Journal of Geometry Vol. 12/2 1979 Birkh~user Verlag Basel

BEMERKUNG ZU EINEM SATZ VON BAER

Gfinter Heimbeck

Let a be an involutorial antiautomorphism of the division ring K with char K ~ 2 and E := {re Klrra = ]} Refining a result of R. Baer we prove:(card E - ])2<card K ~ ~ = id. This is done by computing card E and the cardinal numbers of the sets consisting of the a-symmetric respectively the a-skew-symmetric elements.

R. B a e r h a t i n [ i ] (S . 135 , Lemma 2) f o l g e n d e n S a c h v e r h a l t

G b e r i n v o l u t o r i s c h e A n t i a u t o m o r p h i s m e n y o n K S r p e r n m i t y o n 2

v e r s c h i e d e n e r C h a r a k t e r i s t i k b e w i e s e n .

E i n i n v o l u t o r i s c h e r A n t i a u t o m o r p h i s m u s ~ m i t d e r E i g e n s c h a f t

(*) r r ~ = i ~ r = • I

ist die Identit~t.

In der vorliegenden Note m~chte ich eine Versch~rfung dieses

Satzes angebeno Es wird sich zeigen, dab die Voraussetzung (*)

erheblich abgeschw~cht werden kanno

Der nun folgenden Betrachtung legen wit einen (nicht not-

wendig kommutativen) K~rper K mit einem involutorischen Anti-

automerphismus ~ : K , K zugrunde. Wit setzen durchweg char K

* 2 voraus. Zu ~ gehSren in nat~rlicher Weise drei Gruppeno

F := I r c K I r ~ = r 1

S := ~r c K I r ~ = - r t

E := I r ~ K Irr ~ = i I

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2 HEIMBECK

Fund S sind bzgl. der Addition Gruppen. Wegen charK % 2

bilden diese eine direkte Zerlegung der Additionsgruppe yon

K. E ist hinsichtlich der Multiplikation eine Gruppe.

Im folgenden Satz kl~ren wir, welche Beziehungen zwischen

den MRchtigkeiten yon F, S, E und K bestehen. Die Kardinal-

zahl einer Menge X bezeichnen wir mit IXI.

sATz.

a) I~1 : IFllsL.

b) IEI : I s l + l .

c) Im Falle a * id gilt IF1 : Isi.

Beweis. a) folgt aus der Bemerkung, da~ die Additionsgruppe

von K direkte Summe von Fund S ist.

b) Die Zuor~ungsvorschrift T(r) := (r+l)(r-l) -I ist fur

jedes r*i brauohbar. Wegen charK * 2 liefert sie eine

Selbstabbild~g yon K- II}. T ist involutorisch, denn es gilt

T ( T ( r ) ) : I ( r + l ) ( r - 1 ) - l + l t { ( r + l ) ( r - 1 ) - 1 - 1 t -1 = ~ [ ( r + l ) +

(r-l)](r-l)-l}I(r-l)[(r+l)-(r-l)]-ll = 2.r.2 -1 = r. Wir

brauchen nur noch nachzurechnen, da~ T die Menge E- 111 auf

S abbildet. Dabei kommt uns zustatten, dab ~ mit T vertausch-

bar ist. F~r r c E-111 folgt T(r) ~ = T(r ~) = T(r -i) =

(r -I +l)(r -I-I) -I = (l+r)(1-r) -I = -T(r), also T(r) c S. Ist

r ~ S, so erhalten wit T(r) ~ = T(r ~) = T(-r) = (-r+i)(-r-l) -i

= ( r - 1 ) ( r + l ) - 1 = T(r) -1, d.h. T ( r ) c E - ~ 1 I .

c) Wegen ~ * i d g i b t es e in Element s ~ S - IOto Sein Z e n t r a -

l i s a t o r C(s) i s t e i n T e i l k ~ r p e r yon K; e r b l e i b t be i ~ im

ganzen lest, weil s ~ = -s gilt. F~r die Additionsgruppe yon

C(s) erhalten wir die direkte Zerlegung

i00

HEIMBECK 3

(1) c ( s ) = c ( s ) nF + C(s) n s .

Die Summanden dieser Zerlegung haben dieselbe M~chtigkeit,

denn die Injektion r r ~ rs r bildet C(s) nF bzw.

C(s) AS in C(s) NS bzw. C(s) OF ab. Es g i l t a l s o

(2) Ic(s) nFI = Ic(s) nsl.

Hi t a) f o l g t aus (1) und (2)

(3a) I c ( s ) l = I c ( s ) n F I 2 s IFI 2,

(3b) I c ( s ) l = Ic ( s ) nsl 2 ~ Isl 2.

