Analyse und Optimierung von Abbildungseigenschaften der ... · zu nennen, mit dessen Hilfe die Morphologie des untersuchten Gewebes dargestellt wird. Allerdings zeigt dieses Verfahren

ANALYSE UND OPTIMIERUNG VON

ABBILDUNGSEIGENSCHAFTEN DER

ULTRASCHALL -ELASTOGRAPHIE

DISSERTATION

zur Erlangung des Grades eines

Doktor-Ingenieurs

der

Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik

an der Ruhr-Universität Bochum

von

Karsten M. Hiltawsky

Lemgo

Bochum 2004

Dissertation eingereicht am: 17.11.2004

Tag der mündlichen Prüfung: 3.2.2005

Berichterstatter: Prof. Dr.-Ing. Helmut Ermert

Prof. Dr.-Ing. Johann Friedrich Böhme

Prof. Dr.-Ing. Georg Schmitz

Inhaltsverzeichnis

Liste der Formelzeichen und Abkürzungen III

1 Einleitung 11.1 Ultraschalltechnik in der Medizin . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 11.2 Tumor-Diagnostik mit Ultraschall . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 11.3 Elastische Eigenschaften von Tumoren . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 21.4 Ziel der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Grundlagen 52.1 Ultraschall im Puls-Echo-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 5

2.1.1 Wechselwirkung Gewebe↔ Ultraschall . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2 Feldverteilung einer Apertur / Beugung . . . . . . . . . . . . .. 72.1.3 Räumliche Impulsantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.4 Datenmodell des Ultraschall-Echosignals im Puls-Echo-Betrieb . 11

2.2 Grundlagen der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1 Lineare Elastizitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 122.2.2 Isotroper Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Eindimensionale Spannung (Dehnung eines Stabes) . . .. . . . . 152.2.4 Ebener Spannungszustand, ebener Verzerrungszustand . . . . . . 16

3 Modellbildung 173.1 Datenmodell der Ultraschall-Elastographie . . . . . . . . .. . . . . . . . 173.2 Zeitverschiebungsschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 18

3.2.1 Methoden der Zeitverschiebungsschätzung . . . . . . . . .. . . 183.2.2 Varianz der Zeitverschiebungsschätzung . . . . . . . . . .. . . . 213.2.3 Kovarianz der Zeitverschiebungsschätzung . . . . . . . .. . . . 23

3.3 Dehnungsschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.1 Konstruktion eines Dehnungs-Schätzers . . . . . . . . . . .. . . 253.3.2 Kovarianzmatrix des Schätzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.3 Cramér-Rao Schranke der Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.4 Vergleich der Dehnungsvarianz der Schätzer . . . . . . . .. . . 303.3.5 Dehnungsschätzer als FIR-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

3.4 Eigenschaften von Elastogrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 333.4.1 SNR der Dehnung: SNRε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.2 Ausgangs-SNRε: SNRε0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.3 SNRε-Gewinn: SNRεG

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4.4 Gesamt-SNRε: SNRε0

· SNRεG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.5 Kontrast der Dehnung: CNRε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.6 Eigenschaften im Ortsfrequenzbereich . . . . . . . . . . . .. . . 453.4.7 Ortsauflösung der Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5 Harmonische Anregung: Vibrographie . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 533.5.1 Cramér-Rao Schranke der Parameter einer Schwingung . . .. . . 553.5.2 Kalman-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Inhaltsverzeichnis II

4 Simulation und Optimierung 614.1 FEM-Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1.1 FEM-Parameter: E-Modul-Verteilung, Randbedingungen . . . . . 624.1.2 Mechanischer Konversionsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . .. 644.1.3 Normierter Dehnungsunterschied (NDU) . . . . . . . . . . . .. 65

4.2 Ultraschall-Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 684.2.1 Punktbildfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.2 Simulation des Mediums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.3 Medium unter axialer Kompression . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2.4 Empirische Varianz der Zeitverschiebungen . . . . . . . .. . . . 714.2.5 Empirische Kovarianzfunktion der Zeitverschiebungen . . . . . . 724.2.6 Medium unter axialer und lateraler Kompression . . . . .. . . . 744.2.7 Medium unter axialer Kompression mit elevationaler Verschiebung 754.2.8 Elastographische Unschärfe, Modell für Verschiebungen . . . . . 764.2.9 Kompensation von lateralen Verschiebungen . . . . . . . .. . . 784.2.10 Medium unter axialer und lateraler Kompression mit Kompensation 824.2.11 Medium mit Einschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Realisiertes Abbildungssystem 905.1 Komponenten des Abbildungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 90

5.1.1 PC mit A/D-Wandler Karte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.1.2 Ultraschallgerät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.1.3 Trigger-Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.1.4 Echtzeit-Modus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6 Experimentelle Ergebnisse 966.1 Phantome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.1.1 Phantom-Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.1.2 Phantom-Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.2 Messung der Autokovarianzfunktion bzw. Pulsbreiten . .. . . . . . . . . 1006.3 Statische bzw. Quasistatische Kompression . . . . . . . . . .. . . . . . 1026.4 Harmonische Kompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.4.1 Frequenzabhängigkeit der Amplitude . . . . . . . . . . . . . .. 1076.4.2 Dehnungsbild (Elastogramm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.4.3 Dreidimensionale Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7 Zusammenfassung und Ausblick 115

Literaturverzeichnis 119

A Transformation einer normalverteilten Zufallsvariablen 127

B Separation des Korrelationskoeffizienten 129

C Impulsantwort des Dehnungs-KQ-Schätzers 132

D Gauß-Puls: Pulsbreite↔ Bandbreite 133

Liste der Formelzeichen und Abkürzungen

Nomenklatur

a = [a1 . . . aN ]T Unterstrich N × 1–Vektor

A =

A11 . . . A1N

.... . .

...AM1 . . . AMN

Fettdruck M × N–Matrix, Indexzugriffamn

I =

1 . . . 0...

. .....

0 . . . 1

Einheitsmatrix

AT Transponierte Matrix[A]−1 Inverse der Matrixa Dach geschätzte Größe

Operatoren

* Zeitbezogene Faltung◦−• Fouriertransformationspaar∂ Partielles Differentialddt

Erste Ableitung einer rein zeitabhängigen Größe

∇ Nabla–Operatorarg Argument einer komplexen GrößeCov KovarianzE Erwartungswert

Formelzeichen (lateinische Buchstaben)

A(zi) Schwingungsamplitude eines Gewebebereiches an der Position zi

für den Fall einer harmonischen mechanischen AnregungB Äquivalente Bandbreite des UltraschallsystemsB6dB 6−dB Bandbreite des Ultraschallsystemsc SchallgeschwindigkeitCNRε Elastographischer Kontraste1(t), e2(t) Hochfrequentes Empfangssignal vor bzw. nach Kompressionsschritte1(t), e2(t) Empfangssignal vor bzw. nach Kompressionsschritt im Basisbande(t)∗ Empfangssignal im Basisband, konjugiert komplexE Elastizitätsmodul

Formelzeichen und Abkürzungen IV

f(x, y, z) Dreidimensionale Streuerverteilung des Mediumsf0 Mittenfrequenz des Ultraschallwandlersh(x, y, z) Dreidimensionale Punktbildfunktion des UltraschallwandlersI(x, z, t) Intensität des Grauwertbildes bei(x, z) zur Zeittj Imaginäre EinheitN Anzahl der Filterkoeffizienten des FIR-FiltersNA Anzahl der summierten A-Linien bei lateraler Kompensationp(t) Punktbildfunktion des UltraschallsystemsP Pulsbreite eines gaußförmigen Pulses, s. Anhang Drab Kreuzkorrelationsfunktion der Signalea(t) undb(t)

r12 Kreuzkorrelationsfunktion der Signalee1(t) unde2(t)

r12 Kreuzkorrelationsfunktion der Signalee1(t) und e2(t) im BasisbandSi(xi, yi, zi) Amplitude eines Streuers, der sich an der Position(xi, yi, zi) befindetSNRel Elektronischer Signal-zu-StörabstandSNRε Elastographischer Signal-zu-Störabstandt Zeit bzgl. Schallwellenausbreitung∆t Abtastintervall bei der Abtastung hochfrequenter Echodatentvib Zeit bzgl. Vibration∆tvib Abtastintervall bei der Abtastung einer mechanischer SchwingungTC Korrelationsfensterlänge bei der ZeitverschiebungsschätzungTτ Abstand zwei aufeinander folgender Zeitverschiebungsschätzungenuz(z) Mechanische Verschiebung in axialer Richtungw Störung der Zeitverschiebungsschätzungx Koordinate für die laterale Richtungy Koordinate für die elevationale Richtungz Koordinate für die axiale Richtung, entspricht der Bildtiefe

Formelzeichen (griechische Buchstaben)

εlj in Kap. 2.2: Komponenten der mechanischen Dehnungεzz Mechanische Dehnung in z-Richtung (entspricht axialer Richtung)λ Wellenlängeν Poisson Zahlω Kreisfrequenzωvib Kreisfrequenz der mechanischen Schwingungρ Korrelationskoeffizientρax Korrelationskoeffizient aufgrund von axialen Verschiebungenρlat Korrelationskoeffizient aufgrund von lateralen Verschiebungenρelev Korrelationskoeffizient aufgrund von elevationalen Verschiebungenσ2

τ Varianz der Zeitverschiebungsschätzungenσ2

ε Varianz der Dehnungsschätzungenσax Parameter der gaussförmigen Punktbildfunktion in axialerRichtung

Formelzeichen und Abkürzungen V

σlat Parameter der gaussförmigen Punktbildfunktion in lateraler Richtungσelev Parameter der gaussförmigen Punktbildfunktion in elevationaler Richtungσik in Kap. 2.2: Komponenten der mechanischen Spannungτ(z) Zu uz(z) äquivalente Zeitverschiebung nachuz(z) = 1

2c τ(z)

Abkürzungen

A-Linie Synonym für ein Empfangssignal an einer Positionx = x0

CRLB Cramer-Rao Schranke (engl.:Cramer-Rao lower bound)DMA Dynamisch Mechanische AnalyseElastogramm Abbildung der mechanischen Dehnung in axialerRichtungFEM Methode der Finiten ElementeFWHM Pulsbreite (engl.:full width half maximum), s. Anhang DHF-Daten Hochfrequentes Empfangssignal einer A-LinieKQ Methode der kleinsten QuadrateNDU Normierter DehnungsunterschiedPBF Punktbildfunktion (tiefenabhängig)PC Rechner (engl.:personal computer)PIC Mikrocontroller (engl.:programmable interrupt controller)PRF Wiederholrate der Triggersignale (engl.:pulse repetition frequency)ROI Ausgewählter Bildausschnitt (engl.:region of interest)SGC Tiefenabhängige Kompensation des mechanischen Dehnungsabfalls

(engl.:strain gain compensation)SNR Signal-zu-Störabstand (engl.:signal to noise ratio)TDE Laufzeitschätzung (engl.:time delay estimation)TGC Tiefenabhängige Signalverstärkung (engl.:time gain compensation)

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Ultraschalltechnik in der Medizin

Ultraschallwellen sind Schallwellen mit Frequenzen, die oberhalb der Hörschwelle von

20 kHz liegen. Ultraschallwellen breiten sich in Materie mit einer bestimmten Geschwin-

digkeit aus und können medizinisch sowohl diagnostisch alsauch therapeutisch genutzt

werden.

Vor der ersten diagnostischen Verwendung 1942 [26] wurde der Ultraschall bereits 1939

therapeutisch genutzt. Der einfallende und absorbierte Schall erzeugt im Gewebe Wärme,

die zur Krampflösung oder Schmerzstillung verwendet werden kann. Eine andere und

heute weit verbreitete therapeutische Anwendung ist mit Stoßwellen möglich [37], die

für die Zertrümmerung von Nieren- und Gallensteinen genutzt werden.

Mit der Einführung von aus Piezokeramik bestehenden Ultraschall-Arrays in der Ultra-

schall-Diagnostik wurde dieses Verfahren zur am häufigsten verwendeten medizinischen

Untersuchungsmodalität. Dieses Schnittbildverfahren ermöglicht die nicht-invasive und

gesundheitlich unbedenkliche Darstellung von Organen nicht nur im Hinblick auf de-

ren anatomische bzw. pathologische Gegebenheiten, sondern auch im Hinblick auf deren

Funktion aufgrund der Echtzeitfähigkeit des Verfahrens.

1.2 Tumor-Diagnostik mit Ultraschall

Eine spezielle diagnostische Anwendung der Ultraschalltechnik ist in der Tumor-Diagno-

stik zu sehen. Damit ist zum einen die möglichst frühzeitigeErkennung von verdächtigen

Läsionen, zum anderen die differenzialdiagnostische Abklärung einer solchen Läsion ge-

meint.

Bei der frühzeitigen Erkennung eines Tumors ist von Vorteil,dass moderne Ultra-

schallgeräte eine hohe axiale Auflösung besitzen. Die axiale Auflösung hängt von der

Bandbreite und indirekt von der Mittenfrequenz des verwendeten Ultraschallwandlers ab.

Bei Untersuchungen z.B. der weiblichen Brust werden inzwischen Mittenfrequenzen von

10−13 MHz benutzt, wodurch der Nachweis von Frühkarzinomen möglich wird [66, 89].

Die axiale Auflösung solcher Geräte liegt bei0.15 mm [68]. Generell ist eine weitere

Erhöhung der Mittenfrequenz dadurch limitiert, dass die akustische Dämpfung von biolo-

gischem Gewebe frequenzabhängig ist und bei hohen Frequenzen zunimmt, wodurch die

1.3 Elastische Eigenschaften von Tumoren 2

Eindringtiefe eingeschränkt wird. Erfordern die Untersuchungen große Eindringtiefen,

z.B. im Rahmen der Leberdiagnostik, so werden immer noch Mittenfrequenzen zwischen

3.5 − 5 MHz verwendet.

Bei der differenzialdiagnostischen Abklärung von Tumoren stehen verschiedene Unter-

suchungsmodalitäten zur Verfügung. Allen voran ist das konventionelle B-Bild-Verfahren

zu nennen, mit dessen Hilfe die Morphologie des untersuchten Gewebes dargestellt wird.

Allerdings zeigt dieses Verfahren eine grosse Untersucherabhängigkeit, die u.a. dadurch

zu erklären ist, dass es sich bei der Abbildung der Echogenität um keine quantitative Ab-

bildung eines Materialparameters handelt wie z.B. in der Röntgen-Computertomographie.

Daher werden im Falle einer suspekten Läsion zusätzlich Funktionsparameter wie Perfu-

sion oder Fluss bestimmt, um weitere differenzialdiagnostisch relevante Informationen

zu gewinnen. Insgesamt gesehen zeigt die Ultraschalluntersuchung von suspekten Be-

funden jedoch immer noch Schwächen bezüglich ihrer Spezifität, so dass sich die Frage

stellt, ob auch andere Parameter zur Gewebedifferenzierung beitragen können. Im Falle

der weiblichen Brust sind z.B. die Abbildung der akustischen Schallgeschwindigkeit und

akustischen Dämpfung von wissenschaftlichem Interesse [59, 81, 56, 73]. Zudem kam

in den letzten Jahren die Idee auf, dass mit Hilfe von Ultraschall auch elastische Para-

meter abgebildet werden können [7, 72]. Da generell nicht davon ausgegangen werden

kann, dass die Echogenität des Ultraschall-B-Bildes mit der Elastizität des untersuchten

Gewebes zusammenhängt, stellt die Abbildung eines elastischen Parameters eine neue

Information dar, die mit pathologischen Befunden korreliert werden kann.

1.3 Elastische Eigenschaften von Tumoren

In der Medizin ist seit langem bekannt, dass pathologische Veränderungen von Gewebe

mit einer Änderung der Gewebeelastizität einhergehen. Dies gilt insbesondere für bösar-

tige Tumore, die bei Erreichen einer gewissen Größe tastbarwerden. Die medizinische

Untersuchungsmethode der Palpation (Tasten) basiert auf der qualitativen Einschätzung

der Gewebeelastizität bei niedrigen mechanischen Frequenzen.

Die elastischen Eigenschaften von Gewebe hängen dabei von der mikroskopischen und

makroskopischen Zusammensetzung der Moleküle ab [32]. In der Literatur sind zahlrei-

che Werte über mechanische Materialparameter von biologischen Geweben zu finden, die

bereits aufgrund ihrer physiologischen Funktion mechanischen Beanspruchungen ausge-

setzt sind. Eine Zusammenfassung solcher Parameter für biologische Weichgewebe (glat-

te und quergestreifte Muskulatur, Gefäße, Sehnen, Haut, Lunge) und biologische Hart-

gewebe (Knochen, Zähne) findet sich z.B. in [1]. Es ist weitaus schwieriger, derartige

Daten für Organgewebe zu finden, dessen mechanische Eigenschaften sich erst durch

pathologische Prozesse verändern. Allerdings sind solcheZahlenwerte gerade dann von

Interesse, wenn Ergebnisse von Untersuchungsverfahren interpretiert werden sollen, mit

1.4 Ziel der Arbeit 3

denen elastische Parameter abgebildet werden. Für Brustgewebe fanden Krouskop et al.

Werte des Elastizitätsmoduln zwischen10 kPa und100 kPa bei leichter Kompression und

einer Poisson-Zahl vonν = 0.495 [58]. Obwohl generell nicht davon ausgegangen wer-

den kann, dass sich der Elastizitätsmodul von biologischemGewebe unabhängig von der

ausgeübten mechanischen Spannung verhält, fanden Erkamp et al., dass ein linearer Zu-

sammenhang zwischen mechanischer Dehnung und mechanischer Spannung für einen

großen Spannungsbereich besteht [27], der im Rahmen von manuell durchgeführten Un-

tersuchungen nicht verlassen wird. Für kleine Kompressionen (bis zu10 % Dehnung)

kann Gewebe der Brust und Gewebe der Prostata als linear-elastisches, isotropes und na-

hezu inkompressibles Medium angenommen werden [58]. Die gemessenen Phasenunter-

schiede zwischen mechanischer Dehnung und mechanischer Spannung im Falle einer har-

monischen mechanischen Anregung mit Vibrationsfrequenzen bis 10 Hz waren so klein

(< 10 ◦), dass die viskösen Eigenschaften des Mediums in diesem Frequenzbereich ver-

nachlässigt werden können.

In der Ultraschall-Elastographie geht es darum, interne Verschiebungen eines Körpers

aufgrund einer äußeren Kraftanwendung zu messen und aus diesen Größen mechanische

Parameter zu berechnen. Dies ist sowohl mit Hilfe der Daten des B-Bildes [7] als auch we-

sentlich genauer mit Hilfe von hochfrequenten Echodaten möglich [72]. Im letzteren Fall

kann aus den mechanischen Verschiebungen die mechanische Dehnung lokal berechnet

und angezeigt werden. Diese Methode wurde von Pesavento et al. zu einem Echtzeitver-

fahren weiterentwickelt [75].

1.4 Ziel der Arbeit

In dieser Arbeit wird auf die Analyse und Optimierung der Abbildungseigenschaften

der Ultraschall-Elastographie eingegangen. Bei der Analyse der Abbildungseigenschaften

wird der Kontrast von Dehnungsbildern (Elastogrammen) in Abhängigkeit von verschie-

denen Parametern theoretisch, mit Hilfe von Simulationen und experimentell untersucht.

Dabei zeigt sich, dass zusätzlich zu Parametern des Ultraschallgerätes und der Signalver-

arbeitung auch mechanische Randbedingungen eine Rolle spielen. Insgesamt erweist sich

eine Vibrationsanregung als vorteilhaft, die auch in der Signalverarbeitung berücksichtigt

werden muss.

Zunächst wird in Kap. 2 auf Grundlagen der Ultraschalltechnik und Grundlagen der Me-

chanik (Elastizitätstheorie) eingegangen. Bei der Ultraschalltechnik wird die in diagno-

stischen Ultraschallgeräten übliche Puls-Echo-Technik und das bei der Abbildung von

biologischem Weichgewebe resultierende Datenmodell erläutert. Bei der Betrachtung von

biologischem Gewebe als isotrop-elastisches, inkompressibles Medium ist es notwendig,

einige Begriffe und Zusammenhänge der Elastostatik zu erläutern. Dieses erfolgt in den

Grundlagen der Mechanik.

1.4 Ziel der Arbeit 4

In Kap. 3 wird mit Hilfe eines erweiterten Signalmodells gezeigt, dass die Abbildung von

elastischen Gewebeeigenschaften mit Ultraschall auf der Schätzung von Zeitverschiebun-

gen der Ultraschall-Echosignale basiert, aus denen lokal die mechanische Dehnung be-

rechnet wird. Lokale Unterschiede des Elastizitätsmodulsführen in Abhängigkeit von

der Geometrie der Einschlüsse und den mechanischen Randbedingungen zu Dehnungs-

differenzen, die mit Hilfe der Ultraschall-Elastographiedargestellt werden. Zur quantita-

tiven Erfassung der Abbildungsqualität werden das elastographische SNRε und der elasto-

graphische Kontrast CNRε eingeführt, wobei diese Größen von verschiedenen Parametern

abhängig sind. Es zeigt sich, dass der elastographische Kontrast in hohem Maße von Be-

wegungsartefakten in lateraler und elevationaler Richtungbeeinflusst wird, die zu einer

Dekorrelation der Ultraschall-Echosignale führen. Eine Möglichkeit, diese Bewegungs-

artefakte zu minimieren und trotzdem einen ausreichenden elastographischen Kontrast zu

erzielen, bietet sich durch eine harmonische mechanische Anregung des Gewebes. Die-

se harmonische Anregung muss auch in der Signalverarbeitung berücksichtigt werden.

Dazu wird in dieser Arbeit ein Kalman-Filter verwendet, aufdessen Grundlagen und Im-

plementierung zum Abschluss des Kap. 3 eingegangen wird. Der für die harmonische

mechanische Anregung notwendige Applikator wird in Kap. 6 vorgestellt.

In Kap. 4 wird mit Hilfe von Simulationen untersucht, in wie weit die theoretischen Ab-

schätzungen aus Kap. 3 zutreffen. Dabei wird die Methode derFiniten Elemente zur

Berechnung des normierten Dehnungsunterschiedes benutzt,der in die Berechnung des

elastographischen Kontrastes eingeht. Ein im Puls-Echo-Betrieb arbeitendes Ultraschall-

gerät wird ebenfalls simuliert. Unter Nutzung der Ergebnisse aus den FEM-Simulationen

werden Datensätze eines Objektes vor und nach Kompression simuliert, aus denen an-

schließend Elastogramme berechnet werden. Der Einfluss lateraler und elevationaler Ver-

schiebungen auf den elastographischen Kontrast wird in Abhängigkeit von Parametern

der ortsabhängigen Punktbildfunktion untersucht, wobei ein Verfahren vorgestellt wird,

mit dem laterale Verschiebungen kompensiert werden können.

Auf das im Rahmen dieser Arbeit realisierte Abbildungssystem wird in Kap. 5 eingegan-

gen. Es besteht aus einem Ultraschallgerät, einem Trigger-Interface und einem PC mit

A/D-Wandler Karte. Der Signalfluss des Abbildungssystemswurde dahingehend opti-

miert, dass eine Implementierung verschiedener Abbildungsmodalitäten in Echtzeit mög-

lich ist.

Die experimentellen Ergebnisse der Arbeit werden in Kap. 6 vorgestellt. Als Phantom-

Material diente ein Polyvinylalkohol, dessen elastische Eigenschaften den Anforderungen

entsprechend angepasst werden können. Mit Hilfe eines speziell angefertigten Phantoms,

das aus Gebieten mit unterschiedlicher Elastizität besteht, wurden Elastogramme sowohl

in Freihand-Technik als auch mit Hilfe eines mechanischen Applikators aufgenommen,

der eine harmonische Bewegung des Mediums bewirkt.

Die abschließende Zusammenfassung mit einem Ausblick findet sich in Kap. 7.

Kapitel 2

Grundlagen

Im folgenden Kapitel wird auf Grundlagen der Ultraschallphysik und auf Grundlagen

der Mechanik eingegangen. Mit Hilfe der Grundlagen der Ultraschallphysik kann ein

Signalmodell hergeleitet werden, mit dem verständlich wird, wie die im medizinischen

Ultraschall genutzten Signale entstehen. Bei den mechanischen Grundlagen wird auf die

Elastizitätstheorie isotroper Körper eingegangen, die für ein Verständnis der in Kap. 4.1

durchgeführten FEM-Simulationen notwendig sind.

2.1 Ultraschall im Puls-Echo-Verfahren

Die heutzutage in der medizinischen Diagnostik eingesetzten Ultraschallgeräte arbeiten

größtenteils in der Puls-Echo-Technik. Die Signalentstehung soll anhand von Abb. 2.1

erläutert werden. Ein kurzer Spannungspuls gelangt über eine Sende-/Empfangsweiche

z

Wandler (v, p)

Echo (U)

Z1 Z2

S/E

Z=Z0+∆Z

t

zi, tiA / D

Abb. 2.1: Ultraschall im Puls-Echo-Verfahren

zu einer Piezokeramik (Schallwandler), an der eine elektromechanische Energieumwand-

lung erfolgt, die zu einer Schnelleverteilungv auf der Wandlerfläche führt. Die Geome-

trie der Schallwandlerfläche (Apertur) bestimmt die örtliche Schalldruckverteilungp. Die

Wechselwirkung der tiefenabhängigen Schalldruckverteilung mit biologischem Gewebe

führt zu Schallechos, die vom Schallwandler empfangen, in elektrische Signale gewandelt

und dann digitalisiert werden. Die Einhüllende eines solchen hochfrequenten Echosignals

bildet eine A-Linie, d.h. eine Spalte eines Ultraschallbildes.

Für eine systemtheoretische Betrachtung kann man das Abbildungssystem in folgende

Komponenten mit entsprechenden Übertragungsfunktionen unterteilen:

2.1 Wechselwirkung Gewebe↔ Ultraschall 6

• Die elektromechanische Energieumwandlung eines Aktuators bzw. Sensors mit

dem Zweck, akustische Wellen in biologisches Gewebe ein- bzw. auszukoppeln

mit Übertragungsfunktion Hem(ω).

• Das gerichtete Senden und Empfangen von Schallwellen durchdie Verwendung

einer Apertur, deren Elemente relativ zueinander zeitverzögert angesteuert werden

können, wodurch akustische Beugung entsteht mit Übertragungsfunktion Hbe(ω),

in der der Sende- und Empfangsvorgang zusammengefasst wird.

• Die Wechselwirkung von akustischen Wellen mit biologischem Gewebe. Zum einen

entstehen durch lokale Unterschiede der Dichte∆ρ und Schallgeschwindigkeit∆c

akustische Rückstreuung (durch kleine akustische Impedanzänderungen∆Z, be-

rücksichtigt in Hst(ω)) und Reflexion an Grenzflächen (durch große akustische Im-

pedanzänderungenZ1/Z2, berücksichtigt in Hre(ω)). Zum anderen werden Schall-

wellen in biologischem Gewebe frequenzabhängig gedämpft (Hd(ω)).

Die Signalentstehung eines Ultraschallabbildungsverfahrens kann mit den genann-

ten Übertragungsfunktionen in einem Blockschaltbild nach Abb. 2.2 zusammengefaßt

werden. Je nach Aufgabenstellung müssen nun Vereinfachungen für die einzelnen

, c∆ρ ∆

v

BiologischesGewebe

ElektromechanischeImpulsantwort

RäumlicheImpulsantwort(Sendeweg)

RäumlicheImpulsantwort(Empfangsweg)

Schallwandler-anregung

Empfangs-signal

Hem Hst , Hre , Hd

Hbe

Hbe,s Hbe,e

Abb. 2.2: Blockschaltbild für Signalentstehung

Komponenten getroffen werden, um ein für die Anforderungenausreichend genaues

Signalmodell herzuleiten. Im hier vorliegenden Fall wird auf die elektromechanische

Impulsantwort mit ÜbertragungsfunktionHem(ω) nicht näher eingegangen. Bei den

Ultraschallwandlern handelt es sich um Piezokeramiken, die alsλ/2-Dickenschwinger

betrieben werden, wodurch sich eine Mittenfrequenzf0 ergibt. Durch mechanische

Dämpfung dieses Dickenschwingers wird dessen6-dB BandbreiteB – sowohl im Sende-

als auch Empfangsfall – erhöht, natürlich zu Lasten der Signalamplitude.

2.1.1 Wechselwirkung Gewebe↔ Ultraschall

Ultraschallbilder sind besonders durch ihre Speckle-Charakteristik geprägt. Unter Speck-

le versteht man jenes Muster, das sich bei der Rückstreuung von Ultraschallwellen ergibt,

wenn sich in einem im Vergleich zur Ortsauflösung kleinen Volumenelement viele Streu-

zentren befinden [28]. Ausgehend von der Wellengleichung für inhomogene Medien [21]

2.1 Feldverteilung 7

läßt sich ein in weiten Grenzen gültiges Modell für Ultraschall-Echosignale aus biologi-

schem Weichgewebe ableiten [103, 104, 108], mit dem sowohl die diffuse Rückstreuung

aufgrund von stochastisch verteilten akustischen Impedanzinhomogenitäten (Hst(ω)) als

auch Reflexionen an auflösbaren Inhomogenitäten (Hre(ω)) erklärt werden können. Bei

der Gewebedifferenzierung mit Ultraschall wird versucht,aus dem Leistungsdichtespek-

trum der Ultraschall-Echosignale lokal das Betragsspektrum |Hst(ω)| zu schätzen, um

verschiedene Gewebetypen aufgrund ihres Streuverhaltenszu klassifizieren [90, 91]. Sy-

stemtheoretisch kann diese Rückstreuung als dreidimensionale Faltung mit einem lokalen

Reflektivitätsprofilf(x, y, z) betrachtet werden [65], wobei Gewebetiefez und Signal-

laufzeitt überz = /1 2 c t verknüpft sind. In der Gewebedifferenzierung wird gewisserma-

ßen das Spektrum eines solchen Reflektivitätsprofils geschätzt.

Da die Gewebedämpfung vergleichsweise gering ist, kann ihre Wirkung in Form einer

nachträglichen Störungsrechnung beschrieben werden. Hierbei wird davon ausgegangen,

dass die Dämpfung die eigentliche Schallausbreitung nur durch ein exponentielles Ab-

klingen aller Feldgrößen in Schallausbreitungsrichtung verändert. Somit kann die Dämpf-

ungsübertragungsfunktion definiert werden, die die Dämpfung auf Hin-und Rückweg des

Schalls für die Tiefez wiedergibt,

|Hd(ω)| = e−2 α(ω) z . (2.1)

Die durch Dämpfung entstehende Minderung der Signalamplitude wird in Ultraschall-

systemen mit Hilfe eines TGC (engl.:time gain compensation) ausgeglichen, der das

Echosignal tiefenabhängig verstärkt. Zu beachten ist, dass die akustische Dämpfung in

biologischem Gewebe frequenzabhängig ist, was zu einer Verschiebung der Mittenfre-

quenzf0 des Spektrums und einer Reduktion der BandbreiteB über der Tiefe führt.

Zur vollständigen Beschreibung eines Signalmodels fehlt noch die Herleitung einer räum-

lichen Impulsantworth(x, y, z) (Punkbildfunktion, engl.:point spread function), die das

Übertragungsverhalten Hbe(ω) beschreibt, das durch die Verwendung von Aperturen bzw.

zeitverzögert angesteuerten Arrays zu Stande kommt.

2.1.2 Feldverteilung einer Apertur / Beugung

Bei der Schallabstrahlung von schwingenden festen Flächen ist im einfachsten Fall die

strahlende Fläche eben und Bestandteil einer unendlich ausgedehnten Ebene, die an

all denjenigen Stellen bewegungslos bleibt, von denen keine Schallabstrahlung erfolgt.

Schreibt man jedem FlächenelementdS einer AperturS nach Abb. 2.3 eine zur ihr

senkrechte Schnellekomponentevn(t) zu, so ist jedes dieser Flächenelemente Ausgangs-

punkt einer Kugelwelle mit der infinitesimalen Volumenschnelle vn(t) dS [60]. Der

Gesamtschalldruck in jedem PunktP des erzeugten Strahlungsfeldes ergibt sich dann

durch Addition der Beiträge aller Kugelwellen, d.h. durch ihre Integration über die ganze


z

xy

Apertur S 1r��

��

2r

Feldpunkt P

unendlich ausgedehnte,schallharte Umgebung

dS

= −��

1 2R r r

Abb. 2.3: Position einer Apertur und eines Feldpunktes

Strahlerebene (Prinzip der Punktquellensynthese, Huygen’s Prinzip). Das so genannte

Rayleigh-Integral [77] lautet

p(r1, t) =ρ0

2π

∫∫

S

∂∂t

vn(r2, t − |r1−r2|c

)

|r1 − r2|dS . (2.2)

Unter der Annahme eines „Kolbenstrahlers“, d.h., dass die Schnellevn(r2, t) außerhalb

einer geschlossenen Randkurve zu Null wird, und dass für die Schnelle eine harmonische

Bewegung der Artvn(r2, t) = v0 ejωt mit Kreisfrequenzω und Wellenzahlk = 2π/λ

angenommen wird, ergibt sich der erzeugte Schalldruck zu

p(r1, t) =jωρ0

2πv0 ejωt

∫∫

S

e−jkR

RdS . (2.3)

Im folgenden soll für eine Aperturgeometrie nach Abb. 2.4 mit Maßen nach Tab. 2.1

Laterale AuflösungElevationale Auflösung

x

y

z

Apertur

Abb. 2.4: Geometrie einer aktiven Apertur (schwarz) als Teil einer größeren Apertur

die Schalldruckverteilung bei einer Frequenzf0 = 8.5 MHz berechnet werden. Die ver-

Tab. 2.1: Aperturdaten

Aperturlänge ∆x (lateral) 14,08 mm

Aperturbreite ∆y (elevational) 2,50 mm


wendeten Maße sind so gewählt, dass die Fläche der aktiven Apertur mit der Fläche aller

Arrayelemente übereinstimmt, die in dem hier verwendeten kommerziellen Ultraschall-

gerät bei der Schallstrahlformung angesteuert werden.

In Abb. 2.5 ist die Einhüllende der Schalldruckamplitude für die Ebeney = 0 und für

die Ebenex = 0 dargestellt. Zur Veranschaulichung der Richtcharakteristik der Aper-

Abb. 2.5: Einhüllende der Schalldruckamplitude eines Element-Arrays in dB in der Ebene

x = 0 bzw.y = 0 ohne Schallstrahlformung (engl.:Beamforming)

tur, insbesondere der elevationalen und lateralen Schallfeldausdehnung, sind die beiden

Hauptebenen in den Abbildungen 2.6 und 2.7 vergrößert dargestellt. In Abb. 2.6 findet

70

80

90

z in [mm]

y in

[mm

]

Einhüllende der Schalldruckamplitude in dB

0 10 20 30 40 50 60

-10

0

10

Abb. 2.6: Schallfeld eines Element-Arrays in der Ebenex = 0

sich die Einhüllende der Schalldruckamplitude für die Ebene x = 0. Dabei ist zu be-

achten, dass die elevationale Auflösung der Apertur auf derz-Achse (vgl. Abb. 2.4) vom

6 dB-Abfall des Schalldrucks in elevationaler Richtung abhängig ist. Diese liegt im Be-

reich von Millimetern und ändert sich auch bei einer zeitverzögerten Ansteuerung von

Array-Elementen in lateraler Richtung nur unwesentlich.

In Abb. 2.7 findet sich die Einhüllende der Schalldruckamplitude für die Ebeney = 0.

Man sieht eine relativ homogene Abstrahlung in lateraler Richtung, die zu keiner lateralen

2.1 Räumliche Impulsantwort 10

70

80

90

z in [mm]

x in

[mm

]

Einhüllende der Schalldruckamplitude in dB

00 10 20 30 40 50 60

-10

0

10

Abb. 2.7: Schallfeld eines Element-Arrays in der Ebeney = 0

Fokussierung im betrachteten Bereich0 mm < z < 60 mm führt. Mit dieser Apertur

wäre es nur bedingt möglich, Objekte in lateraler Richtung voneinander abzugrenzen.

Wie in Kap. 4.2 gezeigt wird, findet eine Fokussierung in lateraler Richtung erst durch

eine Schallstrahlformung (engl.:beamforming) statt.

2.1.3 Räumliche Impulsantwort

Vertauscht man die Reihenfolge von Integration und partieller Ableitung in Gl. (2.2)

p(r1, t) =ρ0

2π

∂

∂t

∫∫

S

vn(r2, t − |r1−r2|c

)

|r1 − r2|dS , (2.4)

so wird die Einführung eines SchnellepotentialsΦ(r, t) motiviert, das den Gleichungen

v(r, t) = −∇Φ(r, t)

p(r, t) = ρ0∂Φ(r, t)

∂t(2.5)

genügt [69]. Dann wird Gl. (2.4) zu einer Gleichung mit skalaren Größen,

Φ(r1, t) =

∫∫

S

vn(r2, t − |r1−r2|c

)

2π|r1 − r2|dS , (2.6)

wobei die Feldgrößen ausΦ(r, t) abgeleitet werden können. Eine zeitlich begrenzte An-

regung der AperturS konstanter Dauer kann von der Schallwandlergeometrie separiert

werden, indem die Ausblendeigenschaften der Deltafunktion genutzt wird [29],

Φ(r1, t) =

∫∫

S

∫

t′

vn(r2, t′)δ(r2, t − |r1−r2|

c− t′)

2π|r1 − r2|dt′ dS , (2.7)

2.1 Datenmodell des Ultraschall-Echosignals im Puls-Echo-Betrieb 11

Nimmt man nun die Schnellevn(r2, t) als gleichmäßig über der ganzen AperturS an, so

dassvn(r2, t) = vn(t) unabhängig vonr2 ist, dann folgt

Φ(r1, t) =

∫∫

S

vn(t) ∗ δ(r2, t − |r1−r2|c

)

2π|r1 − r2|dS , (2.8)

bzw.

Φ(r1, t) = vn(t)∗hr1r2(r1, t) mit hr1r2

(r1, t) =

∫∫

S

δ(r2, t − |r1−r2|c

)

2π|r1 − r2|dS .(2.9)

Das Integral in Gl. (2.9) ist die räumliche Impulsantwort, die die dreidimensionale Aus-

dehnung des Feldes in Abhängigkeit von einem Aufpunktr2 der AperturS und einem

Feldpunktr1 beschreibt. Mit Hilfe der räumlichen Impulsantworthr1r2(r1, t) kann der

Schalldruck nach Gl. 2.5 zu

p(r1, t) = ρ0∂vn(t)

∂t∗ hr1r2

(r1, t) (2.10)

berechnet werden, wenn die Schnelle der Apertur bekannt ist. Durch das Prinzip der

akustischen Reziprozität kann nicht nur der Fall der Transmission, sondern auch der

Fall des Empfangs von akustischen Wellen für ein streuendesMedium modelliert wer-

den [99, 46, 49], wobei die Aperturfläche beliebig gewählt werden kann. Für das Über-

tragungsverhalten gilt die Beziehung

hr1r2(r1, t) ∗

thr2r1

(r2, t) ◦−• |Hbe(ω)|2 . (2.11)

Zudem kann mit Hilfe des Superpositionsprinzips eine Zusammenschaltung von zeitlich

verzögert angesteuerten Aperturen berechnet werden, was von Jensen et al. im Rahmen

des Ultraschall-Simulators FIELD II umgesetzt wurde [48]. Dieser Ultraschall-Simulator

wurde auch in dieser Arbeit eingesetzt (s. Kap. 4.2).

2.1.4 Datenmodell des Ultraschall-Echosignals im

Puls-Echo-Betrieb

In einem kleinen Gewebebereich kann angenommen werden, dass örtliche Gewebein-

homogenitäten nur kleine Änderungen der akustischen Impedanz verursachen, dass die

tiefenabhängige Dämpfung kompensiert werden kann, und dass die dreidimensionale Sy-

stemantworth(x, y, z) (d.h. die dreidimensionale Abbildung eines Punktstreuers) sepa-

rierbar ist. In Abhängigkeit von der lateralen Schallwandlerpositionx und Bildtiefe z

ergibt sich das Empfangssignale(x, y, z) für kleine Verschiebungen bzw. Rotationen aus

einer dreidimensionalen Faltung [3, 95, 52, 67] zu

e(x, y, z) = h(x, y, z) ∗x∗y∗z

f(x, y, z) . (2.12)

Dabei isth(x, y, z) die räumliche Impulsantwort des Ultraschallsystems undf(x, y, z)

die Impulsantwort des Gewebes, die durch kleine örtliche Änderungen der akustischen

2.2 Grundlagen der Mechanik 12

Impedanz zu Stande kommt1. In biologischem Weichgewebe ist die Anzahl der Streu-

zentren pro Auflösungszelle so groß, dassf(x, y, z) als dreidimensionale normalverteilte

Zufallsvariable angenommen werden kann. Durch die Beziehung z = /1 2 c t zwischen Ge-

webetiefez, Schallgeschwindigkeitc und Laufzeitt kann Gl. (2.12) auch als

e(x, y, t) = h(x, y, t) ∗x∗y∗t

f(x, y, t) + n(t) (2.13)

geschrieben werden. Die Punktbildfunktion (PBF) wird als modulierter gaußförmiger

Puls mit Trägerfrequenzf0 angenommen [67],

h(x, y, t) = exp

[−

(x2

2 σ2lat

+y2

2 σ2elev

+t2

2 σ2ax

)]cos(2πf0 t) . (2.14)

Der Parameterσax der PBF in axialer Richtung ist im medizinischen Ultraschall abhängig

von der BandbreiteB des Ultraschallsystems und bestimmt das axiale Auflösungsvermö-

gen. Die Parameterσlat bzw. σelev der PBF in lateraler bzw. elevationaler Richtung sind

von der Geometrie der Schallwandlerelemente und der Schallstrahlformung (engl.:beam-

forming) abhängig und bestimmen das laterale bzw. elevationale Auflösungsvermögen.

Das grauwertkodierte B-Bild eines Ultraschallsystems ergibt sich aus der Einhüllenden

des Empfangssignalse(x, y, t) mit Hilfe seiner HilberttransformierteneH(x, y, t) zu

eE(x, y, t) =√

e(x, y, t)2 + eH(x, y, t)2 = | e(x, y, t) | (2.15)

und ist identisch mit dem Betrag des analytischen Signalse(x, y, t) = e(x, y, t) +

j·eH(x, y, t).

2.2 Grundlagen der Mechanik

Im folgenden wird kurz auf die Grundlagen der Elastizitätstheorie eingegangen, um die

wesentlichen Parameter zur Charakterisierung eines isotropen Materials herzuleiten. Da-

durch wird die Darstellung der mechanischen Dehnung (Feldgröße) motiviert.

2.2.1 Lineare Elastizitätstheorie

Allgemein formuliert zieht eine Deformation eines elastischen Körpers die Erscheinung

innerer Spannungen nach sich, d.h., es existiert zwischen Spannung und Deformation eine

bestimmte Abhängigkeit,

σik = σik(εlj) . (2.16)

Die einzelnen Komponenten der mechanischen Spannungσik bzw. der mechanischen

Dehnungεlj bilden jeweils einen Tensor zweiten Ranges, wobei die Koordinatenx, y

1Damit sind sowohl kleine Schwankungen der akustischen Impedanz als auch kleine Schwankungen der

Streuerdichte gemeint

2.2 Lineare Elastizitätstheorie 13

undz nach Abb. 2.8 durch die Indizes1, 2 und3 ersetzt werden, d.h.i, k, l, j ǫ {1, 2, 3}.

