Chapter 13 편도함수

Chapter 13 편도함수

이문배

건국대학교 수학과

Chapter 13 편도함수

Contents

13.3 편도함수

13.4 접평면과 1차근사식

Chapter 13 편도함수

13.3 편도함수

Definition이변수 함수 f : R2 → R에서 y = b(b는 상수)로 y를 고정하고 x만 변한다고가정하자. 그러면 하나의변수 x만의 함수인 g(x) = f(x, b)를 생각할 수 있다.만일 g가 a에서 도함수를 가지면, 그것을 (a, b)에서 x에 관한 f의편도함수라고 부르고 fx(a, b)로 표시한다.

fx(a, b) = g′(a) = lim

h→0

g(a+ h)− g(a)h

= limh→0

f(a+ h, b)− f(a, b)h

마찬가지로 (a, b)에서 y에 관한 f의 편도함수는 다음과 같이 정의된다.

fy(a, b) = limh→0

f(a, b+ h)− f(a, b)h

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13.3 편도함수

편도함수의 표기법

z = f(x, y)라고 할 때, 다음과 같이 쓴다.

fx(x, y) = fx =∂f

∂x=

∂

∂xf(x, y) =

∂z

∂x= f1 = D1f = Dxf

fy(x, y) = fy =∂f

∂y=

∂

∂yf(x, y) =

∂z

∂y= f2 = D2f = Dyf

z = f(x, y)의 편도함수를 구하는 규칙

1. fx를 구하기 위해서 y를 상수로 보고 x에 관하여 미분한다.

2. fy를 구하기 위해서 x를 상수로 보고 y에 관하여 미분한다.

Example

f(x, y) = x3 + x2y3–2y2일 때 fx(2, 1), fy(2, 1)를 구하여라.풀이.

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13.3 편도함수

편도함수의 기하학적 해석

Example

f(x, y) = 4− x2 − 2y2일 때 fx(1, 1), fy(1, 1)를 구하여라.풀이.

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13.3 편도함수

Example

f(x, y) = sin

(x

1 + y

)일 때

∂f

∂x,∂f

∂y를 구하여라.

풀이.

Example

z가 방정식 x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1에 의하여 x와 y에 관한 음함수로 정의될

때∂z

∂x와

∂z

∂y를 구하여라.

풀이.

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13.3 편도함수

삼변수 이상의 함수

w = f(x, y, z)일 때 fx =∂w

∂x는 y와 z를 고정시켰을 때 x만의 함수로 보아

미분한 것이다.∂w

∂x= lim

h→0

f(x+ h, y, z)− f(x, y, z)h

Example

f(x, y, z) = exy ln z일 때 fx, fy, fz를 구하여라.

풀이.

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13.3 편도함수

고계편도함수

f가 2변수함수이면 편도함수 fx와 fy도 또한 2변수함수이므로, 그것들의편도함수를 생각할 수 있고, 이것들을 f의 2계편도함수라 부른다.만약 z = f(x, y)이면 다음 표기법을 사용한다.

(fx)x = fxx = f11 =∂

∂x

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x2=

∂2z

∂x2

(fx)y = fxy = f12 =∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y ∂x=

∂2z

∂y ∂x

(fy)x = fyx = f21 =∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x ∂y=

∂2z

∂x ∂y

(fy)y = fyy = f22 =∂

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y2=

∂2z

∂y2

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13.3 편도함수

Example

f(x, y) = x3 + x2y3 − 2y2의 2계편도함수를 구하여라.풀이.

Theorem (클레로의 정리)

점 (a, b)를 포함하는 원판 D위에서 정의되는 함수를 f라 하자. 함수 fxy와fyx가 D에서 연속이면

fxy(a, b) = fyx(a, b)

이다.

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13.4 접평면과 1차근사식

곡면 S가 방정식 z = f(x, y)를 갖는다고 가정하고 또 f는 연속인일계편도함수를 가지며 P (x0, y0, z0)는 S위의 점이라 하자.

C1과 C2를 곡면 S와 수직면 y = y0, x = x0 가 각각 교차함으로써 얻어지는곡선이라 하자. T1과 T2를 점 P에서의 곡선 C1과 C2에 대한 접선이라 하자.그러면 점 P에서의 곡면 S에 대한 접평면은 접선 T1과 T2를 포함하는평면으로 정의된다.

