Acta Mechanica 54, 49--62 (1984) A C T A M E C H A N I C A | by Springer-Verlag 1984

Das direkte (nati ir l iehe) Redukt ionsver fahren*

Yon

S. Falk, Braunschweig, Bundesrepubl ik Deutschland

Mit 5 Abbildungen

Eingegangen am 2. Mai 1984

Zusammenfassung -- Summary

Das seit Jahrzehnten bekannte und bew~hrte ]~eduktionsverfahren fiir den geraden Bernoullischen Balken wird durchgefiihrt ohne t~bertragungsmatrizen. Es zeigt sieh, dab diese Methode hinsichtlieh numerischer Stabilit~t in jedem Fall, beziiglich des Reehen- aufwandes jedoch nur bei geringer Felderzahl dem Matrizenverfahren fiberlegen ist. An einem Beispiel wird die Vorgehensweise demonstriert.

The Direct (Natural) Method o/Reduction

The method of reduction -- well established since some decades -- is carried out for the straight beam without using transfer matrices. The so called direct way improves the numerical stability without restrictions and reduces the numerical effort for a small number of sections. An example is added to demonstrate the natural method.

1. Die Grundgleiehungen

Das dynamische bzw. stat ische Verhal ten eines geraden Bernoull ischen

Balkens mi t den sechs je aus einer Weg- u n d Kraf tgr5ge bes tehenden konju-

gier ten Paa ren

(u~;R), (vs; r~), (w~;v~), (~ ;M/) , ( ~ ; i / ) , (~,;_~/) (1.1)

wird durch ein System yon l inearen Differentialgleichungen

ffir den Vekt6r

L[u(x)] = o + p(x) (1.2)

u = (Us, Vs, Ws; ~)T

* Prof. Dr.-Ing. Paul RSzsa zum 60. Geburtstag zugeeignet.

4 Aata Mech. 54/1--2

(1.3)

50 S. Falk:

eharak{erisiert. Sind @ der konjugierten Paare (1.1) an der Deformation beteiligt, so ist die Gesamtordnung des Systems (1.2) gleich 2@; sie liegt somit zwischen 2 und 12.

Das Auffinden dieser L6sung ist eine Aufgabe der Analysis, alles folgende ein Problem der linearen Algebra bzw. der Matrizen-Numerik.

2. Das normierte Fundamentalsystem

Werden die bei der Integration des Systems (1.2) auftretenden 2@ Konstanten linear kombiniert zu den Weggr6t3en u o und Kraftgr6~en (besser SchnittgrSl~en) k 0 am linken Balkenrand x --- 0, so erh~tlt man als angepagte L6sung das sogenannte normierte Fundamentalsystem

u(x) G(x) Uo § N(z) ko + a(z),

k(x) = S(z) Uo + K(x) ko § ~(z),

(2.1)

(2.2)

wo den vier Blockmatrizen die folgende mechanische bzw. geometrische Bedeutung

G Geometrie

N Nachgiebigkeit

S Steifigkeit

K Kr/iftegeometrie

zukommt

[ram], [gad] /

[mm/N] [l%ad/N �9 mm]

[~N/mm] [!~ ". mm/Rad] ]

I [N], [N. mm]. 1

(2.3)

Diese Matrizen sind heute in jedem Lehr- oder Fachbueh tabuliert und auf- bereitet, siehe z. B. [4], [9], [12], [13], [17], [18], [19], und andere.

