der gemachten Bemerkung kSnnen wir Satz 5 kurz so aussprechen:

Die reguldren Erweiterungen des speziellen zerlegbaren Ringes R sind die einzigen speziellen zerlegbaren Erweiterungsringe raft dem gleichen charakteristischen Exponenten.

19) Vgl. zu diesem Beweis den ganz analogen Beweis yon Satz 21, A. I I w 8!

Algebraische Theorie der Ringe. III. 195

Aus dem gewonnenen Ergebnis folgt insbesondere-

Ist R ein spezieller zerlegbarer Ring mit dem Primteiler p, so ist ]ede reguldr algebraische und transzendente Erweiterung 1~ ein spezieller zerlegbarer Ring mit dem gleichen Primteiler.

Denn die regular atgebraischen un4 transzendenten Erweiterangen besitzen ja, wie in A. I I w 7 gezeigt wurde, stets eine regul~re Modulbasis hinsichtlich des Ausgangsringes.

Zum Schlufi dieses Paxagraphen wollen wir noch einen Satz beweisen, aus dem hervorgeht, dab die in A. I und A. II gewonnenen Resultate bei zerlegbaren Ringen in wesentlich einfacherer Weise abgeleitet werden kSnnen, als es im umfassenden Fall mSglich wax. Wir zeigen nKmlich:

Sa tz 6. Ist et ein Element aus einer beliebigen, speziellen Erweite- rung des speziellen zerlegbaren Ringes R, so ist er "hinsichtlich R reguldr algebraisch, wenn es Nullstelle einer Prim/unktion aus t~f ist, es ist hinsichtlich R reguldr transzendent, wenn es Nullstelle keiner regulgiren .Funk- tion aus R[ ist.

Um den ersten TeiI unseres Satzes zu beweisen, miissen wit zeigen, dal~ r als Nullstelle yon g(x) keiner Gleichung von niedrigerem Grade als g (x) mit Koeffizienten aus R geniigen kann. In der Tat, ist a (x) ~ 0 eine solche Gleichung, so kSnnen wir a (x) auf die Gestalt a (x) = p.~- f (x) bringen, wobei f ( x ) eine regulgre Funktion yon niedrigerem Grade als g (x) bedeutet. Dann aber miissen f ( x ) u n d g(x) teilerfremd sein, und aus g(a) ~- 0, a ( a ) = 0 folgt p , ~ - 0, d.h. a(x ) muI~ identisch verschwin- d e n . - In ~ihnlicher Weise zeigen wir zum Beweise des zweiten Teiles unseres Satzes, dal] ~ notwendig Nullstelle eines regul~ren Polynoms sein muG, falls es iiberhaupt einer nicht identiseh bestehenden Gleichung mit Koeffizienten aus R geniigt. Ist nii, mhch a (a) -~ 0, so setzen wir wie oben a ( x ) = p ~ ' . f ( x ) , wobei f (x ) ein reguliires Polynom bedeutet. Sollte nun p.~ =~ 0 sein, so ist f (a) ein Nullteiler des Erweiterungsringes, dem a angehSrt. Da abet dieser Erweiterungsring nach Vor. speziell ist, so haben wit fiir eine gewisse natiirliche Zahl ~': f~ (~) ~ 0, d.h. a ist Null- stelle des regul~ren Polynoms f~~

Satz 6 konnte im umfassenden Fall nur unter der einschr~nkenden Vor. bewiesen werden, dal~ a einer reguliiren Erweiterung von R an- gehSrt. Man kSnnte nun vielleicht auf Grund des bier gewonnenen weiter- gehenden Resultats annehmen, dab sich etwa die Theorie der unvollkommenen zerlegbaxen Ringe wesentlich griindlicher ausbauen liege, als es im umfassenden Fall mSglich war. Da] dem nicht so ist, lehren die Gegenbeispiele, durch die wit in A. I und A. I I zeigten, daG man bei

13"

196 w. Krull.

unvollkommenen Ringen nieht zu den gteichen Isomorphiekriterien gelangen kann wie bei den vollkommenen; denn diese Gegenbeispiele sind dem Ge- biet der zerlegbaren Ringe entnommen.

Allgemeine einfache algebraische Erweiterungen zerlegbarer Ringe.

Wit stellen uns in diesem Paragraphen die Attfgabe, den allgemeinsten Fall ~u untersuchen, in dem wit yon dem speziellen zerlegbaren Ringe R dutch Adjunktion eines einzigen Elementes a wiederum zu einem speziellen zerlegbaren Ringe R (a) gelangen. Ohne Interesse ist die MSglichkeit, dab a Nullstelle yon iiberhaupt keiner Funktion aus Rf ist. Denn dann gelangen wir offenbar zu einer regul~ transzendenten Erweiterung von R, wenn wir die Gesamtheit aller rationalen Funktionen in a mit Koe~fizienten aus R bilden, bei denen das Nennerpolynom mindestens einen regul~en Koeffizienten besitzt.

Wir besch~iftigen uns daher in Zukunft nut mit den F~illen, in denen z~ Nullstelle mindestens eines Polynoms aus Rf ist -- es soll R (~) dann ats ~ ~ al.g~b.r_aisc]ae Erweiterung yon R bezeichnet werden. Die Gesamtheit der Polynome in x, die /iir x = e. verschwinden, bilden ein Ideal a aus Rf, und dieses Ideal muff, wie aus dem Satz 6 des vorangehenden Paragraphen ]olgt, mindestens eine regulate Funktion enthalten. Ferner ist ohne weiteres klar, dab in a kein von 0 verschiedenes Element aus R vorkommen kann, denn ein E]ement aus R soll ja in dem Erwei- terungsring/t nur dann verschwinden, wenn es bereits in R verschwindet. Schliefflich erkennt man leicht, daft das Ideal a primdr sein muff, ]alls R (a) ein spezieller zerlegbarer Ring sein soll.

W~ire n~imlich a nicht primer, so wi~re es das Produkt yon zwei teilerfremden Idealen a 1 und a~. Dann abet kSnnte man aus al und a~ zwei Funktionen f l ( x ) und f~(x) auswiihlen, die teilerfremd, und daher sicher nicht durch a teilbar w~iren. Es g/ibe mithin wegen fl ( x ) . fo (x ) -~ 0 (a) "and der daraus folgenden Gleichung fl(a).f~ ( r 0 in R ( a ) zwei teilerfremde Nullteiler, niimlich f~(a) und f:(~), R(~) wgre also sicher nieht speziell. AIs prim~ires Ideal mug a nach Ben Entwicklungen von w 2 eine gekiirzte Normalbasis

a--- (h(x) , p~'l.h 1 (x), pF'~+"'.h~. (x), . . . , p"~*~+" "+~'~

besitzen, wobei p einen Primteiler aus R bedeutet, und die Funktionen h(x)---- ho(x), h i ( x ) , . . . , h~(x) s~imtlich zum Primideal p = ( g ( x ) , p) ge-

Algebraische Theorie-der Ringe. III. 197

h6rige Prim~,rfimktionen sind ~o), mithin die Gestalt h , ( x ) = 1,(x).gi(x) besitzen.

Wir behandeln ztm~iehst den Fail, dab/~ = R (a) denselben ehara~te- ristisehen Exponenten wie R hat, und dab infolgedessen ein Primteiler p aus R aueh in ~ Primteiler ist. Aas den Entwieklungen yon w 3 kann man leieht sehliel3en, dal~ in diesem Falle /~ eine regular algebraiseho Erweiterung yon R darstellen mul3, man kann aber diese Tatsaehe aueh ohne die oben angestellt~n allgemeinen Uberlegungen eirffa~h so einsehen:

Da das Element g(a) offenbar in ~ ein ~ullteiler sein mul3, und da 79 aueh in ~ Primteilereigensehaft besitzen soll, so real3 eine Gleiehung p~ ' . f (a )=g(a ) bestehen, wobei f(a) ein regulates Element aus /~ bedeutet, und diese Gleichung ist mit der Kongruenz p~'. f(x)=_g(x) (a) identiseh, a enth~lt also die Primfunktion g ( x ) - p , - f ( x ) , und mug mit dem dutch diese Primfunktion erzeugten Ideale (g(x)) identiseh sein, weil andernfalls in ct entgegen unserer Voraussetzung ein yon 0 ver- sehiedenes Element aus R auftr~ite~l).

