Berechnung der Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule

fii A r c h i v r E l e k t r o t e c h n i k XI. Band. 6. Heft. i922.

Berechnung der Eigenschwin ungen langen Spule.

V o n

Werner Schriider.

der doppella igen

I. Einle i tung. Die Frage nach den Eigenschwingungen einer Spule ist zu einem wichtigen

Problem der Starkstromtechnik geworden, seitdem man ihren Zusammenhang mit den h~iufig bei Einschaltvorg~ingen beobachteten Uberspannungen erkannt hat. Die zur Kliirung dieser Erscheinungen angestellten Untersuchungen haben ergeben, dab eine Spule m6glicherweise dann in Spannungsgefahr geraten kann, wenn die Fre- quenz der beim Ausgleichvorgang entstehenden Wanderwellen mit gewissen Eigen- frequenzen der Spule fibereinstimmen. In diesem Zusammenhange ist die Frage nach den Eigenfrequenzen einer Spule yon technischer Seite in einer Reihe yon Arbeiten auf die verschiedenste Weise behandelt und diskutiert worden. W a g n e r 1) z. B. ersetzt die einzelnen Spulenwindungen dutch eine konzentrierte Windungs- kapazit~it und -induktivit~it. Indem er weiter je zwei benachbarte Windungen untereinander durch eine Gegeninduktivit~it und mit der Erde durch eine Erdkapazit~it verbindet, erhfilt er als Ersatzschema der Spule den sog. Kettenleiter. Ffir diesen kann er eine Reihe Eigenfrequenzen ableiten, die einer oberen Grenze, der kritischen Frequenz, zustreben. Ist die aufgedrfickte Frequenz gleich der kritischen, so hat der Spannungsgradient am Anfang der Spute ein Maximum. Zu fihnlichen Ergeb- nissen kommt B6 h m ~). Seine Rechnungen ergeben ebenfalls eine kritische Frequenz, f~hren aber im Gegensatz zu denen W a g n e r s zu dem Schlut;, dat; auch noch ober- halb jener kritischen Frequenz Eigenschwingungen liegen k6nnen.

Von einer anderen Seite hat R o g o w s k i a) das Problem in Angriff genommen. Er leitet die Eigenschaften der Spule aus einem System von geeignet angeordneten Doppelleitungen ab und findet dabei zwei physikalisch streng voneinander ge- schiedene Gruppen yon Eigenschwingungen, die er Eigenfrequenzen erster und zweiter Art nennt. Nut bei denen zweiter Art k6nnen nach seiner Ansicht Uber- spannungen auftreten. Eine kritische Frequenz ist nicht vorhanden.

Diese Ergebnisse stehen im Einklang mit der Theorie yon L enz4). Die der strengen Behandlung des Spulenproblems innewohnenden mathematisehen Schwierig- keiten vermindert er weitgehend dadurch, dab er einerseits den Wicklungsquer- schnitt der kurzen Spule als Ellipse auffaf~t und andrerseits die lange Spule als Ausschnitt aus einer unendlich langen betrachtet. Die rechnerische Durchf/ihrung ergibt dann eine Grund- und zwei Gruppen yon Oberschwingungen, die, wie Ro- g o w s k i 5) zeigt, mit dessen Eigenfrequenzen erster und zweiter Art identisch sind. Experimentell sind diese von G o t h e s) [vgl. auch Ge l s T), RidderS)] nachgewiesen

i) Arch. f. El. Vl, S. 3Ol. 3) Arch. f. El. V, S. 408 u. IX, S. 34 I. 8) Arch. f. El. S. I7, S. 244. ~) Ann. d. Phys. 4~ S. 749, im folgende n mit L zitiert. 6) Arch. f. El. VII, S. 255. ") Arch. f. El. IX,:S I. 7) Frankfurter Inauguraldissertation I92I. 8) Arch. f. El. X.

Arehiv f. Elektrotechnik. XI . Band. 6. Heft. Ausgegeben am Io. September x9z~. 15

Archly flw 204 S c h r 5 der, Berechnung d. Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. Elektroteehnik.

worden. Eine kritische Frequenz aber, in deren Vorhandensein W a g n e r eine eharakteristische Eigenschaft der Spule erblickt, wurde in keinem Falle gefunden. Man beachte tibrigens hinsichtlich der W a g n e r s c h e n Auffassung die Bemerkung yon K r u i t h o f l ) .

In der vorliegenden Untersuchung ist der Versuch gemacht, die Lenzsche Eigenschwingungstheorie auf zweilagige Spulen auszudehnen. Sie wurde auf An- regung yon Herrn Prof. L e n z unternommen und durch seine rege Anteilnahme wie durch seinen stets gem gew~ihrten Rat gef6rdert. [ch m6chte nieht versliumen, ihm daffir meinen ergebensten Dank auszusprechen.

2. Methoden und Ergebnisse.

Um das Problem der rechnerischen Behandlung zug~inglich zu machen, wird im folgenden zun~ichst statt der wirklichen Spule ein Ersatzgebilde, bestehend aus zwei koachsialen unendlich langen Kreiszylindern, behandelt. Ffir dies System lfigt sich Potential und Wirbelkraft und damit das gesamte elektrische Feld angeben. Zur Berechnung der in den L6sungsansfitzen (9) und (12) noch unbekannten Koeffi- zienten stehen uns die Grenzbedingungen (I3), (I8), (I9), (32), (33) zur Verfiigung, die den fiir einlagige Spulen aufgestellten entsprechen. Ihre Benutzung fiihrt zu dem in den Koeffizienten homogenen Gleichungssystem (35) und dessen AuflSsung zu der in v bzw. in /, biquadratischen Gleichung (36). Diese liigt sich unter der Annahme, daI~ der Lagenabstand klein gegen den Spulenradius ist, weitgehend vereinfachen und liefert schlief~lich die gesuchte Grundschwingung (39), niimlich

Des weiteren wird gezeigt, daft diese Formel auf wirkliche Spulen angewandt nur dann richtige Werte fiir ~ liefern wird, wenn der Spulenradius klein im Ver- gleich zur Spulenl~inge ist und wenn man statt des Abstandes 2 d d e r Kreiszylinder die Gr6fie 2 d' gemM~ der Gleichung (46) eingeffihrt, die sich aus der Forderung ergibt, dab die Kapazitiit des Ersatzgebildes gleich der Spulenkapazitlit sei.

Zur Berechnung der Spulenkapazit~it bedarf es der Kenntnis des Spulenpotentials. Da wir aber die Potentialwerte nur in unmittelbarer N~ihe der Windungen zu kennen brauchen, so kSnnen wir den Spulenradius unendlich setzen, mit andern Worten das Problem als zweidimensionales behandeln: Gegeben sind zwei parallele unendlich ausgedehnte Drahtgitter, welches Potential herrscht auf ihnen? Die zwecks L6sung befolgte Methode besteht darin, dag in die Achsen der Driihte elektrisch geladene Linien, sogenannte Pol- und Dipollinien in geeigneter Weise angeordnet und deren Potentialbeitr~ige summiert werden. Dies Verfahren wird zuniichst an dem Fall der Doppelleitung ausgebildet und seine Brauchbarkeit dutch Vergleich mit der bekannten strengen L6sung sichergestellt. Die dabei erreichte Genauigkeit betr~gt bei den durchgerechneten Beispielen I b i s 4~

Die Berechnung des Gitterpotentials bietet nun keine wesentlichen Schwierig- keiten mehr. Faint man n~imlich die beiden Drahtgitter als ein System yon fiber- bzw. untereinander angeordneten Doppelleitungen auf, so ergibt sich das Gitter- potential K als Summe der den einzelnen Doppelleitungen zukommenden Potential- beitdigen. Die Ausftihrung der Summation ffihrt auf sogenannte Lenzsche Gitter- funktionen und liefert schlieglich die allgemeine L6sung (84).

Die wirkliche numerische Berechnung yon K erfordert ein unerwtinschtes Marl yon Rechenarbeit. Im Interesse einer m6glichst bequemen Verwendbarkeit der Frequenzformel (47) wird deshalb ffir die praktisch vorkommenden Spulendimen- sionen das Gitterpotential berechnet, in Tabelle 15 zusammengestellt und in Bild 16

1) Arch. s El. XI, S. 77-

XI. Band, ~922. Schr6der , Berechnung der Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. 205.

graphisch dargestellt. Aus ihr lfif;t sich K dutch Interpolation ermitteln, wenn man es nicht vorzieht, die NShdrungsformel (Ioo) zu benutzen, die auf etwa 1% genaue Werte liefert.

Damit sind wit in der Lage mit Hilfe ( 4 6 ) den gesuchten Korrektionswert 2d' bequem angeben zu k6nnen. Unsere endgfiltige Frequenzformel lautet dann:

~/l-; , R Z = 2 L F - ~ v - Jl (i a) H1 (~ (i a) .

und ist anwendbar auf im Vergleich zum Spulenradius lange Spulen. Schlief~lich wird die Formel an Messungen yon R i d d e r geprfift.

3. Das E i g e n f r e q u e n z s p e k t r u m der i dea l i s i e r t en Spule.

Um den Vergleich mit der Lenzschen Theorie zu erleichtern, sind die in der 0ben zitierten Arbeit gew~ihlten Bezeichnungen nach M6glichkeit auch hier benutzt worden. In der Hauptsache sind es folgende:

v = Schwingungszahl in 2 ~ Sekunden, Wellenl~inge im Ather, gesamte Drahtl/inge der unteren bzw. oberen Spulenlage, LI, 2

2 R1, ~ = 2r = 2 1

h 2d

C

Durchmesser der unteren bzw. oberen Spulenlage, Drahtdurchmesser,

= L~inge der Spule, = Gangh6he (Abstand zweier Windungen), = Abstand der oberen Wicklung yon der unteren, =- Lichtgeschwindigkeit.