Das Experiment zeigt, dass bei geringen Deformationen die Spannung proportional der

z

x

y

ó33=ózz

ó31=ózx

ó32=ózy

ó23=óyz

ó22=óyy

ó21=óyx

ó =11 óxx

ó =12 óxy

ó13=óxz

Abb. 2.8: Größen des Spannungstensors

Deformation ist, im allgemeinen Fall also

σik =3∑

l=1

3∑

j=1

ciklj · εlj (2.17)

gilt (verallgemeinertes HOOK’sches Gesetz). Die Proportionalitätskoeffizientenciklj bil-

den einen Tensor vierten Ranges mit 81 Einträgen und werden als lineare Elastizitäts-

moduln oder Konstanten der Steifheit bezeichnet. Durch siewird jede Dehnungs- bzw.

Scherkomponente inεlj linear mit jeder Längs- bzw. Scherspannungskomponenteσik ver-

knüpft. Da der Verzerrungstensor symmetrisch ist (εlj = εjl), muss auchciklj = cikjl sein.

Dadurch reduziert sich die Anzahl der linear unabhängigen Einträge incikjl von 9·9 = 81

auf 9·6 = 54. Gleichermaßen folgt aus der Symmetrie des Spannungstensors (σik = σki),

dassciklj = ckilj sein muss (engl.:lack of rotation). Dadurch reduziert sich die Anzahl

der Einträge von 9· 6 = 54 auf 6· 6 = 36, so dass sich das verallgemeinerte HOOK’sche

Gesetz auf die Form

σ1

σ2

σ3

σ4

σ5

σ6

=

c11 c12 c13 c14 c15 c16

c21 c22 c23 c24 c25 c26

c31 c32 c33 c34 c35 c36

c41 c42 c43 c44 c45 c46

c51 c52 c53 c54 c55 c56

c61 c62 c63 c64 c65 c66

·

ε1

ε2

ε3

ε4

ε5

ε6

(2.18)

reduzieren lässt (vgl. S. 28 ff. in [100]). Dabei ist

σ1

σ2

σ3

σ4

σ5

σ6

Def:=

σ11

σ22

σ33

σ23

σ31

σ12

und

ε1

ε2

ε3

ε4

ε5

ε6

Def:=

ε11

ε22

ε33

2 ε23

2 ε31

2 ε12

. (2.19)

2.2 Isotroper Festkörper 14

Eine weitere Symmetrieüberlegung führt aufciklj = cljik bzw.cnm = cmn (Reziprozität),

was den Tensor der Elastizitätsmoduln im allgemeinen Fall auf 21 linear unabhängige

Einträge reduziert.

Im o.g. Fall charakterisiert der Tensorcnm die Elastizität eines Mediums, das keine Sym-

metrieelemente besitzt. Die Anwesenheit solcher Symmetrieelemente führt dazu, dass die

Anzahl der von Null verschiedenen Elastizitätsmoduln geringer wird sowie die Anzahl der

unabhängigen Moduln abnimmt (S. 140 ff. in [70] für alle Möglichkeiten2).

Die Symmetrieeigenschaften eines Materials können genutzt werden, um mit Hilfe di-

rekter Inspektion (S. 138 f. in [70]) die Einträge derciklj zu untersuchen. Im Falle eines

kubischen Materials ergeben sich 12 der 21 Einträge zu Null.Von den verbleibenden

9 Einträgen sind nur drei linear unabhängig, und es gilt

c11 = c22 = c33 (2.20)

c12 = c13 = c23 (2.21)

c44 = c55 = c66 . (2.22)

2.2.2 Isotroper Festkörper

Für den Fall eines isotropen Materials sind sogar nur 2 der 9 Einträge linear unabhängig.

Diese beiden Parameter heißen Lamé-Koeffizientenλ undµ und es gilt

c11 = c22 = c33 = 2 µ + λ (2.23)

c12 = c13 = c23 = λ (2.24)

c44 = c55 = c66 = µ . (2.25)

Wenn die Spannungs- und Deformationskomponenten mit zwei Indizes darzustellen sind,

dann lautet das HOOK’sche Gesetz für den isotropen Festkörper

σ11

σ22

σ33

σ23

σ31

σ12

=

λ + 2 µ λ λ 0 0 0

λ λ + 2 µ λ 0 0 0

λ λ λ + 2 µ 0 0 0

0 0 0 µ 0 0

0 0 0 0 µ 0

0 0 0 0 0 µ

ε11

ε22

ε33

2 ε23

2 ε31

2 ε12

(2.26)

bzw.

σik = λ Θ δik + 2 µ εik für i, k = 1, 2, 3 , (2.27)

wobeiΘ = ε11 + ε22 + ε33 die Volumenausdehnung ist.

2triklin, monoklin, rhombisch, tetragonal, trigonal, hexagonal, kubisch

2.2 Eindimensionale Spannung (Dehnung eines Stabes) 15

2.2.3 Eindimensionale Spannung (Dehnung eines Stabes)

Ist von allen Komponenten des Spannungstensors z.B. nur die Komponenteσ33 von Null

verschieden und die übrigenσik identisch Null, dann folgt aus Gl. (2.27) für diesen Fall

ε33 =(λ + µ) σ33

µ (3 λ + 2 µ)(2.28)

und

ε22 = ε11 = − λσ33

2 µ (3 λ + 2 µ). (2.29)

Somit ruft eine positive Normalspannung, die längs derz-Achse wirkt, eine Dehnung in

dieser Richtung und eine Kompression in Querrichtung hervor.

Der Koeffizient vor der Spannung in Gl. (2.28) stellt dem Sinn nach den Elastizitätsko-

effizienten des gedehnten Stabes dar. Seine reziproke Größe ist der effektive Elastizitäts-

modul, den man in diesem Fall den YOUNG’schen Modul nennt:

E =µ (3 λ + 2 µ)

λ + µ. (2.30)

Unter Berücksichtigung von Gl. (2.30) nimmt Gl. (2.28) die Form

ε33 E = σ33 (2.31)

an. Somit charakterisiert der YOUNG-Modul die Steifheit des Stabes im Vergleich zu sei-

ner Kompression. Wird die Spannungskomponenteσ33 lokal als konstant angenommen,

so verhalten sich Dehnungε33 und ElastizitätsmodulE antiproportional, so dass die Dar-

stellung der Dehnung eine semi-quantitative Abbildung desE-Moduls ergibt.

Das absolute Verhältnis von Quer- zu Längsdeformation des Stabes, d.h. der relativen

Kompression aus Gl. (2.29) zur relativen Verlängerung aus Gl. (2.28), die durch die

Längsspannung hervorgerufen wird, wird POISSON-Koeffizient genannt,

ν =

∣∣∣∣ε22

ε33

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ε11

ε33

∣∣∣∣ =λ

2 (λ + µ). (2.32)

Somit gilt ε22 = ε11 = −ν σ33/E. Das bedeutet, dass die Querschnittsverringerung des

Stabes bei seiner Längsdehnung durch die SteifheitE/ν charakterisiert wird.

Löst man die beiden Gleichungen (2.30) und (2.32) nach den Lamé-Koeffizienten auf, so

stehen sie mit den bekannten Größen ElastizitätsmodulE, SchubmodulG und Poisson

Zahlν in folgendem Zusammenhang (vgl. S. 16, [61]),

µ =E

2(1 + ν)= G (2.33)

λ =E ν

(1 + ν)(1 − 2 ν). (2.34)

Im Falle eines biologischen Gewebes, bei dem es sich um ein nahezu inkompressibles

Medium handelt(ν → 0.5), gilt demnachG = E/3.

2.2 Ebener Spannungszustand, ebener Verzerrungszustand 16

2.2.4 Ebener Spannungszustand, ebener Verzerrungszustand

Die Gleichungen für den ebenen Spannungszustand bzw. für den ebenen Verzerrungszu-

stand werden hier für diex-z-Ebene angegeben, weil diese Ebene mit einem Ultraschall-

Abbildungssystem dargestellt wird (vgl. dazu auch Kap. 4.1und Kap. 4.2).

Im ebenen Spannungszustand(engl.:plain stress) betrachtet man eine dünne Scheibe,

deren Dicke klein im Vergleich zu den übrigen Abmessungen ist. Wenn sie nur durch

Kräfte belastet wird, deren Wirkungslinien in der Ebene liegen, entsteht in der Platte

ein Spannungszustand, den man näherungsweise als ebenen Spannungszustand beschrei-

ben kann. Der ebene Spannungszustand wird dadurch charakterisiert, dass die Span-

nungskomponenten in der dritten Richtung (z.B. iny-Richtung) verschwinden [92], d.h.

σyy = σxy = σzy = 0 gilt.

Die Grundgleichungen des ebenen Spannungszustandes ergeben sich aus Gl. (2.27) zu

(vgl. S.17, [61])

σxx

σzz

σxz

=

E

(1 − ν2)

1 ν 0

ν 1 0

0 0 1−ν2

εxx

εzz

2 εxz

. (2.35)

Den ebenen Spannungszustand kann man so interpretieren, als wenn man ein sehr dünnes

Objektes betrachtet, z.B. eine Scheibe oder ein Lineal, das in der Ebene belastet wird [4].

Im ebenen Verzerrungszustand(engl.:plain strain) ist in senkrechter Richtung zur be-

trachteten Ebene (z.B. derx-z-Ebene) zwar eine Normalspannungσyy vorhanden, die

aber keinen Beitrag zur inneren Arbeit liefert, da nach Definition die Dehnung in dieser

Richtung Null ist, d.h.εyy = εxy = εzy = 0.

Die Grundgleichungen des ebenen Verzerrungszustandes ergeben sich aus Gl. (2.27) zu

(vgl. S.17, [61])

σxx

σzz

σxz

=

E

(1 + ν)(1 − 2 ν)

1 − ν ν 0

ν 1 − ν 0

0 0 1 − 2 ν

εxx

εzz

2 εxz

. (2.36)

Den ebenen Verzerrungszustand kann man so interpretieren,als wenn man den Quer-

schnitt eines Objektes betrachtet, das in senkrechter Richtung zu diesem Querschnitt weit

ausgedehnt ist [4].

Kapitel 3

Modellbildung

Wie in Kap. 2.2.3 dargestellt wurde, gilt für den Fall einer vorherrschenden Spannungs-

komponente ein linearer Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung in dieser

Richtung, z. B.σzz = E εzz nach Gl. (2.31). Nimmt man nun an, dass die mechanische

Spannung örtlich konstant ist, dann verhält sich die mechanische Dehnung antipropor-

tional zum Materialparameter Elastizitätsmodul. Die zweidimensionale Darstellung der

mechanischen Dehnung ist also eine semiquantitative Abbildung elastischer Eigenschaf-

ten.

Im folgenden Kapitel soll darauf eingegangen werden, wie aus Ultraschall-Echodaten

eines Objektes unter Kompression die mechanische Verschiebungτ(z) bzw.τ(t) ortsauf-

gelöst berechnet wird und welche statistischen Eigenschaften sich für die mechanische

Verschiebung bzw. die mechanische Dehnung ergeben.

3.1 Datenmodell der Ultraschall-Elastographie

Betrachtet man das Empfangssignal einer einzelnen A-Linie an einer lateralen Schall-

wandlerpositionx = x0 und nimmt die Impulsantwort als ortsinvariant an, so kann

Gl. (2.12) auf eine eindimensionale Faltung entlang der Achse z des Schallstrahls re-

duziert werden [10],

e(z) = h(z) ∗z

f(z) + n(z) , (3.1)

mit einer additiven Störungn(z), die ein mittelwertfreies und örtlich unkorreliertes Rau-

schen (z.B. elektronisches Rauschen) repräsentiert.

Wird das Gewebe mit lokaler Reflektivitätf(z) nun inz-Richtung komprimiert, so füh-

ren die resultierenden örtlichen Verschiebungenuz(z) zu Verschiebungen dieser lokalen

Reflektivität, d.h.f(z) → f(z + uz(z)). Seie1(z) das Empfangssignal vor Kompression

unde2(z) das Empfangssignal nach Kompression, dann gilt

e1(z) = h(z) ∗z

f(z) + n1(z)

e2(z) = h(z) ∗z

f(z + uz(z)) + n2(z) . (3.2)

Im störungsfreien Fall(ni(z) = 0) gilt dann in einer kleinen Umgebung umz = z0 die

Beziehung

e2(z) = e1(z + uz(z)) bzw.

3.2 Zeitverschiebungsschätzung 18

e2(t) = e1(t + τ(z)) , (3.3)

wobei die Verschiebunguz(z) mit einem Laufzeitunterschiedτ(z) überuz(z) = /1 2 c τ(z)

verknüpft ist. Die mechanische Dehnungεzz in z-Richtung ergibt sich zu

εzz =∂uz

∂z=

1

2

(dc(z)

dzτ(z) + c(z)

dτ(z)

dz

). (3.4)

Da die mikroskopischen Variationen der Schallgeschwindigkeit klein sind gegenüber den

durch eine Kompression hervorgerufenen makroskopischen Verschiebungenuz(z) bzw.

Laufzeitunterschiedenτ(z), folgt aus Gl. (3.4)

εzz = /1 2 cdτ(z)

dz=

dτ(t)

dt, (3.5)

wobei wieder die Äquivalenz von Zeitachset der Echos und Gewebetiefez benutzt wurde.

Die lokalen Laufzeitunterschiedeτ(t) können mit Hilfe von Methoden der Zeitverschie-

bungsschätzung (engl.:time delay estimation) in einer quasikontinuierlichen Auflösung

bestimmt werden, wenn die hochfrequenten Echosignale vor und nach geringen Kom-

pressionsschritten aufgenommen wurden.

3.2 Zeitverschiebungsschätzung

Die Schätzung von Zeitverschiebungen wird in der Ultraschallbildgebung für verschiede-

ne Anwendungen genutzt, so bei der Blutflußmessung [22, 23],bei der Bestimmung von

Laufzeitdifferenzen zur Korrektur von Phasenaberrationen und zur Messung von Gewe-

beverschiebungen bei der Abbildung elastischer Gewebeeigenschaften.

3.2.1 Methoden der Zeitverschiebungsschätzung

Methoden mit hochfrequenten Echodaten

Geht man davon aus, dass die Zeitverschiebung in einem kleinen Bereich umt = ti als

konstant angenommen werden kann und dass die statistischenEigenschaften der beiden

Empfangssignalee1(t) unde2(t) im betrachteten Bereich zeitunabhängig sind, dann sind

e1(t) und e2(t) gemeinsam stationäre Prozesse [14]. Die Zeitverschiebungkann unter

diesen Annahmen mit Hilfe der Kreuzkorrelationsfunktion

r12(τ) =1

TC

ti+TC/2∫

ti−TC/2

e1(t + τ) e2(t) dt für |τ | <π

2 π f0

≪ TC (3.6)

bestimmt werden [8, 57], wobei der Suchbereich im Hinblick auf eine spätere Verwen-

dung von Methoden im Basisband durch die Beziehungω0 · |τ | < π eingeschränkt wer-

den kann. Aus Abb. 3.1 wird ersichtlich, dass die bei der Berechnung der Korrelation

3.2 Methoden der Zeitverschiebungsschätzung 19

verwendete FensterlängeTC unabhängig vom AbstandTτ zweier aufeinander folgender

Verschiebungsschätzungen wählbar ist. Die Kreuzkorrelationsfunktionr12(τ) wird an der

TC

Tτ ti+1ti

A

te1(t)e2(t)

Abb. 3.1: Def inition der FensterlängeTC und SchrittweiteTτ an Positionenti, ti+1

Stelle des Laufzeitunterschiedes maximal, d.h.

∆τ(ti) = arg maxτ

(r12(τ)) für−π

ω0

< τ <π

ω0

(3.7)

ist ein Schätzer für die gesuchte Laufzeitdifferenz. Definiert man in Anlehnung an

Gl. (3.6) die Autokorrelationsfunktion über

rkk(τ) =1

TC

ti+TC/2∫

ti−TC/2

ek(t + τ) ek(t) dt mit |τ | ≪ TC für k = 1, 2 , (3.8)

dann ergibt sich die Funktion des Kreuzkorrelationskoeffizienten zu (vgl. S. 535 in [5])

ρ(τ) =r12(τ)√

r11(0)√

r22(0)(3.9)

und kann Werte zwischen−1 und1 annehmen. Die Suche nach dem Maximum der Kreuz-

korrelationsfunktion nach Gl. (3.7) erfordert hochfrequente Echodaten. Obwohl die Kor-

relationsfunktion mit Hilfe einer Faltungsoperation berechnet werden kann,

r12(τ) = e1(t) ∗t

e2(−t) , (3.10)

gestaltet sich die genaue Suche nach dem Maximum sehr rechenaufwendig, da sie auf-

wendige Interpolationen erfordert.

Methoden im Basisband

Führt man gestrichene Größenτ ′i im Sinne von Laufzeiten innerhalb von Signalen ein, so

kann ein gefenstertes hochfrequentes Echosignal

ei(t) = A(t − τ ′i) · cos (ω0(t − τ ′

i)) , (3.11)

3.2 Methoden der Zeitverschiebungsschätzung 20

mit EinhüllenderA(t − τ ′i) auch im Basisband dargestellt werden,

ei(t) = A(t − τ ′i) · e−jω0τ ′

i . (3.12)

Die Kreuzkorrelationsfunktion für Signale im Basisband lautet

r12(τ) =1

TC

ti+TC/2∫

ti−TC/2

e1(t + τ) e2(t)∗ dt . (3.13)

Die Korrelationsfunktion an der Stelleτ = 0 zwischen dem Signale1(t) unde2(t) errech-

net sich nach Einsetzen in (3.13) und Substitution zu

r12(0) ≈ rAA(∆τ) · ejω0∆τ (3.14)

mit ∆τ = τ2 − τ1 und rAA(∆τ) als Autokorrelationsfunktion der Einhüllenden an der

Stelle∆τ , die reellwertig und für kleine∆τ positiv ist. Der Laufzeitunterschied∆τ(ti)

kann daher allein aus der Phase der Kreuzkorrelationsfunktion r12(τ) an der Stelleτ = 0

geschätzt werden, d.h.,

∆τ(ti) =arg r12(0)

ω0

. (3.15)

In einer kleinen Umgebung umt = ti können die Phasenverläufeϕi(t) der beiden Basis-

bandsignale durch die Beziehung

ϕ2(t) ≈ ϕ1(t) + ω0∆τ = ϕ1(t) +2 π f0

c· 2∆z (3.16)

angenähert werden und hängen von der Verschiebung∆z ab. Diese Methode der Lauf-

zeitberechnung wurde in der Elastographie erstmals beim sogenannten „Phase Imaging“

genutzt [71] und ist aus der Darstellung von Blutfluss (engl.: color flow) ebenfalls be-

kannt, zu dessen Detektion schmalbandige Sendepulse verwendet werden [47]. Da der

Phasenunterschied im Intervall[−π, π] liegt, können jedoch nur Echolaufzeiten (Hin-

und Rückweg) in einem Bereich±λ/2 und Verschiebungen∆z in einem Bereich±λ/4

eindeutig berechnet werden. Pesavento et al. erweiterten dieses Prinzip um einen iterati-

ven Algorithmus [75, 76],

ϕ2(t) = ϕ1(t + ∆τtotal) + ω0 ∆τnew (3.17)

∆τtotal = ∆τtotal + ∆τnew ,

der die bis zum Zeitpunktti erreichte Gesamtverschiebung∆τtotal berücksichtigt und das

Signal e1(t) so lange neu interpoliert, bis der Phasenunterschiedω0 ∆τnew gleich Null

ist (Phasen-Nullstellen-Suche). Das Verfahren konvergiert für breitbandige Signale auch

dann, wenn die Mittenfrequenz der gefensterten Signale nicht mit f0 = ω0/(2 π) über-

einstimmt. Die aufsummierte Gesamtverschiebung∆τtotal entspricht der gesuchten qua-

sikontinuierlichen Verschiebungτ(ti) zwischen den beiden Signalene1(t) unde2(t).

3.2 Varianz der Zeitverschiebungsschätzung 21

3.2.2 Varianz der Zeitverschiebungsschätzung

Im folgenden wird auf die Varianz der aus gefensterten Signalen geschätzten Zeitver-

schiebung eingegangen. Dabei ist die minimal mögliche Varianz eines erwartungstreuen

Schätzers von Interesse, die durch die Cramér-Rao Schranke angegeben werden kann

(vgl. dazu auch [94, 113, 112]).

Definiert man das das Kreuzleistungsspektrum als Fouriertransformierte der Kreuzkorre-

lationsfunktion

Re1e2(f) =

∞∫

−∞

r12(t′)e−j 2πf t′dt′ (3.18)

und die Kohärenz (engl.:magnitude squared coherence) als

|γe1e2(f)|2 =

|Re1e2(f)|2

Re1e1(f)Re2e2

(f), (3.19)

so ergibt sich die minimale Varianz nach [57] zu

σ2τ, CRLB ≥

[TC

∫ ∞

−∞(2πf)2 |γe1e2

(f)|2

1 − |γe1e2(f)|2

df

]−1

. (3.20)

Walker und Trahey führten ein Signalmodell ein, in dem berücksichtigt wird, dass medi-

zinische Ultraschallsignale auch in Abwesenheit von elektronischem Rauschen dekorre-

liert sein können [111]. Betrachtet man zwei Empfangssignale e1(t) = s1(t) + n1(t) und

e2(t) = s2(t) + n2(t), so kann das elektronische Rauschen durchn1(t) bzw. n2(t) be-

schrieben werden und eine mögliche Dekorrelation durch denKorrelationskoeffizienten

ρ zwischens1(t) unds2(t). Unter Annahme von rechteckförmigen, bandpassbegrenzten

Leistungsspektren, d.h.Re1e2= ρ σ2

s undRe1e1= σ2

s +σ2n bzw.Re2e2

= σ2s +σ2

n in einem

Frequenzbereichf0 − B/2 ≤ |f | ≤ f0 + B/2 kann Gl. (3.20) zu

σ2τ, CRLB ≥ 3

2π2TC(B3 + 12Bf 20 )

[1

ρ2

(1 +

1

SNRel

)2

− 1

](3.21)

vereinfacht werden. Dabei istσs als Effektivwert der Amplitude des Signals undσn als

Effektivwert der Amplitude einer unkorrelierten Störung (Elektronisches Rauschen) zu

betrachten, so dass der Signal-zu-Störabstand durch SNRel = σ2s/σ

2n ausgedrückt wird1.

Dieses Ergebnis kann auf gaußförmige Leistungsspektren übertragen werden, wennB

durch die „äquivalente“ Bandbreite von gaußförmigen Spektren ersetzt wird [18]. Dazu

wird anstelle eines gaußförmigen Spektrums ein rechteckförmiges Spektrum gewählt, das

die gleiche Leistung und den gleichen Maximalwert besitzt.Für gaußförmige Spektren

ergibt sichB = 0.75 · B6dB (s. Anhang D, [5]). Im folgenden wird ein Ausdruck für den

Korrelationskoeffizientenρ angegeben, weil dieser nach Gl. (3.21) einen großen Einfluss

auf die Varianz der Zeitverschiebungsschätzungen hat, insbesondere wennρ < 1 wird.

1In der Originalarbeit benutzt Walker das Verhältnis von Effektivwerten.

3.2 Varianz der Zeitverschiebungsschätzung 22

Ausdruck für den Korrelationskoeffizienten ρ

In Anhang B wird gezeigt, dass der Korrelationskoeffizientals Produkt von drei einzelnen

Korrelationskoeffizienten ausgedrückt werden kann, d.h.

ρ = ρax · ρlat · ρelev , (3.22)

wenn für die Punktbildfunktion und die Impulsantwort des Gewebes aus Kap. 2.1.4 an-

genommen wird, dass die Punktbildfunktionh(x, y, t) separierbar ist und dass die Impul-

santwort des Gewebesf(x, y, t) durch weißes Rauschen beschrieben werden kann. Ein

anderer Beweis zu diesem Thema findet sich in [54].

In Gl. (3.22) werden drei Effekte berücksichtigt, die zu einer Dekorrelation der vor bzw.

nach einer Kompression des Mediums empfangenen Echosignale beitragen. Zunächst

führt die axiale Kompression des Gewebes zu einer Stauchungder empfangenen Signale

und damit zu einer Dekorrelation, die durchρax berücksichtigt wird. Weiterhin führen

Verschiebungen∆x in lateraler Richtung bzw.∆y in elevationaler Richtung zu einer De-

korrelation, die durchρlat bzw.ρelev berücksichtigt wird.

Axialer Korrelationskoeffizient ρax

Die durch rein axiale Kompression des Mediums hervorgerufene Dekorrelation der Si-

gnaleρax ergibt sich für das hier untersuchte Verfahren nach [110] zu

ρax =1

TC

TC/2∫

−TC/2

cos(2 π fs εzz t)sin(π Bs fs εzz t)

π Bs fs εzz tdt . (3.23)

Dabei ist

fs =−4f0 + 2 f0 εzz + εzz B

−4 + 4 εzz

und Bs = 22 f0 εzz − 2 B + εzz B

−4 f0 + 2 f0 εzz + εzz B. (3.24)

Es sei auf einen Zusammenhang mit einer Übersichtsarbeit von Quazi [80] verwiesen. Im

Falleρ = 1 kann Gl. (3.21) für einen niedrigen Signal-zu-Störabstand(SNRel ≪ 1) zu

σ2τ, CRLB ≥ 3

8π2 TC

1

SNR2el

1

f 32 − f 3

1

(3.25)

vereinfacht werden kann, wobeif2 = f0 + B/2 und f1 = f0 − B/2 und f 32 − f 3

1 =

B (12 f 20 + B2)/4 benutzt wurden. Für einen hohen Signal-zu-Störabstand (SNRel ≫ 1)

folgt aus Gl. (3.21) entsprechend

σ2τ, CRLB ≥ 3

8π2 TC

2

SNRel

1

f 32 − f 3

1

. (3.26)

Anhand der letzten beiden Gleichungen ist zu erkennen, dasssich die Cramér-Rao Schran-

ke von Zeitverschiebungsschätzungen proportional zu1/SNR2el für den Fall SNRel ≪ 1

und proportional zu1/SNRel für den Fall SNRel ≫ 1 verhält.

3.2 Kovarianz der Zeitverschiebungsschätzung 23

Lateraler Korrelationskoeffizient ρlat

Der Wert des lateralen Korrelationskoeffizientenρlat hängt von lateralen Verschiebungen

∆x ab. Wie in Anhang B gezeigt wird, ergibt sich unter Annahme einer separierbaren und

gaußförmigen PBF nach Gl. (2.14) der laterale Korrelationskoeffizientρlat zu

ρlat(∆x) = exp

(− ∆x2

4 σ2lat

)(3.27)

und hängt vom Parameterσlat der Punktbildfunktion ab [54]. Der Verlauf ist durch die

normierte Autokovarianzfunktion der Einhüllenden in lateraler Richtung gegeben [109].

Elevationaler Korrelationskoeffizient ρelev

Analog zur Überlegung bzgl. des lateralen Korrelationskoeffizienten hängt der Wert des

elevationalen Korrelationskoeffizientenρelev von elevationalen Verschiebungen∆y ab.

Der Verlauf ist durch die normierte Autokovarianzfunktionder Einhüllenden in elevatio-

naler Richtung gegeben und ergibt sich unter Annahme einer separierbaren und gaußför-

migen PBF nach Gl. (2.14) zu

ρelev(∆y) = exp

(− ∆y2

4 σ2elev

). (3.28)

Der Verlauf des elevationalen Korrelationskoeffizientenhängt vom Parameterσelev der

Punktbildfunktion ab.

Anhand von Gl. (3.27) bzw. Gl. (3.28) wird ersichtlich, dasslaterale bzw. elevationale

Verschiebungen in der Größenordnung vonσlat bzw. σelev bereits zu einer starken De-

korrelation der Signale führen. Solche Verschiebungen können z.B. durch ein unbeab-

sichtigtes Verkippen des Ultraschallwandlers während desKompressionsvorgangs oder

Bewegungen des Patienten verursacht werden.

3.2.3 Kovarianz der Zeitverschiebungsschätzung

Während in Kap. 3.2.2 eine untere Schranke für die Varianz dergeschätzten Zeitverschie-

bungen angegeben wurde, wird nun die Kovarianz zweier aufeinander folgender Zeit-

verschiebungsschätzungen betrachtet. Seienτi und τi+1 zwei an den Positionenti und

ti+1 geschätzte Zeitverschiebungen mit einem AbstandTτ = ti+1 − ti. Die Kovarianz ist

insbesondere dann von Interesse, wenn sich die mit einer KorrelationsfensterlängeTC ge-

fensterten Signale aufeinander folgender Zeitverschiebungsschätzungen überlappen, d.h.

wennTτ < TC ist. Céspedes et al. [19] nehmen an, dass die Kovarianz zu Nullwird, wenn

sich die gefensterten Signale nicht überlappen(Tτ > TC), und dass die Kovarianz linear

von Null auf den Wert der minimalen Varianz (Cramér-Rao Schranke) ansteigt, wenn die

Überlappung linear zunimmt(0 ≤ Tτ ≤ TC). Dieser Zusammenhang für die Kovarianz

3.3 Dehnungsschätzung 24

zweier aufeinander folgender Zeitverschiebungsschätzungenτ1 undτ2 lässt sich wie folgt

ausdrücken,

Cov {τ1, τ2} =

{σ2

τ

(1 − Tτ

TC

)für Tτ ≤ TC

0 für Tτ > TC .(3.29)

Dabei wird angenommen, dass die Echosignale in einer gewissen Umgebung stationär

und die Varianzen der Zeitverschiebungsschätzungen identisch sind, d.h.σ2τi

= σ2τ . In

einer Herleitung von Bilgen et al. zeigt sich, dass die Kovarianzfunktion eher durch

einen gaußförmigen Verlauf angenähert werden kann [13, 12]. In den Simulationen zeigt

sich, dass die empirische Kovarianzfunktion auch negativeWerte annimmt (vgl. dazu

Kap. 4.2.4 und Kap. 4.2.5), jedoch weiterhin fürTτ > TC zu Null wird.

3.3 Dehnungsschätzung

Auf Basis von Korrelationsverfahren gibt es Schätzer, mit deren Hilfe Zeitverschiebun-

gen aus hochfrequenten Echosignalen bzw. aus Signalen im Basisband geschätzt werden

können. Werden die geschätzten Zeitverschiebungenτ(t) als asymptotisch erwartungs-

treu und asymptotisch normalverteilt angenommen, dann können diese als Summe eines

deterministischen Anteilsτ(t) und einer Störungw(t) dargestellt werden,

τ(t) = τ(t) + w(t) (3.30)

bzw. im zeitdiskreten Fall mitt = nTτ und AbtastintervallTτ

τn = τn + wn . (3.31)

Die Ableitung der Zeitverschiebungen entspricht nach Gl. (3.5) der mechanischen Deh-

nung in axialer Richtung. Im folgenden soll diese Ableitung im zeitdiskreten Fall in einer

Umgebung fürn = n0+1 . . . n0+N bestimmt werden, indem eine Geradenanpassung an

die Verschiebungsschätzungen erfolgt (vgl. Abb. 3.2). Nimmt man die axiale Dehnung in

Abtastzeitpunkt n mit Abtastintervall Tτ

Zei

tver

schi

ebun

g τ[

n]

Zeitverschiebung τ[n]Geschätzte Zeitverschiebung τ[n]^

n=n0+1

Geradenanpassung durch KQ

n=n0+3 n=n0+5 n=n0+7 n=n0+9

Abb. 3.2: Beispiel für Zeitverschiebungsschätzung

3.3 Dehnungs-Schätzer 25

einer kleinen Umgebung konstant an, so folgt aus Gl. (3.31)

τn = τ(t1) + ε(t2) nTτ + wn für n = n0+1 . . . n0+N (3.32)

mit t1 = (n0+1) Tτ undt2 = (n0+N+1

2) Tτ . Dieses lässt sich auch in vektorieller Schreib-

weise ausdrücken,

τ = A · θ + w mit (3.33)

A =

1 (n0+1) Tτ

......

1 (n0+N) Tτ

und θ =

(τ(t1)

ε(t2)

).

Bei der Konstruktion eines Schätzers für den Parametervektor θ = [τ(t1) ε(t2)]T aus den

zeitlichen Verschiebungenτ ist dabei das Verhalten des zweiten Eintragsθ2 = ε(t2) von

Interesse, da es sich hierbei um die gesuchte lokale Dehnungεzz in z-Richtung an der

Positionz = /1 2 c t2 handelt.

Die Störungwn soll im weiteren als normalverteilte Zufallsvariable mit Kovarianzσ2τC

angenommen werden, d.h.

w ∼ N (0, σ2τC) . (3.34)

Der Spezialfall einer gaussverteilten unkorrelierten Störung, d.h.w ∼ N (0, σ2τ I) kann

dann aus dem allgemeinen Fall abgeleitet werden. Im folgenden wird daher die Indizie-

rungwc für farbiges, korreliertes Rauschen undwg für weißes, unkorreliertes Rauschen

verwendet. Wie im Anhang C gezeigt wird, ist das Ergebnisse der Schätzung des zweiten

Eintrags vonθ für den Fall einer unkorrelierten Störung nur von der AnzahlN der ver-

wendeten Stützstellen abhängig und nicht von der Positionn0. Dieses Ergebnis ist auch

graphisch nach Abb. 3.2 plausibel.

3.3.1 Konstruktion eines Dehnungs-Schätzers

Für ein Datenmodell nach Gl. (3.33) bietet sich die Methode der kleinsten Quadrate (KQ)

an [14], da mit Hilfe der MatrixA ein erwartungstreuer Schätzer für den Parametervektor

θ gebildet werden kann. Im allgemeinen Fall lautet der gewichtete KQ-Schätzer fürθ

unter Annahme vonw ∼ N (0,W)

θ =(AT[W]−1A

)−1AT[W]−1 τ . (3.35)

Die Berechnung der axialen Dehnung aus Zeitverschiebungsschätzungen mit dieser Me-

thode wurde in der Vergangenheit unter Annahme vonw = wg ∼ N (0, σ2τ I) durchge-

führt [53, 74], d.h.

θ =(ATA

)−1AT τ . (3.36)

3.3 Kovarianzmatrix des Schätzer 26

Der Vorteil eines solchen Schätzers ist, dass die zweite Zeile von(ATA

)−1AT mit N

Einträgen nicht mehr abhängig vonn0 ist2, wie aus Gl. (C.9) hervorgeht [38]. Anstelle

einer rechenintensiven KQ-Schätzung des Parametervektors θ aus den Verschiebungenτ

kann der Parameterθ2 also direkt durch FIR-Filterung der Verschiebungen berechnet wer-

den. Bisher wurde nicht berücksichtigt, dass ein auf o.g. Annahme basierender Schätzer

nicht zwangsläufig die minimale Varianz bei der Schätzung der Dehnung liefert, wenn es

sich bei der Störungw um korreliertes Rauschen handelt. Die Varianz der Dehnung kann

mit Hilfe der KovarianzmatrixCθ des geschätzten Parametervektorsθ angegeben werden,

Var(θ2) = σ2ε = [Cθ]22 (3.37)

Die Indizierung[Cθ]22 bezieht sich dabei auf den zweiten Diagonaleneintrag der 2x2

KovarianzmatrixCθ. Es werden nun Kovarianzmatrizen des Schätzers für verschiedene

Fälle berechnet.

3.3.2 Kovarianzmatrix des Schätzer

Im folgenden wird untersucht, welchen Einfluss die Berücksichtigung einer Wichtungs-

matrixW auf die Varianz der Dehnungsschätzung nach Gl. (3.35) hat – in Abhängigkeit

von der Anzahl der FilterkoeffizientenN (Filterlänge) und dem Intervall aufeinander fol-

gender ZeitverschiebungsschätzungenTτ . Gesucht ist also der zweite Eintrag der Diago-

nalen der Kovarianzmatrix des SchätzersCθ. Diese Kovarianzmatrix wird für drei Fälle

nach Tab. 3.1 berechnet. In den ersten beiden Fällen wird dieDehnung aus Zeitverschie-

Tab. 3.1: Verschiedene Dehnungsschätzer

Tτ Störungw KQ-GewichtungW Filterlänge

Fall 1 ∆t ∼ N (0, σ2τ C) σ2

τ C N

Fall 2 ∆t ∼ N (0, σ2τ C) σ2

τ I N

Fall 3 TC ∼ N (0, σ2τ I) σ2

τ I N = N

bungen berechnet, die im AbstandTτ = ∆t geschätzt wurden. Die Störung wird daher

als korreliert angenommen, d.h.wc ∼ N (0, σ2τC). Im dritten Fall wird die Dehnung

aus Zeitverschiebungen berechnet, die im AbstandTτ = TC geschätzt wurden und nach

Gl. (3.29) unkorreliert sind. In diesem Fall wird eine unkorrelierte Störung angenommen,

d.h. wg ∼ N (0, σ2τ I). Um die Ergebnisse vergleichbar zu machen, wird die normierte

FilterlängeN eingeführt,

N =(N − 1) Tτ

TC

+ 1 . (3.38)

2Die Schätzung des ersten Eintrags (τn1) ist hingegen abhängig von der Wahl vonn0.

3.3 Kovarianzmatrix des Schätzer 27

Dadurch findet gewissermaßen eine Normierung der FilterlängeN im FalleTτ = ∆t auf

eine vergleichbare Filterlänge für den Fall 3 (Tτ = TC) statt. Im letzteren Fall ist nämlich

geradeN = N . Für ganzzahligeN können die Ergebnisse aus Fall 1 und Fall 2 mit dem

Ergebnis aus Fall 3 direkt verglichen werden.

Fall 1 – Gewichteter KQ-Schätzer & korreliertes Rauschen

Mit der GewichtungW = σ2τ C ergibt sich der gewichtete KQ-Schätzer zu

θ =(AT[σ2

τC]−1A)−1

AT[σ2τC]−1 τ

=(ATC−1A

)−1ATC−1 τ . (3.39)

Der Schätzer ist erwartungstreu, d.h.E(θ) = θ. Unter Berücksichtigung vonwc ∼N (0, σ2

τ C) folgt für die Kovarianzmatrix des Schätzers

Cθ = E

[(θ − E(θ))(θ − E(θ))T

]

= E

[([ATC−1A]−1ATC−1(τ − Aθ)

) ([ATC−1A]−1ATC−1(τ − Aθ)

)T]

= E[[ATC−1A]−1ATC−1

(wcw

T

c

)C−1A[ATC−1A]−1

]

= σ2τ [ATC−1A]−1ATC−1A[ATC−1A]−1

=(AT[σ2

τC]−1A)−1

. (3.40)

Dabei wurde berücksichtigt, dass die transponierte Inverse einer quadratischen Matrix

gleich der inversen Transponierten ist.

Fall 2 – KQ-Schätzer & korreliertes Rauschen

Mit der GewichtungW = σ2τ I ergibt sich der gewichtete KQ-Schätzer zu

θ =(ATA

)−1AT τ . (3.41)

Auch dieser Schätzer ist erwartungstreu und die Kovarianzmatrix des SchätzersCθ ergibt

sich zu

Cθ = E

[(θ − E(θ))(θ − E(θ))T

]

= E

[([ATA]−1AT(τ − Aθ)

) ([ATA]−1AT(τ − Aθ)

)T]

= E[[ATA]−1AT

(wcw

T

c

)A[ATA]−1

]

= [ATA]−1AT σ2τCA[ATA]−1 . (3.42)

Offensichtlich unterscheidet sich die Kovarianzmatrix indiesem Fall von der aus

Gl. (3.40).

3.3 Cramér-Rao Schranke der Dehnung 28

Fall 3 – KQ-Schätzer & unkorreliertes Rauschen

Mit der GewichtungW = σ2τ I ergibt sich der gleiche KQ-Schätzer wie in Fall 2,

θ =(ATA

)−1AT τ . (3.43)

Weil die Störung in diesem Fall jedoch als unkorreliert angenommen wird, d.h.

wg∼N (0, σ2τ I), ergibt sich die Kovarianzmatrix des Schätzers zu

Cθ =(AT[σ2

τ I]−1A)−1

= σ2τ

(ATA

)−1. (3.44)

Bevor mit Hilfe der Kovarianzmatrizen die Varianzen der Dehnung für alle drei Fälle be-

rechnet werden, sollen diese mit der Cramér-Rao Schranke für das gewählte Datenmodell

nach Gl. 3.33 verglichen werden.

3.3.3 Cramér-Rao Schranke der Dehnung

Für das lineare Datenmodell aus Gl. (3.33) mit einer Störungnach Gl. (3.34) kann die

Cramér-Rao Schranke angegeben werden (S. 47, [55]). Dazu wirdzunächst die Fisher-In-

formationsmatrix bestimmt und anschließend invertiert. Die Einträge der Fisher-Informa-

tionsmatrix können mit Hilfe von

[I(θ)]ij =

[∂µ(θ)

∂θi

]T

[σ2τC(θ)]−1

[∂µ(θ)

∂θj

]

+ 1/2 tr[[C(θ)]−1∂C(θ)

∂θi

[C(θ)]−1∂C(θ)

∂θj

](3.45)

berechnet werden, wobei in unserem Fallµ(θ) = Aθ ist und die Indizesi für Zeilen und

j für Spalten stehen. Ausgeschrieben lauten die partiellen Ableitungen

[∂Aθ

∂θ1

]=

1...

1

und

[∂Aθ

∂θ2

]=

1...

N

Tτ . (3.46)

Nach Gl. (3.34) istC(θ) = σ2τ C nicht vonθ abhängig, so dass sich nach Einsetzen von

Gl. (3.46) in Gl. (3.45) die 2x2 Informationsmatrix zu

I(θ) =1

σ2τ

[1 . . . 1] [C]−1

1...

1

[1 . . . 1] [C]−1

1...

N

Tτ

[1 . . . N ] [C]−1

1...

1

Tτ [1 . . . N ] [C]−1

1...

N

T 2

τ

= AT[σ2τ C]−1A (3.47)

3.3 Cramér-Rao Schranke der Dehnung 29

ergibt. Die Kovarianzmatrix eines erwartungstreuen Schätzers (engl.:unbiased) für den

Parametervektorθ erfüllt die Ungleichung

Cθ ≥ [I(θ)]−1 . (3.48)

Die unteren Grenzen für die Varianzen der Komponentenθi des Parametervektorsθ

(Cramér-Rao Schranke) folgen aus den Diagonalenelementen der Inversen der Fisher-

Informationsmatrix,

Var(θi) = [Cθ]ii ≥ [I(θ)]−1ii , (3.49)

insbesondere gilt also für die Varianz der Dehnung die Beziehung

Var(εn2) = [Cθ]22 ≥ [I(θ)]−1

22 (3.50)

Vergleicht man die Kovarianzmatrizen der Schätzer aus Gl. (3.40) (Fall 1), Gl. (3.42)

(Fall 2) und Gl. (3.44) (Fall 3) mit der Fisher-Informationsmatrix aus Gl. (3.47), so kann

man feststellen, dass es sich in Fall 1 unter Annahme einer korrelierten Störung und in

Fall 3 unter Annahme einer unkorrelierten Störung gerade umderen Inverse handelt. In

diesen beiden Fällen gilt Gleichheit in Gl. (3.48), so dass die Schätzer nicht nur erwar-

tungstreu sind, sondern der geschätzte Parameter Dehnung auch die minimal mögliche

Varianz erreicht.

Betrachtet man Fall 3, so kann die Cramér-Rao Schranke für die Varianz der Dehnung

explizit in Abhängigkeit von der Varianz der Zeitverschiebungenσ2τ und der Filterlänge

N (mit N = N ) angegeben werden. Nach Invertierung der Fisher-Informationsmatrix

I(θ) =1

σ2τ

ATA (3.51)

ist der zweite Diagonaleneintrag von Interesse. Dieser ergibt sich mit Hilfe des Quotienten

vonaTa und der Determinante aus Gl. (C.2) nach Anhang C. Für die Varianz der Dehnung

gilt die Beziehung

σ2ε = σ2

τ

N112

N2(N2 − 1) T 2τ

=σ2

τ

T 2C

1112

N(N2 − 1), (3.52)

weil für Fall 3 nach Tab. 3.1 der Abstand aufeinander folgender Zeitverschiebungsschät-

zungen zuTτ = TC gewählt wird.

