Raimond Dallmann

Baustatik 2Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke

4., aktualisierte Auflage

Dallmann • Baustatik 2

Lehrbücher des Bauingenieurwesens

Bletzinger/Dieringer/Fisch/Philipp · Aufgabensammlung zur Baustatik

Dallmann • BaustatikBand 1: Berechnung statisch bestimmter TragwerkeBand 2: Berechnung statisch unbestimmter TragwerkeBand 3: Theorie II. Ordnung und computerorientierte Methoden der Stabtragwerke

Engel/Lauer • Einführung in die Boden- und Felsmechanik

Engel/Al-Akel • Einführung in den Erd-, Grund- und Dammbau

Fouad/Zapke • Bauwesen Taschenbuch

Freimann • Hydraulik für Bauingenieure

Göttsche/Petersen • Festigkeitslehre – klipp und klar für Studierende des Bauingenieurwesens

Jochim/Lademann • Planung von Bahnanlagen

Krawietz/Heimke • Physik im Bauwesen

Malpricht • Schalungsplanung

Proporowitz (Hrsg.) • Baubetrieb – Bauverfahren

Proporowitz (Hrsg.) • Baubetrieb – Bauwirtschaft

Prüser • Konstruieren im Stahlbetonbau 1

Prüser • Konstruieren im Stahlbetonbau 2

Rjasanowa • Mathematik für Bauingenieure

Rjasanowa • Mathematische Modelle im Bauingenieurwesen

Raimond Dallmann

Baustatik 2Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke

4., aktualisierte Auflage

Mit 382 Bildern, 30 Beispielen, 45 Aufgaben mit Lösungen

Fachbuchverlag Leipzigim Carl Hanser Verlag

AutorenProf. Dr.-Ing. Raimond DallmannHochschule WismarFachbereich Bauingenieurwesenhttp://www.bau.hs-wismar.de/Dallmann

Bibliografische Information der Deutschen NationalbibliothekDie Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der DeutschenNationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internetüber http://dnb.d-nb.de abrufbar.

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt.Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches, oder Teilen da-raus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung – mit Aus-nahme der in den §§ 53, 54 URG genannten Sonderfälle –, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden.

Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

© 2015 Carl Hanser Verlag Münchenwww.hanser-fachbuch.de

Lektorat: Philipp ThorwirthHerstellung: Denise JäkelSatz: Raimond Dallmann, TressowCoverconcept: Marc Müller-Bremer, www.rebranding.de, MünchenCoverrealisierung: Stephan RönigkDruck und Bindung: FIRMENGRUPPE APPL, aprinta druck GmbH, WemdingPrinted in Germany

ISBN: 978-3-446-44502-4E-Book-ISBN: 978-3-446-44507-9

Vorwort

Der vorliegende zweite Band dieses Lehrbuches vermit-telt die grundlegenden Kenntnisse zur Berechnung vonFormänderungen sowie der Kraft- und Verformungszu-stände statisch unbestimmter Tragwerke. Der überwie-gende Teil des Inhalts ist aus den von mir an der Fach-hochschule in Wismar gehaltenen Lehrveranstaltungenentstanden. Das Buch richtet sich an Studierende desBauingenieurwesens. Vorausgesetzt werden Kenntnisseder Berechnung statisch bestimmter Tragwerke, die imBand 1 behandelt wurden.

Es werden in Kapitel 1 zunächst die Grundlagen zurBerechnung von Formänderungen stabförmiger Trag-werke vermittelt. Ausgehend von den der Berechnungstabförmiger Bauteile zugrunde liegenden Hypothesenwerden die Grundgleichungen der Stabtheorie hergelei-tet. Ein weiteres Thema dieses Kapitels ist die Berech-nung einzelner Verformungen mit dem Prinzip der virtu-ellen Kräfte und die Ermittlung von Biegelinien.

Die klassischen Verfahren zur Berechnung statischunbestimmter Systeme sind das Kraftgrößenverfahrenund das Weggrößenverfahren. Beide Methoden werdenauf anschaulichem Wege ausführlich erläutert. DasKraftgrößenverfahren wird in Kapitel 2 dargestellt, dasDrehwinkelverfahren als Spezialfall des allgemeinenWeggrößenverfahrens ist Inhalt von Kapitel 3. Sowohlbeim Kraftgrößen- als auch beim Drehwinkelverfahrenwerden neben der Beanspruchung durch äußere Kraft-größen auch Verformungseinwirkungen ausführlichbehandelt.

Die Ermittlung von Einflusslinien für Schnittgrößen undVerformungen statisch unbestimmter Systeme wird inKapitel 4 dargestelt und erfolgt auf der Grundlage beiderBerechnungsmethoden.

Anhand vieler vollständig durchgerechneter Beispielewird die Anwendung der theoretischen Grundlagen injedem Kapitel anschaulich erläutert.

Obwohl das Lehrgebiet der Baustatik durch den Einsatzdes Computers einen Wandel erfahren hat, ist dieBaustatik als Grundlagenfach für den KonstruktivenIngenieurbau nach wie vor unverzichtbar. Das Verständ-

nis des Trag- und Verformungsverhaltens einer Konstruk-tion kann nicht durch den Einsatz von Software ersetztwerden. Nur solide Kenntnisse der Baustatik ermögli-chen den Entwurf sicherer, gebrauchstauglicher undwirtschaftlicher Tragwerke.