Der Ring ~ ist demnaeh dem Restklassensystem naeh einer Prim- funktion aus Rf isomorph, d.h. er ist eine einfaehe reg"aliire algebraisehe Erweiterung von R, und wit kSnnen den Satz ausspreehen:

Satz 7. Ist a nicht hinsichtlich R transzendent und ist R(a) ein spezieller zerlegbarer Ring mit den gleichen charakteristischen Expo- nenten wie R, so ist R(a) eine reguldr algebraische Erweiterung des Ringes R.

In einfacher Weise l~i~t sich die Frage nach der allgemeinsten algebraisehen Erweiterung noch in dem Falle beantworten, dab R ein KSrper ist, also den charakteristisehen Exponenten ~ = 1 besitzt. Hier hat jedes primate Ideal ct aus Rf die Gestalt (g(x)) e', wobei g (x) eine Primfunktion bedeutet, und man sieht unmittelbar, dal~ der dutch Adjunktion einer Nullstelle a von a entstehende Ring ~ = R (a) einen zerlegbaren Ring mit dem eharakteristisehen Exponenten ~' und dem Primteiler g(a) darstellt.

Satz 8. Die allgemeinste ein]ache algebraische Erweiterung, die yon einem KSrper R zu einem speziellen zerlegbaren Ring mit dem charakte. ristischen Exponenten ~' /iZhrt, entsteht aus R dutch Adjunktion einer Nullstelle der 0'-ten Potenz einer Prim/unktion g(x) aus Rf, d.h. sie ist zu dem Restklassensystem nach (g(x) e') isomorph.

~o) Man beaehte bier, dab die MSgliehkeit, dab eine der Ftmktionen h~ (x) eine Einheit ist, dutch die Voraussetzung, a solle kein Element aus R enthalten, aus- gesehlossen ist!

~) Man beachte, dab g(x) als Primfunktion zu jeder regul~ren Funktion nie- drigeren Grades teile~f~emd ist.

I98 W. Krull.

Wir betrachten jetzt den allgemeinen Fall, dab R einen yon 0 verschiedenen Primteiler p enthglt, der im Ringe ~ die Primteilereigenschaft verliert. Es sei dann p ' ein Primteiler aus ~. Als Nullteiler mul3 p' die Gestalt p'--~ g(a ). k (a)-+- p . /q (e c) besitzen, wobei wir k~ (a)von niedrigerem Grade als g(a)annehmen darien. Wiire ngmlich p ' = g ( e ) . k ( a ) q - r ( a ) , wobei r (a ) eine regulgre Funktion von niedrigerem Grade als g(x) bedeutet, so wiiren h(x)=l(x) .g(x)-Zr-q(x) und g ( x ) . k ( x ) - ~ r ( x ) teiler- Iremd. " . . . . . --' '

Zwischen p und p ' mul3 eine Gleichung yon der Form p. m (~) = p,z (i. > 1) bestehen, wobei m(a) ein regulgres Element aus ~ bedeutet. Aus diesem Grunde miissen m(x) und g(x) teilerfremd sein und m(x) besitzt daher die Form re ( x )= m~ ( x ) . g ( x ) + r(x), wobei r(x) eine regul~re Funktion bedeutet, deren Ordnung niedriger ist als der Grad yon g (x). Die zwischen p und p ' bestehende Gleichung ist identisch mit einer Kongruenz yon der Form

(1")

dabei bezeichnet F(x) .g(x) den durch g(x) teilbaren Bestandteil yon (k(x).g(x) q- p.k~ (x)) ~. Ist nun ~ dutch das Ideal (g(x), p"-) teilbar, so geht aus der Kongruenz (1) die Kongruenz

(2) - o ( (g

hervor, und daraus folgt welter wegen ~ > 1

(3) p . r ( z ) = o ((g(z),

Die Kongruenz ( 3 ) i s t aber unmSglich, well r(x) eine reguliire Funktion yon niedrigerem Grade als g(x) ist. Als notwendige Bedingung da/iir, daft ~ einen speziellen zerlegbaren Ring darstellt, ergibt sich also, daft das Ideal a und mithin nach einer oben gemachten Bemerkung alle dutch a teilbaren Funktionen niedrigsten Grades nicht durch das Ideal ( g ( x ) , foe), also auch nicht dutch gas Ideal ( g ( x ) , p) " teilbar sein diir/en.

Es ist nun zu untersuchen, wie weit diese Bedingung aueh hinreicht. Zuniichst betrachten wir den Fall, dab a = (h (x)) ein Hauptideal ist. Jeder Nullteiler" des Ringes ~ besitzt dann die Gestalt k(a).g(a) ~, p".r(a), :) wobei r(er eine regulgre Funktion von niedrigerem Grade als g(a) bedeutet, und umgekehrt ist jedes Element dieser Form ein Nullteiler. Der Beweis dieser Tatsache folgt mahelos daraus, dal~ h(x) eine zum Prim- ideal (g (x), p) geh6rige Primiirfunktion ist. Machen wit jetzt die An- nahme, dab h(x) nicht durch das Ideal (g(x), p') teilbar ist, so mug

-h(x) die Gestalt h ( x ) - ~ l ( x ) . g ( x ) - ~ q ( x ) besitzen, wobei q(x) yon niedrigerem Grade als g(x) und nicht dutch p'-" teilbar ist, d.h. wit

p l �9


haben q (x) = p . r 1 (x), wobei r 1 (x) eine reguliire Fanktion bedeutet, die yon niedrigerem Grade als g (x), und mithin zu g(x) und h (x) teilerfremd i s t . Da nun h(x) als Primi~rfunktion die Gestalt h ( x ) = e ( x ) . g ( x ) t ' . - ~ Q(x) "~ besitzen muB, so ergibt sich aus der Gleichung h ( a ) = 0 eine Gleichung yon der Form g(ez)~'-~p.e-~(cz).(F(a).g(a)~-r~(a)), und es mul~ F(cz).g(a)~-rl(cZ ) eine Einheit aus /~ sein, well, wie oben bemerkt, tt (x) und r~ (x), also auch h (x) und F (x).g (x) + r~ (x) teilerfremd sind. Daher gilt in /~ eine Gleichung p = g ( a ) ' . G ( r und jeder Null- teller aus ~ l ~ t sich als Produkt einer Einheit mit einer Potenz yon g(a) darstellen, d. h. t t ist ein spezieller zerlegbarer Ring mit dem Prim. teiler g(a). Es handelt sieh um die Bestimmung des zu ~ gehSrigen charakteristisehen Exponenten @q Jedenfalls ist g(a)~'e-~ 0, d.h. es ist Q'~t t -@. WSre aber @'~ #-o, so w~re wegen des Bestehens der Glei- chung p = g(ec)".G(a) such pn.g(cz)"2~---O, wenn man

+ < <

setzte. Das ist aber unmSglich, weil g ( x ) ~ . p "~ von niedrigerem Grade a]s h(x) und p'~ ~ 0 ist. Wenn also ~ das Restklassensystem nach einer Primdr/unktion darstellt, so ist sein charakteristischer Exponent dutch #. o gegeben.