@ @ ,@ , , IN | | @

Bi!d I, Integrationsweg zur Berechnung von _4. Bild 2.

2

i # ) {aj

Z=,21.1~ . . . . . . (i 1 /

z ,-2 z ,

,~ t B

Ausschnitt aus der unendlich langen Spule.

Bevor wir die Lenzsche Methode zur Berechnung der Eigenfrequenzen auf die zweilagige Spule anwenden , diirfte es angebracht erscheinen, einen 15berblick fiber die zu erwartenden Erscheinungen mit Hilfe der T h o m s o n schen Schwingungs- formel

zu gewinnen. DaB es sich dabei nut um eine erste Orientierung handeln kann, wird nicht zweifelhaft sein, da die Spule sicher nicht, wie es die Anwendung der Formel (I) zur Voraussetzung hat, ein System mit konzentrierter Kapazit~t und Induktivit~it dar;tellt. Da der Strom J in beiden Wicklungen unserer zweilagigen Spule yon der L~inge 2 1 und dem Querschnittsradius R in gleicher Richtung flieflt, so wird das Magnetfeld und damit die Selbstinduktion gegenfiber der einlagigen Spule nicht erheblich ge~indert sein. Indem wir deshalb letztere zur Berechnung yon A zugrunde legen, bilden wir das Linienintegral der magnetischen Kraft tiber einen der Spulenachse parallelen, die Wicklung eng umschliegenden Integrationsweg

15"

Archiv filr �9 206 S c h r 5 d e r, Berechnung d. Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. Elektrotechnik.

(Bild I). Da das Magnetfeld auf das Innere der Spule beschr~inkt ist und hier den konstanten Betrag H hat, so liefert die erste M a x w e l l i c h e Gleichung

H.21 - - - 4 n N ' J , falls N die Anzahl der Windungen bedeutet. Ffihren wir die L~inge des aufge- wickelten Drahtes mit L = 2 r [R .N ein, so ergibt sieh

L H = R . ~ . J.

Setzen wir weiter die magnetische Energie der Spule:

f L~ . Win-- 8 ~ r d H ' 2 d V = 81 Y

Volum en der Spule

in der iiblichen Weise gleich } A J ~, so folgt ffir die Selbstinduktion A der Spule: L ~

A = - - . (2) 41

Zur Berechnung der Kapazit~it fassen wir die zweilagige Spule als Plattenkonden- sator mit der Fl~iche F = a a R.21 ( = Zylindermantel) auf. Seine Kapazit~it ist, wenn 2 d den Abstand der oberen Wicklung yon der unteren angibt:

R ' I C -- 2d �9 c*" (3)

Damit folgt aus (I) ffir die Grundwelle:

)~1 = r~'L VeR----d �9 (4)

Da in den praktisch vorkommenden Fiillen d K R ist, so werden wir fiir die zweilagige Spule weir grOgere Wellen zu erwarten haben, als fiir die einlagige berechnet und beobachtet sind. DaB (4) die Schwingungserscheinungen an der zweilagigen Spule qualitativ richtig wiedergibt, zeigt die genauere Durchrechnung, der wit uns jetzt zuwenden wollen.

Die gute Obereinstimmung der Lenzschen Theorie mit der Erfahrung lg.gt es angebracht erscheinen, die zweilagige Spule in ganz derselben Weise zu ideali- sieren, wie L e n z die einlagige. Wit k6nnen dann nicht nur die dort benutzte Methode mfihelos auf den vorliegenden Fall fibertragen, sondern aueh alle Grenz- bedingungen des Potentials und der Wirbelkraft [vgl. L. Formel (3), (I2), (36), (4o)]. hiniibernehmen. Wit denken uns also die zweilagige Spule als Ausschnitt aus einer unendlich langen, auf der sich stehende Wellen mit dem Knotenabstand 21 ausgebildet haben m6gen (Bild 2). Damit Ausschnitt und Spule beziiglich des Schwin- gungszustandes wirklich kongruent sind, miissen wir den Ausschnitt so w~ihlen, dab an dessen Enden, d. h. bei z = o, + ~ 1 Stromknoten und in dessen Mitte ein Strom- bauch liegt. Welter nehmen wir eine so gtoge Windungszahl und so dichte Wick- lung an, dab die obere und untere Spulenlage in zwei koaxiale Kreiszylinder iiber- gehen, auf denen die friihere Lage der Windungen jedoch erkennbar bleiben soil.

Das elektrische Feld 15,gt sich bei quasistalition~irer Behandlung in zwei Teile spalten, in den Potentialanteil q) und den Wirbelkraftanteil ~ gem~ig der Gleichung:

= ~ q - g r a d r p [ (S) div ~ = o !

Potential und Wirbelkraft geniigen den bekannten Differentialgleichungen:

/-/9 = - - 4 r ~ e }

wenn e die elektrische Raumdichte und ~ den spezifischen Strom bedeutet. In dem yon Ladung freien Raum gilt in Zylinderkoordinalen #, O, z:

XI. Band. ,o~a. Schr6de r , Berechnung der Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. 207

I 8 ~ 82~ 8 ~ ~ I 8 9) + ~ ~- : o, (7)

deren L6sung sich in bekannter Weise aus Kreis- und Zylinderfunktionen zu s,o )

m z �9 n .~ (8) rp : Z~ (im e) t cos cos

zusammensetzt. Um sie den physikalischen Bedingungen anzupassen, bedenken wir, dab wegen der vorausgesetzten grof~en Windungszahl q~ yon # nur sehr gering ab- h~ingen wird, dag wir demgem~i6 keinen grot~en Fehler begehen; wenn wir n = o setzen. Bevorzugen wir ferner die Sinusfunktion, so haben wir

acp m - - p~---I 2,3

21 ' " ' "

zu w/ihlen, damit q) an den Stellen z-----+ 21 zu Null wird. Die weiteren Bedin- gungen, dab das Potential im Unendlichen vei-schwinden und im Nullpunkt endlich bleiben muff, lassen sich dutch die H a n k e l s c h e Funktion erster Art bzw. durch die Be s s el sche Funktion verm6ge deren Eigenschaften

]im H0(0 (ix) = o X .--~ 00

lira J0 (i x) = endlich X ---> o

erffillen. Nehmen wir schlief~lich noch die zu bestimmende Eigenfrequenz v in die Partikularl6sung auf, so entstehen folgende drei Ans~itze.

" ( , Q<~RI" gi == eivt ~AP Jn r~ 1P 2T ~ P 2 1

p = I ]

~ ( s ) } "t R ~ % ( ) % R e : 9 O m : e i ~ t " Z BpJ 0 ~zip --CpH(o) ~zip s in~p~] - (9)

cO . Z Q ~ R ~ : ~ : ei~t~'Dp H~ ) n i p sm rc p)-~.

p = I I

Da die Wirbelkraft im stromlosen Gebiet ebenfalls der Potentialgleichung genfigt, so k6nnen wir die Partikularl6sung (8) auch ffir ~{ in Anspruch nehmen. Allerdings m/issen wit dabei beachten, dab z / ~ nut in Kartesischen Koordinaten gilt, dab demgem~tg (8) nicht den Vektor ~ , sondern nur eine Komponente darstellen kann. Offenbar ist nun:

= ~ /

& = &~. cos ~i j (m) da ja ~ gem/iS seiner Integraldarstellung

<**)

den Windungen parallel gerichtet ist. Bedenken wit schlieBlich noch, dab B dort Maxima hat, wo ~0 Minima, so gelangen wir zu den Wirbelkraftans~itzen"

e < R , : ~ ( i ) = e'"t~a,J,p=~ \ - ~ - - ] cos ~ P 2 7 .cos&

o ( ' ) , ( ) > R ~ : ~ ) ' = e i~t 2 dpH~ ~) ~ i p cos ~ p ~ "cos

Archly fiir 208 S c h r 5 d e r, Berechnung d, Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. Elektrotechnik.

Zur Bestimmung der in diesen Ans~itzen noch unbekannten Koeffizienten haben wir zun~iehst die Bedingung des stetigen 0bergangs yon Potential und Wirbelkraft [vgl. L. (36), (4o)J.

~i = c#~ } & = ~G } = R~ Q = R~

@ = Ra @ = Ra woraus sich die Bedingungsgleichungen

B p - - A p = . j0( ipa) [

R _J0(ipfi) ] Dp + Cp = ~p U~,~ (i p #) ]

bp - - ap ----- cp H~) (i p a) I " Ji (i p a)

I dp @ Cp = bp J1 (i p b') H~) (i p ~)J

ergeben, wenn zur Abkiirzung

a----- 21 [ (IS)

-svl gesetzt wird. Weitere Beziehungen zwischen den Koeffizienten fliei~en aus der Forderung, dab die Tangentialkomponente der elektrischen Kraft an der Draht- oberfl~iche stetig fibergehen mug. Diese Bedingung reduziert sich nach L enz [vgl. L. (3)] auf

& + g~ = o (i6)

Drahtoberfl. und ergibt mit

as -- L~,~ ~z auf die innere und /iul3ere Wicklung angewandt:

Q~ R,

und

x L / ~- o. (19) \ (a=o) ~ ~z

Die beiden in ( I8 )und (19)verschiedenen Vorzeichen rfihren von dem entgegen- gesetzten Wicklungssinn der inneren und ~ufSeren Spulenlage her. 1Jbrigens h~tte z. B in (I8) statt ~(i) 9(i) auch das Wertepaar ~(m), @m) genommen werden k6nnen, da es aus Stetigkeitsgrfinden mit dem ersten gleichberechtigt ist. Die Auswertung der Gleichungen (I8), (19) ffihrt nun zu:

