Allgemeines Gleichgewicht - Chair of Microeconomics · Einleitung Eine 2-G uter- Okonomie Tausch Einleitung I Partielle Gleichgewichtsanalyse n utzlich, wenn es wenig Interdependenzen

Einleitung Eine 2-Guter-Okonomie Tausch

Allgemeines Gleichgewicht

Dr. Alexander Westkamp

30. November 2010

Allgemeines Gleichgewicht I 1/ 46


Einleitung

I Partielle Gleichgewichtsanalyse nutzlich, wenn es wenigInterdependenzen zwischen verschiedenen Markten gibt

I Viele Markte stehen aber naturlicherweise in engerAbhangigkeit zueinander:

I Benzinpreise beeinflussen Nachfrage nach Automobilen undoffentlichem Nahverkehr

I Absatzchancen von Unternehmen beeinflussen Nachfrage nachArbeitskraften

...

I Allgemeine Gleichgewichtstheorie:I Simultane Analyse mehrerer/aller MarkteI Berucksichtigung der komplexen Wechselwirkungen zwischen

verschiedenen Markten



Plan

1. Eine 2-Guter Okonomie (Eis und Kuchen)

2. Tausch

3. Allgemeines Gleichgewicht mit Produktion

4. Anwendungen



Einleitung: Literatur (optional!)

I Douglas Bernheim, Michael Whinston: Microeconomics,Kapitel 16

I Hal Varian: Intermediate Microeconomics (7th edition),Kapitel 31, 32, 33

I Geoffrey Jehle, Philip Reny: Advanced Microeconomic Theory,Kapitel 5

I Andreu Mas-Colell, Michael Whinston, Jerry Green:Microeconomic Theory, Kapitel 15, 16, 17



Eine 2-Guter-Okonomie



Eine 2-Guter-OkonomieI Betrachte Okonomie mit zwei Gutern: Eis und KuchenI Nachfrage (reduzierte Form)

I Eis: DE (PE ,PK ) = 85− 4PE + αPK

I Kuchen: DK (PE ,PK ) = 110− 5PK + αPE

I Angebot (reduzierte Form)I Eis: SE (PE ,PK ) = 5PE − 5I Kuchen: SK (PE ,PK ) = 3PK − 10

I Mogliche Beziehungen zwischen den Gutern:1. Substitute, falls Nachfrage nach einem Gut steigend im Preis

des anderen Gutes (α > 0)2. Komplemente, falls Nachfrage nach einem Gut fallend im Preis

des anderen Gutes (α < 0)

I Bemerkung: Wenn α = 0 konnen wir beide Markte separatuntersuchen!



Marktraumungskurven und partielle Gleichgewichte

I Die Marktraumungskurve eines Gutes gibt diePreiskombinationen an, fur die der Markt des betrachtetenGutes im Gleichgewicht ist.

I Eis: DE (PE ,PK ) = SE (PE ,PK )⇔ PE = 10 + α

9 PK

I Kuchen: DK (PE ,PK ) = SK (PE ,PK )⇔ PK = 15 + α

8 PE

I Beachte: Jeder Punkt auf einer Marktraumungskurve ist einpartielles Gleichgewicht im entsprechenden Markt!



Allgemeines Gleichgewicht

I Ein allgemeines Gleichgewicht liegt vor, wenn beide Markte imGleichgewicht sind.

I Mathematisch: Schnittpunkt der Marktraumungskurven

I In unserem Beispiel: Allgemeines Gleichgewicht gegeben durch

PE =720 + 120α

72− α2

und

PK =1080 + 90α

72− α2

I Nehmen im Folgenden immer an, dass PE ,PK ≥ 0 (also dasα ∈ (−6,

√72))



Allgemeines Gleichgewicht: Graphisch



Substitute und Komplemente

I Steigende Substitutionsbereitschaft (α ↑) ⇒ beide Preisesteigen!

Intuition?

I Steigende Komplementaritaten (α ↓) ⇒ beide Preise fallen!

Intuition?



Steuern

Steuern

I Wie verandert sich das Gleichgewicht, wenn eineMengensteuer T auf Eis erhoben wird?

I Bisher: Veranderung des Gleichgewichts im Eismarkt unter derAnnahme, dass sich im Kuchenmarkt nichts andert.

I Jetzt: Veranderung des Gesamtgleichgewichts.