Wir wenden uns jetzt zur Behandlung des allgemeinsten Falles. Die bisher angestellten Uberlegungen, durch die wir zeigten, dal~ ~t ein spezieller zerlegbarer Ring ist, falls a nicht durch (g(x), p)o. teilbar ist, lassen sich unmittelbar hierauf iibertragen. Wir haben noch zu unter- suehen, welchen Beschriinkungen das Ideal a dadurch unterworfen ist, dal3 wir fordern, es solle keine Elemente aus R enthalten. Zu diesem Zwecke betrachten wit eine gekiirzte Normalbasis yon a:

(4) a ~- (h (x), p,",-h~ (x), pt, l+,,,,.h, ( x ) . . . j .

Dabei diirfen wir annehmen, dab in (4) allgemein #i > 0 ist, und die h~ (x) zur Primfunktion g (x) gehSrige Prim~rfunktionen von dab

niedrigerem Grade als h(x) bedeuten: ~" Ist h~(x)=g(x)"--k q~ (x) (,~ > ~,), so besteht infolge der speziellen Gestalt yon h(x) eine Kongruenz yon der Form

(5) (x) =- (x) + g(x)" ((h (x))).

(Man beachte, dab nach den fiir den Fall a = (h(x))angestell ten Dberlegungen eine Kongmenz p -- g(x) ~" .G(x) ((h(x))) gelten mu$.)

Da nun die Funktionen h(x) und g(x)U-'.]cl(x)--~-r~ teilerfremd sind, so gibt es eine reguls Funktion k:(x) , die der Kongraenz k 2 (x)- hi (x) ~ g (x)" ((h (x))) Geniige leistet. Man kann also in der

[r

200 W. Krull.

Basis von a die Funktion p~" .h l (x ) dutch p ' l . g ( x )~ ersetzen. Ferner muJ~ / ~ 1 ~ - - 1 sein; denn aus der Gleiehung p ~ ' . g ( a ) ~ O folgt p " ' . g ( a ) ~ = O und wegen des Bestehens der Gleichung h ( r ergibt sich kieraus wegen der Gleichheit der Ideale (p) und (g(~)~)die Glei- chung p~1+1 = 0. Es ist also gem~l~ unserer Behauptung entweder #1 = ~, und dann ist a ein Hauptideal, oder es ist ~ = o - 1, und a besitz~ die Basis (h(x) , pe- l .g (x )~) (0 < r </~) . Im Ietzteren Falle ist der charakteristische Exponent yon /~ dutch ~ ' ~ Z . ( ~ - 1 ) ~ ~ gegeben. Das Ge- samtresultat unserer Untersuchung iiber nicht regul~re algebraisehe Er- weiterungen spezielIer zerlegbarer Ringe fassen wit unter Beachtung der

:Bemerkungvom S ~ h l ~ s e ~ o ~ w dem folgenden Satze zusammen:

Satz 9. Die allgemeinste ein]ache algebraische Erweiterung, die von dem speziellen zerlegbaren Ring R mit dem charakteristischen Exponenten e ~ 2 zu einem gleich]alls zerlegbaren speziellen Ringe R /iihrt und die Eigenscha/t besitzt, daft alle in R verschiedenen Elemente auch in 1~ ver. schieden sind, besteht aus den Restklassen aller Polynome einer Variablen a mit Koe]/izienten aus R nach einem nicht dutch das Quadrat seines Primideals teilbaren Primdrideal a~von der Form ( g ( x ) ~ -~- q ( x ) , p e-1 g (x)~), wobei g (x ) eine Prim/unktion aus dem zu a gehdrigen Primideal bedeutet, und die Ungleichung 0 < ~ ~ /~ besteht. Die niedrigste Potenz, /iir die der Primteiler p ' = g (a) aus 1~ verschwindet, ist ~ ' = #( ~ -- 1) -[- ~.~-~')

Eine spezielle Folgerung aus dem eben formulierten Theorem ist nachstehender Satz, der in einem Spezialfalle bereits yon Herrn Fraenkel bewiesen wurde ~"a).

Satz 10. Ist R e i n spezieller zerlegbarer Ring mit dem Exponenten - - 2 , so ist ]edes Restklassensystem navh einer irreduziblen Funktion

aus Rf gleich/alls ein spezieller zerlegbarer Ring.

In der Tat, aui jeden Fall mul~ eine irzeduzibIe Funktion Primhr- flmktion sein. Unter unseren Voraussetzungen ist abet ferner diese Prim~ir- flmktion entwecler eine Primfunktion, oder sie geniig~ der in Satz 8 ge- iorderten Beclingung, well man sonst yon ihr eine Primfunktion als Faktor abspalten kSnnte. Wit bemerken noeh:

Das Restklassensystem nach einer reduziblen Primdr/unktion ist nie ein spezieller zerlegbarer Ring, wenn der Ausgangsring kein Kgrper ist.

Ist n~mlich h ( x ) = ( g ( x ) * ' + q ~ ( x ) ) . ( g ( x ) " ~ + q ~ ( x ) ) , so sind beide Faktoren (lurch (g (x), p) und folglich h (x) dutch (g (x), p) ~ teilbar.

~) Besitzt das Ideal a eine eingliedrige Basis, so ist ~, =/~ zu setzen! ~) Uber gewisse Teilbereiche und Erweiterungen yon Ringen. Leipzig b. Teubner

(1916), S. 57.

Algebraische Theorie der Ringe. III. 20I

w

Fortgesetzte Betrachtung der aUgemeinen algebraischen Erweiterungen,

Wir wollen nun die allgemeinen algebraischen Erwei~erungen noch etwas eingehender untersuchen. Dabei miissen wit uns, wie dutch ein Bei- spiel gezeigt werden soll, um zu befriedigenden Ergebnissen zu kommen, ~,hnlich wie in A. I w 10 auf vollkonamene Ringe beschri~nken.

Satz 11. Ist ~ eine allgemeine ein/ache algebraische Erweiterung des vollkommenen Ringes R, so kSnnen wir zwischen R und ~ einen Ring R derart einschalten, daft R eine reguldr algebraische Erweiterung yon R darstellt, wdhrend ~ aus R ein/ach dutch Adjunktion eines neuen Primteilers (also dutch Adjunktipn einer Nullstelle eines ~ zum Prim- ideal ( x, p *) geh5rigen PrimideaTs~ ~ entsteht.

Ist umgekehrt R eine reguliir algebraische Erweiterung yon R und entsteht ~ aus ~ durch Adjunktion ei~tes neuen Primteilers, so kann als ein/ache allgemeine algebraische Erweiterung yon R au/ge/afit werden.

Es sei ~ ~- R (a), wobei ~ eine Nullstelle des zum Primideal (g(x), p*) gehSrigen Prim~rideals a bedeuten mSge. Dann ist g(a) ein Nullteiler aus ~ , den ~ir mit ~ bezeichnen wollen, es ist mithin a lqullstelle der Funktion g ( x ) - - ~ aus ~f . Es bezeichne nun K den dem Ringe R,

den dem Ringe ~ im Sinne yon A. I w 6 zugeordneten KSrper'~), (x) bedeute das den modulo ~* kongruenten Funktionen g (x) und

g ( x ) - - p zugeordnete Polynom aus Kf. y(x) ist in Kf irreduzibel und mu$ wegen der Vollkommenheit yon K im KSrper K, der eine algebraisehe Erweiterung yon K darstellt, in lauter teilerfremde irreduzible Fak- toren zerfallen. Daraus ergib~ sich naeh A. I w 7, da$ die Funktionen g (x) und g ( x ) - - ~ in Kf in teilerfremde Primfunktionen zeffallen miissen, und zwar miissen bei geeigne~er Zuordnung entspreehende Primfunktionen der beiden Zerlegungen modulo Of* kongruent sein. Daraus ergibt sich, da$ g(x) in _~ eine m i t a modulo ~* kongruente Nullstelle a ' besitzen mu$. g' ist nach Satz 6 hinsiehtlieh R regular algebraisch, der Ring _~ = R(a ' ) s~ellt eine reguli~re Erwei~erung yon R dar, und wegen der Kongruenz a ~ a_' (~*) ist den Ringen R und /~ derselbe K~irper K zugeordnet, d.h. ~ enth~l~ aus jeder Klasse modulo p*_kongruenter Ele- men~e yon ~ mindes~ens eines. Adjungieren wit nun zu R einen beliebigen Primteiler p aus R, so kommen wit zu einem Bereiche /~', dem ers~ens der KSrper K zugeordnet is~, und der zweiSens aus ~eder Klasse ~iqui- valenter Prim~eiler yon ~ mindestens einen Vertreter enth~lt. Aus diesen

~4) Also den Ki~rper, der aus /~ bzw. ~ dadurch entsteht, dab man aUe Null- teiler dem Nullelement gleichsetzt.