3. Reduktion mit Hilfe yon ~bertragungsmatrizen

Der Zustandsvek~or z, der die o an der Deformation beteiligten Weg- und Kraftgr61]en sowie aus formalen Griinden die Ziffer 1 enth/ilt

Z = (U T, k T ; 1) (3.1)

ist nach (2.1) und (2.2) die lineare Vektorfunktion

z(x) : F(x) Zo (3.2)

mit der Feldmatrix

G(x) N(x)

F( I : i (y ~ 0 T 0 T F) (3.3)

Das direkte (natiirliche) l~eduk~ionsverfahren 51

welche die vier B16cke (2.3) in charakteristischer Anordnung enth/ilt. W/ihrend die Feldmatrix (3.3) den Zustandsvektor z (x ) yore linken Feldende bis zum beliebigen Schnittpunkt mit der Koordinate x, spezielle x ~ 1 (rechtes Feldende) fibertr/igt, leistet die Punktmatrix

I o, i,.) '1 Q~ = --Pi I I

. I

0 T 0 T ] I

(3.4)

den ])bergang fiber solche Punkte des BMkens, die mathematische Unstetig- keiten odor Singularit~ten darstellen und somit nicht in der definierenden Diffe- rentialgleiehung (1.2) explizit erseheinen. Die Punktmatrix enth//lt aul~er Nullen und Einsen die gegebenen Sprungkr/~fte und/oder -momente /~/ (z. B. Vorspan- nungen), dazu die Blockmatrix Pi der Ordnung

P~ = Ci + D~A + M~A ~, (3.5)

formuliert ffir den allgemeinen Fall der linearen ged/~mpften Schwingung. Bei fehlender D/~mpfung versehwindet die Matrix Di, im statischen Fall darfiber- hinaus die Massenmatrix Mi, so dal~ ebffach Pi ~ Ci wird.

Mit der Bezifferung yon Abb. 1 haben wir somit den l~bertragungsmechanismus

z (x ) = {F($~) Q~-IF(1,-1) 0n-2 ... ~IF(/1) Q0} Zo = : q)o~Zo. (3.6)

Sind keine Sprunggr6Ben zu fibertragen, so ist Qi = / , somit

Z(X) = {F(~n) F({Z~--I) ~ ( /n - -2 ) " ' " F(/1)} ~0 = t'~O,v~'O, (3.7)

u n d es gilt das Additionstheorem

z (x ) ~ Ir + ln, 1 -~- ln-2 + "'" "~ 11) Zo - - F (x ) zo. (3.8)

Dieses Seit Anfang der ffinfziger Jahre als lJbertragungsverfahren bekannte Vor- gehen hat indessen schwerwiegende numerische Nachteile, siehe dazu die grund- legende Kritik von Marguerre und Uhrig [10]. An Gegenmal~nahmen seien die Deltamatrizen yon Fuhrke [7] sowie das Abl6sen der Konstanten bzw. Mit- nahme fiberz~hliger Freigr61~en nach [5] erw~hnt.

4. Reduktion mit Sprunggr(illen als Unbekannte. Abschnitt und Feld

Ms Abschnitt eines geraden Balkens definieren wir ein Gebiet, ffir welches ein und dieselbe Differentialgleiehung (1.2) gfiltig ist und zu dam somit dieselbe Feld- matrix (3.3) geh6rt. Der Abschnitt seinerseits wird durch dynamisehe und/oder

4*

52 S. F~lk:

[

[ " I

I F~Id: I :e/dE I /~a/d3

L__~:~ '.~

]_ I

l I ! IFeldlsl Feldn+l

I I

I

~ l [ - I [

--1

Abb. 1. Balkenabschnitt mit Feldern, deren Grenzen durch Sprunggr6Ben festgelegt sind

i I t l �9 ,

~=o : ,:= ~/4/

Abb. 2. Einige dynamische und geometrische Sprunggr6Ben

geometrische Sprunggr5Ben sl, ..., sn in n -~- 1 Felder nach Abb. i unterteilt. Die einfachsten dynamischen Sprunggr6Ben sind die Federkr~ft bzw. Reaktionskraft nach Abb. 2; geometrische Sprunggr6Ben sind L~ngen- bzw. Winkelsprung, ver-

ursach~ durch Schl~ufe bzw. Gerbergelenk. GenuLl diese Sprunggr6Ben sind es, die

sowohl form~le wie auch numerische Schwierigkeiten bereiten, und die Grundidee des nun zu schildernden Verfghrens 1 besteht durin, diese GrSBen ~ls Unbekannte

Fiir zahlreiche wertvol[e Anregungen bin ich meinem Mi~arbei~er, Herrn Dipl . -~ng. Christian Schliephake zu Dank verpffichtet.

