Das Leerscript Physik - THM

MBB3-NW2 SS2012

Das Leerscript Physik

Prof. Dr. U. Hoeppe, FB MND, Technische Hochschule Mittelhessen

Physik MBB3-SS2012, Hoeppe 2

INHALT Leerscript - Physik -

1. Elektrizität 1.1 Elektrische Ladung 1.2 Coulombgesetz 1.3 Elektrisches Feld 1.3.1 Definition, Feldlinien 1.3.2 Elektrisches Potential 1.3.3 Feld als Gradient des Potentials 1.3.4 Gaußscher Satz des elektrischen Feldes 1.3.5 Kapazität 1.4 Elektrischer Dipol 1.5 Elektrischer Strom 1.5.1 Definition 1.5.2 Ohmsches Gesetz 1.5.3 Spezifischer Widerstand 1.6 Materie im elektrischen Feld 1.6.1* Orientierungspolarisation 1.6.2* Ionische Polarisierbarkeit αIon: p = αIon ε0 E 1.6.3* Elektronische Polarisierbarkeit α∞: p = α∞ ε0 E 1.6.4* Dispersion 1.6.5* Ferroelektrizität

2 Magnetismus 2.1.1 Magnetfelder stationärer Ströme: Amperesches Gesetz 2.1.2 Magnetische Induktion 2.1.3 Lorentzkraft 2.1.4* Hall Effekt 2.1.5 Magnetische Dipole 2.2 Materie im magnetischen Feld 2.2.1* Paramagnetismus: χm > 1

2.2.2* Diamagnetismus: χm < 1

2.2.3* Ferromagnetismus: χm >> 1

2.3 Elektromagnetische Induktion 2.3.1 Magnetischer Fluß 2.3.2 Induktionsgesetz von Faraday 2.3.3 Wechselstromgenerator 2.3.4* Selbstinduktion und Induktivität

3 Maxwellgleichungen

4 Wechselstrom 4.1 Addition von U, I und R 4.2 Kapazitäten 4.3 Induktivitäten 4.4* Verluste elektromagnetischer Wellen in Materie 4.4 Elektrischer Schwingkreis


5* Materie, Teilchen und Wellen 5.1 Quantennatur des Lichts 5.2 Teilchen-Welle Dualismus; Materiewellen 6* Aufbau der Materie 6.1 Atomphysik 6.1.1 Atommodelle 6.2 Kernphysik 6.2.1 Aufbau von Atomkernen 6.2.2 Radioaktiver Zerfall 6.3 Kernenergie und Massendefekt

1. Elektrizität

1.1 Elektrische Ladung Beobachtung:

- - - -

- e = 1,602181 ·10-19 C

Wirkungen:

- - - 1.2 Coulombgesetz

Charles A. de Coulomb (1736-1806)

→ Kraft Fc zwischen zwei Punktladungen q1 und q2:

vektoriell:


Betrag: Elektrische Feldkonstante ε0 = 8,8542 ·10-12 C2·N-1·m-2

1.3 Elektrisches Feld

1.3.1 Definition, Feldlinien Feld E wird definiert über die Kraftwirkung des Feldes auf eine (bel.) positive Einheitsladung q:


Für eine Punktladung ergibt sich mit dem Coulombgesetz: • Die Kraftwirkung des E-Feldes auf eine pos. Probeladung verläuft tangential

entlang der Feldlinien. • Die Dichte der Feldlinien beschreibt die rel. Stärke des (lokalen) E-Feldes Superpositionsprinzip: Aus dem Superpositionsprinzip und der Symmetrie ergibt sich folgende (homogene) Feldverteilung in einem Plattenkondensator:

1.3.2 Elektrisches Potential

Das elektrisches Potential ϕ entspricht der potentiellen Energie einer positiven Einheitsladung im elektrischen Feld:


Als Elektrische Spannung U bezeichnet man die Differenz zweier Potentiale: [ U ] = U·q entspricht also Energie: 1V · e = 1 eV = 1,602 ·10-19 C·V = 1,602 ·10-19 J Der Zusammenhang von E-Feld bzw. Kraft und dem zugehörigen Potential ergibt sich aus ‚Arbeit = Kraft x Weg’ : Integration liefert: (wobei üblicherweise ϕ (∞) = 0 gesetzt wird) Bsp.: Bewege Elektron durch das gesamte homogene Feld eines

Plattenkondensators auf die negative Seite:

Aus dW = Fds folgt mit dEpot = -dW nach Integration für die Änderung der potentiellen Energie des Elektrons:

Alternativ ergibt sich die Energieänderung aus der Potentialdifferenz zu:

→

Wird entsprechend Konvention U für positiven Pol positiv gewählt, ergibt sich für das E-Feld im Plattenkondensator:


1.3.3 Feld als Gradient des Potentials Die skalare Größe des Potentials, die Spannung, ist leicht zu messen, einzustellen oder vorzugeben. Oft ist das Potential für ein Problem

auch einfacher zu berechnen. Das entsprechende E-Feld erhält man einfach durch Differentiation: bisher: jetzt:

Gradient: Nabla-Operator:

1.3.4 Gaußscher Satz des elektrischen Feldes

Aus der ‚Zahl von Feldlinien’ die durch eine geschlossene Oberfläche dringen, lässt sich

auf die Ladung innerhalb des entsprechenden Volumens schließen: Der elektrische Fluss durch eine beliebig geformte geschlossene Oberfläche entspricht der darin enthaltenen Ladung.

→ Gaußscher Satz:

Unter Ausnutzung vorliegender Symmetrien lassen sich mit Hilfe des Gaußschen Satzes Feldverteilungen berechnen:

Bsp.: Kugeloberfläche mit Punktladung im Zentrum:


Der Gaußsche Satz gilt für bel. Ladungsverteilungen, mit Raumladungsdichte: oder der


Flächenladungsdichte: gilt Ladungen auf elektrischen Leitern:

- Ladungen sammeln sich aufgrund der Coulombkräfte an der Oberfläche - Bei (perfekten) Leitern sind alle Teile innerhalb des Leiters auf gleichem

Potential. → mit U = ∆ϕ = 0 folgt auch E = 0 innerhalb des Leiters. → Aus dem gleichen Grund bildet die Oberfläche eine Äquipotentialfläche, die Tangentialkomponente verschwindet, d.h.

E steht senkrecht auf der Oberfläche.