202 W. KrulI.

beiden Tatsachen ergibt sieh aber, naeh dem in A. I und A. I I hiiufig benutzten ,,Korrektionsgliedergerfahren',2~), die Identitiit yon ~ und B ' , und hiermit ist der erste Tell von Satz 11 bewiesen.

Zum Beweis des Sehlusses nehmen wir an, es sei a ein Element, durch dessen Adjunktion 1~ aus R entsteht, wiihrend /5 einen Primteiler aus /~ bedeuten mSge. Dann ist /~-----R(a+/5). Sicher enth/ilt niimlieh R(a + To) aus jeder Klasse modulo ~* kongruenter Elemente yon B mindestens einen Vertreter. Wit haben also, wie genau wie oben aus dem Korrektionsgliederverfahren folgt, zum Beweise der Gleiehung ~ -= R (~ +/5) nut zu zeigen, dab R (a -+-/5) einen Primteiler aus ~ enthalten mug. Das ist aber der Fall, wit haben niimlieh nach der Taylorentwicklung"

+ + g , ( , ) +/59. = + / 5 . h (,)),

wobei g'(x) die formal gebildete Ableitung yon g(x) bedeutet. Wegen tier V211k ~ des Ringes R ist nun g'(x) zu g(x) teilerfremd, a n d es is t daher g'(a), also g ' (~) + / 5 . h(a) ein regul/ires Element aus 2 , es stellt mithin ~ . (g '(a) + / 5 - h ( a ) ) einen in R(a--t-/5) auitretenden Primteiler dar, und daraus folgt, wie oben bemerkt, die Gleiehung /~ = R (a + / 5 ) . Der Beweis yon Satz 14 ist hiermit abgesehlossen.

Wit wollen noch durch ein Gegenbeispiel zeigen, daft mindestens der erste Tell des Satzes /fir unvollkommene Ringe seine Gi~ltigkeit verliert. Es sei R = K:(t) der KSrper aller rationalen Funktionen yon t mit Koeffizienten modulo 2, und es sei welter _~---~ R(cr wobei a eine Null- stelle des Ideals ((x: -- t) ~ bedeutet. ' Dann enth~lt B kein hinsichtlich R regular algebraisches, yon den Elementen yon R selbst verschiedenes Element. Andernfalls raft/lie niimlich insbesondere in ~) ein Element fl-----]J t vorkommen, das der G l e i c h u n g _ ~ t ~ 0 geniigte"6), und dieses Element miil~te mit a modulo-p-* '~ - . . . . . . . . . . . . kongruent'~"sein~ well ja a modulo p* ebenfalls Nullstelle des Polynoms x ~ -- t i s t . Bedeutet abet q einen Null- teller, so haben wit wegen 2 - r ~ = 0 ; q ' = 0 stets ( a + q ) o - = = a ~ und wegen a ~ -- t + 0 kann daher ein Element fl v o n d e r gewiinschten Art in /~ nieht exis~ieren. Bei unvollkommenen Ringen ist es also mitunter unmSglieh, zwisehen R und /~ einen hinsichtlich R reguliir algebraisehen

Ring R so einzusehalten, dal~/~ aus R durch Adjunktion eines Primteilers entsteht, Satz 11 verliert seine Giiltigkeit.

Wit wenden uns wieder zu vollkominenen Ringen. Der Ring ~ soll als eine allgemeine endliche algebraische Erweiterung des Ringes R be-

~) Vgl. die Anmerkung bei w 6, wo noehmals yon der hier benutz~n SehluB- weise Gebrauch gemaeh~ wird.

as) Dies folg~ einfaeh daraus, dug tier dem Ringe 2~ zugeordnete K6rper K aus 1~ = K dutch Adjunktion yon ~ entsteht.

$

Algebraisehe Theorie tier Ringe. III. 203 I

zeichnet werden, w e n n / t aus R durch sukzessive Ausfiikrung yon endlich vielen allgemeinen einfachen algebraischen Erweiterungen entsteht. Dann gil~

Sa tz 12. Jede altgemeine endtiche algebraische Erweiterung eines vollkommenen zerlegbaren Ringes ist ein]ach.

Es sei R der Ausgangs-, /~ der Erweiterungsring. Dana geniigt es nach dem letzten Teil yon Satz 11 zum Beweise yon Satz 12, wenn wir zeigen, dab sich zwischen R und 1~ ein Erweiterungsring R so einschalten 1/iBt, dab _~ eine einfache regul/~r algebraische Erweiterung :con R darstellt, w~hrend /~ aus R durch Adjunktion eines Primteilers erzeugt werden kann. Wir fiihren den Beweis dieser Tatsache der Einfachheit halber fiir den Fall, dab ~ aus R dutch zweimalige al]gemeine algebraische Erweiterung entsteht. Die VeralIgemeinerung auf n-malige Erweiterung ist dann trivial. Es sei also R(1 )=R(~) ; /~ =R(1)(fl), wobei ~ ein hin-

.siv~lich R, fl ein hinsichtlich R (1) im allgemeinen Sinne algebraisches Element bedeutet. Dann kSnnen wir nach Satz 11 zwei Zwischenringe ~(1) und ~(e)so bestimmen, dal~ ~(1) hinsichtlich R, ~(~)= R'~(fl ') hinsichtlich R (I) regul/~r algebraisch ist, und da$ R (1) aus ~(1), ~ aus R(") jeweils durch Adjunktion eines Primteilers entsteht. Ist nun g (x) diejenige Prim- funktion aus R~ ~), deren Nullstelle fi' ist, so kann man eine zu g(x) modulo p~ kongruente Primfunktion g' (x) aus ~(1)f finden, da ja ~(~) aus

jeder Klasse modulo :p* kongruenter Elemente yon R (1) mindestens eines enth~lt. Wegen der Vollkommenheit von R (~) und ~(1)folgt nun nach bekannten Schliissen, dab es in ~("~) eine mit fl' modulo p* kongruente Nullstelle fi" von g' (x) gibt und da$ fi" hinsichtlich R(~)reguliir algebraisch

ist. Der Ring 2~= ~(l)(fl") ist mithin eine endliche regular aigebraische, also wegen der Vollkommenheit von R eine einfache regul~re Erweiterung yon R. Ferner ist dem Ringe R, wie leicht (etwa durch Gradabz~ihlung) einzusehen, derselbe KSrper zugeordnet wie dem Ringe R(2) und folglich wie dem .Ringe 1~. / t kann also aus R dutch Adjunktion eines Prim- tei]ers gewonnen werden. Hiermit ist, in Anbetracht von Satz 11, Satz 12 fiir eine zweifache Erweiterung bewiesen, und das Ergebnis l~iBt sich, wie sofort zu sehen, unmittelbar auf n-fache Erweiterungen iibertragen.

Mit dem zuletzt gewonnenen Resultat wollen wir die Betrachtung der allgemeinen endlichen Erweiterungen abschlieBen. Aus den S/itzen 11 und 12 folgt, dab man, um tiefer in die Natur dieser Erweiterungen einzudringen, sich jedenfalls auf das Studium von solchen Erweiterungs- ringen beschr/~nken darf, die aus dem Ausgangsring durch Adjunktion eines Primteilers entstehen; denn die regular algebraischen Erweiterungen eines vollkommenen Ringes warden ja bereits in A. I w 10 erschSpfend behandelt.