Trp J0(ipa) Ap ap - L1 71 (i p a)

: r H~)(ip#).D (20) dp = g~ H~ �9 (ip#) P

Um weitere Relationen zwisehen den Koeffizienten zu erhalten," iiberlegen wir uns, daft der Ansatz (I2) zunRchst nur aufierhalb der Stromleiter Giiltigkeit beanspruchen

XI. Band. x~zz. Schr6der , Berechnung der Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. 209

kann, dab er nur der Gleichung d~----- o, nicht abet, wie wit doch verlangen mfissen, der allgemeineren Gleichung A~=4r~ genfigt. Wie L e n z (vgl. L. p. 762) zeigt, k6nnen wir uns jedoch wegen der geringen Dicke der stromffihrenden Schicht mit der L6sung yon d ~ --= o begniigen, wenn wit sie nut der Grenzbedingung [vgl. L. (I2)]

~ ) ~/~(xm) 4 r ~ x (2I) ~ n i ~- 0 n m =

unterwerfen. 7 bedeutet darin den pro Zentimeter Spulenh6he dureh die Win- dungen fliel3enden Strom und steht mit der auf den Windungen sich ansammelnden Ladung o) in der Beziehung [vgl. L. (37)]

z 1 oJ~,~ = + ~z" (22)

Ffir die innere Wicklung I und die ~iuf3ere 2 folgt daraus unter Beachtung der sehon oben fiber das Vorzeichen gemachten Bemerkung:

Lt~ 97 ~ i i - ~z (23)

L~ ". 3~ ~ ' ~ = Oz" (24)

Die auf einer Windung sitzende Ladungsmenge pro Fl~icheneinheit ist gleich der Differenz des Potentialgradienten an beiden Seiten der Windung, betr~igt also fiir die inhere und Rugere Spulenwicklung:

- ~ / ~q0(~) 0nero) ~ 4~c~t ~q + Oq ~ (25)

Q ~Rt

% = + (z6) 4~rc ~ ~ 0q ~q

q=Rz

Die Ausrechnung ergibt hierfiir mit Benutzung yon (I4) sowie der Beziehung: 2

Ho'(g) 'Jo (~) - - Ho (~)Jo'(~) = Ho (g)J, (~)- -H~ (~)Jo (~) = . i ~ (27)

nach zweimaliger zeitlicher Ableitung die Werte:

o9~.= 2 r~R2 ei~t 2BP " p = ~ H 0 ( i p ~ sin r~ p ~ . (29)

Kehren wir nunmehr zu den Gleichungen (23), (24) zurfick, so liefern sie nach Aus- ffihrung der Integration nach z:

i L t / v \ 2 ~ 1 I ( z ) - / - / e ~ 2 - - Op. cos ~ p (3o) 7t 2 -n~ \ c / p=~- p Jo ( ip . ) M-

i L ~ / v \ ~ " I ( z ) __ /__| e i V t 2 _ I cos r . (3I) Y~ : ~ a R ~ \ c / p=r P Bp'Ho(ip~) 21-

Damit sind wir in der Lage, die Bedingung (2I) auswerten zu k6nnen. Wir haben sie nur mit )'x = 7" cos ,9 f~r beide V~ricklungen anzuschreiben:

. --~q_ } -- 4~ ,1 cos`9 (32) p = R,

~P)gq q_ ~x0__q_ = 4~)~ cos# (33)

O ~ R~

Archiv flit 210 S e h r 6 d e r, Berechnung d. Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. Elektrotechnik.

und die Gleichung (14) zu berficksiehtigen, um zu erhalten:

L' (_~)2J' (iPd) .Cp (34)

b p ~--- - - n p H~*'(ip//) Da alle Relationen zwischen den Koeffizienten fiir jedes p gelten, so wird es zweck- m~igig erscheinen p = I zu w~ihlen. Wit haben dann gem~il~ (I4), (zo), (34):

B - - A = C jo (i a)

j,, (i g) m + C = B H9 ~ (i ~)

b - - a = c H~)( ia) J, (i ~)

I , ( i~)

(35) C - - - -

r~ Jo (i a) �9 C

b = L-~2(c)~ H(**)(i~) B

rr Jo (i a) a ~ - - a

L, J, (i a) d =- ~z H}, ~'(ig) D

L2 H~ ~ (i ~)

Da dies Gleichungssystem in den Koeffizienten homogen ist, so m6chte es scheinen, als sei unser Problem fiberbestimmt. Tats~ichlich liegen nun ja die Ver- h~iltnisse bei den Eigenschwingungen so, dab deren Ampli tude stets unbes t immt ist. Es k o m m t eben nicht auf die Absolutwerte der Koeffizienten an, sondern nur auf deren Verh~tltnisse. Man erkennt dann abet sofort, dab unsere acht Koeffizienten in Wahrhei t nur sieben Unbekannte darstellen, dag als achte der noch unbes t immt gelassene Parameter v, die Schwingungszahl, anzusehen ist; Fiihren wir statt v auf

2r~c die im Ather gemessene Wellenl/inge ~ ein, so Grund der Beziehung v - - - - - ~

ergibt die Aufl6sung des Gleichungssystems (35) ffir ~. die biquadratisehe Gleichung:

( / ~ ) ' ~ r~ Jo(ia).H(~,'(i~)--H(~'(ia)Jo(ifl ) L~" L~ J1 (i a) H(I) (i g)

( Z ) ' { L~ H(1) (i a) Jo (ig) + L~J, (i~) H(p (i a) } q7 ~ 2 + L-~ Jo (i a) H(I) (i fl) L~ Jx (i a) H(o ~) (i/3) (36)

+ L~,. L__~ J~ (i a) H(I~ (i ~) __2 H{ I) (i ~) J, (i#) = o r~ ~ Jo (i a) H(o) (i/5')

Diese noch recht unhandliche Gleichung l~iflt sich weitgehend vereinfachen unter der Annahme, daf~ die Differenz

~ - - a = -~q~ (tG - R,) = -

klein gegenfiber dem a, d. h. dab 2 d < R

ezd = d (37) 1

ist, Wir k6nnen dann die mit dem Argument ifl = i (a + d) behaffeten Funkt ionen

X I , B a n d , ~9~2- S c h r 6 d e r , Berechnung der Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. 911

nach Potenzen von i d entwickeln und bereits nach dem linearen Glied brechen, also

f( i~) = f ( ia ) + i3 f ' ( ia )

setzen, so dab sich der in (36) stehende Ausdruck

J~ (i a). H({) (i t3) - - HC I) (i a) Jx (i 13) = Jo (i a) HCo~ (i ~) - H{o~ (i a) Jo (i 13)

auf 2 i . d reduziert. Bedenken wir weiter, dab wegen der Proportion

L1 _ R1 L2 R=

die Beziehungen :

ab-

als die erste L6sung. die Wurzel in

L 1 d L~ d - - ~ I . . . . I - f - - - L~ a L I a

bestehen, so geht die Gleichung (36) unter Anwendung bekannter N~iherungsformeln fiber in

id I I II ( L ~'~ J1 (i a) H(i~ (i g)

+ \~ - / ~ (i ~) H~p (i ~) = o.

Streichen wir das in der Klammer stehende, die kleine Gr613e d enthaltende Glied gegen die 2, so bleibt:

= ( 3 8 ) 2~- Jl" HCI~ "~-d- u i d' Jo" Hr !

Nehmen wir das positive Zeichen der Wurzel, so k6nnen wir unter der Wurzel das zweite Glied gegen das erste streichen, erhalten demnach

Z~I~ = 2 L J~ (i a) Hc I) (i a) (39)

W/ihlen wir in (38) dagegen das negative Zeichen und formen

JI'H~I ~" id- I + jo .H(~) jx .H( f ) .n2a . , - ]d' I + 2 . z r 2a 2Jo'H(o)'J1.H(I)

urn, so bleibt in der geschweiften Klammer nur

a d 2 i it a Jo" H(~ -- i zr R Jo H~o ~!

stehen, womit yon (38) als zweite L6sung

1/ d J.(~) = 2 L i ~. R" J0 (i a) H(~ (i a) (40)

bleibt. Unsere Theorie fordert demnach das Vorhandensein zweier Arten yon Grund-

schwingungen, yon denen die eine, n/imlich (39) wegen d ~ R sehr lang, die andere (40) dagegen kurz ist. Nach der Formel (4) mfissen wit aber gerade die lange Grundschwingung als charakteristisch ffir die zweilagige Spule ansehen. Das wird noch einleuchtender, wenn wir unter Benutzung der Grenzwerte 1)

i a lira Jo (i a) ---= I lim J1 (i a) -

c~ - - > - o c~ ---> o 2

1) Vgl. z. B. Funktionentafeln von J a h n k e und Emde.