Es wird nun untersucht, wie groß die unterschiedlichen Varianzen für die einzelnen Fälle

sind. Obwohl die Varianz der Dehnungsschätzung für das jeweilige Datenmodell in Fall 1

bzw. Fall 3 minimal ist, kann grundsätzlich nicht davon ausgegangen werden, dass diese

Varianz identisch ist. Sie hängt wesentlich von der Kovarianzmatrix der Störung ab. Zu

erwarten ist jedoch, dass die Varianz in Fall 2 höher als in Fall 1 ist.

3.3 Vergleich der Dehnungsvarianz der Schätzer 30

3.3.4 Vergleich der Dehnungsvarianz der Schätzer

Weil bei der Ultraschall-Elastographie die mechanische Dehnung inz-Richtung darge-

stellt wird, ist die Varianz des zweiten Eintragsθ2 = ε(t2) des Parametervektorsθ wich-

tig zur Beschreibung der Qualität des Abbildungsverfahrens. Die Varianz der Dehnung

wird nun für die drei Fälle aus Kap. 3.3.2 berechnet, indem die KovarianzmatrizenCθ der

Schätzer nach Gl. (3.40), Gl. (3.42) und Gl. (3.44) numerisch ausgewertet werden.

Die KovarianzmatrixC der Störung besitzt eine Toeplitz-Form entsprechend der Kova-

rianzfunktion aus Gl. (3.29). Deren Verlauf ist von der KorrelationsfensterlängeTC und

vom Abstand aufeinander folgender VerschiebungsschätzungenTτ abhängig. Zur besse-

ren Vergleichbarkeit der Ergebnisse wird die Varianz der Dehnung nicht in Abhängigkeit

von der FilterlängeN , sondern in Abhängigkeit von der bzgl. der Korrelationsfensterlän-

geTC normierten FilterlängeN nach Gl. (3.38) dargestellt. Dadurch wird berücksichtigt,

dassTτ = ∆t für Fall 1 bzw. Fall 2 ist undTτ = TC für Fall 3 ist. Zusätzlich wird die

Varianz der Dehnungσ2ε aufσ2

τ/T2C normiert, da die Varianz der Zeitverschiebungsschät-

zungenσ2τ nach Gl. (3.21) von der KorrelationsfensterlängeTC abhängig ist.

In Abb. 3.3 ist die normierte Varianz der Dehnung für alle drei Fälle in dB dargestellt.

Zur besseren Übersichtlichkeit sind die Kurvenverläufe nur für TC = 50 ∆t abgebildet.

Allerdings zeigten die numerischen Berechnungen für andereKorrelationsfensterlängen

mit TC ∈ [10 ∆t, 150 ∆t] Abweichungen von weniger als1 dB, so dass die Schlussfol-

gerungen auf KorrelationsfensterlängenTC im genannten Bereich übertragbar sind.

1 2 3 4 5 6 7-24-18-12-606

121824

(σε)

2/ (στ

/ TC)2

in d

B Fall 2 (ungew. KQ-Schätzer)

Fall 1 (gew. KQ-Schätzer)

Fall 3 (unkorrelierte Störung)

Filterlänge N , ganzzahlig für Tτ = TC~


Fall 3 mit N~

Fall 3 mit N~

Abb. 3.3: Normierte Varianz der Dehnung in dB für verschiedene Schätzer nach Fall 1–3

in Abhängigkeit von der normierten FilterlängeN , die fürTτ = TC ganzzahlig≥ 2 wird

Wie in Abb. 3.3 zu sehen ist, kann die normierte Filterlänge für Fall 1 und für Fall 2 auch

reelle Werte annehmen, während der Fall 3 nur für ganzzahlige Werte vonN definiert ist.

In Fall 3 ist der Abstand aufeinander folgender ZeitverschiebungsschätzungenTτ gerade

so groß wie die KorrelationsfensterlängeTC , damit die Annahme einer unkorrelierten

Störung gerechtfertigt ist. Der Verlauf der Kurve für Fall 3mit Tτ = TC könnte auch

direkt Gl. (3.52) entnommen werden, da dannN = N gilt.

3.3 Vergleich der Dehnungsvarianz der Schätzer 31

Erwartungsgemäß nimmt die Varianz der Dehnung mit zunehmender FilterlängeN bzw.

N ab. Außerdem bestätigt sich, dass die Varianz der Dehnung inFall 2 höher ist als in

Fall 1 (Schätzer mit minimaler Varianz). Allerdings ist derUnterschied gering(< 3 dB).

Betrachtet man jedoch den Aspekt der Echtzeit-Fähigkeit eines Verfahrens, so ist die

gewichtete KQ-Schätzung aufwendiger als ein FIR-Filter, das in Fall 2 und Fall 3 an-

gewendet werden könnte. Interessant ist auch der Verlauf der Varianz der Dehnung in

Fall 3 im Vergleich zu Fall 1, weil sich auch hier kein nennenswerter Unterschied zeigt.

Daraus folgt, dass ein Schätzen von Zeitverschiebungen im Abstand vonTτ = TC und

anschließende FIR-Filterung zu keinerlei Einbußen bzgl. der Varianz der Dehnung führt,

aber eine Reduktion der Filterkoeffizienten um den FaktorTC/Tτ bedeutet. Der Preis des

reduzierten Rechenaufwandes ist natürlich eine geringere Ortsauflösung, weil die Korre-

lationsfensterlängeTC im Bereich von mehreren Wellenlängen liegt.

Zusätzlich ist in Abb. 3.3 der Verlauf der normierten Varianz der Dehnung dargestellt,

wennN in Gl. (3.52) eingesetzt wird (Fall 3 mitN ). Wie man sieht, wird die normierte

Varianz der Dehnung im Vergleich zu Fall 1 bzw. Fall 2 fürN ≤ 2 leicht übertroffen. Für

N ≥ 2 wird die normierte Varianz der Dehnung im Vergleich zu Fall 2leicht unterschrit-

ten, während sie mit der aus Fall 1 gut übereinstimmt. Motiviert durch dieses Ergebnis

wird daher bei der Betrachtung der Varianz der Dehnung im Verlauf des Kapitels auf

Gl. (3.52) zurückgegriffen, wobeiN anstelle vonN verwendet wird, d.h.

σ2ε ≈ σ2

τ

T 2C

1112

N(N2 − 1). (3.53)

Für den Fall 3 mitTτ = TC ist geradeN = N und Gl. (3.53) stimmt mit Gl. (3.52)

überein. Die Varianz der Dehnung nimmt also bzgl. der normierten Filterlänge∼ 1

N3ab.

Zum Abschluss soll noch die normierte Varianz der Dehnung für Fall 2 (ungewichteter

KQ-Schätzer) untersucht werden, wenn sowohl die KorrelationsfensterlängeTC als auch

der Abstand aufeinander folgender ZeitverschiebungsschätzungenTτ beliebig gewählt

werden, d.h.Tτ ∈ [∆t, 150 ∆t], TC ∈ [10 ∆t, 150 ∆t] und Tτ ≤ TC . Die normierte

Varianz wurde für jede mögliche Kombination berechnet und in Abhängigkeit von der

sich ergebenden normierten FilterlängeN in Abb. 3.4 eingetragen.

Da in allen möglichen KombinationenTτ = ∆t enthalten ist, finden sich in Abb. 3.4

die Werte der Kurve von Fall 2 aus Abb. 3.3 wieder. Die normierte Varianz der Dehnung

unterscheidet sich aber auch fürTτ > ∆t nur geringfügig von den Werten fürTτ = ∆t

(< 3 dB) und kann daher ebenfalls durch Fall 3 mitN aus Abb. 3.3 abgeschätzt werden.

Zusammenfassend kann an dieser Stelle gesagt werden,

• dass eine Berechnung der Dehnung durch einen ungewichteten KQ-Schätzer nach

Fall 2 nur zu geringfügig höheren Varianzen führt als ein gewichteter KQ-Schätzer,

der zu minimaler Varianz führen würde, und

• dass die Varianz der Dehnung im Falle eines ungewichteten KQ-Schätzers für be-

3.3 Dehnungsschätzer als FIR-Filter 32

1 2 3 4 5 6 7

-12

-6

0

6

12

18

24



(σε)

2/ (στ

/ TC)2

in d

B

Fall 2 (ungew. KQ-Schätzer) für verschiedene TC bzw. Tτ

Fall 3 mit N~

Fall 3 mit N~

Abb. 3.4: Normierte Varianz der Dehnung in dB für Fall 2 für verschiedene Kombinatio-

nen vonTC undTτ in Abhängigkeit von der normierten FilterlängeN

liebige Kombinationen vonTτ undTC mit Tτ ≤ TC durch Gl. (3.53) abgeschätzt

werden kann, indem die normierte FilterlängeN nach Gl. (3.38) benutzt wird.

Der allgemeine Ausdruck für die Varianz der Dehnung wird in Kap. 3.4.1 verwendet, um

das elastographische SNRε zu betrachten. Zunächst aber motiviert dieses Teilergebnis,

die Dehnungsschätzung auch für den Fall überlappender Korrelationsfenster(Tτ < TC)

mit Hilfe eines ungewichteten KQ-Schätzers durchzuführen, was durch ein FIR-Filter

realisiert werden kann.

3.3.5 Dehnungsschätzer als FIR-Filter

Bei der Schätzung der axialen Dehnung durch einen ungewichteten KQ-Schätzer zeigt

sich, dass die zweite Zeile der Matrix(AT A

)−1AT aus Gl. (3.43) unabhängig von der

Positionn0 ist, an der der Parametervektorθ = [τ(t1) ε(t2)]T geschätzt wird. In Abhän-

gigkeit von der AnzahlN der berücksichtigten Zeitverschiebungsschätzungen ergeben

sich die Einträgeh′i der zweiten Zeile der o.g. Matrix als Quotient von Gl. (C.9) und der

in Gl. (C.8) berechneten Determinante aus Gl. (C.2) zu

h′i =

1

Tτ

2i − N − 116N(N2 − 1)

für i = 1 . . . N . (3.54)

Daher kann die Schätzung der axialen Dehnung durch einen ungewichteten KQ-Schätzer

auch mit Hilfe einer FIR-Filterung der axialen Verschiebungdurchgeführt werden, wobei

für die Filterkoeffizientenhi des FIR-Filters

hi = h′N+1−i = − 1

Tτ

2i − N − 116N(N2 − 1)

für i = 1 . . . N (3.55)

gelten muss. Wie erwartet ergeben sich fürN = 2 die Filterkoeffizientenh = [1 −1]/Tτ ,

was einer Differenzenbildung entspricht. Die Filterkoeffizienten sind in Abb. 3.5 für un-

gerade FilterlängenN dargestellt. Es handelt sich um punktsymmetrische Funktionen,

deren Steigung von der Filterlänge abhängig ist.

3.4 Eigenschaften von Elastogrammen 33

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1

00.10.20.30.40.5

Filt

erko

effiz

ient

en h

iPosition i-(N+1)/2 in Abtastschritten ∆Tτ

Abb. 3.5: Koef f izientenhi des FIR-Filters für ungerade FilterlängenN , aus Symmetrie-

gründen an den Stelleni − (N + 1)/2 eingezeichnet

Aus den im AbstandTτ vorliegenden Zeitverschiebungsschätzungenτi wird die Dehnung

berechnet, indem eine Faltung mit einem FIR-Filter der LängeN und Filterkoeffizienten

hi nach Gl. (3.55) aus Kap. 3.3.5 erfolgt, d.h.

εi = hi ∗i τi =N∑

k=1

hk τi−k . (3.56)

Die Summationsgrenzen kommen dadurch zu Stande, dass die Filterkoeffizienten

hi nur für i = 1 . . . N ungleich Null sind. Der aus den Zeitverschiebungsschät-

zungen τi−N . . . τi−1 berechnete Dehnungswertεi muss dabei der absoluten Position

zi = /1 2 c (i − N+12

) Tτ zugeordnet werden.

3.4 Eigenschaften von Elastogrammen

Im folgenden Unterkapitel wird auf Abbildungseigenschaften der Ultraschall-Elasto-

graphie eingegangen. Dazu werden der elastographische Signal-zu-Störabstand SNRεund der elastographische Kontrast CNRε eingeführt und betrachtet. Anschließend wer-

den Eigenschaften im Ortsfrequenzbereich diskutiert und eine Abschätzung bzgl. der

Ortsauflösung gemacht.

3.4.1 SNR der Dehnung: SNRε

Zur Beurteilung der Abbildungsqualität von Elastogrammen kann im Falle eines homoge-

nen Mediums das Verhältnis von Mittelwert zu Standardabweichung der axialen Dehnung

verwendet werden [20]. In dieser Arbeit wird das elastographische SNRε als Quotient des

Quadrates der mittleren Dehnungε20 zur Varianz der Dehnung definiert, d.h.

SNRε =ε20

σ2ε

. (3.57)

3.4 Ausgangs-SNRε: SNRε034

Wie sich in Kap. 3.3.4 zeigte, kann die Varianz der Dehnung durch Gl. (3.53) gut genähert

werden. Dabei wird eine normierte FilterlängeN nach Gl. (3.38) verwendet, mit deren

Hilfe die Wahl einesTτ < TC über ein kleineresN berücksichtigt wird. Nach Einsetzen

von Gl. (3.53) in Gl. (3.57) ergibt sich das elastographische SNRε zu

SNRε =ε20(

σ2τ

T 2

C

) 11

1

12N(N2−1)

= SNRε0·

(1

12N(N2 − 1)

)(3.58)

mit

SNRε0=

ε20(

σ2τ

T 2

C

) . (3.59)

Zunächst soll der Ausdruck SNRε0untersucht werden, gewissermaßen ein Ausgangs-

SNRε, das durch Vergrößerung der normierten FilterlängeN erhöht werden kann.

3.4.2 Ausgangs-SNRε: SNRε0

Für die Varianz der Zeitverschiebungenσ2τ kann die Cramér-Rao Schranke aus Gl. (3.21)

als untere Grenze verwendet werden, was auf

SNRε0≤ ε2

0

T 2C

32π2TC(B3+12Bf2

0)

[1ρ2

(1 + 1

SNRel

)2

− 1

] (3.60)

führt. Dieser Ausdruck ist u.a. von den ParameternTC und wegenρ = ρax(TC , ε0) nach

Gl. (3.23) auch vonε0 abhängig. Der Integrand in Gl. (3.23) ist eine gerade Funktion, so

dass sich der axiale Korrelationskoeffizient zu

ρax(TC , ε0) =2

TC

TC/2∫

0

cos(a1 t)sin(a2 t)

a2 tdt (3.61)

ergibt, wobei die Konstantena1 = 2π fs ε0 unda2 = π Bs fs ε0 eingeführt wurden. Mit

Hilfe der trigonometrischen Umformungcos β · sin α = /1 2 (sin(α−β)+sin(α+β)) wird

dies zu

ρax =2

TC

1

a2

1

2

TC/2∫

0

sin((a2 − a1) t)

tdt +

TC/2∫

0

sin((a2 + a1) t)

tdt

(3.62)

bzw. unter Ausnutzung des IntegralsinusSi(x) =∫ x

0sin t

tdt zu

ρax =2

TC

1

a2

1

2

[Si

((a2 − a1)

TC

2

)+ Si

((a2 + a1)

TC

2

)], (3.63)

was eine numerische Auswertung erfordert. In Abb. 3.6 ist das Ergebnis der numeri-

schen Auswertung in Abhängigkeit von der KorrelationsfensterlängeTC für verschiedene

Werte der axialen Dehnungε0 dargestellt. Man erkennt zum einen, dass der Wert des Kor-

relationskoeffizienten durch eine Vergrößerung der Korrelationsfensterlänge abfällt. Zum


5 20 35 50 65 80 95 110 125 140

0.880.9

0.920.940.960.98

1

Korrelationsfensterlänge TC in ∆tK

orre

latio

nsko

effiz

ient

ρax

ε0=0.005

ε0=0.01

ε0=0.02

Abb. 3.6: Axialer Korrelationskoef f izientρax in Abhängigkeit von der FensterlängeTC

und axialer Dehnungε0

anderen führt eine Vergrößerung der Dehnung bei konstanterKorrelationsfensterlänge

ebenfalls zu einem Abfall des Korrelationskoeffizienten.Beides ist plausibel, da sowohl

eine Erhöhung der Korrelationsfensterlänge als auch der Dehnung zu einer vermehrten

Dekorrelation der gefensterten Signale führt.

Mit Hilfe dieser Werte fürρax(TC , ε0) kann das SNRε0nach Gl. (3.60) für typische Wer-

te vonTC und ε0 berechnet werden. Eine Übersicht über die Werte aller in Gl.(3.60)

vorkommenden Parameter findet sich in Tab. 3.2: das Abtastintervall ∆t, die Korrela-

Tab. 3.2: Werte der in den Simulationen verwendeten Parameter

Parameter Wert bzw. Wertebereich

∆t 1/50 MHz

TC [10 ∆t, 150 ∆t]

ε0 [0.1 % , 5.0 %]

SNRel 40 dB

f0 8.5 MHz

B6dB 60 % · f0

B 0, 75 · B6dB

tionsfensterlängeTC , die Dehnungε0, der elektronische Signal-zu-Störabstand SNRel,

die Mittenfrequenzf0, die 6-dB BandbreiteB6dB und die äquivalente BandbreiteB. In

Abb. 3.7 ist das elastographische Ausgangs-SNRε (SNRε0) in Abhängigkeit von der Kor-

relationsfensterlängeTC und der Dehnungε0 dargestellt. Zusätzlich ist der Verlauf des

maximalen SNRε0bei jeweils konstanter KorrelationsfensterlängeTC als schwarze Linie

eingezeichnet.

Es ist zu erkennen, dass die Maximalwerte des Ausgangs-SNRε0bei konstantemTC eher

bei kleinen als bei großen Dehnungen liegen. An dieser Tatsache würde sich auch nichts

ändern, wenn bei konstanter Korrelationsfensterlänge dieFilterlängeN erhöht oder der

AbstandTτ aufeinander folgender Verschiebungsschätzungen geändert wird (und damit

N verändert würde), weil dadurch alle Werte beiTC=const. (d.h., die jeweilige Spalte


0

5

10

15

20

25

30

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

TC in Abtastwerten ∆t

Deh

nung

ε0

in %

SNRε0in dB

Abb. 3.7: Ausgangs-SNRε0in dB in Abhängigkeit vonTC undε0 für ρ = ρax

in Abb. 3.7) mit einem konstanten Faktor multipliziert würden. Es kann also bereits hier

gesagt werden, dass eine gute Abbildungsqualität eherbei kleinen Dehnungenerreicht

wird. Für KorrelationsfensterlängenTC > 30 ∆t liegen diese Dehnungen bei ca.1 %.

Weiterhin ist zu sehen, dass die Maximalwerte mit größer werdendemTC zunehmen.

Um letzteres zu verdeutlichen, ist in Abb. 3.8 der Verlauf von SNRε0für einige kleine

Dehnungen in Abhängigkeit vonTC dargestellt. Während der Korrelationskoeffizient

10 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-6-30369

1215182124

ε0=2.0

ε0=0.5ε0=1.0

ε0=0.2

ε0=0.1

10 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-6-30369

1215182124

ε0=2.0

ε0=0.5ε0=1.0

ε0=0.2

ε0=0.1


SN

Rε 0

in d

B

Abb. 3.8: SNRε0in dB in Abhängigkeit vonTC für verschiedeneε0 für ρ = 1.00 · ρax

nach Abb. 3.6 mit größer werdendemTC abnimmt und damit zu einer Reduktion von

SNRε0nach Gl. (3.60) führt, geht die KorrelationsfensterlängeTC mit dritter Potenz in den

Zähler ein, was insgesamt zu einer Erhöhung des SNRε0führt. Allerdings kann daraus an

dieser Stellenicht gefolgert werden, dass eine gute Abbildungsqualität durchmöglichst

große Korrelationsfensterlängen erreicht wird.

Der Grund ist darin zu sehen, dass sich das Gesamt-SNRε nach Gl. (3.57) aus einem

Ausgang-SNRε0nach Gl. (3.60) und einem vonN abhängigen Faktor zusammensetzt.

Dieses Teilergebnis würde sich nur übertragen lassen, wennman mit zunehmender Kor-

relationsfensterlängeTC in Kauf nimmt, dass auch die absolute Filterlänge(N − 1) Tτ

erhöht werden muss, damitN aus Gl. (3.38) konstant bleibt3. Auf den Einfluss vonN

auf das Gesamt-SNRε wird nun eingegangen.

3Für N = 2.43 = const. wäre immer10 · log10

( 1

12N(N2 − 1)) = 0 dB ⇒ (N − 1)Tτ = 1.43TC

3.4 SNRε-Gewinn: SNRεG37

3.4.3 SNRε-Gewinn: SNRεG

Bei der Wahl vonN wird in Abhängigkeit vonTC die absolute Filterlänge(N − 1) Tτ

verändert. Im folgenden wird untersucht, wie sich das SNRε in Abhängigkeit von der

FilterlängeN ändert. Dabei wird angenommen, dass das zu untersuchende Objekt eine

endliche Länge vonK·Tτ hat und einen Dehnungs-Rechteckpulsεi der LängeK hervor-

ruft,

εi =

{δi für i = 1 . . . K

0 für i > K, (3.64)

wobei mitδi ein „Dehnungsimpuls“ an der Stellei gemeint ist. Die dadurch hervorgeru-

fene zeitliche Verschiebungτi ergibt sich durch Aufsummation der Dehnung, so dass

τi−k = εi−k + τi−k−1 (3.65)

gilt. Die Verschiebung hat in diesem Fall den Verlauf einer Rampenfunktion

τi =

i∑k=1

εk für i = 1 . . . K

K∑k=1

εk = const. für i > K(3.66)

bzw. fürK = 1 den Verlauf einer Sprungfunktion. Die Faltung aus Gl. (3.56) wird nun zu

εi =N∑

k=1

hk τi−k =N∑

k=1

hk (εi−k + τi−k−1) =N∑

k=1

hk εi−k +N∑

k=1

hk τi−k−1 . (3.67)

Eine Substitution in der Indizierung der zweiten Summe(k′ = k + 1) und anschließende

Umbenennung führt auf

εi =N∑

k=1

hk εi−k +N+1∑

k=2

hk−1 τi−k =N∑

k=1

hk εi−k +N+1∑

k=2

hk−1 (εi−k + τi−k−1) .(3.68)

Nochmalige Substitution in der Indizierung der letzten Summe und anschließende Umbe-

nennung führt auf

εi =N∑

k=1

hk εi−k +N+1∑

k=2

hk−1 εi−k +N+2∑

k=3


k=3

hk−2 τi−k−1 (3.69)

bzw.

εi =N∑

k=1

hk εi−k +N+1∑

k=2


k=3


k=4

hk−3 εi−k + . . . . (3.70)

Wenn alle weiteren Filterkoeffizienten zu Null gesetzt werden, d.h.hk = 0 für k > N ,

dann kann Gl. (3.70) mit neuen oberen Summationsgrenzen als

εi =∞∑

k=1

hk εi−k +∞∑

k=2

hk−1 εi−k +∞∑

k=3

hk−2 εi−k +∞∑

k=4

hk−3 εi−k + . . .

=∞∑

k=1

(k∑

m=1

hm

)εi−k

(3.71)


geschrieben werden. Da für die in Kap. 3.3.5 angegebenen Filterkoeffizientenhi =

−hN−i+1 und für ungerade Filterlängenh(N+1)/2 = 0 gilt, beträgt die Summe über alle

Filterkoeffizienten Null und in Gl. (3.71) muss nur bisk = N summiert werden, d.h.

εi =N∑

k=1

(k∑

m=1

hm

)εi−k =

N∑

k=1

Hk εi−k = Hi ∗i εi . (3.72)

Die geschätzte Dehnung ergibt sich also durch Faltung des Dehnungsverlaufsεi mit der

integrierten ImpulsantwortHi des FIR-Filters,

Hi =i∑

m=1

hm . (3.73)

Voraussetzungen für die Herleitung dieses Zusammenhangs sind die Beziehung zwischen

Verschiebung und Dehnung aus Gl. (3.65) und die Bedingung, dass sich die Filterko-

effizientenhi zu Null summieren. Die Koeffizienten der integrierten ImpulsantwortHi

sind in Abb. 3.9 für verschiedene FilterlängenN dargestellt. Die integrierte Impulsant-

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Inte

grie

rte

Impu

lsan

twor

t Hi

Position i - N/2 in ∆Tτ

Abb. 3.9: Integrierte Impulsantwort des FIR-Filters für FilterlängenN = 2 . . . 10, aus

Symmetriegründen an den Stelleni − N/2 eingezeichnet

wort des FIR-Filters ist gewissermaßen die Systemantwort auf einen Dehnungs-Impuls

bzw. einen Verschiebungssprung. Nur fürN = 2 wird die integrierte Impulsantwort zur

Impulsfunktion. In allen anderen Fällen hat die Funktion Tiefpass-Charakter und führt zu

einer Glättung eines vorgegebenen Dehnungsverlaufes. Einvorgegebener Dehnungswert

eines Dehnungs-Rechteckpulses der LängeK wird nur dann erreicht, wenn die Filterlän-

geN die BeziehungN ≤ K+1 erfüllt. Für den FallN > K+1 ist die sich ergebende ma-

ximale AmplitudeAε(K,N) abhängig von der LängeK des Dehnungs-Rechteckpulses

und der LängeN des FIR-Filters. Es bietet sich an, den vonN abhängigen Term aus

Gl. (3.58) und die sich maximal ergebende AmplitudeAε(K,N) zu einem SNRε-Gewinn

SNRεGwie folgt zusammenzufassen:

SNRεG= Aε(K,N)2 ·

(1

12N(N2 − 1)

). (3.74)

Für einen Dehnungs-Impuls der LängeK = 1 kann der maximal erreichte Amplitu-

denwert in Abhängigkeit von der FilterlängeN direkt angegeben werden. Definiert man


∆h = 16N (N2 − 1), so ist für geradeN ,

Aε(1, N) =

N2∑

i=1

hi =1

Tτ

1

∆h

N/2∑

i=1

[(N + 1) − 2i] =1

Tτ

N23(N2 − 1)

(3.75)

und für ungeradeN ,

Aε(1, N) =

(N−1)/2∑

i=1

hi =1

Tτ

1

∆h

(N−1)/2∑

i=1

[(N + 1) − 2i] =1

Tτ

123N

. (3.76)

Ein Dehnungs-Impuls wird also weiterhin detektiert, aber seine Amplitude verringert sich

∼1/N , und es findet eine Aufweitung∼N statt.

Für beliebige Dehnungs-Rechteckpulseεi der LängeK und FIR-Filterhi der Länge

N kann die maximale AmplitudeAε(K,N) numerisch gefunden werden, indem die

Faltungsoperation nach Gl. (3.72) ausgeführt und der maximale Dehnungswert der

resultierendenεi bestimmt wird. Um den Einfluss der maximalen AmplitudeAε(K,N)

auf den elastographischen SNRε-Gewinn aus Gl. (3.74) graphisch zu veranschaulichen,

ist es zweckmäßig, eine bzgl. der Korrelationsfensterlänge TC normierte LängeK des

Dehnungs-Rechteckpulses einzuführen,

K = K · Tτ/TC . (3.77)

In Abb. 3.10 ist der elastographische SNRε-Gewinn für Dehnungs-Rechteckpulse mit ver-

schiedener normierter LängeK in Abhängigkeit von der normierten FilterlängeN aus

Gl. (3.38) zu finden. Zur besseren Übersichtlichkeit wurden in Abb. 3.10 die Kurvenver-

1 2 3 4 5 6 7 8 9-24-21-18-15-12-9-6-30369

121518

~ N3

~ N

SN

Rε G

-Gew

inn

in d

B

Normierte Länge des Dehnungs-Rechteckpulses

N = 2.43~N = 2.43~

~

~



K=5~K=5~

K=3~K=3~

K=2~K=2~

K=1~K=1~

K=0.5~K=0.5~

K=0.2~K=0.2~

K=0.1~K=0.1~

Abb. 3.10: SNRε-Gewinn SNRεGfür Dehnungs-Rechteckpulse mit normierter LängeK

in Abhängigkeit von der normierten FilterlängeN

läufe vonK = const. nur für TC = 40 ∆t undTτ = ∆t eingezeichnet, wobei sich die

Kurvenverläufe für andere Kombinationen vonTC undTτ nur um wenige dB unterschei-

den (vgl. dazu auch Kap. 3.3.4).

Anhand der Kurvenverläufe von Abb. 3.10 können zwei Feststellungen getroffen werden.

3.4 Gesamt-SNRε: SNRε0· SNRεG

40

1. Ist die absolute Filterlänge(N − 1) Tτ viel größer alsdie Länge eines Dehnungs-

RechteckpulsesK Tτ und damitN > 1 + K, so gilt

Aε(K,N) ∼ 1

N⇒ SNRεG

∼ N (3.78)

2. Ist die absolute Filterlänge(N − 1) Tτ viel kleiner als die Länge eines Dehnungs-

RechteckpulsesK Tτ , so erreichtAε(K,N) den vorgegebenen Dehnungswert, d.h.

Aε(K,N) = const. ⇒ SNRεG∼ N3 (3.79)

Da die Wahl einer großen FilterlängeN also zum einen zu einer vergrößerten Darstellung

von kleinen Objekten führt und zum anderen diese im Vergleich zu größeren Objekten

um den FaktorN2 weniger verstärkt werden, soll im folgenden das Gesamt-SNRε u.a. für

die minimal mögliche FilterlängeN = 2 beiTτ = ∆t betrachtet werden.

3.4.4 Gesamt-SNRε: SNRε0· SNRεG

Das Gesamt-SNRε ergibt sich mit Hilfe des Ausgangs-SNRε (SNRε0) aus Gl. (3.60) und

des SNRε-Gewinns(SNRεG) aus Gl. (3.74) zu

SNRε ≤ SNRε0· SNRεG

(3.80)

≤ ε20 T 3

C

32π2(B3+12Bf2

0)

[1ρ2

(1 + 1

SNRel

)2

− 1

] · Aε(K,N)2 · 1

12N(N2 − 1)

Im folgenden wird Gl. (3.80) in Abhängigkeit von der KorrelationsfensterlängeTC und

Dehnungε0 für bestimmte FIR-Filterlängen ausgewertet, d.h. für konstante Werte von

N bzw. Tτ , aus denen sichN ergibt. Es wird davon ausgegangen, dass die Länge des

Objektes größer als die Filterlänge ist. Durch diese Annahme kannAε(K,N) zu Eins

gesetzt werden.

Zunächst wird eine FilterlängeN = 2 mit Tτ = ∆t betrachtet. Das Ergebnis ist in

Abb. 3.11 für das Gesamt-SNRε in Abhängigkeit von der KorrelationsfensterlängeTC

-9

-8

-7

-6

-5

20 35 50 65 80 95 110 125 140

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55


Deh

nung

ε0

in %

SNRε in dB

Abb. 3.11: Gesamt-SNRε(TC , ε0) in dB für N = 2 in Abhängigkeit vonTC und ε0 für

ρ = ρax; maximaler Wert des Gesamt-SNRε für TC = const. (—)


41

und Dehnungε0 dargestellt, wobei die anderen Parameter wie in Kap. 3.4.2 gewählt wur-

den. Zusätzlich wurde in Abb. 3.11 das bei einer bestimmten Korrelationsfensterlänge

TC maximale Gesamt-SNRε eingezeichnet (schwarze Linie), dessen Verlauf sich – wie

bereits in Kap. 3.4.2 erläutert – im Vergleich zu Abb. 3.7 nicht verändert. Im Gegensatz

zu Abb. 3.7 führt die Wahl der kürzest möglichen Filterlängeauf ein Gesamt-SNRε, das

sich fast unabhängig von der KorrelationsfensterlängeTC verhält. Zur Veranschaulichung

wurde in Abb. 3.12 das Gesamt-SNRε für bestimmte Korrelationsfensterlängen in Ab-

0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 4.4 4.8

-12

-9

-6

Dehnung ε0 in %

SN

Rε

in d

B

TC=20 ∆t

TC=40 ∆t

TC=60 ∆tTC=50 ∆t

TC=30 ∆t

Abb. 3.12: Gesamt-SNRε(TC , ε0) in dB für N = 2 in Abhängigkeit vonTC für verschie-

deneε0 für ρ = ρax

hängigkeit von der Dehnungε0 aufgetragen. Es liegt in einem großen Dehnungsbereich

zwischen−6 dB und−5 dB. Das heißt auf der anderen Seite, dass bei beliebiger Wahlder

Parameter kein besserer Wert für das Gesamt-SNRε erzielt werden kann.

Eine Verbesserung des Gesamt-SNRε kann nur durch eine Vergrößerung der FilterlängeN

erfolgen. Dabei ist zu beachten, dass sich die Position des Maximums des Gesamt-SNRε

bei einer bestimmten KorrelationsfensterlängeTC nicht ändern wird. Weiterhin wird eine

Vergrößerung der absoluten Filterlänge dazu führen, dass sich das Gesamt-SNRε bei klei-

nen Korrelationsfensterlängen mehr verbessert als bei großen Korrelationsfensterlängen,

weil sichN nach Gl. (3.38) antiproportional zuTC verhält.

Wird Gl. (3.80) nun für eine konstante FIR-Filterlänge mitN = 100 undTτ = ∆t aus-

gewertet, so ergibt sich Abb. 3.13. Zusätzlich wurde – wie bereits in Abb. 3.11 – auch in

20

25

30

20 35 50 65 80 95 110 125 140

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55


Deh

nung

ε0

in %

SNRε in dB

Abb. 3.13: Gesamt-SNRε(TC , ε0) in dB für N = 100 in Abhängigkeit vonTC undε0 mit

ρ = ρax; maximaler Wert des Gesamt-SNRε für TC = const. (—)


42

Abb. 3.13 das bei einer bestimmten KorrelationsfensterlängeTC maximale Gesamt-SNRεeingezeichnet (schwarze Linie), das den gleichen Verlauf zeigt. Damit der Einfluss der

Filterlänge auf das Gesamt-SNRε deutlich wird, wurde das Gesamt-SNRε in Abb. 3.14

für die gleichen KorrelationsfensterlängenTC wie in Abb. 3.12 aufgetragen. Es ist zu

0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 4.4 4.8

21

24

27

Dehnung ε0 in %

SN

Rε

in d

B

TC=20 ∆t

TC=40 ∆t

TC=60 ∆t

TC=50 ∆t

TC=30 ∆t

Abb. 3.14: Gesamt-SNRε(TC , ε0) in dB für N = 100 in Abhängigkeit vonε0 für verschie-

deneTC mit ρ = ρax

sehen, dass die Kurven den gleichen Verlauf haben wie in Abb.3.12, jedoch bzgl. der

Ordinate verschoben sind. Zum Beispiel ist die Kurve fürTC = 20 ∆t um ca.33 dB nach

oben verschoben. Rechnerisch ändert sich durch eine Vergrößerung der Filterlänge von

N = 2 auf N = 100 bei einer Korrelationsfensterlänge vonTC = 20 ∆t der Wert von

N . In diesem Fall ändert sich der Wert vonN = 1.05 auf N = 5.95, so dass sich das

Gesamt-SNRε um 10 log10(5.95∗(5.952−1)1.05∗(1.052−1)

) = 32.8 dB erhöht. Im Falle einer Korrelations-

fensterlänge vonTC = 60∆t ergibt sich eine Erhöhung vonN = 1.017 auf N = 2.65,

was eine Erhöhung des Gesamt-SNRε um 10 log10(2.65∗(2.652−1)

1.017∗(1.0172−1)) = 26.6 dB zur Folge

hat. Der Einfluss vonN auf das Gesamt-SNRε kann auch graphisch Abb. 3.10 entnom-

men werden.

Während das maximal erreichbare Gesamt-SNRε im Falle der kürzest möglichen Fil-

terlängeN = 2 nahezu unabhängig von der Wahl der Korrelationsfensterlänge TC ist,

zeigt sich für FilterlängenN ≫ 2, dass das maximale Gesamt-SNRε bei kleinen Kor-

relationsfensterlängenTC zu erwarten ist. Der Grund ist in Gl. (3.38) zu sehen, weil die

FilterlängeN und die KorrelationsfensterlängeTC unterschiedlich in die Berechnung von

N eingehen. Allerdings ist plausibel, dass die KorrelationsfensterlängeTC nicht beliebig

klein gewählt werden kann, wenn eine Korrelationsfunktionaus gefensterten Signalen

berechnet wird. Wird das Maximum einer aus bandpaßbegrenzten Signalen berechneten

Kreuzkorrelationsfunktion gesucht, gibt Bendat

TC,min ≥ 32

2 B

[1 +

1

ρ2

](3.81)

als Kriterium für eine minimale KorrelationsfensterlängeTC,min an, um eine Zeitver-

schiebung in Abhängigkeit des zu erwartenden Korrelationskoeffizientenρ zuverlässig

zu schätzen [6] (S. 76, S. 134). Mit den hier gewählten Parametern (s. Tab. 3.2) führt dies


43

auf einen Wert vonTC,min ≈ 120 ∆t für Korrelationskoeffizientenρ ≈ 1.0. In den in die-

ser Arbeit durchgeführten Simulationen (s. Kap. 4) zeigt sich empirisch, dass mit Hilfe

der Basisband-Methode schon fürTC,min ≈ 30 ∆t Zeitverschiebungen erwartungstreu ge-

schätzt werden können. Eine sinnvolle obere GrenzeTC,max für die Wahl der Korrelations-

fensterlänge ergibt sich dadurch, dass eine Zeitverschiebungτi mit Hilfe der Basisband-

Methode nur in einem Bereich von±π geschätzt werden kann, d.h.2πf0 τi < ±π sein

muß. Eine Stauchung umε0 führt zu einer zu schätzenden Zeitverschiebung innerhalb des

Korrelationsfensters vonτi = ε0 TC , d.h.

2 f0 ε0 TC < ±1 ⇒ TC,max =1

2 f0 ε0

. (3.82)

Bei einer mechanischen Dehnung vonε0 = 0.01 führt dies auf einen Wert vonTC,max ≈295 ∆t.

In den Abb. 3.12 und 3.14 zeigt sich außerdem, dass ein hohes Gesamt-SNRε unabhän-

gig von der Korrelationsfensterlänge bei einer mechanischen Dehnungε0 im Bereich von

einem Prozent erreicht wird und mit zunehmender Dehnung abfällt. Dies ist darauf zu-

rückzuführen, dass die Dekorrelation der Signale bei größerer Dehnung zunimmt, weil ein

kleinerer Wert des Korrelationskoeffizientenρax zu einer größeren Varianz der Zeitver-

schiebungsschätzungen bzw. der geschätzten Dehnungen führt. In Arbeiten von Varghese

[105, 106] wird davon ausgegangen, dass die durch Kompression hervorgerufene Dekor-

relation der gefensterten Echosignale vollständig durch eine vorangehende Streckung der

gefensterten Signale aufgehoben werden kann. Dies ist allerdings generell nur dann mög-

lich, wenn der Grad der Kompression a priori bekannt ist. Eine solche Annahme ist bei

der Freihand-Untersuchung von unbekannten Objekten jedoch nicht gerechtfertigt.

Mit Hilfe des hier dargestellten Konzept eines Ausgangs-SNRε (SNRε0) bzw. eines SNRε-

Gewinns(SNRεG) ist es möglich, dass zu erwartende elastographische Gesamt-SNRε

in Abhängigkeit von den genannten Parametern abzuschätzen. Wie sich herausgestellt

hat, ist die Wahl möglichst kleiner KorrelationsfensterlängenTC sinnvoll, um ein hohes

Gesamt-SNRε zu erzielen, z.B.TC = 30 ∆t. Man kann nun in Abb. 3.7 oder Abb. 3.8 in

Abhängigkeit von einer zu erwartenden Dehnungε0 ablesen, welches Ausgangs-SNRε0

sich ergibt. Anschließend kann man in Abb. 3.10 ablesen, welchesN benötigt wird, um

mit dem korrespondierenden SNRεG-Gewinn ein gewünschtes Gesamt-SNRε zu erzielen.

Die notwendige normierte FilterlängeN kann dann – je nach Wahl vonTτ – auf die

FilterlängeN umgerechnet werden.

Während das elastographische Gesamt-SNRε geeignet ist, die Abbildungsqualität von Ge-

bieten mit konstanter Dehnung zu beschreiben, ist es bei derDarstellung von harten und

weichen Einschlüssen notwendig, die Abbildungsqualität von resultierenden Dehnungs-

unterschieden zu untersuchen. Dazu wird im folgenden das elastographische Gesamt-

SNRε zu einer neuen Größe erweitert, dem elastographischen Kontrast CNRε.

3.4 Kontrast der Dehnung: CNRε 44

3.4.5 Kontrast der Dehnung: CNRε

Bei der zweidimensionalen Darstellung eines Parameters wieder mechanischen Dehnung

ist bei der Unterscheidung von Objekten deren Kontrast von Bedeutung. In der Bildverar-

beitung ist der KontrastC in einem Bildbereich mit minimaler IntensitätImin und maxi-

maler IntensitätImax definiert als [35, 25]

C =Imax − Imin

Imax + Imin

. (3.83)

Angelehnt an eine derartige Definition wurde das elastographische Kontrast-zu-Rausch

Verhältnis CNRε von Bilgen et al. eingeführt [11, 9]. Es ist

CNRε =(εk − ε0)

2

12(σ2

εk+ σ2

ε0)

(3.84)

mit εk und ε0 als den mittleren Werten der geschätzten Dehnung in einer Läsion bzw.

des Hintergrundes undσ2εk

bzw.σ2ε0

als den korrespondierenden Varianzen. Die Bildqua-

lität von Elastogrammen wird also durch das Verhältnis des Quadrates einer Dehnungs-

differenz zu einer mittleren Varianz der Dehnungen ausgedrückt.

Im folgenden soll der elastographische Kontrast für einen Dehnungsunterschied∆ε =

|ε0 − εk| betrachtet werden. Im Falle eines harten Einschlusses ist|εk| ≤ |ε0|, und für

die Varianzen der Dehnung giltσ2εk

≤ σ2ε0

. Dann kann der elastographische Kontrast aus

Gl. (3.84) durch die Beziehung

CNRε ≥∆ε2

σ2ε0

(3.85)

angenähert werden, wobei nach Erweitern mitε20

∆ε2

σ2ε0︸︷︷︸

=∆ε2

ε20︸︷︷︸

· ε20

σ2τ (ρ,TC ,ε)

T 2

C︸︷︷︸

· Aε(K,N)2 · 1

12N(N2 − 1)

︸︷︷︸

≈ CNRε NDU Ausgangs− SNRε0SNRεG

− Gewinn

(3.86)

ist. Offensichtlich wird der elastographische Kontrast für eine Dehnungsdifferenz∆ε =

|ε0| gerade zum elastographischen Gesamt-SNRε (SNRε0· SNRεG

) aus Gl. (3.80). Im

allgemeinen Fall muss zusätzlich der Ausdruck∆ε2/ε20 berücksichtigt werden, der hier

als normierter Dehnungsunterschied (NDU) eingeführt wird. Dessen Abhängigkeit von

der Geometrie des untersuchten Objektes, der Elastizitätsmodulverteilung des Objektes

und den Randbedingungen der Kompression wird ausführlich inKap. 4.1 mit Hilfe von

FEM-Simulationen untersucht.