204 W. Krull.

Man kSnnte such noch allgemeine unendliche Erweiterungen in Be- tracht ziehen. Diese diirften in verschiedener Hinsicht von grol]em InSeresse sein, sie fiihren abet jedenfalls zu Bereichen, die keine zerlegbaren Ringe im Sinne von w 1 mehr sind. Das Studium der allgemeinen unendliehen Erweiterungen fKllt daher aus dem der vorliegenden Arbeit gesteckten Rahmen heraus.

w

Die endliehen zerlegbaren Binge.

Um s/~mtliche Typen yon endlichen zerlegbaren Ringen zu erhalten, geniigt es natiirlich, die Typen der speziellen zerlegbaren Ringe auf- zustellen, da man ja aus diesen nach der im zweiten Teil entwickelten Methott~. die ~llgemeinen al~leiten kann.

Was nun die speziellen zerlegbaren Ringe angeht, so ist zun/ichst zu bemerken, daft ]eder (endliche und nicht endliche),,Grundring ''~7) ~nen ~ zerlegbaren Ring darstellt. Denn ein Grundring entsteht ja aus dem in evidenter Weise zerlegbaren Ringe der Restklassen naeh einer Primzahl- potenz durch regul/iz algebrsisehe und transzendente Erweiterungen, ist also nach w 3 selbst zerlegbar, und zwar gibt es unter den Vielfachen des Einheitselements einen Primteiler des Grundringes.

Es handelt sich nun datum, zu untersuchen, wie ein beliebig gegebener spezielIer zerlegbarer Ring aus seinem Grundring entsteht. Er ist jedenfalls dann mjt seinem Grundring identisch, wenn im Grundring ein Prim- teller ~vorkommt; im anderen Falle kann er aus dem Grunclring du_rch Adjunktion eines Primteilers erzeugt werden. Ist n~mlich Rx ein Teil- bereich yon R, der den Grundring sowie einen Primteiler von R enth~lt, so enth~lt R 1 aus jeder Klasse modulo p* kongruenter Elemente sowie aus jeder Klasse ~luivalenter Nullteiler mindestens einen Vertreter und mul~ daher nach einer im ersten und zweiten Teile verschiedentlich angewandten SchluBweise mit R identisch seineS).

Es sei jetzt R ein yon seinem Grundring R (1) verschiedener, zerlegbarer Ring, p sei einer seiner Primteiler. Dann muB p hinsichtlieh R (~) algebraisch sein und die Adjunktion von p zu R r stellt daher eine der in den beiden vorangehenden Paragraphen besprochenen, allgemeinen algebraischen Erweiterungen dar. Die in w 4 und w 5 hergeleiteten S/itze kSnnen uns daher sofort zur Aufstellung eines Ttleorems fiber die endlichen zerlegbaren Ringe dienen. Wir haben nur die Tatsaehe zu beachten, dab ffir die in Satz 8 und Satz 9 auftretende P rimfunktion g(x) im vorliegenden Falle x gew/ihlt werden darf, da ja p der Gleichung pe = 0 geniigt.

~7) Zum Begriffe des Grundringes vgl. A. I I w 4 u. 6. ~s) Vgl. A. I w 10 S. 120, sowie A. II w 7.


S atz 13. Es sei R ein end!ieher, spezieller zerlegbarer Ring, p einer seiner Primteiler, @ sein charakteristischer Exponent, wdhrend Pound @o ]i~r den zugeh6rigen Grundring R (1) dieselbe Bedeutung haben. Dann sind ]olgende Fdlle m6glich"

a) ~o-----eo- In diesem Falle ist R (1) mit R identisch.

b) e ~- /~ ' (eo-- 1 )+~ , (n > 1; O < ~, ~ / z ) . In diesem Falleentsteht R aus R (~) dutch Ad]unktion yon p und das]enige Ideal~aus dem zu R (~) yehSrigen Funktionenring, dessen Nullstelle p ist, besitzt eine Basis yon der Form ( x ~ - q ( x ) , p3~ wobei q(x) /iir po=~O nicht durch p~ teilbar ist.

Ferner ergibt sich aus den Resultaten von w 5 folgender Satz, der in der Theorie der Ideale eines algebraischen ZahlkSrpers eine bedeutende Rolle spielt "29):

Sa tz 14. Jeder endliche spezielle zerlegbare Ring kann aus dem (aus de~,[iel]achen des Einheitselements bestehenden) Primring R (~ durch ein]ache'~gebraische Erweiterung gewonnen werden.

Satz 14 ist eine unmittelbare Folge des zweiten Teils von Satz 15. Denn der Grundring ist ja eine endliche regular algebraische Erweiterung des Primrings, w~hrend R selbst, wie eben festgestellt, aus seinem Grund- ring (lurch Adjunktion eines Primteilers entsteht.

Uber die Anzahl der Elemente eines endlichen speziellen zerlegbaren :Ringes gibt der folgende Satz Aufschlul~:

Satz 15. Ist ~ der charalcteristische Exponent des endtichen speziellen zerlegbaren Ringes R, und gibt es genau n ~ Klassen modulo p* inkon- yruenter Elemente aus R (~ Primzahl)a~ so enthdlt R genau z~~ Elemente, unter denen sich z ~ ~-") reguldre be/inden.

Es bedeute n~mlich p einen Primteiler aus R, S einen Bereich, der aus jeder Klasse modulo p* inkongruenter Elemente genau eines enth~lt. Dann erh~lt man alle Elemente aus R und jedes nut einmal, wenn man

alle Polynome vonder Form Z aipi mit Koeffizienten aus S betrachtet. i=O

e - 1 Ebenso lassen sich alle Nullteiler aus R eindeutig in der Form Z a~p ~

i = 1 darstellen.

~9) Vgl. z. B. Hilbert, Die Theorie der algebraischen Zahlkiirper. 5ahresbericht d. Deutschen Mathematikervereinigung 4 (1897), S. 193.

so) Die Anzahl der mod p* inkongruenten Elemente aus R ist sicher eine Prim- zahlpotenz, sie ist n~mlich gleich der Anzahl der Elemente des dem Ringe R zugeordneten endlichen KSrpers K.

206 W. Krutl.

Jedes regul~re Element aus dem endlichen speziellen zerlegbaren Ringe R geniigt der Gleichung x ~~ --r~ = 0. Doch hat dieses Analogon zum kleinen Fermatschen Satz keine tiefere Bedeutung, da die Funktion x ~'e(1-~-~j -- r~ nut dann Primfunktion ist, wenn R einen KSrper darstellt.

Bekanntlich sind zwei endliche KSrper isomorph, wenn sie dieselbe Elementeza~l besitzen. Entsprechendes gilt yon zwei Grundringen, die in der Anzaht ihrer Elemente und im charakteristischen Exponenten iibereinstimmen. Man kSnnte vermuten, dal~ bei den endlichen speziellen zerlegbaren Ringen die Verh~ltnisse genau so liegen wie bei den Grundringen. Da]3 dem abet night so ist, zeigt, das folgende Beispiel.

i Als Grundrin~ w~hlen wit" das Restklassensystem modulo 8, und erzeugen aus diesem Grundring dutch Adjunktion yon ]/2 bzw. }'6-zwei

i spezielle zerlegbare Ringe R1 und R 2 mit den Primteilern ~2 bzw. ~6. W~re ~nun R 1 zu R~ isomorph, so miil~te R 1 neben ]/2-auch ]/6 enthalten. Das : kann abet nicht sein, denn sonst k~me in R~ -- da ]/2 und ~'6 Primteiler

sind, sich also nur um eine Einheit unterscheiden kSnnen a-~'-- auch ~]J6 "}2 = ]/3 vor, und das ist, wie leicht einzusehen, unmSglich, well der .Grundring }3 nicht enth~lt, da ja 3 quadratischer Nichtrest nach 8 ist. R~ und R~ sind daher nicht isomorph, trotzdem sie in der Elementezahl und im charakteristischen Exponenten iibereinstimmen.