Es ist nicht Ziel dieses Buches, die Statik der Stabtrag-werke umfassend darzustellen, sondern vielmehr in dieMethoden zur Berechnung von Verformungen und sta-tisch unbestimmter Tragwerke einzuführen und damit dieGrundlage für ein vertieftes Studium der Baustatik zuschaffen. Um einen anschaulichen Zugang zu denBerechnungsverfahren zu ermöglichen und um den Abs-traktionsgrad niedrig zu halten, wird auf die Darstellungmatrizieller Methoden bewusst verzichtet.

Die klassischen Verfahren fördern durch ihre Anschau-lichkeit das Verständnis des Tragverhaltens insbeson-dere statisch unbestimmter Systeme. Es ist daher wich-tig, dass die Vermittlung der Berechnungsmethodennicht auf die Anwendung rezeptartiger Algorithmen aus-gerichtet ist. Spezielle Methoden, die darauf abzielen,die Auflösung von Gleichungssystemen mit vielen Unbe-kannten zu vermeiden, werden nicht behandelt, da die-ser Aspekt heutzutage bedeutungslos ist.

Es wird beim Lesen dieses Buches sicher manche Stel-len geben, bei denen sich das erwünschte Verständnisnicht unmittelbar einstellt. Oft ist es dann hilfreich, dieZusammenhänge zunächst in der Anwendung auf einkonkretes Beispiel zu betrachten und danach den nichtrichtig verstandenen Abschnitt nochmals zu lesen.

Selbst wenn die Berechnung der Beispiele nachvollzo-gen werden kann, ist es doch etwas völlig anderes, vordem leeren Blatt Papier zu sitzen und den richtigenAnsatz zur Lösung finden zu müssen. Darum enthältauch dieses Buch zahlreiche Übungsaufgaben, die dieso wichtige eigenständige Übung des Lehrstoffesermöglichen. Die Lösungen sind am Ende des Buchesangegeben. Die vollständigen Lösungswege sind imInternet unter http://www.bau.hs-wismar.de/Dallmann zufinden.

6 Vorwort

Ich wünsche mir, dass dieses Buch den Lesern zu demerhofften Lernerfolg verhilft und würde mich über Hin-weise, und Anregungen zur Verbesserung des Inhaltssehr freuen.

Dank gebührt Frau Franziska Kaufmann und ganzbesonders Frau Christine Fritzsch vom Carl Hanser Ver-lag für die sehr freundliche und angenehme Zusammen-arbeit.

Für die Kontrolle der Beispiele und Aufgaben sowie fürdie wertvollen Hinweise bei der Durchsicht des Manu-skripts danke ich Frau Bianca Hennings ganz herzlich.

Abschließend möchte ich mich wieder ganz besonders

bei meiner Frau Nanette bedanken, die auch beim Ent-

stehen des zweiten Buches viel Geduld und Verständnis

aufbringen musste und mich in vielerlei Hinsicht beim

Schreiben unterstützte.

Die vorliegende dritte Auflage dieses Buches ist inhalt-

lich unverändert, es wurden jedoch bekannt gewordene

Fehler korrigiert.

Ich danke für die zahlreichen Hinweise sowie für die

überwiegend sehr positive Beurteilung des Buches.

Tressow, im Frühjahr 2012 Raimond Dallmann

Vorwort zur vierten Auflage

Auch die dritte Auflage ist von den Lesern sehr positivaufgenommen worden. In der vorliegenden vierten Auf-lage wurden immer noch vorhandene Fehler korrigiert.

Weitere Hinweise und Anregungen aus dem Leserkreiszur Verbesserung des Inhalts sind stets willkommen

Ich danke Herrn Philipp Thorwirth vom Lektorat des CarlHanser Verlages für die gute und angenehme Zusam-menarbeit.

Tressow, im Juli 2015 Raimond Dallmann

7

Inhaltsverzeichnis

1 Berechnung der Weggrößen stabförmiger Tragwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Weggrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Formänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Formänderungen infolge Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1.2 Stoffgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1.3 Verträglichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1.4 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Formänderungen infolge Biegung und Temperaturdifferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2.2 Stoffgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2.3 Verträglichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2.4 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.3 Formänderungen infolge Querkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.4 Formänderungen infolge Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.4.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.4.2 Stoffgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.4.3 Verträglichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.4.4 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Analogien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.1 Analogie zwischen Dehn- und Torsionsstab und Balkengleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.2 Mohrsche Analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5 Formänderungsarbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.1 Äußere Eigenarbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.2 Äußere Verschiebungsarbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.3 Innere Verschiebungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.4 Innere Eigenarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6 Ermittlung einzelner Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.1 Arbeitsgleichung des Prinzips der virtuellen Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.1.1 Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6.1.2 Eingeprägte Auflagerverformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6.1.3 Gleichgewichtsbedingung des virtuellen Kraftgrößenzustands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

8 Inhaltsverzeichnis

1.6.1.4 Anwendung der Arbeitsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6.1.5 Berechnung der Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.6.2 Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6.3 Grundfälle der Einzelverformungsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6.4 Größenordnung der Verformungsanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.7 Ermittlung von Biegelinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.7.1 Ermittlung der Biegelinie aus der Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.7.2 Ermittlung der Biegelinie mithilfe der w-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.8 Der Satz von Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.9 Der Satz von Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Aufgaben 1.1 bis 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2 Das Kraftgrößenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.2 Statisch bestimmtes Hauptsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.1.3 Lastspannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.1.4 Einheitsspannungszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.1.5 Ermittlung der d-Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.1.6 Verformungsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.1.7 Ermittlung der Schnittgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.1.8 Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.1.9 Kontrollen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.1.10 Verformungsbeanspruchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.1.10.1 Eingeprägte Auflagerverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.1.10.2 Eingeprägte Auflagerdrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.1.10.3 Temperaturdifferenz , oben wärmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.2 Allgemeines Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.3 Einfluss der Steifigkeiten, Ersatzfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.4 Wahl des Hauptsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.5 Verformungsberechnung bei statisch unbestimmten Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.6 Verallgemeinerung des Kraftgrößenverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Aufgaben 2.1 bis 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3 Das Drehwinkelverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Inhaltsverzeichnis 9

