Bigbackground Statistische Methoden in der Hochenergiephysik Sebastian Naumann 5. Februar 2005 v e r s u s s m a l l s i g n a l s

bigbigbackgroundbackgroundStatistische Methoden in der Hochenergiephysik

Sebastian Naumann

5. Februar 2005

v e r s u ss m a l ls m a l l

s i g n a l ss i g n a l s

05.02.2005 S. Naumann - Statistische Methoden in der HEP Nr. 2

Übersicht

• Allgemeines

• Root

• Einfache Schnitte

• Likelihood-Methode

• Neuronale Netze

• Range-Searching


Allgemeines

Statistik: mathematische Disziplin, die sich mit der Analyse von Daten und der Überprüfung von Hypothesen mit den Mitteln der Wahrscheinlich-

keitsrechnung beschäftig.

Die ersten statistischen Methoden wurden im Zusammenhang mit Glücksspielen entwickelt (Huygens, Bernoulli, Laplace, Pascal).


Allgemeines

Statistik

Theorie

Experiment

Modelle Hypothesen

PDF‘sMonte Carlo

Beobach- tungen

Messergebnisse


Allgemeines

Besondere Anforderungen an statistischeMethoden in der Hochenergiephysik:

• hohe Ereignisraten

• kleine Verzweigungsverhältnisse

Effizienz bzgl. Schnelligkeit, Datenvolumen und korrekter Signalklassifikation


Allgemeines

Beispiel: Messung in zwei Variablen

• Experiment:

• Theorie:

Aufgabe: Trenne Signal- von Untergrund-Ereignissen

BS


Allgemeines

• Signal-Effizienz:

• Signal-Reinheit:

• „Signal-over-noise“:


Root

• ist ein „Framework“ für C++

• wird seit 1994 entwickelt, federführend am CERN

• wird an allen großen Einrichtungen der Kern- und Teilchenphysik genutzt, zunehmend auch in anderen Bereichen (Medizin, Wirtschaft)


Root

• Befehlszeilen-Interpreter undSkript-Prozessor

• Templates fürgraphischeBenutzer-oberflächen

• Tools für I/O, Histogramme, Fitting...


Einfache Schnitte

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Einfache Schnitte


Likelihood-Methode

• Idee: schneide nicht direkt auf den einzelnen Variablen xi sondern auf einer Diskriminante

• Die Diskriminante bildet den Vektor (x1,...,xn) auf einen Skalar ab und ermöglicht die Trennung von Signal und Untergrund

• Verwende dazu Wahrscheinlichkeitsverteilungen (z.B. aus Monte Carlo):

Normierung:


Likelihood-Methode

• Wahrscheinlichkeit, dass ein gemessener Wert xi aus der Klasse j{s,b} stammt:

• Likelihood-Funktion:


Likelihood-Methode

Signal-Likelihood für das zweidimensionale Beispiel:


Likelihood-Methode

Background-Likelihood für das zweidimensionale Beispiel:


Likelihood-Methode


Likelihood-Methode

Klassische Schnitte Likelihood-Methode

Vergleich:


Neuronale Netze

Nervenzelle: Modellneuron:

Leistungsmerkmale neuronaler Netwerke: Parallelität, Fehlertoleranz,Assoziation, Abstraktion, Mustererkennung, Lernfähigkeit...


Mathematische Beschreibung des Modellneurons:

• Eingabevektor:

• Gewichtsvektor:– ωi>0 exzitatorische Synapse (verstärkende Erregung)

– ωi<0 inhibitorische Synapse (hemmende Erregung)

• Schwelle:

• Aktivierung:

• Transferfunktion: (z.B. Heavyside-Stufenfkt.)

• Ausgabewert/Aktivität:

Neuronale Netze


Neuronale Netze

• Klassifikation nachNetz-Topologie

• Beispiel:das Feedforward-Netz

• Theorem von Kolmogorov:

Sofern die Zahl der Knoten (Neuronen) unbegrenzt ist, genügt schon eine versteckte Schicht, um beliebige stetige Funktionen n m zu realisieren

Mehrschicht-PerzeptronGewichtsmatrix


Neuronale Netze

Training (überwachtes Lernen):• Optimierung der Gewichte des Netzes auf

Grundlage von Beispielpaaren von Eingabe- und gewünschten Ausgabevektoren (Targetvektoren)

• Die Startwerte für die Gewichte werden häufig randomisiert

• Die Trainingsdaten (Trainingsmuster) stammen z.B. aus Monte Carlo-Simulationen

Nach erfolgreichem Training (bekannte Gewichte)kann ein neuronales Netz sogar in die Hardwareimplementiert werden ( Geschwindigkeit).


Neuronale Netze

Ein Feedforward-Netz mit 1 versteckten Schicht undeinem Ausgabeknoten kann 2 Klassen separieren.

Zweidimensionales XOR-Problem:

Eingabeschicht: nicht linear separierbar Ausgabeschicht: linear separierbar


Range-Searching

Die Idee der PDE-RS-Methode:

„Probability Density Estimation

based on Range-Searching“

• Zähle in der Nachbarschaft des zu klassifizierenden Events die Signal- und Untergrund-Ereignisse aus einer Monte Carlo-Simulation

• Durchsuche dabei ein kleines Volumen im n-dimensionalen Phasenraum:

• Berechne die Diskrimante:


Range-Searching

Der PDE-RS-Algorithmus:

Die Events aus der Monte Carlo-Simulation werdenin je einem n-dimensionalen Tree für Signal undBackground abgelegt...


Range-Searching

Beispiel 1:

backgroundrejection:


Range-Searching

Beispiel 2:


Range-Searching

Vergleich:Neuronale Netze Training des Netzwerks erforderlich Hardware-Implementierung möglichPDE-RS Großer Arbeitsspeicher erforderlich Transparente Methode (Fehlerabschätzung)

Die Ergebnisse sind (je nach Fall) für beideMethoden von vergleichbarer Qualität.


Zusammenfassung

• Die Hochenergiephysik stellt hohe Anforderungen an statistische Methoden

• Eine wichtige Aufgabe ist die Klassifizierung von Messwerten in Signal und Untergrund

• Eine bessere Möglichkeit als einfache Schnitte bietet die Likelihood-Diskriminante

• Insbesondere bei höher-dimensionalen Problemen sind leistungsfähige Methoden neuronale Netze sowie die PDE-RS-Technik


Quellen

• V. Blobel, E. Lohrmann: Statistische und numerische Methoden der Datenanalyse. Stuttgart, 1998

• G. Cowan: Statistical Data Analysis. Oxford, 1998

• S. Udluft: Untersuchungen zu Neuronalen Netzen als Vertextrigger im H1-Experiment bei HERA. München, 1996

• T. Carli, B. Koblitz: A Multi-variate Discrimination Technique Based on Range-Searching. In: NIM A (501), 2003

• http://root.cern.ch

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