Aus der Anwendung des Gaußschen Satzes auf ein Flächenelement folgt:

→ Bsp.1: Ladung auf Metallkugel mit Radius R → Bsp.2: Ladung auf bel. geformten Metallkörpern

1.3.5 Kapazität Die Kapazität C ist ein Maß für die Fähigkeit eines Körpers bzw. Bauteils Ladungen zu speichern: [ C ] =


Bsp.: Plattenkondensator: C =

→ Bsp.: Kapazität eines Plattenkondensators mit d = 1 mm und A = 1 cm2 : → Bsp.: Kapazität einer Kugel → Bsp.: Kapazität eines Zylinderkondensators bzw. Koaxialkabels. Gespeicherte Energie:

Betrachte Arbeit, die für Laden des Kondensators aufgebracht werden muss:

dW = U·dQ , wobei sich U (und damit E) während des Ladens ändert → → W =

Für die Energiedichte w = W/V des Elektrischen Feldes ergibt sich mit V = A·d

w =

1.4 Elektrischer Dipol Dipolmomente entstehen durch zwei getrennte gleichgroße Ladungen

(bzw. Ladungsverteilungen) mit entgegengesetztem Vorzeichen:

Dipolmoment p : p =


...)()(4

1)()()(2

2

2

21

1

021 =⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

−=+=

rr

q

rr

qrrr rrrrrrr

πεϕϕϕ

3

041)(

rprrrr

r ⋅=

πεϕ

Feldverteilung des elektrischen Dipols: Beispiele HCl CHN H2O

Berechnung Potential und Feldverteilung:

Potential ϕ(r): Potential im Fernfeld, d.h. r >>r1, r2, d : Durch Differentiation ergibt sich das elektrische Feld:

→ Im Fernfeld ist für Dipol ϕ ~ 1/r2 und E ~ 1/r3

Im Vergleich dazu gilt für

→ Punktladung (Monopol) ϕ ~ 1/r und E ~ 1/r2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

⋅=−= 33

0

34

1)()(rp

rr

rprrgradrE

rrrrrrr

πεϕ

1.5 Elektrischer Strom

1.5.1 Definition

Strom = bewegte Ladung: [ I ] =


Ladungsträger: Elektrische Leiter: 1.5.2 Ohmsches Gesetz Ursache für einen el. Strom ist eine Kraft auf die Ladungsträger, welche

proportional zur Potentialdifferenz, d.h. der Spannung ist: →

Die Stärke des Stroms ist u.a. abhängig von Material und Leiterquerschnitt,

zusammenfassend dem Leitwert G: → Daraus folgt das Ohmsche Gesetz: [ G ] = bzw. mit Definition eines

elektrischen Widerstandes R = 1/G [ R ] =

Ist G bzw. R konstant, insbesondere nicht von I bzw. U abhängig, spricht man von einem Ohmschen Widerstand. (→ Kennlinien)

Werner von Siemens (1816-1892), Georg Simon Ohm (1789-1854)

1.5.3 Spezifischer Widerstand

Mit der Einführung eines spezifischen Widerstandes ρ bzw. einer spezifischen Leitfähigkeit κ erhält man um die Geometrie des Leiters bereinigte materialspezifische Größen:


[ ρ ] = [ κ ] =

Achtung: ρ bzw. κ sind i.A. keine Konstanten, sondern insbesondere temperaturabhängig! (→ NTC, PTC, Temperaturmessung )

1.6 Materie im elektrischen Feld Wechselwirkung von E-Feld mit elektrischen Dipolen bewirkt → Polarisation P ~ E = Ausrichtung (+ Erzeugung) elektrischer Dipole

→ ’Verstärkung’ oder besser ’Unterstützung’ des E-Feldes Elektrische Flussdichte = Verschiebungsdichte bzw. mit Einführung der relativen Dielektrizitätszahl εr


Achtung: Die relative Dielektrizitätszahl εr ist materialspezifisch aber i.A. keine Konstante sondern insbesondere stark frequenzabhängig, d.h. εr = εr(ω). Betrachtet man die Ausbreitung von e.m. Wellen in solcher Materie, spricht man von “Dispersion“. Am bekanntesten ist das Phänomen in der Optik (Regenbogenfarben) und wird dort mit einer frequenz- bzw. wellenlängenabhängigen

Brechzahl n(ω) beschrieben. Dabei gilt )(

1)(ωε

ωr

n = für optische Materialien.

Polarisation P = Dipolmomente / Volumen

Ist die Zahl der vorhandenen Dipole vom E-Feld abhängig (induzierte Dipole), wird statt der Dielektrizitätszahl oft die dielektrische Suszeptibilität χel verwendet. Diese beschreibt, wie stark ein E-Feld die jeweilige Materie polarisiert:

EpnpVNP el

rrrr⋅⋅=⋅=⋅= 0εχ → elr χε += 1 da gilt

EEEEPED relel

rrrrrrr00000 )1( εεεχεχεε =⋅+=⋅+=+=

Mikroskopisch betrachtet, verwendet man anstatt der Suszeptibilität die Größe der (lokalen, atomaren) Polarisierbarkeit α , def. über pi = α ⋅ Ei,lok

Diese ist ähnlich χel , bezieht sich jedoch auf Erzeugung eines einzelnen lokalen Dipolmoments pi, da das entsprechende lokale E-Feld z.B. in einem Kristall stark ortsabhängig ist. (Stichwort: → Lorentzfeld, Entelektrisierungsfeld)

1.6.1* Orientierungspolarisation → Ausrichtung permanenter Dipole im E-Feld Dipol im homogenen elektrischen Feld:

EpEqdFrM ii

rrrr

rrr×=×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=×= ∑ 2

2

Drehmoment auf Dipol: EpMrrr

×=


Betrachte Arbeit, welche nötig ist, um Dipol um 180° zu drehen →

(potentielle) Energie eines Dipols im E-Feld EpE pot

rr⋅−=

(mit Ep(90°) := 0) ( Stichworte: →Wasser, →LCD) 1.6.2* Ionische Polarisierbarkeit αIon: p = αIon ε0 E → Verschieben der Ladungsverteilung innerhalb eines Ionenkristalls → Verformung des Kristalls → i.A. anisotrop

(Stichworte: →Piezoelektrischer Effekt: Sensoren, Lautsprecher; →Schwingquarze)

1.6.3* Elektronische Polarisierbarkeit α∞: p = α∞ ε0 E

→ Verschieben der „Elektronenwolken“ gegen den Atomkern

→ tritt bei jeder Materie auf → Noch wirksam bei sehr hohen Frequenzen

1.6.4* Dispersion Jeder der o.g. Effekte ist stark frequenzabhängig. Für die

Dielektrizitätszahl εr(ω) ergibt sich schematisch folgender Verlauf:

Maxima der Frequenzabhängigkeit der Dielektrizitätszahl sind verknüpft mit Maxima in der Absorption, d.h. mit einem Maximum an WW im Resonanzfall.