A r c h i v f o r . 212 S c h r 5 d e r, Berechnung d. Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. g t e k t r o t e c h n i k ,

2 �9 2

lim H(o) (i a) = ~ log 7" a

~ = die Formeln (39) und (40) ffir

R < I hinschreiben :

lim H(I ) (i a) = ~ - 0: - - ~ O

V Z{~) = 2 L R I

2 2 l o g -

7"a

(41)

(42)

W~thrend die 15bereinstimmung der Formel (41) mit (4) unsere einleitenden Betrachtungen rechtfertigt , zeigt der Vergleich von (42) mit der entsprechenden Lenzschen Formel [vgl. L. (58) p. 788], nSmlich mit

~,~__ 2 L V I 2 I log--2 ' y.a

daft bci dcr zwcilagigen Spule ganz ~ihnliche Schwingungsverh~Itnisse auftreten k6nnen wic bci cincr cntsprechendcn cinlagigen Spule. Wir lasscn dicsc kurze Wcllc im folgcnden unberficksichtigt und besch~iftigen uns nut mit der langcn (39). Allcrdings crflihrt die Anwendbarkcit dicscr Formcl auf wirkliche Spulcn, abgesehen yon der Bedingung dcr dichten und cngcn Wicklung wcitcrc Einschr~inkungen. Da n~imlich in den dcm Ausschnitt yon der L~inge 21 benachbartcn Ocbieten Str6mc cntgegcn- gcsctztcr Richtung flicficn, da fcrner cbcndort der Potentialabfall wcnigcr steil als an den Enden dcr frcicn Spule ist, so wcrdcn Selbstinduktion und Kapazit~it und damit dic Wcllenl~ingc des Ausschnitts kleincr als dic dcr frcien Spulc sein. Dicser Unter- schied wird um so stiirker hcrvortreten, je kleiner lim Vcrglcich zum Spulenradius R ist, und um so mchr schwinden, je gr6fier l im Vergleich zu R ist. Die Gfiltigkcit unscrer Formel (39) werdcn wit SOl-nit nut flit den VCcrtcbcreich

R T<l

behaupten k6nnen. Urn aus dcr Grundfrequenz •1 die ( p - - I ) t e Oberschwingung J~v zu erhalten,

haben wit nach L e n z statt L und 1 einfach L u n d 1 - - zu setzen. Dieser Substitution P P

liegt die Auffassung zugrunde, nach der die ( p - - I ) t e Oberschwingung der 2l 2 1

langen Spule als Grundschwingung e i n e r - langen anzusehen ist. Wir erhalten P

somit fiir das Frequenzspektrum unserer zweilagigen Spule unter den erw~ihnten Einschr~tnkungen :

2p = ~ - ~ J1 (i p a) H(I) (i p a). (43)

4. Einfluf~ d e s D i e l e k t r i k u m s u n d d e r z y l i n d r i s c h e n , G e s t a l t d e r Dr~th te .

Unsere soeben abgeleitete Frequenzformel bezieht s ich auf.den Jkther (e = 1). Ihre Verwendbarkeit erfordert aber unbedingt die Verallgemeinerung auf cin be- liebiges Dielektrikum, das innen (~i), aufien (,~), und zwischen den Spulenlagen (e~) verschieden sein kann (el =1= tm q~ e , ) . Da: jedoch im wesentlichen nur im Gebiet

XI. Band. ~922. SchrSder , Berechnung der Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. 213

zwischen oberer und unterer Wicklung ein Feld vorhanden ist, so werden wir nut eine AbhS.ngigkeit yon e= erwarten. Diese Vermutung erwies sich bei der erneuten Durchrechnung unter Aufnahme der DielektrizitS.tskonstanten in die Ausgangs- gleichungen als zutreffend. Weit einfacher und bequemer gestaltet sich die Ein- fflhrung der Dielektrizit~itskonstanten jedoch im Rahmen einer zweiten, ebenfalls an (39)'anzubringenden Korrektion, die den Einfluis der zylindrischen Gestalt der Dr~ihte beriicksichtigt. Was wir behandelt haben, ist ja eigentlich nicht die in einem beliebigen Dielektrikum befindliche Spule, sondern ein Gebilde aus zwei unendlich langen koaxialen im Ather liegenden Kreiszylindern, auf denen gewissermassen Spulenwindungen eingraviert sind. Es ist nun zu ermitteln, wie der Abstand 2 d der beiden Lagen unserer Ersatzspule zu dimensionieren ist, damit wir uns den Verh~iltnissen an der wirklichen Spule m6gliehst gut annfihern. Wiirde man 2 d gleich dem Abstand der Lagenmitten der wirklichen Spule setzen, so entspr~iche das sicherlich nicht den tats~ichlichen Kapazit~ttsverh~iltnissen. Denn die Kapazit~it der wirklichen Spule ist sowohl wegen der gr6iseren Dielektrizit~itskonstanten als auch wegen der gr6fSeren N~ihe der positiven und negativen Ladungen (Bild 3) gr6iser a ls die unserer idealisierten. Nach der Thorn sonschen Formel werden wir demnach erwarten mtissen, daiS die nach (43) berechneten Wellenl~ingen gegeniiber

Bild 3. Einfluf5 der zylindrischen Gestalt der Dr~thte.

@ W-- - - / [L ..... J] Bild 4. Kapazitatsberechnung.

den an wirklichen Spulen beobachteten zu klein ausfallen. Der Kapazit~itsverkleine- rung k6nnen wit leicht dadurch Rechnung tragen, dais wir den Abstand der koaxialen Zylinder so weit verringern, bis sie dieselbe Kapazit~itswirkung zeigen wie die wirkliche Spule. Die Kapazit~it der Ersatzspule l~igt sich angen~ihert nach der fiir den Plattenkondensator giiltigen Formel berechnen. Sie ist im elektrostatischen Mais- system bezogen auf ein Rechteck yon der H6he h, der L~inge I und dem Platten- abstand 2d' (Bild 4) gleich

h kl -- 8 ~ d' (44)

Zwar ist die Wirksamkeit der Spulenkapazit~it nicht die einer parallel geschalteten yon dem hiernach ffir die ganze Spule zu errechnenden Betrag, sondern sie ist diejenige einer verteilten Kapazit~it. Trotzdem ist nicht zweifelhaft, daiS wir die Ver- h~iltnisse an der wirklichen Spule gut ann~ihern, wenn wit es so einrichten, dais die Kapazit~it (44) diejenige wird, die die beiden Spulenlagen gegeneinander bes~iisen, falls sie als Kondensator bentitzt wiirden, d. h. falls die Lagen getrennt auf das einheitliche Potential + K bzw. - - K aufgeladen wiirden. Im Hinblick darauf, dais d < R und d < l ist, kommt die 6rtliche Ver~inderlichkeit der Potentialwerte, wie sie an der wirklichen, schwingenden Spule statthat, offenbar nicht in Betracht. Um nun die Kapazit~itswirkung der als Kondensator aufgefaisten wirklichen Spule bestimmen Zu k6nnen, mtissen wir die zwischen der oberen und unteren Wicklung herrschende Potentialdifferenz kennen. Das kommt aber auf die L6sung eines reinen Potentialproblems hinaus: Gegeben sind zwei gleich stark aber entgegengesetzt geladene Drahtgitter mit dem Gitter bzw. Drahtabstand 2 d und h (gleich der Gang- h6he). Welches Potential herrscht an den Dr~ihten? Diese Frage wird uns im

314 SchrOder, Berechnung d. Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. archiv tar Elektrotechnik.

folgenden besch~iftigen. Wir nehmen das Ergebnis vorweg: Belegen wir die Dr~ihte I

mit der Ladung _+~- pro L~ingeneinheit, so betriigt die Potentialdifferenz zwischen

den Gittern 2K, dessen Wert aus dem Bild 16 zu entnehmen ist. Da hiernach I

auf einem Rechteck der H6he h und der L~tnge I die Ladung - - sitzt (Bitd 4), so 2

ist die auf diese Flache bezogene Kapazit~t gleich:

k s ~ ~m 4K' (45)

wenn e,~ die zwischen den Gittern herrschende Dielektrizit/itskonstante bedeutet. Der Vergleich yon (44) mit (45) zeigt, daft wir statt d den Wert

h d' = - - K (46)

2 ~,Fm

w/ihlen miissen, um in beiden F~llen gleiche Kapazit~itswirkung zu erzielen. Durch den Korrektionswert d' haben wir somit sowohl den Einflug der zylindrischen Ge- stalt der Dr~ihte als auch den des Dielektrikums beri~cksichtigt. Wir werden nunmehr erwarten dtirfen, daft die Formel

Ip = -p-- [/ --~-- J, (i p a). H(I) (i p a) (47)

das Frequenzspektrum einer im Vergleich zum Durchmesser langen zweilagigen Spule enger Wicklung mit guter Ann~iherung zu bestimmen gestattet. Der Einflufi der Drahtform auf die Selbstinduktion ist zu vernachl/issigen, da ja der Strom in beiden Wicklungen in der gleichen Richtung fliefit und also hinsichtlich der Selbst- induktion dieselben Verh~iltnisse herrschen wie bei einer einlagigen Spule.'

5. Das Potential der Doppelleitung.

Zur Bestimmung des korrigierten Abstandes 2 d' brauchen wir, wie vorstehend ausgeftihrt, die Kenntnis des Potentialfeldes zweier paralleler Drahtgitter. Dabei wird es zweckm/if~ig sein, die zwecks L6sung anzuwendende Methode an dem Fall der DoppeIIeitung zu entwickeln, deren L6sung ja in strenger Form bekannt ist. Der Vergleich dieser strengen L6sung mit der angen~iherten wird dann zugleich einen Anhaltspunkt flit die Brauchbarkeit unseres Verfahrens geben.

Das Potential einer Doppelleitung findet man bekanntlich dadurch, daft man zwei unendlich lange im Abstand z a parallel laufende Graden mit Ladung belegt und die zugeh6rigen Fl~ichen konstanten Potentials aufsucht. Betr~igt die Ladung

pro Lg.ngeneinheit +_ ~ Und deutet das Symbol ~ in tiblicher Weise an, daft nut 2

der reelle Teil des folgenden komplexen Ausdrucks gemeint ist, so gibt (Bild 5)

}(4s) z = x @ i y ]

das Potential der beiden Graden an. Sucht man aus der Bedingung

die zugeh6rigen J~quipotentialfl~ichen, so findet man ein System yon Kreiszylindern, deren Mittelpunkte auf der x-Achse liegen und yore Koordinatenursprung die Ent- fernung

a - - + r"

r = Drahtradius

XI. Band. x922. Seh r6de r , Berechnung der Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. 215

haben. Denken wir uns demnach zwei zusammengeh6rige Fl~ichen gleichen Poten- tials ( i x ) durch leitende Kreiszylinder ersetzt, so wird das Potentialfeld nicht ge- st6rt, und wir haben eine Doppelleitung, deren Potential die Gleichung (48) angibt. Transformieren wir sie, wie es ftir die folgenden Rechnungen zweckm~igig erscheint, auf das im Mittelpunkt des linken Drahtes gelegene ungestrichene System auf Grund der Formeln

z 1 = ( z - d) + a z 2 = ( z - - d ) - a ,

so ergibt sich ( z - - d ) - - a

~ = {R{Iog~ d ) + a }

mische Pollinien gesetzt haben.

