TECHNISCHE MECHANIK 5(1984)Heft2

Manuskripteingangz3. 7.1983

Zu einigen Problemen der numerischen Behandlung von auf

räumlichen Flächen angeordneter Meßwerte

(dargestth am Beispiel der Hitzdrahtmeßtechnik unter Verwendung von ‚Schrägdrahtsonden in einer räumlichen

Strömung)

Gerhard Hennig

Aufgabenstellung

Bei verschiedenen Prozessen, bei der Untersuchung tech-

nischer und physikalischer Erscheinungen und technolo—

gischer Vorgänge, treten Datenmengen auf, die sich auf

räumlichen Flächen über einer Basis von zwei orthogonal

zueinander orientierten Größen anordnen. Sie lassen sich

allgemein beschreiben als Funktionen u = f(x, y) dieser

beiden Koordinaten.

Die Interpolation von Zwischenwerten ist bei der nume—

rischen Behandlung zu lösen. Die Lösung wird in vielen

Fällen dadurch erschwert, daß die genannten Daten mit

Unsicherheiten, Fehlern behaftet sind. An dieser Stelle

wird vorausgesetzt, dal3 diese stochastisch sind.

Einige Fragen, die sich mit der rechnerischen Behand-

lung solcher Datenmengen ergeben, sollen am Beispiel

der Auswertung von Hitzdrahtmessungen mit Hilfe einer

Schrägdrahtsonde in einer räumlichen Strömung erläu-

tert werden. Die zufallsbedingten Abweichungen der

Daten sind in diesem Fall die Meßfehler.

Die auftretenden Probleme der numerischen Bearbei-

tung der Meßwerte sind allgemeiner Natur und nicht an

das zur Erläuterung der Problemstellung und der Be—

schreibung der Lösungsmethode gewählte Beispiel ge—

bunden.

Einige Beziehungen der Hitzdrahtmeßtechnik

Die Ausgangsspannung eines Konstanttemperaturanemow

meters ist eine Funktion der Anströmgeschwindigkeit

am llitzdraht nach der Gleichung E2 = Eä + Kv“,

webei E0 — das Ausgangssignal am Anemometer der be—

heizten, nicht angeströmten (v = l3) Sonde, K eine Kon-

stante und n z OAS der Exponent der Funktion sein

sollen.

Die Anströmgeschwindigkeit ist als Vektor durch die

drei Komponenten in einem kartesischen Koordinaten-

3

system xi, i = 1,2,3 beschrieben, so deli V Z /2 v.2 ist.

i=1 1

Durch die Richtungsempfindlichkeit des Hitzdrahtes ge-

hen die Komponenten der Anströmgeschwindigkeit

nicht mit ihren Beträgen in die Gleichung ein, sondern

mit Gewichten, den Koeffizienten der Richtungsem-

pfindlichkeit. Die in Gleichung (1) angegebene Ge-

schwindigkeit ist deshalb als effektive (im Sinne des

Wärmeüberganges am Hitzdraht) anzusehen.

10

Die Gleichung (1) wird umgeformt zu

E2 _ E2 2/11

n : > : v2

Die effektive Anströmgeschwindigkeit ist in einem son—

denbezogenen Koordinatensystem ausgedrückt. Die zu

ermittelnden Strömungsgrößen {q sind in einem mit der

Versuchseinrichtung fest verbundenen System beschrie-

ben.

Der funktionelle Zusammenhang mit den effektiven

Größen wird durch die Transformationsmatrix aij ver-

mittelt, so daß schließlich V; = kiaij iij, mit ki den Koef-

fizienten der Richtungsempfindlichkeit, erhalten wird.

Gleichung (2) erhält damit die Form (in Matrizen-

schreibweise)

n z irTaTkQ a); (3)

k2 ist eine Diagonalmatrix. Die Linearkombinationen

der drei Geschwindigkeitskomponenten stellen wegen

ihrer Symmetrie sechs Unbekannte dar. Zur Lösung ist

ein System von mindestens sechs Gleichungen notwen-

dig. Es wird erhalten durch Messungen bei verschiede-

ner Stellung der Hitzdrahtsonde. Hier soll vorausgesetzt

werden, dal3 nur Drehungen der Sonde um ihre Achse

um den Drehwinkel go möglich sind. Die Anströmrich-

l'nng ist in ihrer Lage zum Hitzdraht durch die Einfüh—

eines zweiten Winkels, des Schwenkwinkels e der

Sonde, vollständig festgelegt. Die eingeführten Bezeich—

nungen sind in Bild 1 dargestellt.