3.1.2 Drehwinkelverfahren und allgemeines Weggrößenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.1.3 Kinematisch bestimmtes Hauptsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.1.3.1 Grundelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.1.3.2 Ermittlung der erforderlichen Festhaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.1.4 Lastverformungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.1.5 Einheitsverformungszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.1.5.1 Knotendrehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.1.5.2 Stabsehnendrehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.1.6 Vorzeichen des Drehwinkelverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.1.7 Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.1.8 Ermittlung der Schnittgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.1.9 Kontrollen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.2 Vorgehensweise beim Drehwinkelverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.3 Vergleich von Drehwinkel- und Kraftgrößenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Aufgaben 3.1 bis 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4 Einflusslinien statisch unbestimmter Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.1 Einflusslinien für Schnittgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.1.2 Berechnung nach dem Kraftgrößenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.1.3 Auswertung der Einflusslinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.1.3.1 Analytische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.1.3.2 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.1.4 Einflusslinien bei Durchlaufträgern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.1.5 Einflusslinien bei verzweigten Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.1.6 Berechnung nach dem Drehwinkelverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.2 Einflusslinien für Weggrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Aufgaben 4.1 bis 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Anhang: Tafeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Sachwortverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

10

Inhalt Baustatik 1

1 Einführung

1.1 Einordnung der Statik

1.2 Kräfte

1.3 Der starre Körper

1.4 Axiome der Mechanik

1.5 Das Schnittprinzip

1.6 Gleichgewicht

2 Das zentrale Kräftesystem

2.1 Grafische Behandlung

2.2 Rechnerische Behandlung

2.3 Gleichgewicht am Punkt

3 Das allgemeine ebene Kräftesystem

3.1 Grafische Behandlung

3.2 Rechnerische Behandlung

3.3 Die Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik

3.4 Koordinatensystem und Vorzeichen

3.5 Auflager der ebenen Statik

3.6 Reduktion verteilter Kräfte

3.7 Darstellung von Streckenlasten

4 Schnittgrößen statisch bestimmter ebener Sys-teme

4.1 Allgemeines

4.2 Einteilige Tragwerke

4.3 Mehrteilige Tragwerke

4.4 Stützlinien

4.5 Fachwerke

4.6 Gemischte Systeme

5 Systemaufbau

5.1 Abzählkriterium

5.2 Abbauprinzip

5.3 Aufbauprinzip

5.4 Verschiebliche Systeme

6 Kinematik starrer Scheiben

6.1 Kinematik der Einzelscheibe

6.2 Die zwangläufige kinematische Kette

6.3 Polpläne

6.4 Untersuchung der kinematischen Unverschieblich-keit

7 Prinzip der virtuellen Verschiebungen

7.1 Mechanische Arbeit

7.2 Begriff der virtuellen Verschiebung

7.3 Prinzip der Lagrangeschen Befreiung

8 Räumliche Tragwerke

8.1 Einführung

8.2 Beispiele

9 Einflusslinien für Schnittgrößen statisch bestimmter Systeme

9.1 Einführung

9.2 Kinematische Ermittlung der Einflusslinien

11

11 Berechnung der Weggrößen stabförmiger Tragwerke

1.1 Einführung

Jedes Tragwerk verformt sich infolge vorhandener Ein-wirkungen. Die Modellvorstellung des starren Körpers,von der wir in Baustatik 1 ausgegangen sind, muss auf-gegeben werden, um Verformungen in die Betrachtun-gen einbeziehen zu können.

Warum müssen Verformungen überhaupt berechnetwerden?

Bauwerke müssen nicht nur tragfähig, sondern auchgebrauchstauglich sein. Um die Gebrauchstauglichkeiteines Bauwerks gewährleisten zu können, müssen dieVerformungen des Tragwerks beschränkt bleiben. DieKenntnis der Verformungen ist also wichtig, um beurtei-len zu können, ob ihre Größe die Nutzung des Bauwerksnicht beeinträchtigt.

Obwohl die Schnittgrößen bei statisch bestimmten Sys-temen nur mithilfe von Gleichgewichtsbedingungenermittelt werden konnten, haben wir die aus der mecha-nischen Wirkung des Momentes resultierende Biegungder stabförmigen Bauteile als wichtiges Hilfsmittel für dieVeranschaulichung des Tragverhaltens kennen gelernt.

Statisch unbestimmte Tragwerke können nur dannberechnet werden, wenn die Verformungen des Trag-werks berücksichtigt werden. Da bei statisch unbestimm-ten Systemen die Gleichgewichtsbedingungen nicht aus-reichen, um die Schnittgrößen zu ermitteln, müssen alszusätzliche Gleichungen Verformungsbedingungen for-muliert werden.

Auch wenn wir nicht mehr davon ausgehen, dass derKörper unverformbar, also starr ist, setzten wir jedochvoraus, dass die Verformungen so klein sind, dass ihrEinfluss auf die Ermittlung der Schnittgrößen vernach-lässigt werden kann. Die Gleichgewichtsbedingungenwerden in Bezug auf das unverformte Tragwerk formu-liert, man nennt dies Theorie I. Ordnung.