1.6.5* Ferroelektrizität In Analogie zum (länger bekannten) Ferromagnetismus spricht man im Falle sehr großer Dielektrizitätszahlen in Folge von Selbstordnungsmechanismen von

Ferroelektrizität.

Beim Bariumtitanat (BaTiO3) z.B. werden durch die Coulomb-WW die Ti4+ Ionen alle in die gleiche (halbstabile) Lage innerhalb eines Gitterplatzes geschoben. Bei nicht zu großen Temperaturen kommt es dadurch zu einer spontanen Polarisation.


2 Magnetismus

2.1.1 Magnetfelder stationärer Ströme: Amperesches Gesetz (Stationäre) Ströme erzeugen (statische) Magnetfelder H. Ein statisches Magnetfeld H impliziert daher einen Strom I, erzeugt aber keinen. Die magn. Feldlinien beschreiben wie die

elektrischen qualitativ Richtung und Stärke des H-Feldes (, im Gegensatz zum

E-Feld aber keine Kraftwirkung ! ).

Strom und Feld sind verknüpft durch das Amperesche Gesetz (Ampere-Maxwellsches Gesetz, Durchflutungsgesetz):


[ H ] =

∫ bezeichnet dabei ein beliebiges geschlossenes Wegintegral, welches den Strom I einschließt.

Bsp.1: Ein gerader Leiter vom Strom durchflossen erzeugt (außerhalb des Leiters)

ein kreisförmiges zylindersymmetrisches H-Feld ~ 1/r: wähle (entsprechend der Symmetrie) Integrationsweg s

entlang einer Feldlinie im Abstand r um den Leiter: Hier steht H immer parallel zu ds ! ...

→

H(r) =

Bsp.2: Lange Spule mit N Windungen auf der Länge l


→ H = Anmerkung: Für bel. ‚Stromfäden’ berechnet sich das resultierende

H-Feld oft am besten mit dem Biot-Savartschen Gesetz, welches als Spezialfall des Ampereschen Gesetzes für dünne Leiter gilt.

2.1.2 Magnetische Induktion Analog zur elektrischen Verschiebungsdichte wird für das Vakuum B = [ B ] =

definiert, mit der magnetischen Feldkonstanten µ0 = 4π·10-7 Vs ·A-1·m-1

Die Bedeutung von B (und D) wird bei der Behandlung der e.m. Felder in Materie deutlich. 2.1.3 Lorentzkraft

Eine bewegte Ladung erfährt in einem Magnetfeld H ( bzw. B) eine Kraft

F L =

FL steht senkrecht auf v (und B), daher wird nur die Richtung nicht der Betrag von v geändert. Es wird daher auch keine Arbeit geleistet.

Bsp.: Elektron in homogenem Magnetfeld

Das Elektron wird durch die Lorentzkraft auf einer Ebene senkrecht zu B auf eine Kreisbahn gezwungen. Durch Gleichsetzen von Fliehkraft und Lorentzkraft folgt:

Bahnradius Umlauffrequenz = Zyklotronfrequenz


Anwendungen:

Ablenkmagnete in Elektronenröhren, magnetische Linsen, Zyklotron/Betatron, Massenspektrometer, Hallsonden, Drehspulmessinstrument

2.1.4* Hall Effekt

Aufgrund der Lorentzkraft werden Elektronen auch innerhalb von Leitern abgelenkt, wodurch sich eine sog. Hallspannung aufbaut, bis das E-Feld dieser Spannung die Lorentzkraft kompensiert: → → KH = 1/nq Hallkonstante (Materialeigenschaft)

RH = Hallwiderstand (Bauteileigenschaft)

IRIBKU ⋅=⋅

⋅=dHH H

2.1.5 Magnetische Dipole

Die Tatsache der Nichtexistenz magnetischer Monopole beschreibt der Gaußscher Satz für das Magnetfeld:


Kleinste Einheit ist daher ein Dipol, für einen Kreisstrom gilt: Magnetisches Dipolmoment m

(Entscheidend ist die von einem Strom eingeschlossene Fläche, vgl. Durchflutungsgesetz)

Für die Feldverteilung gilt ähnlich dem elektrischen Dipol im Fernfeld (ohne Herleitung):

3350 1~)(3

4)(

rrm

rrmrrB ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅⋅=

rrrrrr

πµ

Das B-Feld gleicht dem elektrischen Dipolfeld also nur im Fernfeld. Im Nahfeld macht sich deutlich bemerkbar, dass die magnetischen Feldlinien geschlossen sein müssen. (vgl. Durchflutungsgesetz)

Magnetfelder sind immer abbildbar auf (kleine) Kreisströme, z.B.:

a) permanente Kreisströme / magnetische Momente: (Para- und Ferromagnetismus) - Drehimpuls von Elektronen → Bahnmagnetismus - Eigendrehimpuls von Elektronen → Spinmagnetismus b) induzierte Kreisströme/ magnetische Momente: (Diamagnetismus)

- Induzierte Kreisströme Elektronenhülle der Atome - Wirbelströme in metallischen Leitern

2.2 Materie im magnetischen Feld Wechselwirkung von H-Feld mit magnetischen Dipolen bewirkt

→ Magnetisierung M ~ H = Ausrichtung (+ Erzeugung) magnetischer Dipole → ’Verstärkung’ oder besser ’Unterstützung’ des H-Feldes Magnetische Induktion bzw. mit Einführung der relativen Permeabilitätszahl µr


Magnetisierung = magn. Dipolmomente / Volumen

Hier wird im Falle induzierte oder permanenter Dipole oft statt der Permeabilitätszahl µr oft die magnetische Suszeptibilität χm verwendet.