Steuern

Steuern - Marktraumungskurven

I Veranderung des Gleichgewichts im Eismarkt:

DE (PE ,PK ) = SE (PE − T ,PK )

I Neue Marktraumungskurve fur den Eismarkt ist

PE = 10 +5

9T +

α

9PK

⇒ Partieller Gleichgewichtseffekt: Preis steigt um 59 T !

I Marktraumungskurve fur Kuchen unverandert gegeben durch

PK = 15 +α

8PE



Steuern

Steuern - Anderung des allgemeinen Gleichgewichts

I Gleichgewicht mit Mengensteuer T gegeben durch

PE =720 + 40T + 120α

72− α2

und

PK =1080 + 5αT + 90α

72− α2



Steuern

Steuern - Anderung des allgemeinen GleichgewichtsI Vergleich zum partiellen Gleichgewichtseffekt:

I Eis:

40

72− α2︸︷︷︸Eispreiserhohung (pro Steuereinheit)

>5

9︸︷︷︸partieller Gleichgewichtseffekt

⇔ α > 0

I Kuchen

5δ

72− α2︸︷︷︸Kuchenpreiserhohung (pro Steuereinheit)

> 0︸︷︷︸partieller Gleichgewichtseffekt

⇔ α > 0

I Falls Eis und Kuchen Substitute sind, steigt der (allgemeineGleichgewichts)preis fur Eis und fallt der Preis fur Kuchen!



Steuern

Anwendung: Kapital- versus Einkommenssteuern∗

I Haufige Forderung: Einkommen aus Kapital sollte mindestensgenau so hoch besteuert werden wie Arbeitseinkommen!

I Gegenargument: Hohe Kapitalsteuern fuhren zu niedrigenLohnen!

I Wer hat recht?

I In unserem einfachen Modell: Kapital = Eis, Arbeit = KuchenI Effekt einer Erhohung der Kapitalsteuer auf Arbeitslohn?

I Positiv, falls α > 0 bzw. falls Arbeit und Kapital SubstituteI Negativ, falls α < 0 bzw. falls Arbeit und Kapital

Komplemente



Tausch



Tausch

I Betrachten Okonomie in der jedes Gut in fixer Mengevorhanden ist (keine Produktion).

I Jeder Konsument besitzt anfangs eine bestimmte Menge jedesGutes (seine Anfangsausstattung)

I Perfekter Wettbewerb:I Konsumenten nehmen Marktpreise als gegeben anI Einkommen = Wert der Anfangsausstattung zu Marktpreisen

(nicht exogen)

I Beschranken uns zunachst auf Analyse einer Okonomie mit 2Gutern, 2 Konsumenten



Modell (einfache Fassung)

I Zwei Konsumenten (A und B)

I Zwei (beliebig teilbare) Guter (1 und 2)

I Nutzenfunktionen von Konsument i : ui (xi1, xi2), wobei xij ≥ 0konsumierte Menge von Gut j

I Anfangsausstattungen: ei = (ei1, ei2) ≥ 0 fur i = A,B

I Gesamtmenge von Gut j : ej = eAj + eBjI Ein Konsumvektor x = (xA1, xA2, xB1, xB2) ≥ 0 ist eine

AllokationI Eine Allokation x ist

I durchfuhrbar, falls xAj + xBj ≤ ej fur j = 1, 2.I marktraumend, falls xAj + xBj = ej fur j = 1, 2.



Angebot und Nachfrage

Gegeben Preisvektor p = (p1, p2) mit p1, p2 > 0

I Einkommen von Konsument i (gegeben p) istMi (p) := p1ei1 + p2ei2

I Optimierungsproblem von Konsument i gegeben p ist

maxxi1,xi2

ui (xi1, xi2) so dass p1xi1 + p2xi2 ≤ Mi (p)

I Nachfrage nach Gut j : xij(p,Mi (p))Im Folgenden xij(p) ≡ xij(p,Mi (p))

I Nettonachfrage nach Gut j : nij(p) := xij(p)− eij ;Falls nij(p) > 0 (< 0), ist i Nettonachfrager (Nettoanbieter)von Gut j



Angebot und Nachfrage: Graphisch



Edgeworth Box

I Konnen gesamtes Modell in einem Diagramm, der EdgeworthBox, zusammenfassen.