Zur Erläuterung der Zusammenhänge betrachten wirden Kragträger in Bild 1.1. Im oberen Teil des Bildes

ergibt sich das Auflagermoment im Einspannpunkt unterder Annahme des starren Kragträgers ohne Einfluss derHorizontalkraft , da diese keinen Hebelarm bezüglichdes Auflagerpunktes hat.

Berücksichtigen wir bei der Formulierung der Gleichge-wichtsbedingungen, dass sich der Kragträger infolge derVertikalkraft verformt, wie in Bild 1.1 unten dargestellt ist,ergibt sich für das Auflagermoment ein zusätzlicherAnteil infolge der Horizontalkraft , da aufgrund derDurchbiegung ein Hebelarm entstanden ist. DieBerücksichtung dieses Einflusses wird mit Theorie II.Ordnung bezeichnet. Die Bedeutung dieses Einflussesfür die Schnittgrößen ist von der Größe des Produkts

abhängig. Wir gehen in diesem Buch davon aus,dass die Verformung und die Normalkräfte so klein sind,dass die Gleichgewichtsbedingungen in Bezug auf dasunverformte Tragwerk formuliert werden können. DieGröße der Verformung muss daher bekannt sein, um zubeurteilen, ob sie für die Formulierung des Gleichge-wichts von Bedeutung ist.

Bild 1.1 Einfluss der Verformungen auf die Schnittgrößen

Verformungen werden also benötigt:

• zum Nachweis der Gebrauchstauglichkeit eines Bau-werkes

• zur Berechnung statisch unbestimmter Systeme (Ver-formungsbedingungen des Kraftgrößenverfahrens)

• zur Beurteilung des Einflusses der Verformung aufdie Schnittgrößen (Theorie II. Ordnung)

Fh

Fh

Fh

Fv

Fh

l

Ma Fv l Fh +=

Fv

Fh

l

Ma Fv l=

12 1 Berechnung der Weggrößen stabförmiger Tragwerke

Wir werden in diesem Buch nur Stabtragwerke betrach-ten. Das sind Tragwerke, die aus linienförmigen Bautei-len, also aus Stäben bestehen. Wie im Folgenden darge-stellt wird, kann bei stabförmigen Bauteilen aus derVerformung der Stabachse auf die Verformung desgesamten Bauteils geschlossen werden.

1.2 Weggrößen

In Analogie zu inneren und äußeren Kräften unterschei-det man innere und äußere Weggrößen.

Äußere Weggrößen sind Verformungen, die an einemBauteil von außen sichtbar sind bzw. sichtbar gemachtwerden können. Beispiele äußerer Weggrößen sind Ver-schiebungen einzelner Punkte eines Bauteils oder Ver-drehungen von Punkten der Schwerachse stabförmigerBauteile.

Innere Weggrößen sind den inneren Kraftgrößen, alsoden Schnittgrößen zugeordnet. Es sind bezogene Grö-ßen, wie z. B. die Dehnung eines Stabes infolge einerNormalkraft. Allgemein werden die inneren Weggrößenals Verzerrungen bezeichnet.

1.3 Formänderungen

Jedes Bauteil ist ein dreidimensionaler Körper. JederPunkt seines Volumens kann sich in den drei Koordina-tenrichtungen des Raumes bewegen. Die hier betrachte-ten stabförmigen Bauteile sind dadurch gekennzeichnet,dass eine Abmessung groß gegenüber den beidenanderen ist. Die Stablänge ist viel größer als die Abmes-sungen des Querschnittes.

Ziel der folgenden Betrachtungen ist es, den Verfor-mungszustand des dreidimensionalen Körpers „Stab“durch die Verformungen der Stabachse zu beschreiben.Dies gelingt durch Annahmen, also durch Hypothesen,wie in den nächsten Abschnitten dargestellt wird.

1.3.1 Formänderungen infolge Dehnung

Wird ein Stab nur durch Normalkräfte beansprucht, kannunterstellt werden, dass in gewisser Entfernung vonPunkten, in denen die Lasteinleitung erfolgt, die Verfor-mungen aller Querschnittspunkte gleich sind. Aufgrunddieser Hypothese kann der gesamte Verformungszu-

stand des Stabes durch die Verformung der Schwer-achse beschrieben werden.

1.3.1.1 Kinematik

Die kinematischen oder geometrischen Beziehungenverknüpfen die inneren Weggrößen, also die Dehnungenbzw. allgemein Verzerrungen mit den äußeren Weggrö-ßen, in diesem Fall die Axialverschiebung

Wir betrachten das differenzielle Element in Bild 1.2. Dieunverformte Lage, auch Referenzkonfiguration genannt,ist schwarz dargestellt. Durch die Beanspruchung wirdder Stab in Richtung seiner Achse um den Wert u ver-schoben. An der Stelle hat sich die Verschiebungum einen differenziellen Zuwachs verändert und beträgt

. Durch die differenzielle Änderung hat sich dieLänge des Elementes um den Wert vergrößert, dasElement wird gedehnt.

Bild 1.2 Differenzielles Element mit konstanter Dehnungs-verteilung

Die Dehnung ist der Quotient aus Verlängerung undUrsprungslänge:

(1.1)

1.3.1.2 Stoffgesetz

Die elastischen Dehnungen hängen mit den Spannun-gen über das Werkstoffgesetz zusammen. Es wird imRahmen dieses Buches nur das Hookesche1 Gesetzbetrachtet, also linear elastisches Werkstoffverhaltenvorausgesetzt. Der Proportionalitätsfaktor zwischenDehnung und Spannung ist der Elastizitätsmodul .

