VoL X, 1959 137

Bemerkungen zur Fourier-Stieltjes-Transformation

Von HEDrZ K6~rIG in Aachen

1. Formulierung der Ergebnisse. Es sei ~ eine auf der reellen Zahlengeraden de6nlerte reellwertige l~lnktion yon beschr~nkter Variation. Wir nehmen an, dal3 der Funktionswert ~(u) in jedem Pnnkte u zwischen den einseitigen Grenzwerten

(u -- 0), ~ (u + 0) liegt. Es sei

w o o

die Fourier-Stieltjes-Transformierte yon ~0. Die Funktion P ist auf der Zahlengeraden gleiehm~Big stetig und besehr/inkt. Die Relation

(0) t im P (t) = 0

kann nut darm bestehen, wenn die ~'hnktion ~ stetig ist. Fiir ein absolut stetiges izt sie naeh dem Satz yon R I ~ , ~ - L E B E S G V E stets erffi]jt, fiir ein singul~res q0 dagegen im a]jgemeinen nieht (HEwIrT [3], S. 140). Wit werden den folgenden Satz beweisen.

Satz 1. Die Funktion y) sei au/ der Zahlengeraclen yon beschr~inkter Variation, und es sei

o o

li. f P(t - u) dw(u) = o .

D i e Fourier-Stielt]es- Trans/ormierte

Q(t) = f e ~ut d~p (u) - - o o

yon ~p besitze au/ der Zahlengeraden nut isolierte 2Vullstellen, und die Funktion ~ sei

in allen diesen Nugstellen stetig. Dann besteht die Relation (0). Der Speziaffall, dab die Fnnktion Q keine reellen !qu]jstellen besitzt, ist enthalten

in einem Satz yon By.marburG, der eine Verallgemeinerung des TAVB~.~-Satzes yon WxE~v,R darstellt. In diesem Falle bleibt die Aussage des Satzes 1 f/ir eine beliebige stetige und beschr~nkte Ftmktion P sirmvoll und riehtig (B~.trvmn~G [1], S. 133-- 136). Die Voraussetzung, dab die Funktion Q nur isolierte lqullstellen besitzt, ist immer dann erfiillt, wenn die Fnnktion ~o unterhalb und oberhalb eines beschr~nkten Inter- varies konstant ist; denn in diesem Falle ist Q zu einer ganzen Funktion fortsetzbar. Die Voraussetzung, dal] die l~unktion ~ in allen l~Iullstellen yon Q stetig sein so]J, ist offensichtlieh notwendig.

138 H. KSNm ~mcm m~TH.

Besonderes Iuteresse verdient der folgende Spezialfall. Es sei v/ eine Sprung- funktion mit den Sprungstellen u - - - - - ]h und den SprunghShen (--l)m-~(~) (] = 0, 1 , . . . , m); die natiirliche Zahl m lind h =~ 0 seien lest gew~hlt. Dann ist

o o

f P( t -- u) d~(u) = ~ (-- 1)m-J (7)P(t + ]h) = A ~P( t ) . -o0 i=o

Ferner hat man o o m

Q(0 = ] ~ ( ~ ) = F ( - 1)--,(?)~-,J~, = ( ~ - , ~ - 1)- . -00 j'=0

die NuIlstellen yon Q sind also die Punkte u = 2~n/h (~ ---- 0, 4-1, -4-2, ...). Wit haben daher den folgenden Satz.

Satz 2. Es sei m elne nati~rliche Zahl und h * O. Es sei

lim A '~ P (t) = O, t . - -~ o o

und die Funktio~ q~ sei in den Punkten u = 2~n/h (n = 0, • 1, -4-2, ...) stetig. Dann besteht die -~elation (0).

Der vorstehende Satz 1 lgBt sich weitgehend verallgemeinena. Wir ffihren die monoton wachsende lind beschrgnkte Funktion

V(u) = [Var ~]ur

ein. Es sei/~ das dutch V erzeugte endliche Borel-~a~ auf der Zahlengeraden (HAL- ~os [2], S. 178--183). Nach der Definition yon # hat man

~ ( ( u , v ) ) = V ( v - o) - V ( u + 0) , ~([u, v]) = V(v + o) - V ( u - o ) .