I Dazu: Rechteck der Breite e1 und Hohe e2

I Konsum von Konsument A (B) wird vom sudwestlichem(nordostlichen) Eckpunkt aus gemessen

I Jeder Punkt in der Box reprasentiert eine marktraumendeAllokation.



Edgeworth Box: Graphisch



Gleichgewicht

Gleichgewicht

I Perfekter Wettbewerb vollkommen dezentralisiert: JederKonsument entscheidet allein auf Basis der Marktpreise uberseinen optimalen Konsum

I Problem: Entscheidungen moglicherweise nicht kompatibelmiteinander!

I Die Ubernachfrage nach Gut j/das Uberangebot von Gut jgegeben Preisvektor p ist

zj(p) = nAj(p) + nBj(p)

I Wir sprechen von einem Gleichgewicht, wenn beide Marktegeraumt werden.



Gleichgewicht

Gleichgewicht

Definition

Ein Gleichgewichtspreisvektor ist ein Preisvektor p∗ = (p∗1 , p

∗2) der

beide Gutermarkte simultan ins Gleichgewicht bringt, d.h. einPreisvektor fur den gilt

zj(p∗) = 0, j = 1, 2.

Ein (kompetitives/Walrasianisches/allgemeines) Gleichgewichtbesteht aus einem Preisvektor p∗ und einer marktraumendenAllokation x∗ = (x∗

A1, x∗A2, x

∗B1, x

∗B2) welche den optimalen

Konsumplanen entspricht, d.h.

x∗ij = xij(p∗), i = A,B, j = 1, 2



Gleichgewicht

Gleichgewicht: Graphisch



Gleichgewicht

Gleichgewicht: Mathematisch

I (p∗, x∗) ist ein Gleichgewicht, falls

∂ui (x∗i1,x

∗i2)

∂xi1∂ui (x

∗i1,x

∗i2)

∂xi2

≤ p∗1

p∗2

(= , falls x∗i1, x

∗i2 > 0), i = A,B

und

x∗Aj + x∗

Bj = ej , j = 1, 2

I Bemerkung: Aus dieser Formulierung folgt sofort, dass imGleichgewicht nur der relative Preis der beiden Guterbestimmt wird!



Gleichgewicht

Gleichgewicht: Beispiel

I Nutzenfunktion von Konsument i hat die Formui (xi1, xi2) = xαi1x

(1−α)i2 fur ein α ∈ (0, 1)

I Anfangsausstattungen: eA = (1, 2), eB = (2, 1)I Einkommen gegeben Preisvektor p:

I MA(p) = p1 + 2p2

I MB(p) = 2p1 + p2

I Nachfragefunktionen:I xi1(p) = αMi (p)

p1

I xi2(p) = (1−α)Mi (p)p2



Gleichgewicht

Gleichgewicht: Beispiel

I Marktraumung fur Gut 1 erfordert xA1(p) + xB1(p) = 3

I Dies ergibt

p∗1

p∗2

=α

1− αI Fur jeden Preisvektor p∗ mit dieser Eigenschaft gilt

automatisch xA2(p∗) + xB2(p∗) = 3.I Also:

1. Nur der relative Preis der beiden Guter wird im Gleichgewichtbestimmt.

2. Jeder Preisvektor der einen Markt ins Gleichgewicht bringt,bringt automatisch beide Markte ins Gleichgewicht.



Diskussion des Gleichgewichtskonzepts

Wieso Gleichgewichte?

I Wie gelangt die Okonomie ins Gleichgewicht?I Eine Idee:

1. “Auktionator” setzt Preise fur die beiden Guter2. Konsumenten entscheiden uber Konsum/Angebot gegeben

diese Preise3. Falls Ubernachfrage/Uberangebot wird Preis erhoht/gesenkt

I Falls dieser Prozess konvergiert, wird ein Gleichgewichterreicht!




Perfekter Wettbewerb mit zwei Konsumenten?

I Perfekter Wettbewerb sinnvolle Annahme mit zweiKonsumenten?

I Beispielsweise konnte ja einer der beiden Konsumenten diegesamte Anfangsausstattung eines Gutes besitzen...