Zur Veranschaulichung der Problematik eines ausreichenden Kontrastes ist in Abb. 3.15

ein Bildbeispiel gegeben. Es wird jeweils ein kleines Rechteck mit Mittelwert Eins auf

einem Hintergrund mit Mittelwert Null abgebildet. Während diese Situation oben links

ohne Rauschen dargestellt ist, wird in den anderen Bildern weißes Rauschen mit Varianz

σ2ε0

= σ2εk

∈ [2.0, 1.0, 0.5, 0.25, 0.125] hinzugefügt, so dass sich die angegebenen Kon-

3.4 Eigenschaften im Ortsfrequenzbereich 45

-0.5

0

0.5

1

1.5

-0.5

0

0.5

1

1.5CNRε = -3 dB

-0.5

0

0.5

1

1.5CNRε = 0 dB

-0.5

0

0.5

1

1.5CNRε = 3 dB

-0.5

0

0.5

1

1.5CNRε = 6 dB

-0.5

0

0.5

1

1.5CNRε = 9 dB

CNRε = ∞

Abb. 3.15: Bildbeispiel eines Dehnungsunterschiedes für verschiedene CNRε

traste CNRε ergeben. Erst für ein CNRε ≈ 6 dB kann das mittlere Rechteck abgegrenzt

werden.

Die in der Ultraschall-Elastographie typischerweise verwendeten Kompressionen führen

zu mittleren Dehnungen im Bereich von einem Prozent und zu Dehnungsdifferenzen

|εk−ε0| im Bereich von einigen Promille. Wie bereits angesprochen, wird der mecha-

nische Konversionsfaktor bei einem Dehnungsunterschied∆ε = |ε0| zu cPDE = 1 und

damit der elastographische Kontrast zum elastographischen Gesamt-SNRε. Würden nun

beispielsweise die Filterlänge zuN = 2 und Tτ = ∆t gewählt, so ist aus Abb. 3.12

bekannt, dass ein maximales Gesamt-SNRε von−5 dB erreicht werden kann. Mit einem

solchen Kontrast ließe sich ein Objekt aber nicht von seinemHintergrund abgrenzen.

Wählt man die KorrelationsfensterlängeTC = 40 ∆t, so ist nach Abb. 3.8 bei einer Deh-

nung vonε0 = 0.01 ein Ausgangs-SNRε0von ca.18 dB zu erwarten. Nach Abb. 3.10

könnteN von N = 2.43 auf N = 1.5 verkleinert werden (SNRε-Gewinn von ca.−9 dB),

weil der resultierende Kontrast immer noch bei ca.9 dB liegen würde. Die entsprechende

Filterlänge nach Gl. (3.38) wäreN = 21.

Erhöht sich die Varianz der Zeitverschiebungsschätzungenund damit die Varianz der Deh-

nung z.B. durch eine Verringerung des Korrelationskoeffizientenρ, worauf in Kap. 4.2

eingegangen wird, dann muss die FilterlängeN bzw. N so lange erhöht werden, bis ein

ausreichender elastographischer Kontrast erzielt wird.

3.4.6 Eigenschaften im Ortsfrequenzbereich

Die Analyse von Bildinformation kann nicht nur im Ortsraum (mit Koordinatenx bzw.

z) erfolgen, sondern auch im Ortsfrequenzraum (mit Ortsfrequenzenfx bzw. fz). Dabei

enthalten Informationen in Form von Bildern in der Regel Signale mit niedrigen Orts-

frequenzen (Tiefpaß-Verhalten, [50]), was dahingehend interpretiert werden kann, dass


in einem Bild eher weiche Übergänge anstelle von schnellen Kantenwechseln zu finden

sind. Im folgenden wird darauf eingegangen, welche störenden spektralen Anteile in Ela-

stogrammen zu erwarten sind.

Wie in Kap. 3.3 erläutert, wird die mechanische Dehnung lokal mit Hilfe von Gl. (3.33)

aus geschätzten Zeitverschiebungen nach Gl. (3.31) berechnet. Es wurde in Kap. 3.3.4

gezeigt, dass die Varianz eines ungewichteten KQ-Schätzers nur geringfügig höher als

die Varianz eines gewichteten KQ-Schätzers ist. Trotzdem bietet es sich an, die Dehnung

mit Hilfe eines ungewichteten KQ-Schätzers aus den Zeitverschiebungsschätzungen zu

berechnen, weil diese Möglichkeit mit geringem Rechenaufwand mit Hilfe eines FIR-

Filters nach Gl. (3.55) implementiert werden kann (vgl. Kap. 3.3.5). Es ergibt sich ein

Übertragungssystem nach Abb. 3.16.

hi(FIR-Filter)

τn= τn + wn^ εn= εn + vn

^

Cw w Cv v

Abb. 3.16: Übertragungssystem: Berechnung der Dehnung aus Zeitverschiebungen

Betrachtet man die Störungwn der Zeitverschiebungsschätzungen lokal als diskreten sta-

tionären Prozess mitwc ∼ N (0, σ2τ C) bzw. wg ∼ N (0, σ2

τ I), so sind die Einträge der

Matrix σ2τ C durch die Kovarianzfunktion

cww(k) = Cov {wn+k, wn} = E {(wn+k − µw)(wn − µw)} (3.87)

gegeben. Die Fourier-Transformierte der Kovarianzfunktion eines diskreten stationären

Prozesses wird Spektraldichte oder kurz Spektrum genannt,

Cww(ω) =∞∑

k=−∞cww(k) exp−jωk . (3.88)

Durch lineares Filtern der Verschiebungsschätzungen nachGl. (3.56) mit Filterkoeffi-

zientenhi nach Gl. (3.55) wird aus dem stationären Prozesswn ein stationärer Prozessvn,

dessen Spektrum durch Multiplikation im Frequenzbereich gefunden werden kann [14]

(S. 113), [62],

Cvv(ω) = |H(ω)|2 Cww(ω) . (3.89)

Wird Tτ = TC gewählt, so kann die Störungwg als weißes Rauschen angenommen wer-

den, d.h.Cww(ω) = σ2τ . Der Verlauf des SpektrumsCvv(ω) wäre dann direkt proportio-

nal zum Spektrum des Filters|H(jω)|2. Bei einer Wahl vonTτ < TC überlappen sich

die Korrelationsfenster aufeinander folgender Zeitverschiebungsschätzungen, so dass das

SpektrumCww(ω) nicht mehr konstant ist. Im folgenden wird darauf eingegangen, wel-

chen Einfluss das resultierende Spektrum der Dehnung auf den bildlichen Eindruck eines

Elastogramms hat. Dabei ist immer das Spektrum der Störung gemeint.


Spektrum des FIR-Filters

Für den FallTτ = TC ist das Spektrum der Dehnung direkt abhängig vom Spektrum des

FIR-Filters nach Gl. (3.55), das in Abb. 3.17 für verschiedenen FilterlängenN gezeigt

ist. Zur besseren Vergleichbarkeit der Ergebnisse wurde das Spektrum bzgl.T 2τ = T 2

C

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

-42

-36

-30

-24

-18

-12

-6

0

6

Ortsfrequenz in 1/mm

Spe

ktru

m |H

|2·(

T τ)2

in d

B N=2

N=5

N=10

N=20

Abb. 3.17: Normiertes Spektrum des FIR-Filters fürN = 2, 5, 10 und20

normiert, da die Filterkoeffizienten aus Gl. (3.55) mit1Tτ

multipliziert werden. Das Spek-

trum des Filters zeigt fürN > 2 Bandpaßverhalten, wobei erwartungsgemäß die mittlere

Amplitude mit zunehmender FilterlängeN abnimmt.

Während der Verlauf des Spektrums unabhängig von der Wahl derFensterlängeTτ ist,

muss die Achse der Ortsfrequenz entsprechend angepasst werden. Dabei entspricht eine

Abtastung der Zeitverschiebungen im AbstandTτ einer örtlichen Abtastung von∆z =

/1 2 c Tτ . In Abb. 3.17 wurdeTτ = 30∆t gewählt, woraus sich eine Nyquistfrequenz von

0.833 MHz im Zeitbereich ergibt, die einer Nyquistfrequenz von1.082 mm−1 im Ortsfre-

quenzbereich entspricht. Eine solche quantitative Betrachtung der auftretenden Ortsfre-

quenzen ist wichtig, um den Einfluss eines Bandpaßverhaltens auf den bildlichen Ein-

druck von Elastogrammen nachzuvollziehen, z.B. in Abb. 3.18. Das Bild links entsteht,

wenn zweidimensionales weißes Rauschen spaltenweise mit einem FIR-Filter der Länge

N=10 gefiltert wird und wenn zusätzlich zeilenweise zwischen zwei benachbarten Spal-

ten gemittelt wird.4 Das normierte Spektrum des FIR-Filters ist oben rechts dargestellt

und hat ein Maximum bei einer Ortsfrequenz von0.145 mm−1, was einer Periode von

6.90 mm im Ortsbereich entspricht. Ein typischer Verlauf der resultierenden Dehnung

ist für die Spaltex=10 mm unten rechts aufgetragen. Durch das Bandpaßverhalten des

FIR-Filters werden bestimmte Ortsfrequenzen verstärkt, die im Bild den Eindruck einer

Struktur hinterlassen. Diez-Ausdehnung dieser Struktur – gewissermaßen der bildliche

Eindruck einer Schwingung – entspricht gerade der halben Periodendauer, in diesem Fall

4Dadurch wird die Korrelation zwischen Verschiebungsschätzungen benachbarter A-Linien berücksich-

tigt.


Spe

ktru

m in

dB

Deh

nung

bei

x=

10 m

m

Bildbreite x in mm

Bild

tiefe

z in

mm

10 20 30

10

20

30

40

50

60

Bildtiefe z in mm

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-40

-30

-20

-10


10 16 22 28 34 40 46

-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-40

-30

-20

-10


10 16 22 28 34 40 46

-1

0

1

Abb. 3.18: Bild des gef ilterten Verschiebungsrauschens (links), normiertes Spektrum des

FIR-Filters (rechts oben), Beispiel eines Dehnungsverlaufes (rechts unten)

also3.45 mm. Ist zudem das Rauschen benachbarter Spalten korreliert,worauf nochmal

in Kap. 4 eingegangen wird, dann entsteht ein körniges Bild bzw. ein Zebramuster. Da-

bei handelt es sich aber nicht um Änderungen der mechanischen Dehnung aufgrund von

Elastizitätsunterschieden, sondern um Bildartefakte.

Spektrum der Dehnung für beliebigeTC und Tτ

Wählt man Fensterlängen mitTτ < TC , z.B. TC = 30 ∆t und Tτ = 10 ∆t, dann han-

delt es sich bei der Störung der Zeitverschiebungsschätzungenwc um farbiges Rauschen.

Damit ist das Spektrum der StörungCww(ω) nicht mehr konstant, sondern vom Verlauf

der Kovarianzfunktioncww(k) abhängig. Mit den genannten Werten und unter der Annah-

me, dass die Kovarianzfunktion linear von1 auf0 im Intervall [0, TC ] abfällt, würde sich

eine Kovarianzfunktion nach Abb. 3.19 (oben) ergeben, die bzgl. der Varianz der Zeit-

verschiebungsschätzungenσ2τ normiert wurde. Das resultierende Spektrum der Störung

der ZeitverschiebungenCww(ω), ebenfalls normiert aufσ2τ , ist in der gleichen Abbildung

unten dargestellt (gestrichelt). Das Spektrum des FIR-Filters|H(ω)|2 wurde für eine Fil-

terlängeN = 10 berechnet und mitT 2C (Korrelationsfensterlänge) multipliziert. Dadurch

wird das Spektrum der DehnungCvv(ω), das durch Multiplikation des Spektrums der

Zeitverschiebungen mit dem Spektrum des FIR-Filters resultiert, bzgl.σ2τ/T

2C normiert.

Diese Normierung wurde bereits in Kap. 3.3.4 eingeführt, wodie Varianz der Dehnung in

Abhängigkeit von der normierten FilterlängeN berechnet wurde (siehe auch Abb. 3.3 und

Abb. 3.4). Mit Hilfe dieser Normierung war es dann in Kap. 3.4.1 möglich, den Signal-

zu-Störabstand der Dehnung SNRε als Produkt von einem Ausgangs-SNRε0und einem

SNRεG-Gewinn zu betrachten. Bei der Betrachtung des SNRεG

-Gewinns stellte sich her-

aus, dass dieser für Objekte, die größer als die absolute Filterlänge sind, gerade dem


-0.9 -0.7 -0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.90

0.5

1

Position in mm

0.5 1 1.5 2 2.5 3-60-40-20

020

Cvv/(στ / TC)2

Cww/(στ)2

c ww

/ (στ)

2


Cw

w/(στ)

2, |

H|2 ·

(TC)2

und

Cv

v/(στ

/ TC)2

in d

B

|H|2·(TC)2

-6,18 dB

2,25 dB

Abb. 3.19: Oben: Normierte Kovarianzfunktion der Zeitverschiebungsschätzungen; un-

ten: Normiertes Spektrum der Zeitverschiebungsschätzungen, der Übertragungsfunktion

und der Dehnung

Kehrwert der normierten Varianz der Dehnung entspricht. Der Zusammenhang zwischen

dieser normierten Varianz der Dehnung aus Kap. 3.3.4 und demhier betrachteten Spek-

trum der Störung der Dehnung liegt auf der Hand, wenn man sichin Erinnerung ruft, dass

die Störungen jeweils als mittelwertfreie stationäre Prozesse angenommen werden. Die

normierte Varianz der Dehnung ist nämlich gerade die mittlere Leistung der normierten

Störung der Dehnung, d.h. im hier betrachteten Fall in Abb. 3.19 ca.−6.18 dB. Dieser

Wert findet sich auch in Abb. 3.4, wenn man für die hier gewählten Parameter den Abs-

zissenwertN = (10−1)·1030

+ 1 = 4 betrachtet. Da in Abb. 3.4 die normierte Varianz der

Dehnung für alle möglichen Kombinationen vonTC undTτ berechnet wurde, entspricht

dieser Wert einer der Einträge (x) an der StelleN = 4. Zum Vergleich würde die Nä-

herungsformel aus Gl. (3.53) einen Wert von−10 · log10

(112

· 4 · (16 − 1))

= −6.99 dB

liefern, der sich wie bereits graphisch ersichtlich nur geringfügig von der exakten Rech-

nung unterscheidet.

Der Verlauf des Spektrums der Störung der DehnungCvv(ω) zeigt ein Bandpaßverhalten

wie bereits das Spektrum des FIR-Filters in Abb. 3.17. Dies war zu erwarten, da das

Spektrum der Störung der Zeitverschiebungsschätzungen für Tτ < TC Tiefpaßverhalten

zeigt. Im hier betrachteten Fall ergibt sich ein maximaler Wert des normierten Spektrums

der Störung der Dehnung von2.25 dB bei einer Ortsfrequenz von0.41 mm−1. Ähnlich

wie in Abb. 3.18 würde sich also ein körniges Muster des Elastogramms ergeben. Es

wäre müßig, nach einem geschlossenen Ausdruck für die Ortsfrequenzen zu suchen, an

denen das normierte Spektrum sein Maximum erreicht. Die fürsinnvolle Kombinationen

von TC und Tτ durchgeführten Rechnungen zeigen aber, dass diese Ortsfrequenzen zu

Strukturen führen, deren Größe im Bereich von Millimetern liegt.

Um den Mittelwert des normierten Spektrums mit dessen Maximalwert zu vergleichen,


wurden beide Größen für verschiedene Kombinationen vonTC undTτ numerisch berech-

net(TC ∈ [10 ∆t, 100 ∆t] undTτ ∈ [∆t, 100 ∆t]). In Abb. 3.20 sind die Kehrwerte des

Mittelwertes bzw. des Maximalwertes in Abhängigkeit von der normierten FilterlängeN

aufgetragen, weil diese Kehrwerte gerade dem elastographischen SNRε-Gewinn SNRεG

aus Kap. 3.4.3 entsprechen. Dabei wurde vorausgesetzt, dass die absolute Filterlänge

1 2 3 4 5 6 7-12-9-6-30369

1215

Tτ = TC

Tτ = 1/2 TC

Tτ = 1/3 TC

Tτ = 1/4 TC

SN

Rε G

-Gew

inn

in d

B



Verlauf für Mittelwert desnormierten Spektrums

Verläufe für maximalen Wertdes normierten Spektrums

Abb. 3.20: SNRε-Gewinn SNRεGfür maximale Werte des normierten Spektrums der Deh-

nung in Abhängigkeit von der normierten FilterlängeN

(N−1)·Tτ kleiner als die Größe des Objektes ist. Zur besseren Übersichtlichkeit sind die

Kurven nur für bestimmte Verhältnisse vonTτ undTC eingezeichnet. Diese Verhältnis-

se entsprechen dem Grad der Überlappung der Korrelationsfenster aufeinander folgender

Zeitverschiebungsschätzungen(hier:0 %, 50 %, 67 %, 75 %).

Im Fall des Mittelwertes des Spektrums unterscheiden sich die Kurven erwartungsgemäß

nur geringfügig voneinander. Die Verläufe ergeben sich gerade aus dem Kehrwert der

normierten Varianz der Dehnung aus Abb. 3.4 und stimmen mit dem elastographischen

SNRε-Gewinn SNRεGaus Abb. 3.10 überein, wenn der maximal mögliche Gewinn be-

trachtet wird, d.h. die absolute Filterlänge kleiner als die Objektgröße ist.

Da die Maximalwerte der normierten Spektren immer größer sind als deren Mittelwer-

te, verlaufen die Kurven des SNRε-Gewinns SNRεGfür die Maximalwerte unterhalb der

Kurven für die Mittelwerte. Bei einer50 %-igen Überlappung ist der Abstand der beiden

Kurven ca.3 dB für N = 2 und bereits ca.9 dB für N = 4. Im vorangegangen Beispiel

ergaben sich im normierten Spektrum der Dehnung Werte von−6.18 dB für den Mittel-

wert und2.25 dB für das Maximum. Entsprechend ist in Abb. 3.20 durch die Bildung des

Kehrwertes an der StelleN = 4 ein Eintrag von+6.18 dB in der Kurve der Mittelwerte

und ein Eintrag von−2.25 dB in der Kurve der Maximalwerte fürTτ = 1/3 TC zu finden,

da im BeispielTC = 30 ∆t undTτ = 10 ∆t gewählt wurde.

Bei einer festen KorrelationsfensterlängeTC und einer beliebigen normierten Filterlänge

N ist die absolute Filterlänge nach(N−1)·Tτ = (N−1)·TC ebenfalls konstant. Aus

Abb. 3.20 lässt sich daher folgern, dass die beschriebenen Bildartefakte bei konstanter

absoluter Filterlänge am geringsten ausfallen, wennTτ = TC gewählt wird.

Während es bei der Beobachtung von großen Strukturen zur Beurteilung des elastogra-

3.4 Ortsauf lösung der Dehnung 51

phischen SNRε nach Gl. (3.57) ausreichend ist, die Varianz der Dehnung bzw. äquivalent

den Mittelwert des Spektrums der Dehnung heranzuziehen, ist es für eine Abschätzung

der Ortsauflösung des Verfahrens sinnvoller, den maximal erreichten Wert des Spektrums

der Dehnung zu verwenden.

3.4.7 Ortsauflösung der Dehnung

Wie im vorangegangenen Kapitel beschrieben, ist es bei der Abgrenzung von kleinen

Strukturen sinnvoll, den maximalen Wert des normierten Spektrums der Störung der Deh-

nung bzw. den sich daraus ergebenden elastographischen SNRε-Gewinn SNRεGzu ver-

wenden.

Eine Abschätzung der Ortsauflösung des Verfahrens soll hier mit Hilfe von Dehnungs-

Rechteckpulsen (vgl. Kap. 3.4.3) erfolgen, die Dehnungsdifferenzen im eindimensionalen

Federmodell entsprechen würden. Wie bereits in Kap. 3.4.3 erläutert, wird die Ampli-

tude einer Dehnungsdifferenz eines Dehnungs-Rechteckpulses der LängeK bei einer

FIR-Filterung nur dann korrekt wiedergegeben, wenn die FilterlängeN die Beziehung

N ≤ K + 1 erfüllt. In Abb. 3.10 zeigte sich dies dadurch, dass kleinere Dehnungs-

Rechteckpulse einen niedrigeren SNRε-Gewinn aufweisen. Durch diese Forderung wird

zudem nicht nur eine Abbildungstreue bzgl. der Amplitude eines Dehnungs-Rechteck-

pulses, sondern auch bzgl. dessen Größe erreicht, weil es sich bei dem FIR-Filter

um punktsymmetrische Rampen handelt. Aufgrund der Punktsymmetrie entspricht die

−6 dB-Pulsbreite (engl.:FWHW: full width half maximum) eines gefilterten Dehnungs-

Rechteckpulses gerade der vorgegebenen Größe des Rechteckpulses. Dies ist beispielhaft

in Abb. 3.21 für eine FilterlängeN = 10 und eine Objektgröße von(N − 1) Tτ bei

20 25 30 35 40 45 50

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Abtastwerte in Tτ

Nor

mie

rte

Deh

nung

sdiff

eren

z

FWHM

Rechteck-Puls gefilterterRechteck-Puls

Abb. 3.21: FWHM eines gef ilterten Dehnungs-Rechteckpulses für N = 10

einer (normierten) Änderung der Dehnung von−1 auf 0 gezeigt. Eine solche Änderung

von negativen Werten auf Werte nahe Null würde bei der Kompression eines kleinen

(unendlich) harten Einschlusses auftreten.

Die kleinste darzustellende Objektgröße ist also durch dieFilterlängeN bzw. die absolute

Filterlänge(N−1) Tτ limitiert, die notwendig ist, um bei einer bestimmten Dehnungs-

differenz einen ausreichenden elastographischen Kontrast zu erzielen. Nimmt man als

3.4 Ortsauf lösung der Dehnung 52

Dehnungsdifferenz die mittlere Dehnungε0 an, so entspricht der elastographische Kon-

trast gerade dem elastographischen Gesamt-SNRε, das sich aus dem elastographischen

Ausgangs-SNRε0nach Gl. (3.60) (vgl. Abb. 3.8) und dem elastographischen SNRεG

-

Gewinn nach Abb. 3.20 ergibt. Für eine Abschätzung der Größenordnung ist es erfor-

derlich, das Ergebnis in Abhängigkeit von der absoluten Filterlänge darzustellen, die über

(N − 1) Tτ = (N − 1) TC von der normierten FilterlängeN und der Korrelationsfen-

sterlängeTC abhängt. In Abb. 3.22 ist das resultierende Gesamt-SNRε bzw. der elasto-

graphische Kontrast für eine KorrelationsfensterlängeTC = 30 ∆t und eine Dehnung

30 60 90 120 150 180 210 240 2700

6

12

18

24

30

36Verlauf für Mittelwert desnormierten Spektrums

Verläufe für maximalen Wertdes normierten Spektrums

SN

Rε

in d

B

Absolute Filterlänge in Vielfachen ∆t

Tτ = ∆t

Tτ = 5∆tTτ = 10∆t

Tτ = 20∆tTτ = 30∆t

Abb. 3.22: Gesamt-SNRε in dB für TC = 30 ∆t und ε0 = 1 % in Abhängigkeit vonTτ

und der absoluten Filterlänge

von ε0 = 0.01 abgebildet. Diese Korrelationsfensterlänge wurde gewählt, da sie nach

den Überlegungen aus Kap. 3.4.4 auch in der Praxis eine untere Grenze für die Wahl von

TC darstellt. Außerdem ist es sinnvoll, absolute Filterlängen mit (N−1)·Tτ ≥ TC zu be-

trachten, damit mindestens zwei der Zeitverschiebungsschätzungen unkorreliert sind. Wie

man anhand von Abb. 3.22 erkennen kann, ist es dann bereits für absolute Filterlängen

in der Größenordnung der Korrelationsfensterlänge(hier:TC = 30 ∆t) möglich, einen

ausreichenden elastographischen Kontrast zu erzielen, sogar für überlappende Korrelati-

onsfenster mitTτ ≤ TC . Für andere Dehnungen zeigen sich ähnliche Ergebnisse, weil

sich das elastographische Ausgangs-SNRε0nach Abb. 3.8 für Dehnungen zwischen0.1 %

und 2.0 % für Korrelationsfensterlängen in einem Bereich von30 ∆t ≤ TC ≤ 140 ∆t

nur geringfügig unterscheidet. Auch für größere KorrelationsfensterlängenTC zeigt sich,

dass die Ortsauflösung im Bereich der Korrelationsfensterlänge liegt. Auf eine vollstän-

dige Darstellung wird hier verzichtet, weil es bei der Ortsauflösung um die Diskussion

einer unteren Grenze geht. Für die theoretisch mögliche Auflösung kann mit dieser Be-

trachtung fürTC = 30 ∆t ein Wert von∆z = /1 2 c TC = 0.46 mm als untere Grenze

angegeben werden. Die Größenordnung der so ermittelten Auflösung stimmt mit der von

Righetti et al. überein. Diese haben zur Bestimmung der Ortsauflösung in Simulationen

untersucht, wie groß der Abstand zweier Objekte sein muss, um sie noch getrennt vonein-

ander abbilden zu können [83, 84]. Die hier durchgeführte Betrachtung wurde im Sinne

der Detektierbarkeit eines einzelnen Objektes durchgeführt, wie es bei der Detektion von

harten Tumoren der Fall ist.

3.5 Harmonische Anregung: Vibrographie 53

3.5 Harmonische Anregung: Vibrographie

Wesentlich für die Abbildungsqualität eines Elastogrammsist die Varianz, die bei der

Schätzung der Zeitverschiebungen erreicht wird. Diese hängt zum einen von System-

parametern ab, zum anderen aber von lateralen und elevationalen Verschiebungen des

Mediums, die zu einer Dekorrelation der Signale führen. Eine Verbesserung der Abbil-

dungsqualität kann also insbesondere dann erreicht werden, wenn die mechanischen Ver-

schiebungen gleichmäßig (z.B. periodisch) in axialer Richtung durchgeführt werden und

anschließend eine Auswertung erfolgt. Anhand von Abb. 3.23wird darauf eingegangen,

z0 t

z t0 t1=t0+∆tvib

zi(t)

Abb. 3.23: Prinzip der Vibration: Zeitabhängige Bewegung des Gewebes innerhalb eines

Schallstrahls (A-Linie)

welche Verschiebungen bei einer harmonischen Anregung eines Gewebebereiches mit ei-

ner Frequenzωvib lokal gemessen werden. Seizi(tvib) die zeitabhängige Position eines

kleinen Gewebebereiches (Streuers) undzi die Position zum Zeitpunkttvib = 0, d.h.

zi = zi(0). Der Verlauf vonzi(tvib) kann durch

zi(tvib) = zi + A(zi) cos(ωvib tvib) (3.90)

angegeben werden, wobei die SchwingungsamplitudeA(zi) des Gewebebereiches ortsab-

hängig ist. Gewebebereiche nahe am Ultraschallwandler haben eine sehr geringe Schwin-

gungsamplitude, Gewebebereiche weiter entfernt vom Ultraschallwandler haben eine hö-

here Schwingungsamplitude. Im folgenden soll eine Verschiebungsschätzungτ(z0, t0) an

der Stellez = z0 zum Zeitpunkttvib = t0 betrachtet werden. Zunächst gilt für die Position

des Gewebebereicheszi(t) zum Zeitpunkttvib = t0

zi(t0) = zi + A(zi) cos(ωvib t0)!= z0 , (3.91)

bzw. nach Umstellen

zi = z0 − ∆z mit ∆z = A(zi) cos(ωvib t0) . (3.92)

3.5 Harmonische Anregung: Vibrographie 54

Zu einem Zeitpunktt1 = t0 + ∆tvib hat dieser Gewebebereich die Position

zi(t1) = zi + A(zi) cos(ωvib(t0 + ∆tvib))

= zi + A(zi) (cos(ωvibt0) cos(ωvib∆tvib) − sin(ωvibt0) sin(ωvib∆tvib)) . (3.93)

Die Differenzzi(t0) − zi(t1) ist der zu erwartende Wert der Verschiebungsschätzung an

der Stellez = z0 zum Zeitpunktt = t0, d.h.

τ(z0, t0) = A(zi) [(1 − cos(ωvib ∆tvib)) cos(ωvib t0)

+ sin(ωvib ∆tvib) cos(ωvib t0)] . (3.94)

Dieser Ausdruck kann zu

τ(z0, t0) = Avib(zi) cos(ωvib t0 + Φvib) (3.95)

zusammengefasst werden. Die AmplitudeAvib(zi) setzt sich aus der Schwingungsampli-

tude des GewebebereichesA(zi) und einem NormierungsfaktorAnorm(ωvib) zusammen,

Avib(zi) = A(zi)√

sin2(ωvib ∆tvib) + cos2(ωvib ∆tvib) + 1 − 2 cos(ωvib ∆tvib)

= A(zi)√

2(1 − cos(ωvib ∆tvib))

= A(zi) Anorm(ωvib) . (3.96)

Der NormierungsfaktorAnorm(ωvib) =√

2(1 − cos(ωvib ∆tvib)) hängt von der Frequenz

der mechanischen Anregung und dessen Abtastung bzw. dem Produkt ωvib ∆tvib ab. Für

die PhaseΦvib gilt

Φvib = arctan

( − sin(ωvib ∆tvib)

1 − cos(ωvib ∆tvib)

)(3.97)

Wird weiterhin die SchwingungsamplitudeA(zi) durch

A(zi) = A(z0 − ∆z) = A(z0) −dA

dz∆z = A(z0) − εzz(z0)A(zi) cos(ωvib t0)(3.98)

angenähert, dann folgt für die Verschiebungτ(z0, t0)

τ(z0, t0) = [A(z0) − εzz(z0)A(zi) cos(ωvib t0)] ·√2(1 − cos(ωvib ∆tvib)) cos(ωvib t0 + Φvib) . (3.99)

Weil die auftretenden Dehnungen bei den angewendeten mechanischen Auslenkungen

sehr klein sind(εzz ≪ 1), wird im folgenden mit der Näherungslösung

τ(z0, t0) ∼= A(z0) Anorm(ωvib) cos(ωvib t0 + Φvib) (3.100)

gearbeitet. Aus der Schwingungsamplitude der Zeitverschiebungsschätzungen an der Po-

sitionz = z0 kann also direkt auf die SchwingungsamplitudeA(z0) des Gewebebereiches

an der Positionz = z0 geschlossen werden, wenn der frequenzabhängige Normierungs-

faktorAnorm(ωvib) berücksichtigt wird. Die axiale mechanische Dehnung (Elastogramm)

ergibt sich aus der Ableitung vonA(z0).

3.5 Cramér-Rao Schranke der Parameter einer Schwingung 55

3.5.1 Cramér-Rao Schranke der Parameter einer Schwingung

Seis[n; θ] ein diskretisiertes zeitharmonisches Signal mit bekannter Kreisfrequenzωvib in

Abhängigkeit des Parametervektorsθ = [a b]T,

s[n; θ] = a cos(ωvib ∆tvib n) + b sin(ωvib ∆tvib n) für n = 0 . . . N−1 . (3.101)

Ist diesem Signal weißes Gauß’sches Rauschenw[n] überlagert mitw[n] ∼ N (0, σ2),

dann können die Parameter aus dem resultierenden Signal

z[n] = s[n; θ] + w[n] für n = 0 . . . N−1 (3.102)

durch

a =2

N

N−1∑

n=0

z[n] cos(ωvib ∆tvib n) und (3.103)

b =2

N

N−1∑

n=0

z[n] sin(ωvib ∆tvib n) (3.104)

geschätzt werden. Diese Schätzer sind nach [14] erwartungstreu und wirksam, d.h. errei-

chen die Cramér-Rao Schranke (CRLB), wenn die Varianzσ2 der Störung bekannt ist.

Für die Vibrographie sind jedoch nach Gl. (3.100) insbesondere die AmplitudeA und die

PhaseΦ der zeitharmonischen Schwingung von Interesse. Wird ein Parametervektorϑ als

Funktion des Parametervektorsθ definiert,

ϑ =

[A

Φ

](θ) =

[ √a2 + b2

arctan(−b

a

)]

, (3.105)

so erhält das zeitharmonische Signal nach Gl. (3.101) die Form

s[n; ϑ] = A cos(ωvib ∆tvib n + Φ) (3.106)

mit AmplitudeA und PhaseΦ. Bei der Berechnung der CRLB für die AmplitudeA kann

folgende Beziehung für die KovarianzmatrixCϑ genutzt werden [55] (S. 45),

Cϑ −∂g(θ)

∂θI−1(θ)

∂g(θ)

∂θ

T

≥ 0 . (3.107)

Dabei ist∂g(θ)

∂θdie Jacobi Matrix, die sich in unserem Fall zu

∂g(θ)

∂θ=

(a√

a2+b2b√

a2+b2

−ba2+b2

aa2+b2

)(3.108)

ergibt. Für die Berechnung der inversen Fisher-Informationsmatrix I−1(θ) müssen zu-

nächst die einzelnen Elemente der Fisher-Informationsmatrix nach

[I(θ)]ij =1

σ2

N−1∑

n=0

∂s[n; θ]

∂θi

∂s[n; θ]

∂θj

(3.109)

3.5 Kalman-Filter 56

berechnet werden [55] (S.49). Durch Einführung vonφ = ωvib ∆tvib n erhält man

[I(θ)]11 =1

σ2

N−1∑

n=0

cos2(φ) =1

σ2

N−1∑

n=0

(1

2+

1

2cos(φ)

)≈ N

2 σ2, (3.110)

[I(θ)]12 = − 1

σ2

N−1∑

n=0

cos(φ) sin(φ) =1

2 σ2

N−1∑

n=0

sin(2 φ) ≈ 0 und (3.111)

[I(θ)]22 =1

σ2

N−1∑

n=0

sin2(φ) ≈ N

2 σ2. (3.112)

Die resultierende Fisher-Informationsmatrix lautet

I(θ) =1

σ2

[N2

0

0 N2

], (3.113)

und ein Einsetzen dieser Ergebnisse in Gl. (3.107) führt auf

Cϑ ≥(

a√a2+b2

b√a2+b2

−ba2+b2

aa2+b2

)σ2

(2N

0

0 2N

) (a√

a2+b2−b

a2+b2

b√a2+b2

aa2+b2

)(3.114)

bzw. nach Ausmultiplizieren auf

Cϑ ≥ σ2

(2N

0

0 2A2N

). (3.115)

Demnach gilt für die Varianzen der Elemente vonϑ

Var(A) ≥ 2σ2

Nund Var(Φ) ≥ 2σ2

A2N. (3.116)

Zunächst muss festgestellt werden, dass die CRLB der AmplitudeA mit 1N

abfällt und die

CRLB der PhaseΦ vom Wert der Amplitude abhängig ist. Da es sich bei der Transfor-

mation aus Gl. (3.105) jedoch um keine lineare Transformation handelt, wird die CRLB

nicht erreicht. Zudem ist der Schätzer für die Amplitude Riceverteilt und geht nur für

A2 ≫ 2 σ2

Nin eine Gauß-Verteilung über.

Im hier vorliegenden Fall der lokalen Beobachtung einer Schwingung eines Gewebeaus-

schnittes ist damit zu rechnen, dass sich der Wert der Schwingungsamplitude ständig än-

dert – zufällig durch kleinste Bewegungen des Untersuchers bzw. des untersuchten Ob-

jektes oder absichtlich durch einen Wechsel des untersuchten Gewebeausschnittes. Au-

ßerdem ist davon auszugehen, dass sich die Varianz der Störung nicht stationär verhält.

Die Lösung eines solchen Problems kann mit Hilfe eines rekursiven Verfahrens, dem

Kalman-Filter, erfolgen.

3.5.2 Kalman-Filter

Sind die Amplitude bzw. Phase einer Schwingung bekannter Frequenz einer zufälligen

Änderung ausgesetzt, dann können Amplitude und Phase dieser Schwingung mit Hilfe


eines Kalman-Filters aus den Messwerten berechnet werden.Das Kalman-Filter arbei-

tet rekursiv im Zustandsraum und liefert aus (vektoriellen) Messwerten einen optimalen

Zustandsvektor [17, 16], schematisch dargestellt in Abb. 3.24. Es verwendet dabei die

Prozess-Rauschen

Zustand(unbekannt)

Modell:Zustand ↔ Messung Messungen

Kalman-

Filter

Optimale Schätzungdes Zustandes

Mess-Rauschen

11 −− += nnn vxx

nnnn wxz += H

( )Q0,N~mit nn vv

( )nnn Rww 0 ,N~mit

Abb. 3.24: Kalman-Filter: Schätzung von Zuständen aus Messungen

gesamte in den Messwerten enthaltene Information und führtimplizit eine Datenfusion

durch.

Unter Ausnutzung der trigonometrischen Umformung

A cos(ωvib ∆tvib n + Φ) = A cos(Φ) cos(ωvib ∆tvib n)

−A sin(Φ) sin(ωvib ∆tvib n) (3.117)

bietet es sich an, die zeitdiskreten Messwertezn einer Schwingung (AmplitudeA, Pha-

seΦ) mit überlagerter Störungwn ∼ N (0, Rn) als

zn =[

cos(ωvib ∆tvib n) − sin(ωvib ∆tvib n)] [

A cos(Φ)

A sin(Φ)

]+ wn

= Hn xn + wn

(3.118)

darzustellen. Die BeobachtungsmatrixHn ändert sich in Abhängigkeit vom Zeitpunkt

∆tvib n. Ziel ist es nun, den unbekannten Zustandsvektorxn aus den Meßwertenzn zu

berechnen. Dabei werden die Zustände als stochastischer Prozeß aufgefaßt, für die die

lineare stochastische Differenzengleichung

xn+1 =

[1 0

0 1

]xn + νn mit νn ∼ N (0,Q) (3.119)

gilt. Aus den Komponenten des Zustandsvektorsxn(1) = A cos(Φ) und xn(2) =

A sin(Φ) können die Amplitude und Phase der Schwingung mit Hilfe von

A =√

xn(1)2 + xn(2)2 und

Φ = arctan(

xn(2)xn(1)

) (3.120)

berechnet werden. Das Kalman-Filter selbst arbeitet rekursiv, d.h., dass der aktuelle Zu-

standsvektor durch neue Messwerte laufend aktualisiert wird. Die Rekursionsschritte lau-


ten im Detail (vgl. dazu S. 137 f. in [17] oder S. 219 in [16]):

1. Initialisierung

x−0 = E {x}

P−0 = Q

(3.121)

2. Berechnung des Kalman-Faktors

Kn = P−n HT

n

(Hn P−

n HT

n + Rn

)−1(3.122)

3. Erneuerung des Zustandsvektors

xn = x−n + Kn

(zn − Hn x−

n

)(3.123)

4. Erneuerung der Fehler-Kovarianzmatrix

Pn = (I − KnHn)P−n (3.124)

5. Prädiktion des Zustandsvektors und der Fehler-Kovarianzmatrix

n = n + 1

x−n = xn−1

P−n = Pn−1 + Q

(3.125)

und mit Schritt 2 fortfahren.

Eine graphische Darstellung dieser Rekursionsvorschrift findet sich in Abb. 3.25.

Berechnung des Kalman-Faktors

Prädiktion derFehler-Kovarianz

Erneuerung des Zustandsvektors

Erneuerung der Fehler-Kovarianz

Prädiktion des Zustandsvektors

( ) 1−−− += nnnnnn RTT HPHHPK

1−− = nn xx

( )−− −+= nnnnn xzxx HK

QPP += −−

1nn ( ) −−= nnn PHKIP

−−00 , Px

1+= nn

Abb. 3.25: Schema der Rekursionsvorschrift eines Kalman-Filters

Bei der Verwendung eines Kalman-Filters ist gegenüber einemklassischen Schätzer vor-

teilhaft, dass ein Prozess-Rauschen des zu schätzenden Zustandes berücksichtigt werden

kann. Es ist zudem nicht erforderlich, dass die VarianzRn des Mess-Rauschens stationär

ist. Bei der Berechnung des Kalman-Faktors (2. Iterationsschritt in Abb. 3.25) führt eine

hohe Varianz dazu, dass die Messung sehr gering gewichtet wird und kaum Einfluss auf


die nächste Zustandsschätzung hat. Ein weiterer Vorteil ist in dem rekursiven Ansatz zu

sehen, weil dadurch die Abtastung der Schwingung nicht äquidistant erfolgen muss. Die

ÜbertragungsmatrixHn in Gl. (3.118) wird für jeden Iterationsschritt in Abhängigkeit

vom Abtastzeitpunkt neu berechnet. Im Gegensatz zu einem klassischen Schätzer wie in

Gl. (3.105) ist aber zu beachten, dass die Varianz der geschätzten Parameter nicht be-

liebig klein wird, wenn die Anzahl der eingehenden Messwerte steigt. Zur Abschätzung

der Genauigkeit, die mit einem Kalman-Filter erreicht wird, müssen im Falle einer nicht

stationären Varianz Simulationen durchgeführt werden.

Abschätzung der Genauigkeit

In den hier durchgeführten Simulationen wurde untersucht,welchen quadratischen Feh-

ler das Kalman-Filter bei der rekursiven Berechnung der Schwingungsamplitude liefert.

Dafür muss zunächst die KovarianzmatrixQ des Prozess-Rauschens gewählt werden. Die

Simulationen wurden für WerteQ = I · 10−5 rad2, Q = I · 10−4 rad2, Q = I · 5 · 10−4 rad2

undQ = I · 10−3 rad2 durchgeführt. Die minimale Varianz der MesswerteRn kann mit

Hilfe von Gl. (3.21) abgeschätzt werden,

Rn =3

2π2TC(B3 + 12Bf 20 )

[1

ρ2n

(1 +

1

SNRel

)2

− 1

]. (3.126)

Die ParameterB, f0 und SNRel können aus Tab. 3.2 in Kap. 3.4.2 übernommen wer-

den, die Korrelationsfensterlänge wurde zuTC = 30 ∆t mit ∆t = 1/50 MHz gewählt.

Der Korrelationskoeffizientρn ändert sich abhängig vom Abtastzeitpunkt und der Vibra-

tionsfrequenz, weil der Korrelationskoeffizientρax nach Gl. (3.23) von der Dehnungε

abhängig ist und sich letztere bei einer Vibrationsanregung lokal ändert. Nach Gl. (3.100)

führt eine Vibrationsanregung zu Verschiebungenτn(z0) gemäß

τn(z0) = A(z0) Anorm(ωvib) cos(ωvib ∆tvib n + Φ) , (3.127)

wobei der FaktorAnorm(ωvib) =√

2(1 − cos(ωvib ∆tvib) von der Schwingungsfrequenz

abhängig ist undt0 = ∆tvib n gewählt wurde. Wenn der Hub eines Vibrations-Applikators

[42] zu einer lokalen Dehnungε0 führt, dann ist die lokale Dehnungεn zum Zeitpunktt0durch

εn =τn(z0)

2 A(z0)ε0 (3.128)

gegeben. Man sieht, dassεn ∈ [−ε0, +ε0] ist und der Korrelationskoeffizientρax nach

Gl. (3.23) zu einem Korrelationskoeffizientenρn wird.