Das direkte (natiirliche) Reduktionsverfahren 53

in die t~echnung einzufiihren. Definieren wir ganz Mlgemein eine dynamische

Sprunggr6Be an der Stelle x = a i (vgl. Abb. 1) als

s; : = --Ptut (4.1)

(ira einfaehsten Fall ist dies naeh Abb. 2 die Federkra f t F = --cw), so liefert die Reduk t ion aller Weg- und Kra f tg r6gen an einer beliebigen Sehnit tstel le x > aj die Matr izenspal ten

J u(x) = G(x) uo + X(x) ko + a(x) + ~_ X(x - - at) s i , (4.2)

t = l

i k(x) = s(~) uo + K(x) ko + s + Z ~(~ -- ~i) si. (4.3)

i = 1

Speziell an der Sprungstel le x = aj erh/ilt m a n aus (4.2) die WeggrSgen

]-1 u(aj) -- G(a~) Uo -I- X (a i) ko -1- fe(a i) q- ~--~ N(a,j - -a i ) st. (4.4)

t = l

Schreiben wit nun (4.1) als Vertr/~glichkeitsbedingung

o = u ] - - P f l s i (4.5)

und setzen die aus der l~edukt ion (4.4) gewonnene F o r m u ( a i ) = uy ftir Mle

Sprungstel len ] ---- 1, 2 . . . . . n in (4.5) ein (im Massischen Uber t ragungsver fahren mi ig ten dor t die P u n k t m M r i z e n Qi eingefiihrt werden), so ents teht zu sammen

mi t (4.2) und (4.3) das Gleiehungssystem (4.6). Mit geeignet eingefiihrten Block- mat r izen schreiben wit dafiir kurz

o = Ayo + U s -+- ft ,

y =- Byo -I- R s -I- fl.

Mit dem verkt i rz ten Zus t andsvek to r (ohne die Ziffer 1)

=V >t ~(x/ \k(x)!

l au te t dann das Gleiehungssystem kompr imie r t

(4.7)

(4.8)

(4.9)

0

z/(~)

= ,4

---t z go t~

A'#z)

~o.~

+

,.7

d ~ I

s7~v; z9

T

(4.1o)

54 S. F a l k :

v

I

I

e ~

I I

I T

I I

v ~ v

11 II II

II II II

§ + §

e

H

7

§

II I1

v v

Das direkte (natiirliche) Reduktionsverfahren 55

Handelt es sich um geometrische Sprunggr61~en, so verl/iuft alles entsprechend.

Anstat t der WeggrS~en werden die KraftgrSl~en an der Sprungstelle x = a1

reduziert und mit den lokalen Kraftgr6~en, welche durch die geometrische Sprung- grSl3e hervorgerufen werden, ins Gleichgewicht gesetzt.

5. Randbedingungen. Ein- und zweiseitige Koppelfedern

Das weitere Vorgehen richter sich nach der Art der Randbedingungen, und hier unterscheiden wir drei Fi~lle.

1. Es s ind keine Randbedingungen vorhanden.

Dann eliminieren wir den Vektor der SprunggrSl~en aus ' dem Gleichungs-

system (4.7), (4.8) und bekommen

s = - - U - 1 A y o - - U - l a (5.1)

und damit

y ~- (B - - R U - i A ) Yo - - ( R U - i a - - Y). (5.2)

Ordnet man diese Gleichungen um auf folgende Weise

('ko) : ICII(") C12(') 1 (~J~o) (ko(')i, (5.3) k(x) \c.,(x) c,.(x)/ u(x) + \k(x) I

so erh/~lt man eine zweiseitige belastete Koppelfeder, ,welche den in Abb. 3b

gestrichelt eingezeichneten l%ahmentei] samt Belastung ersetzt.

