Aufgaben zum Stirlingschen Kreisprozess

212. Ein Stirling-Motor arbeite mit 50 g Luft ( 1M 30g mol−= ⋅ )zwischen den Temperaturen

1T 350 C= ° und 3T 50 C= ° sowie den Volumina 31V 2000cm= und 3

2V 5000cm= .

a) Skizzieren Sie das V-p-Diagramm des Stirling-Motors. Erklären Sie seine Arbeitsweise anhand der Skizze und des Arbeitsdiagramms unter Nutzung des 1. Hauptsatzes der Thermodynamik. b) Berechnen Sie für die vier Zustände die Drücke und stellen Sie den Kreisprozess qualitativ in einem V-T- sowie einem T-p-Diagramm grafisch dar. c) Berechnen Sie für einen Durchlauf die Änderung der inneren Energie, die mechanische Arbeit und die Wärme. d) Zeigen Sie, dass sich für diesen Kreisprozess der thermodynamische Wirkungsgrad nach

der Beziehung 3

1

T1

Tη= − ergibt und bestimmen Sie ihn.

213. Eine abgeschlossene Gasmenge ist im Anfangszustand durch folgende Größen gekennzeichnet:

31

1

1

V 150cm

p 232kPa

T 247K

=

=

=

Beim Stirlingschen Kreisprozess werden von dem Gas nacheinander folgende Zustandsänderungen durchlaufen: - isochore Erwärmung um 40 K - isotherme Expansion auf 290cm³ - isochore Abkühlung auf die Anfangstemperatur - isotherme Kompression auf den Anfangszustand a) Ermitteln Sie Druck, Volumen und Temperatur nach jeder Zustandsänderung. b) Zeichnen Sie ein V-p-Diagramm für diesen Kreisprozess. Berechnen Sie für jede isotherme Zustandsänderung mindestens zwei weitere Wertepaare. c) Entscheiden Sie, ob nach Abschluss des Kreisprozesses das System insgesamt Arbeit abgegeben oder aufgenommen hat. Begründen Sie Ihre Antwort. d) Bestimmen Sie diese Arbeit. e) Wie groß ist der thermische Wirkungsgrad dieses Prozesses? Geben Sie eine Möglichkeit an, den Wirkungsgrad zu vergrößern.

Lösungen 212.

1-2: isotherme Expansion: Die Luft wird erwärmt und dehnt sich aus. Der Arbeitskolben bewegt sich nach oben. Da die Kurbelwelle für den Verdrängungskolben im oberen Teil ist, bewegt sich dieser praktisch nicht. Die Luft verrichtet Arbeit. Die dafür notwendige Energie wird durch die Erwärmung zugeführt. Da sie sich gleichzeitig ausdehnt, ändert sich die Temperatur nicht.

VU Q W∆ = + Da die Temperatur konstant bleibt, ändert sich die innerer Energie nicht. Es gilt also

U 0∆ = und damit kann schreiben:

12

12

12 V

12 V

0 Q W

Q W

= +

= −

Die dem System zugeführte Wärme (positiv) wird als Arbeit vom Motor abgegeben (negativ).

2-3: isochore Abkühlung: Der Arbeitskolben befindet sich im oberen Umkehrpunkt und bewegt sich praktisch nicht. Damit bleibt das Volumen konstant. Der Verdrängungskolben bewegt sich nach unten und schiebt die Luft durch den Zwischenraum zwischen Kolben und Zylinder in den oberen Teil. Dort kühlt die Luft ab.

VU Q W∆ = + Es wird keine Arbeit verrichtet, also ist

23VW 0= . Damit wird

23 23U Q∆ =

Da eine Wärmeabgabe erfolgt, sinkt die innere Energie und damit die Temperatur von T1 auf T2.

Da sich der Arbeitskolben nicht bewegt, wird keine Arbeit verrichtet. 3-4 isotherme Kompression: Auf Grund der Energie des Schwungrades, dass im Bild nicht mit dargestellt ist, bewegt sich der Arbeitskolben jetzt von oben nach unten und drückt die Luft zusammen. Die Luft ist immer noch im kühleren Teil des Verdrängungszylinders und gibt Wärme ab. Die Temperatur bleibt konstant. An der Luft wird Arbeit verrichtet, sie wird zusammengepresst.

VU Q W∆ = + Da die Temperatur konstant bleibt, ist die Änderung der inneren Energie wieder 0.

23

23

23 V

23 V

0 Q W

Q W

= +

= −

Da dass System Wärme abgibt, wird daraus

2323 VQ W− =

Am System wird Arbeit verrichtet.