1 Robert Hooke (1635 – 1703), britischer Physiker

u.

x dx+

u du+du

Nx

z

u du+u

z NA----=

dx

dudx------- u ' N T0

+= = =

E

EN= N E----=

1.3 Formänderungen 13

1Sind die Dehnungen im Querschnitt konstant, so folgtdaraus auch eine konstante Spannungsverteilung imQuerschnitt:

(1.2)

Ein zusätzlicher, über den Querschnitt konstanter Deh-nungsanteil ergibt sich aus einer gleichmäßigen Tempe-raturänderung . Der Begriff Temperaturänderungbedeutet, dass sich die Temperatur zwischen zwei Zeit-punkten geändert hat. Die Dehnung infolge der Tempe-raturbeanspruchung ist der Temperaturänderung proportional. Der Proportionalitätsfaktor ist eineWerkstoffkonstante, er wird auch als Temperaturausdeh-nungskoeffizient bezeichnet

(1.3)

Die gesamte Dehnung des Materials ist die Summe bei-der Anteile:

(1.4)

1.3.1.3 Verträglichkeit

Die Verträglichkeitsbedingung besagt, dass die Dehnungaus der kinematischen Beziehung in Gl. (1.1) gleich derDehnung aus der werkstofflichen Beziehung in Gl. (1.4)sein muss.

Damit ergibt sich die Differenzialgleichung 1. Ordnungfür die Längsverschiebung u:

(1.5)

Die zweite Ableitung der Verschiebung lautet:

für (1.6)

1.3.1.4 Gleichgewicht

Der differenzielle Zusammenhang zwischen der Normal-kraft und der verteilten Belastung in Richtung der Stab-achse ergab sich in Baustatik 1 zu:

(1.7)

Daraus folgt die Differenzialgleichung 2. Ordnung desDehnstabes durch Einsetzen von Gl. (1.7) in Gl. (1.6):

(1.8)

Eine Übersicht über die Differenzialgleichungen desDehnstabes ist in Tabelle 1.1 angegeben.

Für den in Bild 1.3 dargestellten einseitig festgehaltenenDehnstab ist der Verschiebungsverlauf infolge Eigenge-wicht zu ermitteln.

Bild 1.3 Einseitig festgehaltener Dehnstab unter Eigengewicht

Der Normalkraftverlauf lässt sich unmittelbar aus Gleich-gewichtsbedingungen aufschreiben:

Die Ermittlung der Integrationskonstanten c erfolgt durchAnpassung an die Randbedingung

NA----= N N

EA--------=

T0

T0T

T0T T0=

N T0+ N

EA-------- T T0+= =

u ' NEA-------- T T0+=

u '' N '

EA-------- T T0

'+= EA konst.=

N ' p x –=

Tabelle 1.1 Differenzialgleichungen des Dehnstabes

Differenzial-gleichung Gleichgewicht Stoffgesetz Kinematik

1. Ordnung

2. Ordnung

u '' p–EA-------- T T0

'+=

N ' p–=

NEA-------- T T0+= u '=

u ' NEA-------- T T0+=

u '' p–EA--------=

Beispiel 1.1

x u

p l

N x p l x– =

u ' N x EA

------------- p l x– EA

--------------------= =

u x u ' x xdp l x–

EA-------------------- xd= =

pEA-------- l x– xd

pEA-------- lx x 2

2------– c+

= =

u 0 0.=

14 1 Berechnung der Weggrößen stabförmiger Tragwerke

Damit liegt der Verschiebungsverlauf fest:

Die Verschiebung ist anschaulich am freien Stabendemaximal, also an der Stelle Mathematisch ent-spricht dies der Nullstelle der Ableitung des Verschie-bungsverlaufes die der Normalkraftfunktion pro-portional ist, siehe Gl. (1.5).

Bild 1.4 Verlauf von Längsverschiebung und Normalkraft

Für den in Bild 1.5 dargestellten beidseitig festgehalte-nen Dehnstab ist der Verschiebungsverlauf infolge derlinear verteilten Streckenlast zu ermitteln.

Bild 1.5 Beidseitig festgehaltener Dehnstab mit linear verteilter Belastung

Für diese Lagerung lässt sich die Normalkraft nicht mehraus Gleichgewichtsbedingungen ermitteln, da zur Ermitt-lung von zwei unbekannten Auflagerkräften nur eineGleichgewichtsbedingung ( in Richtung derStabachse) zur Verfügung steht. Es muss daher von der

Differenzialgleichung 2. Ordnung, Gl. (1.8), ausgegan-gen werden:

Die Lastfunktion wird durch die folgende Geraden-gleichung beschrieben:

Diese Differenzialgleichung kann durch zweimalige Inte-gration gelöst werden, wobei zwei unbekannte Integrati-onskonstante auftreten, die durch Anpassen der Lösungan die Randbedingungen ermittelt werden.