Die Sonde wird kalibriert im Bereich — 90° S. ap ~<\ + 90°

und 60° < e < 135°. Eine Äquidistanz der Winkelwerte

«pi und ej ist für eine spätere Auswertung nicht Vorausm

setzung, wird aber in der Praxis meist eingehalten.

lm Ergebnis des Kalibrierens liegt eine Menge von 1133

(im, 63') Meßwerten vor, die sich über der rechteckigen

Basis «pi, i: l . . , n und 61', = l, . . , m auf einer räumn

lichen Fläche wie im Bild 2 anordnen. Die Koeffizien-

ten der Richtungsempfindlichkeiten liegen ebenfalls als

Funktionen von g0 und e auf zugeordneten räumlichen

Flächen.

Meßwerte würden nach der getroffenen Voraussetiung

auf Linien e = konst. der Kalibrierflächen liegen, wobei

der Wert des Schwenkwinkels e zunächst unbekannt ist.

Alle Werte bei Kalibrieren und Messen sind vorausset-

zungsgemäß mit stochastischen Fehlern behaftet.

Als Aufgabe bei der numerischen Bearbeitung der Mes—

sung läfit sich nach den bisherigen Ausführungen formu-

lieren:

Bild l

Lagebeziehungen der verwendeten Koordinatensysteme bei der

HDS mit schrägem Draht

„9‘ u I I

15 3b 45 60°75

lfl———

‘T I l l l

-75°eo -1.5 -3o -15

Bild 2

Kalibrierfläche 120p, 6) der Schrägdrahtsonde

Die bei Kalibrieren und Messen gewonnenen Werte sol—

len durch möglichst glatte Flächen und Kurven appro-

ximiert werden. Durch die Fehler der Werte ist zu for-

dem7 dal3 die Approximation ausgleichend geschieht.

Die Werte der Messung liegen auf Kurven E : konst. auf

der Kalibrierfläche. Die genaue Lage in up und 6 mulä

durch Suchen des Minimums des Abstandes der Folge

von Meßpunkten von der Kalibrierfläche gefunden

werden.

Die Aufgabe umfaßt damit die Approximation mit der

Beschreibung der räumlichen Fläche, das Ausgleichen

der Werte und das Interpolieren auf der Fläche.

Für die Approximation und Speicherung der Daten der

räumlichen Fläche in der Rechenmaschine mit dem Ziel

einer schnellen und genauen Interpolation wird eine

‘intervallweise Beschreibung durch Polynome gewählt.

Die Nebenbedingung, dal3 erste und zweite Ableitung

im ganzen betrachteten Bereich stetig sein sollen, führt

auf Polynome mindestens dritten Grades, im besonderen

auf kubische Splinefunktionen.

Für kubische Splinefunktionen f(x) gilt, daß sie unter

allen zweimal stetig differenzierbaren Funktionen (‚0(X)

mit go(xi) 1 gi ausgezeichnet sind durch

Xn xn

j f"(x)2 dx < / ¢"(X)2 dx für den Bereich x1, . . xn

X1 X1

Die Splinefunktionen zeichnen sich also durch geringe

Welligkeit und hohe Glätte aus. Die Stützstellenwerte gi,

i = 1, . . ‚ n sollen durch Meßwerte repräsentiert werden.

Die Variationsaufgabe liefert als Lösung Polynome vom

Grad 2u-1 mit u = 2.

4

fog) er]. (x—xir-l <5)

k=1

Eine Erweiterung der Beziehung (4) zur Beschreibung

von über einem Rechteckbereich x1,. . . ,xn; yj ‚ . ‚t ‚ym

auf einer räumlichen Fläche liegender Daten (Meßwerte)

u(x‚y) gibt Ritter [l] an.

Es wird dort weiter vorausgesetzt, daß xi< x < xi+1 ,

yj <y<yi+1 und außerdem x1 < . „xi <. ..xn und

y] <...yj . .. < ym sein sollen. In Erweiterung von

(4) existiert das Integral

xn Ym

a4 2

f / g (XvY) > dy dx (6)

Xl y1

und wird zu einem Minimu.

Die Näherungspolynome g(x‚y) sind reelle Funktionen

mit den Eigenschaften

ö r a 82

—— g (x,y)7 -- g (x,y), —— g (x,y) sind absolut stetig,

öx öy ax 3y

82 a3 64

— X9 9 — X9 7 _ xv6X2 g( Y) axgöyn y) 6x2 ayz g( y)

sind absolut stetig für alle X6 [x1, xn] als Funktionen

von y und

a2 33

— x, , ~——— X, undayz g( y) axayz g( y)

34 .. .mg (x,y) fur alle ye [y1, ym] als Funktionen

x

von x.

