Wirtschaftsstatistik Kapitel 3: Deskriptive Statistik: Bivariate …ekprwolf/teaching/courses/... · 2018-07-26 · Rößler, Ungerer, Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. -Test

Priv. Doz. Dr. Roger Wolf http://ekpwww.physik.unikarlsruhe.de/~rwolf/

INSTITUTE OF EXPERIMENTAL PARTICLE PHYSICS (IEKP) – PHYSICS FACULTY

Roger Wolf26. Juli 2018

Nach Rößler, Ungerer, Statistik für Wirtschaftswissenschaftler.

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Wirtschaftsstatistik

Kapitel 3: Deskriptive Statistik: Bivariate Verteilungen

http://ekpwww.physik.uni-karlsruhe.de/~rwolf/

https://www.springer.com/us/book/9783642412592



Abschnitt 3.1:

Maßzahlen des rechnersichen Zusammenhangs

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Beziehungen von Merkmalen zueinander

● Der Zusammenhang zweier Merkmale kann die folgenden Eigenschaften haben:

x y x y x y x y

z

Einseitig, „x bedingt y“

Einseitig, „y bedingt x“

Beidseitig, „x und y bedingen sich gegenseitig“

Beidseitig, „x und y werden durch z bedingt“

● Die Darstellung rechnerischer Zusammen-hänge erfolgt paarweise z.B. durch den Eintrag in Kontingenztabellen:

● Zusammenhänge erkennbar durch Häufungen der .




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Höherdimensionale Dichteverteilung

● Ist die statistische Gesamtmasse durch mehr als ein Merkmal charakterisiert, ist die Häufigkeitsver-teilung (oder Dichte) ebenfalls höherdimensional.

y0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(y)

yp

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x)

xp

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

AB

Projektion auf y-Achse

Pro

jektio

n a

uf x-A

chse

● In der praktischen Darstellung betrachtet man zwei Dimensionen (hier dargestellt in Bild AB):

B

A AB

● Die in Bild A und B dargestellten 1d Verteilungen bezeichnet man als Randverteilungen.




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Unabhängigkeit

● Das Merkmal Y heißt (statistisch/stochastisch) von X unabhängig, wenn die Dichte von Y nicht vom Wert von X abhängt:

● Beispiel: Abhängigkeit X von Y.




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Test auf Unabhängigkeit

● Sind X und Y unabhängig, dann gilt:

(Unabhängigkeit für Häufigkeitsverteilungen diskret verteilter Merkmale)

(Unabhängigkeit für Dichten stetig verteilter Merkmale)

● Sie können X und Y auf Unabhängigkeit testen, indem Sie (z.B. in der Kongruenz-tabelle) mit vergleichen. Sie können dies z.B. mit Hilfe eines Tests tun:

( Koeffizient)

● Je niedriger desto höher die Wahrscheinlichkeit für Unabhängigkeit.

● Erwartung bei Unabhäng-igkeit in unserem Bsp.: .





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● Sind X und Y unabhängig, dann gilt:

(Unabhängigkeit für Häufigkeitsverteilungen diskret verteilter Merkmale)

(Unabhängigkeit für Dichten stetig verteilter Merkmale)

● Sie können X und Y auf Unabhängigkeit testen, indem Sie (z.B. in der Kongruenz-tabelle) mit vergleichen. Sie können dies z.B. mit Hilfe eines Tests tun:

( Koeffizient)

# Ausprägungen von X

# Ausprägungen von Y

Maß für erwartete Abweichungen

Maß für tatsächliche Abweichungen


● Erwartung bei Unabhäng-igkeit in unserem Bsp.: .




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● Nimmt große Werte an, wenn Hypothese der Unabhängigkeit nicht stimmt. Ungefähr gleich , wenn Hypothese der Unabhängigkeit stimmt.

( Koeffizient)




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● Auf das Intervall skaliert erhält man den:

( Koeffizient)

(C-Koeffizient nach Pearson)

●

●


● Erwartung bei Unabhäng-igkeit: .




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( Koeffizient)

(C-Koeffizient nach Pearson)

●

●


(korrigierter C-Koeffizient)


● Erwartung bei Unabhäng-igkeit: .




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Test in der Kontingenztabelle

Rand-verteilung

● Berechnen Sie und für die Merkmale „Mathematiknote“ und „Vertiefungsfach“




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Kandells

● Eine Größe, die sich bei ordinalen (=sortierbaren) Merkmalen berechnen lässt ist Kandells :

(Kandells )

● Bei n statistischen Einheiten bei denen zwei ordinale Merkmale erhoben werden gibt es

mögliche Wertepaare mit der folgenden Klassifika-tion:

„Tie

s“




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Kandells

● Eine Größe, die sich bei ordinalen (=sortierbaren) Merkmalen berechnen lässt ist Kandells :

(Kandells )

● Bei n statistischen Einheiten bei denen zwei ordinale Merkmale erhoben werden gibt es

mögliche Wertepaare mit der folgenden Klassifika-tion:

Positiver ZusammenhangNegativer Zusammenhang

„Tie

s“

● +1→ neg. Zusammenhang.● +0→ kein Zusammenhang.● +1→ pos. Zusammenhang.