2. Randbedingungen an einem Ende vorgegeben.

Es sei etwa am linken Ende u0 = o. Dann geht man vor wie im Fall 1. Die zweite Zeile von (5.3) ergibt jetzt

k(x) = C22u(x) -~ kb(x), (5.4)

und dies ist eine einseitige belastete Koppelfeder nach Abb. 3 a.

.LJ,...,J,,,,J,,,,J;,,,J.,.,J,,,J..,. Abb. 3. Ersatz eines Rahmenabschnittes durch belastete Koppelfedern

a einseitig, b beidseitig

56 S. Falk:

3. Randbedingungen an beiden Enden sind vorgegeben.

Es sei im einfachsten Fall u0 = o oder ko = o, dann folgt aus (4.6) und (4.7)

o = A[o + Us + ft, (5.5)

o = Bio + R s + (1. (5.6)

Dabei ist [o der Vektor der ~ Freigr61~en am linken R a n d x = 0 und 0(x) ist der

Vektor der o Las lgr6gen an der Schnittstelle x. Auf diese Weise ents teht das

m

0

,4

2?

System

A'

+ ago

_ l e -f

(5.7)

wo die Gesamtmatr ix von Hessenbergform in ~-reihigen B16cken ist. Spalten wir die Untermat r ix U addit iv auI

so wird

// - -

1

+

mit der Diagonalmatr ix

(5.s)

U = V + D -~ (5.9)

(5.10) D = D i a g (Pj}; ] = 1, 2, . . . , n ,

welche die Punk tmat r i zen Pi (3.5) als Diagonalbl6cke enthglt . I m statischen Fall

ist einfaeh Pi gleieh der Federmatr ix (Steifigkeitsmatrix, Riiekstellmatrix) Ci. Sind alle Federn unendlich steif (starre Auflager), so ist D -1 = O, somit U = V, womit die Gesamtmatr ix in eine untere Bloek-Dreieeksmatrix iibergeht.

6. R e c h e n a u f w a n d u n d n u m e r i s e h e D u r e h f i i h r b a r k e i t

Zur Aufl6sung des Gleichungssystems (5.7) bieten sich drei Vorgehensweisen an.

1. Die Freigr61~en [o und Sprunggr6Ben s werden gemeinsam berechnet.

2. Es werden zun~chst die Freigr6gen aus der Gleichung

o = (B - - R U - ~ A ) f o + ~ - - R U ~t~); det U 4 = 0 (6.1)

D~s direkte (natfirliche) Reduktionsverfahren 57

und sodann die SprunggrSften berechnet :

s = - - U - 1 A [ o - - U - l f t . (6.2)

3. Es werden umgekehrt die SprunggrSBen aus

o = ( U - - A B - ~ R ) s + (ft - - A B - I ~ ) ; det B # 0 (6.3)

und anschliegend die Freigr6gen berechnet :

[ o = - - B - 1 R s - - B - l Y �9 (6.4)

Niitzliche Dienste leistet dabei bisweilen die bekannte Identit / i t von Woodbury [20], n/~her beschrieben in [14] und [22].

Falls alle Steifigkeiten Ci sehr grog (aber nicht unendlich grog) sind, so ist ein iteratives Vorgehen vorteilhaft mit der folgenden Aufteilung

oder kurz

mit der I terationsvorschrift

bei der zum Star t

(6.5)

Qw = r - - / ) - i x (6.6)

Q X i + 1 : r - - J ) - l w i , ~6.7)

x0 = o, QXl = r (6.8)

gesetzt wird, und dies ist im Prinzip dasselbe Vorgehen wie die bekannten Metho- den yon Cross [3] und Kani [8], siehe dazu die ausfiihrliche Darstellung yon Chobot [2].