Sei nunR0 die Varianz nach Gl. (3.126) im Falle eines einzelnen Kompressionsschrit-

tes, bei dem die Dehnungε0 auftritt. Es bietet sich an, diesen Wert mit der Varianz

der geschätzten Amplitude des Kalman-Filters im eingeschwungenen Zustand zu ver-

gleichen. Wenn die Varianz der geschätzten Amplitude des Kalman-Filters im Falle ei-


ner Vibrationsanregung kleiner ist als die Varianz im Falleeiner einzelnen Kompression,

dann könnte durch die Vibrationsanregung die Abbildungsqualität der Ultraschall-Ela-

stographie verbessert werden. Da man von einem frequenzabhängigen Verhalten ausge-

hen muss, wurde die normierte Schwingungsfrequenz in einemBereich vonfvib ∆tvib ∈[0, 0.5] variiert. Die Ergebnisse der Simulationen sind in Abb. 3.26für eine Dehnung von

ε0 = 0.01 dargestellt. Es zeigte sich, dass die Wahl der Amplitude in einem Bereich von

0.1 0.2 0.3 0.4

-6

0

6

12

18

Normierte Frequenz vibvib tf ∆

Q=10-5 · I

Q=10-4 · I

Q=10-3 · IQ=5·10-4 · I

R0

/ Var

{A}

in d

B^

R0

/ Var

{A}

in d

B^

Abb. 3.26: Verhältnis vonR0 zur Varianz der geschätzten Amplitude in dB für verschie-

deneQ bei einer Dehnung vonε0 = 0.01

A(z0) ∈ [1, 30] rad keinen Einfluss auf das Ergebnis hat.5 Anhand von Abb. 3.26 lässt

sich sagen, dass eine Verbesserung der Abbildungsqualitätnicht bei beliebiger Wahl von

Q erfolgt. Zum Beispiel ist das Verhältnis fürQ = I · 10−3 rad2 und fvib ∆tvib < 0.1

negativ, was zu einer Verschlechterung der Abbildungsqualität führen würde. Obwohl

generell eine Verkleinerung der Einträge vonQ zu einer Verbesserung der Abbildungs-

qualität führt, ist dies nicht unbedingt sinnvoll, weil dadurch das Einschwingverhalten

des Kalman-Filters ungünstig beeinflusst wird. Werden dieEinträge vonQ nämlich zu

klein gewählt, dann dauert es im Rahmen eines Echtzeitverfahrens zu lange, bis der wah-

re Wert der Amplitude erreicht wird. Bei den experimentellenArbeiten erwies sich eine

Wahl vonQ = I · 5 · 10−4 rad2 als sinnvoll. Dabei ist zu beachten, dass der Vorteil einer

Vibrationsanregung nicht nur in der Verbesserung der Abbildungsqualität durch Filtern

der Messwerte liegt, sondern insbesondere in der gleichmäßigeren, untersucherunabhän-

gigen mechanischen Kompression. Durch diese werden weniger Bewegungsartefakte in

lateraler bzw. elevationaler Richtung hervorgerufen, so dass sich die Varianz der Zeitver-

schiebungsschätzungen verbessert.

5Die zu erwartenden Amplituden liegen typischerweise in diesem Bereich.

Kapitel 4

Simulation und Optimierung

In Abb. 4.1 ist das prinzipielle Vorgehen dargestellt, das hier zur Überprüfung der zu erzie-

lenden Abbildungsqualität der Ultraschall-Elastographie verwendet wird. Zunächst wird

das mechanische Vorwärtsproblem mit Hilfe der Methode der Finiten-Elemente (FEM)

unter Annahme des ebenen Verzerrungszustandes gelöst – in Abhängigkeit von einer

Elastizitätsmodul-Verteilung und bestimmten Randbedingungen. Die sich ergebenden

E-Modul: E0, Ek Dehnung ∆εFEM

Ultraschallsystem

Zeitverschiebungs-Schätzung: στ,CRLB

Dehnungsbild: CNRε

FIR-Filter

Rauschen2

Abb. 4.1: Analyse des elastographischen Kontrast-zu-Rausch Verhältnisses CNRε

axialen und lateralen Objektverschiebungen werden in den anschließenden Ultraschall-

Simulationen berücksichtigt und beeinflussen die Varianzder Zeitverschiebungsschätzun-

genσ2τ . Da das menschliche Auge aber nicht in der Lage ist, Informationen aus Verschie-

bungsbildern sinnvoll zu interpretieren (vgl. Abb. 4.2 mitte), müssen aus diesen z.B. Deh-

nungsbilder berechnet werden (s. Abb. 4.2 rechts). Der elastographische Kontrast CNRεbesteht nach Gl. (3.86) aus drei Komponenten,

∆ε2

σ2ε0︸︷︷︸

=∆ε2

ε20︸︷︷︸

· ε20

σ2τ (ρ,TC ,ε)

T 2

C︸︷︷︸

· Aε(K,N)2 · 1

12N(N2 − 1)

︸︷︷︸

≈ CNRε NDU Ausgangs− SNRε0SNRεG

− Gewinn

. (4.1)

Der normierte Dehnungsunterschied (NDU) hängt von der Geometrie des Objektes, den

Randbedingungen bei der Kompression und der Verteilung der Elastizitätsmoduln ab.

Darauf wird in Kap. 4.1 eingegangen, wobei die Geometrie desObjektes und die Rand-

bedingungen in einem mechanischen KonversionsfaktorcPDE (Ek, E0) zusammengefasst

werden können. Mit Hilfe von Ultraschall-Simulationen werden in Kap. 4.2 die Ergeb-

nisse aus Kap. 3 überprüft. Dabei sind insbesondere die Varianz der Zeitverschiebungs-

schätzungenσ2τ bzw. deren Cramér-Rao Schranke nach Gl. (3.21) von Bedeutung, weil

aus diesen Zeitverschiebungen nach FIR-Filterung ein Dehnungsbild entsteht.

4.1 FEM-Simulationen 62

4.1 FEM-Simulationen

Die Methode der Finiten Elemente (engl.:FEM = f inite element method) ist elementarer

Bestandteil der modernen Numerik und eignet sich zur Behandlung einer Vielzahl von

Problemen physikalischer und ingenieurwissenschaftlicher Herkunft. Allgemein betrach-

tet ist die Methode der Finiten Elemente ein Diskretisierungsverfahren für Kontinuums-

probleme [114]. Die internen Verfahrensschritte für den vollständigen Lösungsprozess

sind im Wesentlichen:

• Diskretisierung der Geometrie in Finite Elemente

• Formulierung der Matrizen des Finiten Elementes

• Numerische Integration zur Berechnung der Matrizen

• Zusammenfassung der Elementmatrizen zu Gesamtmatrizen

• Graphische Darstellung der numerischen Lösung

Für die Ausführung dieser Schritte steht kommerzielle Software zur Verfügung. Im Rah-

men dieser Arbeit wurde die Programme MATLABR© und ANSYSR© benutzt.

4.1.1 FEM-Parameter: E-Modul-Verteilung, Randbedingungen

Für den Fall eines runden, zylinderförmigen Einschlusses von 10 mm Durchmesser

mit ElastizitätsmodulEk in einem homogenen Medium mit ElastizitätsmodulE0 (vgl.

Abb. 4.2 links) wurden verschiedene Simulationen durchgeführt. Unter Annahme des

Ek

E0

Objektbreite x in mm

Obj

ektti

efe

z in

mm

0 20 40

0

10

20

30

40

50

60 -0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0 20 40-1.3

-1.2

-1.1

-1

-0.9

-0.8

-0.7

0 20 40

E-Modul-Verteilung Verschiebung uz in mm Axiale Dehnung εzz in %

Abb. 4.2: E-Modul Verteilung (links) mitE0 = 30 kPa undEk = 50 kPa, axiale Verschie-

bung in mm (mitte) und axiale Dehnung in Prozent (rechts)

ebenen Verzerrungszustandes (engl.:plain strain) wurde ein Medium mit einem Quer-

4.1 FEM-Parameter 63

schnitt von60 x 40 mm um ein Prozent komprimiert. Dies ist ein Wert, der typischerweise

bei der Ultraschall-Elastographie auftritt. In Kap. 4.1.3wird darauf eingegangen, dass die

erzielten Ergebnisse auch auf Kompressionen in einem Bereich um ein Prozent Dehnung

übertragbar sind. Für den oberen bzw. unteren Rand wurden demnach Dirichtlet’sche

Randbedingungen mit Werten der vertikalen Verschiebung von−0.6 mm bzw.0.0 mm

angenommen (Plattenkompression). Für die seitlichen Ränder wurden Neumann’sche

Randbedingungen angenommen. Ein typisches Ergebnis einer solchen Simulation ist in

Abb. 4.2 zu sehen. Das Vorzeichen der Dehnungswerte ist negativ, weil das Medium

komprimiert wurde.

Die Werte des Elastizitätsmoduls für biologisches Weichgewebe variieren je nach Ge-

webetyp [32]. Für Brustgewebe fanden Krouskop et al. Werte zwischen10 kPa und

100 kPa bei leichter Kompression und einer Poisson-Zahl vonν = 0.495 [58]. Die

FEM-Simulation eines Einschlusses mit ElastizitätsmodulEk in einem homogenen

Material mit ElastizitätsmodulE0 wurde für verschiedene Werte in dem genannten Wer-

tebereich durchgeführt. In Abb. 4.3 ist der Verlauf der axialen Dehnung an der Position

0 15 30 45 60

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

0 15 30 45 60

-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

Tiefe z in mm

E0=20kPa

Ek=30 kPa

Ek=50 kPa

Ek=70 kPa

Ek=90 kPa

Ek=10 kPa

E0=60kPa

Axi

ale

Deh

nung

εzz

in %

Ek=10 kPa

Ek=30 kPa

Ek=50 kPa

Ek=90 kPa

Tiefe z in mm

Abb. 4.3: Dehnungsverlauf an der Positionx = 20 mm für Einschlüsse mit10 mm Durch-

messer für verschiedene E-Modul-VerteilungenE0 bzw.Ek

x = 20 mm für ein variierendesEk bei konstantemE0 abgebildet. Auf der linken Seite

wurdeE0 = 20 kPa, auf der rechten SeiteE0 = 60 kPa gewählt. Für harte Einschlüsse ist

der Elastizitätsmodul des EinschlussesEk größer als der des umgebenden BereichesE0,

für weiche Einschlüsse giltEk < E0. Anhand der Kurvenverläufe kann man erkennen,

dass die axiale Dehnung im Mittel bei−1 % liegt. Außerdem ist der absolute Wert der

Dehnung an der Position eines harten Einschlusses immer kleiner als der absolute Wert

der Dehnung außerhalb des Einschlusses.

Dieser Sachverhalt zeigt sich auch in Abb. 4.4. Mittelt man die axiale Dehnungεzz über

4.1 Mechanischer Konversionsfaktor 64

die Fläche des Einschlusses (siehe eingezeichneter Kreis in Abb. 4.2 rechts) zu einem

Wertεk für verschiedeneEk bei festemE0, so ergibt sich ein hyperbelartiger Verlauf der

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-1.8

-1.6

-1.4-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2 E0 < Ek => εk > ε0

Ek in kPa

Gem

ittel

te a

xial

e D

ehnu

ngε k

in %

E0=10 kPa

E0=30 kPa

E0=50 kPaE0=70 kPa

E0 > Ek => εk < ε0

Abb. 4.4: Gemittelte axiale Dehnungεk in % für zunehmendeEk bei konstantemE0 im

Wertebereich von10 kPa bis100 kPa.

Art εk ∼ −1/Ek. Diese Hyperbeln sind für zunehmende Werte vonE0 (Pfeilrichtung)

in 10 kPa-Schritten eingezeichnet. WennEk den Wert vonE0 überschreitet – und es sich

somit um harte Einschlüsse handelt – überschreitetεk den Werte der mittleren Dehnung

von−1 % bzw. gilt |εk| < 1 %. Zur Veranschaulichung wurde die Geradeεk = −1 % ge-

strichelt eingezeichnet. Dadurch motiviert wird nun das Verhältnisε0/εk in Abhängigkeit

vonEk bei festemE0 untersucht.

4.1.2 Mechanischer Konversionsfaktor

Zu diesem Zweck wurden für die Konstellation aus Abb. 4.2 Simulationen für verschie-

dene Werte vonEk und E0 in einem Bereich von10 kPa bis100 kPa durchgeführt und

anschließend die QuotientenEk/E0 und ε0/εk berechnet. Der QuotientEk/E0 hängt

linear vom ElastizitätsmodulEk des Einschlusses ab und ist in Abb. 4.5 für die Fälle

E0 = 10, 20, 30 kPa dargestellt (—). Dabei ist zu beachten, dass in Abb. 4.5 nur harte

Einschlüsse betrachtet werden (Ek > E0), so dass der Quotient größer Eins ist. Der Quo-

tient ε0/εk ist ebenfalls in Abhängigkeit vonEk für den Fallε0 = −1 % dargestellt (· · ·).Es ist plausibel, dass das Verhältnisε0/εk für Ek = E0 gleich Eins ist, weil dieser Fall der

Simulation eines homogenen elastischen Mediums ohne Einschlüsse entspricht. Es bietet

sich an, das Verhältnis vonε0/εk in Abhängigkeit vonEk durch

ε0

εk

= cPDE

(Ek − E0

E0

)+ 1 (4.2)

anzunähern. Der FaktorcPDE kann als „mechanischer Konversionsfaktor“ interpretiert

werden, der von der Geometrie des Einschlusses, der Verteilung der Elastizitätsmoduln

und von den mechanischen Randbedingungen abhängig ist. Es sei angemerkt, dass der

4.1 Normierter Dehnungsunterschied 65

10 30 50 70 901

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Ek in kPa

Ek

/ E0

ε 0/ ε

k

E0=10 kPa

E0=20 kPa

E0=30 kPa

Für harte Einschlüsse ist das Verhältnis > 1

Abb. 4.5: Elastizitätsmodul-VerhältnisEk/E0 (—) und Dehnungsverhältnis−1 %/εk

(· · ·) für E0 = 10, 20, 30 kPa

mechanische Konversionsfaktor den Wert Eins annimmt, wenndas Dehnungsverhältnis

ε0/εk dem TeilerverhältnisEk/E0 entspricht, d.h.,

ε0

εk

= 1 ·(

Ek − E0

E0

)+ 1 =

Ek

E0

. (4.3)

Dies würde dem eindimensionalen Fall zweier mechanischer Federn entsprechen. In den

hier durchgeführten zweidimensionalen Simulationen wurde dieser Wert immer unter-

schritten, was daran zu sehen ist, dass die Geraden des Quotientenε0/εk in Abb. 4.5 eine

geringere Steigung haben als die des QuotientenEk/E0. Für harte Einschlüsse mit ei-

nem Durchmesser von4 mm liegt der mechanische Konversionsfaktor in einem Bereich

0.37 ≤ cPDE ≤ 0.47. Für harte Einschlüsse mit einem Durchmesser von10 mm liegt der

mechanische Konversionsfaktor in einem Bereich von0.38 ≤ cPDE ≤ 0.48.

4.1.3 Normierter Dehnungsunterschied (NDU)

Bei der Näherung des elastographischen Kontrastes CNRε durch Gl. (3.86) wurde der

normierte Dehnungsunterschied∆ε2/σ2ε0

eingeführt (NDU). Dieser soll nun mit Hilfe

der Ergebnisse aus dem vorherigen Kap. 4.1.2 quantifiziertwerden.

Die Dehnungsdifferenz∆ε zwischen einem Einschluss mit Dehnungεk und einem Hin-

tergrund mit mittlerer Dehnungε0 lässt sich unter Verwendung von Gl. (4.2) durch

∆ε = εk − ε0 = − εk · cPDE ·(

Ek − E0

E0

)(4.4)

ausdrücken. Dieses Ergebnis kann auch in Abhängigkeit vonε0 und ∆E = Ek − E0


ausgedrückt werden,

∆ε = − ε0

cPDE · ∆EE0

1 + cPDE · ∆EE0

. (4.5)

Führt man die FEM-Simulationen für verschiedene Dehnungenε0 durch, so zeigt sich,

dass der mechanische KonversionsfaktorcPDE in einem großen Dehnungsbereich nicht

vonε0 und damit nicht von der Gesamtkompression abhängig ist. Dieses ist exemplarisch

in Abb. 4.6 gezeigt. In allen Fällen ergab sich ein mechanischer Konversionsfaktor von

0 15 30 45 60

-3

-2

-1

-0.5

-0.1

Axi

ale

Deh

nung

εzz

in %

Tiefe z in mm

E0=20kPa

Ek=50kPa

ε0=-0.1%

ε0=-0.5%

ε0=-1%

ε0=-2%

ε0=-3%

Abb. 4.6: Dehnungsverlauf an der Positionx = 20 mm für verschiedeneε0 für einen

Einschluss von10 mm Durchmesser mitEk = 50 kPa beiE0 = 20 kPa

cPDE = 0.479. Für den Fall eines linear elastischen Mediums ergibt sich der normierte

Dehnungsunterschied direkt aus Gl. (4.5) als Funktion von∆E, E0 undcPDE zu

∆ε2

ε20

=

(cPDE · ∆E

E0

1 + cPDE · ∆EE0

)2

. (4.6)

In Abb. 4.7 ist der normierte Dehnungsunterschied für harteEinschlüsse dargestellt,

wobei die rote Kurve fürcPDE = 1, die grüne Kurve für einen Einschluss mit10 mm

Durchmesser und die blaue Kurve für einen Einschluss mit5 mm Durchmesser verwen-

det wurde. Es zeigt sich, dass der normierte Dehnungsunterschied im Falle von harten

Einschlüssen zu einem Verlust des elastographischen Kontrastes führt, weil der NDU nur

für ∆E/E0 → ∞ den Wert0 dB erreicht.

In Abb. 4.8 ist der normierte Dehnungsunterschied für weiche Einschlüsse dargestellt, wo-

bei wieder die rote Kurve fürcPDE = 1, die grüne Kurve für einen Einschluss mit10 mm

Durchmesser und die blaue Kurve für einen Einschluss mit5 mm Durchmesser gewählt

wurde. Im eindimensionalen Fall zweier mechanischer Federn (cPDE = 1) würde der

normierte Dehnungsunterschied für∆E/E0 = −0.5 zu0 dB werden, weil fürE0 = 2 Ek

geradeεk = 2 ε0 und damit∆ε = ε0 ist. Aus den Ergebnissen der FEM-Simulationen


∆E / E0 mit ∆E= Ek-E0

(∆ε/

ε 0)2

in d

B m

it ∆ε

=ε k

-ε0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-24-21-18-15-12-9-6-30

Abb. 4.7: Normierter Dehnungsunterschied(∆ε/ε0)2 in dB in Abhängigkeit von∆E/E0

für harte Einschlüsse

-0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1-30

-24

-18

-12

-6

0

6

1218

(∆ε/

ε 0)2

in d

B m

it ∆ε

=ε k

-ε0

∆E / E0 mit ∆E= Ek-E0

Abb. 4.8: Normierter Dehnungsunterschied(∆ε/ε0)2 in dB in Abhängigkeit von∆E/E0

für weiche Einschlüsse

folgt, dass der normierte Dehnungsunterschied auch bei weichen Einschlüssen zu einer

Verminderung des elastographischen Kontrastes führt und für E0 ≫ Ek den Wert0 dB

erreicht.

Mit der hier vorgestellten Methode wurde ein geschlossenerAusdruck für den normierten

Dehnungsunterschied (NDU) in Gl. (4.6) hergeleitet, der für die hier untersuchte Objekt-

geometrie bei den angenommenen Randbedingungen für einen großen Wertebereich der

Elastizitätsmoduln gültig ist. Die Einschränkung des Wertebereichs der Elastizitätsmo-

duln ist dadurch gerechtfertigt, dass biologisches Weichgewebe modelliert wird. Obwohl

die angenommenen Randbedingungen und die Annahme des ebenenVerzerrungszustan-

des eine Einschränkung der Übertragbarkeit der Ergebnisseauf reale Untersuchungsbe-

dingungen darstellen, kann das hier erarbeitete Konzept zur Quantifizierung des elastogra-

phischen Kontrastes CNRε weiterhin angewendet werden. Eine Anpassung der Parame-

ter der FEM-Simulationen führt zu einem modifizierten mechanischen Konversionsfaktor

cPDE bzw. zu einem anderen Verlauf des normierten Dehnungsunterschiedes in Abb. 4.7

und Abb. 4.8.

4.2 Ultraschall-Simulationen 68

4.2 Ultraschall-Simulationen

Im folgenden wird eine Apertur simuliert, deren Abmessungen so gewählt wurden, dass

sie mit den Spezifikationen des verwendeten Ultraschallwandlers VF 13-5 des Ultra-

schallgerätes Siemens Omnia übereinstimmen. Eine Zusammenfassung der gewählten

Einstellungen ist in Tab. 4.1 zu finden. Die Apertur bestehtaus 64 Elementen, wobei im

Tab. 4.1: Parameter des Ultraschall-Simulators

Elementgröße lateral xelem 0.21 mm

Elementgröße elevationalyelem 2.5 mm

Elementanzahl gesamt nges 227

A-Linien nA 163

Elementanzahl Apertur naktiv 64

Apertur lateral xap 14.08 mm

Apertur elevational yap 2.5 mm

Fokussierung Senden 40 mm

Fokussierung Empfang dynamisch

Sendefall eine Hanning-Apodisierung benutzt wird. Als Sendefokus wurde eine Tiefe

von40 mm gewählt. Die Empfangsfokussierung erfolgt dynamisch, wie es auch in einem

handelsüblichen Ultraschallgerät der Fall ist.

4.2.1 Punktbildfunktion

Die Eigenschaften der Ultraschall-Elastographie werden wesentlich durch Parameter der

Punktbildfunktion bestimmt, die verantwortlich für Korrelationslängen der Ultraschallsi-

gnale in lateraler bzw. elevationaler Richtung sind. Die Punktbildfunktion kann im Fokus

als separierbare Funktion angenommen werden [109], wobei die Parameter der Punkt-

bildfunktion von der verwendeten Apertur und der Schallformung abhängig sind.

Zur Verdeutlichung der tiefenabhängigen Eigenschaften eines Ultraschallabbildungssy-

stems wurde ein Datensatz für eine Anordnung von Punktstreuern berechnet, die in der

Bildmitte im Abstand von1 mm über die Tiefe verteilt sind. Schon anhand des B-Bildes

(Abb. 4.9 links) kann man erkennen, dass die laterale Breite der Punktbildfunktion tie-

fenabhängig ist. Der Verlauf der Punktbildfunktion ist ebenfalls in Abb. 4.9 (rechts) zu

sehen. In dieser Abbildung wurde zusätzlich die laterale PulsbreitePlat eingezeichnet,

für die Plat = 2.3548 · σlat gilt. Typisch ist die tiefenabhängige Zunahme der lateralen

Pulsbreite.

4.2 Simulation des Mediums 69

10

20

30

40

50

60

Laterale Position x in mm

Bild

tiefe

z in

mm

-5 0 5

10

20

30

40

50

60

Bild

tiefe

z in

mm

σlat, σelev, Plat, Pelev [mm] σlat in Vielfachen von xelem

0.5 1 1.5 2 2.5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0.5 1 1.5 2 2.5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0.5 1 1.5 2 2.5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0.5 1 1.5 2 2.5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0.5 1 1.5 2

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0.5 1 1.5 2

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Abb. 4.9: Tiefenabhängige Punktbildfunktion des Ultraschallsystems: B-Bild (links), la-

terale und elevationale PulsbreitePlat, Pelev bzw.σlat, σelev (rechts)

4.2.2 Simulation des Mediums

Die Modellierung des Mediums erfolgt durch eine Ansammlungvon StreuernSi(xi, yi, zi),

die in einem definierten Volumen gleichverteilt werden, dessen Grenzen wie folgt

gewählt sind: in lateraler Richtungxi ∈ [−20 mm, 20 mm], in axialer Richtung

zi ∈ [5 mm, 50 mm] und in elevationaler Richtungyi ∈ [−5 mm, 5 mm]. Die Streuer

wurden in lateraler Richtung über insgesamt40 mm verteilt, damit der zu erwartende

Bildbereich von34.23 mm (bei163 A-Linien) auch im Falle von lateralen Verschiebungen

der Streuer vollständig von Streuern durchsetzt wird. Abb.4.10 zeigt die Positionierung

der Streuer. Die symmetrische Anordnung um den Koordinatenursprung bzgl. derx-

bzw. y-Achse hat numerische Gründe, um die mittlere A-Linie des Ultraschallarrays

eindeutig definieren zu können. Die Amplitude der StreuerSi(xi, yi, zi) entspricht der

Reflektivität und wird als normalverteilt angenommen. Eineortsabhängige Dämpfung

des Mediums wird nicht berücksichtigt.

Wenn sich in dem zu simulierenden B-Bild eine vollständige Speckles-Charakteristik aus-

bilden soll, dann müssen ca.40 Streuer pro Wellenlänge gleichmäßig auf das Gebiet

verteilt werden [109]. Bei einer Schallgeschwindigkeit von1540 m/s und einer Mitten-

frequenz von8.5 MHz resultiert eine Wellenlänge von181.2 µm. Bei einer von Streuern

durchsetzten Bildtiefe von50 mm (entspricht ca.276 Wellenlängen) und163 A-Linien er-

gibt sich eine Anzahl von ca.2 Mio. Streuern. Bedingt durch die hohe Zahl von Streuern

beträgt der Rechenaufwand für eine Simulation auf einem1.8 GHz PC-System mehrere

Tage.

4.2 Medium unter axialer Kompression 70

Bildbreite x [mm]

Bild

tiefe

z [m

m]

10

20

30

40

50

10 20 30Bildbreite x [mm]

10

20

30

40

50

10 20 3010 20 30

1%

Bildbreitexi

yi

zi

0

034mm

40mm

Si(xi , yi , zi)

Abb. 4.10: Objektgeometrie (links) und Simulationsergebnis: B-Bild vor (mitte) und nach

Kompression (rechts)

4.2.3 Medium unter axialer Kompression

Zunächst wurde das aus einer Ansammlung von Streuern bestehende Medium um ein

Prozent in axialer Richtung komprimiert. Die neuen axialen Streuerpositionenzi,1 erge-

ben sich wegen 11−(−0.01)

≈ 0.99 aus den Streuerpositionenzi,0 zu

zi,1 = 0.99 · zi,0 . (4.7)

Abb. 4.10 zeigt das simulierte B-Bild vor (links) und nach Kompression (rechts). Die

axiale Kompression von einem Prozent ist im B-Bild allein nur schwer zu erkennen.

Berechnet man aus den hochfrequenten Echosignalen mit Hilfedes in Kap. 3.2.1 beschrie-

benen rekursiven Algorithmus die Verschiebungsbilder (hier: TC = 40 ∆t, Tτ = 20 ∆t),

so zeigt sich das in Abb. 4.11 links dargestellte Ergebnis. Zusätzlich kann mit Hilfe der

Verschiebungsdaten der Korrelationskoeffizientρ und ein Dehnungsbild (hier: normierte

FilterlängeN = 2.25) berechnet werden. Das Verschiebungsbild zeigt das erwartete Er-

gebnis einer kontinuierlich zunehmenden zeitlichen Verschiebung über der Tiefe bis zu

einem Wert von ca.34 rad, was bei einer Mittenfrequenz vonf0 = 8.5 MHz einer Ver-

schiebung von0.50 mm entspricht. Dieses Ergebnis stimmt mit der vorgegebeneneinpro-

zentigen Kompression eines effektiven Streuerbereiches von 50 mm überein. Die Werte

des Korrelationskoeffizienten liegen nahe1.0. Auch dieses Ergebnis stimmt mit dem zu

erwartenden aus Gl. (3.23) bzw. aus Abb. 3.6 überein. Im Dehnungsbild sieht man die in

Kap. 3.4.6 erläuterte körnige Struktur aufgrund der Varianz der Zeitverschiebungsschät-

zungen und anschließender FIR-Filterung. Der Mittelwert der Dehnung von−1 % stimmt

mit der Vorgabe überein.

4.2 Empirische Varianz 71

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Bild

tiefe

z in

mm

Verschiebung in rad

10 20 30

10

20

30

40

500.98

0.985

0.99

0.995

1

Bildbreite x in mm

Korrelationskoeffizient ρ

10 20 30-1.1

-1.05

-1

-0.95

-0.9Dehnung εzz in %

10 20 30

Abb. 4.11: Axiale Kompression: Verschiebung (links), Korrelationskoef f izient (mitte)

und Dehnung (rechts)

4.2.4 Empirische Varianz der Zeitverschiebungen

Um die Ergebnisse zu quantifizieren und mit den theoretischen Herleitungen zu ver-

gleichen, wurden Bilder der Zeitverschiebung und des Korrelationskoeffizienten für

verschiedene KorrelationsfensterlängenTC berechnet. Anschließend wurde die Varianz

Var

ianz

in ∆

t2


5 20 40 60 80 100 120 1400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

5 20 40 60 80 100 120 1400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012Varianz der Zeitverschiebungsschätzungen

Varianz mit theoretischem ρ

Varianz mit geschätztem ρ

Abb. 4.12: Empirische Varianz der Zeitverschiebungsschätzungen in Abhängigkeit der

FensterlängeTC in Vielfachen∆t

der Zeitverschiebungsschätzungen und der mittlere Wert des geschätzten Korrelations-

koeffizienten in der Fokustiefe (40 mm) bestimmt. Um die Gültigkeit der Gleichungen

(3.23) und (3.21) abzuschätzen, wurde sowohl für den geschätzten Korrelationsko-

effizienten als auch den Korrelationskoeffizienten aus Gl. (3.21) für ε0 = −1 % die

Varianz nach Gl. (3.21) in Abhängigkeit vonTC berechnet (s. Abb. 4.12). Zunächst

muss festgestellt werden, dass die Varianz der Zeitverschiebungsschätzungen erwar-

tungsgemäß mit größer werdender Korrelationsfensterlänge TC zunimmt, weil dadurch

die Annahme einer reinen Zeitverschiebung zwischen den gefensterten Echosignalen

verletzt wird. Anhand von Abb. 4.12 können zwei weitere Aussagen gemacht werden.

Zum einen trifft die Abschätzung für den Korrelationskoeffizienten nach Gl. (3.23) erst

4.2 Empirische Kovarianzfunktion 72

für KorrelationsfensterlängenTC ≥ 40∆t zu. Für kleinere Fensterlängen wird der Wert

des Korrelationskoeffizienten in Gl. (3.23) zu hoch bestimmt, was sich in einer kleineren

Varianz der Zeitverschiebungsschätzungen nach Gl. (3.21)zeigt. Dies lässt sich damit

erklären, dass die KorrelationsfensterlängeTC bei der Berechnung der Korrelationsfunk-

tion nicht beliebig klein gewählt werden kann. Zum anderen lässt sich sagen, dass die

Varianz der Zeitverschiebungsschätzungen die Cramér-Rao Schranke nach Gl. (3.21) nur

unwesentlich übertrifft.

4.2.5 Empirische Kovarianzfunktion der Zeitverschiebungen

Um die Kovarianzfunktioncττ (k) zu schätzen, wurden die Zeitverschiebungsschätzungen

τn zunächst von ihrem bekannten tiefenabhängigen Trendτn befreit, der durch die axiale

Kompression von1 % zu Stande kommt. Anschließend wurde die empirische Kovarianz-

funktion für den Bildbereich35 mm bis45 mm nach

cττ (k) =1

N

N−1−|k|∑

n=0

(τn+|k| − τn+|k|)(τn − τn) (4.8)

für jede A-Linie gebildet und gemittelt. Da zu erwarten ist,dass die Kovarianzfunktion der

Zeitverschiebungsschätzungen abhängig von der KorrelationsfensterlängeTC ist, wurde

diese für verschiedene FensterlängenTC berechnet. In Abb. 4.13 ist das Ergebnis darge-

-130 -100 -70 -40 -10 010 40 70 100 130-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

1

Abtastwerte ∆t

Nor

mie

rte

Kov

aria

nzfu

nktio

n

TC=10, 40, 70, 100, 130 ∆t

Abb. 4.13: Normierte empirische Kovarianzfunktion der Zeitverschiebungsschätzungen

für FensterlängenTC = 10, 40, 70, 100, 130 ∆t

stellt, wobei die Kovarianzfunktionen zur besseren Vergleichbarkeit jeweils bzgl.cττ (0)

(entspricht der Varianz) normiert wurden. Um den Einfluss der Korrelationsfensterlänge

TC auf den Verlauf der normierten Kovarianzfunktioncττ (k) zu berücksichtigen, wur-

den alle Kovarianzfunktionen bzgl. der normierten Zeitachse(Tτ1 −Tτ2)/TC gemittelt. In

Abb. 4.14 ist der Mittelwert (dicke Linie) und± eine Standardabweichung (dünne Lini-

en) eingezeichnet. Die Kovarianzfunktion fällt in einem BereichTτ ≤ TC ab und nimmt

auch negative Werte an. Obwohl sich der Verlauf der Kovarianzfunktion von dem linear

angenommenen aus Gl. (3.29) unterscheidet, wird die Kovarianz fürTτ > TC zu Null.

4.2 Empirische Kovarianzfunktion 73

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.5

0

0.5

1

| Tτ1- Tτ2

| / TC

Nor

mie

rte

Kov

aria

nzfu

nktio

n

Abb. 4.14: Normierte empirische Kovarianzfunktion der Zeitverschiebungsschätzungen

für relative Abstände(Tτ1 − Tτ2)/TC : Mittelwert und± eine Standardabweichung

Es stellt sich die Frage, welche Auswirkungen sich dadurch für die Varianz der Dehnung

bzw. das elastographische SNRε ergeben. In Abb. 4.15 ist der Verlauf der Varianz der Deh-

nungσ2ε für die drei Dehnungsschätzer aus Kap. 3.3.1 dargestellt, wobei die Einträge der



1 2 3 4 5 6 7-24-18-12-606

121824

Fall 2 mit lin. abfall. Kov.

Fall 1 mit lin. abfall. Kov.

Fall 1 mit emp. Kov.

Fall 2 mit emp. Kov.

Fall 3 (unkorrelierte Störung)

(σε)

2/ (στ

/ TC)2

in d

B

Abb. 4.15: Standardabweichung der Dehnung in dB für verschiedene Schätzer nach

Fall 1–3 in Abhängigkeit von der normierten FilterlängeN , die für Tτ = TC ganzzah-

lig ≥ 2 wird

Kovarianzmatrixσ2τ C entsprechend der empirischen Kovarianzfunktion gewählt wurden.

Zur besseren Vergleichbarkeit wurde das Ergebnis bzgl.σ2τ/T

2C normiert und in Abhän-

gigkeit von der normierten FilterlängeN dargestellt. Es zeigt sich, dass die Annahme

einer unkorrelierten Störung (Fall2) nur unwesentlich höhere Varianzen der Dehnung lie-

fert als die Implementierung eines gewichteten KQ-Schätzers (Fall1). Auch die Wahl von

Filterlängen, die einem Vielfachen der KorrelationsfensterlängeTC entsprechen (Fall3),

führt bei größeren Filterlängen nur zu einer Abweichung von6 dB.

4.2 Medium unter axialer und lateraler Kompression 74

4.2.6 Medium unter axialer und lateraler Kompression

Zusätzlich zu einer axialen Kompression wurde nun eine laterale Kompression um ein

Prozent von rechts durchgeführt und das Medium am linken Randfixiert angenommen.

Während die axialen Streuerpositionenzi,1 weiterhin mit denen aus Kap. 4.2.3 überein-

stimmen, ergeben sich die neuen lateralen Streuerpositionen nun zu

xi,1 = 0.99 · xi,0 . (4.9)

Die lateralen Verschiebungen des Mediums nehmen also von links nach rechts kontinu-

ierlich zu.



so zeigt sich das in Abb. 4.16 links dargestellte Ergebnis. Zusätzlich kann aus den Ver-

-30

-20

-10

0

10 20 30

10

20

30

40

50-1.5

-1

-0.5

10 20 30 10 20 300.7

0.8

0.9

1

10 20 30

Bild

tiefe

z in

mm

Bildbreite x in mm

Dehnung εzz in % ρ theoretischρ empirischVerschiebung in rad

Abb. 4.16: Axiale und laterale Kompression (v.l.n.r): Verschiebung, Dehnung, empirisch

ermittelter und theoretisch vorhergesagter Korrelationskoef f izient

schiebungsdaten ein Dehnungsbild (hier: FilterlängeN = 30 · Tτ , N = 4.625) und der

Korrelationskoeffizientρ berechnet werden. Zum Vergleich wurde der theoretisch zu er-

wartende Korrelationskoeffizient mit Hilfe der tiefenabhängigen lateralen Pulsbreite aus

Abb. 4.9 berechnet und ebenfalls in Abb. 4.16 (rechts) dargestellt.

Man sieht im Verschiebungsbild und im Dehnungsbild, dass die lateralen Verschiebun-

gen des Objektes – hervorgerufen durch die zusätzliche laterale Kompression – zu einer

höheren Varianz der Messwerte führen. Die Begründung für diehöhere Varianz ist darin

zu sehen, dass die lateralen Verschiebungen des Objektes zueiner Dekorrelation der Si-

gnale führen. Die empirischen Werte des Korrelationskoeffizienten bestätigen dabei die

theoretisch vorausgesagten Werte.

In Kap. 4.2.9 und Kap. 4.2.10 wird darauf eingegangen, wie dieser Fehler kompensiert

werden kann – zumindest für den Fall von lateralen Verschiebungen.

4.2 Medium unter axialer Kompression und elevationaler Verschiebung 75

4.2.7 Medium unter axialer Kompression mit elevationaler

Verschiebung

Zusätzlich zu einer axialen Kompression erfolgt nun eine elevationale Verschiebung

in y−Richtung. Während die axialen Streuerpositionenzi,1 weiterhin mit denen aus

Kap. 4.2.3 übereinstimmen, werden die elevationalen Streuerpositionen zu

yi,1 = yi,0 + [xi,0 − xi,1] (4.10)

gewählt. Die elevationale Verschiebung entspricht also der von links nach rechts zuneh-

menden lateralen Verschiebung aus Kap. 4.2.6.



so zeigt sich das in Abb. 4.17 links dargestellte Ergebnis. Zusätzlich wurde der Korre-

-30

-20

-10

0

10 20 30

10

20

30

40

50-1.5

-1

-0.5

10 20 30 10 20 300.7

0.8

0.9

1

10 20 30

Bild

tiefe

z in

mm

Bildbreite x in mm


Abb. 4.17: Axiale Kompression und elevationale Verschiebung (v.l.n.r): Verschiebung,

Dehnung, Korrelationskoef f izient empirisch und theoretisch

lationskoeffizientρ und aus den Verschiebungsdaten ein Dehnungsbild (hier: Filterlänge

N = 30 · Tτ , N = 4.625) berechnet. Zum Vergleich wurde der theoretisch zu erwar-

tende Korrelationskoeffizient mit Hilfe der tiefenabhängigen elevationalen Pulsbreite aus

Abb. 4.9 berechnet und ebenfalls in Abb. 4.16 (rechts) dargestellt.

Man sieht im Verschiebungsbild und im Dehnungsbild, dass die von links nach rechts

zunehmenden elevationalen Verschiebungen des Objektes zueiner tiefenabhängig zuneh-

menden Varianz der Messwerte führen. Die Begründung für die Zunahme der Varianz

ist darin zu sehen, dass die elevationalen Verschiebungen des Objektes zu einer Dekor-

relation der Signale führen. Die empirischen Werte des Korrelationskoeffizienten bestä-

tigen dabei die theoretisch vorausgesagten Werte. Bei einemVergleich von Abb. 4.17

und Abb. 4.16 zeigt sich weiterhin, dass sich die Abbildungsqualität der Ultraschall-

Elastographie bei elevationalen Verschiebungen weniger verschlechtert als bei lateralen

4.2 Elastographische Unschärfe, Modell für Verschiebungen 76

Verschiebungen. Der Grund ist darin zu sehen, dass die elevationale Pulsbreite der Punkt-

bildfunktion bei gleicher Bildtiefe größer als die lateralePulsbreite ist, wie in Abb. 4.9

zu sehen. Im Gegensatz zu lateralen Verschiebungen können Verschiebungen in elevatio-

naler Richtung bei einem Ultraschallgerät mit linearem Array nicht kompensiert werden.

Im folgenden wird darauf eingegangen, welchen Einfluss solche Verschiebungen auf das

elastographische SNRε haben.

4.2.8 Elastographische Unschärfe, Modell für Verschiebungen

In experimentellen und klinischen Arbeiten hat sich gezeigt, dass es zu einer Dekorrela-

tion von hochfrequenten Echosignalen kommt, die durch die Kompression des Gewebes

allein bzw. die resultierende Stauchung der Echosignale nicht erklärt werden kann. In [67]

führt Meunier die Dekorrelation auf Verschiebungen zurück, die senkrecht zur Kompres-

sionsrichtung aufgrund der Inkompressibilität des Mediums entstehen. In Experimenten

zeigte sich jedoch, dass die durch unabsichtliche Bewegungen des Ultraschallwandlers

hervorgerufenen Verschiebungen weitaus größer sein können und als Hauptursache für

eine Dekorrelation der Signale bzw. eine Erhöhung der Varianz der Zeitverschiebungs-

schätzungen unter realen Untersuchungsbedingungen anzusehen sind [40]. In der folgen-

den Herleitung wird untersucht, welchen quantitativen Einfluss laterale Verschiebungen

auf das elastographische SNRε haben. Dazu ist es notwendig, den lateralen Korrelations-

koeffizientenρlat in Abhängigkeit von lateralen Verschiebungen∆x und dem Parameter

σlat der Punktbildfunktion auszudrücken. Die Herleitung ist für elevationale Verschiebun-

gen identisch, wennρlat durchρelev, ∆x durch∆y undσlat durchσelev ersetzt wird.

Mit Hilfe von Gl. (3.27) als Ausdruck für den lateralen Korrelationskoeffizienten gilt

1

ρlat(∆x)2=

1

exp(− ∆x2

4σ2

lat

)2 = exp

(∆x2

2 σ2lat

). (4.11)

Diese Funktion ist stetig differenzierbar und kann mit Hilfe einer Taylor-Reihe um∆x=0

angenähert werden [15],

1

ρlat(∆x)2= 1 + 1/2

∆x2

σ2lat

+ 1/8∆x4

σ4lat

+ 1/48∆x6

σ6lat

+ . . . . (4.12)

Im Hinblick auf das elastographische SNRε geht die Varianz der Zeitverschiebungs-

schätzung nach Gl. (3.60) mit1/σ2τ in das elastographische Ausgangs-SNRε0

ein. Nach

Gl. (3.21) gilt zudem die Proportionalitätsbeziehung

σ2τ ∼

[1

ρ2ax

1

ρ2lat

(1 +

1

SNRel

)2

− 1

]. (4.13)

Berücksichtigt man die Glieder der Taylor-Reihe aus Gl. (4.12) bis zur zweiten Ordnung

4.2 Elastographische Unschärfe, Modell für Verschiebungen 77

und nimmt weiter an, dass1/SNRel ≪ 1 undρax ≈ 1.0 sind, so ergibt sich

σ2τ ∼

[2 (1 − ρax) +

2

SNRel

+ 1/2∆x2

σ2lat

+ 1/8∆x4

σ4lat

]. (4.14)

Von Interesse ist nun, wie gross der Einfluss von lateralen Verschiebungen auf das ela-

stographische SNRε ist. Es bietet sich an, die Änderung der Varianz nach Gl. (4.14) für

Verschiebungen∆x > 0 zu betrachten und die Größe

SNRεV=

2 (1 − ρax) + 2/SNRel

2 (1 − ρax) + 2/SNRel + 1/2 ∆x2

σ2

lat

+ 1/8 ∆x4

σ4

lat

(4.15)

als SNRε-Verlust der Dehnung(SNRεV) einzuführen. In Abb. 4.18 ist der SNRε-Verlust

(SNRεV) in Abhängigkeit von lateralen Verschiebungen zu sehen. DieVerschiebungen

0.840.860.880.90.920.940.960.98

-12

-9

-6

-3

0

Korrelationskoeffizient ρ=ρax·ρlat

0.9720.959

0.9420.921

0.8950.866

0.834

0.980

SN

Rε-

Ver

lust

in d

B

∆x in Vielfachen von σlat

0.1 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.1 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Abb. 4.18: Mechanische Unschärfe: SNRε-Verlust in dB durch laterale bzw. elevationale

Verschiebungen fürρax = 0.9826 bei ε0 = 1 %

sind in Vielfachen vonσlat gewählt, damit das Ergebnis auf elevationale Verschiebungen

übertragbar ist. Aus Abb. 4.18 geht hervor, dass Verschiebungen zu einer Erniedrigung des

elastographischen SNRε und damit auch des elastographischen Kontrastes CNRε führen.