Diese beschreibt, wie stark ein H-Feld die jeweilige Materie magnetisiert:

HmnmVNM m

rrrr⋅=⋅=⋅= χ → mr χµ += 1 da gilt

HHHHMHB rmm

rrrrrrr000000 )1( µµµχχµµµµ =⋅+=+=+=

In anisotropen Medien, z.B. in Materialien in einem äußeren statischen Magnetfeld, wird die Wechselwirkung zwischen H und M deutlich komplexer und χm muss als Tensor dargestellt werden.

(Stichworte: → Magnetwerkstoffe, Ferrite, Permeabilitätstensor, Zirkulator) 2.2.1* Paramagnetismus: χm > 1

→ Ausrichtung permanenter aber voneinander unabhängiger magn. Dipole → Atome, Moleküle mit ungepaarten Elektronen (→ Spinmagnetismus) 2.2.2* Diamagnetismus: χm < 1

→ Induzierte magnetische Dipole = in „Elektronenwolken“ induzierte Kreisströme → Bei allen Atome und Moleküle vorhanden 2.2.3* Ferromagnetismus: χm >> 1

→ Ausrichtung permanenter und miteinander gekoppelter magn. Dipole → Spontane Magnetisierung für T < TC (Curietemperatur), oberhalb paramagnetisch

2.3 Elektromagnetische Induktion 2.3.1 Magnetischer Fluss Der magnetische Fluss Φ entspricht der Zahl von magnetischen Feldlinien

durch eine Fläche A:


[ Φ ] = ( Da die magnetischen Feldlinien geschlossen sind, ist der Fluss durch eine geschlossenen Oberfläche immer null. vgl. → Gaußscher Satz für H-Feld ) 2.3.2 Induktionsgesetz von Faraday Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine

Leiterschleife induziert in dieser eine Spannung. Das Vorzeichen der Spannung ist derart, dass der resultierende Strom der erregenden Flussänderung entgegenwirkt (Lenzsche Regel).

Dabei ist es vollkommen irrelevant, ob sich das Feld B oder die (gerichtete) Fläche A mit der Zeit ändern (→Produktregel).

Verallgemeinerung:

(Stichworte: → Induktionsschleife, Erdmagnetfeld, Energiesatz, Wirbelstrombremse)

2.3.3 Wechselstromgenerator Drehe Spule mit N Windungen in konstantem magnetischen Feld hoher

Flussdichte. Die hohen Flußdichten werden mit „magnetisch leitenden“ Materialien (Weicheisen mit µr >> 1) erreicht.

Drehen der Spule bedeutet Änderung des von A und B eingeschlossenen Winkels .

Drehung mit konstanter Winkel-geschwindigkeit → α = ωt. → Sinus bzw. Cosinusförmige Änderung der zu B senkrecht stehenden Fläche.

N Windungen → N-fache Spannung


2.3.4* Selbstinduktion und Induktivität

→ Wird der Strom durch eine Spule zeitlich verändert, so entsteht, entsprechend dem Induktionsgesetz, ein zeitlich verändertes H-Feld, welches wiederum eine dem Strom entgegengesetzte Spannung induziert (→Selbstinduktion). Dieser Effekt ist je nach Aufbau der Spule verschieden groß und und letztlich durch das Verhältnis magn. Fluss Φ zu Strom I bestimmt:

IL Φ= heißt Induktivität des Bauteils/der Anordnung.

Bsp.: Für eine lange Spule ergibt sich z.B. aus : indUIL =⋅=Φ &&

→→ Luftspule Spule mit Kern

lNAL 0 ⋅

=µ 2

lNAL r

20 ⋅

=µµ

3 Maxwellgleichungen 3.1 Maxwellgleichungen

• Durchflutungsgesetz (Ampere-Maxwellsches Gesetz)

IsdHc

=⋅∫rr

„Strom erzeugt Magnetfeld“


∫∫ ⋅+=⋅Ac

AdDdtdIsdH

rrrr Ergänzung für zeitabhängige E bzw. D-Felder

• Induktionsgesetz

∫∫ ⋅−=⋅Ac

AdBdtdsdE

rrrr

„Flußänderung induziert Spannung“

• Gaußscher Satz für E-Feld

qdVAdDVA

=⋅=⋅ ∫∫ ρrr

„Ladung ist Quelle von E-Feld“

• Gaußscher Satz für H-Feld

0∫ =⋅A

AdBrr

„Es ex. kein magnetischer Monopol“

3.2* Stetigkeitsbedingungen Aus den Maxwellgleichungen und geeignet gewählten Integrationswegen bzw. Integrationsflächen, lassen sich für die Grenzflächen zwischen zwei verschiedenen Medien allgemeingültige Stetigkeitsbedingungen

für statische Felder herleiten. Für die Vektorkomponenten des

elektrischen Feldes gilt


stetigE =||

r

stetigD =⊥

r )*

* nur wenn keine Oberflächenladungen vorliegen

und für das magnetische Feld:

stetigH =||

r )**

stetigB =⊥

r

** nur wenn keine Oberflächenströme vorliegen

(Stichwort: Induktion im →Luftspalt eines Magneten)

4 Wechselströme 4.1 Addition von U, I und R bei Phasenverschiebungen Beispiel: R-L-C- Serienschaltung: Relativ zur Spannung an einem ohmschen Verbraucher (dort sind Strom und Spannung in Phase) eilt bei einer Induktivität die Spannung dem Strom voraus , während sie bei der Kapazität ‚hinterherhinkt’. Die Scheitelwerte (Maximalwerte) von U, I und R lassen sich daher nicht einfach addieren, die Phasenverschiebungen müssen z.B. vektoriell im Zeigerdiagramm berücksichtigt werden: Die Zeiger im obigen Diagramm drehen mit der Frequenz ωt (Phase ϕ) der Wechsel-spannung, die Phasendifferenz der Scheitelwerte von ± π/2 bleibt aber jederzeit erhalten! Es bietet sich daher die vektorielle Addition der Scheitelwerte entsprechend untenstehender Grafik an.