Nun zum l~echenaufwand. Dieser w~ichst beim ~bert ragungsverfahren linear mit der Anzahl der Felder an, dagegen nichtlinear beim direkten Verfahren. Nach Abb. 4 ist bei einer best immten Fe]derzahi ~ der Rechenaufwand beider Ver- fahren anni~hernd gleich, was bedeutet, dag bei kleineren Felderzahlen das direkte

und bei grSgeren das ~bertragungsmatr izenverfahren weniger Operationen erfordert. Sind beispielsweise an der Deformation nur e = 2 konjugierte Paare beteiligt, etwa (w; V~) und (9; M J ) (ebene Biegung) und ist die Feldmatrix F(x) (3.3) voll besetzt mit 16 bzw. 20 Elementen wie etwa im Falle der Biegeschwin- gung, der elastischen Bet tung oder ~hnlich, so ist ~ ---- 6, wie man leieht nach- ziihlt.

58 S. Fa, lk:

R~chen~u:~3nJ

I I

Abb. 4. Reehenaufwand fiber der Felderzahl rt beim Verfahren der ~Jbertragungs- matrizen (I) und beim direkten Redukgionsverfahren (II)

Aber selbst wenn der Rechenaufwand grSger ist, verdient die direkte Methode den Vorzug, weil sie unbedingt numeriseh stabil und dazu durehg/ingiger zu p rog rammie ren ist.

7. Ein Beispiel

Der Balken yon Abb. 5 mi t den ~ = 2 konjugier ten Paa ren (w; V~) und (~o; M J ) (ebene Biegung) fi ihrt auf fiinf Gleichungen mi t fiinf U n b e k a n n t e n naeh folgendem Schema:

5 Bedingungen

0 ~ W B -@ 81-1CB ]

0 = wD 4- s2-1cD [ Zwischen- ! bedingungen

0 = MD ]

0 = wE / rechter R a n d 0 = ~@ !

5 U n b e k a n n t e

~0~ VzO

81

82

sa = A~D

FreigrSBen

SprunggrSBen

(7.1)

und dami t lau ten die Gleichungen (5.7)

0~*

0 = *

0 = *

0=*

0=*

V~o s 1 s~ s3

* cB -1 0 0

* * cD -~ 0

, * 0 0

rechter Rand

(7.2)

Das direkte (natirliche) l~eduktionsverfahren

~ : t > J . ' ! ~. :eli: ~ : /-eld2 I: _ Icld3 P"

Abb. 5. Balken rnit clrei FeIdern und kons~antem Profil

c)

59

wo die dureh das Symbol * gekennzeiehneten Elemente aus dem Fundamental- system der zugrunde liegenden Differentialgleiehung (1.2) stammen. Es seien nun

die beiden Federn unendlieh steif, dann gehen die elastisehen Stfitzen yon Abb. 5 fiber in feste Auflager, ein Ubergang, den das klassisehe l]bertragungsveffahren nieht leisten kann ohne die totale Umordnung des Ubertragungsmeehanismus mit

komI01izierten Teehniken (Abl6sen der Konstanten, Einfiihrung yon Delta- matrizen oder anderes) w/ihrend bier mit eB = CD = eC die Kehrwerte naeh (7.3) sehlieht versehwinden, womit in h6ehst vollkommener Weise sieh das System

vereinfacht zu

q~o ~ o sl l�9 s 3

0 = * �9 0 I 0 0 i

I 0 = . �9 �9 10 0

I I

0 = * , * l 0 0 I

�9 ] . . . . . . . . . .

O z * * *

0 ~ * * *

(7.3)

Es lassen sich somit vorweg die drei Unbekannten Po, IZ~o und sl unabhgngig yon s2 und s3 bestimmen. Speziell im homogenen Full (freie Sehwingungen, reines

60 S. Falk:

Knicken o. g.) miissen zwei Determinanten je fiir sich verschwinden

(i*!) Teil I det * ; Teil I I det ,

wie ieicht zu sehen.