Nun ziehen wir die Abbildung D : K ~ K mit der Zuordnungs-

vorschrift D(r) := rs + sr in Betracht. Es handelt sich of-

fenbar um einen Endomorphismus der Additionsgruppe yon K. Man

best~tigt unmittelbar, daft D(S) c F gilt. Well die Faktor-

gruppe S / S nKern D isomorph zu einer Untergruppe yon Fist,

erhalten wit die Abseh~tzung

(~a) I S / S f i K e r n D I ~ IFI.

Ebenso gewinnt man aus D(F) c S

(~b) IF/FnKe~DI ~ Isl.

Da jedes Produkt yon zwei Elementen aus KernD zu C(s) geh~rt,

gilt

(5) IKe:~DI ~ IC( s) l -

Multiplikation der beiden Ungleichungen (4a) und (5) ergibt

zusammen mit (3a)

(6a) Isl ~ I S / S n K e r a D I I K e r a D I ~ IF I I c (s ) l ~ IFI 3.

Entsp rechend f o l g t aus (4b) , (5) und (3b)

(6b) ]F 1 ~ ]F/F OKernDllKernD I ~ IS] IC(s ) I ~ ISI 5-

Die Absch~tzungen (6a,b) zusommen zeigen, dab Fund S entwe-

der beide unendlich oder beide endlich sind. Im ersten Fall

erhalten wir IS I S IFI5 = IF] S IS13 = ISl, also IFI = ISI.

i01

4 HEIMBECK

Im zweiten Fall ist nach a) K selbst endlich. Well endliche

K~rper kommutativ sind, folgt C(s) = K und dann aus (2) die

gewiinschte Gleichheit.

Aus u n s e r e m S a t z e r g i b t s i c h u - m i t t e l b a r d i e a n g e s t r e h t e

V e r s c h R r f u n g d e s B a e r s c h e n R e s u l t a t e s .

KOROLLAR. K sei ein K~rper mit charK # 2 und ~ : K ~ K

ein involutorischer Antiautomorphismus. Dann gilt:

( 1 ~ 1 - 1 ) 2 < I K I ~ ~ = i d .

B e w e i s . Im F a l l e ~ # i d f o l g t m i t , m s e r e m S a t z IKI = I F l l s l

= I s l 2 = ( I m l - 1 ) 2

ES sind zwei Bemerkungen am Platze zur Forderung, die das

Korollar an den Antiautomorphismus ~ stellt. Erstens erweist

sie sich bei unendlichem KSrper K gleichwertig zu der ~ber-

sichtlicheren Bedingung IEI < IKI. Zweitens ist sic schwR-

cher als die Baersche Forderung. (*) besagt E = I• i}. In

diesem Falle genUgt Teil b) des Satzes alleine~ tun S= I0},

d.h. a = id zu begrtinden.

Zum AbschluB mSchte ich auf zwei bekAnnte PhRnomene hin-

weisen, die bei hermiteschen Metriken auftreten; sie gewin-

nen auf Grand des obigen Satzes an Deutlichkeit. Wir stellen

uns einen n-dimensionalen projektiven Raum (n ~ 2) ~ber einem

unendlichen KSrper K mit char K # 2 vor. Er sei mit einer

nlchtausgearteten, nichtprojektiven PolaritRt ausgestattet.

Diese kann dutch eine hermitesche Form @ mit involutorischem

Antiautomorphismus ~ # id dargestellt werden.

I) Gibt es auf einer nichtisotropen Geraden einen isotropen

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HEIMBECK 5

Punkt , so i s t d i e Anzahl de r i s o t r o p e n P u , k t e a u f d i e s e r Ge-

r aden g l e i c h IKI. (Nach [ 1 ] , S. 138 i s t d i e Anzahl de r i s o -

t r o p e n Punk te g l e i c h I E I . )

2) Die S t a n d u n t e r g r u p p e

:: I nIH : idl

einer Hyperebene H hat die Ordnung IKI. Nach [2], S. 25 ist

n~mlich ~ fur isotropes H zu S isomorph; f~r nichtisotropes

H gewinnt man einen Isomorphismus yon ~ auf die Einheiten-

gruppe E eines involutorischen Antiautomorphismus # id, der

aus ~ durch Nachschalten eines inneren Automorphismus yon K

h e r v o r g e h t .

L i t e r a t u r

[1 ] Baer , R . : L i n e a r A l g e b r a and P r o j e c t i v e Geometry.

New York, Academic P r e s s 1952.

[ 2 ] Dieudonn~, J . : La g6om~t r i e des g roupes c l a s s i q u e s . 2. Auf -

l a g e . B e r l i n - G ~ t t i n g e n - H e i d e l b e r g , S p r i n g e r - V e r l a g 1965.

Gtiuter Heimbeck

Ma thema t i s ches I n s t i t u t

Am Hubland

8700 WUrzburg

(Eingegangen am 25. Oktober 1977)

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