-



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Kandells

● Berechnen Sie für die Merkmale „Mathematiknote“ (X) und „erwartete Leistung in Statistik“ (Y):

Konkordante Paare: Diskordante Paare: „Ties“:


https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel



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Kandells

● Berechnen Sie für die Merkmale „Mathematiknote“ (X) und „erwartete Leistung in Statistik“ (Y):

Konkordante Paare: Diskordante Paare: „Ties“:


https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel



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Somers‘

● Ist Y die abhängige Variable, dann lässt sich auch einfacher der Koeffizient:

bestimmen.

(Somers‘ )

● Im vorherigen Beispiel ist

● +1→ neg. Zusammenhang.● +0→ kein Zusammenhang.● +1→ pos. Zusammenhang.

-





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Kovarianz

● Bei zwei metrischen Merkmalen X und Y kann die Richtung des Zusammenhangs durch das arithmetische Mittel der Produkte der Differenzen und für bestimmt werden:

(Kovarianz)

Wenn aus der Kontingenzta-belle bestimmt

Wenn aus Be-obachtungs-werten bestim-mt





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Korrelationskoeffizient

● Normiert auf das Intervall nennt man die Kovarianz Korrelationskoefizient der Merkmale X und Y:

(Korrelationskoeffizient nach Bravais/Pearson)

● r misst die Stärke des linearen Zusammenhangs von X und Y:

Vgl. VL-03 Folie 16





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Korrelationskoeffizient

● Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten der Merkmale „Einkommen“ (X) und „Ausgaben für Kopien“ (Y):




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Abschätzung des Zusammenhangs

● Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Verteilung zweier Variablen X und Y der Form:

● Sie können einen funktionalen Zusammen-hang zwischen und abschätzen, für den z.B. die Abstände zum vor-hergesagten Wert minimal werden ( -Methode vgl. VL-11).

● In diesem Beispiel testen wir einen linearen Zusammenhang:

● Die Varianz der Werte

ist groß. Das ist im Bsp. zum Teil auf den Zusammenhang zwischen X und Y zurück-zuführen.

... ...

Residuen



http://ekpwww.physik.uni-karlsruhe.de/~rwolf/teaching/courses/DHBW-Statistik/Statistik-VL-03-Streuung.pdf



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Varianzzerlegung

● Durch eine Varianzzerlegung können Sie bestimmten, welcher Anteil der Varianz durch den abgeschätzten Zusammenhang zwischen X und Y erklärt werden kann:

Eigenschaft der Abschätzung

Anteil an der nicht durch Zusammenhang erklärt werden kann.

Anteil an der durch Zusammenhang erklärt werden kann.




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Bestimmtheitsmaß

● Man definiert den Anteil des geschätzten Zusammenhangs an der Varianz von Y ( ) als Bestimmtheitsmaß :

... ...

Kann durch Zusammenhang erklärt werden

Residuen

(Bestimmtheitsmaß)

● Für einen linearen Zusammenhang gilt für die Abschätzung (lineare Regression):

(Abschätzung der Steigung)

(vgl. VL-11)




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Bestimmtheitsmaß

● In Worten: Das Quadrat des Korrelationskoeffizienten nach Bravais/Pearson gibt an, welcher Anteil der Varianz sich durch einen optimal geschätzten linearen Zu-sammenhang zu einer weiteren Variablen erklärt werden kann.




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-Koeffizient

● Lässt sich die Varianz eines metrischen Merkmals Y durch den Zusammenhang mit einem nominalen Merkmal X erklären, dann kann man aus der Varianzzerle-gung nach den Merkmalsausprägungen von X den durch X erklärten Anteil an durch den -Koeffizienten quantifizieren:

( -Koeffizient)

● Definition und Motivation analog zum Bestimmtheitsmaß.





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-Koeffizient

● Lässt sich die Varianz eines metrischen Merkmals Y durch den Zusammenhang mit einem nominalen Merkmal X erklären, dann kann man aus der Varianzzerle-gung nach den Merkmalsausprägungen von X den durch X erklärten Anteil an durch den -Koeffizienten quantifizieren:

( -Koeffizient)

● Definition und Motivation analog zum Bestimmtheitsmaß.

● Berechnen Sie den -Koeffizienten der Merkmale „Geschlecht“ (X) und „Anzahl der Fachbücher“ (Y):

d.h. 27,08% der zu erklärenden Varianz der Anzahl der geliehenen/gekauften Fachbücher können durch das Merkmal Geschlecht erklärt werden.



Zusammenfassung

● Höherdimensionale Dichteverteilungen.

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Zur Nachbereitung lesen Sie Kapitel 3.2 aus Rößler, Ungerer, Statistik für Wirtschaftswissenschaftler.

● -Test auf Unabhängigkeit.

● Kandells und Somers‘ d.

● Kovazianz und Korrelationskoeffizient.

● Abschätzung des Zusammenhangs und Bestimmtheitsmaß.

● -Koeffizient.



Zusammenfassung


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● -Koeffizient.

Testet ohne Richtung einfach auf Unabhängigkeit



Zusammenfassung


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● -Koeffizient.


Quantifizierung von Richtung und Maß des Zusammen-hangs



Zusammenfassung


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● -Koeffizient.


Quantifizierung von Richtung und Maß des Zusammen-hangs

Abschätzungen/Erklärungen des Zusammenhangs

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