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13.4 접평면과 1차근사식

▶ 접평면의 방정식 :

z − z0 = a(x–x0) + b(y–y0)

⇒ g(x, y) put= z0 + a(x–x0) + b(y–y0)

⇒ ∂f∂x

(x0, y0) = a =∂g

∂x(x0, y0)

⇒ ∂f∂y

(x0, y0) = b =∂g

∂y(x0, y0)

Theoremf가 연속인 편도함수를 갖는다고 가정하자. 점 P (x0, y0, z0)에서 곡면z = f(x, y)에 대한 접평면의 방정식은

z–z0 = fx(x0, y0)(x–x0) + fy(x0, y0)(y–y0)

이다.

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13.4 접평면과 1차근사식

Example

(1, 1, 3)에서 z = 2x2 + y2에 대한 접평면을 구하여라.풀이.

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13.4 접평면과 1차근사식

Definition점 (a, b, f(a, b))에서 이변수함수 f의 그래프에 대한 접평면의 방정식은

z = f(a, b) + fx(a, b)(x–a) + fy(a, b)(y–b)

이다. 이 접평면의 방정식을 그래프로 갖는 1차함수는

L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x–a) + fy(a, b)(y–b)

이다. 이 식을 (a, b)에서 f의 선형화라 부르고 근사식

f(x, y) ≈ f(a, b) + fx(a, b)(x–a) + fy(a, b)(y–b)

는 (a, b)에서 f의 일차(선형)근사식 또는 접평면 근사식이라 부른다.

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13.4 접평면과 1차근사식

Definitionz = f(x, y)일 때 ∆z = f(a+∆x, b+∆y)− f(a, b)가 다음과 같이 표현되면f는 (a, b)에서 미분가능하다고 한다.

∆z = fx(a, b)∆x+ fy(a, b)∆y + ε1∆x+ ε2∆y

여기서 (∆x,∆y) → (0, 0)일 때 ε1, ε2 → 0이다.

▶ 위 정의는 함수가 미분가능하고 (x, y)가 (a, b)근방의 점일 때 선형근사식은 함수 f의 좋은 근사식임을 말해준다. 다시 말해, 접점 근방에서f의 그래프와 접평면은 거의 일치한다.

Theorem편도함수 fx와 fy가 (a, b) 근방에서 존재하고 (a, b)에서 연속이면 f는 (a, b)에서 미분가능하다.

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13.4 접평면과 1차근사식

Example

f(x, y) = xexy가 (1, 0)에서 미분가능함을 보이고, (1, 0)에서의 선형화를구하고 그것을 이용하여 f(1.1, –0.1)의 근사값을 구하여라

풀이.

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13.4 접평면과 1차근사식

Definition2변수함수 z = f(x, y)에 대하여

dz = fx(x, y) dx+ fy(x, y) dy =∂z

∂xdx+

∂z

∂ydy

를 f의 미분 또는 전미분이라 한다. 여기서 dx = ∆x, dy = ∆y이다.

▶ dx = ∆x = x–a, dy = ∆y = y–b로 취하면 z의 전미분은

dz = fx(a, b)(x–a) + fy(a, b)(y–b)

▶ 전미분 기호를 사용하면 선형근사식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

f(x, y) ≈ f(a, b) + dz

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13.4 접평면과 1차근사식

Example

1. z = f(x, y) = x2 + 3xy–y2일 때 전미분 dz를 구하여라.

2. x가 2에서 2.05, y가 3에서 2.96로 변할 때 ∆z와 dz의 값을 비교하여라.

풀이.

Example

반지름이 10cm, 높이가 25cm인 원뿔이 있다 (측정오차는 0.1cm로 한다).전미분을 사용하여 이 원뿔의 부피를 계산할 때 최대오차를 구하여라.풀이.

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13.4 접평면과 1차근사식

3변수 또는 그보다 많은 변수들의 함수w = f(x, y, z)에서

▶ (a, b, c)에서 f의 선형근사식;

f(x, y, z) ≈ f(a, b, c)+ fx(a, b, c)(x–a)+ fy(a, b, c)(y–b)+ fz(a, b, c)(z–c)

선형화 L(x, y, z)는 위 식의 오른쪽이다.

▶ dw =∂w

∂xdx+

∂w

∂ydy +

∂w

∂zdz: f의 전미분

Example

직육면체의 치수가 75cm, 60cm, 40cm로 측정되었다. (측정오차는 0.2cm로한다). 전미분을 사용하여 부피를 계산할 때 최대오차를 구하여라.풀이.

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