22

0 )( CLR UUUU −+=

Für die Widerstände gilt analog:

ZC

LRRRRR CLges =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=−+=

2222 1)(

ωω

( RC und RL können sich kompensieren → „Scheinwiderstände“ ; Z = „Impedanz“)

Die phasengerechte Addition der Scheitelwerte lässt sich bequem mit Hilfe der komplexen Zahlen ausführen:

Wobei für die komplexe Zahl c gilt:

φρ ⋅⋅=⋅+= ieibac

φρφρρ φ sincos ⋅⋅+⋅=⋅= ⋅ iec i

22 bac +== ρ Setzt man für die Phase φ bei der Induktivität φ = π/2 und bei der Kapazität φ = - π/2 Ergibt sich als komplexer Widerstand die Impedanz Z:


d.h. Mit den Rechenregeln der komplexen Zahlen ergibt sich z.B. der Gesamtwiderstand Rges automatisch als der Betrag der Impedanz.

⎟⎟⎜⎜ −⋅+=⋅

+⋅+=C

LiRCi

LiRZω

ωω

ω⎝

⎛ 11

⎠

⎞Rges = Z

4.2 Kapazitäten 4.2.1 Kapazitäten, verlustfrei


UQ Def.: C =

Bei angelegter Wechselspannung U (ω > 0) fließt Strom IC durch Kondensator: Sei → IC = ? )sin(0 tUU ⋅⋅= ω → mit → d.h. I 90° Phasenverschoben! 00 U

CI ⋅⋅= ω

Kapazitiver Widerstand: bzw.:

CIUR

⋅==ω

0C

1

0R

Ci D → R klein für ω sehr groß und umgekehrt → Mögliche Anwendung: Hochpass und Tiefpass Bsp.: Plattenkondensator:

C ω⋅=

1

00 CdAC rr ⋅=⋅⋅= εεε

d.h. mit Dielektrikum εr wird C erhöht, Frequenzverlauf entsprechend verändert!

4.2.2 Kapazitäten, verlustbehaftet Das Einbringen eines Dielektrikums erhöht leider nicht nur die Kapazität, sondern verursacht durch eine Restleitfähigkeit auch Verluste. Im Ersatzschaltbild wird daher ein Widerstand parallel geschaltet:


→

Die Ströme addieren sich (vektoriell !), d.h. IR in Phase mit U aber IC phasenverschoben: ’Faires’ relatives Maß für die Verluste (abgebildet auf R):

CG

II

C

Re ω

δ === ...tanVerlustwinkel: Anstatt der Einführung eines Ersatzschaltbildes für das Bauteil werden die Verluste des Materials besser direkt über Einführung einer komplexen Dielektrizitätskonstante

"' εεε ⋅−≡ ir dargestellt. Der Realteil ε’ beschreibt die Feld verstärkende Wirkung und der Imaginärteil ε’’ die Verluste des Materials. Auch hier ergibt sich mit den Rechenregeln für komplexe Zahlen automatisch eine Abbildung der Verluste auf einen (‚versteckt parallel geschalteten’) ohmschen Widerstand:

)"'(000 εεεεε ⋅−⋅=⋅=⋅⋅= iCCdAC rr

Für den Strom durch den Kondensator ergibt sich damit: d.h. →


Sind andere Verluste vernachlässigbar, wird der Verlustwinkel daher zur reinen Materialeigenschaft des Dielektrikums!

''tan

0

0

εεωδ =

⋅⋅==

CUIR

e""

0

0 εεω ⋅⋅ CUI

C '"tanεεδε =

4.3 Induktivitäten 4.3.1 Induktivitäten, verlustfrei


Def.:

Zeitlich variierender Strom induziert Spannung in Spule: Sei → U = -Uind = ? → mit → d.h. U 90° Phasenverschoben! Induktiver Widerstand: bzw.: D → R steigt linear mit ω → Mögliche Anwendung: Tiefpass und Hochpass Bsp.: Lange Spule:

d.h. mit magn. Kern µr wird L erhöht, Frequenzverlauf entsprechend verändert!

ILNI

N Φ⋅L = ⋅=Φ⋅→

••

⋅−=Φ⋅−= ILNUind

)sin(0 tII ⋅⋅= ω

00 ILU ⋅⋅= ω

LUR ω== 0 RIL

0

LiL ω⋅=

0

2

0 Ll

NAL rr ⋅=⋅⋅= µµµ

4.3.2 Induktivität, verlustbehaftet Das Einbringen eines magnetischen Kerns in eine Spule erhöht leider nicht nur die Induktivität, sondern verursacht durch einen zusätzlichen Widerstand auch erhöhte Verluste. (Auch ohne Kern sind die Verluste durch den ohmschen Widerstand der Spule selbst meist nicht vernachlässigbar.) Im Ersatzschaltbild wird daher ein Widerstand in Serie geschaltet:


→

Für die Serienschaltung sind die Widerstände (vektoriell !), d.h. R in Phase mit U aber RL phasenverschoben zu addieren:

22 )( LRLiRZRges ωω +=⋅+== Auch hier ist der Verlustwinkel ein ’faires’ relatives Maß für die Verluste:

LR

RR

Lm ω

δ ==tanVerlustwinkel: Die Verluste sind meist wesentlich durch das magnetische Material gegeben, anstatt der Einführung eines Ersatzschaltbildes für das Bauteil werden die Verluste des Materials besser direkt über Einführung einer komplexen Permeabilitätszahl

"' µµµ ⋅−≡ ir dargestellt. Der Realteil µ’ beschreibt auch hier wieder die Feld verstärkende Wirkung und der Imaginärteil µ’’ die Verluste des Materials. In komplexer Schreibweise ergibt sich damit für die Induktivität

)"'(00

2

0 µµµµµ ⋅−⋅=⋅=⋅⋅= iLLl

NAL rr

und für den resultierenden Widerstand einer Spule mit Kern:


R RRLLiiLiLi LL +≡⋅+⋅⋅=⋅−⋅⋅=⋅= "')"'( 000, µωµωµµωωµ

d.h. → Sind, wie oben angenommen, die ohmschen Verluste gegenüber den magnetische Verlusten des Kerns vernachlässigbar klein, wird der Verlustwinkel daher zur reinen Materialeigenschaft ! 4.4* Verlustleistung in Materialien bei Ausbreitung elektromagnetischer Wellen Wie bei der Ausbreitung von Licht durch ein verlustbehaftetes Medium (-> Lambert Beer’sches Gesetz) ist auch bei der Ausbreitung von Wellen auf Wellenleitern (z.B. Kabeln) ein exponentieller Abfall von Strom, Spannung bzw. der Leistung zu erwarten. In der Leitungstheorie ordnet man einer Leitung einen Kapazitäts- und einen Induktivitätsbelag C’ = C/l und L’ = L/l zu: Sind diese von εr bzw. µr abhängig, werden die Verluste durch das Material längs der Leitung wieder richtig durch die Imaginärteile von εr und µr beschrieben. Für kleine Verluste (der relevante Anwendungsfall) gilt ''CLk ω= . Für ein Koaxialkabel ergibt sich damit ck ω= bzw. λ⋅= fc . Es ist somit dispersionsfrei.