@'

IZll

~ d ~ ~ �9 ~.

Bild 5. Die den Werten _4:_~ entsprechenden Aquipotentialfl~tchen.

dritten Kreis z. B. eine Dipollinie dritter Ordnung.

Bild 6. Anordnung der Dipollinien. Im Zentrum DurchstotSpunkt der logarithmischen Pollinien, aufdem

Hier kniipft nun unsere N~iherungsmethode an, indem sie zeigt, dag die eben skizzierte Polanordnung zwar die einfachste ist, insofern sie mit ]ogarithmischen Pol- linien allein auskommt, aber nicht die einzig m6gliche. Wir k6nnen n~imlich auch so vorgehen, dab wir die Achsen der beiden Dr~ihte selbst als positiv bzw. negativ geladene logarithmische Pollinien auffassen mit Potentialbeitr~igen, die sich als reelle Teile der komplexen Funktionen

I I o(Z) = I

/ (5o) - - g ~ 1 7 6 ]

darstellen. Die Bezeichnung go (z) ist in Hinblick auf die sp~itere Obertragung auf das Gitterpotential gew~ihlt. Das aus (50) resultierende Potential

el0 = N { go (z) - - go (z - - z d) } (51) wird allerdings auf den Dr~ihten durchaus noch nicht konstant, d. h. yon ,9 unab- hiingig sein W~ire n~tmlich iiberhaupt nut eine einzige, etwa die positiv oder nut die negativ geladene Pollinie vorhanden, so miigte deren Potential go (z) bzw. - go (z -- 2 d) auf der zugeh6rigen Drahtoberfl~iche aus Symmetriegriinden konstant sein. Die An- wesenheit der entgegengesetzt geladenen Pollinie verursacht aber eine St6rung, die sich am st~irksten in der x-Achse bemerkbar macht, und zwar so, dab go (z) auf der Oberfl~iche des linken Drahtes fiir ,9 = o den kleinsten und fiir ,9 = ~ den gr6gten positiven Weft, - - g ( z - -2d) auf dem rechten Draht abet ftir O----~ den kleinsten nur ftir "9 = o den gr6gten negativen Wert annehmen wird. Um diesen

und nach Abspaltung des reellen Teils:

q0 = log t r + - - - I / (49)

Wollen wir kurz die hier angewandte Methode charakterisieren, so k6nnen wir sagen, wit haben das Potential der Doppelleitung exakt dadurch dargestellt, dag wit in das Innere der Dr~ihte, j e d o c h n i c h t in d e r e n A c h s e n s e l b s t , logarith-

Archiv ffir 216 Sch r 6 d e r, Berechnung d. Eigenschwingungen der doppellaglgen langen Spule. Elektrotechnik.

noch yon & abh~ingigen Verlauf zu korrigieren, stehen uns Dipollinien erster und h6herer Ordnung rnit Potentialbeitr~igen zur Verffigung, die sich dutch Abtrennung der reellen Teile aus den komplexen Funktionen

I g~ (z) = - - (52)

Zv

ergeben. Damit Dipollinien auf der der entgegengesetzt geladenen Pollinie zu- gewandten Seite eine Verst/irkung des schon vorhandenen Potentials bewirken, sind sie so anzuordnen, wie es Bild 6 angibt. Es zeigt, dag nut die Dipollinien der ungeraden Ordnung in beiden Dr~ihten dieselbe Lage haben, dab dagegen die der

geraden, etwa der (2v)ten Ordnung gegeneinander um den Winkel ~ verschoben 2 V

erscheinen und demnaeh mit entgegengesetztem Zeichen zu versehen sind. Wir gelangen somit zu dem Ansatz:

co I

q~o = ~ { go (z) - - go (z 2d )} I} (53)

r O t{g~ (z) - ( - i ) ~ g ~ ( z - - 2 d ) } J oder ausffihrlich geschrieben:

{ - 2 q ~ R log z 2 d + c~ } (54) z z. (z -- 2 d) ~

yon dem wir behaupten, daft er das Potential der Doppelleitung in hinreichender An- Niherung darsteilt. Um das zu beweisen, brauchen wir nut die strenge L6sung (49) in

eine Reihe zu entwickeln. Es ist log [ z - (d -a ) ] = log z ( I - d ~ a ) = log z + log (I ] @ ~ )

oder nach bekannter Formel:

log[z__ (d__ a)] = logz__ 2 I ( d - - a t " ~ - - / � 9

Die hierin enthaltene unendliche geometrische Reihe konvergiert, da wegen

] z] = Drahtradius der Quotient aus dem ( n + I)ten und dem nte Gliede, n~imlich

n d - - a q n + l z

stets ~ I ist. Welter gilt

log [z - - (d + a)] = log [(z - - 2 d) + (d - - a)] d - - a

also

log [z __ (d + a)] ~_~ log (z __ 2 d) __ 2 (--~I)~ ( d - a ~ \z - : 2 d] '

Auch diese Entwicklung ist nach einem Satz fiber alternierende Reihen kon- vergent, da wegen

d - - a [ ~ I z - - 2 d j

[ z] = Drahtradius

XI Band. ~922. S c h r G d e r , Berechnung der Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. 217

die absoluten Bett~ige der Glieder mit wachsendem n stets abnehmen und aut~erdem

tim

ist. Somit erhalten wir ffir (49) die konvergente Reihe

2 i [i 0 v = ~ l o g ~ - t - ; ( d - - a ) ~ z ~ ( z - - 2 d ) J (55)

Wir haben nur noch I

c~ = v ( d - - a ) ~ (56)

z u w~ihlen, um in l)bereinst immung mit unserem Ansatz (54) zu kommen. W i r interessieren uns nun vor allem ffir den Wert des Potentials an der Ober-

fl~iche des positiv geladenen Drahtes, d. h. ffir die Werte

z = r ' e i ~ / (57) r = Drahtradius !

Um die zur numerischen Berechnung notwendige Abspaltung des reellen Anteils yon (53) durchzuffihren, setzen wir

z - - 2 d ~ R . e IO (58)

Die Amplitude R und Phase @ bestimmen sich daraus zu

R = l / ~ + 4 d ~ - - 4 r . d . c o s , 9 / tg@ = r . s i n # (59)

r. cos & - - 2 d so dab nunmehr gilt:

~0 = l~ R

I I ~1 = -r cos & + ~ cos @

I I ~0~ = ~- cos 2 3 - - ~ cos 2 0

I I ~o 3 = ~ - c o s 3 & + ~ c o s 3 0

Ffir ein lest vorgegebenes Wertsys tem 2r, 2d sind d ie ~ -Funk t ionen yon ~ allein. Um einen Uberblick fiber ihren yon // abh~ingigen Verlauf zu gewinnen, wurden sie ffir den Fall

2 r = 0,05 cm (6i) 2 d = o , 0 8 c m I

(

berechnet und als Kurven in Figur 7 eingetragen. Sie zeigen im grogen und ganzen einen cos,9, cos 2 & . . . cos v &-Verlauf.

Um das auf den Dr~ihten herrschende Potential wirklich angeben zu k6nnen, bedfirfen wir der Kenntnis der Entwicklungsglieder c~. Wir erhalten sie aus der Bedingung

IzI = r

Da sie ffir jedes # erffillt sein mug, so k6nnen wir aus ihr durch spezielle Wahl yon r so viele Gleichungen bilden, wie zur Bestimmung yon ~ und der e~ n6tig sind. Dabei werden sich offenbar um so genauere Wer te ergeben, je mehr Ent- wicklungsglieder berficksichtigt werden. Versuchen wir es z. B. mit drei Gliedern und w~ihlen ftir ,9 d ie Wer te

218 S c h r o d e r Berechnung d. Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. Ardaiv far , Elektrotechnik.

"9 = o, 2 ' -34 n'

so gelangen wir zu folgendem Gleichungssystem:

q20 ;

0 ,9

< :,~ ,,,,

T I + fOOO~x~ f

. . . . . / , ,

-<\ 4 2 . q 0 '~

o,,_ o%_,~, , , , l ' ' \ ' '

Bild 7. Potentialfunktionen der Doppel- leitung ffir den Fall

2 r = o,o5 cm 2 d = 0,08 cm,

J{ = ( fo ' - ]- C1 q~l JU C2 r . ,9 = o ) (.,9 = o ) (,9 = o )

=q00 + c l q q + c ~ q o 2

= too + c~ tot + c~ r

das unter Benutzung der in Bild 7 mitgeteil ten Kurven for den schon erw~ihnten Fall (61) die Wer te :

c~ = 0,00888

% = 0,0000423 (63)

= I,O36

ergibt, w~ihrend die genauen aus (56) und (49) folgenden Werte gleich:

c, = 0,00877 / c~ = o,oooo 385 } (64)

= 1,o4695 J

5e

,Orb _ _ _ = r

r

, N 30 a S 6 0 75 ~7 1o~ r r r ' ~

Bild 8. q) = % + 0,00888 ~

+ o,oooo423 ~o~.

sind. Um den bereits auf etwa 1 % angen~iherten Potentialwert ~---- I,O36 weiter zu verbessern, iiberlegen wir uns, daf~ to bei Benutzung yon nur drei Entwicklungs- gliedern auf der Drahtoberfl~iche tatsiichlich ja noch nicht ganz yon "9 unabMngig ist, sondern, wie aus Bild 8 ersichtlich, noch Schwankungen in Form einer cos 3,9- Kurve zeigt. Wir beriicksichtigen also auch noch das Glied ca.cf3, wenn wir ansetzen :

+ , . cos 3 # = q0o (o) + q q0~ ('9) + c2 q~2 (o). (65)

Indem wir

wahlen,

7~ 2 __7]7,

erhalten wir folgende Gleichungen.

