Bivariate Kreuztabellenuser.demogr.mpg.de/doblhammer/bivarian.pdf · Gabriele Doblhammer: Empirische Sozialforschung Teil II, SS 2004 3/33 Vierfeldertabelle • Beide Variablen dichotom,

Gabriele Doblhammer: Empirische Sozialforschung Teil II, SS 2004 1/33

BivariateKreuztabellenKühnel, Krebs 2001 S. 307-342


Kreuztabellen

x1 ... xj ... xJ

y1

yi

yI

Σ

Σ

n11 n1j n1J n1•

ni•

nI•

... nij ...

... ... nIJ

n •1 n •j n •J n ••

Randverteilung

Randverteilung

Häufigkeit in Zelle y1x1


Vierfeldertabelle

• Beide Variablen dichotom, d.h. es gibt nurdie Ausprägungen x1, x2 und y1, y2

• Nur vier innere Zellen

• Vereinfachung zur Bezeichnung derabsoluten Häufigkeiten:

a = n11 n1• = a+b n•• = a+b+c+db= n12 n2• = c+dc = n21 n•1 = a+cd= n22 n•2 = b+d


Absolute Häufigkeiten inder Vierfeldertabelle

x1

y1

y2

Σ

Σ

a b a+b

c d c+d

a+c b+c

x2

a+b+c+d

Randverteilung

Randverteilung


Absolute HäufigkeitenBeispiel


Relative Häufigkeitenbezogen auf dieGesamtfallzahl

x1

y1

y2

Σ

Σx2

1.0

n11/n ••

n12/n ••

n21/n ••

n22/n ••

n •1/n ••

n •2/n ••

n1•/n ••

n2•/n ••

Randverteilung

Randverteilung






x1

y1

y2

Σ

Σx2

1.0

n11/n •1

n12/n •2

n21/n •1

n22/n •2

1.0 1.0

n1•/n ••

n2•/n ••

Spaltenbezogene relativeHäufigkeiten

Randvereilungunbedingte Verteilung

bedingte Verteilung






Zeilenbezogene relativeHäufigkeiten

x1

y1

y2

Σ

Σx2

1.0

n11/n1•

n12/n1•

n21/n2•

n22/n2•

n •1/n ••

n •2/n ••

1.0

1.0

Randverteilungunbedingte Verteilung

bedingte Verteilung






Zusammenhang zwischenden beiden Variablen in der

Kreuztabelle

Kein Zusammenhang (Variablen sind unabhängig): Prozentwerte der bedingten Verteilung entsprechenProzentwerte der Randverteilung

Zusammenhang (Variablen sind nicht unabhängig):Prozentwerte der bedingten Verteilung sind ungleichden Prozentwerten der Randverteilung

Symmetrischer Zusammenhang: es gibt keine erklärende und keine abhängige Variable

Asymmetrischer Zusammenhang: es gibt eine erklärende und eine abhängige Variable


Prozentsatzdifferenzen

• Maß für die Stärke des asymmetrischenZusammenhangs

• Berechnung in der Vierfeldertabelle:



dyx%=59.3% - 61.4%= - 2.1

abhängige Variable

erklärende Variable

Kein Zusammenhang zwischen Geschlecht und Einstellung zu Schwangerschaftsabbruch


Prozentsatzdifferenzen• Vorzeichen spielt bei nominalskalierten

Variablen keine Rolle

• dYX% = 0 bei identischenSpaltenprozentwerten :kein Zusammenhang

• dYX% = -100 bzw. dYX% = +100 beiperfektem Zusammenhang

• dYX% > 25 PP starker Zusammenhang

• dYX% < 10 PP schwacher Zusammenhang

• dYX% < 5 PP nicht interpretierbar

• Vorsicht: Bei sehr schiefen Verteilungenkönnen auch Prozentsatzdifferenzen kleinerfünf bedeutsam sein!

FAUSTREGELN


ProzentsatzdifferenzenWerden abhängige u. unabhängige Variable vertauscht:

Prozentsatzdifferenz ändert isch.

AWL: abhängige Variable

EWL: erklärende Variable

dxy%=19.8 - 7.1=12.7 Prozentpunkte (PP)

SPALTENPROZENT

Schwacher Zusammenhang zwischen Einschätzung AWL auf Grund von EWL


ProzentsatzdifferenzenWerden abhängige u. erklärende Variable getauscht:

Prozentsatzdifferenz ändert sich.