Es handelt sich in gewisser Weise um eine „mechanische Unschärfe“, weil eine mecha-

nische Verschiebung in lateraler oder elevationaler Richtung zu einem Verlust der elasto-

graphischen Abbildungsqualität führt. Wenn der elastographische Verlust eine bestimmte

Schranke Sε nicht unterschreiten soll, d.h. SNRεV≥ Sε mit Sε ≤ 1, dann darf das Quadrat

der Verschiebung einen bestimmten Wert nicht überschreiten,

∆x2 ≤ −2 σ2lat + 2 σ2

lat

√1 − 4

(1 − ρax +

1

SNRel

)(1 − 1

Sε

).

Wie zu erwarten, dürfen für Sε = 1 keine Verschiebungen in lateraler Richtung auftreten,

d.h.∆x = 0.

Mit Hilfe dieser Überlegungen ist es möglich zu erklären, warum Dehnungsbilder in rea-

len Untersuchungen auch bei der Anwendung von geringen Kompressionen häufig ei-

ne schlechte Abbildungsqualität aufweisen. Die mechanische Fehlerquelle einer lateralen

4.2 Kompensation von lateralen Verschiebungen 78

oder elevationalen Verschiebung wird in einem Modell, das von rein axialen Verschie-

bungen ausgeht, nicht berücksichtigt. Der Abfall des Korrelationskoeffizienten auf Werte

ρ < 0.95 kann durch Verschiebungen im Submillimeterbereich senkrecht zur axialen

Richtung erklärt werden. Der Einfluss solcher Verschiebungen auf das elastographische

SNRε wurde in Abb. 4.18 demonstriert. Dabei ist zu beachten, dasslaterale Verschiebun-

gen – absolut gesehen – das elastographische SNRε mehr beeinflussen als elevationale

Verschiebungen, weil die laterale Pulsbreite nach Abb. 4.9(rechts) in der Regel kleiner

als die elevationale Pulsbreite ist. Aus Abb. 4.9 (rechts) ist ebenfalls ersichtlich, dass die

Pulsbreiten tiefenabhängig zunehmen und damit der Einfluss von Verschiebungen auf das

elastographische SNRε mit zunehmender Bildtiefe abnimmt.

Im folgenden wird darauf eingegangen, wie der Einfluss lateraler Verschiebungen auf das

elastographische SNRε teilweise kompensiert werden kann.

4.2.9 Kompensation von lateralen Verschiebungen

Wie in Kap. 4.2.8 erläutert, ist der Einfluss von lateralen Verschiebungen auf das elasto-

graphische SNRε größer als der von elevationalen Verschiebungen. Im folgenden wird

darauf eingegangen, wie Verschiebungen in lateraler Richtung kompensiert werden kön-

nen. Dabei steht eine Erhöhung des elastographischen Kontrastes im Vordergrund und

nicht eine rechenintensive Berechnung der lateralen Verschiebung, wie z.B. aus [64] be-

kannt.

Seie1,i(t) das Empfangssignal mit überlagerter Störung deri-ten A-Linie vor Kompres-

sion unde2,i(t) das Empfangssignal mit überlagerter Störung deri-ten A-Linie nach Kom-

pression,

e1,i(t) = s1,i(t) + n1,i(t) (4.16)

e2,i(t) = s2,i(t) + n2,i(t) . (4.17)

Die für den Empfang der Signale verantwortliche Apertur besteht aus vielen Einzelele-

menten und „wandert“ zur Bilderzeugung elementweise in lateraler Richtung. Dadurch

korrespondieren die Empfangssignalee1,i(t) unde1,i+1(t) benachbarter A-Linien zu Ge-

webebereichen, die umxelem in lateraler Richtung verschoben sind – schematisch dar-

gestellt in Abb. 4.19. Zusätzlich ist eine durch die Kompression hervorgerufene laterale

Verschiebung∆x des Mediums angedeutet. Liegt diese in einem Bereich von0.5·xelem <

|∆x| < xelem , dann wird die Korrelation zwischen den Signalene1,i(t) unde2,i+1(t) höher

sein als zwischen den Signalene1,i(t) unde2,i(t), weil die laterale Verschiebung bzgl. der

benachbarten A-Linie geringer ist.

Eine Verbesserung der Zeitverschiebungsschätzung wird also dadurch erreicht, dass die

Korrelation der Empfangssignale vor und nach Kompression nicht nur zwischen Signalen

gleicher A-Linien, sondern auch zwischen Signalen benachbarter A-Linien durchgeführt


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Plat

e2,i+1e1,i+1 e1,N e2,Ne2,ie1,i

∆xxelem

Nor

mie

rte

PB

F in

la

tera

ler

Ric

htun

g

σlat

...

(N-i-1)·xelem

Abb. 4.19: Schematische Darstellung der Lagebeziehung benachbarter A-Linien und der

lateralen PulsbreitePlat der Punktbildfunktion

wird. Von den geschätzten Zeitverschiebungen wird diejenige gewählt, bei deren Berech-

nung der Korrelationskoeffizient aus Gl. (3.9) den höchsten Wert annimmt1. Der Einfluss

einer solchen Methodik auf das elastographische SNRε wird anhand von Abb. 4.18 deut-

lich, wenn man den Parameterσlat der gaußförmigen Punktbildfunktion in Vielfachen

der Elementbreitexelem ausdrückt. Beispielsweise gilt im Fokus bei einer Bildtiefe von

z = 40 mm nach Abb. 4.9 (rechts) die Näherungσlat ≈ xelem . Wird die Korrelation auch

für benachbarte A-Linien gebildet, dann ist für eine der beiden A-Linien∆x ≤ 0.5 ·xelem

bzw.∆x ≤ 0.5 · σlat. Es würde daher ausreichen, den elastographischen SNRε-Verlust in

Abb. 4.18 für Werte∆ x ≤ 0.5 · σlat zu betrachten, so dass der maximale SNRε-Verlust

ca.−6 dB beträgt.

Eine weitere Verbesserung der Kompensation von lateralen Verschiebungen kann erreicht

werden, indem die Empfangssignale benachbarter A-Linien vor der Schätzung von Zeit-

verschiebungen aufsummiert werden. Es wird nun ein geschlossener Ausdruck für den

Wert eines sich ergebenden mittleren lateralen Korrelationskoeffizientenρlat entwickelt,

mit dessen Hilfe der Effekt auf das elastographische SNRε erklärt werden kann .

Für die Leistungsspektren bzw. Kreuzleistungsspektren der Signale wird

Rs1,is1,j= ρax · ρlat((i−j)xelem) · Rss (4.18)

Rs2,is2,j= ρax · ρlat((i−j)xelem) · Rss (4.19)

Rs1,is2,j=

{ρax · ρlat((j−i)xelem+∆x) · Rss für j ≥ i

ρax · ρlat((j−i)xelem−∆x) · Rss für i ≥ j(4.20)

angenommen, wobei der Korrelationskoeffizientρlat nach Gl. (3.27) abhängig von der

lateralen Verschiebung ist,

ρlat(∆x) = exp

(−∆x2

4σ2lat

). (4.21)

Die Leistungsspektren bzw. Kreuzleistungsspektren der Störungen seien untereinander

1Typischerweise reicht es aus, die Berechnung für je zwei lateral benachbarte A-Linien durchzuführen.


unkorreliert, d.h.

Rn1,in1,j= δij · Rnn (4.22)

Rn2,in2,j= δij · Rnn (4.23)

Rn1,in2,j= 0 . (4.24)

Betrachtet man die Summe der Empfangssignale benachbarter A-Linien, d.h.,

e1(t) =

NA∑

i=1

e1,i(t) bzw. e2(t) =

NA∑

i=1

e2,i(t) , (4.25)

dann folgt für die Kreuzleistungsspektren vone1(t) unde2(t)

Re1e2=

∑

i

∑

j

Rs1,is2,j+

∑

i

∑

j

Rn1,in2,j(4.26)

= ρax ·(NA ρlat(∆x) +

NA−1∑

i=1

(NA − i) · [ρlat(∆x + i xelem) + ρlat(∆x − i xelem)])· Rss + 0

und für die Autospektren vone1(t) bzw.e2(t)

Re1e1=

∑

i

∑

j

Rs1,is1,j+

∑

i

Rn1,in1,j(4.27)

=(NA +

NA−1∑

i=1

2 (NA − i) ρlat(i xelem))· Rss + NA · Rnn bzw.

Re2e2=

∑

i

∑

j

Rs2,is2,j+

∑

i

Rn2,in2,j(4.28)

=(NA +

NA−1∑

i=1

2 (NA − i) ρlat(i xelem))· Rss + NA · Rnn .

Anstelle der Kohärenz aus Gl. (3.19) soll hier unter Berücksichtigung vonRe1e1= Re2e2

der Ausdruck1/|γ12| ausgewertet werden, der unter Annahme flacher, bandpaßbegrenzter

SpektrenRss bzw.Rnn wie folgt in die Cramér-Rao Schranke eingeht,

Re2e2

Re1e2

=(NA+

NA−1∑i=1

2(NA−i) ρlat(i xelem) )·Rss+NA·Rnn

ρax·(NAρlat(∆x)+NA−1∑

i=1

(NA−i)[ρlat(∆x+i xelem)+ρlat(∆x−i xelem)])·Rss

=1

ρax

·1 +

NA−1∑i=1

2NA−iNA

ρlat(i xelem) + Rnn

Rss

ρlat(∆x) +NA−1∑i=1

NA−iNA

[ρlat(∆x + i xelem) + ρlat(∆x − i xelem)]

=1

ρax

·1 +

NA−1∑i=1

2NA−iNA

ρlat(i xelem) + 1SNRel


NA−iNA


. (4.29)


Für den Fall∆x = 0 undNA = 1 geht Gl. (4.29) in 1ρax

(1 + 1

SNRel

)über. Dieses Ergebnis

ist bereits aus Gl. (3.21) in Kap. 3.2.2 bekannt. Der zweite Term in Gl. (4.29) kann – bis

auf die Störung durch elektronisches Rauschen – als Kehrwerteines mittleren lateralen

Korrelationskoeffizientenρlat interpretiert werden, d.h.,

ρlat =


NA−iNA


1 +NA−1∑i=1

2NA−iNA

ρlat(i xelem) + 1SNRel

(1 +

1

SNRel

).

Für den Fallxelem ≫ σlat werden die Summen zu Null undρlat = ρlat(∆x). Eine Sum-

mation über mehrere A-Linien führt also nur dann zu einer Verbesserung der Korrelation,

wenn die Elementbreite in der Größenordnung des Parametersσlat der lateralen Punkt-

bildfunktion liegt.

Eine numerische Auswertung des mittleren lateralen Korrelationskoeffizientenρlat für

σlat = xelem führt auf Abb. 4.20. Es ist deutlich zu sehen, dass der Wert des mittleren

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.94

0.96

0.98

1

NA=1NA=2

NA=7NA=4

∆x in Vielfachen von σlat für σlat=xelem

Kor

rela

tions

koef

fizie

nt ρ

lat

_K

orre

latio

nsko

effiz

ient

ρla

t

_

Abb. 4.20: Verlauf des mittleren lateralen Korrelationskoef f izientenρlat in Abhängigkeit

von lateralen Verschiebungen∆x und AnzahlNA der summierten A-Linien fürρax =

0.9826 beiε0 = 1 %

lateralen Korrelationskoeffizienten bei lateralen Verschiebungen weniger absinkt, wenn

über mehrere A-Linien summiert wird. Der Einfluss einer solchen Summation auf das

elastographische SNRε bzw. den elastographischen Kontrast CNRε ist in der nächsten

Abb. 4.21 zu finden. Dabei wurde von einer mittleren Dehnungvon ε0 = −1 % ausge-

gangen, was auf einen axialen Korrelationskoeffizienten von ρax = 0.9826 führt. Man

erkennt auch hier, dass eine Summation in lateraler Richtungzu einer Verbesserung der

elastographischen Abbildungsqualität führt. Zudem ist anzumerken, dass eine Verbesse-

rung der Korrelation dazu führt, dass Zeitverschiebungen auch bei kleinen Korrelations-

fensterlängenTC erwartungstreu geschätzt werden können.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

-6

-3

0

NA=1

NA=3NA=5

SN

Rε-

Ver

lust

in d

B

∆x in Vielfachen von σlat für σlat=xelem

NA=7

Abb. 4.21: SNRε-Verlust bei zusätzlicher Summation überNA A-Linien für ρax = 0.9826

beiε0 = −1 %

4.2.10 Medium unter axialer und lateraler Kompression mit

Kompensation

In den nun folgenden Beispielen wurden die Zeitverschiebungen mit Hilfe der in

Kap. 4.2.9 vorgestellten lateralen Kompensation geschätzt. Die weiteren Parameter wur-

den zuTC = 60 ∆t, Tτ = 25 ∆t und N = 11 gewählt. In Abb. 4.22 ist das Ergebnis

ohne Summation über mehrere A-Linien dargestellt, d.h.NA = 1. Im Dehnungsbild

-30

-20

-10

0

10 20 30

10

20

30

40

50

-1.1

-1

-0.9

-0.8

10 20 30 10 20 300.92

0.94

0.96

0.98

1

10 20 30Bildbreite x in mm

ρ theoretischρ empirischVerschiebung in rad

Bild

tiefe

z in

mm

Dehnung εzz in %

Abb. 4.22: Axiale und laterale Kompression mit Kompensation undNA = 1 (v.l.n.r):

Verschiebung, Dehnung, empirisch ermittelter und theoretisch vorhergesagter Korrelati-

onskoef f izient

fällt auf, dass die Varianz an den Bildrändern größer als in der Bildmitte ist. Die Ursache

liegt darin, dass dort Verschiebungen in der Größenordnungeiner halben Elementbreite

auftreten, während in der Bildmitte – relativ zu einer benachbarten A-Linie – die la-

terale Verschiebung zu Null wird. Es ist aber bereits eine deutliche Verbesserung des

Dehnungsbildes im Vergleich zu Abb. 4.16 zu sehen.

In Abb. 4.23 wurde die laterale Kompensation für eine Summation über drei A-Linien


durchgeführt, d.h.NA = 3. Man sieht, dass sich die Qualität des Elastogramms weiter

-30

-20

-10

0

10 20 30

10

20

30

40

50

-1.1

-1

-0.9

-0.8

10 20 30 10 20 300.92

0.94

0.96

0.98

1

10 20 30

Bild

tiefe

z in

mm

Bildbreite x in mm


z1

z2

z3

Abb. 4.23: Axiale und laterale Kompression mit Kompensation undNA = 3 (v.l.n.r):

Verschiebung, Dehnung, empirisch ermittelter und theoretisch vorhergesagter Korrelati-

onskoef f izient

verbessert und der Wert des Korrelationskoeffizienten zunimmt. Um den Einfluss der late-

ralen Verschiebungen auf den Wert des Korrelationskoeffizienten zu verdeutlichen, ist er

für bestimmte Bildtiefenz nochmals in Abb. 4.24 dargestellt. Dazu wurde der Korrelati-

5 10 15 20 25 30

0.94

0.96

0.98

5 10 15 20 25 30

0.960.970.98

Kor

rela

tions

koef

fizie

nt ρ

5 10 15 20 25 30

0.960.970.98

Bildbreite x in mm

z1=10 mm

z2=25 mm

z3=40 mm

Abb. 4.24: Tiefenabhängiger Verlauf vonρ für NA = 3 beiz1 = 10 mm,z2 = 25 mm und

z3 = 40 mm: Empirischer Wert (—) und theoretischer Verlauf (· · ·)

onskoeffizient an den drei in Abb. 4.23 (rechts) eingezeichneten Bildtiefenz1 = 10.0 mm,

z2 = 25.0 mm undz3 = 40.0 mm jeweils über eine Bildtiefe von∆z = 1.0 mm gemittelt.

Bei der Berechnung des theoretischen Wertes für den Korrelationskoeffizienten wurde

berücksichtigt, dassρax = 0.9826 für Tτ = 60 ∆t ist, wobeif0 = 8.5 MHz undB wie in

vorherigen Kapiteln gewählt wurden. Die Verbesserung der Korrelation ist insbesondere

4.2 Medium mit Einschluss 84

in den Bildbereichen zu sehen, in denen eine schmale lateralePunktbildfunktion vorliegt,

d.h. im oberen Bildbereich.

4.2.11 Medium mit Einschluss

Um die Ergebnisse aus Kap. 3.4.5 zu verifizieren, müssen zunächst die axialen und

lateralen Verschiebungen des Mediums aufgrund einer äußeren Kompression mit Hilfe

der FEM (ebener Verzerrungszustand) berechnet werden. Fürdie Durchführung der

Ultraschall-Simulationen ist es anschließend notwendig,die Positionen der Streuer ent-

sprechend der lokal auftretenden axialen und lateralen Verschiebungen zu verändern.

Dadurch erhält man einen Ultraschalldatensatz vor Kompression und einen Ultraschall-

datensatz nach Kompression.

Als Medium wurde ein quaderförmiges Objekt mit einem hartenzylinderförmigen Ein-

schluss gewählt, dessen Querschnitt in Abb. 4.25 (links) dargestellt ist. Der Einschluss

-0.1

0

0.1

Objektbreite x in mm0 20 40

-1.2

-1

-0.8

-0.6

0 20 40-0.6

-0.4

-0.2

0

0 20 40

Obj

ektti

efe

z in

mm

0 20 40

0

20

40

60

Abb. 4.25: E-Modul Verteilung (links) mitE0 = 20 kPa undEk = 50 kPa, axiale und

laterale Verschiebungen in mm (mitte) und axiale Dehnung inProzent (rechts)

mit einem Durchmesser von5 mm wurde an der lateralen Positionx = 20 mm bzw. axia-

len Positionz = 30 mm platziert. Der Elastizitätsmodul des Einschlusses wurde zuEk =

50 kPa gewählt, der Elastizitätsmodul des homogenen Hintergrundes zuE0 = 20 kPa. Die

axiale Kompression betrug1 %, und die seitlichen Ränder wurden frei gelassen. Die re-

sultierenden axialen und lateralen Verschiebungen sind inAbb. 4.25 (mitte) gezeigt, das

Bild der axialen Dehnung findet sich in Abb. 4.25 (rechts).

Elastographischer Kontrast CNRε

Der elastographische Kontrast CNRε besteht nach Gl. (3.86) aus drei Komponenten:

dem normierten Dehnungsunterschied (NDU), dem elastographischen Ausgangs-SNRε(SNRε0

) und dem elastographischen SNRε-Gewinn(SNRεG). Der normierte Dehnungs-

unterschied kann graphisch aus Abb. 4.7 ermittelt werden. Für ∆E/E0 = 1.5 findet sich


ein Wert von ca.−8 dB. Unter Verwendung des mechanischen KonversionsfaktorscPDE ,

der für die genannte Konstellation in Kap. 4.1.2 zucPDE = 0.479 berechnet wurde, er-

gibt sich nach Einsetzen in Gl. (4.6) ein normierter Dehnungsunterschied von∆ε2/ε20

von −7.6 dB. Das elastographische Ausgangs-SNRε0(vgl. dazu Abb. 3.8) liegt für eine

Dehnung vonε = 1 % bei einem Wert von18 dB. Der SNRεG-Gewinn kann mit Hilfe

von Gl. (3.74) berechnet werden oder aus Abb. 3.10 abgelesenwerden. FürN = 3 ist

SNRεG= 3 dB, für N = 5 ist SNRεG

= 10 dB und fürN = 7 ist SNRεG= 14.5 dB.

Werden diese Werte entsprechend Gl. (3.86) zusammengefasst, dann ergibt sich das Ver-

hältnis∆ε2/σ2ε0

. Eine Zusammenfassung der genannten Parameter findet sichin Tab. 4.2.

Tab. 4.2: Kontrast der Dehnung CNRε: Theoretische Werte

N = 3 N = 5 N = 7

∆ε2/ε20 −7.6 dB −7.6 dB −7.6 dB

SNRε018 dB 18 dB 18 dB

SNRεG3 dB 10 dB 14.5 dB

∆ε2/σ2ε0

13 dB 20 dB 24.9 dB

Berücksichtigung von axialen Verschiebungen

Es wurden Ultraschall-Simulationen für die Streuerverteilung vor bzw. nach Kom-

pression durchgeführt, wobei zunächst nur die axialen Verschiebungen aus den FEM-

Berechnungen berücksichtigt wurden. Dadurch wird erreicht, dass keine Artefakte durch

laterale Verschiebungen entstehen können. Die Berechnung der Dehnungsbilder erfolgte

mit dem in Kap. 3.2.1 beschriebenen rekursiven Algorithmusmit TC = 40 ∆t und

Tτ = 20 ∆t. Die Dehnungsbilder sind in Abb. 4.26 für verschiedene FilterlängenN

Bild

tiefe

z in

mm

10 20 30

10

20

30

40

50

Bildbreite x in mm10 20 30

-1.2

-1

-0.8

-0.6

10 20 30

3~

5 == NN 5~

9 == NN 7~

13 == NN

Abb. 4.26: Medium mit Einschluss: Axiale Dehnung für verschiedene FilterlängenN


zu sehen. Offensichtlich erhöht sich bei einer Zunahme der Filterlänge auch der ela-

stographische Kontrast CNRε. Zur Abschätzung des Kontrastes wurden nun Regionen

innerhalb und außerhalb des Einschlusses ausgewählt (ROI), wie in Abb. 4.26 (rechts)

angedeutet. Für diese Regionen wurden die in Tab. 4.3 aufgelisteten Parameter berechnet.

Dabei bezieht sichεk bzw. σ2εk

auf die mittlere Dehnung bzw. Varianz der Dehnung

Tab. 4.3: Kontrast der Dehnung CNRε: Gemessene Werte zu Abb. 4.26

N = 3 N = 5 N = 7

εk in % −0.553 −0.559 −0.568

σ2εk

2.279 · 10−7 3.635 · 10−8 2.601 · 10−8

ε0 in % −1.033 −1.030 −1.027

σ2ε0

9.489 · 10−7 1.008 · 10−7 4.563 · 10−8

2 ∆ε2/(σ2ε0

+ σ2εk

) 15.92 dB 25.09 dB 27.71 dB

∆ε2/σ2ε0

13.85 dB 23.42 dB 26.66 dB

innerhalb des Einschlusses undε0 bzw. σ2ε0

auf die mittlere Dehnung bzw. Varianz der

Dehnung des Hintergrundes. Vergleicht man die Werte der Simulationen (Tab. 4.3) mit

denen der theoretischen Abschätzung (Tab. 4.2), so stellt man eine gute Übereinstim-

mung fest. Außerdem zeigt sich, dass der elastographische Kontrast nach Gl. (3.84), d.h.

CNRε = 2 ∆ε2/(σ2ε0

+ σ2εk

), geringfügig größer als das Verhältnis∆ε2/σ2ε0

aus Gl. (3.86)

für den Fall eines harten Einschlusses ist. Dies bestätigt das Ergebnis aus Gl. (3.85), d.h.

CNRε ≥ ∆ε2/σ2ε0

.

Berücksichtigung von axialen und lateralen Verschiebungen

Die Ultraschall-Simulationen für die Streuerverteilung vor bzw. nach Kompression wur-

den auch für den Fall durchgeführt, dass axiale und lateraleVerschiebungen aus den FEM-

Berechnungen berücksichtigt werden. Zusätzlich zu den lateralen Verschiebungen aus den

FEM-Berechnungen wurde das Medium um50 µm in lateraler Richtung nach rechts ver-

schoben, um eine Asymmetrie der lateralen Verschiebungen zu erreichen. Die laterale

Verschiebung des Mediums fällt dadurch im rechten Bildbereich stärker aus als im linken

Bildbereich.

Das Ergebnis der Dehnungsberechnung mit Hilfe des rekursiven Algorithmus ist fürTC =

40 ∆t undTτ = 20 ∆t in Abb. 4.27 zu sehen, wobei verschiedene Filterlängen gewählt

wurden. Zusätzlich ist im unteren Bereich von Abb. 4.27 die mittlere laterale Verschie-

bung∆x in Vielfachen vonxelem aufgetragen, die im rechten Bildbereich größer als im

linken ist. In den Dehnungsbildern zeigt sich insbesonderein der rechten Bildhälfte ein

deutlicher Abfall der Bildqualität. Diese kann auch durch die Wahl einer größeren Filter-

längeN nicht verbessert werden. Die Dekorrelation aufgrund der lateralen Verschiebun-

gen ist an manchen Stellen so groß, dass die Zeitverschiebungen bzw. Dehnungen nicht


10

20

30

40

50

10 20 30

-1.2

-1

-0.8

-0.6

Bild

tiefe

z in

mm

Bildbreite x in mm

3~

5 == NN 5~

9 == NN 7~

13 == NN

10 20 30-0.5

00.5

1

10 20 30-0.5

00.5

1

∆x/x

elem

10 20 30-0.5

00.5

1

10 20 30-0.5

00.5

10

Abb. 4.27: Medium mit Einschluss: Axiale Dehnung für verschiedene FilterlängenohneKompensation der lateralen Verschiebungen

mehr erwartungstreu geschätzt werden.

Die Methode der lateralen Kompensation, bei der auch benachbarte A-Linien miteinan-

der korreliert werden, wurde mit einer Summation überNA = 3 A-Linien durchgeführt.

Das Ergebnis ist in Abb. 4.28 dargestellt. Vergleicht man Abb. 4.27 mit Abb. 4.28, so

10

20

30

40

50

10 20 30

-1.2

-1

-0.8

-0.6

Bild

tiefe

z in

mm

Bildbreite x in mm

3~

5 == NN 5~

9 == NN 7~

13 == NN

0 10 20 30-0.5

00.5

1

∆x/x

elem

0 10 20 30-0.5

00.5

1

∆x/x

elem

0 10 20 30-0.5

00.5

1

0 10 20 30-0.5

00.5

10

Abb. 4.28: Medium mit Einschluss: Axiale Dehnung für verschiedene FilterlängenmitKompensation der lateralen Verschiebungen und Summation überNA = 3 A-Linien

führt die Kompensation der lateralen Verschiebungen zu einer deutlichen Verbesserung

der Abbildungsqualität. Die Artefakte in der rechten Bildhälfte werden kompensiert, weil

die lateralen Verschiebungen nun in einem Bereich von−0.5 xelem ≤ ∆x ≤ 0.5 xelem

liegen. Zur Verdeutlichung dieser Verbesserung ist die mittlere laterale Verschiebung in

Vielfachen vonxelem im unteren Bereich von Abb. 4.28 dargestellt. Zu beachten bleibt,


dass laterale Verschiebungen nahe an der Schallwandleroberfläche größeren Einfluss auf

die Varianz der Dehnung haben als weiter entfernt von der Schallwandleroberfläche. Dies

kann durch den Verlauf der Pulsbreiten der Punktbildfunktion aus Abb. 4.9 erklärt wer-

den, weil der Parameterσlat tiefenabhängig zunimmt.

Wählt man Regionen innerhalb und außerhalb des Einschlusses entsprechend Abb. 4.28

(rechts) aus und bestimmt erneut die aus Tab. 4.3 bekannten Parameter, dann ergeben sich

die in Tab. 4.4 aufgelisteten Werte. Vergleicht man die Ergebnisse aus Tab. 4.4 mit de-


N = 3 N = 5 N = 7

εk in % −0.568 −0.575 −0.579

σ2εk

5.249 · 10−7 9.338 · 10−8 1.924 · 10−8

ε0 in % −1.031 −1.027 −1.024

σ2ε0

1.454 · 10−6 2.666 · 10−7 1.018 · 10−8

2 ∆ε2/(σ2ε0

+ σ2εk

) 13.37 dB 20.56 dB 25.15 dB

∆ε2/σ2ε0

11.69 dB 18.85 dB 22.89 dB

nen aus Tab. 4.3, so zeigen sich geringfügig niedrigere Werte für den elastographischen

Kontrast bzw. das Verhältnis∆ε2/σ2ε0

. Dieses Ergebnis kann durch den SNRε-Verlust

(SNRεV) erklärt werden, der durch die lateralen Verschiebungen zu Stande kommt. Im

Gegensatz zu den Dehnungsbildern, die ohne Kompensation von lateralen Verschiebun-

gen berechnet wurden, fällt der SNRε-Verlust aber deutlich geringer aus. Dieses Ergebnis

ist in Übereinstimmung mit der theoretischen Abschätzung aus Gl. (4.15) bzw. Abb. 4.18

für den Fall ohne Kompensation von lateralen Verschiebungen und aus Abb. 4.21 für den

Fall mit Kompensation von lateralen Verschiebungen.

Insgesamt kann man zusammenfassen, dass sich die Ergebnisse der Simulationen mit den

theoretisch vorhergesagten Werten in Einklang befinden. Dies gilt insbesondere für die

Abschätzung des elastographischen Kontrastes (CNRε), der maßgeblich zur Abbildungs-

qualität von Elastogrammen beiträgt. Es konnte ebenfalls gezeigt werden, dass durch die

Kompensation von lateralen Verschiebungen bei der Verschiebungsschätzung eine rele-

vante Fehlerquelle reduziert werden kann.

Ortsfrequenzbereich

Wenn man die Dehnungsbilder aus den Abb. 4.26 und Abb. 4.28 für kleine FilterlängenN

betrachtet, dann fällt eine körnige Struktur auf, wie sie bereits in Kap. 3.4.6 beschrieben

wurde. Zur weiteren Betrachtung dieses Phänomens ist der Verlauf der axialen Dehnung

in der Bildmitte(x = 17 mm) in Abb. 4.29 für verschiedene Filterlängen dargestellt. Die

aus den Simulationen resultierenden Dehnungsverläufe (—)wurden dabei zusätzlich um


10 20 30 40 50

-1

-0.5

0

Bildtiefe z in mm

Deh

nung

εzz

in %

N=5 Tτ

N=13 Tτ

N=9 Tτ

Abb. 4.29: Axiale Dehnung an der Stellex = 17 mm für verschiedene FilterlängenN

jeweils0.25 % verschoben, um eine bessere Übersichtlichkeit zu erreichen. Die aus den

FEM-Berechnungen zu erwartenden Dehnungsverläufe sind ebenfalls eingezeichnet (· · ·).

Zunächst fällt auf, dass die Störung des Dehnungsverlaufesmit zunehmender Filterlänge

geringer wird und der Dehnungsverlauf in allen Fällen den Wert des Plateaus erreicht.

Gleichzeitig nimmt jedoch die Steigung des Dehnungsverlaufes an der Stelle des Ein-

schlusses ab. Wie in Kap. 3.4.3 beschrieben, hängt dies mit der absoluten Filterlänge zu-

sammen, die in jedem Fall kleiner als die Objektgröße sein sollte. FürN = 13 Tτ beträgt

die absolute Filterlänge0.5 · 1540 ms · 12 · 20/50 MHz = 3.70 mm und liegt damit noch

unterhalb der Objektgröße von5 mm. Bei der Betrachtung der Störung fällt auf, dass es

sich nicht um weißes Rauschen handelt, sondern um eine Störung mit bevorzugten Fre-

quenzanteilen.

In Abb. 4.30 sind gemittelte Spektren der Dehnung (—) gezeigt, wobei der Mittelwert der

Dehnung vor Berechnung der Spektren abgezogen wurde. Zur besseren Übersichtlichkeit

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-40

-20

0

20

40


Spe

ktru

min

dB

N=5 Tτ

N=13 Tτ

N=9 Tτ

Abb. 4.30: Spektrum der mittelwertbefreiten axialen Dehnung in dB an der Stellex =

17 mm für verschiedene FilterlängenN

wurden die Spektren um jeweils25 dB verschoben. Die Spektren der FIR-Filter, die be-

reits in Abb. 3.17 beschrieben wurden, sind ebenfalls für die entsprechenden Filterlängen

eingezeichnet (· · ·). Es bestätigt sich, dass die körnige Struktur im Elastogramm durch die

Methode der Dehnungsschätzung (KQ) zu erklären ist.

Kapitel 5

Realisiertes Abbildungssystem

Die Überprüfung der theoretisch hergeleiteten Resultate anhand von Phantommessungen

(s. Kap. 6) erfolgte mit Hilfe eines speziell entwickelten Abbildungssystems, auf das im

folgenden Kapitel eingegangen wird.

5.1 Komponenten des Abbildungssystems

Es wurde ein Abbildungssystem nach Abb. 5.1 entwickelt, mitdem die Datenerfassung

und Datenverarbeitung für jedes Ultraschallgerät möglichist, das einen analogen Beam-

former verwendet und Zugang sowohl zu den analogen hochfrequenten Echodaten als

auch den internen Triggersignalen gewährt (shot-trigger1).

PCA/DTrigger-

Trigger-Schnittstelle

Ultraschall-wandler

Ultraschall hf-Daten

shot-trigger

Siemens OmniaLPT-Port

signal

Abb. 5.1: Blockschaltbild der Systemkomponenten zur Datenerfassung

Die Datenaufnahme erfolgt mit Hilfe eines PC’s mit einer A/D-Wandler Karte und einer

speziellen Trigger-Schnittstelle, mit deren Hilfe die Datenaufnahme synchronisiert wird.

Für Ultraschallgeräte mit digitalem Beamformer wurde eine Lösung von Scabia et al.

vorgeschlagen [88].

5.1.1 PC mit A/D-Wandler Karte

Zur Datenerfassung stand eine 12-bit A/D-Wandler Karte desTyps Gage 1250 zur Verfü-

gung, mit der die analogen Echodaten mit einer Abtastrate von 50 MHz abgetastet wer-

den können. Diese A/D-Wandler Karte besitzt einen externenTriggereingang, so dass

1Jeder Sende-/Empfangsvorgang eines in Puls-Echo-Technikarbeitenden Ultraschallgerätes wird durch

ein internes Triggersignal (TTL-Pegel) ausgelöst.

5.1 Ultraschallgerät 91

nach Auftreten eines Triggersignals eine frei wählbare Anzahl von Abtastwerten aufge-

nommen werden kann. Zusätzlich besteht die Möglichkeit des„multiple recording“. In

diesem Modus erfolgt die Datenaufnahme nach Aktivierung der Karte für eine frei wähl-

bare Anzahl von Triggersignalen. Entscheidend für eine kontinuierliche Datenerfassung

und Datenverarbeitung ist die Synchronisierung der kontinuierlich auftretenden Trigger-

signale des Ultraschallgerätes mit der Aktivierung der A/D-Wandler Karte, damit die auf-

genommenen Echodaten der A-Linien in der richtigen Reihenfolge zu einem Datensatz

eines B-Bildes zusammengesetzt werden können.

Konzeptuell entscheidend ist, dass diese Synchronisierung durch eine unabhängig arbei-

tende Trigger-Schnittstelle realisiert wurde, die über den LPT-Port des PC’s angesteuert

wird. Dadurch wird dem Prozessor des PC’s mehr Rechenleistungzur Verfügung gestellt,

was für eine Echtzeitfähigkeit des Systems von Bedeutung ist(s. Kap. 5.1.3).

5.1.2 Ultraschallgerät

In der medizinischen Diagnostik werden Ultraschallgerätemit einer Mittenfrequenz des

Sendepulses zwischen3 MHz und 100 MHz eingesetzt. Die empfangenen hochfrequen-

ten Echosignale haben typischerweise eine6-dB Bandbreite von50 − 80 % der Mitten-

frequenz. Für die hier durchgeführten Messungen stand ein handelsübliches Ultraschall-

4 6 8 10 12 14

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

f in MHz

Am

plitu

de in

dB

Abb. 5.2: Spektrum der Ultraschallsignale

gerät des Typs Siemens Omnia mit einem hochfrequenten Ultraschallwandler des Typs

VF 13-5 zur Verfügung.2 Die Mittenfrequenz des Sendepulses wurde zu10 MHz gewählt.

Ein typisches Beispiel für den Verlauf des Spektrums der Empfangssignale ist in Abb. 5.2

zu sehen. Die Mittenfrequenzf0 beträgt ca.8.5 MHz, und die6-dB Bandbreite beträgt

ca.4.5 MHz, was ca.50 % der Mittenfrequenz entspricht.

2192 Elemente mit Elementbreite0.2 mm und Pitch0.21 mm. Breite des B-Bildes32 mm, internes

Beamforming mit64 Elementen

5.1 Trigger-Schnittstelle 92

Es bestand ein analoger Zugang zu den hochfrequenten Ultraschall-Echodaten hinter dem

Beamformer. Aus diesen Signalen werden intern im Ultraschallgerät einzelne A-Linien

berechnet und zu einem grauwertkodierten B-Bild weiterverarbeitet. Dabei wird jeder

Sende- und Empfangsvorgang des in Puls-Echo-Technik arbeitenden Gerätes intern durch

ein Triggersignal ausgelöst (TTL-Pegel, „shot-trigger“). Auf dieses Signal konnte eben-

falls zugegriffen werden. Der Verlauf der Triggersignale ist in Abb. 5.3 dargestellt. Die

60 µs

225 µs = 1 / 4.44 kHz

527 µs

37 ms = 1 / 27 Hz

offset Aufnahmebereich

(Bild n: 163 Trigger-Pulse pro Bild)(Bild n-1) (Bild n+1)

Abb. 5.3: Triggersignal-Folge des Siemens Omnia

Wiederholrate der Trigger-Pulse beträgt4.44 kHz, d.h., dass zwei A-Linien eines B-Bil-

des in einem zeitlichen Abstand von225 µs aufgenommen werden (shot-trigger). Für je-

des B-Bild werden163 A-Linien aufgenommen, wobei die Bildwiederholrate27 Hz be-

trägt. Dadurch kommt es zu einem zeitlichen Abstand von527 µs zwischen dem letzten

Triggerpuls eines Bildes und dem ersten Triggerpuls des folgenden Bildes. Dieser grö-

ßere zeitliche Abstand zwischen zwei Bildern wurde genutzt,um einen internen Zähler

des Mikrocontrollers zu aktivieren und die Datenaufnahme einzelner A-Linien mit dem

Beginn eines B-Bildes zu synchronisieren.

Da es sich bei Ultraschallsignalen um hochfrequente und breitbandige Signale handelt,

muss zur Einhaltung der Nyquist-Bedingung ein Vielfaches der Mittenfrequenz als Abta-

strate gewählt werden (hier:50 MHz). Zur Reduktion der Datenmengen ist es erforderlich,

den Zeitpunkt und die Dauer der A/D-Wandlung mit dem Zeitpunkt des Empfangs des

Ultraschall-Echos zu synchronisieren. Beispielsweise beträgt die Schall-Laufzeit77.9 µs

bei einer Gewebetiefe von60 mm, so dass nicht über einen Zeitraum von225 µs abgetastet

werden muss.

5.1.3 Trigger-Schnittstelle

Es wurde eine universelle Trigger-Schnittstelle entwickelt, um auf einem PC verschie-

dene Echtzeit-Anwendungen für Ultraschallgeräte implementieren zu können, die einen

analogen Beamformer verwenden. Mit Hilfe dieser Trigger-Schnittstelle ist es möglich,

5.1 Trigger-Schnittstelle 93

• die Ultraschall-Echosignale der einzelnen A-Linien bildweise geordnet aufzuneh-

men und

• den Zeitpunkt und die Dauer der A/D-Wandlung im PC mit dem Zeitpunkt des

Empfangs des Ultraschall-Echos zu synchronisieren.

Wie in Abb. 5.4 dargestellt, besteht die Trigger-Schnittstelle im wesentlichen aus einem

programmierbaren Mikrocontroller (engl.:PIC = Programmable Interrupt Controller)

und einem UND-Gatter. Hauptaufgabe des PIC’s ist es (hier: Modell 16F84 der Firma

PIC UNDGatter

Shot-Trigger(Ultraschallgerät) PIC-Trigger

Trigger-Signal(A/D-Wandler)

PC-Init-FlagPC-Start-Flag8 bit Datenleitung(PC via LPT-Port)

2+8 Leitungen

Abb. 5.4: Blockschaltbild der Trigger-Schnittstelle

Microchip mit 20 MHz-Quarz), die positiven Flanken des Triggersignals zu detektieren

und intern die Zahl der Triggersignale zu zählen. Die Anzahlder Triggersignale pro Bild

ist abhängig vom Gerät bzw. Untersuchungsmodus und kann demPIC per LPT-Port über-

mittelt werden (Aktivierung des PC-Init-Flags und Übermittlung der Werte über das Da-

tenregister).

Das erste Triggersignal eines Bildes wird dadurch erkannt, dass die Pause zwischen dem

letzten Triggersignal des vorhergehenden Bildes und dem ersten Triggersignal des aktuel-

len Bildes größer ist (hier:527 µs) als die Pause zwischen zwei Triggersignalen innerhalb

eines Bildes (hier:225 µs). Der interne Zähler des PIC’s wird nach jeder längeren Pause

zwischen zwei Bildern auf Null zurückgesetzt. Wenn der PC perLPT-Port (PC-Start-

Flag) dem Interrupt-Eingang des PIC’s mitteilt, dass Triggersignale durchgelassen wer-

den sollen, dann stellt der PIC sicher, dass nur Triggersignale des gewünschten Aufnah-

mebereiches durchgelassen werden, nicht aber Triggersignale davor (offset) oder danach

(vgl. Abb. 5.3). Mit Hilfe des PIC’s wird also sichergestellt, dass die Triggersignale bild-

weise verarbeitet werden können. Wird z.B. das PIC-Start-Flag aktiviert, während gerade

Triggersignale aus dem Aufnahmebereich gezählt werden, dann darf der PIC-Trigger erst

für das nächste Bild aktiviert werden. Dadurch kann es zu einem Verlust der Daten eines

einzelnen Bildes kommen, die Synchronisierung der Datenaufnahme ist jedoch weiterhin

gewährleistet.

An dieser Stelle muss betont werden, dass das Triggersignaldes Ultraschallgerätes (shot-

trigger) möglichst ohne Zeitverlust an den externen Triggereingang der A/D-Wandler wei-

tergeleitet werden muss. Diese Aufgabe könnte durch einen Mikrocontroller allein (mit

PIC-Trigger Ausgang) auch bei sehr hohen Taktraten (z.B.100 MHz) nicht gelöst werden,

5.1 Echtzeit-Modus 94

weil die interne Bearbeitung eines einzelnen Befehls im Bereich von50−200 ns liegt. Bei

Abtastraten der A/D-Wandler Karte von z.B.50 MHz wird der Empfangskanal im Ab-

stand von20 ns abgetastet, so dass eine Unsicherheit bzgl. des Beginns der Abtastung

im Bereich mehrerer Abtastwerte (Samples) resultieren würde. Eine solche Ungenauig-

keit im Bereich von mehreren Abtastwerten würde zu einer unerwünschten Verzerrung

des aus mehreren abgetasteten A-Linien bestehenden Bildes führen. Zur Lösung dieses

Problems kann ein UND-Gatter verwendet werden (hier: Typ 74HC11).

Indem das Triggersignal direkt an ein UND-Gatter geleitet wird, entsteht bei kurzen

Gatter-Laufzeiten (ca.2 ns) eine Verzögerung in der Größenordnung des Jitters der A/D-

Wandler Karte. Durch das hier verwendete UND-Gatter wird ein einzelner Trigger-Puls

in Abhängigkeit des Status des PIC-Triggers innerhalb von weniger als10 ns weitergelei-

tet und gewissermaßen erst anschließend vom PIC gezählt. Dieser benötigt nämlich für

die Flankendetektion einige Mikrosekunden. Die Dauer der Trigger-Pulse(60 µs) ist da-

für ausreichend. Ebenfalls zu beachten ist, dass die Flankendetektion des PIC’s schnell

im Vergleich zur shot-trigger-Folge (hier:4.4 kHz) ist. Nur dann kann der Status des vom

Mikrocontroller generierten Signals (PIC-Trigger) gesetzt werden (low oder high), bevor

das nächste Triggersignal am UND-Gatter anliegt. Auf dieseWeise kann eine beliebige

shot-Folge innerhalb eines Bildes eingestellt und damit derAufnahmebereich festgelegt

werden.

Damit jederzeit vom PC gesteuert werden kann, ob das von der Trigger-Schnittstelle ge-

nerierte Triggersignal weitergeleitet wird oder nicht, wird eine Datenleitung der Drucker-

schnittstelle als PC-Start-Flag benutzt. Dieses Flag führtauf den Interrupt-Eingang des

PIC’s, über den der Status des PIC-Trigger Ausgangs (low oder high) festgelegt wird, der

wiederum direkt am UND-Gatter anliegt.