''tan

µµωδ =

⋅==

LRm""

0

0 µµω ⋅LR

L '"tanµµδµ =

Beispiel: Koaxialkabel mit Dielektrikum (Strom und) Spannung als Welle: )cos(0 xktUU −⋅= ω bzw. )(

0xktieUU −⋅= ω

Für Koaxialkabel gilt daher wie für die Ausbreitung im freien Raum: mit


Da f = const ändert sich in Materie daher die Wellenlänge bzw. die Wellenzahl: → mit µr = 1 , εr = ε’ – iε’’ und kleine Verluste, d.h. ε’’ << ε (bzw. ) : 310tan −≤εδ d.h. mit Die Amplitude nimmt also längs der Leitung mit dem Faktor ab, die Leistung P ~ U² mit dem Faktor .

rrrr

0

00

c11

000

1εµ ⋅

=cfcεµεεµµεµ

λ⋅

=⋅

=⋅

=⋅=

rrkk

cc

εµλλ

⋅===

10

00 rrkk εµ ⋅⋅= 0

xkxktixiktixkti eeUeUeUU'

'''

21

)'(0

)'''(0

)(0 ...0

⋅−−⋅−⋅−− ⋅⋅==⋅=⋅= εε

ωεεωω

xkxki )'(1−

− '0t eeUU

'tan

02 ⋅

⋅⋅=εδω '= kk ε⋅

xke

'tan21 ⋅− δε

xke 'tan ⋅− εδ

4.5 Elektrischer Schwingkreis Entsprechend den Definitionen der jeweiligen Bauteile/Größen gilt für: Induktivität L:


Ohmscher Widerstand R:

Kapazität C: Nach der sog. Maschenregel (→ Kirchhoffsche Gesetze) ist die Summe der Spannungsabfälle in obiger Schaltung = 0, d.h. es gilt Die Schwingung wird letztlich von den Ladungen Q im Stromkreis ausgeführt, mit der Definition des Stroms I = dQ/dt folgt also Für diese (jetzt bekannte) DGL erhält man als Lösung eine zeitlich sinusförmige Ladungsverschiebung und somit auch einen sinusförmigen Verlauf von Strom und Spannung mit der Eigenfrequenz . Für einen (in der Praxis immer) gedämpften und getriebenen Schwingkreis, erhält man Resonanzkurven wie im vorigen Kapitel dargestellt. Dieses Resonanzverhalten ist z.B. Grundlage für Radiosender und -empfänger. (→ Elektrischer LC-Schwingkreis, Filter, Radio, Marconi)

Beispiele für Anwendung von R-C-L Kombinationen / Schwingkreise: a) Frequenzweiche: b) Serienschwingkreis → Filter: c) Parallelschwingkreis → Filter, Oszillator:


5 Materie, Teilchen und Wellen 5.1 Quantennatur des Lichts

Newtons Teilchenhypothese des Lichts ist ungeeignet zur Beschreibung der Ausbreitung des Lichts. Zur Erklärung von z.B. Beugung und Interferenz muss das Wellenmodell verwendet werden. Es zeigt sich jedoch, dass zur Beschreibung von Wechselwirkungen des Lichts mit Materie (Absorption und Emission) wieder ein Teilchencharakter des Lichts angenommen werden muss (→ Lichtquanten, Photonen)

Photoeffekt

Fällt (monochromatisches) Licht auf eine (elektrisch leitende) Kathode in einer Vakuumröhre, so können durch das Licht Elektronen ausgelöst werden. Die über die Anode abfließenden Elektronen können als elektrischer Strom gemessen werden:

Dieser Strom nimmt mit der Lichtintensität zu, kann aber unabhängig von der Lichtintensität I durch Anlegen einer Gegenspannung U0 zum versiegen gebracht werden! Man beobachtet, dass die jeweilig anzulegende Spannung U0 eine lineare Funktion der Frequenz f des eingestrahlten Lichts ist:

UfconstfUU ∆−⋅== )(00

grenzfconstU ⋅=∆

Auch ohne Anlegen einer Gegenspannung, also für U0 = 0 , wird erst ab f ≥ fgrenz

ein Photostrom beobachtet. ∆U ist weder von der Frequenz noch von der Intensität des Lichts abhängig sondern nur abhängig von den verwendeten Materialien im Versuchsaufbau.


Erklärung (Einstein, 1905):

Licht kann seine Energie nur in ‚Portionen’ abgeben, wobei eine ‚Energieportion’ E = h⋅f ein Lichtquant bzw. ein Photon definiert. h ist das sog. Planck’sche Wirkungsquantum: h = 6,626⋅ 10-34 J⋅s

Interpretiert man ∆U⋅e als Austrittsarbeit ∆WA, welche geleistet werden muss, um die Elektronen aus der Kathode zu lösen, ergibt sich:

PHOTONA EfhfconstWeUeUeU =⋅≡⋅=∆+⋅=⋅∆+⋅ Es fließt demnach nur ein Strom, wenn die Energie der eingestrahlten Photonen größer ist als ∆WA, und die ausgelösten Elektronen noch eine positive kinetische Energie Ekin = h⋅f - ∆WA erhalten. Anwendungen des Photoeffekts:

- Lichtintensitätsmessung Photozelle wie oben abgebildet wird bei pos. angelegter Spannung U in Sättigung betrieben. Der Photostrom ist dann proportional zur Lichtintensität, d.h. zur Zahl einfallender Photonen (Bsp.: Geigerzähler) - Sekundärelektronenvervielfacher (→ Photomultiplier) Über die Erzeugung von Photonen durch einzelne schnelle Elektronen, werden wiederum in einer Hochspannungsanordnung mittels des Photoeffekts viele Elektronen ausgelöst und damit zu leicht messbaren Stromstößen. (s.a. REM) - Halbleiterbauteile wie z.B. Solarzelle ( innerer Photoeffekt ) Durch Absorption eines Photons wird ein Atom bzw. Molekül ionisiert. Das freie Elektron verlässt aber das Material nicht, sondern bleibt als Ladungsträger in dem Festkörper erhalten (Anhebung ins Leitungsband). So wird die Leitfähigkeit bzw. der elektr. Widerstand des Halbleiters abhängig von der Lichtintensität (→ Photosensoren). Werden bei geeigneter Kombination von Halbleitern die vom Licht erzeugten Ladungen getrennt, kann die Lichtenergie in elektrischen Strom umgewandelt werden.