ZEILENPROZENT

EWL: abhängige VariableAWL: erklärende Variable

dxy%=72.8-45.1=27.7

Starker Zusammenhang zwischen Einschätzung EWL auf Grund von AWL


Unabhängigkeit zweierVariablen

• Statistische Unabhängigkeit liegt vor wenn,Prozentsatzdifferenz gleich 0 ist

• alternativ: X und Y (beide dichotom) in derPopulation sind unabhängig, wenn dierelativen Häufigkeiten der bivariatenVerteilung gleich dem Produkt der relativenHäufigkeiten der univariaten Verteilung sind:

bedingte Verteilung=unbedingte Verteilung

• Unabhängigkeit kann dann mittelsHypothesenprüfung nachgewiesen werden



• Die bei statistischer Unabhängigkeiterwarteten absoluten Häufigkeiten eij ergebensich aus dem Produkt der relativenHäufigkeiten der entsprechendenRandverteilungen:

• Die erwarteten absoluten Häufigkeitenstellen somit Schätzungen vonDurchschnittswerten dar



Erwartete Häufigkeiten bei Unabhängigkeit


Pearsons Chiquadrat

• Teststatistik zum Erfassen der Abweichungzwischen erwarteten und beobachtetenHäufigkeiten

• Ermittlung: Quadrate der Differenzenzwischen erwarteten und beobachtetenHäufigkeiten werden durch die jeweiligenertwarteten Häufigkeiten dividiert und überalle vier Tabellenzellen aufsummiert:


Pearsons Chiquadrat

• alternativ (in Vierfeldertabellen):

( )726.123

1786*1703*3025*464

1365*1261660*3383489

22 =−=χ


Pearsons ChiquadratHypothesentest

• bei Unabhängikeit ist die Teststatistik χ²asymptotisch chiquadratverteilt mit df=1Freiheitsgrad

• H0: Zeilen- und Spaltenvariablen sindunabhängig

• H1: Zeilen- und Spaltenvariablen sindabhängig

• Nachweis mittels einseitigem Hypothesentest• Nullhypothese wird abgelehnt, wenn χ²

größer ist als das 1-α-Quantil derChiquadratverteilung mit df Freiheitsgraden


Pearsons ChiquadratHypothesentest

• Beispiel: χ² -Tabelle• Quantilwert des 95% Quantils einer χ²-

Verteilung mit df=1 Freiheitsgrad ist 3.841

In einer χ² Verteilung haben 95% der Realisationen einen Wert kleiner gleich 3.841

Da die Teststatistik χ² =123.726 größer ist als der kritische Wert 3.84 kann Nullhypothese

abgelehnt werden

Es besteht ein Zusammenhang zwischen EWL und AWL

Häufigkeiten müssen in allen Tabellenzellen mindestens 5 sein!!


EigenschaftenPearsons Chiquadrat

Maximal höchster Wert für Teststatistik χ² ist derStichprobenumfang n.

Da χ² mit der Fallzahl variiert ist es unbrauchbar für ein Zusammenhangsmaß

Gibt an ob ein Zusammenhang besteht, aber nicht, wie stark der Zusammenhang ist!!


SymmetrischeZusammenhangsmaße

• symmetrischer Zusammenhang, wenn nichtzwischen erklärender und abhängigerVariable unterschieden wird

• Phi Φ• Yules´ Q

• basieren beide auf χ² Teststatistik


SymmetrischesZusammenhangsmaß Phi

• berücksichtigt die Fallzahlabhängigkeit vonχ²:

• alternative Berechnung in derVierfeldertabelle:

2Φ=Φ


SymmetrischesZusammenhangsmaß Phi

• mißt den Zusammenhang zwischen zweiVariablen der Vierfeldertabelle

• kein Zusammenhang Φ = 0

• perfekter Zusammenhang Φ = 1 oder Φ = -1

• Ab Ordinalskalenniveau und beientsprechender Anordnung der Variablen(höchste bzw geringste Werte in der erstenZeile ) kann das Vorzeichen folgendermaßeninterpretiert werden:

- positives Vorzeichen: positive Beziehung, bei höherem Spaltenwert istmit höherem Zeilenwert zu rechnen undumgekehrt

- negatives Vorzeichen: negative Beziehung, bei höherem Spaltenwert istmit geringerem Zeilenwert zu rechnenund umgekehrt


Beispiel AWL & EWL

( )726.123

1786*1703*3025*464

1365*1261660*3383489

22 =−=χ

H0: AWL & EWL unabhängig ->ablehnen

188.01786*1703*3025*464

1365*1261660*338 =−=Φ

Bessere Einschätzung der EWL führt zu besserer Einschätzung der AWL und umgekhrt


Yules´ Q

• "robustes" Zusammenhangsmaß, istunempfindlich gegenüber Änderungen in denRandverteilungen der Kreuztabelle

• Berechnung:

• Q ist im allgemeinen größer als Φ, dieVorzeichen stimmt jedoch überein

• kein Zusammenhang Q = 0

• perfekter Zusammenhang Q = 1 oder Q = -1


Unabhängigkeit inMehrfeldertabellen

bei Nominal skaliertenVariablen

Kühnel & Krebs 2001 S. 343-381

Symmetrischer Zusammenhang

1. Standardisierte Residuen2. χ2 Test3. Cramérs V

Asymmetrischer Zusammenhang

1. PRE Maße2. Relative Devianzreduktion3. Likelihood Ratio Test


SymmetrischerZusammenhang


• Untersuchung mit Pearsons Chiquadrattest

• Unabhängigkeit liegt vor, wenn diegemeinsame Verteilung der relativenHäufigkeiten von X und Y in denTabellenzellen mit dem Produkt der relativenHäufigkeiten der Randverteilungen von Xund Y übereinstimmt