Randbedingungen:

Damit liegt der Verschiebungsverlauf fest:

Der Normalkraftverlauf folgt aus der Ableitung der Ver-schiebung:

Die Verschiebung ist dort maximal, wo ihre Ableitung,also die Normalkraft, gleich null ist:

u 0 pEA-------- l0 02

2------– c+

0 c 0= = =

u x pEA-------- lx x 2

2------–

=

x l.=

u x ,

umax u l pEA-------- l2 l2

2----–

pl2

2EA------------= = =

x u

p l u x

N x

umaxpl2

2EA------------=

Beispiel 1.2

x u

p x l

p

F 0=

u '' p x –EA

---------------=

p x

p x pl---x=

u '' p x –EA

---------------p–

l EA--------------x= =

u ' x p–l EA-------------- x xd

p–2l EA------------------x 2 c1+ N

EA--------= = =

u x p–2l EA------------------ x 2 xd c1 xd+

p–6l EA------------------x 3 c1x c2+ += =

u 0 0,= u l 0=

u 0 p–6l EA------------------03 c10 c2+ + 0= = c2 0=

u l p–6l EA------------------ l3 c1l+ 0= c1 pl

6EA------------= =

u x p–6l EA------------------x 3 pl

6EA------------x+

p6l EA------------------ l2x x 3– = =

u ' x NEA--------=

N x EAu ' x p6l----- l2 3x 2– pl

6-----

p2l----- x 2–= = =

pl6-----

p2l----- x 2– 0=

x0 l

3-------=

1.3 Formänderungen 15

1Daraus folgt die maximale Verschiebung mit:

Bild 1.6 Verlauf von Längsverschiebung und Normalkraft

1.3.2 Formänderungen infolge Biegung und Temperaturdifferenz

Auch im Fall der Biegebeanspruchung lassen sich dieVerformungen des dreidimensionalen Bauteils „Balken“durch eine Hypothese aus den Verformungen derSchwerachse ableiten. Diese nach Jakob Bernoulli1

benannte Hypothese unterstellt, dass die Querschnitteauch nach der Verformung eben und senkrecht zurSchwerachse bleiben.

In Bild 1.7 ist die Biegeverformung eines einfachen Bal-kens dargestellt. Die dargestellten geraden Linien, dievor der Verformung senkrecht zur Balkenachse sind,sind auch nach der Verformung Geraden und senkrechtzur Balkenachse.

Bild 1.7 Verformungen des Bernoullischen Balkenmodells

1.3.2.1 Kinematik

Gesucht ist der Zusammenhang zwischen der Krüm-mung des Balkens als innere Weggröße und der Ver-schiebung der Balkenachse als äußere Weggröße.

Wir betrachten zur Herleitung der kinematischen Bezie-hungen das differenzielle Balkenelement in Bild 1.8. Auf-grund der Wirkung des Biegemoments wird die untereFaser des Elements gezogen und verlängert sich. Ent-sprechend wird die obere Faser gedrückt und dadurchverkürzt. Die Querschnittslinien bleiben nach der Ber-noulli-Hypothese auch im verformten Zustand geradeund sind senkrecht zur Schwerachse. Ersetzen wir dieKurve, die die Verformung der Schwerachse beschreibt,durch den Krümmungskreis, bilden alle Fasern des Bal-kenelements Segmente konzentrischer Kreise mit glei-chem Zentriwinkel

Da wir eine reine Momentenbeanspruchung vorausset-zen, wird die Schwerachse des Balkens nicht gedehntund behält ihre ursprüngliche Länge . Eine Faser desBalkenelements in einer beliebigen Höhe z hat dieLänge Aufgrund der Ähnlichkeit der Kreisausschnittefolgt die Beziehung:

Bild 1.8 Differenzielles Balkenelement in verformter Lage

Die Dehnung der betrachteten Faser an der Stelle zbeträgt:

1 Jakob Bernoulli (1655 – 1705), schweizer Mathematiker

umax u x0 p6l EA------------------ l2 l

3------- l

3------- 3–

pl2

9 3 EA------------------------= = =

u x

N x

x up x

l

p

l

3-------

umaxpl2

9 3 EA------------------------=

pl6-----

pl3----- .d

dx

ds.

ds z+------------ dx

------= ds

dx------ z+

------------= 1 z

---+=

zz T z M z

d

MM

T Tu To–=

Bernoulli-Hypothese Querschnitte eben

h

d

ds

dx

z ds dx–dx

------------------- dsdx------ 1–= =

16 1 Berechnung der Weggrößen stabförmiger Tragwerke

Mit folgt:

(1.9)

Die Dehnungen sind aufgrund der Bernoulli-Hypotheselinear über den Querschnitt verteilt. Die Steigung derGeradengleichung ist der Reziprokwert des Krüm-mungsradius, also die Krümmung .

(1.10)

Die Krümmung einer Kurve gibt an, wie sich die Neigungihrer Tangente mit zunehmender Bogenlänge ändert.

Durch Anwendung der Kettenregel folgt:

Mit ergibt sich:

Die Ableitung ist gleich dem Anstieg der Tangente andie Biegelinie, siehe Bild 1.9. Daher gilt:

bzw.

Bild 1.9 Geometrische Beziehungen an verformter Stabachse

Damit folgt:

Die Krümmung der Biegelinie wird somit:

(1.11)

Wir werden uns im Folgenden auf die Betrachtung klei-ner Verformungen beschränken. Diese Voraussetzungvereinfacht die Zusammenhänge erheblich und ist des-wegen zulässig, da Tragwerke so ausgelegt werdenmüssen, dass die Gebrauchstauglichkeit gewährleistetist.

Unter dieser Annahme ist die Neigung der Biegelinieso klein, dass ihr Quadrat gegenüber eins vernachlässigtwerden kann, d. h. Damit vereinfacht sich Gl.(1.11) zu:

(1.12)

1.3.2.2 Stoffgesetz

Wir setzen linear-elastisches Werkstoffverhalten, alsodie Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes voraus. DerZusammenhang zwischen Spannung und Dehnung istdamit:

bzw.