4-1 isochore Temperaturerhöhung Der Verdrängungskolben bewegt sich nach oben. Die kalte Luft strömt an ihm vorbei in den unteren Teil und wird dort erwärmt. Der Druckt steigt, es wird keine Arbeit verrichtet.

VU Q W∆ = + Die verrichtete Arbeit ist 0, also wird

41 41U Q∆ = Da dem System Wärme zugeführt wird, steigt die innere Energie, also die Temperatur.

Zustand 3 3V in10 m− p inMPa T in K

1 2 4,32 623 2 5 1,73 623 3 5 0,897 323 4 2 2,24 323

1-2: isotherm Für eine isotherme Zustandsänderung gilt:

1 1 2 2p V p V⋅ = ⋅ Die beiden Volumina sind gegeben, aber beide Drücke sind unbekannt. Also muss noch eine zweite Gleichung gefunden werden, damit ein Druck berechnet werden kann. Es gilt weiterhin:

1 1 1

11

1

p V n R T

n R Tp

V

⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅=

n ist die Stoffmenge und für die gilt: m

nM

=

Das kann man nun einsetzen und erhält eine Gleichung für den Druck bei Zustand 1:

11

1

m R Tp

M V

⋅ ⋅=

⋅

Damit kann der Druck berechnet werden: 3 1 1

1 3 1 3 3

1

50 10 kg 8,314J K mol 623Kp

30 10 kg mol 2 10 m

p 4,32MPa

− − −

− − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

und gleich weiter der Druck für Zustand 2:

1 1 2 2

1 12

2

3 3

2 3 3

2

p V p V

p Vp

V

4,32MPa 2 10 mp

5 10 m

p 1,73MPa

−

−

⋅ = ⋅

⋅=

⋅ ⋅=

⋅

=

2-3: isochor Das Volumen bleibt konstant und es gilt:

32

2 3

2 33

2

3

3

pp

T T

p Tp

T

1,73MPa 323Kp

623K

p 0,897MPa

=

⋅=

⋅=

=

3-4: isotherm

3 3 4 4

3 34

4

3 3

4 3 3

4

p V p V

p Vp

V

0,897MPa 5 10 mp

2 10 m

p 2,24MPa

−

−

⋅ = ⋅

⋅=

⋅ ⋅=

⋅

=

V-T-Diagramm

T-p-Diagramm

Da für die beiden isochoren Zustandsänderungen gilt: T p∼ , müssen die beiden Geraden sich im Nullpunkt schneiden! c) Es müssen für alle 4 Änderungen die Größen berechnet werden. 1-2 isotherm: Die Änderung der inneren Energie ist Null. Für eine isotherme Zustandsänderung berechnet sich die Volumenarbeit mit der Gleichung

3

a

V

VV

W pdV= − ∫

Das ergibt

eV

a

VW p V ln

V

= ⋅ ⋅

Da für eine isotherme Änderung das Produkt aus p und V konstant ist, kann man die Werte für Zustand 1 oder Zustand 2 einsetzen:

2V12 1 1

1

3 36 3 3

V12 3 3

V12

VW p V ln

V

5 10 mW 4,32 10 Pa 2 10 m ln

2 10 m

W 7,93kJ

−− −

−

= ⋅ ⋅

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

= −

In Aufgabe a) wurde gezeigt, dass

1212 VQ W= −

Damit wird vom System 7,93 kJ Arbeit verrichtet und 7,93 kJ Wärme aufgenommen. 2-3 isochor: Vom System wird Wärme abgegeben, es gilt:

VQ m C T= ⋅ ⋅∆ und eingesetzt:

( )23

23

kJQ 0,05kg 0,72 300K

kg K

Q 10,8kJ

= ⋅ ⋅ −⋅

= −

Das System gibt 10,8 kJ Wärme ab. 3-4 isotherm: Das wird wieder wie bei der Zustandänderung 1-2 gerechnet:

4V34 3 3

3

3 36 3 3

V34 3 3

V34

VW p V ln

V

2 10 mW 0,897 10 Pa 5 10 m ln

5 10 m

W 4,11kJ

−− −

−

= ⋅ ⋅

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

=

Diese Arbeit von 4,11 kJ muss in das System gesteckt werden. Dabei wird genau dieser Betrag in Form von Wärme abgegeben. 4-1 isochor Es wird wie bei der Änderung 2-4 gerechnet und man erhält eine Wärme von 10,8 kJ, die das System aufnehmen muss. d) Für eine Maschine, in der ein Kreisprozess abläuft, gilt allgemein für de Wirkungsgrad:

zu ab

zu

Q Q

Q

+η=

Die in den Änderungen 2-3 und 4-1 auftretenden Wärmengen heben sich auf, so dass nur noch die Änderungen 1-2 und 3-4 betrachtet werden müssen. Da entsprechen die Wärmen den verrichteten Arbeiten.

