CHAOS und COMPUTERGRAFIK · hin und her: Aus Ordnung wird Chaos. Beispiele:-Astronomie: Planetensysteme, Struktur der Saturn-Ringe.-Biologie: Entwicklung von Lebewesen in begrenzten

CHAOS undCOMPUTERGRAFIK

Dieter Hannemann

1. Chaotische Systeme

2. Entwicklung von Lebewesen in begrenzten Lebensräumen

3. Rückgekoppelte Systeme

4. Die Mandelbrotmenge

2 Chaos und Computergrafik Hannemann

Abb.1 (Titelseite): Schönheit im Chaos.Detailstruktur aus dem Randbereich derMandelbrotmenge (Kap.4).

1. Chaotische SystemeViele Systeme in Natur und Technik neigen unterbestimmten Bedingungen dazu, chaotische Zuständeanzunehmen. Hierbei treten dann keine gleichblei-benden (stationären) Verhältnisse mehr auf,vielmehr wechseln die Systemzuständeununterbrochen zwischen unterschiedlichen Wertenhin und her: Aus Ordnung wird Chaos.

Beispiele:- Astronomie: Planetensysteme, Struktur der

Saturn-Ringe.- Biologie: Entwicklung von Lebewesen in

begrenzten Lebensräumen (Kap.2).- Chemie: Reaktionskinetik.

- Medizin: Herzflimmern = lebensgefährlichervöllig unregelmäßiger Herzschlag.

- Meteorologie: Entwicklung des Wettersaufgrund der Luftströmungen etc.

- Physik: Zusammenhängende Pendel(Doppelpendel, s.u.), Laser.

- Technik: Turbulenzen in Strömungen,rückgekoppelte elektronische Systeme.

Einige Beispiele im Detail:Billard: Die Gravitationskraft eines Menschen in ca.1 m Entfernung vom Billardtisch macht denAusgang der 9ten Karambolage der Kugeln bereitsvöllig unbestimmt. Dies bedeutet, daß der Laufeiner Kugel nach dem 9ten freien Stoßhintereinander jede beliebige Richtung haben kann,je nachdem wo der Mensch in 1 m Entfernunggerade steht.Stöße der Gasmoleküle: Die denkbar kleinste Kraftgeht wohl von der Gravitationskraft eines Elektronsam Rande des Universums aus. Die Wirkung dieser


Kraft auf die Moleküle eines Gases auf der Erde beiihrer durch ständige Stöße charakterisiertenBewegung bewirkt, daß nach dem 56tenZusammenstoß jede Bewegungsrichtung gleichwahrscheinlich ist.Chaotische Zustände sind in der Natur die Regel.Wie kommt es aber, daß wir meinen, in einer relativgeordneten Welt zu leben (wobei einigeZeitgenossen dies vielleicht verneinen)? Der Grunddafür ist in der unterschiedlichen Dynamik derSysteme zu suchen. Während bei den Gasmolekülender chaotische Zustand bereits nach ca.1/20.000.000 Sekunden eintritt, bleibt unserPlanetensystem für einige Milliarden Jahre stationär(im Zustand der Ordnung) ehe es ins Chaos stürzt.Ein Beispiel aus dem Alltag - für chaotischeSysteme - stellen die überall angebotenenPendelsysteme dar. Diese für den Hausgebrauch zurUnterhaltung gedachten Systeme bestehen ausgekoppelten Pendeln (ähnlich Abb.2); mitzusätzlichen Magneten, um Störungen zu erzeugenund um dem System über eine Batterie und einen

Schwingkreis im Fuß des Systems die durchReibung abgeflossenen Energie wieder zuzuführen.