5.1.4 Echtzeit-Modus

Anhand des Ablaufdiagramms in Abb. 5.5 wird kurz erläutert,wie die Komponenten zu-

sammenarbeiten müssen, um einen Echtzeit-Modus zu realisieren. Zunächst aktiviert der

PC die A/D-Wandler Karte, die daraufhin mit der Datenaufnahme beginnt, sobald Trig-

gersignale am Triggereingang anliegen. Bruchteile von Millisekunden darauf aktiviert der

PC den Mikrocontroller (PIC) über dessen Interrupt-Eingang. Intern wird im PIC dadurch

ein Flag gesetzt, das immervor Beginn eines vollständigen Frames abgefragt wird. Er-

reicht der interne Zähler des PIC’s den Beginn eines Frames undist das interne Flag

gesetzt (d.h. eine Anforderung liegt vor), dann werden die Triggersignale des Ultraschall-

gerätes an die A/D-Wandler Karte weitergeleitet. Nach der Aktivierung des PIC’s bleibt

PC-seitig Zeit für die Datenverarbeitung. Ist die Datenverarbeitung abgeschlossen, wartet

der PC auf ein Signal der A/D-Wandler Karte, dass die Datenaufnahme abgeschlossen

ist, damit die abgetasteten Daten vom PC eingelesen werden können. Danach beginnt

5.1 Echtzeit-Modus 95

PC aktiviert A/D-Karte

PC aktiviert Interrupt des PIC

Datenverarbeitung

PC liest Daten aus

Aufnahmebeendet ?

Trigger vorhanden ?

Alle shots aufnehmen

Auf Anfang einesframes warten

Soll frame aufge-nommen werden ?

Shot-Signale eines frames weiterleiten

Aufnahme beenden

Aufnahme starten ?

PC(Datenverarbeitung)

PIC(Trigger-Verarbeitung)

A/D-Karte(Datenaufnahme)

Abb. 5.5: Ablaufdiagramm: Synchronisierung von PC, PIC und A/D-Wandler Karte zur

Realisierung einer Echtzeit-Datenverarbeitung

der Vorgang von vorne. Zum einen wird dadurch erreicht, dassdie A/D-Wandler Karte

nicht kontinuierlich abtastet, zum anderen wird erreicht,dass programmiertechnisch der

Daten-Abtast-Prozess vom Daten-Verarbeitungsprozess getrennt werden kann.

Nach diesem Prinzip können hochfrequente Echodaten in Echtzeit für verschiedene An-

wendungen verarbeitet werden, so. z.B. auch für Verfahren inder Gefäßdiagnostik bei

der Detektion und Verfolgung von arteriellen Gefäßwänden [45]. Eine andere Einsatz-

möglichkeit bietet sich mit Hilfe des Application Program Interface (API) innerhalb der

Programmierumgebung MATLABR©, mit dessen Hilfe eine Art PC-Oszilloskop für die

Ultraschalldatenverarbeitung realisiert werden konnte.Die Komponenten des realisierten

Abbildungssystems sind in Abb. 5.6 dargestellt.

Abb. 5.6: Systemkomponenten: Ultraschallgerät (links), PC mit A/D-Wandler (mitte),

Trigger-Interface (rechts)

Kapitel 6

Experimentelle Ergebnisse

In diesem Kapitel wird auf experimentelle Ergebnisse des Verfahrens eingegangen. Es

werden Unterschiede in den Abbildungseigenschaften der Ultraschall-Elastographie zwi-

schen einer Freihand-Methode und einer apparativen Methode gezeigt.

6.1 Phantome

Es wurden Messungen an Phantomen vorgenommen. Diese wurdenaus einem speziellen

Material hergestellt (Elvanolr71-30), mit dem die Elastizität den Anforderungen ent-

sprechend variiert werden kann.

6.1.1 Phantom-Material

Bei der Entwicklung neuer Abbildungsverfahren in der medizinischen Diagnostik ist es

notwendig, deren Möglichkeiten mit Hilfe von Experimentenan Phantomen abzuschät-

zen. Für die Herstellung von Phantomen im Rahmen der Ultraschall-Elastographie müs-

sen sowohl mechanische als auch akustische Eigenschaften bei der Materialauswahl be-

rücksichtigt werden:

1. Die Ultraschallwellen müssen im gewünschten Frequenzbereich in dem Medium

ausbreitungsfähig sein.

2. Das Medium muss (ortsabhängige) elastische Eigenschaften aufweisen, die mit de-

nen von menschlichem Gewebe vergleichbar sind, damit eine geringe äußere Kom-

pression zu inneren Deformationen führt.

3. Das Medium muss kleine und ausreichend viele Variationenin der Schallgeschwin-

digkeit bzw. Dichte aufweisen, damit genügend Streuzentren entstehen, um die für

Ultraschallbilder typischen Specklemuster hervorzurufen.

Prinzipiell besitzen wassergefüllte und vakuierte Mikroschwämme die aufgezählten Ei-

genschaften. Allerdings ist es mit diesem Material nur schwer möglich, einen Körper mit

klar definierten Elastizitätsverteilungen zu erzeugen.

Daher ist man in der Praxis dazu übergegangen, eine Suspension aus einem Trägermaterial

und kleinen Partikeln in heißem Wasser in Lösung zu bringen und anschließend aushärten

6.1 Phantom-Material 97

zu lassen. Durch das Trägermaterial werden die Bedingungen (1) und (2) sichergestellt.

Durch den Zusatz von kleinsten Partikeln als Streuzentren wird Bedingung (3) erfüllt.

Agar-Agar

In der Vergangenheit wurden als Trägermaterial häufig Gelatine oder Agar-Agar (Gelier-

mittel aus Meeresalgen) verwendet. Während die mechanischeStabilität dieser Phantome

akzeptabel ist, bestehen grosse Einschränkungen bzgl. derHaltbarkeit, weil Kohlenhydra-

te in einem Zeitraum von wenigen Wochen durch Mikroorganismen biologisch abgebaut

werden.

Elvanolr71-30

Die in den experimentellen Arbeiten eingesetzten Phantomewurden aus dem Material

Elvanolr71-30 der Firma DuPont hergestellt. Elvanolr71-30 gehört zur Klasse der hy-

drolysierten Polyvinylalkohole und besitzt eine niedrigeViskosität. Es handelt sich um ein

weißes Granulat, das sich im warmen Wasser löst. Bei der Arbeit mit diesem Phantom-

material ist zu beachten, dass das mechanische Verhalten von Kunststoff-Erzeugnissen

infolge des visko-elastischen Verhaltens von Polymeren auch von der Beanspruchungs-

dauer und Beanspruchungstemperatur abhängig ist [86]. Darüber hinaus wird es von der

Formteilgestalt und den Herstellungsbedingungen der Formteile beeinflusst.

Die Herstellung von Elvanol-Phantomen erfolgt üblicherweise indrei Schritten:

1. Schritt (Herstellung der Grundsubstanz):Entsprechend dem erforderlichen Gesamt-

volumen wird eine 10 %-ige wässrige Suspension aus Elvanol erstellt, wobei das Gra-

nulat unter kontinuierlichem Rühren hinzugefügt wird. Diese milchige Suspension wird

anschließend unter weiterem Rühren auf ca. 75◦C erhitzt, wobei diese Temperatur für

ca. 20 Minuten gehalten werden muß. Nach Auskühlung des Gemisches auf Raumtempe-

ratur entsteht ein farbloses lagerfähiges Gel, aus dem verschiedene Phantome hergestellt

werden können.

2. Schritt (Herstellung der Phantom-Suspension):Je nach Bedarf wird eine bestimmte

Menge der o.g. Grundsubstanz wieder auf 75◦C erhitzt. Nun wird unter kontinuierlichem

Rühren in Abhängigkeit von der gewünschten Konzentration anStreuzentren 1-5 % Kie-

selgel (hier: TLC–Kieselgel 60 HMerckmit einer mittleren Korngröße von15 µm) hinzu-

gefügt. Diese Suspension wird langsam (ca. 15 Minuten) auf 40-45◦C abgekühlt, wobei

keine Luftbläschen in dem Gemisch verbleiben dürfen. Anschließend wird das Gemisch

in eine Form gegossen (z.B. Zylinder bzw. Quader), wobei in dieser Form auch bereits

vorher angefertigte Elvanol-Phantome platziert sein können.

3. Schritt (Variation der Phantom-Elastizität): Die gefüllte Form wird nun tiefgefro-

ren und anschließend bei Raumtemperatur bzw. im warmen Wasserbad aufgetaut. Bedingt

6.1 Phantom-Eigenschaften 98

durch eine Mischungslücke bei tiefen Temperaturen verdunstet aus dem Phantom Was-

ser beim Auftauvorgang (Evaporation), wodurch die Elastizität des Materials zunimmt.

Durch Variation der Anzahl von Gefrier- und Auftauzyklen wird dem Material weiteres

Wasser entzogen, was zu einer weiteren Zunahme der Elastizität führt. Typischerweise

reichen drei Zyklen aus, um eine Elastizität zu erreichen, die mit derjenigen von biologi-

schem Gewebe vergleichbar ist, also in einem Bereich von 10 kPa bis 100 kPa liegt.

Nach dem gleichen Prinzip können mit Hilfe von zylinderförmigen Formteilen auch Phan-

tome zur Modellierung von Gefäßwänden hergestellt werden [41]. Bei der anschließen-

den Lagerung der Phantome bei Raumtemperatur ist darauf zu achten, dass sie luftdicht

abgeschlossen sind.

6.1.2 Phantom-Eigenschaften

Es wurde ein quaderförmiges (weiches) Phantom mit einem zylindrischen (härteren) Ein-

schluss – jeweils aus Elvanolr71-30 – angefertigt. Im folgenden wird auf die geometri-

schen Abmessungen und erzielten Werte des Elastizitätsmoduls eingegangen.

Abmessungen

Die Größe des quaderförmigen Phantoms betrug nach der Herstellung 60 x 94 x 48 mm3.

Vor der Herstellung des quaderförmigen Phantoms wurde ein zylindrisches Phantom mit

einem Durchmesser von 4.7 mm und einer Länge von 60 mm hergestellt und in den Qua-

der eingebracht. Die Lage innerhalb des Quaders kann Abb. 6.1 entnommen werden. Der

Abb. 6.1: Geometrische Abmessungen des quaderförmigen Phantoms mit einem zylindri-

schen Einschluss

Mittelpunkt des zylinderförmigen Einschluss befand sich ca.12.5 mm von der Oberfläche

des Phantoms.

6.1 Phantom-Eigenschaften 99

Elastizitätsmodul / Dynamisch Mechanische Analyse (DMA)

Für Agar-Agar-Phantome ist bekannt, dass der Elastizitätsmodul (in kPa) proportional

mit dem Quadrat der verwendeten Agar-Konzentration (in g/l) zunimmt [36]. Der Ela-

stizitätsmodul von Phantomen aus Polyvinylalkoholen hängt jedoch nicht nur von der

Konzentration, sondern auch von der Anzahl von Gefrier- undAuftauvorgängen ab und

muss experimentell festgestellt werden. Es ist aber bekannt, dass Werte für den Elastizi-

tätsmodul im Bereich von 10 kPa bis 100 kPa erreicht werden können [31].

Nach Abschluss der Datenaufnahme (s. Kap. 6.3 und Kap. 6.4) wurden Schnitte des Phan-

toms angefertigt und kleine Zylinder ausgestanzt – sowohl aus dem weichen Material des

Quaders als auch aus dem härteren Material des zylindrischen Einschlusses. Der Elastizi-

tätsmodul dieser Proben wurde mit Hilfe der Dynamisch Mechanischen Analyse (DMA)

bestimmt. DieDynamisch-Mechanische Analyse (DMA)ist eine Untersuchungsmetho-

de zur Bestimmung des elastischen bzw. viskoelastischen Verhaltens (z.B. Elastizitäts-

modul) von Materialien in Abhängigkeit von anderen Einflussgrößen wie z.B. Tempe-

ratur und Frequenz. Mit den Geräten der heutigen Generationlassen sich verschiedene

Werkstoffe vom „weichen“ Polymer bis zur „spröden“ Keramikuntersuchen.

Das Funktionsprinzip eines Dynamisch-Mechanischen Analysators (hier: TA Instruments

DMA 2980) kann wie folgt zusammengefasst werden: Die zu untersuchende Probe wird

in eine Klammer (Sonde) eingespannt, wobei jede Klammer auseinem feststehenden

und einem beweglichen Teil besteht. Abhängig vom Material und den zu erwartenden

Kennwerten stehen verschiedene Sondensysteme zur Verfügung. Bei den hier beschrie-

benen Messungen wurde eine Kompressionsklammer verwendet. Der bewegliche Teil der

Klammer ist mit einem beweglichen Stempel verbunden, über den die Probe mit einer

sinusförmig oszillierenden Kraft angeregt wird. Gemessenwerden sowohl die Amplitude

der Kraft bzw. die Amplitude der Deformation als auch deren Phasenverschiebung. Für

Messungen bei höheren Temperaturen kann über die Probe ein Widerstandsofen gefah-

ren werden. Aus den Messwerten können die viskoelastischenEigenschaften einer Probe

als Funktion von Zeit und Temperatur bestimmt werden. Nebendem Elastizitätsmodul

(Speichermodul)E wird auch der VerlustmodulE ′ und der mechanische Verlustfaktor

tan δ = E ′/E des Werkstoffs bestimmt.

Der Elastizitätsmodul der Proben wurde bei Raumtemperatur für verschiedene An-

regungsfrequenzen bestimmt. Die Anregungsfrequenzen wurden so gewählt, dass sie

einen Bereich abdecken, in dem typischerweise der Vibrations-Applikator arbeitet

(0.1 Hz, 0.2 Hz, 0.5 Hz, 1.0 Hz, 2.0 Hz, 5.0 Hz und10.0 Hz). Für den (weicheren) Au-

ßenbereich der Probe ergab sich ein Mittelwert des Speichermoduls von44.97 kPa±3.52 kPa. Für das Verhältnis von Verlustmodul zu Speichermodul ergab sich ein Mittel-

wert von tan δ = 0.0977 ± 0.00587. Für den (härteren) Innenbereich der Probe ergab

sich ein Mittelwert von79.56 kPa± 4.25 kPa. Für das Verhältnis von Verlustmodul zu

Speichermodul ergab sich ein Mittelwert vontan δ = 0.0651 ± 0.00367.

6.2 Messung der Autokovarianzfunktion bzw. Pulsbreiten 100

6.2 Messung der Autokovarianzfunktion bzw.

Pulsbreiten

Für die Messung der Pulsbreiten wurde das in Kap. 5.1.2 beschriebene Ultraschallgerät

des Typs Siemens Omnia mit einem Ultraschallwandler des Typs VF 13-5 verwendet.

Die Mittenfrequenz der Sendepulse wurde zu10 MHz gewählt. Bei einer dargestellten

Bildtiefe von50 mm wurde die Position des Sendefokus aufz = 35 mm eingestellt.

Für die Messung der Autokovarianzfunktion in lateraler bzw. elevationaler Richtung ist

ein Phantom notwendig, das Streuer enthält, deren Größe unterhalb des Auflösungsver-

mögens des Abbildungssystems liegt. Dadurch entsteht in der Ultraschallabbildung ein

Speckle-Muster, das nicht mehr von der Größe der Streuer, sondern nur noch von System-

parametern abhängt [34, 109]. Es wurde ein homogenes Phantom aus dem in Kap. 6.1.1

beschriebenen Material Elvanolr71-30 hergestellt und TLC–Kieselgel 60 HMerckmit

einer mittleren Korngröße von15 µm hinzugefügt.

Zur Bestimmung der Kovarianzfunktion in lateraler Richtung muss die Einhüllende des

Empfangssignals als Funktion von lateralen Verschiebungen k·∆x vorliegen. Für die Da-

tenaufnahme ist es daher notwendig, den Ultraschallwandler in kleinen Schritten∆x zu

verfahren [98] bzw. das Objekt gegenüber dem Ultraschallwandler zu verschieben. Bei ei-

ner erforderlichen Schrittweite von∆x = 20 µm wurde hier der zuletzt genannte Ansatz

mit Hilfe eines Mikrometertisches verfolgt, wie in Abb. 6.2(links) dargestellt. Im fol-

Ultraschallwandler(fixiert)

Mikrometer-tisch

Phantom

Tiefe z in mm

Late

rale

r A

bsta

nd ∆

x in

µm

Normierte Autokovarianzfunktion

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10 20 30 40 50

-600

-450

-300

-150

0

150

300

450

600

Abb. 6.2: Setup zur Messung der Autokovarianzfunktion in lateraler Richtung (links) und

normiertes Ergebnis der Messung (rechts)

genden seieEx(k) der Wert der Einhüllenden zur Zeitt an der lateralen Positionx+k·∆x

bzw. der elevationalen Positiony, d.h.eEx(k) = eE(x + k·∆x, y, t). Werden der Mittel-

wert und der lineare Trend voneEx(k) entfernt, dann ergibt sich die empirische Autoko-

6.2 Messung der Autokovarianzfunktion bzw. Pulsbreiten 101

varianzfunktioncExEx(k) in lateraler Richtung zu

cExEx(k) =

1

N − |k|

N−1−|k|∑

n=0

eEx(n + |k|) · eEx

(n) . (6.1)

Zur Verbesserung der Genauigkeit wurde die Autokovarianzfunktion über mehrere A-

Linien und in axialer Richtung über einen Bereich von∆z = 1 mm gemittelt. Als Er-

gebnis dieser Rechnung ist die normierte Autokovarianzfunktion cExEx(k)/cExEx

(0) auf

der rechten Seite von Abb. 6.2 zu finden. Es zeigt sich ein tiefenabhängiger Verlauf der

normierten Autokovarianzfunktion, auf den bei der Betrachtung der lateralen Pulsbreite

nochmal eingegangen wird.

Für die Berechnung der Autokovarianzfunktion in elevationaler Richtung muss die Ein-

hüllende des Empfangssignals als Funktion von elevationalen Verschiebungenk·∆y vor-

liegen. Die dafür erforderlichen Messungen wurden mit Hilfe eines Mikrometertisches

entsprechend Abb. 6.3 (links) mit einer Schrittweite von∆y = 20 µm durchgeführt. Sei

eEy(k) der Wert der Einhüllenden zur Zeitt an der lateralen Positionx bzw. der elevatio-

nalen Positiony+k·∆y, d.h.eEy(k) = eE(x, y+k·∆y, t). Dann ergibt sich die empirische

Autokovarianzfunktion in elevationaler Richtung nach Abzug des linearen Trends und des

Mittelwertes zu

cEyEy(k) =

1

N − |k|

N−1−|k|∑

n=0

eEy(n + |k|) · eEy

(n) . (6.2)

Zur Verbesserung der Genauigkeit wurde die Autokovarianzfunktion über mehrere A-

Linien und axialer Richtung über einen Bereich von∆z = 1 mm gemittelt. Als Ergeb-

nis dieser Rechnung ist die normierte Autokovarianzfunktion cEyEy(k)/cEyEy

(0) auf der

rechten Seite von Abb. 6.3 zu finden. Wie bereits in Abb. 6.2 zeigt sich auch hier ein

Ultraschallwandler (fixiert)

Mikrometer-tisch

Tiefe z in mm

Ele

vatio

nale

r A

bsta

nd ∆

y in

µm

Normierte Autokovarianzfunktion

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10 20 30 40 50

-1000-800-600-400-200

0200400600800

1000

Abb. 6.3: Setup zur Messung der Autokovarianzfunktion in elevationaler Richtung (links)

und normiertes Ergebnis der Messung (rechts)

tiefenabhängiger Verlauf, der nun in Zusammenhang mit der Pulsbreite gebracht wird.

Unter Annahme einer gaußförmigen, separierbaren Punktbildfunktion nach Gl. (2.14) ist

6.3 Statische bzw. Quasistatische Kompression 102

der Verlauf der normierten Autokovarianzfunktion in lateraler bzw. elevationaler Rich-

tung nach Gl. (3.27) bzw. Gl. (3.28) ebenfalls gaußförmig, unterscheidet sich jedoch im

Exponenten um den Faktor1/2. Die PulsbreiteP der Punktbildfunktion (FHWM) kann

z.B. aus dem Verlauf der normierten Autokovarianzfunktion ermittelt werden, wenn die

laterale bzw. elevationale Position bestimmt wird, an der die normierte Autokovarianz-

funktion den Wertexp(− log(2)/2) =√

1/2 annimmt (vgl. dazu Anhang D). Die auf

diese Weise aus den Abb. 6.2 und Abb. 6.3 bestimmten Pulsbreiten in lateraler bzw. ele-

vationaler Richtung sind nochmals in Abb. 6.4 zusammengefasst. Man erkennt, dass die

10 15 20 25 30 35 40 45 50

200

400

600

800

1000

1200

Bildtiefe z in mm

Pul

sbre

itein

µm

lateral

elevational

Abb. 6.4: Setup zur Messung der elevationalen Pulsbreite (links) und Autokovarianzfunk-

tion in elevationaler Richtung (rechts)

tiefenabhängige Zunahme der Pulsbreite in lateraler Richtung geringer als in elevationaler

Richtung ist. Zusätzlich ist bei der Pulsbreite in lateralerRichtung eine Einschnürung im

Bereich der Fokuszone zu erkennen. Obwohl die Annahme einer gaußförmigen PBF nur

eine Näherungslösung darstellt, stimmen die Ergebnisse der Messungen qualitativ mit den

Ergebnissen der Simulationen aus Kap. 4.2.1 überein. Zudemkonnte in den Messungen

eine geringere elevationale Pulsbreite als in den Simulationen erwartet werden, weil auf

einem handelsüblichen Ultraschallwandler zusätzlich eine akustische Linse aus Gummi

angebracht wird, um die Fokussierung in elevationaler Richtung zu verbessern.

6.3 Statische bzw. Quasistatische Kompression

Bei den hier durchgeführten Experimenten wird angenommen, dass die Kompression der

Objekte statisch bzw. quasistatisch erfolgt. Unter einer statischen Kompression versteht

man, dass vor bzw. nach der Kompression ein langer Zeitraum verstrichen ist und sich

das Objekt in Ruhe befindet. Bei einer quasistatischen Kompression wird angenommen,

dass im Falle von mehreren aufeinander folgenden Kompressionsschritten jeder einzelne

als statisch betrachtet werden kann.

6.3 Apparative Methode 103

Apparative Methode

Der Einsatz von apparativen Verfahren ist auch in der Ultraschalldiagnostik bekannt [81,

82]. Die Möglichkeit einer definierten statischen Kompression bietet sich z.B. durch den

Einsatz von Kompressionsplatten, deren Lage zueinander durch steuerbare Motoren ver-

ändert werden kann. Dabei kann die Qualität der Elastogramme durch die Anwendung

mehrerer Kompressionsschritte verbessert werden [107].

Ein solcher Ansatz wurde auch bei der Untersuchung der weiblichen Brust verfolgt [59,

38, 43]. Wesentlicher Vorteil eines apparativen Verfahrens ist, dass der Grad der Kom-

pression wohl definiert werden kann und Annahmen über die Randbedingungen getroffen

werden können. Weiterhin führt der Einsatz von Kompressionsplatten zu einer Fixierung

des Objektes, so dass bei einer Ausführung von definierten Kompressionsschritten die

Bewegungsartefakte minimiert werden – insbesondere die Bewegungsartefakte, die durch

ein Verkippen des Ultraschallwandlers bzw. des Objektes inlateraler oder elevationaler

Ebene entstehen. Allerdings zeigte sich in der klinischen Anwendung, dass die Handha-

bung eines solchen Gerätes zu aufwendig ist, um im Routinebetrieb eingesetzt werden zu

können. Außerdem ist aus der konventionellen Mammographiebekannt, dass mit einem

solchen Ansatz brustwandnahe Läsionen häufig nicht erfasst werden [96]. Für die Unter-

suchung einer größeren Zahl von Patienten ist daher die Entwicklung bzw. Verbesserung

von Freihand-Verfahren notwendig, um letztendlich auch den klinischen Stellenwert des

Elastographie-Verfahrens abschätzen zu können.

Freihand-Methode

Werden elastische Gewebeeigenschaften mit Hilfe der Elastographie im Rahmen einer

Freihand-Untersuchung abgebildet, so bietet es sich an, die Kompression mit dem Ul-

traschallwandler selbst durchzuführen. Generell führt diese manuell durchgeführte Kom-

pression zu unterschiedlichen Kompressionsschritten innerhalb einer Aufnahmeserie. Es

ist ebenfalls davon auszugehen, dass im Vergleich zu einer apparativ durchgeführten

Kompression größere Bewegungsartefakte entstehen. Diese würden eine Dekorrelation

der Datensätze und damit eine geringe Qualität der einzelnen Elastogramme zur Folge

haben, weil sich die Varianz der Zeitverschiebungsschätzungen erhöht (vgl. Kap. 3.2).

Der Wert des Korrelationskoeffizienten kann als Kriteriumverwendet werden, um Ela-

stogramme von weiteren Berechnungsschritten auszuschließen. Céspedes et al. fanden

empirisch heraus, dass Elastogramme für weitere Berechnungen verwendet werden kön-

nen, wenn für den Korrelationskoeffizientenρ > 0.9 gilt [19]. Die Begründung für ein

solches Ausschlußkriterium ist nach Umstellen von Gl. (3.81) aus Kap. 3.4.4 ersichtlich.

Wenn der Wert des Korrelationskoeffizienten einen bestimmten Wert unterschreitet, dann

ist die vorab gewählte Korrelationsfensterlänge evtl. zu gering, um die Zeitverschiebung

erwartungstreu zu schätzen. Bedingt durch die zeilenweise durchgeführten Iterationen des

6.3 Freihand-Methode: Phantom-Messung 104

Verfahrens der Phasen-Nullstellen-Suche entstehen Bildartefakte wie z.B. in Abb. 4.27,

in der ganze Bildspalten keine sinnvolle Information mehr enthalten.

Bei einer Serie von Datensätzen und entsprechend einer Serievon Elastogrammen stellt

sich außerdem die Frage, wie die Auswertung zu einem einzigen Elastogramm erfolgen

soll. Dabei muss berücksichtigt werden, dass sowohl die Qualität der einzelnen Elasto-

gramme bzw. das elastographische CNRε als auch deren mittlere Dehnung unterschied-

lich sind. In [39, 44] wurde ein Verfahren vorgestellt, bei dem die Elastogramme vor

einer Mittelwertbildung normiert werden. Bei der Normierung der Elastogramme wird

vorausgesetzt, dass das untersuchte Objekt im angewendeten Kompressionsbereich ein

linear-elastisches Verhalten aufweist. Geht man weiterhin davon aus, dass bei der Un-

tersuchung verschiedener Objekte jeweils eine ähnliche Kompression angewendet wird,

dann können die Ergebnisse dieser Untersuchungen miteinander verglichen werden, wie

in [39] für Tumore der weiblichen Brust gezeigt wurde.

Freihand-Methode: Phantom-Messung

Die qualitative und quantitative Auswertung von Elastogrammen soll hier anhand einer

Phantom-Messung demonstriert werden. Dazu wurde das Phantom aus Kap. 6.1.2 im

Querschnitt untersucht und mit dem Ultraschallwandler komprimiert. Zur Optimierung

der mechanischen Kompression wurde auf den Ultraschallwandler eine Kompressions-

platte bündig angebracht, die in Abb. 6.5 (links) dargestellt ist. Mit Hilfe einer solchen

Kompressionsplatte wird zum einen erreicht, dass die Kompression des Objektes vorwie-

gend in axialer Richtung stattfindet, zum anderen werden Bewegungsartefakte durch ein

Verkippen des Ultraschallwandlers minimiert. In Abb. 6.5 ist das resultierende B-Bild in

der Mitte und das Elastogramm rechts dargestellt. Für die Berechnung der Elastogramme

Bildbreite x in mm

Bild

tiefe

z in

mm

1 5 10 15

5

10

15

20

25

30 -1.1

-1

-0.9

-0.8

-0.7

Bildbreite x in mm1 5 10 15

Schallwandleroberfläche(47 mm x 10 mm)

Kompressionsplatte(105 mm x 105 mm)

Axiale D

ehnung εzz

in %

Abb. 6.5: Ultraschallwandler mit Kompressionsplatte (links) und Ergebnisse der

Freihand-Methode: B-Bild (mitte) und Elastogramm (rechts)

6.3 Freihand-Methode: Phantom-Messung 105

wurde eine Korrelationsfensterlänge vonTC = 40 ∆t, ein Abstand aufeinander folgender

Verschiebungsschätzungen vonTτ = 20 ∆t und eine Filterlänge vonN = 13 gewählt,

wodurch sich eine normierte Filterlänge vonN = 7 ergibt.

Man kann bereits im B-Bild erkennen, dass sich in dem Phantom eine Inhomogenität mit

rundem Querschnitt befindet, die sich als echoreiches Gebiet von dem übrigen Bildbe-

reich abhebt. Bei dem für Ultraschallbilder typischen Speckle-Muster fällt auf, dass die

mittlere Größe der Speckle in Abhängigkeit von der Bildtiefezunimmt. Diese visuelle

Beobachtung resultiert aus der tiefenabhängigen Zunahme der lateralen Pulsbreite nach

Abb. 6.2. Im Elastogramm sind, bezogen auf ihren absoluten Wert, Bereiche geringer

Dehnung rot und Bereiche größerer Dehnung blau dargestellt.Bei einer qualitativen Be-

trachtung des Elastogramms hebt sich die Inhomogenität alsroter Bereich hervor, so dass

sie als härterer Einschluss identifiziert werden kann. Dies war aufgrund der Ergebnisse

der DMA aus Kap. 6.1.2 zu erwarten.

Im Gegensatz zur theoretischen Dehnungsverteilung aus Abb. 4.25 zeigt sich in der ex-

perimentellen Messung nahe an der Kompressionsplatte ein Bereich geringer Dehnung.

Während die Annahme des ebenen Verzerrungszustandes gerechtfertigt erscheint, weil die

Abmessung der Kompressionsplatte in elevationaler Richtung mit 105 mm gross ist (vgl.

dazu Abb. 6.5), müssen die Randbedingungen nochmals genauerbetrachtet werden. Für

die FEM-Rechnung in Abb. 4.25 wurden Dirichlet’sche Randbedingungen für den oberen

Rand (die Kompressionsplatte) mit∆z = const. und∆x 6= 0 angenommen. Aufgrund

der experimentellen Erfahrungen muss die zweite Annahme modifiziert werden, weil sich

das Objekt direkt an der Kompressionsplatte nicht in lateraler Richtung verschiebt, d.h.

∆x = 0. Die theoretische Dehnungsverteilung wurde für beide Fälle für das hier verwen-

dete Phantom mit den Abmessungen nach Abb. 6.1 berechnet, wobei eine Kompression

von einem Prozent der Phantomhöhe angenommen wurde. Die resultierende Dehnungs-

verteilung ist jeweils für eine Schnittebene in Abb. 6.6 dargestellt. Auf der linken Seite

ist die axiale Dehnungsverteilung für den Fall dargestellt, dass das Objekt direkt an der

Kompressionsplatte laterale Verschiebungen ausführen kann. Auf der rechten Seite ist die

axiale Dehnungsverteilung für den Fall dargestellt, dass das Objekt direkt an der Kom-

pressionsplattekeine lateralen Verschiebungen ausführen kann. Es zeigt sich, dass das

Ergebnis aus Abb. 6.5 mit geringen Dehnungen nahe der Kompressionsplatte durch die

Modifizierung der Randbedingungen erklärt werden kann.

Für eine quantitative Betrachtung wurden Regionen innerhalbund außerhalb der Läsi-

on ausgewählt, in denen die Dehnung einen konstanten Wert annimmt (vgl. Abb. 6.5).

Es wurden die in Tab. 6.1 aufgeführten Parameter für die Region innerhalb und außer-

halb der Läsion empirisch bestimmt, d.h. die mittlere Dehnung, die Varianz der Dehnung

und der sich ergebende elastographische Kontrast. Im Rahmender Freihand-Ultraschall-

Elastographie konnte gezeigt werden, dass eine Darstellung der mechanischen Dehnung

in axialer Richtung auch für eine manuell durchgeführte Kompression möglich ist. Al-

6.4 Harmonische Kompression 106

Abb. 6.6: Ultraschallwandler mit Kompressionsplatte: Simulierte Dehnungsverteilung im

ebenen Verzerrungszustand für unterschiedliche Randbedingungen


N = 7

εk in % −0.737

σ2εk

3.862 · 10−8

ε0 in % −1.096

σ2ε0

9.449 · 10−8

2 ∆ε2/(σ2ε0

+ σ2εk

) 22.86 dB

∆ε2/σ2ε0

21.34 dB

lerdings ist eine Freihand-Methode sehr stark von der Geschicklichkeit des Untersuchers

abhängig. Die Reproduzierbarkeit der Ergebnisse wird sowohl durch die Ausführung der

Kompression als auch durch eine laterale oder elevationaleVerkippung des Ultraschall-

wandlers während der Kompression beeinträchtigt, so dass weitere Verbesserungen not-

wendig sind, um das Verfahren im Routinebetrieb einsetzen zukönnen.

6.4 Harmonische Kompression

Wie bereits in Kap. 6.3 beschrieben, ist ein Nachteil einer Freihand-Methodik darin zu

sehen, dass die Abbildungsqualität und die Reproduzierbarkeit der Ergebnisse sehr stark

von der Geschicklichkeit des Untersuchers abhängt, weil die Kompression mit dem Ul-

traschallwandler durchgeführt wird. Auf der anderen Seiteist eine apparative Methode

mittels Kompressionsplatten zu aufwendig, um in der PraxisAnwendung zu finden. Es

bietet sich daher an, die Vorteile einer Freihand-Methodikund einer apparativen Metho-

de in einem Freihand-Applikator zu vereinen. Es wurde ein Applikator entwickelt und

6.4 Frequenzabhängigkeit der Amplitude 107

patentiert [42], der die erforderlichen Kriterien erfüllt, d.h.

• eine einfache Bedienung als Hand-Applikator und

• eine untersucherunabhängige Ausführung einer axialen Kompression.

Das angefertigte Modell mit einer Gesamthöhe von ca.20 cm ist in Abb. 6.7 zu sehen. Das

Abb. 6.7: Entwickelter Freihand-Applikator zur Unterstützung der Freihand-Elastogra-

phie mit befestigtem Ultraschallwandler

Prinzip der Anordnung besteht darin, dass eine exzentrischgebohrte und auf einer Welle

montierte Kreisscheibe eine geführte Befestigungsplatte bewegt, indem die Kreisschei-

be in einem Langloch der Befestigungsplatte rotiert. Die Rotationsbewegung der Welle

wird dadurch in eine sinusförmige Hubbewegung der Befestigungsplatte umgesetzt, auf

der ein Ultraschallwandler angebracht werden kann. In Abhängigkeit von der Größe der

Kreisscheibe und der Position der exzentrischen Bohrung wird so eine harmonische me-

chanische Anregung eines Objektes mit einem definierten Hub erzeugt (Vibration). Die

durch die Vibration hervorgerufene lokale Schwingung hängt von der Frequenz ab, wie in

Kap. 3.5 beschrieben. Mit dem hier realisierten Applikatorkönnen Schwingungsfrequen-

zen in einem Bereich von2.5 Hz bis5 Hz mit einem Hub von ca.0.5 mm realisiert wer-

den. Der zusätzlich angebrachte Aufsatzring schließt bündig mit dem Ultraschallwandler

ab und vermindert Bewegungsartefakte durch z.B. ein Verkippen, wenn der Applikator

auf eine beliebige Stelle aufgesetzt wird. Im folgenden wird auf die Ergebnisse eingegan-

gen, die mit Hilfe einer Vibrationsanregung durch den vorgestellten Applikator für das in

Kap. 6.1.2 beschriebene Phantom erzielt wurden.

6.4.1 Frequenzabhängigkeit der Amplitude

Das in Abb. 6.1 gezeigte Phantom wurde mit Hilfe des Applikators untersucht. Während

der Untersuchung wurde die Abbildungsebene so eingestellt, dass der zylinderförmige

6.4 Frequenzabhängigkeit der Amplitude 108

Einschluss im Querschnitt getroffen ist. Die harmonische Kompression des Objektes wur-

de in einem Frequenzbereich von2.6 Hz . . . 4.7 Hz durchgeführt. Aus den hochfrequenten

Echodaten wurden für jede A-Linie Zeitverschiebungenτ(z0, t0) an Gewebetiefenz0 zu

Zeitpunktent0 berechnet. Diese beschreiben beschreiben nach Gl. (3.100)eine Schwin-

gung der Art

τ(z0, t0) = A(z0)√

2(1 − cos(ωvib ∆tvib)) cos(ωvib t0 + Φvib) . (6.3)

Die Amplitude Avib(z0) der Schwingung ist abhängig von der lokalen Amplitude des

GewebesA(z0), der Frequenz der mechanischen Vibrationωvib = 2 π fvib und dem Abta-

stintervall∆tvib,

Avib(z0) = A(z0)√

2(1 − cos(ωvib ∆tvib)) . (6.4)

Als Resultat des Kalman-Filters erhält man in jedem Iterationsschritt für jede A-Linie

die tiefenabhängige AmplitudeAvib(z0). Diese aus den Messungen geschätzte Amplitude

Avib(z0) muss durch den Normierungsfaktor√

2(1 − cos(ωvib ∆tvib)) geteilt werden, da-

mit anschließend aus der AmplitudeA(z0) die Dehnung berechnet werden kann. Der Wert

des Normierungsfaktors kann generell in einem Bereich von[0, 2] liegen. Das Ergebnis

der tiefenabhängigen AmplitudeAvib(z0) ist exemplarisch für eine A-Linie in Abb. 6.8

gezeigt, um das frequenzabhängige Verhalten zu verdeutlichen. Die Amplitude wurde

0 5 10 15 20 25 30 35

-15

-10

-5

0

Bildtiefe z in mm

Neg

ativ

e A

mpl

itude

[rad

]

fvib=2.87 Hz

fvib=4.69 Hz

fvib=3.61 Hz

Nach Normierung

Abb. 6.8: Vibrationsanregung: Tiefenabhängige Amplitudeeiner A-Linie für verschiede-

ne Frequenzen des Applikators

negativ aufgetragen, damit die nach einer Normierung berechneten Elastogramme nega-

tive Werte erhalten und einem Elastogramm für den Fall einerKompression entsprechen.

Anhand von Abb. 6.8 bestätigt sich, dass der Verlauf der Amplituden nach einer frequenz-

abhängigen Normierung nahezu identisch ist. Man erkennt zudem, dass der Normierungs-

faktor für die Vibrationsfrequenzfvib = 4.69 Hz größer als eins ist. Dies ist dadurch zu

erklären, dass der Normierungsfaktor einen Wert von eins für cos(ωvib ∆tvib) = 0.5 bzw.

ωvib ∆tvib = π/3 erreicht. Mit dem hier verwendeten Mess-System mit∆tvib = 1/27 s ist

dies gerade bei einer Vibrationsfrequenz vonfvib = 4.5 Hz der Fall.

6.4 Dehnungsbild (Elastogramm) 109

Anhand von Abb. 6.8 kann auch eine Aussage über den Hub des Applikators getroffen

werden. Eine maximale Amplitude der Schwingung von ca.17 rad korrespondiert zu ei-

nem Hub des Applikators von ca.34 rad. Dieses Phasenmaß kann mit Hilfe der Mitten-

frequenzf0 = 8.5 MHz in Meter umgerechnet werden, so dass sich für den Hub des

Applikators /1 2 c · 34 rad/(2 π f0) ≈ 490 µm ergibt. Wie sich in den folgenden Bildern

zeigen wird, reichen bereits solche geringen Verschiebungen aus, um den härteren Ein-

schluss aufgrund von Dehnungsunterschieden von seiner Umgebung abzugrenzen.

6.4.2 Dehnungsbild (Elastogramm)

Aus der normierten AmplitudeA(z0) kann mit Hilfe der in Kap. 3.3 dargestellten Me-

thode (FIR-Filter) ein Dehnungsbild (Elastogramm) berechnet werden. Da der Hub des

Applikators der doppelten Amplitude entspricht, wurden die Elastogramme zusätzlich mit

zwei multipliziert.

In Abb. 6.9 ist das Ergebnis aus einer mit dem Mess-System unddem Hand-Applikator

durchgeführten Untersuchung bei einer Vibrationsfrequenz von fvib = 2.87 Hz darge-

stellt. Neben dem B-Bild (links) und dem Elastogramm (mitte) findet sich in dieser Ab-

Bildbreite x in mm

Bild

tiefe

z in

mm

5 10 15

5

10

15

20

25

30

35



B-Bild Phase in radDehnung εzz in %

-2.2

-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-2.2

-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-2.9

-2.85

-2.8

-2.75

-2.7

-2.9

-2.85

-2.8

-2.75

-2.7

Abb. 6.9: Vibrationsanregung: B-Bild (links), Elastogramm (mitte) und Phase (rechts)

bildung auch ein Bild der ortsabhängigen Phase (rechts). Letztere ergibt sich aus dem

Zustandsvektor des Kalman-Filters entsprechend Gl. (3.120) aus Kap. 3.5.2.

Während sich das B-Bild nur geringfügig von dem aus der Freihand-Untersuchung unter-

scheidet (vgl. Abb. 6.5), fällt im Elastogramm des Phantomsauf, dass die Dehnungswerte

– absolut betrachtet – mit zunehmender Bildtiefe abnehmen. Diese Beobachtung bestätigt

sich auch dann, wenn die Untersuchungsstelle geändert oderder Applikator zusätzlich zur

Vibration leicht angedrückt wird. Wie bereits in Kap. 6.3 für die Kompression mit Hil-

fe einer Kompressionsplatte gezeigt, hängt die Verteilungder Dehnung maßgeblich von

6.4 Dehnungsbild (Elastogramm) 110

den vorliegenden Randbedingungen ab. Bei der Verwendung des Hand-Applikators stellt

sich zudem die Frage, ob die Annahme des ebenen Verzerrungszustandes aus Kap. 2.2.4

weiterhin gerechtfertigt ist. Bei der Verwendung des Hand-Applikators erfolgt die Kom-

pression durch den Ultraschallwandler, so dass die Ausdehnung der komprimierenden

Fläche in elevationaler Richtung klein im Vergleich zur Abmessung des Objektes ist. Es

kann daher gerade im Bereich unterhalb des Ultraschallwandlers nicht davon ausgegangen

werden, dass keine Verzerrungen senkrecht zur Bildebene auftreten. Da die hier vorlie-

gende Situation ebenfalls nicht durch den ebenen Spannungszustand beschrieben werden

kann, muss eine dreidimensionale Betrachtung des mechanischen Problems erfolgen. Vor-

ab kann jedoch festgestellt werden, dass der härtere Einschluss im Elastogramm von der

Umgebung abgrenzbar ist und sowohl bzgl. seiner Position als auch seiner Abmessung

mit dem Echogenitätsunterschied im B-Bild übereinstimmt.

Zum Abschluss dieses Unterkapitels soll noch das Bild der Phase aus Abb. 6.9 (rechts)

erläutert werden. Dort fällt auf, dass die Phase spaltenweise von links nach rechts linear

zunimmt. Die lineare Zunahme der Phase von links nach rechtsfindet sich auch für andere

Vibrations-Frequenzen. Um dies zu verdeutlichen, ist der Verlauf der Phase in Abb. 6.10

bei einer Bildtiefe vonz = 20 mm für verschiedene Frequenzen aufgetragen. Zur bes-

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Bildbreite in mm

Pha

se in

rad

fvib=2.87 Hz

fvib=4.69 Hz

fvib=3.61 Hz

Abb. 6.10: Frequenzabhängiger Verlauf der Phase bei einer Bildtiefe vonz = 20 mm

seren Vergleichbarkeit wurde der Phasenwert der ersten A-Linie (Bildspalte) abgezogen,

weil er letztlich nur von der (willkürlichen) Startposition des Hand-Applikators abhängt.