2 41 1 3 3

1 3

21 1

1

V Vp V ln p V ln

V V

Vp V ln

V

− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

η=

− ⋅ ⋅

Nun kann man ersetzten: p V n R T⋅ = ⋅ ⋅

2 41 3

1 3

21

1

2 41 3

1 3

21

1

V Vn R T ln n R T ln

V V

Vn R T ln

V

V VT ln T ln

V V

VT ln

V

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

η=

− ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅ − ⋅

η=

− ⋅

Da gilt:

34

3 4

VVln ln

V V

= −

und

1 4

2 3

V V

V V

=

=

wird

2 21 3

1 1

21

1

V VT ln T ln

V V

VT ln

V

− ⋅ + ⋅

η=

− ⋅

gekürzt:

1 3

1

3

1

T T

T

T1

T

− +η=

−

η= −

Mit den gegebenen Temperaturen erhält man einen maximalen Wirkungsgrad von 48%. In der Realität ist er kleiner, da in diese Rechnung keine Reibungsverluste eingegangen sind.

213. a) Die vier Zustände werden in einer Tabelle dargestellt:

Zustand p in kPa V in cm³ T in K 1 232 150 247 2 270 150 (isochor) 287 (247 + 40) 3 140 290 287 4 120 290 247

Der Druck beim Übergang von Zustand 1 nach Zustand 2 berechnet sich mit

1 1

2 2

22 1

1

p T

p T

Tp p

T

=

= ⋅

Beim Übergang 2 nach 3 gilt für die isotherme Zustandsänderung:

32

3 2

23 2

3

Vp

p V

Vp p

V

=

= ⋅

Beim Übergang 3 nach 4 gilt:

3 3

4 4

44 3

3

p T

p T

Tp p

T

=

= ⋅

b) Für die isothermen Zustandsänderungen werden für selbst gewählte Volumen die Drücke berechnet. Dazu wird der in Aufgabe a) gezeigte Zusammenhang zwischen Druck und Volumen für die isotherme Zustandsänderung verwendet: p V konst.⋅ = Übergang 2->3 (isotherme Expansion) V in cm³ 180 210 240 270 p in kPa 225 193 169 150 Übergang 4->1 (isotherme Kompression) V in cm³ 180 210 240 270 p in kPa 193 166 145 129 Kreisdiagramm

c) Die von einem System abgegeben Arbeit ist allgemein die Fläche unter der Kurve im V-p-Diagramm. Der Vorgang 2->3 ist eine Expansion, also der Vorgang, bei dem das System Arbeit verrichtet. Der Übergang 4->1 ist eine Kompression, am System muss Arbeit verrichtet werden. Der Betrag des Anteils 2 -> 3 ist größer als der Betrag des Anteils 4 -> 1, insgesamt wird also vom System Arbeit abgegeben. d) Damit ist auch klar, wie sich diese Arbeit berechnen lässt. Es muss die Arbeit für den Übergang 2->3 berechnet werden. Davon zieht man die Arbeit ab, die beim Übergang 4->1 wieder in das System hinein gesteckt wird. Diese Arbeit wird bei einem Motor z.B. in einer Schwungscheibe gespeichert. Für eine isotherme Zustandänderung berechnet sich die Volumenarbeit nach der Gleichung:

AA A

E

VW p V ln

V= ⋅ ⋅

A kennzeichnet den Anfang und E das Ende. Gibt ein System Arbeit ab, hat die Arbeit ein negatives Vorzeichen. Nimmt es Arbeit auf, wird das Vorzeichen automatisch positiv, da das Endvolumen kleiner ist als das Anfangsvolumen. Die Gesamtarbeit ist dann also:

23 41W W W= +

Plus deshalb, weil sich die Vorzeichen bei der Berechnung ergeben.

2 42 2 4 4

3 1

3 35 4 3 5 4 3

3 3

V VW p V ln p V ln

V V

150cm 290cmW 2,7 10 Pa 1,5 10 m ln 1,2 10 Pa 2,9 10 m ln

290cm 150cm

W 26.7J 22,9J

W 3,8J

− −

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − +

= −

Der Stirlingmotor gibt bei jeder Umdrehung 3,8 J Arbeit ab, e) Der thermische Wirkungsgrad eines Kreisprozesses wird durch die beiden Temperaturen bestimmt. Es gilt:

1

2

T1

T

247K1

287K

0,14

14%

η= −

η= −

η=

η=

Der Wirkungsgrad kann nur durch die Änderungen der Temperaturen erhöht werden. Entweder wird die große Temperatur weiter erhöht oder die niedrige Temperatur weiter verkleinert.