Ersetzen wir in Gl. (1.9) die Dehnung durch die Span-nung, dann ergibt sich:

bzw.

Der Index M bei bedeutet, dass die Dehnung durchdas Moment verursacht wird.

Im Hauptachsensystem gilt:

Daraus folgt für die Krümmung:

bzw. (1.13)

dsdx------ 1 z

---+=

z 1 z--- 1–+ z

---= =

z z=

1--- d

ds-------= =

dds-------

ddx------- dx

ds------ d

dw '--------- dw '

dx--------- dx

ds------ w ''

ddw '--------- dx

ds------- = = =

ds2 dw 2 dx 2+=

ds2

dx2--------- dw 2

dx 2----------- dx 2

dx 2----------+=

dsdx------ w '2 1+=

w '

w ' tan–= w 'arctan–=

w

wd

w+

–

d

d

x

z wdw

dx

ddw '--------- 1–

1 w '2+------------------=

dds------- w ''

ddw '--------- dx

ds------- w ''

1–1 w '2+------------------ 1

w '2 1+---------------------- = = =

w– ''1 w '2+ 3 2/

-------------------------------=

w '

w '2 1.«

w– ''=

E = E----=

M z M z

E---------------- z

---= = 1

---

M z Ez

----------------= =

M

M z M zI

------------=

MMEI------= M EI M=

1.3 Formänderungen 17

1Das Biegemoment ist der Krümmung der Biegelinieproportional. Der Proportionalitätsfaktor ist dieBiegesteifigkeit EI.

Ein zusätzlicher Krümmungsanteil wird von einer Tempe-raturdifferenz zwischen unterer und oberer Balken-seite erzeugt. Zur Erläuterung dieser Einwirkungbetrachten wir den Temperaturverlauf in Bild 1.10, der inguter Näherung als linear angenommen werden kann.Dieser Verlauf wird in die dargestellten beiden Anteilezerlegt.

Bild 1.10 Aufteilung des linearen Temperaturverlaufs

Der konstante Anteil mit der Temperatur in Höhe derSchwerachse stellt eine gleichmäßige Temperaturbean-spruchung dar, die eine konstante Dehnung im gesam-ten Querschnitt bewirkt. Diese Einwirkung wurde bereitsin Abschnitt 1.3.1 behandelt.

Der lineare Anteil ist in Höhe der Schwerachse gleichnull und erzeugt einen linearen Dehnungsverlauf.

Mit folgt:

Die gesamte Krümmung ist die Summe beider Anteile:

(1.14)

1.3.2.3 Verträglichkeit

Die Krümmung aus der kinematischen Beziehung in Gl.(1.12) muss der Krümmung aus dem Materialgesetz inGl. (1.14) entsprechen. Daraus folgt die Differenzialglei-chung zweiter Ordnung des Bernoullischen Balkens:

(1.15)

Unter Voraussetzung der Annahme infinitesimal kleinerVerformungen betrachten wir nochmals Bild 1.8. Für infi-nitesimal kleine Winkel gilt Damit folgtaus der Neigungsänderung des Querschnitts dieVerlängerung einer Querschnittsfaser an der Stelle z zu:

Die Dehnung ist damit:

In linearisierter Form ( ) gilt:

(1.16)

Daraus folgt:

Unter Berücksichtigung von:

ergibt sich:

, also wiederum Gl. (1.15).

Unter Berücksichtigung der linearisierten kinematischenBeziehungen ist in Bild 1.8 die Länge der gekrümmtenBiegelinie ungefähr gleich der differenziellen Abmessung

. Damit gilt für die Winkeländerung näherungs-weise:

(1.17)

Mit folgt

T

z

T Tu To–=

h +=T0

T0Tu

To

T z T T z TTh

------- z = =

T z z--- T z= =

TT z

z-------------- T

Th

-------= =

M T+ MEI------ T

Th

-------+= =

w '' MEI------– T

Th

-------–=

sin tan . d

dx d z=

z d zdx

-------------- ' z= =

tan

w '–=

z w '– ' z=

z z E

----------- TTh

------- z +MEI------ z T

Th

------- z += =

w '' MEI------– T

Th

-------–=

dx d

d dx

------ ddx------- '

1--- = =

w ' – w '' '– –

18 1 Berechnung der Weggrößen stabförmiger Tragwerke

1.3.2.4 Gleichgewicht

Der differenzielle Zusammenhang zwischen der Belas-tung senkrecht zur Stabachse und den Schnittgrößenergab sich in Baustatik 1 mit zwei Differenzialgleichun-gen erster Ordnung:

(1.18)

bzw. mit einer Differenzialgleichung zweiter Ordnung:

(1.19)

Daraus folgt die Differenzialgleichung 4. Ordnung desBernoulli-Balkens:

, für konstantes EI, bzw.:

(1.20)

1.3.3 Formänderungen infolge QuerkraftDie Schubspannung infolge Querkraft ergibt sich imHauptachsensystem aus der folgenden Beziehung:

bzw. (1.21)

Diese Beziehung folgt aus einer Gleichgewichtsbetrach-tung aufgrund der Änderung der Normalspannungen inRichtung der Achse des Balkens und wurde in der Fes-tigkeitslehre hergeleitet.

Für linear-elastisches Werkstoffverhalten gilt das Hooke-sche Gesetz für den Zusammenhang zwischen derSchubspannung und der Gleitung :

bzw.