Ferner sei v das (lurch die Funktion ~ erzeugte allgemeine (nicht'notwendig positive) endliche Borel-MaB auf der Zahlengeraden. Die Integrale

o o

f / (u) d~ (u), f l(u) d~(u)

sind f/it jede Borel-mel3bare und beschr~nkte t~unktion / definier~ und st, immen fiir jedes stetige / mit den Integralen

f l (~)dr(u), f /c~)d~(~) - - o o - - o o

fiberein. Ferner bat man die Ungleichung d~(u) o o

Es gilt alsdann der folgende Satz.

Satz 3. l)ie $'unktion y~ eel au] der Zahlengeraden von beschrSnkter Variation, und es sei

c o

r = f P(, - u) av (u) = o. t . . . ~ o o - - 0 0

Vol. X, 1959 Bemerkungen zur Fourier-Stiehjes-Transformafion 139

Die (abgesehlossene) Punktmenge N (v2) der NullsteUen ger $'ourier-Stieltjes.Trans- /ormierten Q yon v 2 besitze das lz-Mafl Null. Dar~n besteht die Relation, (0).

Es ist klar, dab Satz 1 in Satz 3 enthalten ist; denn im Falle einer hSchstens abz~hlbaren Punktmenge /V (~) ist

~,(2v(~)} =Z(v{~ + o) - v ( ~ - o)) =Y,(I ~(~ + o} - ~(~)I + I ~(~} - ~ ( ~ - o) I),

worin fiber alle Punkte u ~ N (~) zu snrnmieren ist. Andererseits ist Satz 3 in dem folgenden allgemeineren Satz enthalten.

Satz 4. Die _~u~ktio~ y~ sei au] der Zahlengerade~ yon beschrSnkter Variation, und es sei

run f 2 ~(t - ~) a~(u) = o. t - - > o o - - r

Dann besteht die Gleichung

]i~r jede Borel-meflbare und besehrSnkte Funktion 1, die #-/ast 4befall au/ der Punkt- menge N (~fl) tier Nullstellen der ~ourier-Stieltjes-Trans/ormierten Q you ~ verschwindet.

Wir werden Satz 4 ia.Absehnitt 2 beweisen. Zum Abschlu~ sei noeh das folgende, aus Satz 4 flie~ende Nebenresult~t erw~hnt: Wenn die Relation (0) erffillt ist, dann g~t

tim f ei~ dr (u) = 0

ffir jede Borel-meSbare Punktmenge E der Zahlengeraden.

2. Beweis yon Satz 4. Wir begirmen mit den beiden folgenden ttilfssgtzen.

tIilfssatz 1. Die komplexwertige ~'u~ktlou h 8ei auf der Zahlengeraden stetig und be, schrSnkt. Dann fibt es zu beliebigen ~ > O, (~ > 0 ein trigonometrisches Polynom T (Linearkombination yon Funktionen e g~u, ~ reell), so daft gilt

] h (u) - - T (u) l ~ (~ l/Jr [ u I ~ ~ ~ d II TII < 411 ~ I1-

Beweis . Wit dfirfen h ~: 0 un4 ~ ~ IlhI1 voraussetzen. Die Funktion

(~) = ~ (~) - ~ (~ (~) - ~ ( - ~)) ~m H

ist ebenfalls stetig und beschr~nk% und es gilt 1 H (~) ---- H (- - ~) ---- -~ (h (~) + h (-- ~) ).

Naeh dem Approximationssatz yon W~.~ERST~SS gibt es ein trigonometrisehes Polynom

n ii~u

140 H. KS~m AaCm ~ .

so dab gilt

I ~ ( ~ ) - s ( ~ ) I < ~ f~r I ~ l -<- ~- Da S periodisch mit der Periode 2 ~ ist, folgt hieraus

II s It < tl HI[ + ~ __ 3 ]l h[l . Die Funl~tion

1 . ~u S(u) T (u) = -~ (h (3) - - h ( - - 3) ) sm ~ 7 +

leistet daher das Verlangte.