Abb.2: Chaotisches PendelsystemDas Pendelsystem in Abb.2 besteht aus zweigekoppelten Pendeln. Um den ortsfesten Drehpunktpendelt das gesamte System. Der zweite Drehpunktpendelt mit und hierum führt das Drehpendel, dasaus den Massen m2 und m3 besteht, unregelmäßigeDrehschwingungen aus.

m > m

fester Drehpunkt

2. Drehpunkt

m > mm

1

2

3

3

3


2. Entwicklung von Lebewesen inbegrenzten Lebensräumen

Das folgende Gedankenexperiment soll aufzeigen,wie ein System vom Zustand der Ordnung in denchaotischen Zustand übergehen kann, wenn einSystemparameter verändert wird. Darüber hinauslassen sich aus diesem Experiment erstaunlicheKonsequenzen für chaotische Systeme ableiten.Wir betrachten das Wachstum von Bakterien ineinem abgeschlossenen Lebensraum (Abb.3).

Abb.3: Bakterien in einem abgeschlossenen Glasbekommen pro Zeiteinheit immer die gleiche

Nahrungsmenge

Wenn N die maximal mögliche Anzahl der Lebe-wesen aufgrund des Nahrungsangebotes ist und pn

die Anzahl der Lebewesen zum Zeitpunkt n (ge-messen in % von N), so wird die Wachstumsrate Wwie folgt definiert:

n

n1n

ppp

W−= + (1)

pn+1-pn = Zunahme der Population innerhalb einesZeitintervalls

Verhulst (1845) nahm an, daß W proportional zu1-pn ist, d.h. je näher die Anzahl der Lebewesen andie maximal mögliche kommt, um so kleiner wirddie Wachstumsrate W:

)p1(KW n−= (2)K = Wachstumsparameter (abhängig von derFruchtbarkeit)Setzt man die Gleichungen (1) und (2) gleich, soerhält man die folgende Gesetzmäßigkeit für dieEntwicklung der Population:

Kontinuierliche zufließende Nährlösung

Bakterien


⇒−=−+ )p1(Kp

ppn

n

n1n

Κ,2,1,0n,p)p1(Kpp nnn1n =−+=+ (3)

po = Anfangspopulation (Anfangsanzahl)Die folgenden Abbildungen 4 bis 9 zeigen wasgeschieht, wenn man mit einer Anfangspopulationvon Po=0,01 startet und dann den Wachstumspara-meter K von 0,8 bis auf 3 erhöht. Zur besseren Ver-deutlichung - insbesondere der Ereignisse, die inden Abb.8 und 9 dargestellt sind - wollen wir alter-nativ zu den relativen Populationszahlen beispiel-haft auch mit absoluten Bakterienanzahlen rechnen:Wenn N (maximale Anzahl der Bakterien) z.B. 100Millionen beträgt, so ist die Anfangspopulation 1Millionen.Wie in Abb.4 zu sehen ist, steigt die Population erstlangsam und dann immer schneller an, um schließ-lich bei der Maximalzahl (z.B. 100 Mill.) konstantzu bleiben.

Abb.4: Wachstum der Bakterien, ausgehend vonz.B. 1 Millionen. Die 1 auf der senkrechten Achse

entspricht dann 100 Millionen Bakterien.Wachstumsparameter 0,8.

Dieses Verhalten hat man sicherlich auch erwartet,denn es entspricht dem Beispiel vieler andererdynamischer Vorgänge, die uns bekannt sind (esherrscht Ordnung).Wird der Wachstumsparameter jedoch verdoppelt(K=1,9 ; Abb.5), so erfolgt der Übergang zur Maxi-malpopulation nach einem sehr raschen Anstieg inForm einer gedämpften Schwingung, d.h. der


stationäre Zustand wird erst nach einer längerenZeit erreicht.



Eine weitere Erhöhung des Wachstumsparametersauf 2,3 bzw. 2,5 (Abb.6 bzw. 7) führt zurAusbildung oszillierender Populationen. Im erstenFall (Abb.6) wechseln die Bakterienanzahlenständig zwischen ca. 680.000 und 1.180.000 hinund her; dieser Zustand ist jedoch stabil. Zeitweise

existieren 180.000 Bakterien mehr als aufgrund desNahrungsangebotes lebensfähig sind und dadurchsinkt dann die Population um 500.000, um danachwieder anzusteigen.



Bei einem Wachstumsparameter von 2,5 bilden sichsogar zwei in der Schwankungshöhe unterschied-liche, aber stabile Zustände heraus (Abb.7).