Als Beispiel /iir einen endlichen zerlegbaren Ring m6ge das System S der Restklassen nach einem beliebigen ldeale 91 aus einem algebraischen Zahlkdrper betrachtet werden. Zun~chst haben wir uns zu iiberzeugen, dab S tats~chlich einen zerlegbaren Ring darstellt. Das ist der Fall, denn:

1. S ist ein kommutativer Ring mit Einheitselement.

2. S enthiilt nur endlich viele Elemente, we i l e s nach 9I nut endlich viele Restklassen gibt. Jedes Element aus S ist daher nach den Ergeb- nissen yon Teil I I 3~) entweder Einheit oder Nultteiler.

3. In S ist ]edes Ideal ein Hauptideal, denn nach einem bekannten Satz wird in einem algebraischen ZahlkSrper modulo einem /esten Ideale ]edes andere zum Hauptideal.

CF

Es sei jetzt 91 = ] / ~ * , wobei die ~ Primideale bedeuten, dann ist i = l

eine beliebige Restklasse aus S ein Nullteiler, wenn einer, und folglich jeder ihrer Repr~sentanten dutch eines der Ideale ~, teilbar ist, im andern Fall ist die Restklasse eine Einheit. Zwei Restklassen sind dann und nut dann teilerffemd, wenn nicht die Repr~sentanten yon beiden gleichzeitig dutch eines der Ideale ~ teitbar sind. Aus diesen Tatsachen ergibt sick

3~) VgI. A. II w 4.

Algebraische Theorie der Ringe. IIL 207

leicht, daft die speziellen zerlegbaren Ringe, au] die man S zur~ck]iihrer~ ]cann, durch die Restklassensysteme nach ~ ' , ? ~ , . . . , ? ~ dargestellt werden.

Wir betrachten also das Restklassensystem R nach der ~-ten Potenz eines Primideals ~ Offenbar ist ~ der eharakteristische Exponent yon R und ein Element p aus R ist dann und nur dann Primteiler, wenn seine Repr~sentanten dutch ~ , aber nicht dutch ~" teilbar sind. Um nun zu ermitteln, welcher der in Satz 13 eharakterisierten Typen dutch R da~- gestellt wiM, beachten wir, dab es eine natiirliche Ringzahl n gibt, die dutch ~ teilbar ist, und zwar mSge z _ = 0 ( ~ ) , n~_~_0(~ ~+1) sein. Die durch ~ repr~isentierte Restklasse bezeichnen wir mit Po- Sie stellt sicher

�9 (1) h emen Primteiler in dem zu R gehSrigen Grundring R dar. Je nac dem Verhgltnis der Zahlen /~ und e ergeben sich u_us folgende F~lle (mit eo wird der charakteristische Exponent yon R (1) bezeichnet):

a) # ~ 1. In diesem Falle ist R mit seinem Grundring R c~) identisch, denn Po stellt einen Primteiler sowohl in R (1) als auch in R dar.

b) # > 1. (Dieser Fall tritt bekanntlich dann und nut dann ein, wenn ~ in der Dis~riminante des algebraischen ZahlkSrpers, dem es ent. nommen ist, au/geht.) Setzt man e = # (eo -- 1) -~- r (0 < r s so ist dutch diese Gleichung o~o eindeutig, bestimmt, und es stellt den charaIcte-

R (1) ristischen Exponenten yon dar, wie man sofort erkennt, wenn man sich iiberlegt, welche Potenz yon a unter unsern Voraussetzungen durch ~e teilbar wird, also verschwindet. -- R entsteht aus R r dutch Ad]unktion yon p und ?~,ist Nullstelle eines ldeal[ ' (x ,~ -~ q(x) , p~o-1 x ~ ) aus R 2 ) .

Da es stets Primideale ~ gibt, die in der Diskriminante ihres Zahl- kSrpers, also in ihrer PrimzahI ~ in einer hSheren als der ersten Potenz aufgehen, so lassen sich, wie man aus der eben durchgefiihrten Diskussion erkennt, Beispiele fiir alle die in Satz 11 aufgezghlten Fi~lle bereits unter den Restklassensystemen nach Potenzen yon Primidealen aus algebraischen~ ZahlkSrpem finden, der altgemeinste endliche zerlegbare Ring ist also nicht wesentlich komplizierter gebaut als das Restklassensystem nach einem geeignet gewi~hlten algebraischen Ideal. Mit dem eben Festgestellten ist aber noeh nicht nachgewiesen, da~ sich jeder endliche zerlegbare Ring durch ein derartiges Restklassensystem verkSrpern li~i~t. Um fiber die MSglichkeit oder UnmSglichkeit einer solchen Darstellung entscheiden zt~ kSnnen, miil~te man zungchst folgendes zahlentheoretisehe Problem 15sen:

Es seien ~1, ~.~, . . . , ~ beliebige untereinander verschiedene Prim- zahlen, (~ , # ~ (i ~ 1, 2, .~ n; Ir -~- 1, 2, . . . , m~) seien beliebige nati~r- liche Zahlen. Gibt es dann stets einen atgebraischen Zahlkgrper, in dem

~8 T I- OD I~ ~ k /iir die Primzahlen ~ eine Zerlegung ~ - - - ~ . ~ .~.~ gilt, wobei die

k=l "

208 W. Krun.

~:~zueinander und zu ~ teller/female Primideale bedeuten, und wobei

insbesondere das Restklassensystem nach dem Primideal ?~i~ genau ~.'~ verschiedene Elemente enthdlt ?*) Lgl~t sich die aufgeworfene Frage bejahen, so ist damit folgendes gezeigt-

Es seien ui ( i = 1, 2 , . . . , n) beliebige, verschiedene nati~rliche Prim- ahZ , ( i = 1, 2, . . . , k = 1; 2, . . . , seien beliebige natiirliche Zahlen. Dann ldfit sich stets ein algebraisches Ideal 9X bestimmen, so daft das Restklassensystem nach 9I einen endlichen zer-

f~

~egbaren Ring S bildet, der sich als Summe yon Z m~ speziellen Ringen i = 1

R Cik) (i = 1, 2 , . . . , n; k = 1, 2 , . . . , mi) darstellen 15fit, wobei R (i~) den

vharakteristischen Exponenten ~i~ und einen Grundring mit zt[ .ik ver- achiedenen Elementen und mit dem Grundringexponenten ~o) besitzt. i k

Bestimmt man ngmlieh ~k so, dal~ die Gleichung ~

{ ,-~ {0) (0 < =_<

besteht, und sucht man dann einen algebraischen ZahlkSrper auf, in dem die Primzahlen si in der oben angegebenen Weise in Idealfaktoren zerfallen, so stellt nach dem friiher gewonnenen Ergebnis das Restklassen-

system naeh /~ ]-/ ~io~ * den gewiinschten Ring S dar. i = l k = l

Wgre nun ein endlicher spezieller Ring dutch Grundring und charakteristischen Exponenten eindeutig bestimmt, so wgre mit der LSsung des oben formulierten zahlentheoretischen Problems die aufgeworfene Frage erledigt. Da abet, wie gezeigt, zu gegebenem Grundring und charakte- ristisehem Exponenten mitunter mehrere wesentlich verschiedene Ringe existieren, so sind zur vollen Erledigung des vorgelegten Problems noch andere zahlentheoretische Untersuchungen als die oben angegebenen nStig. Hier geniigt es, auf den ganzen Fragenkomplex nur hinzuweisen. Denn mit Hilfe yon Satz 13 beherrschen wir den Aufbau eines endlichen zerlegbaren Ringes vollstgndig, wit brauehen daher zur Typisie~ung dieser Be- reiche die Darstellung durch das Restklassensystem nach einem algebraischen Ideal gar nicht.