Hilfssatz 2. Die komplexwertige _~unktion / 8el au/ der Zahlengeraden Borel.me[3bar und beschrSnkt. Dann gibt es zu ]edem ~ > 0 ein trigonometrisches Polynom T, so daft gilt

o o

- - o o

Beweis . Ztm~chst gibt es eine stetige un4 besehr~nkte ~ n k t i o n h mit

o o 8

f Is(~)- h(~)l ~,(~) =< - - o o

(gATJ~OS [2], S. 240--243). Alsdann w~hlen wir ~ > 0, 5 > 0 und bestimmen ein trigonometrisehes Polynom T gem~I3 ]:[ilfssatz 1. Es folg~

c o

f [ / (~ ) - T(~)I ~(~)_-<-~+ f [ h ( ~ ) - T(~)I g~(~)=< - - ~ - - o o

< ~ + ~v(~) + 5 I[hll ( v ( - ~) + v(~) - v(~)).

t t ierin kann man erreiehen, indem man z > 0 hinreichend groI3 und ~ > 0 hin- reichend klein w~klt, dab die reehte Seite ~ s wird. Damit ist ffiWssatz 2 bewiesen.

Wir gehen nun zv_m Beweis yon Satz 4 fiber. Es sei ~ der komplexe Vektorraum der auf der Zahlengeraden Borel-meBbaren und besehr/~nkten komplexwertigen Funk- tionen h mit

o o

l~n f e ~ - t ~ d~(u) = O.

Wenn h zu ~ geh6rt, dann geh5rt offenbar aueh das Produkt T h yon h mit einem beliebigen trigonometrisehen Polynom T zu ~. Es sei m m ] eine Borel-mel3bare und besehr/~nkte Funktion. Wir w~hlen ein e > 0 und bestimmen ein r Polynom T gem~I~ T-Tilfssatz 2. Es folgt

Daher ist

Vol. X, 1959 Bemerkuagen zur Fourier-Stieltjes-Transformation 141

~ h (u) d~ (u) limsup fdutf(u) <----~[Ihl] t ~

und folglieh, da ~ > 0 behebig w~hlbar war,

nm f e~ / (u ) h(u) ~ (u) = 0. t - - ~ r - - ~

Damit ist gezeigt: Werm h zu t~ geh5rt, dann gehSrt aueh alas Produkt ]h yon h mit einer beliebigen Borel-meflbaren und beschrgnkten Funktion ] zu ~.

Nun ist nach dem Satz yon FuBn~I

o ~ o o o o o o oo

-oo -oo -co -oo

oo oo

= f ~ Q (~) ~ (~) = f e ~ Q (~) ~ (~) - o o

(WIDDE~ [5], S. 25). Die Voraussetzung yon Satz 4 besagt also, dab die Funktion Q zu ~ gehSrt. Iqach dem vorangehenden Absatz gehSrt daher far jedes ~ > 0 die ~kmktion

{ 1 far ,Q(u),>_(3} F~(u) = 0 far ]Q(u)] < 6

zu ~; denn f~ ist das Produkt yon Q mit der Borel-mel3baren und beschr~nktea Funktion

Es sei nun { 1 far Q ( u ) # 0 }

F ( u ) = 0 far Q ( u ) = 0 ;

F i s t also die eharakteristisehe ~mktion des Komplementes der PunkCmenge iV (V). Dann ist

f ~ r (~) d~ (~) _<__ f ~ F~(~) d~ (~) + f I E (~) -- F~(u) I d~ (~). - o o - o o

tIieraus folg% o o o o

~ ~ f ~ ~ (~) ~ (~) -<- f I ~ (~) - ~ ( ~ ) 1 ~ (~)

uncl daher far ~ -> 0 nach dem Satz yon LEBmS~VV. fiber die majorierte Kon~e.~genz o ~

lira f e ~ F(u) dr (u) = 0. t - - > r -r

Mithin gehSrt aueh die ~unktion F zu ~. Hieraus folgt naeh dem vorangehenden Absatz, dal~ das Produkt ] F yon F m i t einer beliebigen Borel-mei~baren und be- schr~nkten ~mktion ] zu ~ gehSrt. Damit ist Satz 4 bewiesen.