+ ~ = ~o (o) + cl ~1 (o) + c2 ~ (o)

(3) + * = ~o + cl ~, + c2qh

- - * = ~0 (~) + cx qq (~) + c2 ~ (n)

(66)

XI. Band. ~9~2. S c h r S d e r , Berechnung der Eigensehwingungen der d0ppellagigen langen Spule. 219

Ihre Aufl6sung ergibt:

a 1 a 2 -}- a~ a 4 Cl - -

as a6 + a4 aa

a I a5 --- a s a6 C 2 - -

a 2 a 6 -~- a 4 a 5 (67)

Dass wir zur Berechnung yon u die ~p~ nicht in ihrem ganzen Ver!auf, sondern /g 2 7 g

nur an den Stellen v ~ = o, , , ~ zu kennen brauchen, bedeutet eine nicht un- 3 3

erhebliche Erleichterung der zu leistenden Rechenarbeit . Fiir den Fall (6I) ergibt (67):

u = I,O465

q ----- o,oo 880 l (68) % = o ,oooo4o 7

so dab also die Abweichung vom gen..auen Wer t z = 1,o47 weniger als I ~ betr~igt. Diese geradezu fiberraschend gute Ubereins t immung m6chte als etwas ZufNliges, vielleieht durch eine giinstige Wahl der Wer te (61) Bedingtes erscheinen. Um ganz sicher zu gehen, wurde die soeben entwickelte Methode an e inem m6glichst un- giinstigen Fall gepriift, n~imlich an einer Doppellei tung aus sehr eng aneinander- liegenden Dr/ihten :

2 r = 0,08 cm 2 d = o , Io cm

Tats~ichlich wurde gegen vorhin ein geringerer Genauigkeitsgrad festgestellt, indem der N~iherungswert

a = 0,6902 gent ther t

yon dem genauen nach Formel (49) berechneten

---- o,6932 genau

um etwa 4~ abweicht. Immerhin reicht diese Genauigkeit ffir die Anwendung vol lkommen bin.

6. D a s P o t e n t i a l d e r b e i d e n D r a h t g i t t e r in i h r e r e r s t e n A n o r d n u n g .

Unser vorhin entwickeltes und als brauchbar erkanntes N/iherungsverfahren l~it~t sich ohne Schwierigkeit auf den Fall zweier paralleler Drahtgi t tcr iibertragen. Fassen wir das Doppelgi t tcr als ein Sys tem yon fiber- bzw. untereinander mit Ab-

Archiv f. Elektrotechnik. X L Band. 6. Heft . Ausgegeben am xo. September i922. 16

Archly f/ir 220 S c h r 6 d e r, Bereehnung d. Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. Elektroteelmik.

st~inden h angeordneten Doppelleitungen auf (Bild 9), so erhalten wir deren Potential, indem wir den Potentialbeitrag der i-ten Doppelleitung

= + %o

fiber i y o n - - o o bis + eo summieren. Indem wir bei der Ausfiihrung dieser Operation die Potentialbeitdige aller gleichartigen zur selben Gitterebene geh6rigen Dipollinien zusammen fassen, entstehen aus dem g~(z)-Funktionen allgemeineren Charakters, die yon L e n z ') anlgNich eines ~ihnliehen Problems n~iher untersucht und als Gitterfunktionen G~ (z) bezeichnet worden sind. Mit ihrer Benutzung erhalten wir ffir das Potential des Doppelgitters ganz analog (53):

s te Doppe/- ~' ~ z

,,,~-e } (69) q~o = {R {O o (z) --. 6 o z - 2 d) } [

~ ) ~ - ~ ~ --" ~R {G~ (z) -- ( - I)~ G~ (z -- 2 d) } !

-{ Ffir die nullte Gitterfunktion, die ja definitionsgem~iB /z , . / /

Q ~ - i ~ alle logarithmischen Pollinien des linken Gitters enth~ilt, J ooCp. /~# . . j " - - ~ haben wir +m

Bild 0. Erste Anordnung des Doppelgitters. ffir die der v-ten Ordnung, zu der alle Dipollinien der v-ten

Ordnnng vereinigt sind,

G~ (z) = -(z - - i m h) ~ m = i

zu setzen. G 0(z) formen wit zweekmM~ig folgendermXgen urn'

Z I (i~ _~./~[ _I( ) ] + const. C o (z) = log q- log z2 _ (im h) ~ - log ~ - . i z i n z I

I

Lassen wir die Konstante als unwesentlich fort, so bleibt

G 0 ( z ) = l o g h - sin

oder bei Bentitzung der Exponentialfunktionen:

[ e~- ! / 2 ~ Z

e h - - - I

Aus ihr lassen sich die h6heren nach der Formel

I)~ & G~(z)~--- ~ 2 i ) 1 dz ~ G~

ableiten. Schreiben wir sie in der Form:

(7o)

~) Anm. d. Ph. J912. S. 923 .

X I , B a n d , ~922. S c h r 6 d e r , Berechnung der Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. 221

I d / ( = I F -~ d " - ~ / G ~ ( z ) = - - ( v _ _ i ) d z t ( 'v--2)! dz ; - ~ Go(z) j

so bedeutet ja die Klammer nichts anderes als die ( v - - I ) t e Gitterfunktion ( v ~ I ) . Wir haben damit die Rekursionsformel

G~(z)-- I d G~_~(z) } (v -- I ) d z } (7 I)

[V~ I] J die es gestattet, jede Gitterfunktion aus der ihr vorhergehenden zu berechnen, also besteht

2 ~ Z

~ e h + I G 1 (z) - - h ~ ~ ~

e h - - - I

2 - ~ Z

2 ~ Z

G 3 ( z ) = ~ t h ) e h [ ~ z ~8

Daft in ihnen die ffir die Doppelleitung aufgestellten speziellen Funktionen enthalten sind, l~igt sich leicht durch den Grenziibergang h-> ce zeigen. Dann rficken n~imlich die das Doppelgitter bildende Doppelleitungen ins Unendliche mit Ausnahme der auf der x-Achse gelegenen, und wit erhalten durch Entwicklung der Exponential- funktionen aus (7o) und (72):

Go (z) = go (z) = log I z (h--> ~)

I G1 (z) = g l (z) = - (h --+ m) Z

(73) i

G2 (z) = g~ (z) = (h --> w)

I G3 (z) = g~ (z) = (h ~ co)

in Ubereinstimmung mit (50) und (52). Zur Abtrennung der reellen Teile yon (7o) und (72) ffihren wir ffir die dort auf-

tretenden Komplexen-Ausdrficke Polarkoordinaten auf Grund folgender Definitionen ein : z = r e i ~

2 ] ~ Z

e h ~__{}.ei~0

~z (74) e h _ _ I ~ P, e i ~

2 2 ~ Z

e h -}- I = P 2 e i ~

Die Amplituden und Phasen dieser komplexen Gr6f~en bestimmen sich in bekannter Weise unter Benutzung der Abkfirzungen

2 ~ d u - -

h 2 n r (75)

v - - h

16"

Archly fiir 222 S c h r o d e r , Berechnung d. Eigenschwingungen der doppeIlagigen langen Spule. Elektrotechnik,

zu v . cos ,9

Q ~ e

oJ = v" sin O

P, = ]/O ' a - 2 0 cos ~0 + I

P2 = ]/~2--~ 2 0 c o s ~o -1- I

t g f ~ 1 - - 0 s i n w () COS w - - I

tg ~ 2 - - e s i n oJ

e C O S O + I

(76)

D a m i t k6nnen wir die reellen Tei le Gi t t e r funk t ionen sofort angeben :

unserer auf das l inke Gi t ter bezfiglichen

~ r ~t {Go (z)} = ~ c o s , ~ - - log P,

{R (G, (z)} = ~ P~ 1'-7 cos (.% - - & )

{G2 (z)} = ~ cos -

i ~ cos (3 -% - O 2 - ~ o ) {G~ (z)} = 7

U m die gleichen Be t r ach tungen ffir die F u n k t i o n e n d. h. ffir die des A r g u m e n t s ( z - 2 d) durchzuff ihren, definieren wir:

az~ I e ~ - ( z -- = d) { I ---- V t ' e i & '

2 ~

e ~ - ( z 2 d) -{- I = P2 ' ei~~ !

Unter Benutzung der hieraus fo lgenden W e r t e :

PI'~--- ]/~ 2 e - 4 u - 20 " e - = u cos~o + I

P, '-~- 1/~2 e - 4~ + 20" e - =" cos o, + I

tg ~ , ' = 0 sin ~o e - = ~ 0 c ~ 1 7 6 a u _ I

t g ~ 2 , = 0 s inw e - = ~ ~ c o s w e - 2 ~ + I

e rhal ten wir aus (70) (72): h

}R {Go (z -- 2 d)}----- ~ cos ,9 -- u -- log p,

. ~ P~' {R {G~ (z - - 2 d)} ----- ~ ~ cos ( f 2 / - - f2.~')

(h) 0e {G, (z - - 2 d)} ----- pt,2 cos (2 f2, ' - - ~o)

'(h) ~R {G3 (z 2 d)] = 7 0" e - = = p1, 8 cos (3 ~21' - - .o..~' - - to)

(77)

des rech ten Git ters ,

(78)

(79)

(80)

X I . Band . ,922. Sch r6de r , B_'rechnung der Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. 9.23

Damit sind wir am Ziel, insofern wit ftir unsere Potentialfunktionen (69) folgende zur numerisehen Berechnung geeigneten Ausdrficke erhalten:

@o = u + log PI' P1

~z/P2 _ ) - - cos (O,~ - - ,Q~)

1~1 = h [ Px

p !