*) Vgl. die wghrend des Druekes ersehienene Abhandlung: ,Zur Theorie der •isensteinschen Gleichungen" yon Herrn Oynstein Ore (Math. Zeitsehrift 20, S. 267-280), in deren w 4 die hier aufgeworfene Frage f i i r n = 1 in bejahendem Sinne beant- wortet ist.

Algebraische Theorie der Ringe. IIL 209

' w

Typisierung der allgemeinen vollkommenen zerlegbaren Ringe.

Zum ibsehlul3 der vorliegenden Arbeit sollen noeh einige Be- merktmgen fiber die Typisierung yon beliebigen voltkommenen zerlegbaren Ringen gemacht werden. Da bei einem vollkommenen Ringe die Existenz des Grun~ings naeh den Resultaten von ~k II feststeht, so kSnnen wit sagen:

Satz 13a. Jeder vollkommene zerlegbare Ring k~nn aus seinem Grundring in derselben Weise wie ein endlicher zerlegbarer Ring dutch allgemeine algebraische Erweiterung erzeugt werden.

Mit Hilfe von Satz 18a kSnnen wir den Aufbau der vollkommenen zerlegbaren Ringe in genau der gleichen Weise fibersehen wie den der endlichen Ringe.

Es sollen nun noeh einige weitergehende Untersuchungen angestellt werden, die sich vorwiegend auf alg~ebraisch abgeschlgssene. BSnge be- ziehen. Dabei wollen wir folgende Ausdrueks- und Schreibweise ge- brauchen:

Es sei R der gegebene Ring. Dann bezeiehnet R r seinen Grundring, 0 den charakteristischen Exponenten yon R , ~t) denjenigen yon R ~1), den ,,Grundringexponenten". Ist R m kein KSrper, gibt es also eine Prim- zahl ~, so dab das EIement x-r+ einen von Null versehiedenen Prim- teller aus R <a~ darstellt, so soll n als ,,kritische Primzahl" von R bezeiehnet werden. Ffir das Element ~-r , wollen wit alsdann stets die Sehreibweise P1 benutzen, wi~hrend p, p ' , . . . Primteiler aus R setbst bedeuten sollen, i l s ,,kritisehe Invariante" /~ des Ringes R bezeichnen wit sehlieNieh die durch die Gleiehung e = ( e l - + (0 < eindeutig bestimmte positive Zahl #.

Wir gehen jetzt zur Behandlung der Isomorphiefrage bei vollkommenen zerlegbaren Ringen fiber. Natfirlich ist, wie das im vorangehenden Paragraphen gegebene Beispiel zeigt, ein vollkommener Ring dutch Grundring und charakteristisehen Exponenten nieht eindeutig bestimmt. Doch sind zwei wichtige F/ille hervorzuheben, bei denen die Sache anders liegt.

Sa tz 16. Ein vollkommener zerlegbarer Ring, dessen Grundring ein Kdrper ist,'~ist dutch Grundring und charakteristischen Exponenten bis au] Isomorphie eindeutig bestimmt.

Der eben formulierte Satz ist beinahe trivial, da nach Satz 13a ein vollkommener Ring R, dessen Grundring R(1) ein K6rper ist, aus R m dutch Adjunk~ion einer NuLlstelIe des Ideals (x -~) entsteht. Zu einem interessanteren

Mathematische innalen . 92. :[4:

210 W. KrM1.

Falle gelangen wit, wenn wit algebraiseh abgeschlossene Ringe betraehten. Es ist natiirlich in Anbetracht yon Satz 16 nut tier Fall zu untersuchen, in dem tier Grundring kein KSrper ist.

S a tz 17. Es se5 R e i n algebraisch abgeschlossener zerlegbarer Ring. Dann ist R in ]olgenden •(illen dutch Grundring und charakteristischen Exponenten eindeutig bestimmt:

a) Wenn R (1) ein Kdrper ist.

fl) Wenn die kritische lnvariante # zur kritischen Primzahl ~r teile~'- ]remd ist.

7) Wenn e ~. ~t -~- 1; ~1 ---- 2 ist.

In allen iibrigen Fdllen kann man stets zwei nicht isomorphe Ringe mit gleichem Grundring und gleichem charakteristischen Exponenten an- geben.

a) ist bereits dutch Satz 16 erledigt. In den F~llea fl) and 7) fiihrt uns der Naehweis zum Ziel, da$ wir R stets aus R (~) durch Adjunktioa einer Nullstelle p des Ideals ( x ~ - - P l , x~'P~ 1-I) erhalten kSnnen, denn das angeschriebene Ideal ist ja nur vom Grundring und von der kritischen Invariante, also wegen des Zusammenhangs zwisehen # und 9 nu~ yon R (1) und von ~ abhiingig. Um das Element p in der gewiinschten Weise zu bestimmen, betrachte man einen beliebigen Primteiler ~o' aus R. p ' ist

, ^.e,-l~ R (~) wobei f(~)') Nullstelle eines Ideals (x ~ - - p l . f ( x ) , x .,pl ) aus - f ' ein regul~ires Element aus /~ bedeutet. Is t nun ~t zur kritischen Prim- zahl ~z teilerfremd, so zerf~Ilt in dem dem Ringe R zugeordneten, algebraisch abgeschlossenen KSrper K die Funktion x~' ~ f(19') in lauter teilerfremde Linearfaktoren, und es gilt daher naeh A I w 6 das gleiche von dem Polynom x " - f(/~') aus Rf. Wit kSnnen infolgedessen ein regul~es Element a aus R so w~hlen, dal~ es der Gleichung x~ ~ f (p ' ) : 0 geniigt. Setzt man p ' - ~ p;a , so ist ~ - ~ p ' . a - x ebenfalls ein Primteiler, und zwar ein solcher, der die Gleichung x~ ~ Pl = 0 befriedigt. Das Ideal, dessen NuIlstelte p ist, besitzt daher die gewiinsehte Basis ( x " - - i o , , x ' - l o ~ , - ' ) . ! E t w a s anders muB man im Falle 7) schlieSen. Hier versehwindet ~as Produkt yon p~ mit einem beliebigen Nullteiler aus R, und das Ideal, dessen Nullstelle io' ist, besitzt daher eine Basis ( x ~ ' - a.lol, p~.x), wobei a ein modulo p* beliebig wghlbares Element aus R bedeutet. Wegen der algebraisch~n Abgeschlossenheit yon R darf man alsdann a so gewS~hlt annehmen, dab die Gleichung x ~ - a = 0 in R eine Nullstelle a x besitzt. Setzt man io'== lo.a x, so ist p eine der ge- suehten Nutlstellen des Ideals ( x , " - ioj,, x .p l ) . Die F/ille fl) und ~,) sind hiermit erledigt,

Es bleibt nut noeh zu zeigen, dal~ fiir ~ =~ # ~ 1; 0x _--> 2 stets zu


einem gegebenen Grundring mit der kritischen Primzahl ~ zwei nieht isomorphe Ringe mit derselben kritischen, zu n nicht teilerfremden In- variante /~ aufgebaut werden kSrmen. Wir setzen /~--- ~ra-#'; (# ' , n) ~ 1 und betrachten die Ideale

Es sei p eine Nullstelle yon a, p ' eine solehe yon a' ;

= R ' =

Dann k5nnen R und R ' nicht isomorph sein. Andernfalls miil~te n~mlich R ebenso wie R ' eine Nullstelle des