5.2 Teilchen-Welle Dualismus; Materiewellen

A) Elektronenstreuexperiment von G.P. Thomson (1892-1975) 1927 :

Thomson beschoss eine Graphitfolie mit in einer Vakuumröhre beschleunigten Elektronen. Das beobachtete Interferenzbild am Schirm kann nur durch Welleneigenschaften der Elektronen erklärt werden.

bereits zuvor: B) De Broglie (1892-1987) Wellenlänge von Teilchen 1924 :

Teilchen haben entsprechend ihres Impulses p (d.h. ihrer Masse und kinetischen Energie) eine Wellenlänge

ph

deBroglie =λ

und breiten sich wie Wellen aus.

Für im E-Feld beschleunigte Elektronen gilt mit eUm

pvmEe

ekin ⋅=⋅

==22

1 22 :

eUmh

ph

ee ⋅⋅⋅

==−

2λ

Streuexperimente wie das von Thomson lassen sich so erklären. Es zeigt sich

letztlich, das ein Teilchen nicht durch eine Welle allein sondern durch ein Wellenpaket beschrieben werden muss. Die Teilchengeschwindigkeit entspricht der Gruppengeschwindigkeit dieses Wellenpaketes und nicht der (größeren) Phasengeschwindigkeit. In Folge der Dispersion laufen diese Wellenpakete „mit der Zeit auseinander“, wodurch der Ort eines Teilchens immer unbestimmter wird. Hier zeigen sich bereits die begrifflichen Schwierigkeiten der ‚Wellenmechanik’ bzw. der Quantentheorie (→Unschärferelation, Messprozess).


6 Aufbau der Materie 6.1 Atomphysik 6.1.1 Atommodelle

A) Spektrallinien Licht wird von Materie / Atomen i.A. nicht als kontinuierliches Spektrum, sondern insbesondere von Gasen als Linienspektrum emittiert.

Balmer (1825-1898) fand 1885 empirisch, dass das Linienspektrum des Wasserstoff darstellbar ist als:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −== 22

11nm

Rcf fλ Rf = 3,288·1015 Hz, Rydbergfrequenz

Neben den chemischen Eigenschaften der Atome, musste ein gutes Modell für den Aufbau eines Atoms auch die Spektrallinien erklären können.

B) Atommodell von J.J. Thomson (1856-1940) 1904:

Spektrallinien ?

Streuversuch von Rutherford? C) Streuversuch von Rutherford (1871-1937) 1911: Beschuss einer dünnen Goldfolie mit Teilchen (He2+-Kernen): Die meisten Teilchen werden kaum

oder gar nicht abgelenkt

Winkelverteilung der Streu- strahlung war theoretisch nur erklärbar mit der Annahme von „harten“ schweren Kernen mit Durchmessern von ca. 10-15 m, also viel kleiner als Atom mit ca. 10-10 m!


D) Rutherford / Bohrsches (1885-1962) Atommodell 1916:

ze

e Frvm

reF ===

2!

2

2

041πε

reEpot

2

041πε

−= ; 2

21 vmE ekin =

→ Gesamtenergie

reEEE potkinges

2

081πε

−=+=

Strahlung? Forderung Bohr: Stabile Bahn nur für

hnpdqWirkung ⋅== ∫!

bzw. hr

⋅= nl n = 1, 2, 3, ..

→ 02

2

20

2

: rnemhnr

en ==

πε A

en E

nhem

nE 22

0

4

21:

81

−=−=ε

n: Energie / Hauptquantenzahl ( Energien bzgl. l entartet) Das Spektrum des H-Atoms:

eVn

Jnh

emn

E en 6,1311018010,21

81

218

220

4

2 −=⋅−=−= −

ε

Emission / Absorption:

22,,,116,13ki

eVEEEhf kikikiki −⋅=−=∆== ωh

i, k = 1, 2, 3 ..

→ 22,

,116,13kih

eVhE

f kiki −⋅=

∆=

Die Balmer Serie entspricht Übergängen von angeregten Zuständen mit n = 3, 4, 5, .. auf den Zustand n = 2. Später beobachtet: → n = 1: Lyman-Serie (UV) → n = 3: Paschen-Serie (IR) → n = 4: Bracket-Serie (IR) → n = 5: Pfund-Serie (IR)


Definitionsgemäß ist die Energie eines freien Elektrons positiv, die eines gebundenen Elektrons negativ (→Bindungsenergie). Ein angeregter Zustand entspricht einer höheren Energie (n > 1) bzw. geringeren Bindungsenergie. Für die Ionisation aus dem Grundzustand, also dem Übergang n = 1 → n = ∞, wird folglich die Energie entsprechend n = 1 also 13,6 eV = 2,18·10-18 J für das H-Atom benötigt. Was für die Emission von Licht gilt, gilt auch für die Absorption: Dies erklärt u.a. das ‚reverse’ Absorptionsspektrum des Sonnenlichts hervorgerufen durch vergleichsweise kühlere Gase in den äußeren Schichten der Sonne(n). (→ Fraunhoferlinien) E) Ergänzungen des Bohrschen Modells durch Sommerfeld (1868-1951)

- Berücksichtigung der Mitbewegung des Kerns (reduzierte Masse des e-) - Zulassen von Ellipsenbahnen (vgl. Planeten) + relativistische Masse des e-

→ Aufhebung der l – Entartung (d.h. Energien auch von l abhängig) → weitere Quantenzahl l = 0, 1, .. n-1 → Erklärung der Feinstruktur,

z.B. gelbe „Natrium D-Linie“ bei ~ 590 nm ↔ 589,59 nm + 589,00 nm

Alle klassischen Atommodelle versagen bei größeren bzw. komplizierteren Atomen, neben den Spektrallinien können u.a. die magnetischen Eigenschaften nicht erklärt werden.