! (8I)

( ~ _ ) ~ f 0 P1 '~e-au /. �9 ~ = ! ~ c o s (2 ~ . , - - ~) ~ cos (2 O.~' - - '") l

r = 3- - - t pl ~ c o s (3 o., - 9.~ - o,) + ~ . e - ~ u e # p ( c o s (3 & ' - & - ~o)

Da es sich empfiehlt, dimensionslose Gr6gen zu definieren, so wurden die ~ ( v ~ o ) ffir die numerische Berechnung noch mit dem Faktor (h;

(V-- I ) !

versehen. Die recht kompliziert gebauten Potential-

funktionen @~ h~ingen von u, v, ,~ ab: �9 ~ = ~ (u, v, a) .

Haben wir einmal ein durch feste Werte u, v charakterisiertes Gittersystem, so bleibt nut die Abh~ingkeit yon &

u, v = const. Um zur Berechnung des Koeffizienten Cv

einen Uberblick iiber den Verlauf der Funktionen in ihrer Vedinderlichkeit mit ,9 zu erhalten, wurden s i e - dimensionslos gemacht - - f~r die in Hin- blick auf die sp~iter zu diskutierenden Messungen yon R i d d e r gew~ihlten Werte

2 r = o , o 5 c m l 2 d = 0 , 0 8 c m I

h = 0,06 cm ? (82) also u = 1,33 " /

v = o,833"n J im Intervalle o % O < _ n fortschreitend um je 150 mit Hilfe ffinfstelliger Logarithmentafeln berechnet und in Bild I3 eingetragen. Da der Vergleich mit Bild IO zeigt, dab sich der Charakter der ~ , gegenfiber den cf~ gar nicht geS.ndert hat, so behalten die l)berlegungen, die zur Aufstellung der Gleichung (65) ffihrten, auch im vorliegenden allgemeinen Fall ihre Gfiltigkeit. Wie dort werden wit jetzt ebenfalls schon sehr angen~iherte Potentialwerte erwarten, wenn wir nut die drei ersten Entwicklungsglieder der Reihe (69) benutzen und den Einfluf~ des vierten (73) durch T . cos 3 0 berficksichtigen, d. h. wenn wir setzen

K + T . c o s 3,9 = 0 o + C t 01 + C~ 0~. (83) Wiihlen wir wie bei der Doppelleitung fiir ~9 die Werte

2 ~

O : O, ~-, 3 ' ~'

so ergibt die Aufl6sung des aus (83) mit diesen Werten gebildeten Gleichungs- systems nicht nur die Koeffizienten C, und C~, sondern auch den gewiinschten Konstanten Potentialwert K selbst gem~i5 den Gleichungen:

+ 3,

r + ,,o~ /

+ Z , O y

0,00 t ~ '

-0,05 qJ2: •r

O, "i5

O,2O

-o, z5

+0,08

r ,o.o~#- \ l k s o, oo[ ' \ ' ' / ~ '

-~176 \ I \ -o#21-

Bild IO. Die Potentia]funfftionen (80,

dimensionslos gemacht, fiir den Fall u = 1,33 v = 0,833 m

Archly fiir 22~ S c h r 6 d e r, Berechmmg d. Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. Elektrotechrdk.

Cl - - al a 2 @ a3 a4

a 2 a 6 -~- a 4 aa

C~ - - a l a5 - - a3 a~

a~ a 6 @ a 4 a 5

a,, = e~ (o)-- r ( ~ )

(84)

Damit sind wir in der Lage, f/ir jedes Wertepaar u, v den ihm entsprechenden Potentialwert angeben zu kSnnen. Fiir den Fall (82) erhalten wit z. B.

K = 2,00. (85) u = 1 , 3 3 �9

v = %833. ~,

Es braucht wohl nicht besonders bemerkt zu werden, dat~ am rechten Gitter das Potential - - K herrscht, dag die Potentialdifferenz also 2 K betr~igt, wie in w 2 an- gegeben ist.

7. Das P o t e n t i a l der be iden Gi t t e r in i h r e r z w e i t e n A n o r d n u n g .

Unser Potentialproblem ist fiir den Fall gelSst, dai; die Dr~ihte der oberen und unteren Wicklung, wie in Bild I I angedeutet, genau tibereinanderliegen. Man kann die Spule aber auch so wickeln, daf~ die Dr~ihte der oberen Lage in die Rillen der unteren gelegt werden. Die dieser Wicklungsart ent- zy sprechende Anordnung der Drahtgitter sei als deren zweite bezeichnet (Bild I2). Es ist leicht einzusehen, daft die Kapazit~it in der zweiten Anordnung wegen Vergr6f~erung

B i l d I3 .

r �9

@@@ @@@ @@@ @@@

Bild II. Erste Anordnung. Bild ia Zweite Anordnung.

Q I

Doppelgitter in der zweiten Anordnung.

des Abstandes zwischen positiver und negativer Ladung abgenommen, das Potential dementsprechend zugenommen haben mug. Dies wird besonders stark dann hervor- treten, wenn wir bei m6glichst kleinem Lagenabstand 2 d einen grogen Drahtradius r w~ihlen, d. h. bei grogem v und kleinem u. Diesen Fall werden wir auch rechnerisch n~iher verfolgen.

Zun~ichst haben wir jedoch die allgemeinen Formeln zu entwickeln. Dazu beachten wir, dab ja die zweite ~nordnung der Gitter dutch Hinaufschieben des

h einen, etwa des rechten, u m - enstanden gedacht werden kann (vgl. Bild I3). Das

2

X 1 . l ~ a n d . ~gz~. S chrSde'r, Berechnung der Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. 225

ihr entsprechende Potential ~(=) geht daher ohne weiteres aus dem , i

Anordnung abgeleiteten hervor, wenn wir z - - 2 d durch z---2 d - i n ersetzen: 2

, ( .~) �9 (~=)={R{G0(z)--Go z - - 2 d - - 1 7 } t I / ( h )

@(~=~R G~ (z) - - (-- I)" G ~ z - - 2 d - - 1 ) - .

Hierin bedeuten gem~ig den Formeln (7o), (72)'

[ e h ( * - ~ a - i ~ ) l G o z - - 2 d - - i =log{ h

( . h ) n e ~-]-I

e h \ a ] - - I

ffir die erste

(86)

(87)

und damit schliefilich fiir die Gitterfunktionen der zweiten Anordnung:

~(~) --- u + log P2' Pl'

1 = K 1 ~ co~ (& -- &) + --p/cos (&' -- m/) I

(-~h)~I 0 '~1--o"+o'e-~ ,~ --~'I ~ g ) = ~ c o s p v,, cos D /

(89)

(9 ~ )

~{~,(z ~d ih)} ~{~(z_~d_ih)}

n P / = g-F//cos ( & ' - G')

= - \ ~ - ] ~ cos (~ - 2 o/)

G~ (z __ 2 d-- i h) _-- ( h ) ~ e ~ ( ~ d i ~ ) ~2l: Z (e~(~d~) i)~

Zur Bildung der reellen Teile, Mie ja stets allein nur in Frage kommen, formen wit die in (87) auftretenden Ausdriicke unter Benutzung der Definition (78) wie folgt um:

e T z - - a d - - i -t- I = e - i z e h - - t z - - 2 d ) - - I --- P l ' e i ( f a ( - z ) I

e W z - a d - 1 7 _ _ i = e _ i : z e h ( Z - - 2 d ) t_ I = p / e l ( g a d - = ) .

Wir erhalten dann

{R{ G0 ( z - - 2 d - - i h ) } = h r cos O - - u - - l o g ~ h p /

Archiv Itir 226 S c h r 6 d e r, Berechnung d. Eigenscbwingungen der doppellagigen langefi Spule. Elektrotechrtik,

Aueh die q~(~ wurden mit dem Faktor ~ (v - - I ) ! ( v ~ o ) dimensionslos

gemacht. Da im iibrigen das bei der ersten Anordnung der Drahtgitter angewandte Verfahren zur Berechnung des Potentials auch hier seine G/iltigkeit beh~ilt, so k6nnen wir die q)~(2) sofort fiir den durchgehends betrachteten Fall (82) berechnen und mit den entsprechenden q~-Werten vergleichen. Dabei zeigt sich, daft die prozentualen

Abweichungen der q)~(~) yon den tP~ also r I O O ftir ,,~ = o die maximalen

Betr~ige von o,4~ 8~ 8~ bzw. fiir v ----- o, I, 2 erreichen, dann aber mit wachsendem

-00 B i l d I4 .

Doppelgitter flit den wir die Werte ftir

v -~ 0 ,9 �9 z .

schnell geringer werden. Sie erweisen sich jedenfalls ~ als zu gering, um in dem Bild io noch zum Ausdruek zu kommen. DaB, wie erwartet, st/irkere Abweichungen erst bei grofiem v und kleinem u bemerkbar werden, zeigt der Fall

U ~-~- 71;

v = o,9 �9

K (~) = 0,823 / ! (9 I )

K --= 0,628 [

erhalten. Das Bild 14 gibt das den Werten u = n~ v = o,9z~ entsprechende Gr6ften- verhgltnis der Dr/ihte an. - - Die vorstehend behandelten als erste und zweite An- ordnung bezeichneten Wicklungsarten stellen Extremf/ille ftir die Drahtlagerung dar. Bei der wirklichen Spule gehen die Windungen quer iibereinander.