Ideals a ' enthalten, die wit der Einfaehheit halber gleichfalls mit p ' bezeiehnen wollen. Da ~o und p ' Primteiler sind, so besteht eine Gleichung ~o'= a .p . Wirhabenalsoa~-~o.~ -- ~o~.@ ' + r ~ ) = ( a , - - ( p ' + r~) ) -p~=0 . Setzen wir mithin a~ = r~ + p ' + q, so mu$ g der Gleichung q.p~ ~ 0 geniigen, und daraus ergibt sich wegen ~1 ~ 2; ~ > # ~- 1, da] q mindestens dutch p'~ teilbar sein mu$, wir haben also ag = r~ + p ' . r , wobei r eine Einheit bedeutet. Wir betrachten nun die Differenz s = r ~ - a ] . ~ Es ist

JPl (2 = 2) ebenso wie ~ol- b mindestens durch p'~ Da nunr~-(1 ~- ( - - 1)~~ = ~ 0 (2==2)

teilbar ist, so ist s ~ ~ (-- 1 ) ~ p ' ( r ~ p'.c) -~ p'.r~ das Produkt eines Primteilers mi~ einer Einheit, also selbst Primteiler. Enthielte mithin R gleichzeitig die Elemente p und p', so miiBte es in R e i n Element s geben, das n~-te Wurzel eines Primteilers w~re32). Da die Existenz eines solchen Elementes der Natur des Primteilers widerspricht, so kann ~o' nicht in R vorl~ommen, R und R' sind also nicht isomorph. Mit dem so gewonnenen Ergebnis ist der Beweis unseres Satzes abgesehlossen.

Aus Satz 17 ergibt sich, dal~ man zwei isomorphe Ringe erh~ilt, wenn man die bei Bespreehung der end]ichen Ringe aufgebauten nicht isomorphen Bereiche R~(}/2) und R~()~-6) zu algebraisch abgeschlossenen Ringen er- g~nzt. Es ist also, wenn zwei nicht isomorphe Ringe mit gleichem Grund- ring und gleicher kritischer Invariante vorgelegt sind, wohl zu unterscheiden,

~.z) Man vergleiche das hier gegebene Beispiel mi~ dem am Sehlusse von A. I angegebenen, dureh das bewiesen wurde, dal3 bei unvollkommenen Ringen zwei regular algebraisehe Erweiterungen desselben Ausgangsringes mi~ gleiehem zugeordneten K5rper nieht stets ~quivalent sind. Die hier tmd dort benutzten Schl/isse laufen ganz parallel. Die aus der kritisehen Primzahl entspringenden Sehwierigkeiten sind in beiden F/illen im ganzen dieselben. Der einzige wesentliehe Untersehied ist der, dab hier die Primteiler eine analoge Rolle spielen, wie in A. I die transzendenten Elemente.

14"

212 W. Krull.

ob der Grand ffir die Niehtisomorphie an der algebraisehen Natur des Grundrings liegt, oder ob wit es mit einer Nichtisomorphie zu tun haben, die mit der kritischen Primzahl zusammenh~i~gt, und dutch regul~ algebraisehe Erweiterung nicht behoben werden kann.

Im Anschlul~ an Satz 17 kann man sieh noch folgende Frage vor- legen. Es seien R mad R' zwei algebraisch abgeschlossene, nicht isomorphe Ringe, mit gleichem Grundring und gleiehem charakterischen Exponenten. Wann kann man dann die Nichtisomorphie durch allgemeine algebraisehe Erweiterung beheben, d.h. warm kann man einen Ring ~ finden, der sowohI einen zu R als aueh einen zu B' isomorphen Teilbereich enth~lt, und der sich als allgemeine algebraisehe Erweiterung yon R (bzw. yon R') auffassen l~$t?

Die hier aufgeworfene Frage h~ng~, wie leicht zu sehen as), mit folgendem Problem aufs engste zusammen"

Es sei h (x) eine Primdr/unktion ~x-ten Grades aus R r, yon der wi t wegen der algebraischen Abgeschlossenheit yon R ohne wesentliche Be- schr5nkung voraussetzen diir/en, daft sie zum Primideal (x, p) gehSrt. Warm enthdilt dann R eine Nullstelle yon h ( x ) und wann kann man eine allgemeine algebraische Erweiterung ~ yon R [derart bestimmen, daft h (x), wenn auch nicht in R, so doch in ~ eine Nullstelle besitzt?

Die eben gestellte Frage bedeutet in gewissem Sinne eine Verall- gemeinerung des Problems, das uns zur Einfiihrung der allgemeinen algebraisehen Erweiterungen hinleitete. Dort betrachteten wit eine Prim~ir- funktion h(x) , die nicht (lurch das Quadrat des zugehSrigeh Primideals teilbar war, und stellten lest, da$ man einfach dutch Adjunktion einer Nullstelle yon h(x ) zum gewiinschten Erweiterungsring kommt (falls nieht h (x) bereits im Ausgangsring eine Nullstelle besitzt). Im allgemeinen Falte liegt die Sache verwickelSer. Da wiirde die Adjunktion einer Nullstelle yon h ( x ) selbst im allgemeinen zu einem Erweiterungsring fiihren, der

aa) Man vergleiehe das beim Beweise yon Satz 17 angefiihrte Beispiel yon zwei nieht isomorphen Ringen /~ und /~r. Dolt wurde gezeigt: In einem Ring R, der

R l gleiehzeitig einen zu /~ und einen zu isomorphen Teilbereieh enth'~lt, muB die ~a- te Wurzel eines gewissen, zu einem Primtei ler :aus 2~ ~quivalenten Elementes vorkommen. Das heil~t aber niehts anderes, als dab eine gewisse, zum Primideal (x, ~ gehSrige Prim~rfunktion ~~ Grades aus f l / i n ~ " eine Nullstelle besitzen mull Dab el ist in unserem besonderen Falle die in BetraehC kommende Prim~ffunktion h (z) nieht dureh das Quadrat des Primideals ~x, p~ teilbar. Man kaxm hier a/so ~ unmittelbar dureh_ Adjunktion einer Nullstelle yon h (x) aus 2~ erzeugen. Der so auf-

R ' , gebaute R ing /2 enth~lt dama, wie leieht zu sehen, wirklieh einen zu isomorphen Teilbereieh, in diesem besonderen Falle kann man also die Niehtisomorphie yon R und 2~ ~ sieher dureh algebraisehe Erweiterung heben. Nieht so einfaeh gestaltet sieh, wie oben betont, die Saehe im allgemeinen Fall.


nieh~ mehr zerlegbar w~e. Gleichwohl erscheint es durchaus nicht aus- gesehlossen, dal~ man dutch Adjunktion einer blullstelle einer anderen, geeignet gew~hlten Prim~funktion einen Erweiterungsring der gewiinsehten Art aufbauen kSnnte. Doch diirfte die allgemeine Beantwortung der auf- geworfenen Frage nicht einiach sein. Wir miissen uns daher hier mit dem Hinweis begniigen, dab die Einiiihrung der allgemeinen algebraischen Er- weiterungen auf eine Reihe von interessanten, einer ausfiihrlichen Behand- lung wohl wiixdigen Problemen hinleitet.

Fiir die vorliegende Arbeit reichen die mit Satz 13a mad Satz 17 gewonnenen Ergebnisse vollst~indig aus. Sa~z 13a leistet fiir die vollkommenen zerlegbaren Ringe dasselbe wie Satz 13 fiir die endliehen: er gibt uns einen bef~iedigenden Einblick in diese Bereiche. Satz 17 hin- gegen charakterisiert in ersehSpfender Weise diejenigen F~ille, in denen sich ein vollkommener Ring dutch Grundring mad ehara~eristischen Exponenten eindeutig bestimmen l~i~t. Am interessantesten ist dabei die Erkenntnis yon der groBen Bedeutung, die die kritische Primzahl fiir den Atffbau der zerlegbaren Ringe besitzt. Hier zeigt sich am sch~fsten der Zusammenhang mit der KSrpertheorie (vgl. die Bemerkung am Schlusse der Einleitung), der die in der vorl~egenden Arbeit durchgefiihrte algebraische Behandlung der zerlegbaren Ringe rechtfertigt.

(Eingegangen am 31.12. 1923.)

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