Erreicht der Wachstumsparameter die Größe 2,57,gibt es keine stabilen Zustände mehr: Das Systemgeht ins Chaos über.Zur besseren Verdeutlichung der chaotischen Zu-stände wollen wir den Wachstumsfaktor bis auf 3erhöhen und dann untersuchen, wie sich eine Verän-derung der Anfangspopulation auf den weiterenVerlauf auswirkt (Abb.8 und 9).

Zunächst einmal fällt auf, daß die Schwankungenextrem groß und unregelmäßig geworden sind, ebenchaotisch. Bei der Zeit 39 in Abb.8 sinkt diePopulation sogar auf 290.000 ab, dieser Wert liegtnoch unter der Ausgangspopulation von 1Millionen.

Abb.8: Chaotisches Wachstum bei einemWachstumsparameter von 3 und einer

Anfangspopulation von 1 Millionen Bakterien.Die Abb.9 zeigt einen Wachstumsverlauf mit demselben Wachstumsparameter (K=3). Zunächst ver-läuft diese Kurve auch fast genauso wie in der


Abb.8. Später treten jedoch extreme Unterschiedeauf (gut erkennbar ab der Zeit 26). Was hat sichgeändert? Die vorgenommene Änderung warminimal: Zu der Anfangsanzahl der Bakterien von 1Millionen wurde ein weiteres Bakterium hinzugegeben. Der Startpunkt lag also bei 1.000.001Bakterien statt bei 1.000.000 .

Abb.9: Chaotisches Wachstum der Bakterien unterden gleichen Bedingungen wie in Abb.8, jedochwurde die Anfangspopulation um ein Bakterium

erhöht (Wachstumsparameter = 3,Anfangspopulation = 1 000 001).

Hieraus läßt sich ein allgemeingültiges Prinzip mitgroßer Tragweite für die Beschreibung chaotischerSysteme herleiten:Schon geringfügige Änderungen im Anfangs-zustand eines chaotischen Systems führen nacheiner bestimmten Zeit zu einem völlig anderenZustandsverlauf!Hieraus läßt sich eine weitere wichtige Erkenntnisgewinnen:Da der Anfangszustand eines Systems nie mitabsoluter Genauigkeit bestimmbar ist, sindchaotische Systeme unberechenbar!Hier mag man einwenden, daß dies nur eine Frageder Verbesserung unserer Meßmethoden sei. Ineinem gewissen Rahmen trifft das sicherlich auchzu, aber eine absolute Genauigkeit ist auch ausgrundsätzlichen physikalischen Überlegungen her-aus nie erreichbar (Heisenbergsche Unschärferela-tion). Diese Folgerung aus der Chaos-Theorie ist fürdenjenigen, der bisher an die Berechenbarkeit allerVorgänge geglaubt hat, schwer zu akzeptieren.


3. Rückgekoppelte Systeme

Das Beispiel aus Kap.2Die Gleichung 3 im vorangegangenen Kapitelbeschreibt ein rückgekoppeltes System. Hierunterverstehen wir, daß der Zustand des Systems zueinem vorangegangenen Zeitpunkt dieEingangsgröße für die Berechnung des Zustandesnach dem nächsten Zeitintervall ist (Abb.10).

Abb.10: Beschreibung des Bakterienwachstums alsRückgekoppeltes System. Der Systemparameterentspricht dem Wachstumsparameter aus Kap.2.

Gleichung 3 kann man in die folgende Formbringen:

2nn1n Kp)K1(pp −+=+ (4)

Woraus ersichtlich wird, daß das rückgekoppelteSystem nichtlinear ist. Es zeigt sich, daß insbeson-dere nichtlinear rückgekoppelte Systeme leicht inden chaotischen Zustand übergehen.