Es zeigt sich, dass die spaltenweise lineare Zunahme der Phase von der Frequenz ab-

hängig ist. Dieses Ergebnis ist dadurch zu erklären, dass die Echosignale der einzelnen

A-Linien nacheinander aufgenommen werden, weil die Apertur spaltenweise „wandert“.

Während die zeitliche Verzögerung des Aufnahmezeitpunktesinnerhalb einer A-Linie

durch die Laufzeit des Schalls vernachlässigt werden kann,ist die zeitliche Verzögerung

zwischen zwei A-Linien durch die PRF festgelegt und beträgt bei dem hier realisierten

Mess-System ca.225 µs (vgl. Kap. 5.1.2). Exemplarisch soll dieser Zusammenhangfür

die Vibrationsfrequenzfvib = 4.69 Hz gezeigt werden. Berücksichtigt man, dass der late-

rale Bildbereich80 A-Linien entspricht, so ergibt sich eine Phasenverschiebung zwischen

der ersten und letzten A-Linie von2 π fvib · 79 · 225 µs = 0.52 rad. Dieser Wert entspricht

ungefähr dem Wert aus Abb. 6.10.

6.4 Dreidimensionale Betrachtung 111

6.4.3 Dreidimensionale Betrachtung

Wie bereits im vorigen Unterkapitel angesprochen, kann dasexperimentelle Ergebnis des

Elastogramms bei Verwendung des Hand-Applikators auch beieiner Änderung der Rand-

bedingungen nicht erklärt werden, weil die Annahme des ebenen Verzerrungszustandes

nicht länger zutrifft, wenn die zur Kompression des Objektes verwendete Kompressi-

onsfäche klein ist. Für ein solches mechanisches Problem ist daher der Übergang zu einer

dreidimensionalen Betrachtung notwendig. Für den Fall einer runden Kompressionsfläche

und eines in der Halbebene unendlich ausgedehnten Objekt wurde eine analytische Lö-

sung in [78, 79] hergeleitet. Für den hier vorliegenden Fall, dargestellt in Abb. 6.11 (links),

wurde eine numerische Lösung mit Hilfe der Software ANSYSR© berechnet. Während die

Ø 4.7 mm

94 mm

60 mm

12.5 mm

35.5 mm

10 mm

47 mm

47 mm

Dz= -0.5 mm

Dx= 0.0 mmD Dy= z=

Dx= 0.0 mmDy=

E =45 kPa

E =80 kPa

=0.495

0

k

n

xz

y

Abb. 6.11: Geometrie und Randbedingungen für 3D-Berechnungen (links) und Diskreti-

sierung mittels ANSYS (rechts)

Geometrie des Objektes mit der aus Abb. 6.6 übereinstimmt, sind die Randbedingungen

nun unterschiedlich. Zum einen entspricht die Kompressionsfläche nicht mehr der Größe

der Kompressionsplatte, sondern nur noch der Oberfläche des Ultraschallwandlers, zum

anderen müssen auch Randbedingungen iny-Richtung festgelegt werden. Die dreidimen-

sionale Diskretisierung des Objektes ist in Abb. 6.11 (rechts) dargestellt. Der Elastizi-

tätsmodul des Objektes bzw. des Einschlusses wurde isotropangenommen und anhand

der Messungen aus Kap. 6.1.2 gewählt, d.h., für den Elastizitätsmodul des zylinderför-

migen EinschlussesEk = 80 kPa, für den Elastizitätsmodul des homogenen Materials

E0 = 45 kPa und für die Poisson-Zahlν = 0.495. Generell ist zu erwarten, dass bei einer

kleineren Kompressionsfläche die mechanische Spannung inz-Richtung über der Tiefe

abfällt und es dadurch auch zu einem Abfall der mechanischenDehnung kommt.

Das Ergebnis der Berechnung mit ANSYSR© ist für die mechanische Dehnung in

z-Richtung in Abb. 6.12 (links) gezeigt. Bei der Darstellung der Objektgeometrie

wurden die auftretenden Objektverschiebungen10-fach vergrößert, damit der Einfluss

der endlichen Kompressionsfläche besser zu erkennen ist. Auf der rechten Seite von


MNMX

-.025933-.022171

-.018409-.014646

-.010884-.007122

-.00336.402E-03

.004165.007927

NODAL SOLUTION

STEP=1SUB =1TIME=1EPTOY (AVG)RSYS=0DMX =.436906SMN =-.025933SMX =.007927

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

Bildbreite x in mm

Bild

tiefe

z in

mm

0 5 10 15

0

5

10

15

20

25

30

35

Axiale D

ehnung εzz

in %

Abb. 6.12: Dreidimensionale Darstellung der Dehnung (links) und Vergrößerung des dar-

gestellten Bildbereiches (rechts)

Abb. 6.12 ist der Objektbereich vergrößert dargestellt, der mit dem Abbildungsbereich

des Mess-Systems übereinstimmt. Außerdem wurde der angezeigte Dehnungsbereich

so gewählt, dass das Dehnungsbild mit dem experimentellen Ergebnis aus Abb. 6.9

verglichen werden kann. Es zeigt sich nun eine gute Übereinstimmung zwischen der

theoretisch zu erwartenden Dehnungsverteilung und dem gemessenen Ergebnis. Der

in der abgebildeten Ebene beobachtete Abfall der Dehnung über der Tiefe kann also

erklärt werden, wenn das mechanische Problem dreidimensional betrachtet wird. Die

Übereinstimmung zwischen dem Simulationsergebnis und demexperimentellen Er-

gebnis rechtfertigt zudem die Annahme einer quasistatischen Kompression bei kleinen

Vibrationsfrequenzen.

Bei einer Betrachtung des Elastogramms aus Abb. 6.9 stellt sich die Frage, wie der aus

dem tiefenabhängigen Abfall der mechanischen Spannung resultierende Abfall der me-

chanischen Dehnung kompensiert werden kann, um einen homogeneren Bildeindruck zu

erreichen. Ein ähnliches Problem ist bei der Ultraschallabbildung von Gewebe im konven-

tionellen B-Bild-Verfahren bzgl. der Amplitude des Empfangssignals bekannt. Dort muss

das Empfangssignal aufgrund der akustischen Gewebedämpfung tiefenabhängig verstärkt

werden, um eine homogene Intensität des B-Bildes zu erreichen(engl.:time gain compen-

sation, TGC). An dieser Stelle werden zwei Möglichkeiten zur „strain gain compensati-

on“ (SGC) gezeigt, um den Einfluss der tiefenabhängigen mechanischen Spannung auf

das Elastogramm zu kompensieren.

Eine Möglichkeit zur SGC besteht darin, die Dehnungswerte tiefenabhängig mit dem

Kehrwert der mechanischen Spannung zu multiplizieren. In Abb. 6.13 ist auf der linken

Seite der lateral gemittelte Verlauf der mechanischen Spannung (· · ·) und dessen Kehr-

wert (—) dargestellt. Der Verlauf der mechanischen Spannung wurde so normiert, dass

der maximale Wert Eins beträgt. Wird das Elastogramm aus Abb. 6.9 spaltenweise mit

dem Kehrwert der lateral gemittelten mechanischen Spannung (SGC) multipliziert, dann


-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1


0

5

10

15

20

25

30

351 2 3 4

0

5

10

15

20

25

30

35

SGC

Bild

tiefe

z in

mm

Abb. 6.13: Strain Gain Compensation: Tiefenabhängige Kompensation der mechanischen

Spannung (· · ·) durch den Kehrwert der mechanischen Spannung (—)

ergibt sich das in Abb. 6.13 (rechts) dargestellte Elastogramm. Das Elastogramm hat

nun ein ähnliches Erscheinungsbild wie die Elastogramme aus Abb. 6.5 bzw. Abb. 6.6

(rechts). Allerdings ist der Verlauf der mechanischen Spannung und damit auch deren

Kehrwert im allgemeinen nicht bekannt, weil die mechanische Spannung nicht gemessen

wird und auch nicht numerisch bestimmt werden kann, wenn dieElastizitätsmodulvertei-

lung des Objektes und die Randbedingungen nicht bekannt sind. Interessant ist daher ein

Vergleich des Verlaufs der mechanischen Spannung aus Abb. 6.13 (links) mit folgendem

analytischen Ergebnis aus der Mechanik, das als Erweiterung des BOUSSINESQ-Problems

(z.B. [85] oder S. 194 ff. in [2]) zu verstehen ist: Liegt eine runde Kompressionsplatte mit

Radiusr0 einem Halbraum mit homogenem Elastizitätsmodul auf und wirkt auf die Kom-

pressionsplatte eine Kraft (inz-Richtung), dann ergibt sich für die mechanische Spannung

σzz(z) in z-Richtung die analytische Lösung (S. 405 in [102])

σzz(z) = σzz(0)

[1 − z3

(r20 + z2)

3

2

]. (6.5)

Der Verlauf der mechanischen Spannung aus Abb. 6.13 (links)kann durch die analy-

tische Lösung aus Gl. (6.5) angenähert werden. Im hier vorliegenden Fall muss dazu

r0 = 14.38 mm gewählt werden, wodurch sich eine Fläche der runden Kompressionsplat-

te vonA = π · (14.38 mm)2 ≈ 650 mm2 ergibt. Diese ist etwas größer als die rechteckige

Oberfläche des Ultraschallwandlers aus Abb. 6.11, die47 mm·10 mm = 470 mm2 beträgt.

Als weitere Möglichkeit zur SGC bietet es sich an, die Dehnungswerte eines Elasto-

gramms lateral zu mitteln, um einen mittleren tiefenabhängigen Dehnungsverlauf zu er-

halten, und anschließend das Elastogramm spaltenweise mitdem Kehrwert dieses Deh-

nungsverlaufes zu multiplizieren. Der mittlere Dehnungsverlauf (· · ·) und dessen Kehr-

wert (—) ist für das Elastogramm aus Abb. 6.9 in Abb. 6.14 (links) dargestellt. Der

Verlauf der mechanischen Dehnung wurde normiert, damit dermaximale Wert Eins be-


-1.3

-1.2

-1.1

-1

-0.9

-0.8

-0.7


0

5

10

15

20

25

30

351 2 3 4

0

5

10

15

20

25

30

35

SGC

Bild

tiefe

z in

mm

Abb. 6.14: Strain Gain Compensation: Tiefenabhängige Kompensation der mechanischen

Spannung (· · ·) durch den Kehrwert der mechanischen Dehnung (—)

trägt. Nach Multiplikation des Elastogramms aus Abb. 6.9 mit dem Kehrwert der lateral

gemittelten mechanischen Dehnung ergibt sich das in Abb. 6.14 (rechts) dargestellte Ela-

stogramm. Für eine quantitative Betrachtung wurden Regioneninnerhalb und außerhalb

der Läsion entsprechend der Kreise in Abb. 6.14 (rechts) ausgewählt. Es wurden die in

Tab. 6.2 aufgeführten Parameter für die Region innerhalb undaußerhalb der Läsion empi-


N = 7

εk in % −0.875

σ2εk

1.133 · 10−7

ε0 in % −1.112

σ2ε0

1.931 · 10−7

2 ∆ε2/(σ2ε0

+ σ2εk

) 15.64 dB

∆ε2/σ2ε0

14.64 dB

risch bestimmt, d.h. die mittlere Dehnung, die Varianz der Dehnung und der sich ergeben-

de elastographische Kontrast. Die erreichte Abbildungsqualität ist ausreichend, um den

härteren Einschluss von der Umgebung abzugrenzen. Zudem ist das Elastogramm nach

SGC einfacher zu interpretieren als das Elastogramm ohne SGC (vgl. Abb. 6.9), weil die

Dehnungswerte mit der hier verwendeten SGC keinen tiefenabhängigen Verlauf besitzen.

Zusätzlich ist anzumerken, dass die Implementierung einerSGC einen verhältnismäßig

geringen Rechenaufwand bedeutet.

Kapitel 7

Zusammenfassung und Ausblick

Die medizinische Untersuchungsmethode der Palpation wirdseit den Anfängen der Medi-

zin verwendet, um pathologische Veränderungen von Gewebe qualitativ zu erfassen, weil

diese häufig mit einer Änderung der Gewebeelastizität einhergehen. Allerdings ist ein

derartiger Palpationsbefund immer vom Untersucher abhängig und damit subjektiv. Das

gilt sowohl für das Auffinden einer pathologischen Veränderung als auch für den qua-

litativen Tasteindruck einer solchen Veränderung. Die Ultraschall-Elastographie ist ein

neues Abbildungsverfahren [72], das die quantitative Abbildung von elastischen Gewe-

beeigenschaften zum Ziel hat. Mittlerweile gibt es Verfahren, mit denen die Ultraschall-

Elastographie in Echtzeit-Systemen implementiert werdenkann [75].

In dieser Arbeit wurde untersucht, welche Abbildungseigenschaften die Ultraschall-

Elastographie besitzt, und es wurden Möglichkeiten zur Verbesserung vorgestellt und

implementiert. Dazu war es zunächst notwendig, Grundlagender Ultraschalltechnik

und Grundlagen der Mechanik zu erläutern, um ein geeignetesDatenmodell für die

empfangenen Ultraschall-Echosignale aufzustellen sowiedas mechanische Verhalten von

biologischem Gewebe untersuchen zu können, das als linear-elastisches und isotropes

Medium angenommen wird.

Bei der Darstellung von Dehnungsdifferenzen kommt es daraufan, einen möglichst

hohen Kontrast zu erzielen. Für die Abschätzung der Abbildungsqualität der Ultraschall-

Elastographie wurde daher ein theoretischer Ausdruck für den elastographischen Kontrast

(CNRε) hergeleitet, der in Gl. (3.86) zu finden ist. Dieser Ausdruck beinhaltet den nor-

mierten Dehnungsunterschied (NDU), das elastographischeAusgangs-SNRε (SNRε0)

und den elastographischen SNRε-Gewinn (SNRεG).

Es zeigte sich, dass der normierte Dehnungsunterschied vonder Geometrie der Ein-

schlüsse, deren Elastizitätsmoduln und von den vorliegenden Randbedingungen abhängt,

wobei die Geometrie der Einschlüsse und die vorliegenden Randbedingungen in einem

mechanischen KonversionsfaktorcPDE zusammengefasst werden können. Dieser nimmt

im einfachsten (eindimensionalen) Fall zweier mechanischer Federn den WertcPDE = 1

an, muss jedoch bei komplexeren Geometrieen bzw. Randbedingungen mit Hilfe von

FEM-Simulationen berechnet werden. Derartige FEM-Simulationen wurden in dieser

Arbeit für eine bestimmte Objektgeometrie in einem Wertebereich der Elastizitätsmoduln

durchgeführt, der für biologisches Weichgewebe relevant ist. Das vorgestellte Konzept

muss bei Bedarf auf andere Objektgeometrieen übertragen werden, weil eine allgemein-

gültige analytische Lösung nicht angeben werden kann.

Das elastographische Ausgangs-SNRε ist zum einen von der mittleren Dehnungε0, zum

Kapitel 7: Zusammenfassung und Ausblick 116

anderen über die Varianz der Zeitverschiebungsschätzungen von der Korrelationsfen-

sterlängeTC , sowie von den Systemparametern BandbreiteB, Mittenfrequenzf0 und

elektronischem Signal-zu-Störabstand SNRel abhängig. Zusätzlich hat der Wert des Kor-

relationskoeffizientenρ, der sich bei der Schätzung der Zeitverschiebung ergibt, einen

entscheidenden Einfluss auf das elastographische Ausgangs-SNRε. Bei der Analyse

zeigte sich, dass die KorrelationsfensterlängeTC möglichst klein gewählt werden muss,

um ein optimales elastographisches Ausgangs-SNRε zu erhalten.

Bei der Betrachtung des elastographischen SNRε-Gewinns musste berücksichtigt wer-

den, dass die mechanische Dehnung aus Zeitverschiebungsschätzungen mit Hilfe der

Methode der kleinsten Quadrate berechnet wird, wobei dieseBerechnung auch durch

ein FIR-Filter implementiert werden kann. Es stellte sich heraus, dass der elastographi-

sche SNRε-Gewinn als Funktion einer normierten FilterlängeN ausgedrückt werden

kann. Diese normierte Filterlänge hängt von der bei der Zeitverschiebungsschätzung

verwendeten KorrelationsfensterlängeTC , dem Abstand aufeinander folgender Zeit-

verschiebungsschätzungenTτ und der FilterlängeN des bei der Dehnungsberechnung

verwendeten FIR-Filters ab.

Mit Hilfe von Ultraschall-Simulationen wurde zunächst aufdie ortsabhängigen Eigen-

schaften der Punktbildfunktion eingegangen, weil die bei einer axialen Kompression des

Mediums hervorgerufenen lateralen und elevationalen Verschiebungen in Abhängigkeit

von Parametern der Punktbildfunktion zu einer Dekorrelation der Ultraschall-Echosignale

führen. Der Korrelationskoeffizient kann unter Annahme einer separierbaren Punktbild-

funktion als Produkt von drei Anteilen ausgedrückt werden,nämlichρ = ρax · ρlat · ρelev.

Der axiale Korrelationskoeffizientρax ergibt sich dadurch, dass die zeitverschobenen

Echosignale zusätzlich gestaucht bzw. gestreckt sind, wasdurch das in dieser Arbeit ver-

wendete Verfahren zur Zeitverschiebungsschätzung nicht kompensiert wird. Die Haupt-

ursache für eine Dekorrelation der Signale und damit ein niedriges elastographisches

Ausgangs-SNRε ist jedoch im lateralen bzw. elevationalen Korrelationskoeffizientenρlat

bzw.ρelev zu sehen. Geringe laterale bzw. elevationale Verschiebungen in der Größenord-

nung der Pulsbreiten des Ultraschall-Systems führen bereits zu einer deutlichen Dekorre-

lation der Signale. Derartige Verschiebungen entstehen zum einen durch eine äußere axia-

le Kompression des Gewebes, zum anderen aber insbesondere durch Bewegungsartefakte.

Zur Reduzierung derartiger Bewegungsartefakte bietet es sich an, die mechanische Kom-

pression harmonisch durchzuführen. Dazu wurde ein spezieller Applikator entwickelt,

der im Rahmen von Freihand-Untersuchungen genutzt werden kann. Eine äußere mecha-

nische Anregung des Gewebes führt lokal zu Schwingungen desGewebes, deren Ampli-

tude und Phase aus den Zeitverschiebungsschätzungen berechnet werden können. Dazu

wurde in dieser Arbeit ein Kalman-Filter implementiert. Mit diesem kann berücksichtigt

werden, dass die Varianz der Zeitverschiebungsschätzungen zeitinvariant ist. Bezüglich

einer rechnerischen Kompensation von Bewegungsartefaktenwurde gezeigt, dass laterale

Verschiebungen teilweise kompensiert werden können, indem die Berechnung der Korre-


lationsfunktion bei der Zeitverschiebungsschätzung auf benachbarte A-Linien ausgedehnt

wird und vor Berechnung der Korrelationsfunktion eine Summation der Echosignale be-

nachbarter A-Linien erfolgt.

Mit Hilfe der Ultraschall-Simulationen wurde weiterhin das zur Abschätzung des ela-

stographischen Kontrastes entwickelte Modell überprüft.Dazu wurde eine Ultraschall-

Apertur inklusive Schallstrahlformung simuliert, deren Parameter mit der Apertur des in

den Experimenten verwendeten Ultraschallwandlers übereinstimmen. Als Medium wurde

ein homogenes Objekt mit einem zylindrischen Einschluss simuliert. Die zufällig platzier-

ten Streuer wurden entsprechend der Ergebnisse aus den FEM-Simulationen verschoben,

so dass hochfrequente Echosignale des Objektes vor und nachKompression verwendet

werden konnten, um Elastogramme zu berechnen. Der elastographische Kontrast wurde

empirisch für Bildausschnitte innerhalb und außerhalb des Einschlusses bestimmt, wobei

sich eine gute Übereinstimmung mit den theoretisch vorhergesagten Werten zeigte.

Zur Durchführung von experimentellen Arbeiten wurde ein Abbildungssystem ent-

wickelt, das aus einem Ultraschallgerät, einer speziellenTrigger-Schnittstelle und einem

PC mit einer A/D-Wandler Karte besteht. Bei dem Ultraschallgerät handelte es sich um

ein handelsübliches Gerät des Typs Siemens Omnia mit einem Ultraschallwandler des

Typs VF 13-5, bei dem sowohl auf die analogen Ultraschall-Echosignale als auch auf die

Triggersignale zugegriffen werden konnte. Der Entwurf einer Trigger-Schnittstelle war

notwendig, um eine Synchronisierung der Datenaufnahme undder Datenverarbeitung zu

gewährleisten, wobei die hochfrequenten Ultraschall-Echosignale mit einer Abtastrate

von 50 MHz abgetastet wurden. Durch die Steuerung der Datenaufnahme über den LPT-

Port ist es möglich, verschiedene Abbildungsverfahren echtzeitfähig zu implementieren.

In dieser Arbeit wurde mit diesem Abbildungssystem das bereits genannte Kalman-Filter

implementiert, um aus Zeitverschiebungsschätzungen eines harmonisch angeregten Ob-

jektes ein Elastogramm zu berechnen und anzuzeigen.

Zur Durchführung von Experimenten war neben dem Abbildungssystem auch die Her-

stellung eines geeigneten Phantoms notwendig. Als Material für das Phantom diente

ein spezieller Polyvinylalkohol (Elvanolr71-30), dessen elastische Eigenschaften beim

Herstellungsprozess variiert werden können. Es wurde ein homogenes Phantom mit

einem harten zylindrischen Einschluss hergestellt, dessen elastische Eigenschaften

(Elastizitätsmoduln) nach Abschluss der Experimente mit Hilfe einer dynamisch-mecha-

nischen Analyse bestimmt wurden. In den Experimenten wurden zunächst Elastogramme

mit einer Freihand-Methode aufgenommen. Anschließend wurden Elastogramme für

mechanische Anregungen unterschiedlicher Frequenz mit Hilfe des Hand-Applikators

aufgenommen. Während das mit der Freihand-Methode aufgenommene Elastogramm mit

den Ergebnissen der zweidimensionalen FEM-Simulation (ebener Verzerrungszustand)

vergleichbar war, konnte das mit dem Hand-Applikator aufgenommene Elastogramm

nur mit Hilfe einer dreidimensionalen FEM-Simulation erklärt werden. Es zeigte sich,

dass der durch die geringere Auflagefläche des Ultraschallwandlers bedingte tiefenab-


hängige Abfall der mechanischen Spannung zu einem Abfall der mechanischen Dehnung

führt. Dieser Abfall der mechanischen Dehnung konnte jedoch rechnerisch kompensiert

werden (strain gain compensation), so dass das resultierende Elastogramm homogener

aussieht und einfacher zu interpretieren ist. Insgesamt gesehen ist daher die Methode mit

dem Hand-Applikator einer Freihand-Untersuchung vorzuziehen, da das resultierende

Elastogramm unabhängig von der Geschicklichkeit des Untersuchers reproduzierbar ist.

Bisher deuten einige klinische Ergebnisse auf einen Nutzen der Ultraschall-Elastographie

[33, 63, 44]. Im Hinblick auf eine Verbesserung von diagnostischer Sensitivität und Spe-

zifität von krebsverdächtigen Läsionen konnte das Potenzial des Verfahrens bisher je-

doch nicht ausreichend untersucht werden. Eine Ursache istmit Sicherheit in der fehlen-

den Reproduzierbarkeit der Elastogramme zu sehen, die durcheine untersucherabhängige

Kompression zu Stande kommt. Dieses Problem kann in Zukunftdurch den vorgestellten

Hand-Applikator und eine harmonische Kompression des Objektes gelöst werden, wobei

der durch die begrenzte Auflagefläche des Ultraschallwandlers resultierende mechanische

Dehnungsabfall in den Elastogrammen kompensiert werden muss.

Natürlich bleibt als übergeordnetes Ziel der elastischen Abbildung von Gewebe die Dar-

stellung von Materialparametern wie Elastizitätsmodul oder Schermodul. Allerdings sind

bisher vorgestellte Verfahren, mit denen die Rekonstruktion solcher Materialparameter

verfolgt wird, zeitaufwendig [51, 24]. Dabei ist zu beachten, dass die Untersuchungszeit

von Verfahren kritisch im Hinblick auf einen klinischen Einsatz ist und zu einer Ver-

nachlässigung einer neuen Methodik führen kann [93]. Zudemist eine genaue Erfassung

der Randbedingungen und Objektgeometrie häufig schwierig.Ein interessanter Ansatz

ist daher in der transienten Elastographie zu sehen, mit deren Hilfe der Schermodul von

Gewebe gemessen wird [87, 30, 101]. Sieht man von der Möglichkeit ab, elastische Ge-

webeeigenschaften mit Ultraschall abzubilden, so bietet sich mit der Magnet-Resonanz-

Tomographie ein anderes Abbildungsverfahren an, den Materialparameter Elastizitätsmo-

dul zu rekonstruieren [97]. Gerade hier muss aber die lange Untersuchungszeit von über

30 Minuten hinterfragt werden, weil nur eine diagnostisch sehr relevante Information

einen solchen Aufwand rechtfertigen würde. Zum heutigen Zeitpunkt muss festgestellt

werden, dass die Ultraschall-Elastographie noch nicht denSprung zu einem Standard-

verfahren geschafft hat, das im klinischen Alltag verwendet wird. In der Verwendung

einer mechanischen Vibrationsquelle mit geeigneter Signalverarbeitung ist mit Sicher-

heit eine Verbesserung des Verfahrens zu sehen. Ob sich das Verfahren der Ultraschall-

Elastographie in der klinischen Routinediagnostik durchsetzt, muss in weiteren klinischen

Arbeiten untersucht werden. Eventuell muss auch nochmal grundlegend an größeren Kol-

lektiven als bisher erforscht werden, in welchem Stadium von Tumoren signifikante Än-

derungen des elastischen Parameters Elastizitätsmodul zuerwarten sind.

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Anhang A

Transformation einer normalverteiltenZufallsvariablen

Transformation „weiß nach farbig“

Ist eine Störungwg gegeben mit statistischen Eigenschaftenwg ∼ N (0, σ2I), dann kanndiese mit Hilfe einer linearen Transformationwc = A · wg in eine Störungwc überführtwerden mit statistischen Eigenschaftenwc ∼ N (0, σ2C).

Mit Hilfe von

Cov {wc} = E{wc wc

T}

= E{Awg (Awg)

T}

= AE{wgw

Tg

}AT (A.1)

folgt

Aσ2 IAT =! σ2 C (A.2)

und damit

C = AAT . (A.3)

Eine Eigenwertzerlegung vonC, z.B. in MATLAB realisiert durch den Befehl „[V,D] =eig(C)“ liefert

CV = VD , (A.4)

woraus sich

C = VDVT =(V√

D) (

V√

D)T

(A.5)

ergibt.

Die Transformationsvorschrift zur Überführung vonwg mit statistischen Eigenschaftenwg ∼ N (0, σ2I) nachwc mit statistischen Eigenschaftenwc ∼ N (0, σ2C) lautet dem-nach

wc = V√

Dwg . (A.6)

Transformation „farbig nach weiß“

Ist eine Störungwc gegeben mit statistischen Eigenschaftenwc ∼ N (0, σ2C), dann kanndiese mit Hilfe einer linearen Transformationwg = A · wc in eine Störungwg überführtwerden mit statistischen Eigenschaftenwg ∼ N (0, σ2I).

Mit Hilfe von

Cov {wg} = E{wg wg

T}

= E{Awc (Awc)

T}

= AE{wcw

Tc

}AT (A.7)

folgt

Aσ2CAT =! σ2 I (A.8)

Anhang A: Transformation einer normalverteilten Zufallsvariablen 128

bzw.

ATACATA = ATA . (A.9)

Daraus folgt die BeziehungATAC = I und schließlich

[C]−1 = AT A . (A.10)

Eine Eigenwertzerlegung von[C]−1, z.B. in MATLAB realisiert durch den Befehl„ [V,D] = eig([C]−1)“ liefert

[C]−1 V = VD , (A.11)

woraus sich

[C]−1 = VDVT =(√

DVT)T (√

DVT)

(A.12)

ergibt.

Die Transformationsvorschrift zur Überführung vonwc mit statistischen Eigenschaftenwc ∼ N (0, σ2C) nachwg mit statistischen Eigenschaftenwg ∼ N (0, σ2I) lautet dem-nach

wg =√

DVT wc . (A.13)

Anhang B

Separation desKorrelationskoeffizienten

Im folgenden wird hergeleitet, dass der Korrelationskoeffizient ρ(τ) aus Gl. (3.9) sepa-rierbar ist, wenn für die Punktbildfunktionh(x, y, t) und die Impulsantwort des Gewebesf(x, y, t) aus Kap. 2.1.4 angenommen wird, dass

• die Punktbildfunktionh(x, y, t) separierbar ist und

• die Impulsantwort des Gewebesf(x, y, t) durch weißes Rauschen beschrieben wer-den kann.

Betrachtet man das Empfangssignale(x, y, t) aus Gl. (2.13) an einer beliebigen lateralenbzw. elevationalen Positionx1 bzw.y1 zu einem Zeitpunktt1 für eine lokal hervorgerufeneKompressionα1 = 1/(1 − εzz) und vernachlässigt das elektronische Rauschen, so ist

e1(∆x1, ∆y1, t1) =

+∞∫

−∞

+∞∫

−∞

+∞∫

−∞

f(x1, y1, α1τ1)

·h(∆x1 − x1, ∆y1 − y1, t1 − τ1) dx1 dy1 dτ1 . (B.1)

Ebenso gilt für das Empfangssignal an Positionenx2 bzw. y2 zu einem Zeitpunktt2 füreine lokale Kompressionα2

e2(∆x2, ∆y2, t2) =

+∞∫

−∞

+∞∫

−∞

+∞∫

−∞

f(x2, y2, α2τ2)

·h(∆x2 − x2, ∆y2 − y2, t2 − τ2) dx2 dy2 dτ2 . (B.2)

Es wird nun im Hinblick auf eine spätere Berechnung der Auto- bzw. Kreuzkorrelations-funktion der Erwartungswert des Produkts der beiden Empfangssignale gebildet, wobeizur besseren Übersichtlichkeit die Integrationsgrenzen von −∞ bis +∞ weggelassenwerden,

E {e1(∆x1, ∆y1, t1) e2(∆x2, ∆y2, t2)}

= E

{∫∫∫f(x1, y1, α1τ1) h(∆x1 − x1, ∆y1 − y1, t1 − τ1) dx1 dy1 dτ1

·∫∫∫

f(x2, y2, α2τ2) h(∆x2 − x2, ∆y2 − y2, t2 − τ2) dx2 dy2 dτ2

}. (B.3)

Eine Vertauschung der Integrationsreihenfolge und die Substitutionenτ ′1 = α1τ1 bzw.

τ ′2 = α2τ2 mit anschließender Umbenennung führen auf

∫∫∫∫∫∫E {f(x1, y1, τ1) f(x2, y2, τ2)}

·hx(∆x1 − x1) hy(∆y1 − y1) ht(t1 − τ1α1

) 1α1

Anhang B: Separation des Korrelationskoef f izienten 130

·hx(∆x2 − x2) hy(∆y2 − y2) ht(t2 − τ2α2

) 1α2

dx1 dy1 dτ1 dx2 dy2 dτ2 . (B.4)

Wird nun angenommen, dass die Impulsantwort des Gewebes durch weißes Rauschenbeschrieben werden kann, d.h. durch einen stationären Prozess mit der Eigenschaft

E {f(x1, y1, τ1) f(x2, y2, τ2)} = S2 δ(x1 − x2) δ(y1 − y2) δ(τ1 − τ2) , (B.5)

dann ergibt sich für den Erwartungswert des Produkts der Empfangssignale

E {e1(∆x1, ∆y1, t1) e2(∆x2, ∆y2, t2)}

=

∫∫∫∫∫∫S2 δ(x1 − x2) hx(∆x1 − x1) hx(∆x2 − x2)

· δ(y1 − y2) hy(∆y1 − y1) hy(∆y2 − y2)

· δ(τ1 − τ2) ht(t1 − τ1α1

) 1α1

ht(t2 − τ2α2

) 1α2

dx1 dy1 dτ1 dx2 dy2 dτ2 . (B.6)

Die Punktbildfunktion aus Gl. (2.14) wird als separierbareFunktion h(x, y, t) =hx(x) hy(y) ht(t) angenommen, so dass sich aus Gl. (B.6)

E {e1(∆x1, ∆y1, t1) e2(∆x2, ∆y2, t2)}

= S2

∫∫∫hx(∆x1 − x2) hx(∆x2 − x2)hy(∆y1 − y2) hy(∆y2 − y2)

·ht(t1 − τ2α1

) 1α1

ht(t2 − τ2α2

) 1α2

dx2 dy2 dτ2

= S2

∫hx(∆x1 − x2) hx(∆x2 − x2) dx2

∫hy(∆y1 − y2) hy(∆y2 − y2) dy2

·∫

ht(t1 − τ2α1

) 1α1

ht(t2 − τ2α2

) 1α2

dτ2 (B.7)

ergibt. Im folgenden wird gezeigt, dass das erste Integral in der obigen Gl. (B.7) nurvon der Differenz∆x = ∆x1 − ∆x2 abhängig ist, wobei die Symmetrie-Eigenschafthx(x) = hx(−x) der Punktbildfunktion aus Gl. (2.14) genutzt wird,

∫hx(∆x1 − x2) hx(∆x2 − x2) dx2

=

∫hx(x) hx(∆x − x) dx = hx ∗

xhx

∣∣x=∆x

. (B.8)

Nach Gl. (2.14) hathx(x) einen gaussförmigen Verlauf, so dass die Fourierbeziehung

hx(x) = exp

[− x2

2 σ2lat

]◦−• Hx(fx) =

√2πσ2

lat exp[−2π2σ2

lat f2x

](B.9)

gilt. Die Faltung in Gl. (B.8) kann durch Multiplikation der Fouriertransformierten imFrequenzbereich und anschließende Rücktransformation ausgeführt werden,

Hx(fx) · Hx(fx) •−◦√

πσ2lat exp

[− x2

4 σ2lat

], (B.10)

so dass sich wieder eine Funktion mit gaußförmigem Verlauf ergibt, allerdings mit einemum den Faktor

√2 größeren Parameterσlat. Das erste Integral in Gl. (B.7) kann demnach

zu

hx(∆x) =

∫hx(∆x1 − x2) hx(∆x2 − x2) dx2 =

√πσ2

lat exp

[− ∆x2

4 σ2lat

](B.11)

Anhang B: Separation des Korrelationskoef f izienten 131

vereinfacht werden. Auf die gleiche Weise kann das zweite Integral in Gl. (B.7) zu

hy(∆y) =

∫hy(∆y1 − y2) hy(∆y2 − y2) dy2 =

√πσ2

elev exp

[− ∆y2

4 σ2elev

](B.12)

mit ∆y = y1 − y2 vereinfacht werden. Das dritte Integral in Gl. (B.7) soll hier nicht näherbesprochen werden,

ht(t1, t2, α1, α2) =

∫ht(t1 − τ2

α1) 1

α1

ht(t2 − τ2α2

) 1α2

dτ2 . (B.13)

Es folgt als Zwischenergebnis für den Erwartungswert des Produkts der Empfangssignale

E {e1(∆x1, ∆y1, t1) e2(∆x2, ∆y2, t2)}= S2 hx(∆x) hy(∆y) ht(t1, t2, α1, α2) . (B.14)

Sei nun e1(∆x1, ∆y1, t) das Empfangssignal vor Kompression mitα1 = 1 unde2(∆x2, ∆y2, t) das Empfangssignal nach Kompression mitα2 = α = 1/(1 − εzz).Der Korrelationskoeffizientρ(τ) aus Gl. (3.9) ergibt sich dann unter Berücksichtigungder Erwartungswertbildung zu

ρ(τ) =

TC/2∫−TC/2

E{e1(∆x1,∆y1,t+τ) e2(∆x2,∆y2,t)}dt

√√√√TC/2∫

−TC/2

E{e1(∆x1,∆y1,t) e1(∆x1,∆y1,t)}dt

√√√√TC/2∫

−TC/2

E{e2(∆x2,∆y2,t) e2(∆x2,∆y2,t)}dt

=

hx(∆x) hy(∆y)TC/2∫

−TC/2

ht(t+τ,t,1,α)dt

hx(0) hy(0)

√√√√TC/2∫

−TC/2

ht(t,t,1,1)dt

√√√√TC/2∫

−TC/2

ht(t,t,α,α)dt

=hx(∆x)

hx(0)· hy(∆y)

hy(0)·

TC/2∫−TC/2

ht(t+τ,t,1,α)dt

√√√√TC/2∫

−TC/2

ht(t,t,1,1)dt

√√√√TC/2∫

−TC/2

ht(t,t,α,α)dt

= ρlat(∆x) · ρelev(∆y) · ρax(τ, εzz) , (B.15)

d.h., dass er separierbar und als Produkt von drei einzelnenKorrelationskoeffizientendarstellbar ist.

Anhang C

Impulsantwort desDehnungs-KQ-Schätzers

Die Matrix A ist gegeben durch

A = [a b] mit a =

1...1

und b =

n0 + 1...

n0 + N

Tτ

Def:= (n0 a+n)Tτ .(C.1)

Es gilt dann

(A

TA

)−1A

T =

[aTa aTbbTa bTb

]−1 [aT

bT

]=

1

aTa bTb − bTa aTb

[bTb −aTb

−bTa aTa

] [aT

bT

].(C.2)

Das Ergebnis ist eine Matrix mitN Spalten und 2 Zeilen, wobei für die Schätzung vonε nur diezweite Zeile von Bedeutung ist. Es soll daher gezeigt werden, dass die zweite Zeile der Matrix ausGl. (C.2) unabhängig vonn0 und damitn0a ist, wobei folgende Beziehungen genutzt werden

aTa = N (C.3)

nTa = naT = 1/2 N (N + 1) (C.4)

aTb = bTa = (N n0 + 1/2 N (N + 1)) Tτ (C.5)

bTb = (n0 aT + nT)(n0 a + n)T 2τ

=(n2

0 N + n0 N (N + 1) + nTn)

T 2τ (C.6)

nTn =1

6N (N + 1) (2N + 1) . (C.7)

Die Determinante in (C.2) ergibt sich zu

aTa bTb − bTa aTb = (n20 N2 + N2 n0 (N + 1) + nTn N − [N n0 + 1/2 N (N + 1)]2)T 2

τ

=

(1

6N2 (N + 1) (2N + 1) − 1/4 N2 (N + 1)2

)T 2

τ

=1

12N2(N2 − 1)T 2

τ , (C.8)

und für die zweite Zeile in (C.2) erhält man

−bTa aT + aTa bT = (−N n0 aT − 1/2 N (N + 1) aT + N (n0 aT + nT))Tτ

= (N (nT − N + 1

2aT))Tτ

=N

2(2nT − N − 1)Tτ . (C.9)

Zum einen ist dadurch gezeigt, dass die Schätzung vonε durch die Methode der Kleinsten Qua-drate nicht abhängig ist vonn0 bzw. der Position, an der geschätzt wird. Zum anderen kann dieKQ-Schätzung als FIR-Filter implementiert werden, dessen Impulsantwort nach Gl. (C.9) einepunktsymmetrische Rampe ist.

Anhang D

Gauß-Puls: Pulsbreite↔ Bandbreite

Es gilt die Fourierbeziehung

exp(−α t2

)◦−•

√π

αexp

(− ω2

4 α

)(D.1)

und damit

exp

(−t2

2 σ2

)◦−•

√2 πσ2 exp

(−2 π2σ2f2

)(D.2)

mit ω = 2π f .

Die PulsbreiteP (engl.:FWHM) ist im Zeit- bzw. Ortsbereich definiert. Es ist der Bereich, in demein gaußförmiger Puls größer als die Hälfte des Maximums ist, d.h.P = 2 t1/2 mit

exp

(−t21/2

2 σ2

)!= 0,5 ⇔ t1/2 =

√2 ln 2σ (D.3)

⇒ P = FWHM = 2 ·√

2 ln 2σ ≈ 2,3548 σ . (D.4)

Die BandbreiteB ist im Frequenzbereich definiert. Es ist der Bereich, in dem das Spektrum größerals die Hälfte des Maximums(B6dB) oder als einem Zehntel des Maximums(B20dB) ist, d.h.

exp(−2 π2σ2f2

) != 0,5 für f =

B6dB

2(D.5)

bzw.

exp(−2 π2σ2f2

) != 0,1 für f =

B20dB

2(D.6)

Damit ergibt sich folgender Zusammenhang zwischenσ und der Bandbreite,

σ =

√2 ln 2

π B6dB=

√2 ln 10

π B20dB. (D.7)

Betrachtet man die Leistung eines Signales mit gaußförmigem Spektrum, so ist∞∫

−∞

(exp

(−2 π2σ2f2

))2df =

1

2√

πσ=

√π B6dB

2√

2 ln 2≈ 0,75 B6dB (D.8)

die äquivalente Bandbreite eines Signals mit einem rechteckförmigen Spektrum.

Danksagung

Diese Arbeit ist im Rahmen meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehr-

stuhl für Hochfrequenztechnik der Ruhr-Universität Bochum bzw. als Mitarbeiter des

Kompetenzzentrums Medizintechnik Ruhr (KMR Bochum) entstanden.

Ich möchte mich bei allen Kollegen, Mitarbeitern und Studenten des Instituts bedanken,

die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Den Mitarbeitern der mechanischen

und elektrischen Werkstätten danke ich für die vielfältigepraktische Unterstützung mei-

nes Vorhabens. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. H. Ermert für die Über-

lassung des Themas und die Betreuung der Arbeit. Herrn Prof. Dr.-Ing. J. F. Böhme danke

ich für die vielfältigen Anregungen während meines Studiums sowie die Übernahme des

Korreferats und Herrn Prof. Dr.-Ing. G. Schmitz ebenfalls für die Übernahme des Korre-

ferats.

Lebenslauf

Name: Karsten Mark HiltawskyGeburtsdatum und -ort: 12. August 1974 in LemgoStaatsangehörigkeit: deutschFamilienstand: ledigKonfession: römisch-katholisch

Schulbesuch:08/1980–07/1984 Heide-Grundschule/ Schwerte08/1984–06/1993 Ruhrtal-Gymnasium/ Schwerte mit Abschluss Abitur

Studium:Elektrotechnik:Wintersemester 1993 Studienbeginn an der Ruhr-UniversitätBochum10/1995 Vordiplom Elektrotechnik08/1996–05/1997 Studienaufenthalt an der Purdue-University/ USA

durch Stipendium des DAAD04/1998 Abschluß Diplom-Ingenieur ElektrotechnikMedizin:Wintersemester 1993 Studienbeginn an der Ruhr-UniversitätBochum09/1995 Ärztliche Vorprüfung09/1996 1. Staatsexamen Medizin09/1999 2. Staatsexamen Medizin10/1999-10/2000 Praktisches Jahr in Bochum und Zürich10/2000 3. Staatsexamen Medizin12/2001 Medizinische Promotion12/2002 Erteilung der ärztlichen Voll-Approbation

Stipendien und Preise:seit 11/1995 Stipendiat der Studienstiftung des deutschenVolkes03/1997 Förderpreis der Stiftung Familie Klee10/1998 Stipendium der Esser-Stiftung

Berufliche Tätigkeit:10/2000-04/2004 Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Hochfrequenztechnik

der Ruhr-Universität Bochumseit 04/2004 Angestellter am GE Forschungszentrum Garching

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Analyse und Optimierung von Abbildungseigenschaften der ... · zu nennen, mit dessen Hilfe die Morphologie des untersuchten Gewebes dargestellt wird. Allerdings zeigt dieses Verfahren