• entsprechendes Hypothesenpaar:



• Ermittlung der erwarteten absolutenHäufigkeiten für alle inneren Zellen analogzur Vierfeldertabelle:

• ebenso die Berechnung der Teststatistik χ²:

• Damit ergibt sich für die Beispieltabelle:




Standardisierte Residuen

• zur Beurteilung die Abweichung zwischenerwarteten und beobachteten Häufigkeiten

• Berechnung:

• Vorzeicheninterpretation:+ beobachter Wert liegt über erwartetem- beobachter Wert liegt unter erwartetem

• standardisierte Residuen sind asymptotischnormalverteilt, Werte über +2 oder unter -2weisen auf überzufällige Abweichungen hin(Irrtumswahrschienlichkeit α = 5 %)


χ² in Mehrfeldertabellen

• bei zutreffender Nullhypothese ist χ²asymptotisch chiquadratverteilt

• Berechnung der Freiheitsgrade:

• Im Beispiel: df = (5-1) · (3-1) = 8• Ablesen des (1-α)-Quantils für df=8

χ²8,0.95=15,51

• berechneter Wert im Beispiel χ²= 252,4• 252,4 > 15,51 Nullhypothese ist

abzulehnen• Fazit: In der Population besteht wahr-

scheinlich ein Zusammenhang zwischenKonfession und Wahlabsicht


Cramérs V

• chiquadratbasiertes, symmetrischesZusammenhangsmaß für nominalskalierteVariablen

• Verallgemeinerung von Φ²• Berechnung:


Cramérs V• Vorzeichen kann ignoriert werden• Werte von V oder χ² ändern sich bei

Vertauschen von Zeilen oder Spalten nicht• Für die Beispieltabelle Konfession/Wahl-

absicht ergibt sich damit:χ²max= 2168 · 2

• Interpretation: Wert für V zwischen 0,10 und0,20 wird im Allgemeinen als geringbezeichnet Im Beispiel besteht einmäßiger Zusammenhang zwischenWahlabsicht und Konfession


AsymmetrischerZusammenhang

PRE-Maße• PRE = proportional reduction errors

• proportionale Fehlerreduktion• geben das Ausmaß der Verbesserung der

Vorhersage von Y an, das beiBerücksichtigung von X erreicht werdenkann

• berechnet wird der Anteil, um den sich derFehler dabei verringert:


Relative DevianzreduktionUnsicherheitskoeffizient, Likelihood-Ratio-Index,

Coefficient of uncertainty

• Devianz: Streuungsmaß für nominalskalierteVariablen

• Maß für Vorhersagefehler• Berechnung für Variable Y:

• Devianz ist Null bei perfekten Vorhersagen• Berechnung für Variable X erfolgt über die

Verteilung von X und Y:


Relative Devianzreduktion

• Devianz läßt sich als Fehlermaß nutzenKonstruktion das PRE-Maßes P²YX

• gibt die relative Devianzreduktion von Y beiKenntnis von X an:

• auch Likelihood-Ratio-Index oderUnsicherheitskoeffizient

• ist null bei Unabhängigkeit• Interpretation: P²YX < 5% gilt als gering

P²YX > 20% gilt als stark



• im Beispiel:



• Veringerung der Devianz der Wahlabsichtum 3,8% bei Kenntnis der Konfession

• geringer Zusammenhang

• beim Vertauschen der Variablen ergibtsich ein anderer Wert: P²YX = 0,05

• P²YX ist ein asymmetrisches Zusammen-hangsmaß für nominalskalierte Variablen


Likelihood-Ratio-Test L²

• alternative, aber äquivalente Testmethode zuPearsons Chiquadrattest

• prüft, ob die relative Devianzreduktionsignifikant von null verschieden ist:

Hypothesentest

H0: DY=DYX (DY-DYX=0)H1: DY<>DYX (DY-DYX<>0)


Likelihood-Ratio-Test L²

• für das Beispiel Wahlabsicht &konfessionelle Zugehörigkeitergibt sich L² = 237,67

H0: DY=DYX

H1: DY<>DYX

• Ablesen des 95% Quantils bei df=8 ergibt15,51 (Chiquadratverteilung mit α = 5 %)

• 237,67 > 15,51, also ist die Nullhypotheseabzulehnen

Wahlabsicht hängt signifikant von derkonfessionellen Zugehörigkeit ab

Documents

Bivariate Kreuztabellenuser.demogr.mpg.de/doblhammer/bivarian.pdf · Gabriele Doblhammer: Empirische Sozialforschung Teil II, SS 2004 3/33 Vierfeldertabelle • Beide Variablen dichotom,