Die Lösung von (6) führt auf bikubische Splinefunktio-

nen

n m 4 4

u(xi’ y3) Z aijkl (X—Xi)k‘1(Y—Yj)l'1

i=1 =1 k=1 1:1

(7)

In den Lösungen ist in beiden Fällen eine modifizierte

Potenzfunktion eingeführt (truncated power function),

auch als abgeschnittene Potenzfunktion (Böhmer

bezeichnet, mit

:—

11

(x—xili‘le—yj),L

Anstelle von (x—xfil:1 und (y—yi):1 können auch ande—

re Polynome dritten Grades verwendet werden.

Für einen kubischen Splineansatz ergibt das die Form

f(xi) Z aig1(xi) + big2 (Xi) + Cig3 (Xi) + digzi (Xi) (9)

Die Koeffizienten müssen hierbei als Funktionen von f1

und {Iii oder auch fi und ausdrüekbar sein, was gewähr-

leistet ist, wenn

gi (Xi) g2 (Xi) g3 (Xi) g4 (Xi)

det gi’ (xi+1) g%(xi+1) g§(xi+1) gz:(xi+1) i O

g1 (xi) g2 (xi) g3 (Xi) g4 (xi)

gi’ (Xi+1) 8,2, (Km) 5g (Km) 51 (Km)

(10)

oder det i O mit g' anstelle von g". Die Ansätze

sind um so günstiger je einfacher die Determinante auf-

lösbar ist.

Späth [3] gibt dazu eine Reihe von möglichen Ansätzen

an. Zur Errechnung der Koeffizienten in den Gleichun-

gen (5) und (7) werden die Ableitungen der Funktion

mit herangezogen, die mit den sich aus der Stetigkeit der

Funktionen und ihrer ersten und zweiten Ableitung im

gesamten betrachteten Bereich mit

£1(3‘i+1 —Xi) = fi+1 (0)vf{(xi+1 _Xi) = fi+1(0) und

fa, (Xi+1 ~Xi) Z fi'+1(0)

für kubische Splines die erforderlichen Beziehungen lie-

fern. Bei bikubischen Splines werden die Gleichungen für

vier Maschenpunkte P1 (i,j), P2 (i+l,j), P3 (i,j+1),

P4 (i+l,j+1) aus den Daten u(x,y) und ihren Ableitun-

gen ux (x, y), uy (x,y) und uxy (x, y) erhalten. Die

Koeffizienten aijkl werden aus dem Gleichungssystem

“ij qij um+1 qu+1 1 0

Pij rij Pi,j+1 ri,j+1 0 ~1

11i+1,j qi+1,j ui+l,j+l qi+1,j+1 1 hi

-\Pi+1,j l'i+l,j Pi+1,j+1 ri+1,j+1_ 0 1

errechnet. Hierbei ist ux = p, uy = q, uxy = r; hi = xi+ 1 —— xi

all . .314

kj=Yj+1 —yj- Ar =a41..a4,4

bikubischen Splinekoeffizienten.

> ist die Matrix der

Zur Berechnung ist die Vorgabe von Werten erforder-

lich, meist für y" (1) = 0 und y (N) = 0 bei kubischen

Splines und

a2

6—2 g (x,y) = 0 für x < x1 oder x 2 xn und alle y

x

F1 = a2

— (x, )= 0 für < y1 oder y 2 ym und alle xayz g y y

12

1,1 _ J (X—‘xi)k'1(y—yj)l-1 für x > xi und y > yj (iil, . . . ,n~l)

O für X < xi und/oder y < yj mit k,l 2 1,2,374

(8)

bei bikubischen Splines. Es lassen sich aber auch je nach

den Forderungen der Aufgabenstellung andere Rand-

werte für die zweite oder erste Ableitung einführen.

Splineausgleichverfahren

In vielen Fällen der Anwendung von Splinefunktionen

sind die zu approximierenden Werte mit stochastischen

Fehlern behaftet, so daß es sinnlos ist, eine Darstellung

mit exakter Beschreibung der Stützstellenwerte vorzu-

nehmen. Es ist vielmehr eine ausgleichende Kurve mit

kubischen bzw. eine ausgleichende Fläche mit bikubi-

schen Splinefunktionen durch sie hindurchzulegen.