I Aber: Bisherige Analyse identisch fur den Fall vielerKonsumenten, wobei jeweils Halfte von “Typ” A/B

I Denn: Alle Konsumenten von Typ i haben den gleichenoptimalen Konsumplan.⇒ Gleichgewichtsbedingung bei N Konsumenten ist

N

2xAj(p∗) +

N

2xBj(p∗) =

N

2eAj +

N

2eBj , j = 1, 2




Marktraumung und das Gesetz von Walras

I Im Beispiel: Marktraumung des einen Marktes impliziertMarktraumung des zweiten.

I Gilt das immer?

I Zunachst: Das Gesetz von Walras

Fur jeden Preisvektor p >> 0 ist der Wert derGesamtubernachfrage Null, d.h.

p1z1(p) + p2z2(p) = 0

I Begrundung?




Marktraumung und das Gesetz von Walras

I Nun betrachten wir einen Preisvektor p = (p1, p2) >> 0.

I Behauptung: z1(p) = 0 ⇔ z2(p) = 0

I Begrundung: Walras Gesetz

I Im allgemeinen gilt also:

Wenn ein strikt positiver Preisvektor einen Markt insGleichgewicht bringt, bringt er automatisch auch den zweitenMarkt ins Gleichgewicht.

I Preisfrage: Kann einer der Preise im Gleichgewicht Null sein?




Existenz eines Gleichgewichts

I Gibt es immer ein Gleichgewicht?

I Gegeben das Gesetz von Walras ist dies aquivalent zu:

Gibt es eine Losung der Gleichung z1(p) = 0?I Annahmen:

1. ui ist hinreichend “schon”zB stetig + strikt steigend + strikt (quasi-)konkav

2. e1, e2 > 0

I Behauptung: Annahmen hinreichend fur Existenz!




Existenz eines Gleichgewichts ∗

1. Es reicht ein p∗1 zu finden, so dass z1(p∗

1 , 1) = 0I Ubernachfrage homogen vom Grade Null.

2. Fur sehr kleine p1 gilt z1(p1, 1) > 0I Zumindest einer der Konsumenten, sagen wir A, hat eA2 > 0I Fur A gilt MA(p1, 1) ≥ eA2 > 0 fur alle p1

I Da Nutzen strikt steigend in xA1, muss limp1→0 xA1(p1, 1) =∞gelten (nicht ganz einfach).

3. Fur sehr große p1 gilt z1(p1, 1) < 0I Konsequenz aus erstem Statement, da

z1(p1, 1) = z1(1,1

p1) = − 1

p1z2(1,

1

p1)

4. Da z1(p1, 1) stetig in p1, muss es nach dem Mittelwertsatz einp∗

1 geben so dass z1(p∗1 , 1) = 0!



Effizienz

Effizienz

I Welche Allokationen sind aus gesamtwirtschaftlicherPerspektive wunschenswert?

I Minimale Anforderung: Pareto-effizienz

I Hier:

Eine durchfuhrbare Allokation x ist Pareto effizient, wenn eskeine zweite durchfuhrbare Allokation y gibt, die einen derbeiden Konsumenten strikt besser stellt, ohne den zweitenKonsumenten strikt schlechter zu stellen.

I Beachte: Definition von Effizienz ausschließlich uberAllokationen!



Effizienz

Effizienz: Mathematisch

I Mathematisch lasst sich die Effizienz einer Allokation uber dieGrenzraten der Substitution beschreiben...

I Eine Allokation x ist genau dann Pareto-effizient, wenn

1. Indifferenzkurven tangential zueinander, d.h.

∂uA(xA1,xA2)∂xA1

∂uA(xA1,xA2)∂xA2

=

∂uB (xB1,xB2)∂xB1

∂ui (xB1,xB2)∂xB2

2. beide Markte geraumt werden xAj + xBj = ej , fur j = 1, 2



Effizienz

Effizienz: Graphisch



Effizienz

Effizienz: Beispiel

I Im Cobb-Douglas Beispiel sind Grenzraten der Substitutiongleich genau dann wenn

xA1

xA2=

xB1

xB2

I Marktraumung erfordert xAj + xBj = 3 fur j = 1, 2

I Fur den Fall xA1 = xA2 = β, ist jede Aufteilung (β, 3− β) derbeiden Guter Pareto effizient.



Effizienz

Direkte Verhandlungen und die Kontraktkurve

I Betrachte alternativen Handelsmechanismus: Konsumentenverhandeln direkt uber Allokationen.

I Falls es keine Friktionen gibt, sollten wir ein effizientesErgebnis erwarten! (Warum?)