F) Quantenmechanisches Atommodell Die Schrödingergleichung der Quantentheorie ‚liefert’ für gebundene Teilchen (z.B. e- im Atom) immer Lösungen/erlaubte Zustände mit diskreten Energien (→ Quantisierung). Alle beobachteten Spektrallinien, von Atomen (und auch Molekülen) können erklärt werden. Die Beschreibung von Materie als Wellen führt letztlich nur zu Aufenthaltswahrscheinlichkeiten im Raum (→ Orbitale) anstelle eines genau definierten Ortes der betrachteten Elektronen.

Sehr stark vereinfacht: e- als stehende Welle im Potential des Atomkerns. Es sind nur Wellenlängen und damit Zustände erlaubt, für die sich „konstruktive Interferenz“ ergibt, d.h. der Umfang der Elektronenbahn muss ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge sein:


Aus der relativistischen Theorie des Elektrons von Dirac (1902-1984) 1928 folgt neben n und l eine weitere Quantenzahl s, welche den Spin = Eigendrehimpuls des Elektrons beschreibt. Die Struktur des Periodensystems der Elemente spiegelt sich in den Quantenzahlen n, l und s sowie der Ausrichtung der Drehimpulse im Raum gekennzeichnet durch ml und ms wieder.

6.2 Kernphysik 6.2.1 Aufbau von Atomkernen

Atomhülle: Elektronen e- me = 9,1095 ⋅10-31 kg re ≅ 2,8 fm Atomkern: Nukleonen: - Protonen p+ mp = 1,6726 ⋅10-27 kg rp ≅ 1,2 fm

- Neutronen n mn = 1,6748 ⋅10-27 kg rn ≅ 1,2 fm Allgemeine Bezeichnung verschiedener Atomkerne, Nuklide:

Z Protonenzahl = Ordnungszahl (= Elektronenzahl) N Neutronenzahl N A = Z + N Nukleonenzahl = Massenzahl

AZ X

Isotope = Nuklide eines chem. Elements Bsp.: H → 1H (Wasserstoff), 2H (Deuterium), 3H (Tritium)

Angabe der Massenzahl A mit Zeichen für chem. Element eindeutig. Ausführlich:

011 H 1

21H 2

31H

Massenzahl M (= Ar relative Atommasse) im Periodensystem der chem. Elemente ist gewichteter Mittelwert entsprechend der natürlichen Häufigkeit. Bsp: Kohlenstoff:

M(C) = 98,90 % ⋅ M(12C) + 1,10% ⋅ M(13C) + 0,00% ⋅ M(14C) = 12,0107 [ u bzw. g/mol]

6.2.2 Radioaktiver Zerfall Beobachtung: Atomkerne sind i.A. instabil, d.h. sie zerfallen

in andere Nuklide unter Abgabe von Strahlung

→ Natürliche Radioaktivität: α - Strahlung: He-Kerne 4He2+

β - Strahlung: Elektronen e-

γ - Strahlung: Photonen hoher Energie (MeV)

→ Künstliche Radioaktivität: Positronenstrahlung e+ , Protonenstrahlung p , Neutronenstrahlung n


A) Zerfallsgesetz

Ein (instabiler) Kern zerfalle mit Wahrscheinlichkeit λ, d.h. er habe eine mittlere Lebensdauer τ = 1/λ. Messbar nur für große Zahl N von Kernen → Aktivität einer Stoffmenge/Probe: A:= λ⋅N Becquerel :


048

12

sEreignisBq 11 =

1620

1020

]

242832

0 20 40 60 80 100

Zeit

N [

dtNdN ⋅⋅−= λ → T½ = 20

τλt

t eNeNtN−⋅− ⋅=⋅= 00)(

Nach der Zeit t = T½ = τ⋅ln2 ist die Hälfte der Kerne zerfallen. B) Zerfallsarten α - Zerfall ( vorwiegend bei schweren Kernen )

+∗−

− +⎯→⎯ 242

42 HeKK A

ZAZ

α

β - Zerfall ( Neutron → Proton + Elektron )

−∗+ +⎯→⎯ eKK A

ZAZ 1

β

γ - Zerfall ( eigentlich Folgereaktion )

γγ +⎯→⎯∗ KK AZ

AZ

Bsp.:

6.3 Kernenergie und Massendefekt

Die freiwerdenden Energien beim Kernzerfall, Kernspaltung oder Kernfusion entspricht freiwerdender Bindungsenergie. Diese sind bei Atomkernen so groß, dass sie sich entsprechend E = mc² in einem messbaren Massendefekt äußern.

Bsp.: Sauerstoff ist (letztlich aus Wasserstoff) durch Kernfusionsreaktionen im Inneren von Sternen entstanden. Die dabei freigewordene Energie ’fehlt’ dem Sauerstoffkern, weshalb er leichter ’als erwartet’ ist: 16O besteht aus

8 Protonen 8 x mp = 8 x 1,67262 ⋅10-27 kg 8 Neutronen 8 x mn = 8 x 1,67482 ⋅10-27 kg 8 Elektronen 8 x me = 8 x 0,00091 ⋅10-27 kg Summe: 26,7868 ⋅10-27 kg Die Masse von 16O ist jedoch 16,1313 u = 26,6395 ⋅10-27 kg, d.h. kleiner!

Entscheidend ist die Summe der Bindungsenergien bzw. Massendefekte aller beteiligten Nukleonen. Betrachtet man den Massendefekt pro Nukleon, lässt sich leicht ablesen durch welche Prozesse Energie frei werden kann:

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10

0 50 100 150 200 250

Nukleonenzahl = Massenzahl A

Mas

send

efek

t / N

ukle

on [

MeV

]

Kernfusion Energiegewinn durch Kernspaltung

In obiger (schematischer) Darstellung lässt sich auch zeigen:

- Die leichten Elemente bis ~ 56Fe entstehen unter Energiegewinn durch Kernfusion in Sternen. ( Anwendung: Fusionsreaktor, Wasserstoffbombe )

- Die schwereren Elemente entstehen unter Energieverbrauch wahrscheinlich hauptsächlich während Supernova-Explosionen. (Eine Fusion von sehr vielen Nukleonen zu einem schweren Kern wäre denkbar, ist aber viel zu unwahrscheinlich.) Umgekehrt wird durch Kernspaltung (in mittelschwere Nuklide) Energie frei. ( Anwendung: Atomkraftwerke, Atombombe )


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