Ein weiteres Beispiel: Videorückkopplung

Abb.11: Videorückkopplung

LichtFernseh-

gerätVideo-Kamera

Störparameter

RückgekoppeltesSystem

z.B.Bakterienim Glas

K = Systemparameter

Pn Pn+1


Ein weiteres Beispiel für ein rückgekoppeltesSystem, das unter bestimmten Bedingungen zuchaotischen Zuständen neigt, zeigt Abb.11.Richtet man eine Fernsehkamera auf den Bild-schirm eines Fernsehgerätes und verbindet den Aus-gang der Kamera mit dem Eingang des Fernseh-gerätes, so erkennt man auf dem Bildschirm einBild des Bildschirmes und darin wieder ein Bild desBildschirmes und so weiter. Dieses zu erwartendeErgebnis ändert sich, wenn man den Raum ver-dunkelt. Je nachdem wie der Zustand des Systemsund die Resthelligkeit ist, erscheinen auf demBildschirm interessante Muster, die ständig inBewegung sind, und mit dem zuerst beschriebenenBild nichts mehr gemeinsam haben.Besonders interessante Muster erhält man häufig,wenn die Fernsehkamera um ihre optische Achsegedreht wird.

Allgemeine BetrachtungenBeispiel: nichtlineare Rückkopplung

CXX 2n1n +=+

1) C = 0; Xo = 0,5

n = 0 1 2 3

Xn+1 = 0,25 0,0625 0,00390625 0,0000152

Die Folge strebt gegen Null!2) C = 0; Xo = 1,5

n = 0 1 2 3

Xn+1 = 2,25 5,0625 25,6289 656,84.. ...∞

Wie das Beispiel zeigt, würde im ersten Fall derSystemzustand dem Werte Null entgegen strebenund im zweiten Fall gegen unendlich gehen.


Die beiden Werte null und unendlich werden alsAttraktoren bezeichnet, weil sie bestimmteSystemzustände quasi anziehen.

Abb.12: Allgemeine Beschreibung einesrückgekoppelten Systems

4. Die Mandelbrot-MengeVerallgemeinert man die Gleichung 4 und überführtsie in die komplexe Zahlenebene, so erhält man diefolgende Gleichungsform:

CZZ 2n1n +=+ (5)

C = Systemparameter (Störparameter),Z und C sind komplexe Zahlen.

Abb.13: Komplexe Zahlenebene zur Darstellungder unterschiedlichen C-Werte, C = p + qi

Wer sich unter dem Begriff ‘komplexe Zahlen’nichts vorstellen kann, braucht zum Verständnis desfolgenden nur festzuhalten, daß die Zahlen, mitdenen im weiteren gerechnet wird, aus zwei An-teilen bestehen. Den einen Anteil könnte man als x-Koordinaten und den anderen Anteil als y-Koor-dinaten eines Punktes in der Ebene auffassen(Abb.13).

C

qi

p0Xn+1Xn

C

X = f( X , C )n+1 n


Abb.14: DieMandelbrotmenge


Wenn die beiden Anteile von C in einem Koor-dinatensystem dargestellt werden, ist jedem Wertvon C ein Punkt zugeordnet (Abb.13). Auch mitdiesen komplexen Zahlen wird für ein bestimmtes Ceine Berechnung wie im letzten Beispiel für Xdurchgeführt. Streben die Werte gegen Null, so istein entsprechendes System im Zustand der Ord-nung: Der Punkt zu diesem C-Wert wird imDiagramm (Abb.13) schwarz eingezeichnet.Streben die Werte jedoch gegen unendlich, so wirdder Punkt gar nicht eingezeichnet (weiß): DiesesSystem geht in den chaotischen Zustand über. Aufdiese Weise entsteht bei der Berechnung ein Bildwie in Abb.14. Dieses Bild wurde 1980 von BenoitB. Mandelbrot berechnet und wird deshalb auch dieMandelbrot-Menge genannt.Besonders interessant ist der Rand der Mandelbrot-Menge, denn hier erfolgt der Übergang von Ord-nung ins Chaos. Ein System mit einem C-Wert, derweit weg von der Mandelbrot-Menge (demschwarzen Bereich) liegt, wird sehr schnell im

