1.3 Anordnungsaxiome

1.3.1 Definition

Ein Körper K heißt angeordneter Körper (AK), wenn in K eine Kleiner-Relation

(in Zeichen: < ) definiert ist, welche die folgenden Axiome erfüllt:

(A1) Für ,x y K∈ gilt genau eine der folgenden Aussagen:

, ,x y x y y x= < < . [Trichotomie]

(A2) Für alle , ,x y z K∈ gilt:

Falls x y< und y z< , folgt x z< . [Transitivität]

(A3) Für alle , ,x y z K∈ gilt:

Falls x y< , gilt x z y z+ < + . [Monotoniegesetz zu „ + “]

(A4) Für alle , ,x y z K∈ gilt:

Falls x y< und 0 z< , gilt: x z y z⋅ < ⋅ . [Monotoniegesetzt zu „ ⋅ “]

Bemerkung: Seien und x y x, y Elemente eines angeordneten Körpers. Schreibweisen:

y x> bedeutet x y< , x y≤ bedeutet x y< oder x y= .

1.3.2 Beispiele

Angeordneter Körper: ℚ

Keine angeordneten Körper: 2R , ℂ

1.3.3 Rechenregeln

(a) Für alle ,x y K∈ gilt: Ist x y≤ und y x≤ , so ist x y= .

(b) Ist x K∈ und 0x > , folgt 0x− < . (1)

Ist x K∈ und 0x < , folgt 0x− > . (2)

(c) Für alle ,x y K∈ gilt: 0x y y x< ⇔ < − .

(d) Für alle , ,x y c K∈ gilt: 0x y c x c y c< ∧ < ⇒ ⋅ > ⋅ .

(e) Für , 0 ,x K x∈ ≠ gilt 2 0x > .

Folgerung: Ist K ein angeordneter Körper, so ist das neutrale Element 1 bezüglich „ ⋅ “

stets positiv.

(f) Für , 0 ,x K x∈ ≠ gilt:

(1) 1

0 0xx

> ⇒ > , (2) 1

0 0xx

< ⇒ < .

Beweis:

Zu (a): x y≤ bedeutet: x y< oder x y= .

y x≤ bedeutet: y x< oder x y= .

Nach (A1) gilt nur eine der Beziehungen x < y, x = y, y < x .

Also muss gelten: x = y.

Zu (b): Wir beweisen nur Aussage (1).

Wir haben x∈ K und x > 0 . Wegen (K1) existiert zu x das inverse Element − x . Dann:

( ) ( ) ( )( 3)

0 0 0A

x x x x x> ⇒ + − > + − ⇒ > − .

Zu (c):

(1) ( ) ( ) ( )0x y x x y x y x y x< ⇒ + − < + − ⇒ < + − = − .

(2) ( ) ( )( )( 3)

0 0A

y x y x x y x x< − ⇔ < + − ⇒ < + − +

( )( ) 0x y x x x y x y⇒ < + − + ⇒ < + ⇒ <

Zu (d): Da 0c < , folgt mit Aussage (b) 0c− > . Dann gilt:

( ) ( )( 4) Regel

0A

x y c x c y c x c y c< ∧ < − ⇒ ⋅ − < ⋅ − ⇔ − ⋅ < − ⋅

( ) ( )( 3)A

x c x c y c y c x c y c y c x c⇒ − ⋅ + ⋅ + ⋅ < − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ < ⋅ .

Zu (e):

Fall 1: a > 0 . [Sei zur Benutzung von (A4) 0 , ,x y a z a= = = .]

Dann hat man wegen (A4) 0 a a a⋅ < ⋅ .

Da 0 0a⋅ = (Satz 1.2.4) , folgt 20 a< .

Fall 2: a < 0 . [Sei zur Benutzung von Aussage (d) , 0 ,x a y c a= = = .]

Dann hat man wegen Aussage (d) 0a a a⋅ > ⋅ .

Da 0 0a⋅ = (Satz 1.2.4) , folgt 2 0a > .

Zu (f): Wir beweisen nur Aussage (1).

Beweisidee: Wir zeigen, dass 1

0x

= und 1

0x

< unmöglich sind.

Dann ergibt sich die Aussage mit (A1).

Eigentlicher Beweis:

Da x > 0 , existiert das Element 1 1x

x

−= und es gilt

11x

x⋅ = .

Wegen Aussage (e) gilt: 1 = 21 > 0 . Also

10x

x⋅ > . (∗ )

• Annahme: 1

0x

< . Nach Voraussetzung ist 0x > .

Wir haben x0 < und 1

0x

< . Mit (d) folgt: 1

0 xx

> ⋅ . ( I )

• Annahme: 1

0x

= . Wegen Satz 1.2.4 folgt: 1

0xx

⋅ = . ( II )

Die Gleichungen ( I ), ( II ) bilden jeweils einen Widerspruch zu (∗ ) .

1.3.4 Definition (Absolutbetrag)

Sei K ein angeordneter Körper und sei x K∈ . Wir setzen: , falls

, falls

x xx

x x

≥ 0=

− < 0

1.3.5 Satz

Sei K ein angeordneter Körper. Seien ,x y K∈ . Dann gilt:

(a) 0x ≥

(b) 0 0x x= ⇔ =

(c) x x− =

(d) x x≤

(e) x y x y⋅ = ⋅

(f) x x

y y= für 0y ≠

(g) x y x y+ ≤ + (Dreiecksungleichung)

Beweis: Vorlesung & Übungsblatt

1.3.6 Satz

Sei K ein angeordneter Körper. Seien ,x y K∈ . Dann gilt:

(a) x y x y+ ≥ −

(b) x y x y− ≥ −

Beweis:

Zu (a): Es ist ( )( )x x y y= + + − . dann gilt:

( ))( ( ) ( )(1) (2)

x x y y x y y x y y x y y= + + − = + + − ≤ + + − = + + .

(1): Dreiecksungleichung ; (2) Satz 1.3.5 , Teil (c) .

Damit folgt: x y x y+ ≥ − .

Zu (b): Es ist ( )( )x x y y= + − + , Dann gilt:

( )( ) ( )( )x x y y x y y x y y= + − + = + − + ≤ − + .

Damit folgt: x y x y− ≥ − .

1.3.7 Satz

Sei K ein angeordneter Körper, seien , ,x a m K∈ , gelte 0a > .

Dann gilt: x m a m a x m a− ≤ ⇒ − ≤ ≤ + .