(7. , , )

Sei nun der Balken insbesondere auf Knickbiegung beansprucht, dann sind mit

~2: = (7.5)

die vier Fundamenta l l6sungen 1, x, cos 5x und sin &, und nun lauten mit den Abk~irzungen

o" k : = s i n ~ . k l , ~ k : = c o s 6 " k l , A k : = 1 - - c o s d . k l , (7.6)

~b k : = d �9 k l - - sin 6 �9 k l

ferner den dimensionsgleichen GrSBen (alles in cm)

Vzo 81 8 2 A q9 D (PO ~Z0 : = - - " 81 : = ~2 : . . . . S3 : = (7.7)

~ o : = -~-, E J d a ' E J d a ' E J d a ' d

und

P D E J d a ~ . - - M B - P c : = P c PD : = y~ : = (7.8)

E J d 2 ' E J d 3 ' E J O 3 ' ci

die Gleichungen (7.2) ausfiihrlich

~o 17~o

w(1) = - ~ ~1

w(31) = --aa tPa

1 - - . M(31) = ~a % H

w(4 / ) = --~4 ~4

1 7-" ~v(4/) = ~)4 - -d4

al as ~a

yl 0 0

~ 72 0

~2 0 0

--Aa --A1 ~oi

$/8 Pc PD

0 0 0 = 0

A2 I/)1 0 = 0

~ al 0 = 0 (7.9)

Aa ~b2 ~1 = 0

--0' a --zJ 2 --A 1 = 0

Fiir reines Knicken nach Abb. 5c folgen dann nach (7.4) ~ls notwendige Be- dingungen ftir nicht~riviale LSsungen die beiden Gleichungen

- -a l (~ao" 2 - - ~b2aa) - - r - - O'a~) = 0 ; ~IQa - - ohA1 = 0 , ( 7 . 10 )

Das direkte (natiirliche) Reduktionsverfahren 61

yon denen die zweite nichts anderes ist als die aus Formelsammlungen bekannte

Knickbedingung

tan ~l =- ~l (7.11)

fiir den links gelenkig gelagerten und rechts eingespannten geraden Balken.

Ein weiteres Zahlenbeispiel fiir reine Dehnung finder sich in der Arbeit [6].

8. Z u s a m m e n f a s s u n g und Ausbl ick

Die hier vorgefiihrte Methode der direkten oder natfirlichen Obertragung ist

bei komplizierteren Strukturen (ebene und r~umliche l~ahmen, Gitterroste u. a.) besonders geeignet im Zusammenspiel mit dem klassischen Matrizenverfahren, wobei die Vorziige beider Vorgehensweisen zu einem optimalen Algorithmus zusammenflieSen. Gegeniiber der (fast hundert Jahre/~lteren) Weggr61~enmethode ist sie stets dann im Vorteil, wenn die bei der Elimination der Kraftgr61~en auf- tretenden Blockmatrizen des Gesamtsystems nicht formelmK$ig bekannt und tabuliert sind und man somit rein numerisch vorzugehen gen6tigt ist wie bei- spielsweise bei nicht konstanten Profilquersehnitten.

Weitere fiir den Prakt iker interessante Varianten, insbesondere das Vorgehen bei kleinen Federzahlen, bzw. kleinen Werten van P1 = cj d- diA d- miA ~, wie sie bei den ged~mpften erzwungenen Sehwingungen auftrete~, linden sich in einer Arbeit yon Sch]iephake [16].

Literatur

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Prof. Dr.-Ing. habil. S. Fallc Institut fiir Angewandte Mechanilc

Technisehe Universitgt Braunsehweig Post/ach 3329

D - 3300 Braunschweig Bundesrepublik Deutschland