Chaos enden und eine System nahe am Rand desschwarzen Bereiches braucht sehr lange dazu.Zur besseren Untersuchung der Bereiche außerhalbder Mandelbrot-Menge bedient man sich einesTricks: Man denkt sich die Mandelbrot-Menge alseine zweidimensionale elektrisch geladene Flächeund betrachtet den Verlauf der Linien gleicherFeldstärke (Aquipotentiallinien). Dies führt dann zudem Bild in Abb.15.Je nach den Möglichkeiten, die der zur Berechnungdieses Bildes benutzte Computer bietet, können dieunterschiedlichen Potentialbereiche auch mit unter-schiedlichen Farben dargestellt werden.Wie kann man die Berechnung der Aquipotential-linien durchführen? Ist hierfür ein hoher mathema-tischer Aufwand erforderlich? Zum Glück nicht,denn man kann mathematisch beweisen, daß dieAnzahl der Iterationsschritte (erneutes Berechnendes folgenden Zustandes aus dem vorangegange-nen), die nötig sind, um festzustellen ob das Systemim Chaos endet, gleichzusetzen ist mit denunterschiedlichen Potentialstufen.


Abb.15: ElektrischesFeld um die

Mandelbrotmenge


Zur Untersuchung der Randstruktur kann man klei-ne Bereiche aus Abb.15 herausnehmen und dann dieFeldstruktur erneut berechnen. Die Abb.16 zeigt einBeispiel dafür. Das Bild stammt aus dem Bereich,wo die große schwarze Menge (Kardioide) und dergroße Kreis aneinander grenzen (Rechteck inAbb.14). Das Bild in Abb.16 stellt eine Vergröße-rung um den Faktor 250 dar. Weil die Struktur anein Seepferdchen erinnert, wird dieser Bereich auch‘Tal der Seepferdchen’ genannt. Mit den Mittelndes Computers kann man - wie mit einem Mikro-skop - immer feinere Randstrukturen auflösen. AlsErgebnis erhält man, daß der Rand unendlich zer-klüftet ist und selbst unsere größten Rechner hier zukeinem Ende kommen können, d.h. es lassen sichimmer weitere Einzelheiten der Randstrukturauflösen - ohne Ende. Die Vergrößerung wirdbegrenzt durch die Leistungsfähigkeit des benutztenRechners und durch die Zeit, die zur Berechnungeines Bildes zur Verfügung steht. Die Berechnungvon Strukturen mit hoher Vergrößerung kann jenach Rechner bis zu einigen Tagen dauern. Selbst

die Grundmenge (Abb.15) benötigt auf einem ein-fachen Personal Computer (IBM-XT) mehrereStunden für ihre Berechnung. Neben der Vergröße-rung ist noch die Anzahl der berechneten Punkte,aus denen ein Bild besteht, von Interesse. Je mehrPunkte berechnet werden, um so größer ist dieAuflösung des Bildes und um so mehr Rechenzeitwird benötigt. Die hier abgedruckten Bilder aus derMandelbrot-Menge bestehen jeweils aus ca. 5Millionen Bildpunkten und wurden vom Autor aufeinem 32-Bit-PC berechnet.Die Abb.17 zeigt eine Detailstruktur aus demSeepferdchenschwanz der Abb.1, mit einer Ver-größerung von 1.250.000 und einer Auflösung vonca. 8 Millionen Bildpunkten. Wie man sieht, tauchthier erneut eine Struktur auf, die der Hauptmengeaus Abb.14 entspricht. Solche sekundäre Mengensind überall in der Randstruktur in unendlicherAnzahl enthalten.Die Ergebnisse der Chaos-Theorie wurden bereitsauf viele Gebiete von Naturwissenschaft undTechnik angewandt und bestätigt..


Abb.16: Struktur aus dem Randbereichder großen schwarzen Fläche (Abb.14) in

ca. 250-facher Vergrößerung


Literatur

Davies P., 1988: “Prinzip Chaos”, C.BertelsmannDeker U., Thomas H. 1983: “Die Chaos-Theorie” in bild der wissenschaft 1-1983Peitgen H.-O., Richter P.H. 1986: “TheBeauty of Fractals” Springer Verlag

Abb.17: Struktur aus dem´Seepferdchenschwanz´ in 1,25-millionenfacher Vergrößerung

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