Die Minimalbedingung (4) nimmt jetzt die Form

xn II ‘ n i

(1—p) f (f <x>>2dx + p: ($3? » Min (de 3004413“

x1 i:1 ‘

(13>

Die Minimierung von (l3) ist ein Kompromiß zwischen

dem Wunsch, sich eng an die gegebenen Daten zu halten

und andererseits eine glatte Funktion zu bekommen.

Durch die Wahl von p (pefO, 1]) wird bestimmt, wel-

chem der beiden Ziele die größere Bedeutung zuge-

messen wird.

Die Ordinaten der kubischen Splinefunktionen werden

so bestimmt, daß die Differenzen gi—fi proportional den

Sprüngen der dritten Ableitungen in den Stützstellen

xi(i:1, . . . , n) sind.

1 0 1 0

(AU) 0 1 kj l

i t" 0 0 If 2k,-

i 0 0 k133ka

(11)

(12)

Spätb [3] führt folgende Beziehung dafür ein,

Pi(gi—fg) = fiW(Xi) —— f‘l’l (xi) (i=2, . . . , n—l) (14)

mit pi > 0 als Gewichten. Gelöst werden mulä das

System

Hf" x 5* Kf x = 0f > < > (15)—KTf (x) + Df(x) Z Du

um die Koeffizienten der kubischen Splinefunktionen

zu berechnen.

1 l l i

Eine Zeile von K ist 7 (v + _ _ _

i hi hi+1 hi+1

1 l 1

eine Zeile von H ist 6 hi g (hi + hi+1) g hi+1 ,

D ist die Diagonalmatrix der Gewichte pi.

Die Koeffizientenmatrix des Systems ist H K) '

KT D

Die Lösung «erfolgt durch Blockunterrelaxation. Der

Relaxationsfaktor ergibt sich aus der Beziehung

2

w =„um (16)

1+\/l+p(H-1KD—1 KT

mit dem Spektralradius pK = max / )xi / , dem maxima-

i=1,2,..n

len Eigenwert von K.

Zweidimensionaler Ausgleichspline, Splineaus-

gleich

Der Ansatz zur Berechnung eines zweidimensionalen

Ausgleichsplines wird durch Verallgemeinern der L2-

Approximation mit kubischen Splinefunktionen erhal-

ten. Es wird wie in der Bedingung (l4) angenommen,

daß die Ordinatendifferenzen proportional dem Sprung

in den dritten Ableitungen in den Stützstellen sein sollen

(“QC _)_ ij ): Öögi.1,j.1(xi‚yj) _ Öögiflxsyj)

q l’yJ all 6x3 öy3 3x3 Öy3

(17)

Die Beziehung (13) wird jetzt zu

xn Ym 2

n a4g(xi‚Yj)J-(l-q)f f deX+

xl Yl

n m u (xi,y~) — aij

+ (I: Z ———-——-J11 " Min

Buij

i=1 j=1

<18)

Für die praktische Rechnung wird ein Weg gegangen, der

insbesondere die Eigenschaften des linearen Funktionen-

raums benutzt, in dem alle bisher dargestellten Ausfüh-

rungen durchgeführt wurden.

Berechnung bikubischer interpolierender und ausglei—

chender Splinefunktionen mit Hilfe des allgemeinen Pro-

dukts (Tensorprodukt)

Die kubischen Splinefunktionen sind ein Unterraum der

Hermiteschen kubischen Funktionen. Die Eigenschaft

der Linearität erlaubt es, bei der Berechnung der biku-

bischen Splinekoeffizienten aijkj die Rechenprogramme

für die kubischen Splinekoeffizienten zu verwenden. Da-

durch kann erheblich an Rechenzeit und Speicherplatz

gespart werden.

Benutzt wird der lineare Raum chak (x y) der reellen

Funktionen zweier Variabler über einem Rechteckbe-

reich x x y : [3, b] x [c‚ d}, die alle stetige partielle Ab-

8”}

öxi öyi

leitungen mit i < h undj < k besitzen.

Es ist U = Ph ein linearer Raum von Polynomen der Ord-

nung h, die reellen Funktionen von X e R und gleicher-

maßen V 2 Pk der lineare Baum der Polynome der 0rd-

nung k, die Funktionen von Y 6 R sind. Dann ist U x V

der lineare Raum Phi: aller Polynome von zwei Variab-

len des Grades < h der Variablen X und < k der Variab-

len Y.

Bei der Bildung eines Tensorproduktsplines W 6 U x V

im Punkt (a, b] seien U : Sh,s und V = 8k; zwei speziel—

le lineare Räume der Splinefunktionen der Ordnungh

und k und der Stützstellenfolgen s und t.