1 4 2 H . K~NI( ; ARCH. MAT~L

3. Anwendung auf lineare dissipative Systeme. Dieser Abschnitt bringt eine An- wendung der vorstehenden Ergebnisse auf die Theorie der linearen dissiFativen Systeme, wie sie kfirzlich yon Herrn J. MmlXN~I~ und dem Veffasser entwickelt wurde (K6NiG-~Iv, IX~m~ [4]). Wir fibernehmen die damafigen Bezeichnungen. Eine auf Coo definierte und yon der Ordnung oo stetige dissipative lineare Transformation L yon langsamem Wachstum ist yon der Form

OO OO

Z/(t) = A/"(t) + B/(t) + f /'(t - u ) P(u) du + f /"'(t - u) (p (0 ) - P ( u ) ) du. 0 0

tiierin sind A, B >= O, und P ist die Fourier-Stieltjes-Transformierte einer der Trans- formation /5 nmkehrbar eindeutig zugeordneten, ungeraden und im Nullpunkte stetigen Verteihmgsfunktion f . In _gbschnitt 8 der zitierten Arbeit (S. 314--319) hatten wit die Transformation L im Unendlichen ,tetig genannt, wenn sie jede yon einer Stelle z an konstante Funktion [ der Klasse Coo in eine Funktion L / m i t end- lichem Grenzwer~

lira Ll(t) t-"~eO

iiberffihrt. ItierfOr erwies sich die Relation

(o) tim P( t ) = o t-...~Oo

als notwendig und hinreichend. Wit beweisen nun den folgenden Satz.

Satz 5. Es sei I~ eine au/ Coo definierte und yon der Ordnung oo stetige dissiTative lineare Trans/ormation yon langsamem Igachstum, welche ]ede auflerhalb eines be- schrdnkten Intervalles verschwindende .Funktion ] der Klasse Coo in eine .Funktion I_,] mit endlichem Grenzwert

LI (t) t ~

iiber/i~hrt. .Dann izt die Transformation L im Unendliehen stetig.

]3 e weis. Wit schliel3en zun~ehst wie in der zitierten Arbeit, dab for jede auBerhalb eines beschriinkten Intervalles verschwindende Funktion ] der Klasse Coo die Relation

lira N/( t ) = 0 t--~o

besteht; hierin bedeutet oo t

N](t) = f ]'(t -- u) P(u) du = f f'(u) P(t -- u )du . 0 .-00

Wit w~hlen nun ein festes h > 0 nnd fOr jedes e > 0 eine Funktion/~ der Klasse Coo mit

{ 1 for - - h _ < u ~ O } L ( u ) = 0 fOr u < - - h - - e , u > = e '

die im Intervall - -h -- e --< u ~ -- h monoton w~chst und im Intervall 0 =< u =< e

VoI. X, 1959 Bemerkungen zur Fourier-Stieltjes-Transformation 143

monoton £~llt. Ferner sei ~(e) der Stetigkeitsmodul der Funktion P. Dann ist fiir t > _ e

N L ( t ) - - ( e ( t + h) - - P-(t)) = - h e

--~_~ ]: (u) ( P ( t - - u) - - P ( t q- h)) du + f ] : (u) ( P ( t - u) - - P ( t ) ) du 0

un4 daher

Es folgt I P ( t + h) - - P(t) I _ Jlv/At) I + 2~(~).

lira sup I P(t + h) -- P (t) 1 <-- 2 ~(e) l---->oo

und daher, da e > 0 beliebig wghlbar war und die ~hnktion P gleichm~Big stetig ist,

lira (P( t q- h) - - P ( t ) ) -~- O .

Diese Gleichung gilt fiir jedes h > 0. Hieraus und aus der Stetigkeit der Verteilungs- funktion ~ im Nullpunkt folg¢ nach Satz 2 die Relation (0). Die Transformation L ist daher im Unendl~chen stetig. Damit ist Satz 5 bewiesen.

Literaturverzeiehnis

[1] A. BEVRLr~G, Un th~or~me sur les fonctions born~es et uniform~ment continues sur l'axe r~el. Acta math. 77, 127~136 (1945).

[2] P. 1~. HALLOS, ~Ieasure Theory. New York 1950. [3] E. Hv.wrrT, A Survey of Abstract Harmonic Analysis. Surveys in Applied Mathematics IV.

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265--322 (1958). [5] D. V. WLUD~.R, The Laplace Transform. Princeton 1946.

Eingegangen am 5.3.1959