8. N u m e r i s c h e R e c h n u n g e n .

Die vorstehend entwickelten N~iherungsmetl~oden liefern uns das Gitterpotential K und damit die in der Frequenzformel (47) auftretende Korrektionsgr6fte d' ver- m6ge der Beziehung [vgl. (46)]

d d' - - K. (92)

U " F m

Allerdings ist die dazu erforderliche Rechenarbeit so erheblich, daft die praktische Verwendbarkeit der Formel (47) in Frage gestellt zu sein scheint. Es erweist sich daher als notwendig, die n6tigen Rechnunge n ein flit allemal durch Aufstellung einer geeigneten Tabelle, aus der K ohne Rechnung zu entnehmen sein mug, zu erledigen. Um far die Variabeln u, v den richtigen Wertebereich auszuw/ihlen, ist zu beachten, daft sie durch die Bedingung

eingeschr~inkt sind, da ja stets

v ~ , ~ u

h > 2 r r ~ d

sein muff. Als fiir die Anwendung geeignet wurden die Werte

- - ~ 1 , 2 1 , 4 1 , 6 1 , 8 7g

(93) r~v _ 0,5 0,6 0,7 0,8 0, 9 J

ausgew~ihlt. [ndem dann bei festgehaltenem u das v in K = K (u, v) variiert wurde, entstand die Tabelle I5. Stellt man die so gewonnenen Potentialwerte nach der

XI. Band. I922. S c h r 6 d e r , Berechnung der Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. 227

Tabelle 15. V

Das Gitterpotential K ---- K (u, v) for 1,2 ~ uz ~< 1,8 und 0,5 ~ ~- ~o,9.

0,5 0,6

0,7 0,8

0,9 $ V

T6

U 1,2 1,4 I~6 1,8 --~ = - - zg

2,784 3,414 4,043 4,671 2,406 3,037 3,667 4,295 2,~ 2,676 3,3 ~ 3.934 1,687 2,3~6 2,958 3,587 1,34o 1,987 2,623 3,253

bei zwei Variablen tiblichen Weise im Bild I6 graphisch dar, so fiillt der im In- V

tervall o , 5 ~ - - ~ o , 9 mit u und v lineare Anstieg bzw. Abfall des Potentials ins

Auge. Obwohl pi 'aktisch ohne Bedeutung, wurde K auch fiir das Gebiet :

j / f

"~ , 8,o I ~,o NQ".-- . .

5,o " - . . .~ ;2 . . . . :2222ZF- ~,o " ~ " ~

~v,O ' ! o o,'~ o,'~ o , , + 0,' o,'~ o,~ +. L

_ _ > _ U " 3K

Bild 16. Ver]auf des Gitterpotentials (erste Anordnung). berechnet nach (84), berechnet nach (96),

. . . . . . . . . . . . Interpolation.

o ~ V ~O,3

berechnet, und zwar mit HiKe einer auf folgendem Wege zu gewinnenden N~he- rungsformel.

Ffir kleine v, aber beliebige u, d. h. im Falle eines kleinen Drahtquerschnit ts wird n~mlich ~0 gegen die folgenden Korrektionsglieder des Ansatzes (69) ausschlag- gebend. Da sich dann nach (76 ) ~ der Einheit und ~o der Null n~hert, da ferner ffir die in Frage s tehenden Wer te von (u ~ ) e - 4 u gegen e--~u zu vernachl~issigen ist, so folgt aus (79)

p i t ~-- ] / I - - 2 e - 2 u

oder

PI' = I - - e - ~" (94) v<<.~

Urn den entsprechenden Grenzwert ftir Px zu erhalten, entwickeln wir (74) 2 7 ~ Z

e h _ _ i = P l . e i&

nach Potenzen von z = r e i a und erhalten V" e i .9 : P1" e i 91

oder v : P1 �9 e i (91 - ~).

Da aber v reell ist, so mug

Archiv filr 228 S c h r 5 d e r, Berechnung d. Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. Elektrotechnik.

~'~i ~.~ ~ sein, d. h.

Pl = v. (95)

Mit (94), (95) ergibt (8I) for kleine v den N~iherungswert

I - - e - a u K = u q- l o g - - (96)

V<<~ V

Nach dieser Formel wurde das Potential im Gebiet

< v _ o <o ,3

berechnet und in Bild I6 eingetragen. Wie man ihr e n t n i m m t , ist sogar hier

(d. h. for o-< v --<o,3) ncch die Linearitfit in u gewahrt geblieben. Die nach (96)

und nach der allgemeinen Methode berechneten Kurven wurden schliegiich extra- polatorisch verbunden, wobei die Richtigkeit der Extrapola t ion durch Vergleich mit der vollstiindig berechneten und durch Ausziehen in Bild ,6 kenntlich gemachten Kurve u = 1,4"r~ sichergestellt wurde. Der Wer t K kann somit zwar unmit telbar

.aus dem Bild I6 entnommen werden, doch ist die dabei vorzunehmende graphisehe Interpolation wegen der zwei unabhlingigen Variablen u, v nicht grade sehr bequem. Wir entwickeln deshalb fiir das Gebiet

o,5 ~ v -<0,9 91; - -

eine fiir numerische Interpolation geeignete Formel. Wegen der dort vorhandenen Linearit~it des Potentials in u und v k6nnen wir namlich setzen

K (u, v) = K0 + ml" v + m~u. (97)

Dutch spczielle Wahl von u ,v = u iv i , u2v2 folgt daraus

I { } m l - - - - K ( u i v 2 ) - K ( u lvi)

V 2 - - V 1

m 2 -- K (u 2 vi) - - K (u i vl) U 2 - - U 1

und

2 K o = K (ui v~) + K (u~ v 0 - - 2 m 1 v 1 - - m~ (u i + u2). Wiihlen wir die ex t remsten Wer tepaare

V 1 = 0 , 5 " @ U 1 = 1,2 "~ v i = O,9"~ u2 = 1,8"~

so ergibt sich

I I }(98) I I

I { }(99) I /

m i -= _ i,i 5

m 2 = I,oo

K0 = o , 8 I ,

womit die N~iherungsformel (97) fibergeht in:

K = o,8I - - I ,I5 v + u. (Ioo)

Um einen Anhaltspunkt fiber ihren Genauigkei tsgrad zu erhalten, wurde nach ihr das Gitterpotential ebenfalls fiir den Bereich (93) berechnet und in Tabelle 17 zusammengestel l t . Wie der Vergleich mit Tabelle I5 zeigt, liefert (Ioo) die Poten- tialwerte auf etwa I ~ genau. Die nunmehr gewonnene, wirklich brauchbare LOsung unseres Potentialproblems gesta t te t es, den Korrekt ionswert d' in jedem Falle schnell zu best immen. Wie sehr die praktische Verwendbarkei t unserer Frequenzformel (47) dadurch gesteigert ist, m6gen folgende Beispiele zeigen, die Beobachtungen yon R i d d e r en tnommen sind.

XI. Band. ~922. S c h r 6 d e r , Berechnung der Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule. 229

Tabelle 17. Berechnung yon K auf Grund der Formel (IOO).

U 1,2 1, 4 1,6 1,8 --+ = - -

it

3,4 ~ 4,02 4,65 3,04 3,66 4,29 2,68 3,3 ~ 3,93 2,32 2,94 3,57 1,95 2,57 3,20

I[, IlI bezeichnete Spulen yon nachstehenden

0,5 2,77 0,6 2,41 0,7 2,05 0,8 1,69 0,9 1,3e

V

T6

Gegeben seien drei mit I, Dimensionen :

Spule 2 L (in m) 21 (in cm) R (cm) d (cm) h (cm) 2 r (cm)

I II

lII

386 472 556

30,23 9,35 2i,15 lO,67 5t,o7 6,95

Hieraus ergeben sich folgende Werte"

0,05 0,04 0~0 5

Spule a u

I 0,97 3,98 1I 1,58 4,57

III 0,43 4,]9

Das Potential K

K d' [ ] ~- H(~ ) (i a)

0,079 0,055 0,075

- - i Ji (i a)

0,055 0,05 0,06

I ~ e 21 (ml

2,I9 2,27 0,0285] 0,6363 0,5443 2,86 2,IO o,oi84 i o,248o 1,o635 2,5I 2,I1 0'~ i 2,0260 o,22oo

wurde nach Forrnel (IOO) berechnet , die Wer te

5820 8255 8718

fiir die H a n k e l s c h e und B e s s e l s c h e Funktion den Tabellen yon J a h n k e und E m d e entnommen. Die yon R i d d e r beobachte ten Wellenl/ingen sind nach einer vor- l~iufigen Mitteilung

I

] 21 (m) Spule !

l [ 12 55 ~

i

II [ I7 85o III 18 500

Das VerNiltnis zwischen gemessenen und errechneten Wer ten ist gleich der Quadratwurzel aus den Dielektizit~itskonstanten des die Windungen isolierenden Materials und ergibt sich zu

Spule

I II

III

21 g e m e s s e n 1/7- 17 berechnet

2,16 ~2,16 2 t i2

l )ber die Dielektrizit~itskonstante des bei R i d d e r zwischen den Lagen befind- lichen PreBspans konnte leider nichts Exak tes erfahren werden. Der Wer t E etwa gleich 4 erscheint indessen durchaus bei diesem Material wie bei damit verwandten annehmbar

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Berechnung der Eigenschwingungen der doppellagigen langen Spule