I Machen alle effizienten Allokationen als Ergebnis diesesMechanismus Sinn?

I Falls Tausch freiwillig: Kein Konsument darf schlechter “dransein”, als wurde er seine Anfangsausstattung konsumieren.

Die Kontraktkurve besteht aus allen effizienten Allokationen xso dass ui (xi1, xi2) ≥ ui (ei1, ei2) fur i = A,B.



Effizienz

Kontraktkurve: Graphisch



Effizienz

Kontraktkurve: Beispiel

I Im Cobb-Douglas Beispiel war eA = (1, 2) und eB = (2, 1)

I Nehmen wir an, dass α = 12

I Es gilt uA(1, 2) =√

2, uB(2, 1) =√

2I Kontraktkurve besteht aus Allokationen x die folgende

Bedingungen erfullen

1. xA1

xA2= xB1

xB2

2. xi1xi2 ≥ 4 fur i = A,B3. xAj + xBj = 3 fur j = 1, 2

I Bonusfrage: Gibt es eine Allokation auf der Kontraktkurve sodass xA1 = xA2?



Effizienz

Gleichgewicht und Effizienz: 1. Wohlfahrtstheorem

Theorem (Das 1. Theorem der Wohlfahrtsokonomik)

Jedes Marktgleichgewicht ist Pareto-effizient.

I Warum?Beide Konsumenten bestimmen Konsum so, dass Grenzrateder Substitution gleich relativem Verhaltnis der Marktpreise(fur alle gleich im perfekten Wettbewerb)!

I Intuition wie im partiellen GG Modell mit quasilinearenPraferenzen (dort: Partielle Ableitung nach Geld immer eins!).



Effizienz

Gleichgewicht und Effizienz: 1. WohlfahrtstheoremEin zweites Argument fur die Effizienz des Gleichgewichts:

I Angenommen (p∗, x∗) ist ein Gleichgewicht aber es gibt einemarktraumende Allokation y so dass

ui (yi1, yi2) > ui (x∗i1, x

∗i2), i = 1, 2

I Dann muss p∗1yi1 + p∗

2yi2 > Mi (p∗) fur i = A,B gelten(Optimalitat der Konsumentscheidungen)

I Aberp∗

1(yA1+yB1)+p∗2(yA2+yB2) = p∗

1e1+p∗2e2 = M1(p∗)+M2(p∗),

da y marktraumend

⇒ Widerspruch!



Effizienz

Gleichgewicht und Effizienz

I Das 1. Theorem der Wohlfahrtsokonomik zeigt uns, dassGleichgewicht notwendigerweise Pareto-effizient sind!

I Gilt auch der Umkehrschluss, d.h. kann jede Pareto-effizienteAllokation fur einen bestimmten Preisvektor im Gleichgewichterreicht werden?

I Wenn wir die Anfangsausstattungen umverteilen konnen istdie Antwort oft ja.



Effizienz

Gleichgewicht und Effizienz: 2. Wohlfahrtstheorem

Theorem (Das 2. Theorem der Wohlfahrtsokonomik)

Wenn alle Nutzenfunktionen konkav bzw. alle Praferenzen konvexsind, gibt es fur jede effiziente Allokation x eineAnfangsausstattung ex und einen Preisvektor px , so dass (px , ex)ein Gleichgewicht ist.

I Warum?

1. Effizienz gleichbedeutend mit Tangentialitat derIndifferenzkurven

2. Wenn “Bessermengen” konvex finden wir eine Budgetgerade,die keine der beiden Indifferenzkurven schneidet.

3. Jede Anfangsausstattung auf dieser Budgetgerade fuhrt zumgewunschten Gleichgewicht!



Effizienz

Gleichgewicht und Effizienz: Diskussion

I 1. Wohlfahrtstheorem: Perfekter Wettbewerb fuhrt zuEffizienz

I Geringe informationelle Voraussetzungen fur funktionieren desMarktmechanismus

I Problem: Moglicherweise extreme Ungleichheit

I 2. Wohlfahrtstheorem: Durch Umverteilung kann jedeseffiziente Ergebnis durch den Marktmechanismus erreichtwerden.

I Keine Umverteilung uber Manipulation des Preissystemsnotwendig, Transfer von Einkommen reicht aus

I Wichtig: Umverteilung darf nicht von Entscheidungen derKonsumenten abhangen


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