Es ist W = aij Bij für eine Koeffizientenmatrix (aij)

l]

und fiir Bü(x‚y) I Bi’h‚s(x)° Bunt (y), dem Tensor-

oder Kroneckerprodukt der eindimensionalen Basis—

splinefunktion Bi,h‚s und BU”.

Es wird gerechnet

w(a,h): t aÜBJ-‚k‚t(b)) Bi‚h‚s(a):>\w„ (19)

1 j

oder

w(a‚ b) : aij BU” (a)) Bum (b) 3 M W Ä (20)

j i

mit den linearen Funktionalen Ä = [a] und u = [b]

In der praktischen Durchfiihrung berechnet ein Spline—

unterprogramm für f e Sh,S die Zahlen Cij(f)(i'1) (Xi),

i=1,..,h als Polynomialkoeffizienten von f im Inter-

vallj (Xj, Xj+1)‚ j: 1,. .. ‚n für die Stützstellenfolge

(Xi)?+1.

Das gleiche Unterprogramm rechnet auch für die Stütz-

stellenfolge (Y)'1n+1 für g e Ski die Zahlen Cij (g) = g(i'1)

(Yj'l)‚i:1,..‚kundj:l,.m.

Das Tensorprodukt W 6 Sh,s® Sk’t besteht danach aus

— den ganzen Zahlen n‚h und m,k7 die die Nummer der

Polynomstücke und den Grad jeder Variablen ange-

ben,

— den beiden Folgen xi(i = l, . . . ,n+1) und yi(i= 1,

.. ‚m+l) der Stützstellen in jeder Variablen7 die ein

rechteckiges Gitter bilden, . _

_ dem vierdimensionalen Feld Cifij’p’q(W) = D;1

W<Xp+ m?) (21>

fiiri= 1,..,h;j = l...‚k;p: l,..‚n;q: 1,..‚m, das

aus der Rechenregel C Ln,” (f ® g) 2 Ci", (f) CLq (g)

für jedes f ® g e Skit erhalten wird.

- (Xi—1)

Hierbei ist 13:1 ”" die i—l-te partielle Ableitung

13

nach x, das Entsprechende gilt für l

Das Berechnen der Splinekoeffizienten Ciqu geschieht

durch den zweimaligen Aufruf des Unterprogramms zur

Bestimmung kubischer Splinefunktionen, zuerst zur In—

terpolation in x-Richtung Cip für jede Spalte q, danach

in y-Richtung, um die sechzehn Koeffizienten der biku-

bischen Splinefunktion Ciqu für jeden Punkt (pq) zu

erhalten.

Das FORTRAN-Hauptprogramm lautet an dieser Stelle

N1:N—1

ÄDO 1 J:1,M

1 CALL KUBSPL (X, c3, COEF, N,J, 1,1,1)

'DO 2 1:1,N1

DO 2 K : 1,4

2 C3 (I, J, K) = COEF (I, J, K, 1)

D0 3 I: 1, N1

D0 3 1K = 1,4

3 CALL KUBSPL (Y, C3, COEF, M, I, 1K, 1,2)

Voraussetzung für die Anwendung der Tensorprodukt-

bildung ist, daß die Stützstellenwerte auf den Maschen—

punkten eines Rechteckgitters in x— und y—Richtung an-

geordnet sind.

Approximation auf der Fläche

Bei der Konstruktion eines ausgleichenden zweidimen-

sionalen Splines kann ebenfalls die allgemeine Produkt-

bildung angwandt werden, da die angeführten Approxi-

mationsmethoden lineare Ausgleichsprozesse darstellen.

Es ist wie bei dem angeführten Programmteil zweimal

das entsprechende eindimensionale Ausgleichsplinepro—

gramm aufzurufen.

LITERATUR

[1] Ritter, K.: Two Dimensional Splines and their Extremal

Properties. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und

Mechanik, Bd. 49 (1969) Heft 10, S. 597 — 608.

[2] Böhmer,: Spline—Funktionen B.G‚ Teubner Stuttgart.

[3] Späth,H.: Späne-Algorithmen zur Konstruktion glatter

Kurven und Flächen. Oldenburg-Verlag, München 1978.

[4] de Boor, C.: A Practical Guide to Splines, Springer New

York 1978

Anschrift des Verfassers:

DL—Ing. Gerhard Hennig

Technische Hochschule Otto von Guericke

Sektion Dieselmotoren, Pumpen und

Verdichter

3010 Magdeburg

PSF 124

14