Der Schubmodul ist mit dem Elastizitätsmodul durch folgende Beziehung verknüpft:

(1.22)

Wir betrachten einen infinitesimal kleinen Balkenab-schnitt der Länge . Der Schubfluss bzw. die

Schubspannung ist parabolisch über die Querschnitts-höhe verteilt. In der Schwerachse ist die Schubspan-nung extremal und am oberen und unteren freien Randist die Schubspannung gleich null. Da die Schubverzer-rung der Schubspannung proportional ist, ist der Win-kel in der Schwerachse am größten, an den freienRändern ist gleich null. Wir denken uns nun den infini-tesimalen schmalen Streifen durch horizontale Schnittein rechteckige Teile zerlegt. Das obere und untere Recht-eck ist fast unverzerrt, an den freien Rändern ist derrechte Winkel erhalten. Die Rechtecke an der Schwer-achse verzerren sich am meisten. Dazwischen ist dieSchubverzerrung dem Verlauf der Schubspannung ent-sprechend abgestuft. Die Rechtecke müssen nach derVerformung wieder zusammen passen, da es sich umein kontinuierlich zusammenhängendes Material han-delt. Wie in Bild 1.11 dargestellt ist, folgt aus dem lücken-losen Zusammensetzen der einzelnen Rechtecke eineS-förmige Verwölbung des Querschnitts. Diese Verwöl-bung verletzt die Bernoulli-Hypothese!

Bild 1.11 Querschnittsverformung infolge von Schub-spannungen

Um die Schubverformungen als integrale Größe derSchwerachse zuzuordnen, betrachten wir die Äquivalenzder Arbeiten, die einerseits von den Schubspannungenauf den Verzerrungen über die Querschnittshöhe geleis-tet wird, andererseits die Arbeit, die vom Integral derSchubspannungen über die Querschnittsfläche, also der

V ' q–=

M ' V m–=

M '' q– m '–=

w ''''MEI------– T

Th

-------– ''

=

w '''' M ''

EI-------– q

EI------= =

EIw '''' q m '+=

V SI b------------= T V S

I------------=

G = G----=

G E

G E2 1 + ---------------------=

dx T

m

VV

0=

0=

T

z

zu

zo

dw

dx

dz

1.3 Formänderungen 19

1Querkraft auf der Schubverformung der Schwerachsegeleistet wird.

Die Äquivalenz der Arbeiten der Querkraft auf und der Schubflussresultierenden auf ergibt:

Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch undersetzen den Schubfluss nach Gl. (1.21) durch dieerzeugende Querkraft.

Nach Division der Gleichung durch und Erweiterungder rechten Seite mit der Querschnittsfläche folgt:

(1.23)

Damit ergibt sich:

(1.24)

Wie aus Bild 1.11 deutlich wird, ist der mittlereWinkel der Schubverzerrung

In Bild 1.11 wurde vorausgesetzt, dass der Querschnittsich nicht verdreht. Um den Zusammenhang zwischender Ableitung der Biegelinie dem Schubwinkel undder Querschnittsdrehung zu erhalten, betrachten wirdas differenzielle Element in Bild 1.12. Links ist das Ele-ment analog zu Bild 1.11 dargestellt. Die Schubverzer-rung ist darin mit dem Mittelwert als konstant überdie Balkenhöhe angenommen. Wird nun das Balkenele-ment um einen Winkel gegen die Horizontale gedreht,wie rechts in Bild 1.12 dargestellt ist, so reduziert sichdie Ableitung um diesen Winkel. Der Winkel stelltdie Neigung des Querschnitts dar. Damit folgt:

Damit wird aus Gl. (1.24):

(1.25)

Bild 1.12 Schubverzerrtes Element mit Querschnittsdrehung

Einfache Ableitung von Gl. (1.25) ergibt:

(1.26)

ist in linearisierter Form nach Gl. (1.17) die Krüm-mung des Balkens.

Unter Berücksichtigung von Biege- und Schubverfor-mungen folgt aus Gl. (1.26) nach Ersetzen der Krüm-mung durch die Beziehung Gl. (1.14) und Ersetzen derSchubverzerrung durch die Querkraft nach Gl. (1.24):

(1.27)

ist ein querschnittsabhängiger Beiwert:

(1.28)

Das Trägheitsmoment ist nicht von abhängig undkann daher vor das Integral geschrieben werden.

Wir zeigen die Berechnung des Beiwerts für denRechteckquerschnitt in Bild 1.13. Da die Breite desQuerschnitts konstant ist, ist nur das statische Moment

eine Funktion der Koordinate . Die Querschnittsflä-che und das Trägheitsmoment betragen:

Bild 1.13 Rechteckquerschnitt

V dwT dz dx

V dw T dz dx =

dx

V dwdx-------- T T

b G------------ dz

V 2 S 2b G I 2 ----------------------dz= =

VA

dwdx--------

VA G------------- A S 2

b I 2------------- dz=

V

dwdx-------- w ' m V

VA G-------------= = =

dwdx-------- w '=

m.

w ',

m

w '

w ' –=

w ' m – VV

A G------------- –= =

mVV

dx

w ' –=

z

h

w '

mm

w '' 'm '– 'm –= =

'

w '' MEI------– T

Th

-------– VV '

AG---------+=

V

V A S 2

b I 2------------- dz

AI 2----- S 2

b------- dz= =

I z

V

S z

A b h=

I b h312

--------------=

b

hyz

h2--- z–