8/17/2019 barem_clasa6

http://slidepdf.com/reader/full/baremclasa6 1/2

Societatea de Stiint ¸e Matematice Ministerul Educat ¸iei Nat¸ionaledin Romˆ ania si Cercet arii Stiint ice

Olimpiada Nat ¸ionala de Matematic˘ aEtapa Judet ¸eana si a Municipiului Bucuresti, 19 martie 2016

CLASA a VI-a - Solut ¸ii si barem orientativ

Problema 1. Cate numere prime de trei cifre pot transformate ın cuburiperfecte printr-o schimbare a ordinii cifrelor lor? Solut ¸ie

Cuburile perfecte de trei cifre sunt: 125, 216, 343, 512 si 729. . . . . . . . . . . 1p

Numerele prime de trei cifre trebuie s˘a se termine cu o cifra impar a, diferit ade 5, si sa nu e divizibile 3. Prin urmare, numerele c˘autate sunt printrenumerele 251, 521, 433. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3pSe verica si se constat a ca toate aceste trei numere sunt prime. . . . . . . . 3p

Fiecare rezultat gresit (fals num˘ ar prim gasit sau num ar prim omis) este pe-nalizat.

Problema 2. Intr-un triunghi ascut ¸itunghic, trei din cele sase unghiuriformate ın jurul ortocentrului de dreptele care includ cele trei ın˘ altimi aumasurile proport ionale cu numerele 5, 5 si 7, iar suma m asurilor celorlaltetrei unghiuri este egal a cu 190◦ . Determinat i masurile unghiurilor triunghiu-lui.

Solut ¸ieSuma msurilor unghiurilor proport ¸ionale cu 5, 5, 7 este 170◦ . . . . . . . . . . . . 1pMasurile lor sunt 5 x , 5x , 7x , cu 5x + 5 x + 7 x = 170 ◦ , de unde x = 10 ◦ . In jurul ortocentrului avem trei perechi de unghiuri opuse la varf, deci congru-ente. De o parte a uneia din dreptele care cont ine o ın alt ime se aa cate ununghi din ecare pereche. Stim c˘a trei dintre unghiuri au m˘ asurile 50◦ , 50◦ ,70◦ , deci celelalte trei au m asurile 70◦ , 60◦ , 60◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3pFolosind masurile acestor unghiuri, se determin˘ a masurile unghiurilor for-mate de ın˘alt imi cu laturile: 20 ◦ , 30◦ , 40◦ , deci masurile unghiurilor triun-ghiului sunt 50 ◦ , 60◦ , 70◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p

Problema 3. In ecare din cele 16 casute ale unui patrat 4 × 4 este scriscate unul din numerele 1 , 2, 3, . . . , 16. Pe ecare coloana se calculeaza sumanumerelor. Dac a una din sumele obt inute este strict mai mare decˆ at celelaltetrei, aceasta se noteaz˘a cu S .a) Dat i exemplu de o completare a p atratului ın care S = 40.b) Care este cea mai mic a valoare posibila a lui S ?

8/17/2019 barem_clasa6

http://slidepdf.com/reader/full/baremclasa6 2/2

Solut ¸ie

a) Un exemplu de asemenea completare este:1 2 3 108 7 6 59 4 11 1216 15 14 13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pb) Suma numerelor scrise ın c˘asutele patratului este 1+2+3+ . . . +16=136.Deoarece 136 = 4 · 34, rezult a ca e suma numerelor de pe ecare coloan˘aeste 34, e exista o coloana pe care suma este cel put in 35. In primul caz nu

exist a S , iar din cazul al doilea rezult a ca S este cel putin 35. . . . . . . . . . . 3pPentru a demonstra c˘ a valoarea minim a a lui S este 35, ramane sa dam unexemplu de completare a p atratului astfel ıncˆ at o coloana are suma 35, iarcelelalte coloane au sume mai mici. Iat a o astfel de completare:

1 2 3 48 7 6 59 10 11 1216 15 13 14

(Suma numerelor de pe ultima coloan˘a este 35, ın vreme ce pe primele trei

coloane sumele sunt 34, 34, respectiv 33, deci ultima coloan˘a este cea cuS = 35.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Problema 4. Numerele naturale nenule m si n au proprietatea c˘a numarulm 2016 + m + n 2 este divizibil cu num arul mn .a) Dat i un exemplu de dou a numere naturale nenule m si n , m > n , careverica proprietatea din enunt ¸.b) Ar atat i ca m este patrat perfect.

Solut ¸iea) De exemplu, m = 4, n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pb) Fie d cel mai mare divizor comun al numerelor m si n , iar a, b ∈ N ∗ astfelca m = da , n = db, cu (a, b ) = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pCondit ia din enunt revine la faptul c a d2016 a 2016 + da + d2 b2 este divizibil cud2 ab. Rezult a ca dab divide d2015 a 2016 + a + db2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pCum a divide d2015 a 2016 , rezult a ca a divide db2 . Dar (a, b ) = 1, deci a divided. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pPe de alt a parte, d divide d2015 a 2016 si db2 , deci d divide a. . . . . . . . . . . . . . 1pDin cele de mai sus rezult a ca d = a , deci m = d2 , prin urmare m este patratperfect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

2